初等几何研究作业参考答案
初等几何研究试题答案(5)
求证：
AO1┴O2 O3
I F
O3 H
A O2 M B G
C
O
E
D
证明：如上图所示
取 AC 中点 M，连结 MO2、CE、AE、HC ∵ BH=AB BC=CE
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongD 1
E
· O 2 B C
证明：
连接 CD EA=EC ∠2=∠EAC 又 CD=BD ∠B=∠DCB 又 ∠2=∠B (外角=内对角） △ACE∽△BCD ∠BCD=∠AEC 又∠BDC+∠CDA=180° ∠AEC+∠CDA=180° A、D、C、E 四点共圆 ∠1=∠2 （同弦所对的圆周角） ∠1=∠B
+ = + + +
∴SQ⊥PR 3、凸四边形 ABCD 的每条对角线皆平分它的面积， 求证:ABCD 是平行四边形。
★撼海一舟★作品,A用户名 fashengzhongB
F O E D C
证明：设 AC 和 BD 相交于点 O，作 AE⊥BD 于 E，CF⊥BD 于 F， 连接 AF，CE ∵对角线 BD 平分四边形 ABCD 的面积 ∴S△ABD＝S△CBD ∴AE=CF 又∵AE⊥BD，CF⊥BD ∴AE∥CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 ∴AO=CO 同理可得 BO=DO ∴四边形 ABCD 是平行四边形
12. 给定正方形 ABCD ， P,Q 分别为 AB,BC 上的点，满足 BP=BQ,自 B 作 BH⊥PC 于 H， 求证：∠DHC=90°。 证明：如图 BH 交 AD 于 F ∵BH⊥PC ∴∠PBH=∠BCP
初等几何研究 第十四章几何题的证明
证明：∵ DE∥AC E
CE∥AF
AC=AF
C
B
∴ ACEF 为菱形
F
∴∠FAE=∠EAC=∠FEA 在△ADF 中
D
A
第 5 题图
AF²=AD²+DF²－2AD·DFcos135° AF= 2 AD=1
DF 1 ( 6 2)
∴ cos DFA
3
∠DFA=30°
2
2
∴∠DAF=45°－∠FAC=45°－∠DAF=45°－30°=15°
初等几何研究习题解
《中学数学教材教法》，主编 赵振武 副主编 章士藻 第三分
册 《初等几何研究》习题解答
第十四章 几何题的证明
习题十四
1. 圆内三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，且 PC=QE=RA,
PB=QD=RF,求证：△PQR 是正三角形.
证明：如图圆中三弦 AB、CD、EF 两两相交于 P、Q、R，并且 PC=QE=RA，
B
D
C
第 16 题图
∴ BE BD ① AD AC
CF CD ② AC BC
①×②得 BE CF BD CD AD AC AC BC
AD·BD·CD=BE·CF·BC
即
AD3=BC·BE·CF
17. 已知 AM 是△ABC 中 BC 边上中线，任作一直线交 AB、AC、
AM 于 P、Q、N，求证： AB 、 AM 、 AC 成等差数列
tan∠CAD －tan∠B= 1 ( 5 1)﹥0 2
而
∠CAD、∠B∈（0°， 90°） ∴ ∠CAD﹥∠B
16. 在△ABC 中，已知∠A=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥
初等几何研究试题答案(李长明版)
初等几何研究试题答案（I）、线段与角的相等1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O0于F,求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩若DF二CE则 / DBA M CBA.证明:⑴连接AC AE AF、AD在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD由A C、B、E四点共圆得/仁/2由A D B、E四点共圆得/ 3二/4所以△ ACE^A AFD••• DF=CE(2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4v DF=CE• △ACE^A AFD••• AD=AE在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD,2求证:BD平分/ ABC.证明：延长AE,BC交于点F7 AED "BCA =90 ADE "BDC•CBD =/CAF又7 ACF BCA = 90 AC 二BC•ACF 三BCD . AF = BD1 1又、:AE BD . AE AF2 2又ABEE _ BE■ BE平分ABF即BD平分.ABC3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-求证：/ BAC 2 CAD h DAE.证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ©D•••/ DBC=90, • CD 是直径，则/CAD=90证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=.:丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3«••• A B 、D E 共圆同理A C D E 共圆• h BAC h CAD h DAE4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半径由题，可得AH L BC, BH丄AC••• BD// AH, AD// BH二四边形ADBH是□••• AH=BD又;AH等于外接圆的半径（R）• BD=R M CD=2R•••在Rt △ BCD中,CD=2BD即/ BCD=30• / BDC=60又；/ BAC K BDC BAC M BDC=605. 在厶ABC中, / C=90,BE是/B的平分线,CD是斜边上的高，过BE CD之交点0且平行于AB的直线分别交AC BC于F、G,求证AF=CE.证明:如图；/ 1 = 2 3, / 仁/2. 2二/ 3, • GB = GO,；2 5=2 4=2 6, • CO =CE,；FG// AB,「. AF/CF二B$CG二G0CG,又；△ FCO^COG/. CO7CF=G/CG=A/CF,• CO=AF；CO=CE,\ AF=CE.6. 在厶ABC中,先作角A B的平分线,再从点C作上二角的平分线值平行线，并连结它们的交点 D E,若DE// BA,求证：△ ABC等腰.