学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.基础-提高班.教师版
第一讲 有理数的概念
第一讲 有理数的概念一、正数和负数在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4︒C 和零上6︒C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数：1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数．【例】以上几个例子分别记为：4-︒C 和6+︒C ，20+元和20-元，30+米和100-米.2．正数：像30、+6、12、π这样的数叫做正数，正数都大于零；3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、3.14-、0.001-、172-．【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略；②数0既不是正数也不是负数．二、有理数的概念及分类1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类：（1）有理数按性质分类：⎧⎧⎫⎪⎪⎬⎨⎪⎭⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数负整数正分数分数负分数 （2）有理数按符号分类 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数（3）小数的分类【注】注意以下几个概念的区分：非负数：正数和零；非正数：负数和零；非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零；非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零．⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数——可化成分数，是有理数三、数轴1．数轴：数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线． 【注】原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素；①原点：表示数0的点；②正方向：数字从小到大排列的方向，一般规定向右为正方向； ③单位长度：人为规定的代表“1”的线段的长度.2．数轴的画法（1）画一条水平直线；（2）在这条直线上取一点作为原点； （3）一般用箭头表示正方向；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出刻度，并将数字对应标在数轴下方．【例】一个标准的数轴： 【注】画数轴的常见错误：①三要素缺失：没有原点、正方向箭头或者单位长度刻度； ②单位长度不统一：相邻两个刻度之间间距不一样；③方向不统一：数字增大的方向不是正方向，或者数字排列混乱．3．数轴与有理数的关系①任何一个有理数均可用数轴上的一个点来表示； 但数轴上的点不一定代表有理数，比如π． ②数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大；③数轴直观地说明了，正数大于零，负数小于零，正数大于负数． 4．数轴与数学思想①数形结合思想：数轴形象地反映了数和点之间的对应关系；②分类讨论思想：数轴表现了有理数的一种分类方法，即分成正数、负数和零． 四、相反数&倒数1．相反数：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．【例】5+与5-互为相反数；5-是5+的相反数；【注】相反数必须成对出现，单独一个数不能说是相反数.“5-是相反数”是错误的. 2．相反数的性质：（1）代数性质：若a 与b 互为相反数，则0a b +=；反之，若0a b +=，则a 与b 互为相反数．（2）几何性质：一对相反数在数轴上对应的点分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等，即这两点是关于原点对称的．3．倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数．【例】2与12，3-与13-，38-与83-．4．负倒数：乘积为1-的两个有理数互为负倒数．【例】2与12-，3-与13，38-与83．【注】①0没有倒数，也没有负倒数；②倒数是它的本身的数1或-1． 五、绝对值1．绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2．绝对值运算：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3．绝对值的性质： （1）非负性：||0a ≥；（2）双解性：若||||a b =，则a b =或a b =-．【注】如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0．例如，若||||||a b c ++=0，则a =0，b =0，c =0．（1）仔细思考以下各对量： ①胜二局与负三局；②气温为3C -︒与气温升高30C ︒； ③盈利5万元与亏损5万元；④增加10%与减少20%．其中具有相反意义的量有（ ） A ．1对 B ．2对C ．3对D ．4对（2）①我国现采用国际通用的公历纪年法，如果我们把公元2017年记作+2017年，那么，处于公元前500年的春秋战国时期可表示为___________．②如果80m 表示向东走80m ，那么60m -表示________________．③A ，B 两地海拔高度分别是120米，10-米，则B 地比A 地低________米．（3）学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030(ml)±”字样，请问“60030(ml)±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603ml ，611ml ，589ml ，573ml ，627ml ，问抽查产品的容量是否合格？模块一 正数和负数例题1（1）下列说法错误的是（ ） A ．0既不是正数也不是负数 B ．正整数和负整数统称整数C ．整数和分数统称有理数D ．正有理数包括正整数和正分数（2）把下列各数分别填在所属分类里：5-，0， 3.14-，32， 2.4-，227，327，π， 5.5-，.24，311-，3.14159，34-，2003①正数：{ }； ②负数：{ }； ③非负整数：{ }； ④分数：{ }； ⑤非正有理数：{ }；（3）在下表适当的空格里打上“√”号．整数 分数 正数 负整数 正分数非负数 非负整数无理数 0.-15-3.+062 14.031π98-模块二有理数的概念及分类例题2a b 0（1）下面图形是数轴的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_______．（3）已知：点A 在数轴上的位置如图所示，点B 也在数轴上，且A 、B 两点之间的距离是2，则点B 表示的数是______．（4）在数轴上标出下列各数：0， 4.2，132，2，+7，113，并用“<”连接．（1）一个点沿着数轴的正方向从原点起移动2个单位长度后，又向反方向移动6个单位长度，则这个点表示的数是__________．（2）一个小虫在数轴上先向右爬2个单位，再向左爬6个单位，所在位置正好距离数轴原点2个单位，则小虫的起始位置所表示的数是________． （3）数轴上的点A 对应的数是1-，一只蚂蚁从A 点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B 点后，用2秒的时间吃光了B 点处的蜜糖，又沿原路以原速度返回A 点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与A 点的距离是多少个单位长度？B 点对应的数是多少？（1）2017-的相反数是________，2017与________互为相反数．（2）已知有理数a 、b 在数轴上表示如图，则a 、b 、a -、b -的大小，正确的是（ ） A ．a b a b -<-<< B ．a b b a <-<<-C ．b a a b -<<-<D ．a b b a <<-<-（3）下列说法正确的是（ ） A ．一个数的相反数一定是负数 B ．π和.-314互为相反数 C ．所有的有理数都有相反数 D ．13和31互为相反数模块三数轴例题3例题4模块四 相反数&倒数例题554BA13-1123-2-01-3 122-1-0 1232-1-012 1.3- 2.6 A 3-O 7-6-5-4-3-2-1-01234567我们可以用字母表示数，比如a 、b 都能代表一个数，在一个数的前面添上“-”号，就得到这个数的相反数．（1）5的相反数是_______；13的相反数是_______，0的相反数是_______，数a 的相反数是________；（2）5-的相反数是_______，12-的相反数是________，4-的相反数是________；数a -的相反数是________；（3）(2)--的相反数是________；(5)+-的相反数是________，数()a -+的相反数是________，数()a --的相反数是_______；()a b ---与________互为相反数．如果a <0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数 ①()a -+； ②()a --； ③[()]a -+-； ④[()]a ---； ⑤{[()]}a -+--； ⑥{{{{{[()]}}}}}a -----+--（1）2017-的倒数是________，2017与________互为负倒数．（2）一个数的倒数等于它本身，这个数是_________；一个数的倒数等于它的相反数，则这个数________．（3）已知a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）A ．a b 11<1<B ．a b 11<<1C ．b a 11<<1D ．b a 111<<（1）2017-的绝对值是_________，|2017|--的相反数是________，|2017|-与________互为倒数．（2）①绝对值不大于3的整数有________；②绝对值大于2而小于5的负整数是________．（3）①若m 、n 满足||||=m n -2+-30，则mn 的值等于________；②||||x y =--7，则xy =________．（4）已知|5|a =，||2b =，则||a b -的值是__________．例题6例题7例题8模块五 绝对值例题91-a 01b（1）下列说法正确的个数（ ） ①()a --表示正数；②||a 一定是正数，||a -一定是负数；③绝对值等于本身的数只有两个，是0和1；④如果||||a b >，则a b >．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 （2）若x 表示有理数，则||x --一定是（ ） A ．正数 B ．负数C ．非正数D ．非负数（3）下列说法正确的是（ ）A ．若a 表示有理数，则a -表示非正数B ．和为零的两数互为相反数C ．一个数的绝对值必是正数D ．若||||a b >，则a b <<0（1）如果节约16吨水记作+16吨，则浪费6吨水记作__________．（2）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做+0.22，那么小东跳出了3.85米，记作___________． （3）把下列各数填入表示它所在的大括号：.-24，3，2.008，10-3，114，0，()--2，3.14，||--4．