证：如图所示设AG ED的交点为Fv AD是/ A的平分线•••/仁/2T DE// AB 仁/ 3v CE// AD :丄 3二/ 5, / 4二/ 2•/仁/2二/3=Z 4=2 5则厶FAD ffi^ FCE是等腰三角形•A F=DF,EF=CF•A C=DE同理可证BC=DE•A C=BC• △ ABC是等腰三角形7. 三条中线把△ ABC分成6个三角形，若这六个三角形的内切圆中有4个相等.求证：△ ABC是正三角形.AB D C证明：•/△ AOF △ AOE △ COD △ COE △ BOF △ BOD面积都相等--S A OFE=S A OEC即: 11111 1BF X 叶一FOX 叶BO X r= CEX 叶一OE< 叶一OC X r 2 2 2 2 2 21 12 (BF+FO+BO X r= - (CE+OE+OC X r••• BF+FO+BO二CCE+OE+OC••• CE+OE+OC-OG-OI二CE+OE+OC-OL-OJ• 2DH+2BH=2FK+2CK• 2BF=2CE又F、E分别为AB AC之中点••• AB=AC同理:AB=BC故厶ABC是正三角形.8. 平行四边形被对角线分成四个三角形中，若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.C证明:又•••△ AOBA BOC、△ CODA DOA四个三角形的面积相等1 1OD DC OC r OB BC OC r2 2CD OC OD 二BC OB OCOD OC DC - OE - OG = OB OC BC - Ol - OG二2DF +2CF =2BH +2CH二2DC =2BC=DC =BC•四边形为菱形9. 凸四边形被对角线分成4个三角形,皆有相等的内切圆，求证:该四边形是菱形证明:连结O i 、O 2,分别作O i 、O 2到AC 的垂线，垂足分别为P 、M•••在厶ABC 中 ,BO 是。
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
初等几何研究试题答案(3)李长明版
三、关于比例相似形⒈从 ABCD 的各顶向不过该顶的对角线引垂线，垂足为E 、F 、G 、H,求证： (ⅰ)EFGH 是 ; (ⅱ) EFGH ∽ ABCD.证明：（ⅰ） ∵AE ⊥BD DH ⊥AC∴A 、D 、E 、H 四点共圆（视角相等） ∴∠OEH=∠OAD 同理 ∠OGF=∠OCB又∵AD ∥BC ∴∠OAD=∠OCB ∴∠OEH=∠OGF ∴EH ∥GF 同理 EF ∥GHDACBEFGGH∴四边形EFGH 为平行四边形 （ⅱ）∵△OEH ∽△OAD∴.OD OHOA OE = ∴BD FHACEG =EFGH 与 ABCD 对角线夹角相等且对角线又成比例 ∴ EFGH ∽ ABCD 2.3.已知：AD 是△ABC 的中线，过C 的一直线分别交AD 、AB 与E 、F 。
求证：A E ·BF=2AF ·ED证明：延长CF 至点H ，使得CE=EH 连结BH ∵点D 是BC 上的中点 ∴DE 是△CBH 的中位线即D E ∥BH 且DE= 21BH∵DE ∥BH∴∠CED=∠CHB=∠AEF ∠AFE=∠BFH ∴△AFE ∽△BFH ∴BFAFBH AE =,且BH=2ED ∴AE ·BF=2AF ·ED4.直线l 与□ABCD 的边AB 、AD 和对角线AC 依次相交于E 、F 和G 。
求证：AGACAF AD AE AB =+证明：连结BF 、BE 、CF 和CE ， ∵SS SS AEFACF AEFABF AEAB==S S SS AEFACE AEFADE AFAD==∴AGACAG GC AG AFAD AE AB SS SSS SAEFCEFAEFAEFACEACF=+=+=+=+ABC DE F G5.AB 、CD 是等腰梯形ABCD 的二底，求证：DC AB AD AC ∙+=22证明：（如上图）作CD 的延长线到点H ，使得AH 垂直CH作点C 的延长线，使得CP 垂直ABABCP AD AC DH CH CP AD AC AB BP AP DH CH BP DH AP CH CPB AHD CBPDAC APH CB AD CPB AHD DH CH CP AD DH CH DH CH AD DH CH AD CH DH AD CH AH AC ⋅+=+⋅+==+=+==∆≅∆∴∠=∠=∠==∠=∠+⋅+=-++=-+=+-=+=222222222222222 )( 90)( ))(( )( )( 故有又6.AD 是Rt △ABC 斜边上的高,作DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC于F.求证：AD 3=BC ∙BE ∙CFHDCA B证明：∵AD2=BD∙DC,BD2=BE∙BA,CD2=CF∙CA,∴AD4=BE∙CF∙AB∙AC=BE∙CF∙BC∙AD约去AD,得AD3=BC∙BE∙CF7 .在△ABC中，∠A=60°，∠B=80°。
初等几何研究试题答案(4)
。
D B
C
L1
A
E'
E
证明：A.B.C 为 L1 上顺次取的三点，D、E 为 L2 上异于 L1 的两点 。 。 又∵∠AEC=90 , ∠ADB=90 ∴⊿ADB 的外接圆为以 AB 为直径所做的圆，记为⊙O1, ⊿AEC 的外接圆为以 AC 为直径所做的圆, 记为⊙O2. ∴作图可知⊙O1 是⊙O2 中，以 A 为切点的内切圆。 当 L2 向左移动时， 假设 L2 移动后交⊙O1、⊙O2 于点 D’,E’. 过⊙1 的圆心作线段垂直 AB 交⊙O1 于 F,交⊙O2 于 G. （1） 当 D 移至 F 时，AF﹤AD,AG﹤AE. ∵⊙O2 的半径大于⊙O2 的半径 ∴移动相同单位的距离，其所截线段 GF﹤DE ∴⊿ADE 的外接圆半径变小了。 （2） 当 L2 移过 AB 的中点时， 可知 AD﹥AD’,AE﹥AE’, 又∵D’O﹤OD, OE’ 6 证明：棱形 ABCD 两邻边 AB、BC 被其内切圆之任一切线所截的 线段 AM 和 CN 之积为定值。
A E M B F O N G C D
证明：连接 OM、ON（如图） 令∠AOE=∠1,∠EOM=∠2,∠MOF=∠2´,∠FON=∠3,∠NOG=∠3´,∠ GOC=∠1´ ∵A、C 关于点 O 对称 ∴∠1=∠1´ ∵AM、MN 都是⊙O 的切线 ∴∠2=∠2´ ∵NM、NC 都是⊙O 的切线 ∴∠3=∠3´ ∵∠1+∠2+∠2´+∠3+∠3´+∠1´=180° ∴∠1+∠2+∠3=∠1´+∠2´+∠3´=90° ∵∠NOM=∠2´+∠3=90°-∠1,且∠OAM=90°-∠1 ∴∠OAM=∠NOM ∵∠AMO=∠OMN ∠OAM=∠NOM
初等几何研究习题解集123
初等几何研究习题解集
习题一（12页）
2.利用外角定理证明：
2.证明：同一直线两条直线不可能相交。
证：设a l ⊥,b l ⊥,1290∠=∠=︒若a b C =，对ABC 而言，由外角定理可知12∠<∠，这与12∠=∠相矛盾。
,a b 不能相交。
证毕.