正有理数：{ } 非负整数：{ } 负分数：{ }（1）下列说法正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义仅仅表示没有B ．正有理数和负有理数组成全体有理数C ．0.5既不是整数，也不是分数，因而它不是有理数D ．零既不是正数，也不是负数 （2）下列说法不正确的是（ ） A ．绝对值等于本身的数是非负数 B ．倒数等于本身的数有2个 C ．有理数可分为整数和分数D ．两个负数比较大小，绝对值越大的数越大例题10复习巩固演练1演练2（1）如图，表示数轴正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．（2）已知点A ，点B 在数轴上，点A 表示数为-2，A 、B 两点的距离为5，则点B 表示的数是________．（3）在数轴上标出下列各数，并用“<”比较它们的大小：-3，+1，122，.-15，5．（4）已知，a b 为有理数，在数轴上的位置如图所示，则a 1，b1，0，1的大小关系为_______________．（1）点A 在数轴上距原点为3个单位，且位于原点左侧，若将A 向右移动4个单位，再向左移动2个单位，这时A 点表示的数是________．（2）一只小虫在数轴上先向右爬3个单位，再向左爬7个单位，正好停在-2的位置，则小虫的起始位置所表示的数是（ ） A ．-4 B ．4 C ．2 D ．0（1）37与________互为相反数；a 1-2是________的相反数．（2）()--2的相反数是________；b +4是________的相反数．（3）{[()]}--+-4=________；{[()]}----5与________互为相反数．（1）||||x y 2-2+7-3=0，求xy =________．（2）4-27的倒数是________，3.75的负倒数是___________．（3）给出下面说法：①互为相反数的两数的绝对值相等；②一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；③若||m m >，则0m <；④若||||a b >，则a b >，其中正确的有______．021-1-23-2-1120-2-112023-2-110演练3演练4演练5 演练610ba。
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.尖子班.学生版
1初一秋季·第1讲·尖子班·学生版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·尖子班·学生版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ） A ．点P B ．点Q C ．点M D ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向3210﹣1﹣2P Q M BA3初一秋季·第1讲·尖子班·学生版右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有 个．【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小.4初一秋季·第1讲·尖子班·学生版0ba⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（ ）DCB A a bab 0abb a【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MNabcd⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.A5初一秋季·第1讲·尖子班·学生版dc b a【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【例7】 如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？初一秋季·第1讲·尖子班·学生版987654312367初一秋季·第1讲·尖子班·学生版训练1. 已知a b +与a b -互为相反数，求2000200020032003a b a b ++-训练2. 在数轴上任取一条长度为119999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数为 .训练3. 设a 是大于1的有理数，若a ，23a +，213a +在数轴上对应的点分别记作A ，B ，C ，则A ，B ，C 三点在数轴上自左至右的顺序是 .训练4. ⑴ a 、b 、c 、d 分别为有理数，a 是绝对值最小的有理数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身．求：①ab 的值；②a b c d ++-的值．⑵ 非零整数m ，n 满足||||50m n +-=，所有这样的有序（即()(),,m n n m 和不同）整数组()m n ，共有 组．8初一秋季·第1讲·尖子班·学生版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度 向动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .利用数轴性质建立方程求点对应的数9初一秋季·第1讲·尖子班·学生版【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点DCB A数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
初一数学人教版 学而思
初一数学人教版学而思初一数学是初中阶段的第一门数学课程，是学生初步接触数学知识和学习数学方法的重要阶段。
学而思是一家专注于中小学数学教育的教育机构，为学生提供高质量的数学学习资源和学习指导。
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学生通过学习和练习，掌握数学基础知识的运用和解题方法。
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1.2 数轴(课件)-2024-2025-冀教版(2024)数学七年级上册
感悟新知
2. 数轴的画法
步骤
①画直线：画一条水平的直线
②取原点：在这条直线上适当的位置取 一点作为原点，用这个点表示 0
③定正方向：规定这条直线上的一个方 向(一般取从左到右的方向)为正方向， 用箭头表示，相反的方向为负方向
④定单位长度：根据需要选取适当的长 度为单位长度
知1－讲
图形
感悟新知
知1－练
例1 如图 1.2-1，判断下列数轴是否正确 . 如果不正确，请 指出错误原因 .
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣数轴的“三要素”判断数轴是否 正确 .
解：(1) 正确；(2)(3)(4) 都不正确 . 其错误原因如下：(2) 中的数轴缺少原点；(3) 中的数 轴负半轴上所标的负数的顺序不对，应将“－2”与 “－1”交换位置；(4) 中的数轴上的单位长度不统一 .
A. 1
B. 0
C. － 2
D. － 4
感悟新知
知2－练
例3 [母题 教材 P11 练习 T2 ] 画一条数轴，并在数轴上标
出表示下列各数的点：
－
2，
－
2
1 2
，
－
1 2
，
3，
1 2
.
感悟新知
知2－练
解题秘方：紧扣数的特征及数与点的位置关系描点.
解：如图1.2-3.
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方法点拨：根据给出的数据画数轴的方法：
第一章 有理数
1.2 数轴
感悟新知
知识点 1 数轴的定义及画法
知1－讲
1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
感悟新知
知1－讲
特别解读 1. 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度. 2. 数轴三要素缺一不可.在解决具体问题时可以
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元—次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)1平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．2、平行线的性质利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．练(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．(2) （七一中学2015-2016七下3月月考）如图，AB∥CD，∠B=30°，∠O=∠C．则∠C= .例2如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.练如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.例3如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图，己知AB ∥DE ，BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、∠F 的关系.例4如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．练（武昌七校2015-2016 七下期中）如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .练如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .例6已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．练已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．挑战压轴题（粮道街2015—2016 七下期中）如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第一讲 平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2．（武昌七校2015-2016七下期中） 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .word 资料下载可编辑专业技术资料 7．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a 上，a ∥b .∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .8．如图，AB ∥CD ，EP ⊥FP , 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F 的度数为 ．9.如图，若AB ∥CD ， ∠BEF =70°，求∠B +∠F +∠C 的度数.10．已知，直线AB ∥CD ．(1)如图l ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF 、∠EFC 、∠FCD 之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A 、∠E 、∠F 、∠G 、∠H 、∠O 、∠C 之间的关是 .。
02(学而思)有理数的运算