4.证明：圆外切四边形一双对边之和等于另一双对边之和叙述并证明逆定理。
证：设四边形ABCD 外切于o 切点为E,F,G,H
AB+CD=AE+EB+CG+GD
=AH+BF+FC+HD =(AH+HD)+(BF+FC)=AD+BC。
证毕.
逆定理：若四边形一双对边之和等于另一双对边之和，则此四边形必有内切圆; 证：设四边形ABCD 中:AB+CD=BC+AD 我们总可以作圆O 切四边形ABCD 的三边AB,AD,DC,于
E,H,G :
若o 与BC 边不相切,过C 作o 的切线CF(F 为切点).交AB 与N 在四边形ANCD 中,由原定理有,AN+CD= +AD 由已知AB+CD=BC+AD 两式相减AB-AN= BC- BN A,B,N 在同一直线上 ∴BN=BC-NC
这与ABN 中BN>BC-NC 相矛盾,因此N 与B 必重合. 即BC 切o 于F 证毕. 21
l B A C b a
B A
N
A
习题二（18页）
1.证明：两院相交点不能在连心线同一侧;
证:若o与I的交点AB在连心线的同一侧,由于两圆关于轴I对称,那么点A关于I对称点N也是I与o德交点,这样相交圆有三个交点,其交点不能在连心线的同一
侧. 证毕.。
初等几何研究第一章习题的答案（1）
初等⼏何研究第⼀章习题的答案（1）初等⼏何研究试题答案⼀、线段与⾓的相等 P4911. ⊙O 1、⊙O 2相交于A 、B,⊙O 1的弦BC 交⊙O 2于E,⊙O2的弦BD 交⊙O 1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2)若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC 、AE 、AF 、AD在⊙O 1中,由∠CBA=∠DBA 得AC=AF 在⊙O 2中,由∠CBA=∠DBA 得AE=AD 由A 、C 、B 、E 四点共圆得∠1=∠2 由A 、D 、B 、E 四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE ≌△AF ∴DF=CE(2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE ≌△AFD ∴AD=AE在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA2.在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的⼀点,AE ⊥BD 的延长线于E,⼜AE=12BD,求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点FAED BCA 90 ADE BDC CBD CAFACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11AE BD AE AF22ABEE BE BE ABF BD ABC∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴∴==∴=⊥∴∠∠⼜⼜⼜平分即平分3.已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE.证明:连接BD,得ΔCBD 是等腰三⾓形且底⾓是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α.∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α∴A 、B 、D 、E 共圆同理A 、C 、D 、E 共圆∴∠BAC=∠CAD=∠DAE4.设H 为锐⾓△ABC 的垂⼼,若AH 等于外接圆的半径.求证:∠BAC=60o 证明:过点B 作BD ⊥BC,交圆周于点D,连结CD 、AD ∵∠DBC=90o, ∴CD 是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH ⊥BC, BH ⊥AC ∴BD ∥AH, AD ∥BH ∴四边形ADBH 是□∴AH=BD ⼜∵AH 等于外接圆的半径(R) ∴BD=R,⽽CD=2R ∴在Rt △BCD 中,CD=2BD,即∠BCD=30o ∴∠BDC=60o ⼜∵∠BAC=∠BDC∴∠BAC=∠BDC=60o5. 在△ABC 中,∠C=90o ,BE 是∠B 的平分线,CD 是斜边上的⾼,过BE 、CD 之交点0且平⾏于AB 的直线分别交AC 、BC 于F 、G,求证AF=CE. 证明:如图∵∠1＝∠3,∠1=∠2. ∴∠2=∠3, ∴GB = GO, ∵∠5=∠4=∠6,∴CO =CE, ∵ FG ∥AB, ∴AF ／CF=BG ／CG=GO ／CG, ⼜∵△FCO ∽△COG,∴CO ／CF=GO ／CG=AF ／CF, ∴CO=AF, ∵CO=CE, ∴AF=CE.6. 在△ABC 中,先作⾓A 、B 的平分线,再从点C 作上⼆⾓的平分线值平⾏线,并连结它们的交点D 、E,若DE ∥BA,求证:△ABC 等腰.证明:如图所⽰设AC 、ED 的交点为F ∵AD 是∠A 的平分线∴∠1=∠2 ∵DE ∥AB ∴∠1=∠3 ∵CE ∥AD ∴∠3=∠5, ∠4=∠2 ∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5则△FAD 和△FCE 是等腰三⾓形∴AF=DF,EF=CF ∴AC=DE 同理可证 BC=DE ∴AC=BC ∴△ABC 是等腰三⾓形7. 三条中线把△ABC 分成6个三⾓形,若这六个三⾓形的内切圆中有4个相等. 求证:△ABC 是正三⾓形．证明:∵△AOF 、△AOE 、△COD 、△COE 、△BOF 、△BOD ⾯积都相等∴S △OFB =S △OEC 即:21BF ×r+21FO ×r+21BO ×r=21CE ×r+21OE ×r+21OC ×r 21 (BF+FO+BO)×r=21 (CE+OE+OC)×r ∴r rOF E AHIG LK JBF+FO+BO=CCE+OE+OC∴CE+OE+OC-OG-OI=CE+OE+OC-OL-OJ ∴2DH+2BH=2FK+2CK ∴2BF=2CE ⼜F 、E 分别为AB 、AC 之中点∴AB=AC 同理:AB=BC 故△ABC 是正三⾓形.8. 平⾏四边形被对⾓线分成四个三⾓形中,若有三个的内切圆相等证明:该四边形为菱形.证明:⼜∵△AO B 、△BOC 、△COD 、△DOA 四个三⾓形的⾯积相等()()1122OD DC OC r OB BC OC r ∴++?=++?CD OC OD BC OB OC∴++=++OD OC DC OE OG OB OC BC OI OG++--=++--2222DF CF BH CH ?+=+22DC BCDC BC== ∴四边形为菱形9. 凸四边形被对⾓线分成4个三⾓形,皆有相等的内切圆,求证:该四边形是菱形 . 