有理数的运算一、 有理数的加减法 二、 有理数的乘除法 三、 有理数的乘方四、 有理数的混合运算 五、 有理数的简单应用一、 有理数的加减法1、有理数的加法1. 【易】（北京陈经纶中学期中）若两个数的和为正数，则这两个数（ ）A ．至少有一个为正数B ．只有一个是正数C ．有一个必为零D ．都是正数 【答案】A2. 【易】（2010年二十中学期中）计算()()537912571239−+−+=+++−−是应用了（ ） A ．加法交换律 B ．加法结合律C ．分配律D ．加法的交换律与结合律【答案】D3. 【易】 1.5−的倒数与2的相反数的和是（ ）【答案】83−4. 【易】（2012安徽）下面的数中，与3−的和为0的是（ ）A ．3B ．3−C ．13 D ．13−【答案】A5. 【易】（2012广东肇庆）计算32−+的结果是（ ）A ．1B ．1−C ．5D ．5−【答案】B6. 【易】小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，那么小明第四次测验的成绩是（ ） A ．90分 B ．75分 C ．91分 D ．81分 【答案】C7. 【易】把10123−，，，，这五个数，填入下列方框中，使行、列三个数的和相等，其中错误的是（ ）A B C D 【答案】D8. 【中】(第8届希望杯)1997个不全相等的有理数之和为0，则这1997个有理数中（ ）A ．至少有一个是零B ．至少有998个正数C ．至少有一个是负数D ．至多有995个是负数 【答案】C9. 【易】 ①4+与2的和的符号取_______号②4−和2−的和符号取_______号 ③4+与2−的和的符号取_______号 ④4−与2的和的符号取_______号【答案】①正；②负；③正；④负．10. 【易】（2012成都石室联中初一章测）数学考试成绩以80分为标准，老师将5位同学的成绩简单记作15+，4−，11+，7−， 0，则这五名同学的平均成绩为________． 【答案】8311. 【中】8箱苹果，以每箱5kg 为准，称重记录如下：（超过为正数）1.5，1−，3，0，0.5， 1.5−，2，0.5−， 8箱苹果的总重量是________． 【答案】44千克12. 【中】（天津河西区2010第一学期七年级期末质量调查数学试卷）下列数据是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况（单位：千米/时）： 55555658586061636565，，，，，，，，，． 请你计算这些车辆行驶速度的平均数________．【答案】把每个数据都减去60，得()()()()55422013554−+−+−+−+−+++++=−车速之和为60104596×−=所以平均车速为5961059.6=÷（千米/时） 答：这些车辆行驶速度的平均数为59.6．13. 【中】（2012年潍坊市中考题）如图，每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：1357+++++⋯(21)n −=_______．（用n 表示，n 是正整数）． 【答案】2n320-111-123-10123-1012314.【易】（2012成都石室联中初一章测）计算：()()255639−++−【答案】 8−15.【易】计算：⑴5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32( 1.57)6767−+−+++−+−+−+−++⑵11(0.75)0.375(2) 84 +−++−【答案】⑴原式21 (10)0138)4633=−++=−+(-；⑵原式133111 ()(2)(3)2 884422 =++−+−=+−=−16.【易】计算：⑴21 (4(333−+−⑵21(6)(9|3|7.49.2(4)55−+−+−+++−⑶17(14)(5)( 1.25)88−+++−⑷111 (8.5)3(6)11332−++−+⑸5317 (9)15(3)(22.5)(15124412−++−+−+−⑹434(18(53)(53.6)(18(100) 555−+++−+++−【答案】⑴21 (4)(3)833−+−=−⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)055−+−+−+++−=⑶17(14)(5)( 1.25)9.588−+++−=−⑷111 (8.5)3(6)110332−++−+=⑸5317(9)15(3(22.5)(1535124412−++−+−+−=−⑹434(18)(53(53.6)(18(100)100555−+++−+++−=−17. 【易】（2011年初一上期中）五袋白糖以每袋50千克为标准，超过的记为正，不足的记为负，称量记录如下： 4.5+，4−， 2.3+， 3.5−， 2.5+这五袋白糖共超过多少千克？总重量是多少千克？ 【答案】1.8千克；251.8千克18. 【易】（2012成都石室联中初一章测）一辆货车从货场A 出发，向东走了2千米到达批发部B ，继续向东走1.5千米到达商场C ，又向西走了5.5千米到达超市D ，最后回到货场．⑴ 用一个单位长度表示1千米，以东为正方向，以货场为原点画出数轴并在数轴上标明货场A ，批发部B ，商场C ，超市D 的位置． ⑵ 超市D 距货场A 多远？ ⑶ 货车一共行驶了多少千米？【答案】⑴ 略；⑵ 向西2千米；⑶ 9千米19. 【中】（2011深圳外国语分校初一上期中）小虫从某点出发在一直线上来回爬，假定向右爬的形成为正数，向左爬的路程记为负数，爬过的各断路程依次为（单位，厘米）：5+，3−，10+，8−，6−，12+，10−⑴ 小虫最后是否会到出发点？⑵ 小虫离开出发点最远是多少厘米？⑶ 在爬行过程中如果爬行1厘米，奖励一粒芝麻，则小虫一共得到多少粒芝麻？ 【答案】⑴ 能 ⑵ 12厘米 ⑶54粒20. 【中】（2012成都石室中学初一上月考）某商场上星期日销售衬衣100件，下表是该商场本周的销售变化情况．星期 一 二 三 四 五 六 日 销售量（件）15+7−21+13−2−10+6+（注：正号表示销售量比前一天上升，负号表示销售量比前一天下降） ⑴ 请算出星期四和星期日该商场衬衣的销售量； ⑵ 该商场平均每天的销售量是多少件？ 【答案】⑴116,130 ⑵ 11921. 【中】（2011杭州市十三中教育集团初一第一学期阶段性检测）“十一”黄金周期间，某市在7天中外出旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．日期10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 10月 6日 10月7日人数变化单位：万人1.6+ 0.8+ 0.4+ 0.4− 0.8− 0.2+ 1.1−⑴ 若9月30日外出旅游人数记为a 万人，则10月2日外出旅游的人数为（ ）万人．⑵ 七天内外出旅游人数最多的是10月（ ）日，最少的是10月（ ）日，它们相差（ ）万人．⑶ 如果最多一天有出游人数3万人，问9月30日出去旅游的人数有多少？这七天平均每天出游人数是多少万人？【答案】⑴ 2.4a +；⑵3，7，2.1；⑶ 0.2，2.122. 【中】下表记录的是今年长江某一周内的水位变化情况，上周星期天的水位已达到警戒水位米（“+”表示水位比前一天上升，“−”表示水位比前一天下降）．（武汉初一上期中）星期 一 二 三 四 五 六 七 水位变化（米）0.2+0.8+0.4−0.2+0.3+0.2−0.3−⑴ 本周哪一天长江的水位最高？位于警戒水位之上还是之下？⑵ 与上周星期天相比，本周星期天长江的水位是上升了还是下降了？并通过计算说明理由． 【答案】⑴ 周五，警戒线之上；⑵ 上升了．23. 【中】（第5届希望杯2试）电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步有点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，．．．．．． ，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94． 求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【答案】假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得：01234569910019.94x −+−+−+−−+=⋯⋯，030.06x =−．24. 【难】（2010湖北黄石）若自然数n 使得作竖式加法()()12n n n ++++均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为323334++不产生进位现象； 23不是“可连数”，因为232425++产生了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为．【解析】若满足题目要求，个位数字为012，，，十位数字为0123，，，，百位数字为01，． 【答案】2425. 【难】（无锡市中考题、人大附中练习题改编）数轴的原点O 上有一个蜗牛，第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去，当它爬完第100次处在B 点． ① 求O 、B 两点之间的距离（用单位长度表示）．② 若点C 与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？③ 若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O 点多远？ 【答案】 ①1(2)3(4)99(100)50+−++−+++−=−⋯，故O 、B 两点之间的距离为50个单位长度．②分两种情况，第一种情况：点C 在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次，依次每两次结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298−×=（次）运动即可前进50米，到达B 地；用时为：(1239899)22475++++÷=⋯（分钟）． 第二种情况：点C 在数轴的负半轴，观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米，故经过100次运动即可前进50米，到达B 地，用时为：(12100)22525+++÷=⋯（分钟）． ③设第n 次运动时，正好60分钟，那么有123456602222222n+++++++=⋯，所以15n =，此时它离A 点：1234561314158−+−+−++−+=⋯（米）．2、有理数的减法26. 【易】（2012黔东南州）计算12−−等于（ ）A ．1B ．3C ．1−D ．3−【答案】D27. 【易】(2012四川省南充市）计算：()23−−的结果是（ ）A ．5B ．1C ．1−D ．5−【答案】A28. 【易】（2012山东省聊城）计算1233−−的结果是（ ） A ．13−B ．13C ．1−D ．1【答案】1212133333−−=−=−． 故选A29. 【易】（2011武汉市青山区数学七年级（上）期末）下列各式中与a b c −−的值不相等的是（ ）A ．()a b c −+B ．()a b c −−C ．()()a b c −+−D ．()()c b a −−−【答案】B30. 【易】（2009湖北省武汉市武昌区七年级（上）期末数学试题）小怡家电冰箱的冷冻室温度是2−℃，冷藏室温度是5℃，则小怡家电冰箱冷藏室比冷冻室温度高（ ）A ．3℃B ．7℃C ．5℃D ．5−℃【答案】B31. 【易】（2009武汉青山初一上期末）今年一月的某一天，武汉市最高温度为7℃，最低温度是4−℃，这天的最高温度比最低温度高（ ） A ．3℃ B ．7℃ C ．11℃ D ．11−℃ 【答案】C32. 【易】（2011天津河西区年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）世界最高峰珠穆朗玛峰的峰顶岩石面海拔高8844米，而位于亚洲西部的死海是世界最低的湖泊，湖面海拔392−米，则两处的高度相差（ ） A ．9236米 B ．9132米 C ．8844米 D ．8452米 【答案】A33. 【易】（2012广东珠海中考）计算：1132−=________．