证明:连结O 1 、O 2,分别作O 1 、O 2到AC 的垂线,垂⾜分别为P 、M∵在△ABC 中,BO 是☉O 1 、☉O 2的公切线∴BO ⊥O 1 O 2⼜∵☉O 1 、☉O 2半径相同,且都与AC 相切∴O 1 O 2‖AC ∴BO ⊥AC BD ⊥AC ∵两个相等的内切圆☉O 1 、☉O 3在对顶三⾓形△AOB 与△COD 中∴周长C △AOB =C △COD ∴AO+BO+AB=CO+DO+CD ⼜∵OP=OQ=OM=ON ∴（AO+BO+AB)-(OP+OQ)= (CO+DO+CD)-(OM+ON) ∴2AB=2CD ∴AB=CD 同理AD=BC∴四边形ABCD 是平⾏四边形⼜∵AC ⊥BD ∴四边形ABCD 是菱形10. 在锐⾓△ABC 中,BD,CE 是两⾼,并⾃B 作BF ⊥DE 于F,⾃C 作CG ⊥DE 于G ,证明:EF=DG .证明:设O,M 分别是BC,FG 的中点, 所以OM ∥BF,因为BF ⊥FG , 所以OM ⊥FG ,ABDCEFIHGO ABDCP NO 1O 2O O 3O 4 M Q MGFEDA⼜因为∠BEC=∠BDC=90所以BCDE四点在以BC为直径的圆上, 因为OM⊥DE, 所以OM平分ED, 所以FM-EM=MG-MD 即EF=DG.11. △ABC中,M是BC的中点,I是内⼼,BC与内切圆相切与K.求证:直线IM平分线段AK.证明:作出∠A的旁切圆O,设它与BC边和AB,BC的延长线分别切于D,E,F,连接AD交内接圆于L,则因内接圆和旁切圆以A为中点成位似,则:IL⊥BC,即K,I,L共线于是原题借中位线可如下转化MI平分AK, ∴M平分DK ∴BD=KC 后者利⽤圆I与圆O两条外公切线相等∴EG=FH ∴BD+BK=CD+CK 则反推过去,得到IM平分线段AK.12．在△ABC中,M是BC的中点,I是内⼼,A H⊥BC于H,AH交MI于E,求证:AE 与内切圆半径相等.证明:如图所⽰作△ABC的内切圆,∴切点分别交于BC于点K、AB于点F、AC于点G,连接KL与AC∴KL是直径, ⼜∵M为BC的中点,I为内⼼,则A L∥ＭＩ⼜∵A H⊥BC ∴A H∥LK ⼜∵点E点I分别都在AH、LK上∴A E∥LI ∴四边形AEIL为平⾏四边形∴A E＝LI 命题得证.13. 在矩形ABCD中,M是AD的中点,N是BC的中点,在CD的延长线取P 点,记Q为PM与AC的交点,求证:∠QNM＝∠MNP 证明:利⽤矩形的中⼼设O是矩形ABCD的中⼼,则O也是MN的中点, 延长QN交OC的延长线于R,如图,则O ⼜是PR的中点,故NC平分∠PNR.,⽽NM⊥NG. ∴NM平分∠PNQ14. 给定以O为顶点的⾓,以及与此⾓两边相切于A、B的圆周,过A作OB的平⾏线交圆于C,连结OC交圆于E,直线AE交OB于K,求证:OK=KB.证明:如图所⽰,过C作圆的切线交OB延长线于D.∵OD,OA,CD都是圆的切线,且A C∥CD∴四边形ACDO是等腰梯形,∠DOA=∠D∵∠BOC=∠ACO,∠ACO=∠OAKIOMLKHGFEDCBAELKM HGFIB CA∴∠BOC=∠OAK ∵∠DOA=∠D ∴△AOK ～△ODC ∵21=OD CD ∴21=AO KO∵OA=OB ∴OB=OA=2KO,即OK=KB15. 在等腰直⾓?ABC 的两直⾓边CA,CB 上取点D 、E 使CD=CE,从C 、D 引AE 得垂线,并延长它们分别交AB 于K 、L,求证:KL=KB. 证明:延长AC ⾄E'使CE'=CE,再连BE'交AE 的延长线于H. ∵?ABC 是等腰直⾓三⾓形∴AC=BC ,∠ACB=∠BCE'=90° ⼜∵CE=CE' ∴?BCE'≌?ACE ∴∠CAE=∠CBE'∵∠AEC=∠BEH ∴?BHE ∽?ACE ∴∠BHE=∠ACB=90° ∵DL ∥CK ∥E'B 及DC=CE' ∴KL=LB.16. 点M 在四边形ABCD 内,使得ABMD 为平⾏四边形,试证:若∠CBM= ∠CDM,则∠ACD=∠BCM.证明:作AN ∥BC 且AN=BC,连接DN 、NC∵ABMD 为平⾏四边形,AN ∥BC 且AN=BC∴ABCN 、DMCN 为平⾏四边形,AD=BM ∴DN=CM 、AN=BC ∴△ADN ≌△BMC ∴∠1=∠3,∠2=∠4,∠6=∠7∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴A 、C 、N 、D 共圆（视⾓相等）∴∠5=∠7（同弧AD ）∴∠5=∠6即∠ACD=∠BCM17. 已知∠ABC=∠ACD=60°,且∠ADB=90°-21∠BDC,求证:△ABC 是等腰的证明:延长CD 使得BD ＝DE,并连结AE ∵∠ADB ＝90°－21∠BDC ∴2∠ADB ＋∠BDC ＝180° ⼜∠BDC ＋∠ADB ＋∠ADE ＝180° ∴∠ADB ＝∠ADE ⼜∵BD ＝DE,AD ＝AD ∴△ADB ≌△ADE ∴∠ABD ＝∠AED ＝60°,AB ＝AE ⼜∵∠ACD ＝60°∴△ACE 为正三⾓形∴AC ＝AE ∴AB ＝AC ∴△ABC 为等腰三⾓形18.⊙O1、⊙O2半径皆为r,⊙O1平⾏四边形`过的⼆顶A、B,⊙O2过顶点B、C,M是⊙O1、⊙O2的另⼀交点,求证△AMD 的外接圆半径也是r.证明:设O为MB的终点连接CO并延长⊙O1于E 则由对称知O为CE的中点∵O平分MB O平分CE∴MEBC是平⾏四边形∴ME∥BC∥AD∴MEAD亦是平⾏四边形∴△MAE≌△AMD∴△AMD的外接圆半径也为r19. 在凸五边形ABCDE中,有∠ABC=∠ADE,∠AEC=∠ADB,求证:∠BAC=∠DAE.证明:连接BD,CE,设它们相交于F,如图,∵∠AEC=∠ADB. ∴A,E,D,F四点共圆.∴∠DAE=∠DFE. ⼜∠ABC=∠ADE=∠AFE.∴A,B,C,F四点共圆∴∠BAC=∠BFC.⼜∠DFE=∠BFC. ∴∠BAC=∠DAE.20.在锐⾓△ABC中,过各顶点作其外接圆的切线,A、C处的两切线分别交B处的切线于M、N,设BD是△ABC的⾼（D为垂⾜）,求证:BD平分∠MDN.证明:如上图,m、n分别表⽰过M、N的切线长,再⾃M作MM’⊥AC于M’, 作NN’⊥AC于N’,则有∵∠N＝∠B＝∠NCN’∴△MAM’∽△NCN’∴AM’/’CN’=AM/CN=m/n⼜∵MM’∥BD∥NN’∴M’D/DN’=MB/BN=m/n由等⽐性质知m/n=(M’D－AM’)/(DN’-CN’)=AD/DC∴△ADM∽△CDN ∴DM/DN=m/n即DM/m=DN/n∴BD平分∠MDN21.已知:AD、BE、CF是△ABC的三条⾼.求证:DA、EB、FC是△DEF的三条⾓平分线.证明:连结DF、FE、DE ∵C F⊥AB AD⊥BC ∴B、D、H、F共圆∴∠1＝∠3 ∵AD⊥BC BE⊥AC ∴B、D、E、A共圆∴∠2=∠3 ∴∠2=∠1 ∴AD平分∠EDF 同理,CF平分∠2 1OEMDB O OCADCB EAFEFD BE 平分∠FED即证:DA 、EB 、FC 是△DEF 的三条⾓平分线22.已知AD 是△ABC 的⾼,P 是AD 上任意⼀点,连结BP-CP,延长交AC 、AB 于E 、F,证DA 平分∠EDF. 证明:过E 、F 两点分别作EH 、FG ,使EH ⊥BC,FG ⊥BC,且交CF 、BE 于I 、J∵EH ⊥BC,AD ⊥BC,FG ⊥BC ∴EH ∥AD ∥FG ∴EI EH =AP AD =FJ FG ∴FJ EI FG EH = ⼜∵GDHDPJ EP = ∴△EIP ∽△JFP ∴PJEPFJ EI =∴△EHD ∽FGD∴∠DFJ =∠DEI ∴∠FDB=∠EDC 即∠ADF=∠AD 即DA 平分∠EDF23.