【答案】16−34. 【易】(浙江省初中毕业生学业考试(湖州市））计算：32−−=________．【答案】135. 【易】计算：111246 −−【答案】51236. 【易】（2012年北京66中学）计算： 32(17)23−−−−− 【答案】38−37. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）⑴1132|1()|3553−−−−−⑵ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)−−+−−−− ⑶1111(3[(3)3](3)4444 −−−−−−−【答案】⑴⑵ 4.7( 3.3)( 5.6)( 2.1)0.3−−+−−−−=−⑶1111(3[(33](3)04444−−−−−−−=38. 【易】（2010上海迅行期中）计算（要求写出计算过程）： 53114336565−−−−−−． 【答案】原式5311513122161433433134565656655351515 =−−++=−−−−=−−=−=−39. 【易】（2012武汉初一上月考）若规定海平面的高度为0米，高于海平面的高度记为正数，现有一潜艇在水面下50米处航行，一架飞机在水面上方100米处飞行． ⑴ 试用正负数分别表示潜水艇和飞机的高度⑵ 下可能有一条鲨鱼所载的位置是12−米，则鲨鱼在潜水艇上方多少米？ 【答案】⑴ 潜艇50−米，飞机100+米；⑵ 38米3、有理数的加减法混合运算40. 【易】下列说法正确的是（ ）A ．两数之和不可能小于其中的一个加数B ．两数相加就是它们的绝对值相加C ．两个负数相加，和取负号，绝对值相减D ．不是互为相反数的两个数，相加不能得零 【答案】D11324|1()|235535−−−−−=−41. 【易】（2012南京三中期中考试）把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果为（ ）A ．()()325+++=+B ．()()321++−=+C ．()()325−−+=−D ．()()321−++=−【答案】D42. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）算式435−−+，计算结果是（ ）A ．6B ．4−C ．12D ．2【答案】D43. 【易】（2011广东实验中学初一中段检测）()()123−+−−+去括号后的结果是（ ）A ．123−++B ．123−++C ．123−−−D ．123−+−【答案】C44. 【易】（2012武汉初一上月考）下列运算：①()()220−+−=；②()()6410−−−=−；③()033−−=+；④512663++−= 其中正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】B45. 【易】（2010深圳中学初一上期末）直接写出结果：()12275−−−+= ．【答案】846. 【易】（2011广东实验中学初一中段检测）计算：()()65215−+−+−−= ． 【答案】647. 【易】（2012北京市西城区第一学期期末试卷）计算：()()13152710−−−+−+= ．【答案】15−48. 【易】（初一期末数学模拟）计算：11524343+−−=____________．【答案】049. 【易】计算：()()()71525−++−−【答案】3350. 【易】（2011武汉武珞路中学七年级上期中）计算：()()1581112−−−+−−【答案】30−51. 【易】（北京北达资源中学期中）计算：()()()()499159−−+−−+−【答案】144−52. 【易】（人大附期中）计算：()()20141815−+−−−−【答案】31−53. 【易】（2011年北京三帆中学）计算：2.5( 1.5) 1.6 2.4−−−+【答案】4.854. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）计算：()1350.254−−−+−【答案】2−55. 【中】计算：⑴ 222115134433155−+−−+−；⑵52180252667621−−+−−−−−；⑶141141141421119911199−+−； ⑷()()340115477+−−−−−+−−+−．【答案】①1103−；⑵263−；⑶1；⑷10．56. 【中】求比22141114315−+−小221211315−+的数是多少？【答案】16−57. 【中】有一组数：12345...99100−+−+−−，，，，，，，，求这100个数的和． 【答案】5058. 【难】(希望杯培训试题)在135...101，，，，这51个奇数中的每个数的前面任意添加一个正号或一个负号，则其代数式的绝对值最小为多少？【答案】由于2135710151+++++=⋯为奇数，对于连续的4个奇数我们添加符号如下，使其结果为0，即：(21)(23)(25)(27)0n n n n +−+−+++=，这样我们可以使后48个奇数和为0，对于135，，我们可以如下添加符号使其绝对值最小：1351−−+=，于是可得和的绝对值最小为1．59. 【难】(辽宁)在数123...1998，，，，前添符号“+”或“−”，并依次运算，所得结果中最小的非负数是多少？【答案】由于12319981999999+++⋅⋅⋅+=×是一个奇数，而在123...1998，，，，之间任意添上“+”号或“－”号不会改变其代数式和的奇偶性，故所得额非负数不小于1.现考虑在四个连续自然数n ，1n +，2n +，3n +之间添加符号，显然(1)(2)(3)0n n n n −+−+++=，这提示我们将123...1998，，，，每连续四个数分成一组，再按上述规则添加符号，即： ()()()123456781993199419951996199719981−−++−−+++−−+−+=⋯所求的最小非负数为1．60. 【难】在整数1357，，，，…，21k −，…，2005之间填入符号“＋”和“－”号，依此运算，所有可能的代数和中最小的非负数是多少？【答案】这道题也是一个老题，由于整数的符号不影响其奇偶性，因此也不影响代数和的奇偶性，我们首先可以利用：213520051003++++=⋯，得知所有可能的代数和均为奇数，再考虑到非负数这一条件，我们期望这一最小值为1．接下来我们的目标无非是填入符号“＋”和“－”凑出1来，考虑到共有1003个数，我们需要利用周期性. 注意到，7911130−−+=，151719210−−+=，⋯，()(23)(21)(21)230k k k k −−−−+++=⋯，19992001200320050−−+=，因此容易凑出所要的结果来 ()()()11357911131999200120032005=−−++−−+++−−+⋯．但是题目中要求在数与数之间填入符号“＋”和“－”号，所以可以对算式的前7项做处理，修改为：()()11357911131999200120032005=++++−−++−−+⋯二、 有理数的乘除法1、有理数的乘法61. 【易】几个不为0的有理数相乘，他们的积的符号（ ）A ．由因数个数决定B ．由负因数个数决定C ．由正因数个数决定D ．由负因数大小决定 【答案】B 62. 【易】（2012年江西南昌十五校联考）计算()32×− 的结果是（ ）A ．5B ．5−C ．6D ．6−【答案】D63. 【易】（2012四川泸州）计算()23−×的结果是（ ）A ．6−B ．6C ．5−D ．5【答案】A64. 【易】(2009年成都中考）计算122×-的结果是（ ）A ．1−B ． lC ．2−D ．2 【答案】A65. 【易】（2011深圳中学初一上期末）已知a ，b 都是有理数，且a a =，b b ≠，则ab =（ ）A ．负数B ．正数C ．负数或零D ．非负数【答案】C66. 【中】（杭州文澜中学2011初一第一学期期中）如果x 是绝对值最小的有理数，y 是最大的负整数，则x y xy ++的值是（ ） A ．1− B ．0 C ．1+ D ．2 【答案】A67. 【中】(第9届希望杯)若19980a b +=，则ab 是（ ）A. 正数B. 非正数C. 负数D. 非负数【解析】由19980a b +=，得1998a b =−，可知a 、b 的符号相反或者0a b ==，故有0ab ≤.【答案】B68. 【易】奇数个负数相乘，积的符号为 ， 个负数相乘，积的符号为正 .【答案】负号；偶数.69. 【易】（2010上海迅行期中）三个有理数相乘的积为正数，那么这三个数中正数有 个．【答案】2显然负数有偶数个，所以正数有1或3个70. 【易】计算下列各题：⑴553618−× ⑵13335−×+【答案】⑴190−；⑵2−.71. 【易】看谁算的又对又快：⑴()()()345826−×−−×−−×−⑵4113(3)11559211 −×−×−×+×⑶1571(8)16−×− ⑷()()999812512412161616−×−−−×−+×−⑸111112211142612 −×−+−【答案】⑴()()[]()()34582(6)12581228−×−−×−−×−=−×−+= ；⑵化带分数为假分数后约分.原式9101133959211=−××××=−；⑶变形后使用分配律，原式()1571816 =−−×− ()()()151571885685687.5575.5162=−×−+−×−=+=+=；⑷逆向运用分配律，较复杂的有理数混合运算，要注意解题方法的选取.原式()9985412121616=−−−+×− =-； ⑸应用乘法分配律；原式()()()()937131212121242612=−×+−×−+−×+−×−()2718(14)1310=−++−+=−.2、有理数的除法72. 【易】(初一期末模拟）13−与113−的商为（ ）A ．14−B ．14C ．1−D ．4【答案】B73. 【易】（2010南山外国语初一期中）把一张厚度为0.1mm 的纸对折8次后厚度接近于（ ）A ．0.8mmB ．2.5cmC ．2.5mmD ．0.8cm 【答案】B74. 【易】（2011台湾台北）已知世运会、亚运会、奥运会分别于公元2009年、2011年、2012年举办．若这三项运动会均每四年举办一次，则这三项运动会均不在下列哪一年举办？（ ） A ．公元2070年 B ．公元2071年 C ．公元2072年 D ．公元2073年 【答案】A75. 【易】（北京北达资源中学期中）计算下列各题⑴211133 −÷−⑵()280.2535−÷−÷−【答案】⑴54；⑵53−76. 【易】（2010上海迅行期中）计算：()1581 1.5312−÷−÷−÷．【答案】原式32124884355 =−×−×−×=−3、有理数的乘除混合运算77. 【易】（2009学年湖北省武汉市青山区七年级（上）期末数学试卷）计算：()()432−×−÷−【答案】()()432−×−÷−，()122=÷−， 6=−；78. 【易】（2009华师武昌区上学期期末调研考试）计算：()11812449−÷×−÷【答案】179. 【易】（2012北京市西城区第一学期期末试卷）71452556÷−×−． 【答案】11280. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）计算422314733−÷−×−【答案】10−三、 有理数的乘方81. 【易】4x 表示（ ）A ．4xB ．x x x x +++C ．x x x x ⋅⋅⋅D ．4x + 【答案】C82. 【易】（2012成都石室中学初一上月考）113−表示（ ）A ．11个3−相乘B ．3个11−相乘C ．11个3相乘的相反数D ．3个11相乘的相反数 【答案】C83. 【易】（2011河北省初中毕业生升学文化课考试数学试卷）计算03的结果是（ ）A ．3B ．30C ．1D ．0 【答案】C84. 【易】（2012浙江省嘉兴市）计算()02−的结果是（ ）A ．1B ．2C ．0D ．1−【答案】A85. 【易】（2012年广东梅州中考）012−−=（ ）A ．2−B ．2C ．1D ．1−【答案】D86. 【易】（2012重庆南开中学初一下期中）()02012−的值为（ ）A ．