圆内三条弦PP 1、QQ 1、RR 1、两两相交,PP 1与QQ 1交于B,QQ 1与RR 1交于C,RR 1与PP 1交于A,已知:AP=BQ=CR,AR 1=BP 1=CQ 1,求证:ABC 是正三⾓形.解:设AP=BQ=CR=m,AR 1=BP 1=CQ 1, 则由相交弦定理得｛m(c+n)=n(b+m) m(a+n)=n(c+m) m(b+n)=n(a+m) 即ma=ncmb=na mc=n 三式相加得m=n 所以a=b=c 即△ABC 是正三⾓形24.H 为?ABC 的垂⼼,D 、E 、F 分别为BC 、CA 、 AB 的中点,⼀个以H 为⼼的圆交DE 于P 、Q, 交EF 于R 、S,交FD 于T 、V . 求证:CP=CQ=AR=AS=BT=BU 证明:连结AS 、AR 、RH由相交弦定理知:AH ·HA`=BH ·HB`=CH ·HC`AS 2=AR 2=AK 2+KR 2设O H 的半径为r, 在?KR 中,KR 2=r 2-HK 2∴AS 2=r 2+（AK+KH ）·（AK-HK ）=r 2+AH ·(AK-HK) 在?ABC 中,F 、E 为AB 、AC 的中点,且AA ⊥`BC∴AK=KA` ∴AS 2=AR 2=r 2+AH ·HA` 同BC HDEFR S T QK C`A `B `理:BT 2=BU 2=r 2+BH ·HB` CP 2=CQ 2=r 2+CH ·HC`25、在锐⾓三⾓形ABC 中,AD 、BE 、CF 是各边上的⾼,P 、Q 分别在线段DF 、EF 上,且∠PAQ 与∠DAC 同向相等.求证:AP 平分∠FPQ证明:作出△APQ 的外接圆,延长PF 交圆于R,分别连结 RA 、RQ 由图可知,AQPR 内接于圆∴∠PRQ=∠PAQ=∠DAC=21∠DFE 由外⾓定理得,∠PRQ+∠FQR=∠DFE ∴FC ∥RQ ∴AF ⊥RQ FR=FQ ∴AF 垂直平分RQ∴∠ARQ=∠AQR ⼜AQPR 内接于圆∴∠APQ=∠ARQ∠APR=∠AQR ∴∠APQ=∠APR ∴AP 平分∠FPQ00090)2()1(,45,30,15.26=∠==∠=∠=∠=∠=∠=∠??BAC ABAC CQP BRP CPQ BPR ARQ AQR PQR C B A PQR 求证：之外，且在、、是任意三⾓形，RF D E A B C P Q27．已知:凹四边形ABCD 中,?=∠=∠=∠45D B A .求证:AC=BD. 证明: 如图,延长DC 交AB 于点E,延长BC 交AD 于点F.∵?=∠=∠45D A ,DE AE =∴且?=∠90AED ⼜?=∠45B ?=∠∴45ECBDBAC DEB S AEC S EBEC =∴∴=∴。
初等几何研究第一章习题的答案(6)
六、关于共线点与共点线1、 证明四边形两双对边中点连线的交点与两对角线之中点共线 证明：连接EF.FG.GH.HE.HJ.OJ.OI(如图) ∵E.H 分别是AB.AD 的中点，F,G 分别是BC.CD 的中点 ∴EH =12BD FG=12BD ∵EH ∥FG∴四边形EFGH 是平行四边形 ∴ OH=OF∵H.J 分别是AD.AC 的中点，F.I 分别是BG.BD 的中点∴HJ=12CD IF=12CD ∴HJ ∥IF ∴∠JHO=∠FIO∵∠JHO=∠FIO , HJ=FI,HO=FO ∴△JHO ≅△IFO ∴∠HOJ=∠FOI ∴I.O.J 三点共线∴四边形两双对边中点连线的交点，与两对角线之中点共线2. 已知：E ，F 分别在正方形ABCD 的两边BC,CD 上，是∠EAF=45°，但AC 不是∠EAF 的角 平分线，自E,F 作AC 的垂线，垂足分别是P,Q 求证：△BPQ 的外心与B ，C 共线 证明:∵FQ ⊥AC ∴∠ABE=∠AQF 又∵∠EAF=45°∴∠BAE=∠QAF ∴△ABE ∽△AQF 可得 AQ AB AFAE同理可得，△AEP ∽△AFD 即ADAP=AFAE∴AQ AB =AB AP利用切割线定理之逆定理，因△BPQ 的外心在BC 上， 等价于AB,APQ 是切，割线 ∴△BPQ 的外心在BC3.在Rt △AB 为斜边，CH 为斜边上 的高，以AC 为半径作☉A ，过B 作☉A 的任一割线交☉A 于D 、E ，交 CH 于F(D 在B 、F 之间),又作∠ABG=∠ABD ，G 在☉A 上，G 与D 在AB 异侧。
求证：（1）A 、H 、D 共圆。
（2）E 、H 、G 共线。
（3）FD 、FE 、BD 、BE 四线段成比例 证明：如图所示：连结AE 、AD (1)∵BC 2=BH ·BA(摄影定理）BC 2=BD ·BE(割线定理) ∴BD ·BE=BH ·BA ∴A 、H 、D 、E 四点共圆(2)∵∠ABD=∠ABG ∴∠GBH=∠DBH(对称性） 又∵A 、H 、D 、E 四点共圆∴∠FEA=∠DHB(对角等于内对角）∠AHE=∠EDA （同弧所对的角） 又∵AE=AD ∴∠AEF=∠ADF∴∠AEF=∠DHB=∠GHB=∠ADE=∠AHE ∴∠GHB=∠AHE （对顶角） ∴E 、H 、G 三点共线(3)∵∠ABD=∠ABG ∴由对称知:HB 平分∠DHG(∠GHB=∠DHB) 又∵ CH 垂直AB E 、H 、G 三点共线 ∴HC 平分∠DHE ∴HC 、HB 是∠DHE 的内外角平分线∴FE DF =HE HD =BE BD4..设P 是正方形ABCD 内的一点，使PA:PB:PC=1:2:3,将BP 绕B 点朝 着BC 旋转90BP 至Q. 求证：A 、P 、 Q 共线.证明：连接 CQ ,∵PA:PB:PC= 1:2:3 设AP=1 则 BP=2 CP=3∵BP 绕B 点朝着BC 旋转90° ∴∠PBQ=90°BP=BQ=2 ①∠BPQ=∠BQP=45° ∴PQ =√BP 2+BQ 2=2√2ADC FBE PQ又∵四边形ABCD 是正方形 ∴AB=BC ② ∴∠ABC=∠PBQ= 90°即∠ABP+∠PBC=∠CBQ +∠PBC=90° ∴∠ABP=∠CBQ ③ ∴△ABP ≌△CBQ(由①②③可得到) ∴PA=QC=1又∵PQ 2+QC 2=(2√2)2+12=32=PC 2 ∴∠PQC=90°, ∠BQC=∠PQC+∠BQP=90+45°=135°又∵∠APB=180°-45°=135° ∴∠BQC=∠APB=135° 即A 、P 、Q 共线（∠APB 、∠BQP 是邻补角）5. 在∆ABC 中，D,E,F 分别在AB.BC.CA 上，使得DE=BE,EF=CE.求证：∆ADF 的外心O 在∠DEF 的角平分线上。
初等几何研究综合测试题(三)
初等几何研究综合测试题(三)《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图__________。
第3题图A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD 相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在V ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。