0B ．1C ．2012D ．2012−【答案】B87. 【易】计算0(2009π)−的结果是（ ）A ．0B ．1C ．2009π−D ．π2009−【答案】B88. 【中】（2009年北京二中期中）计算：()023122×−÷=（ ）A ．0B ．1C ．12D ．无意义【答案】D89. 【易】（2009年南充市高中阶段学校招生统一考试）计算()20091−的结果是（ ）A ．1−B ．C ．2009−D ．2009【答案】A90. 【易】()20001−的值是（ ）A ．2000B ．1C ．1−D ．2000−【答案】B91. 【易】（2011年广东茂名市初中毕业生学业水平考试与高中阶段学校招生考试）计算：01(1)−−−的结果正确．．的是（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．2−【答案】D92. 【易】（2012年广西玉林市）计算：22=（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C93. 【易】（2012山东省滨州）32−等于（ ）A ．6−B ．6C ．8−D ．8【答案】C194. 【易】（2009年娄底市初中毕业卷）()23−的相反数是 （ ）A ．6B ．6−C ． 9D ．9−【答案】D95. 【易】（2012南京三中期中考试）与算式22222222+++的运算结果相等的是（ ）A ．42B ．28C ．82D ．162 【答案】A96. 【易】（2012武汉初一上月考）下列各对数中互为相反数的是（ ）A ．23与32−B ． 32−与()32−C ．23−与()23−D ．()232−×与()323×−【答案】C97. 【易】下列各组数中，相等的是（ ）A ．32−与()32−B ．23−与()23− C ．()232−×与232×D ．()332−×与()332−×−【答案】A98. 【中】（2012年希望杯决赛初一年级试题） 77可以表示成n （2n ≥）个连续自然数的和，则n 的值的个数是（ ） A ．10 B ．5 C ．3 D ．1 【答案】C99. 【中】（2011深圳实验中学初一下）20112012532135−×−等于（ ）A ．1−B ．1C ．325−D ．135【答案】C100. 【易】（2012成都石室联中初一章测）1米长的小棒，第1次减去一半，第2次减去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为（ ）米A ．12B ．132C ．164D ．1128【答案】C101. 【易】（2010初一上期末）《棋盘上的米粒》故事中，皇帝往棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格上加倍至4粒，…，依次类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在第12格中所放的米粒数是（ ） A ．22粒 B ．24粒 C ．112粒 D ．122粒【答案】C102. 【易】（北京陈经纶中学期中）332−的底数是_______，指数是_______，幂是_______．【答案】32−；3；278−．103. 【易】（2010上海迅行期中）把()()()()6666−×−×−×−的运算结果用幂的形式可表示为_______． 【答案】46104. 【易】(2012江苏苏州）计算：32= ．【答案】32表示3个2相乘的积，2228××=，因此32=8．105. 【易】（2012江苏省苏州吴中区第二学期期末调研测试初一数学试卷）计算：212−=_______．【答案】14106. 【易】（2011武汉武珞路中学七年级上期中）计算：()33−−=___________．【答案】27107. 【易】（2011普陀区度九年级第二学期期终调研）计算：22−= ．【答案】4−108. 【易】（2010初一期末）410222−××= ．【答案】8109. 【易】（江苏省苏州市相城区2011-2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷）计算：()1001010.254−×=____________．【答案】4110. 【中】（2012杭州文澜初一下学期期中）计算：①()()3422a b ab −⋅−=_______；②()55521933−×−×=_______．【答案】①1011a b −; ② 32．111. 【中】（2012杭州文澜初一下学期期中）用幂的形式表示下列各运算结果：⑴ ()363 −=_______；⑵ ()()4632x x +=_______．【答案】⑴ 183；⑵ 122x ．112. 【中】（2009上海华育单元测试）若41681a −=−，则________a =． 【答案】23±113. 【中】（2012山西实验中学七年级上期中）某种细菌培养过程中，每半小时分裂一次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到128个，那么这个过程要经过_______小时．【答案】从一个分裂到72128=个，一共分裂了7次，每次需要半小时，所以一共经历了3.5小时．四、 有理数的混合运算114. 【易】（2011汇文中学期中考试）有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20092009a b +等于（ ） A ．1 B ．1− C ．1± D ．2 【答案】C 115. 【易】（2011年佛山市高中阶段学校招生考试）计算()3322+−的值是（）A ．0B ．12C ．16D ．18【答案】A116. 【易】（2012年河北省中考题）某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序数的倒数加1，第1位同学报111+，第2位同学报112 + ，第3位同学报113+ ，……这样得到的20个数的积为_______． 【答案】21117. 【易】（2010深圳外国语分校初一上期中）式子()()2005200611−+−的值是（ ） A ．1−B ．1C ．2−D ．0【答案】D118. 【易】（2011深圳外国语分校初一上期中）计算()()2010201122−+−所得结果为（ ） A ．20102B ．()20102−C ．20102−D ．2−【答案】C119. 【易】（2009深圳中学初一上期末）下列计算中正确的是（ ）A ．()()43111−×−=B ．()339−−=C ．311933÷−=D ．1393−÷−=【答案】D120. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）下列运算中，计算结果正确的是( ）A ．()23225−−−= B ．()()326−×−= C ．()()223322−÷−=D ．()()29322−÷−=【答案】B121. 【易】（2009湖北省武汉市青山区七年级（上）期末数学试卷）对下列各式计算结果的符号判断正确的一个是（ ）A ．()()2122303 −×−×−<B ．()225510−−+<C ．()111032 −+−+>D ．()()9988120−×−>【答案】A122. 【易】（2009年中考聊城市数学试题）计算()234−+的结果是（ ）A ．5−B ．2−C ．10D ．13【答案】D123. 【易】（2012年北京市朝阳外国语学校第一学期期中校考初一）请阅读一小段约翰·斯特劳斯的作品，根据乐谱中的信息，确定最后一个音符的时间长应为（ ）．A ．18B ．12C ．14D ．34【答案】C124. 【易】（“《时代学习报》数学文化节”试题）电影《哈利·波特》中，小哈利·波特穿墙进入“394站台”的镜头（如示意图中的M 站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A B 、站台分别位于21−−，处，2AN NB =，则N 站台用类似电影中的方法可称为“_______站台”． 【答案】113−125. 【中】（2011南山外国语初一期末）若a 、b 是互为相反数，c 为最大的负整数，d 的绝对值为2，则()2a b cd +−的值为（ ） A ．2B ．0C ．1或1−D ．2或2−【答案】D126. 【中】（“希望杯”邀请赛试题）若a b 、是互为相反数，c d 、是互为倒数，x 的绝对值等于2，则42x cdx a b +−−的值是_______． 【答案】20127. 【中】（2012成都石室联中初一章测）下列计算：①()055−−=−；②()()3912−+−=−；③293342 ×−=− ；④()()3694−÷−=−．其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B128. 【中】（浙江省中考题）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数x ，最后输出的结果为656，那么满足条件的x 的不同值最多有多少个？【答案】由51656x +=得131x =，由51131x +=，得26x =；由5126x +=，得5x =．故x 的不同值最多有3个．129. 【中】（2010北京八中期中）下列判断正确的是（ ）①若3个有理数的乘积为负，则这3个有理数均为负数； ②若0abc <，则a ，b ，c 中至少有一个负数；③几个有理数相乘，负因数的个数为奇数个，则积为负数；负因数的个数为偶数个，则积为正数； ④绝对值不超过10的所有有理数的和为0． A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．③④ 【答案】C130. 【易】（2011郑州一中教育集团期中考试）若a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则()a b cd +⋅=．【答案】0131. 【易】（七年级上期中）计算：()43−−= ；()()25−×+= ；()81−÷−= ．【答案】7；10−；8−132. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）输出结果()2212822−×−+÷−= ．【答案】4133. 【中】（2010辽宁沈阳南昌中学初一上期末）有一种“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将四个1至13之间的数进行加减乘除四则运算（每个数都用且只能用一次），使其结果为24．例如对1234，，，可作运算：()123424++×=．现有四个有理数 2345，，，，请你运用上述规则写出使其运算结果等于24的算式： _____________________． 【答案】()532424+−×=134. 【中】（2010深圳外国语初一上联合测）根据二十四点算法，现有四个数34610−，，，，每个数用且只用一次进行加、减、乘除，使其结果等于24，则列式为 24=．【答案】()41063−×−÷135. 【中】同学们玩过算24的游戏吧！下面就来玩一下，我们约定的游戏规则是：黑色扑克牌为正数，红色扑克版为负数，只能用加、减、乘、除四种运算每张扑克牌只能用一次，来算24，现在有下面的4张扑克牌（如图），请你用这四张扑克牌来算24，在横线上写出运算的过程 ．【答案】6103424×÷+=136. 【中】（江苏省竞赛题）已知整数a b c d 、、、满足25abcd =，且a b c d ＞＞＞，那么a b c d+++等于（ ）．A ．0B ．10C ．2D ．12 【答案】D 51(1)(5)5115abcd a b c d =××−×−===−=−，，，，．137. 【中】（第22届希望杯初1第1试第2试）计算：()()()()2433310.252352168−−−×−÷×−+−÷−= ． 【答案】2138. 【中】（第20届“希望杯”全国数学邀请赛初1第1试）小明写出了50个不等于零的有理数．其中至少有一个是负数，而任意两个数中总有一个是正数．