初等数学研究课后答案
初等数学研究课后答案引言：初等数学作为学习数学的基础课程，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力有着重要的作用。
为了让学生更好地掌握所学知识，教师在教学过程中往往会布置一些课后作业，以便学生巩固和练习所学内容。
然而，学生在完成课后作业时可能会遇到一些疑惑和困惑，尤其是对于一些复杂的问题。
因此，提供一份初等数学研究课后答案对于学生来说是很有必要的。
本文将为学生提供一份初等数学研究课后答案，帮助学生更好地理解和掌握相关知识。
一、代数学1. 解方程：题目：求解方程2x + 5 = 17.答案：首先，将方程转化为x的形式，得到2x = 17 - 5，即2x = 12. 然后，将方程两边同时除以2，得到x = 6.2. 因式分解：题目：将多项式x² - 5x + 6因式分解.答案：首先对多项式进行因式分解，得到(x - 2)(x - 3).3. 求解不等式：题目：求解不等式2x - 3 < 5.答案：将不等式转化为x的形式，得到2x < 8. 然后将不等式两边同时除以2，得到x < 4.二、几何学1. 直角三角形的性质：题目：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度.答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度为√(3² + 4²)，即√(9 + 16)，即√25，所以斜边的长度为5.2. 圆的面积计算：题目：已知一个圆的半径为5，求其面积.答案：根据圆的面积公式S = πr²，将半径r替换为5，得到面积S = π(5)²，即S = 25π.三、概率论1. 事件的概率计算：题目：一个箱子中有4个红球和6个蓝球，从箱子中随机取出一个球，求取到红球的概率.答案：共有10个球，其中4个是红球，所以取到红球的概率为4/10，即2/5.2. 排列组合问题：题目：从10个人中选出3个人组成一支篮球队，求有多少种不同的选法.答案：根据排列组合的公式C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)，将n替换为10，k替换为3，得到C(10, 3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 120.四、数列与级数1. 等差数列的通项计算：题目：已知等差数列的首项为2，公差为3，求第n项的表达式.答案：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，其中a1为首项，d为公差。
初等几何研究综合测试题(十四)
《初等几何研究》综合测试题（十四）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.等腰三角形的两条边的长为___________。
A.B. ；C.D.或 2.等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分之差为3cm ，则腰长为__________。
A.2cm ；B.8cm ；C.2cm 或8cm ；D.以上结论都不对。
3.下列四组图形中，是相似形的一组是_________。
A.各有一个角是30°的两个等腰三角形；B.底角为40°的两个等腰三角形；C.各有一个角是120°的两个等腰三角形；D.邻边之比都等于2的两个平行四边形。
4.三条线段长度分别是3，4，6，则以此三条线段为边___________。
A.能构成锐角三角形；B.能构成钝角三角形；C.能构成直角三角形；D.不能构成三角形。
5.扇形的面积为S ，弧长为l ，则扇形中心角的度数为________。
A.2180()l S π ；B. 2180()S l π ；C. 290()l Sπ；D. 290()S l π 。
6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7下列图形中，轴对称图形有__________。
①角 ② 三角形 ③ 圆 ④线段 ⑤正方形 ⑥扇形 ⑦平行四边形 ⑧等腰梯形 A.3个；B.4个；C.5个；D.6个。
8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。
初等几何研究试题答案(2)李长明版
初等几何研究试题答案（II ）二、关于和、差、倍、分线段（角）1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明：BD+AD=BC 。
D 'BCA4321证：在BC 上取点D ,,使BD ,=BD,连结DD ,0100A ∠=且BD 平分∠ABC00120,40C ∴∠=∠=又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠0240∴∠=即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴=又03180A ∠+∠=∴点A 、D 、D ，、B 四点共圆且14∠=∠∴DD,=ADBC=BD,+CD ,=BD+AD已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得FO=2EO.连结BO 、DO 。
由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED,∵∠FBO+∠BOF=90º ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90º ∴∠BOD=90º △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45º ∴∠DBP+∠QBO=45º ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45º ∵△DQC 为等腰直角三角形∴有∠DQC=45º 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQCP QAB CF EO P D3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ´、B ´、C ´和D ´. 求证：A ´B ´+C ´D ´=B ´C ´+D ´A ´证明：（方法一）∵X 、A ´、A 、D ´四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ´D ´=∠XAD ´又∵∠XAD ´=∠XBC(圆周角）同理∠XA ´B ´=∠XBC,即∠XA ´D ´=∠XA ´B ´ 同理可得∠XB ´A ´=∠XB ´C ´,∠XC ´B ´=∠XC ´D ´, ∠XD ´C ´=∠XD ´A ´∴X 是四边形A ´B ´C ´D ´的内心。
初等几何研究作业参考答案
《初等几何研究》作业参考答案一．填空题1．①射线（或半直线），②。
2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。
3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。
4．①平移，②旋转，③轴对称. 5．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。
7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性. 8．外角. 9．答案不惟一.10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一； 11．1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心和半径可作一圆(或其部分). 13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14．连续. 15．答案不惟一. 16．①不过，②圆.17．1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）.18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论. 19．①相容，②独立，③完备.20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线. 22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向量. 23．相等。
24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出． 二．问答题1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；2．①若AB ≡B A ''，则d(AB)=d(B A '')；②当C BA ˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).3．命题“三角形的内角和不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等. 5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生. 7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
初等几何研究综合测试题(一)
《初等几何研究》综合测试题（一）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、 选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.在 ABC 中，AB=AC ，高BF 、CE 交于高AD 上一点O ，图中全等三角形的对数是_____。
A.4；B.5；C.6；D.7.2.已知：如图， ABC 中，∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D, 若AB=2，BC=3，则DC 的长度是________。
A.83； B.23； C.43； D.53。
3.下面4个图形中，不是轴对称图形的是_________。
A.有两个内角相等的三角形；B.有一个内角是45°的直角三角形；C.有一个内角是30°的直角三角形；D.有一个内角是30°，一个内角是120°的三角形。
4.下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是_________。
A.一组对边平行，另一组对边相等；B.两组对边分别平行；C.对角线互相平分；D.一组对边平行且相等。
5.若一个四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个四边形是_________。
A.直角梯形；B.等腰梯形；C.平行四边形；D.矩形。
6.下列语句正确的是________。
A.圆可以看作是到圆心的距离等于半径的点的集合。
B.圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合。
C.圆的一部分叫做弧。
D.能够互相重合的弧叫做等弧。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；D.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
二、 判断题：（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.如图1，直线a ，b ，c 在同一平面内，a//b ，a 与c 相交于P ，则b 与c 也一定相交。
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《初等几何研究》作业参考答案一.填空题1.①射线(或半直线),②。
2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。
3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。
4.①平移,②旋转,③轴对称、5.1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。
7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11.1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。
14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、17.1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX (或－1)、18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。
24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型;2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A '');②当C BA ˆ时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、3.命题“三角形的内角与不大于两个直角” 与欧氏平行公理不等价。
4.结合,介于,合同;结合——即有公共点,介于——即在…之间,合同——相等或完全相等、5.长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等、6.由第五公设引出了该公理独立性的问题,对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生、7.通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。
8.线段“合同”的概念就是由公理引出来的,线段“长度”的概念就是以定义的形式引出来的。