则小明写出的这50个数中正数有_________个，负数有__________个． 【答案】49；1139. 【易】（2012通州区初一数学期末考试试卷）3233|2|4(2)−×−+÷−．【答案】56−140. 【易】（2012西安西铁一中七年级数学—期末试卷）计算下列各题；()()382475−÷−×−+【答案】4141. 【易】（2012海淀区七年级第一学期期末练习）计算：()()101384−×+÷−．【答案】 1142. 【易】（2011年广东省台山市中考数学真题试卷）计算：()3201200732−++−【答案】原式18=143. 【易】（2012北京十二中初一下期中）计算：()23021π332−−+−+【答案】278144. 【易】（2011西宁）计算：()()3031201123−+−−−．【答案】原式271820=+−=145. 【易】（2011年西安陕师大附中初一数学期末测试题）计算⑴ ()()210.233−+−÷×− ⑵ ()()()2214−−−×− 【答案】⑴ 245−；⑵ 0146. 【易】（2012南京三中期中考试）()285150.813−÷−×+− 【答案】215147. 【易】（2012重庆南开中学初一下期中）()0332π312−+−+−【答案】162−148. 【易】（2012学年度第二学期期中考试初一数学试卷）计算()10212π123−−+−+−−【答案】31π4+149. 【易】（2011深圳外国语初一下期末）计算：()()220132012120.2543−−×+×−【答案】5150. 【易】（2012学年度苏州立达中学初一期末考试试卷）计算题()()1320113π232−−−+−×−+【答案】原式391814=−+×+=151. 【易】（2012学年度江苏省苏州市相城区第二学期期中考试初一数学试卷）计算：()()12411π323−−−+−−−+−【答案】原式11134=−+−+ 324=152. 【易】（初一下期末模拟）()231120032223−−×÷+−÷【答案】158153. 【易】（2012初一罗湖期末统考）计算：⑴ 191223−÷×−⑵ ()()33210244−+×−−+【答案】⑴ 11；⑵ 2−154. 【易】（2011南山外国语初一期末）计算：⑴ ()869−+−⑵ ()()10.1102−÷×−⑶ ()()332475−÷−×−+⑷()()201125150.813−÷−×−+−【答案】⑴ 7−；⑵ 2；⑶ 1−；⑷415155. 【易】（2010年武汉武珞路中学初一期中）计算⑴ ()()1581112−−−+−− ⑵ 71131262142−×−×÷−⑶ ()()()()22224342−+×−−−÷−⑷ ()()23224133 −+−−−×【答案】⑴ 30−；⑵ 12−；⑶ 48；⑷ 32156. 【中】（2011华南师大附中期中考试）计算：()()()3232201137211121113123100 −×−−÷−÷−−+−÷−×【答案】43160157. 【中】（2012房山区七年级上期末）计算：⑴ ()21512544−−÷−+−．⑵ ()()20121232+2241834 ×−−×−− ．【答案】⑴ ()21512544−−÷−+− 原式31444=−++ 41=−+ 3=−⑵ ()()20121232+2241834 ×−−×−−原式1211+24241434=−×−×−1+166614=−−−1514=−158. 【中】（2011郑州一中教育集团上期期中考试）计算：()()()32235210.8224−−−+−×÷−×−【答案】16.8−159. 【中】（北京市西城区2011-2012学年度第一学期期末试卷）23643440.8425421−+÷+×−． 【答案】187−160. 【中】（沈阳）⑴ ()221111536 −−−−×−−⑵()222321212332243334−÷×−−×−−−×−【答案】⑴ 113−；⑵ 3−161. 【中】（2012成都金牛初一下期末）()()()232120102223−−×+−−−÷−【答案】13162. 【中】（2011广东实验中学初一中段检测）计算⑴ ()()()223334 −−−−×−； ⑵ ()32221110.52300.5333 −−−÷×−−−×−− 【答案】⑴ 12−；⑵ 1312−163. 【中】（2012成都石室联中初一章测）计算：()()()()52221142 1.250.4339−×−÷−+−×−÷−−【答案】3164. 【中】（2012成都初一入学测）计算：()()23222351835−−−×−+÷−−【答案】27−165. 【中】（2011天津河西区第一学期七年级期中质量调查数学试卷）⑴ ()()()2234232 −×−+−−−÷ ⑵ ()5511255 2.5784−−−×−÷÷【答案】⑴ ()()()2234232 −×−+−−−÷ []()316292=−×+−−÷()3189254 4.549.5=−×−−=−+=−÷⑵()5511255 2.5784−−−×− ÷÷151581125575254=×+×+××12517=++ 1267=166. 【中】（2012太原市七年级第二次测评）计算：()()31162812 ÷−−−×−−【答案】()()()311162812811022 ÷−−−×−−=−−−×−−=167. 【中】（2012成都石室中学初一上月考）计算⑴ ()22−−+⑵ ()542−×−⑶ 323232−÷×⑷ 4131127373+−++⑸ ()517248612−+×−⑹ ()()()()()1520862++−+++−++⑺ ()()14812349−÷××−⑻ ()1123.7 2.7722 −+−−−−−+【答案】⑴ 4−；⑵ 10；⑶ 278−；⑷ 0；⑸ 25−； ⑹ 1−；⑺ 48；⑻ 11.4−168. 【中】（2011北片期中联考）在我们学过的几种有理数的运算（加法、乘法、乘方）中，有一些运算的结果是负数，如负数加负数的结果为负数，例如：()()235−+−=−，请你尝试归纳运算结果为负数的所有情况，并举例说明．【答案】加法⑴负加负得负例：()()235−+−=−⑵ 绝对值较大负数加绝对值较小正数．例：()211−+=− ⑶ 负数加零得负 例：()033+−=− 乘法：⑷正乘负得负 例：()5210×−=−乘方⑸负数的正奇数次幂得负 例：()1911−=−169. 【中】（2012成都石室中学初一上月考）将4−，3−，2−，1−，0，1，2，3，4，这9个数分别填入下图方的9个空格中，使得横、竖、斜对角的所有3个数相加的和都相等．【答案】第一行：左3−，中4，右1−；第二行：左2，中0，右2−； 第三行：左1，中4−，右3．五、 有理数的简单应用170. 【易】（北大附中期中考试）某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加1千米，气温大约降低6℃．若该地地面温度为21℃，高空某处温度为39−℃，则此处的高度是 千米． 【答案】10171. 【易】（2011汇文中学期中考试）我们小时候听过龟兔赛跑的故事，都知道乌龟最后占胜了小白兔，如果在第二次赛跑中，小白兔知耻而后勇，在落后乌龟1km 时，以10m /min 的速度奋起直追，而乌龟仍然以1m /min 的速度爬行，那么小白兔大概需要多少min （精确到1min ）就能追上乌龟？ 【答案】111min172. 【易】（2011杭州初一翠苑中学上学期期中模拟卷）某检测小组乘汽车检修供电线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时，所走路程（单位：km ）为：22+，3−，4+，2−，8−，17+，2−，3−，12+，7+，5−问： ⑴ 收工时距A 地多远？⑵ 若每千米耗油4升，从A 地出发到收工共耗油多少升？ 【答案】由A 点出发前进39km ；340升173. 【易】（2010南山外国语初一期中）一辆出租车一天下午以某中学为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：km ）依先后次序记录如下：9+，3−，5−，4+，8−，6+，3−，6−，4−，10+．⑴ 将最后一名乘客送到目的地，出租车离出发点多远？在该中学的什么方向？⑵ 起步价是10元2千米，超过2千米，每千米2.4元．司机一个下午的营业额是多少？ 【答案】⑴ 0米，就在中学里；⑵ 191.2元174. 【易】（杭州市文海实验学校2011初一第一学期期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股27元买进某公司股票2000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况（单位：元）星期 一 二 三 四 五每股涨跌（元）2.5+ 1− 1.6+ 1.9− 0.8+ 根据上表回答问题：⑴ 星期二收盘时，该股票每股多少元？⑵ 这周内该股票收盘的最高价，最低价分别是多少？⑶ 已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费，若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？【答案】⑴ 28.5；⑵ 30.1，28.2；⑶ 赚3440元175. 【易】股民曹先生上星期五买进某公司股票1000股，每股31元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期 一二三四五每股涨跌2+ 2.5+ 1− 1.5 1+⑴ 星期三收盘时，每股是多少元？（2分）⑵ 本周内最高股价是每股多少元？最低价是每股多少元？（2分）⑶ 已知曹先生买进股票时付了0.15%的手续费，卖出时需付成交额0.15%的手续费和0.1%的交易税，如果曹先生在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】⑴ 34.5；⑵ 最高37、最低33；⑶ 盈利5861元176. 【易】某个家庭为了估计自己家6月份的用电量，对6月份的一周每天电表的读数进行记载，上周日的电表的读数是115度．以后每日的读数如下表：星期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 电表的 读数（度）118122127133136140143估计6月份约用度电．分析：通过对一周电度表的读数的记载可以算出这一周各天的用电量，从而算出这一周的平均每天用电量，用这周的平均每天用电量乘以30，就可以估计出6月份大约用多少度电． 【答案】解法一：()()()()()()()118115122118127122133127136133140136143140−+−+−+−+−+−+− 730÷× ()115143730=−+÷× 120=（度）解法二：()143115730120−÷×=177. 【易】（2011武汉市武珞路中学数学七年级（上）期中）已知蜗牛从A 点出发，在一条数轴上来回爬行，规定：向正半轴运动记作“+”，向负半轴运动记作“−”，从开始到结束爬行的各段路程（单位：cm ）依次为：7+，5−，10−，8−，9+，6−，12+，4+⑴ 若A 点在数轴上表示的数为3−，则蜗牛停在数轴上何处，请通过计算加以说明。
2024年秋季新冀教版七年级上册数学教学课件1.3 绝对值与相反数
编号 1
2
3
4
5
6
结果 －0．3 －0．2 ＋0．3 ＋0．2 －0．4 －0．1
指出第几个零件好些？请用学过的绝对值知识来说明．
解：因为|－0.3|＝0.3，|－0.2|＝0.2， |＋0.3|＝ | 0.3|， | ＋0.2|＝0.2，|－0.4|＝0.4， |－0.1|＝0.1， 所以|－0.1|最小，即第6号零件更好些． 绝对值 越小 越接近零件的标准尺寸，也就是说这个零件
到原点距离相等的点有： －4与4，－2与2，－1.5与+1.5； 每组数的符号不同，绝对值相同； 在数轴上在原点的两侧，且到原点的距离相等。
定义： 像－4与4，－2与2，－1.5与+1.5这样符号 不同，绝对值相等的两个数，我们称其中一个数是 另一个数的相反数，这两个数互为相反数，0的相 反数是0.