9.不可以。
问题出在第二步“设⊿ABC 的内角与为x ” 。
设任何三角形的内角与都相等就是不对的。
10.刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性;11.一共有5条、这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关、 12.介于关系,合同关系、 三.轨迹问题1.已知:BC 就是定线段,l 就是过B 点的定直线,A 就是l 上的动点,O 就是⊿ABC 的外心,MN 就是BC 的中垂线,求证:O 的轨迹就是MN 、 完备性:O 就是⊿ABC 的外心,则OA=OB=OC 、又∵MN 就是BC 的中垂线,∴O 点必在MN 上、②纯粹性:在MN 上任取一点O,作OP ⊥l,在l 上取点A,使PA=PB, 则OP 就是AB 的中垂线、OP 与MN 的交点O 即MN 上的任意点都符合条件、③结论:由①②可知,⊿ABC 的外心O 的轨迹就是BC 的中垂线MN 、④讨论:若A 与B 重合, 则⊿ABC 不存在,外心也就不存在、 过B 作l 的垂线交MN 于Q, 虽然Q 点不符合条件,但Q 点周围的任意点都符合条件, 即MN 上除Q 点外都符合条件、2.①探求:设点M 满足条件,即MA:MB=m, 则M 关于AB 的对称点M’也满足条件;∵轨迹就是一个圆,∴圆心一定在直线AB 上、 又∵AB 上还有两点C,D 满足条件, 即CA:CB=DA:DB=m,∴轨迹应就是以CD 为直径的圆、②完备性:即由MA:MB=m 证明M 在CD 为直径的圆上、∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的内角与外角平分线, ∴MC ⊥MD 、CABC DM③纯粹性:即对CD 为直径的圆上任一点M 证明MA:MB=m 、作MB 关于MC 的对称线,交AB 于A’、 ∵MC ⊥MD, ∴MC, MD 就是∠A’MB 的内、外角平分线, 因此CBDB CDCB DB A C A D DB A D CB A C -=-'-'='=', 由CA:CB=DA:DB=m 可知CBDB CDCB DB CA DA DB DA CB CA -=--==,即CA’=CA、 又A’与A 在C 同侧,∴A’与A 就是同一点,因此得MA:MB=m 、 ④下结论:满足命题条件的点的轨迹, 就是以CD 为直径的圆周、⑤讨论: m=1,轨迹就是AB 的中垂线;m<1, 圆在左侧; m>1, 圆在右侧、 3.探求:A 点轨迹就是以BC 为弦的弓形弧,∵∠1=∠2=α/2就是定值, ∴D 的轨迹也就是以BC为弦的弓形弧、 但要注意到A 的变化范围: 当A →B 时,BA 的极限位置就是B 处的切线BT, 这时D →T, AB →0, 则BT=B(A)C, ∴∠4=∠BCT=∠3,又∠4=∠1,∴∠3=∠1= α/2 、因此:D 的轨迹就是以BC 为弦,视角为α/2的弓形弧的一半CDT 弧, 或者说就是以CT 为弦,视角为α的弓形弧、 四、 作图问题1.作法:作A 关于 l 的对称点A’, 连接A’B 与 l 交于P,则P 点就就是所求位置。
作右图证明:∵A 与A’对称, ∴AP=A ’P,即AP+PB=A ’B 、αBCA D 1 2 T 3 4在l 上任取一点Q,连接AQ,BQ, 通过比较可得:AQ+QB=A ’Q+QB > A ’B=AP+PB 、 2.作法:作PO 的中点M,以M 为圆心(1/2)R 为半径 作圆,交⊙O 于连结PA 并延长交⊙O 于B, 则PB 为所求割线、时,此题无解;当PO=3R 时,有一解,即割线过圆心; )3.作法:作AA’垂直于x, 且使AA’=xy 的距离, 连接A’B ,与y 交于P’, 过P’作y 的垂线,交x 于P, 连结AP,则折线APP’B 为最短路线、证明: 若任意作XY 垂直于x, 如图所示,连接AX,BY,则AX=A ’Y, ∵AP+P’B=A’B≤A ’Y+YB= AX+YB, ∴折线APP’B≤折线AXYB 、 4.作法:在AB 边上任取一点G’,作正方形D’E’F’G’、 连接BF’交AC 于F, 过F 作BC 的垂线与平行线, 分别交BC 与AC 于E 、G, 过G 作BC 垂线交于D 、 则四边形DEFG 即为所求. 5.作法:作AB 的中垂线与l 交于S, 作⊙O’与连结AS 交⊙O’于A’, 作AO ∥A’O’交中垂线于O,作⊙O(AO)即得、 五.证明题AByx A ’P ’P X Y E’ABC G G EF’DFD A1.反身性:已知线段AB, 存在线段B A ''使B A AB ''≡(Ⅲ1), 把B A AB ''≡使用两次作为条件, 由Ⅲ2即得.AB AB ≡对称性:∵B A B A ''≡'',且B A AB ''≡, ∴由Ⅲ2即得AB B A ≡''、 2.将⊿ABF 沿AB 对折,得对称⊿ABG 、 ∵BF ∥AC,∴∠ABG=135o 、即O 、B 、G 三点共线、 又∵ AG=AF=AC, ∴AO:AG=AO:AC=1 : 2, 即∠AGO=30o , 从而得∠FAB=∠BAG=60o －45o =15o =(1/2) ∠CAF 、 3、 证明:由Ⅰ3-2 知,直线AC 外有一点D, 由Ⅱ2知,直线AD 上有一点E 使E DA ˆ, 同理,直线CE 上有一点F 使F EC ˆ, 由Ⅱ3知,～E F C ˆ, 对于⊿ACE 与直线DF,由Ⅱ4, 直线DF 与AE 相交,但不与CE 相交,故必与AC 相交(于B)、4.连接FI 、GJ, 作旋转变换如下:CBA FIA o A ∆−−→−∆)90,(, GBJ CBA o B ∆−−→−∆)90,(,在两次旋转变换下,AF 与GJ 就是对应边, 因此:AF ∥GJ,且AF=GJ,即得到平行四边形AGJF, 得证、5.由公理Ⅰ3,直线上至少有两个点,设为A 、B; 由公理Ⅱ2,直线上存在点C,使B 在A 、C 之间. 再由公理Ⅱ2,直线上存在点D,使C 在A 、D 之间, 则D 不同于B 点,否则与Ⅱ3矛盾; 同理,由公理Ⅱ2,直线上存在点E,使A 在E 、C 之间,则E 不同于B 点,且E 不同于D 点, 否则均与Ⅱ3矛盾,得证.GABC D FOB ACDE HIJ ABCFGEE F6、 将原式化为c bab a =+, 延长BC 到D, 使得CD=b,令∠C=θ,作CE, 使∠ACE=θ, 则∠CAE=∠CEA=3θ, CE=AC=b=CD=BE,∴∠CDE=∠CED=θ,即AC ∥ED, 因此BD:BC=BE:BA,得证、 7.用同一法证明:在正方形内取一点P’与CD 构成正三角形、 连接AP’、BP’,则 ⊿ACP’与⊿BDP’ 为等腰三角形、∵∠1=∠2=30o ,∴∠3=∠4=75o ,即∠ABP’=∠BAP’,即P’点就就是P 点,得证、 8.作E 关于OM 的对称点E’,要证PM=MQ 只要证明⊿P ME’≌⊿QME,即可、∵ME=ME’, ∠1=∠2=∠3=∠1’, ∴只证∠5=∠5’即可、 ∵CFEE’四点共圆, ∴∠4=∠3=∠1, 从而得CE’MP 四点共圆, 因此有∠5=∠6、 ∵∠6与∠5’对同一条弧, ∴ ∠5=∠6 =∠5’、A BMF E’’EC DOQ P5 5’ 236 4 1 1’ A。