如果有理数用a表示，则有： 当a是正数时，|a |=a； 当a=0时，|a |=0； 当a是负数时，|a |= －a。
思考： 如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是 非负数 ； 如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数 是 非正数 。 符号语言：若|a |=a，则a ≥0 ；若|a |= －a，则a ≤0 .
1.如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝 对值相等,那么点A表示的数是( B )
A. －4
B. －2
C.0
D.4
2.下列各组数中互为相反数的是( A )
A. －( － 5 )与 －｜－ 5｜
B.｜－ 3｜与｜+3｜
C. － (－ 1)与｜－ 1｜
D.｜m｜与｜－ m｜
3.某车间生产了一批圆形机器零件，从中抽取6个进行检查， 比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数 记作负数，检查记录如下表：
学而思初一数学资料培优汇总
第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：①② 非负性③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。
二、【典型例题解析】：1、若的值等于多少？2．如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。
4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（A. B. C.0 D.5、已知，求的值是（）A.2B.9 D.66、有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。
8、三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？9、若为整数，且，试求的值。
三、课堂备用练习题。
1、计算：1++5+6-7-8+…+2005+20062、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、计算：4、已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。
5、若三个有理数满足，求的值。
第二讲数系扩张--有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义① 表示数对应的点到原点的距离。
② 表示数、对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：1、（1）若，化简（2）若，化简2、设，且，试化简3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？（1）（2）（3）（4）若则（5）若，则（6）若，则4、若，求的取值范围。
5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？6、设，求的最小值。
学而思初中数学课程规划
学而思初中数学课程规划初中数学的学习不同于小学小学是课内知识过于简单，课外的奥数较难，而且整个社会没有统一的教材，基本上都是各自研发，比如学而思的十二级体系。
而初中最终目标是中考，有明确的方向性，同时有统一规划的课本，知识体系非常完整。
因此整个初中的学习更适合在一个合理而科学的体系下学习，唯一不同就在于不同的孩子可以选择不同的进度和难度。
初中班型设置介绍初一年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初二年级：基础班，提高班，尖子班，竞赛班，联赛班初三年级：基础班，提高班，尖子班，目标班联赛班走联赛体系，一年半学完初中数学知识；竞赛班走竞赛体系，两年学完初中数学知识；基础班，提高班，尖子班走领先中考培优体系，两年半学完初中数学知识。
到初三不再设竞赛班和联赛班，统一回归到目标班，冲击中考。
下面就各个班型的定位和适合什么样的学生做一个对比说明：2015年学而思初中教学体系体系联赛体系竞赛体系领先中考培优体系班型定位数学超常发展冲击竞赛一等奖中考满分兼顾竞赛同步提高冲击中考满分学制设计一年半学完初中内容两年学完初中内容两年半学完初中内容课程容量每节课的课程容量与难度比竞赛班大1.2-1.5倍每节课的容量与难度比尖子班大1.5-1.8倍每节课的容量是校内课程的3-5倍难度比校内课程高1.5-2倍适合学生课内知识掌握非常扎实，发展方向为冲击初中数学联赛，希望在数学方面有独特发展，例如未来参加IMO或CMO比赛，高中数学联赛冲击一等奖。
课内知识学习轻松，在保证中考路径的同时兼顾拔高与竞赛。
未来目标为冲击中考满分，同时参加一些数学竞赛，激发兴趣，锻炼思维。
从课内知识上夯实基础、同步提高，同时拓宽视野，系统化学习，目标冲击中考满分入学体系10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择联赛体系---开始学习10次课学完初一----预备班选拔考试----联赛竞赛预备班----参加入学选拔考试----通过后选择竞赛体系---开始学习10次课学完初一----入学测试题----领先中考培优体系---开始学习班次安排联赛1班、联赛2班竞赛班基础班、提高班、尖子班，初三加开目标班学而思的初中数学有一套非常成熟的教学体系，既能满足我们的终极目标——中考，同时还能兼顾一些希望走竞赛路线的孩子。
学而思七年级数学下1-10讲
学而思七年级数学下1-10讲第一讲、整式第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除第四讲整式的除法第五讲平方差公式第六讲完全平方公式第七讲、整式的除法第八讲测试第九讲中考经典第十讲平行线与相交线余角与补角第一讲、整式知识要点：1、单项式的意义：数与字母的乘积的代数式叫做单项式。
（单独的一个数或字母也是单项式） 2b 与 2b的区别2、单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数3、单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。
4、几个单项式的和叫做多项式5、组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项6、多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。
7、整式的意义：单项式和多项式统称为整式。
（分母中含有字母的代数式不是整式）8、整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式9、整式加减的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项10、整体代入法：11、整式的运算对数的运算的指导性作用：例1、填空题：（1）单项式213x -的系数是，次数是；（2）单项式222a b c-的系数是，次数是；（3）单项式 22x y z π的系数是，次数是；例2、填空：（1）多项式23x +是次项式，最高次项是，常数项是。
（2）多项式43923101232x y x x y -++是次项式，最高次项的系数是，常数项是。
例3 、已知多项式4212331534a x y xy x y +--+（1）求多项式中各项的系数与次数。
（2）若多项式是8次三项式，求a 的值例4、（1）25ax -与24x a -的差是（2）与2421x x ++的差是24x2例5、若2,3xy x y =-+=，求代数式[](310)5(223xy y x xy y x++-+-的值。
例6、证明：对于任意一个三位数字，交换它的百位数和个位数又得到一个一个数，两个数相减，所得结果能被99整除。
例7、甲、乙两种服装的成本共600元，商店老板为获取利润，决定将甲种服装按60%的利润率定价，在实际出售时，两种服装均按八五折出售。
石家庄学而思新初一数学大纲
石家庄学而思新初一数学大纲
石家庄学而思新初一数学大纲
学而思新初一数学课程旨在帮助学生打好数学基础，培养其数学思维能力和解决问题的能力。
课程内容主要包括以下几个方面：
一、数的认识和运算
1. 数的读法和写法
2. 自然数、整数、有理数和实数的概念及其运算
3. 有理数的比较和排序
4. 计算有理数的加减乘除运算
5. 计算混合运算式的值
二、代数表达式与方程式
1. 代数表达式的概念与性质
2. 展开与合并代数式
3. 解一元一次方程和简单的一元一次不等式
4. 图表法和计算法解二元一次方程组
5. 类比法解简单的实际问题
三、图形与几何
1. 二维图形的认识和分类
2. 直线、射线和线段的概念
3. 角的概念和分类
4. 三角形的性质及分类
5. 等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质
6. 倍数关系和相似三角形
7. 平行四边形、矩形和正方形的性质
8. 四边形的性质及分类
9. 包络定理和容积定理的应用
四、数据与统计
1. 数据的搜集、整理和表示方法
2. 数据的统计和分析
3. 极差、平均数和中位数的计算
4. 折线图和柱状图的制作与分析
五、函数与应用
1. 函数的概念和性质
2. 函数的图像与增减性
3. 函数的应用：比例、利率、速度等
4. 解实际问题中的函数方程
以上为石家庄学而思新初一数学大纲的主要内容。
希望通过这门课程的学习，学生能够掌握数学基本概念和方法，培养数学思维和解决问题的能力，并为进一步学习高中数学打下坚实的基础。
第一节 有理数及相关概念(含答案)...七年级数学 学而思
第一节 有理数及相关概念1、有理数整数与分数统称有理数 2、有理数的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数负有理数是负数）零（既不是正数，也不正分数正整数正有理数有理数（按符号）负分数正分数分数负整数自然数零自然数正整数有理数（按定义）--------注：①小学学过的π不是有理数；②“四非”：即非负数，非负整数，非正数，非正整数（不要丢掉“0”）； ③“0”既不是正数也不是负数：④有理数的分类标准必须一致，一类是按照定义，一类是按照符号． 3.数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 注：①数轴的三要素：原点、正方向、单位长度：②有理数都能在数轴表示出来，但数轴上的点不都代表有理数，比如丌． 4．相反数只有符号不同的两个数互称为相反数，特别地，0的相反数是0． 注：① 若a 与b 互为相反数，则a+b=0，反之也成立；②在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等．5．绝对值(1)绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作 ｜a ｜ ； (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 注：① 任何一个数a 的绝对值都是非负数，即｜a ｜≥0；②去绝对值时，一定要注意绝对值里面的符号，若绝对值里面是非负数，去掉绝对值等于它本身；若绝对值里面是负数，去掉绝对值等于它的相反数，即去绝对值口诀为“非负为本身，负数为相反”．6．倒数与负倒数(1)倒数：若a 与b 的乘积是1，则称a 与b 互为倒数；反之，若a 与b 互为倒数，则a ．b=1： 注：①0没有倒数；②求带分数的倒数时要先将其变成假分数，然后再求倒数；③求小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数．(2)负倒数：若a 与b 的乘积是一1，则称a 与b 互为负倒数；反之，若a 与b 互为负倒数，则a ．b= -1．1．比较有理数大小的常用方法（1)数轴法 ：数轴上右边的数比左边的数大； (2)代数法：正数大干非正数，零大于一切负数；（简记为：负数<0<正数） (3)绝对值法：对于两个负数，绝对值大的反而小．(4)特殊值法 ：给题目中的字母一个特定的值，然后代入求值，进而比较大小． 2．数学思想方法(1)初步理解分类讨论的思想；分类讨论 ，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结果，最后综合各类结果得到整 个问题的解答．实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的 数学策略。
2024-2025学年开学第一课教学设计
1.学生已经掌握了：小学阶段的基本运算方法，对正负数的初步认识，以及简单的数轴概念。
2.学习兴趣：七年级学生对新鲜事物充满好奇，喜欢探索和解决问题，对数学的兴趣因个体差异而异。能力上，学生的逻辑思维和抽象思维能力正逐步发展，但个体差异较大。学习风格方面，部分学生偏重于视觉和操作学习，而另一部分则更倾向于听觉和理论理解。
在讲授新课环节，我注重引导学生通过数轴来直观地感受有理数的大小关系，以及相反数和绝对值的概念。这种教学策略有助于学生形成清晰的数学思维。然而，我也发现，在讲解有理数加减法法则时，部分学生对符号的处理仍然不够熟练，需要在今后的教学中加强练习和指导。
课堂巩固练习和讨论环节，我鼓励学生积极参与，充分调动了他们的主观能动性。通过互相评价和讨论，学生们对有理数的认识更加深入。但同时，我也发现部分学生在讨论中过于依赖同伴，缺乏独立思考的能力。针对这一问题，我将在后续教学中注重培养学生的独立思考能力。
学生回答问题时，教师及时给予反馈和指导。
5.创新教学环节（5分钟）
将学生分成小组，每组设计一个与有理数相关的实际问题，并给出解决方案。例如：计算银行存款和欠款的和、分析温度变化等。学生通过合作解决问题，提高数学应用能力。
6.总结与拓展（5分钟）
教师对本节课所学内容进行简要总结，强பைடு நூலகம்重点知识。同时，布置一道拓展题，让学生在课后思考如何将有理数知识应用于其他领域。
1.在讲解有理数加减法法则时，增加具体例题的讲解，让学生在实际操作中掌握符号的处理方法。
2.加强课堂提问，引导学生独立思考，培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.针对不同学生的学习需求，设计分层教学任务，使每个学生都能在课堂上得到充分锻炼。
课堂
1.课堂提问评价：
七年级秋季培训班初一数学课程介绍
七年级秋季培训班初一数学课程介绍
七年级秋季培训班初一数学课程介绍如下：
课程将重点介绍数轴、相反数与绝对值、有理数的加减乘除、科学计数法、整式和整式加减、从算式到方程、一元一次方程的解法、一元一次方程的实际应用等知识点。
数轴部分将重点讲解数轴的理解、画法、应用，以及利用数轴比较有理数大小问题，掌握数轴上点的移动问题。
在相反数与绝对值部分，将重点讲解相反数与绝对值的概念理解、表示方法，以及相反数的性质及综合应用，绝对值的性质，利用绝对值比较数的大小，利用绝对值的代数意义化简求值。
在有理数的加减乘除部分，将重点讲解有理数的加法运算律、乘法运算律。
科学计数法部分将重点讲解科学计数法的概念，以及把科学计数法形式的数转化为原数，近似数和有效数字的理解。
整式和整式加减部分将重点讲解单项式、多项式的概念，同类项的概念、合并同类项。
从算式到方程部分将重点讲解等式、方程的概念，等式的性质。
一元一次方程的解法部分将重点讲解合并同类项与移项，去括号去分母。
一元一次方程的实际应用部分将重点讲解营销问题、工程问题、行程问题等实际应用。
此外，课程还包括有理数部分知识点总结和复习，图形认识知识点总结等内容。
学而思初中数学班型
学而思初中数学班型（最新版）目录1.学而思初中数学班型介绍2.初中数学课程设置3.学而思初中数学教学特点4.学而思初中数学班型优势5.结语正文【学而思初中数学班型介绍】学而思作为一家知名的教育培训机构，致力于提供优质的教育服务。
在初中数学领域，学而思根据学生的不同需求，设置了多样化的班型，以满足学生个性化学习需求。
这些班型包括提高班、培优班、实验班等，为学生提供了丰富的学习选择。
【初中数学课程设置】学而思初中数学课程遵循国家课程标准，结合各地区实际教学需求，设置了系统的课程体系。
课程涵盖了初中数学的全部知识点，包括有理数、整式与分式、平面直角坐标系、一元一次方程、几何图形等。
课程设置注重理论与实践相结合，旨在提高学生的数学素养和解题能力。
【学而思初中数学教学特点】学而思初中数学教学具有以下特点：1.采用小班授课，确保每位学生都能得到充分的关注和指导；2.教学方式灵活多样，注重启发式教学，引导学生主动探究；3.结合生活实际和数学竞赛，培养学生的数学兴趣和竞赛水平；4.注重课后辅导，及时解答学生疑问，巩固课堂所学知识。
【学而思初中数学班型优势】学而思初中数学班型具有以下优势：1.针对性强，满足不同学生的学习需求；2.课程体系完善，保证学生全面掌握初中数学知识点；3.教学质量高，师资力量雄厚，保证学生学习效果；4.提供丰富的课外辅导资源，助力学生全面提高数学水平。
【结语】学而思初中数学班型凭借其多样化的班型设置、系统的课程体系、优质的教学质量和丰富的课外资源，为广大初中生提供了高效、个性化的数学学习体验。
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1初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到 1420 2.552-<-<<< ⑵A .⑶B .【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．P Q M 52.50-2123初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有个．【解析】 ⑴由数轴的基本定义可知为62-+，.⑵2013；2014针对例2⑵的铺垫：1、⑴在数轴上，表示1999-和1999的两个点之间有 个整数（含1999-和1999）． ⑵在数轴上，表示1999.1-和1999.9的两个点之间有 个整数． 【解析】 ⑴3999；⑵ 3999．针对例2⑵的拓展：1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长120132厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．2、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （M 为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （1m M m <<+，m为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．【解析】 1、2013；2014. 2、M ，1M +.3、m ，1m +.【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【解析】⑴①33x =，51x =.②2013405x =，2014404x =，20132014x x <.⑵假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得： 01234569910019.94x -+-+-+--+=L L ，030.06x =-．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小.4初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（）DCB A【解析】⑴根据a b ，在数轴上的位置可知，00a b <>，，且a 的绝对值比2b 的绝对值大，所以a b a a b b b a -<<+<-<<-.⑵ C ，根据题意，00a b <>，，且在数轴上a 的对应点与原点的距离较b 的对应点大.【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MN⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.dc b a【解析】⑴由数轴可知，3d a =+，代入24d a -=得324a a +-=，解得1a =-所以原点应在点B 处．⑵①C ．(3)(4)(7)2a a a a ++++++=-，4a =-，1b =-，0c =，3d =． ② A ．37a a ++=，4a a +=，∴0a >，2a =．⑶2-. 提示：2b a =+.【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、A5初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】 ⑴ 2；⑵3-； ⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是12a c ±.【例7】如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？98765431023【解析】201345031÷=L ，则与数字0重合． 针对例7的铺垫：4个单位长度，在圆的4等分点处 标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2012-将与圆周上的数字 重合．3210-5-4-3-2-1【解析】20124503÷=，则与数字0重合． 针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）DCBA76543210-12、如图，边长为1的等边三角形ABC 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在2013x =处时，三角形停止滚动. ①落在2013x =处的点是ABC △的哪个顶点？说明理由. ②在滚动过程中，点A 走过的路程是多少？…20131C B A6初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版3、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．O 北西南东-10【解析】1、C ．2、①顶点C ；②894π.3、在直的数轴上，线段41AO =，414101=⨯+，指针指向北；2009(14)2023--=，因为636420162⨯=，202320167-=，故2009在点O 的西边，202345053÷=+，指针指 向西．7初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版训练1.在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个． 【解析】 2.训练2. 若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式22()a b m cd ++-的值 【解析】 3.训练3. 数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？ 【解析】 200或201.训练4. 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006-将与圆周上的数字 重合．【解析】 200645012÷=L ，则与数字2重合．3210-58初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？ 【解析】⑴如图所示：小颖家小彬家超市小明家西东⑵小明距离小彬家8km⑶货车共行驶了3 1.59.5519km +++=. 数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009【解析】⑴点A 对应的数是694，点B 对应的数是714-，线段AB 的长度是35；⑵C.利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .【解析】a c b d +<+.利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【解析】C ．2(4)9b b --=，1b =-．9初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】⑴ 3-；⑵此时折线与数轴的交点表示的有理数是6-或14-.周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1【解析】1.数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。