中考数学证明角相等
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2.已知，如图，在 △ABC中，AC 2=AD · AB。 求证：∠ACD=∠ABC。
3.如图，在 △ABC中，∠B=90，点G、E在BC 边上，且AB=BG=GE=GC。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
4.PA、PB分别为相交两圆⊙ O1和⊙ O2的切线， 且PA=PB。PD、PF分别交⊙ O1和⊙ O2于C、D、 E、F.求证：∠CDE=∠EFC
∠ABD=∠ABC
例6：如图，已知BC是直径，
，AD⊥BC，
求证：（1）∠EAF=∠AFE。
（2）BE=AE=EF
提示：
要充分利用条件：BC是直径，
，证明∠ABE=∠BAE； 再证∠EAF=∠FAE。
例7:已知，两圆内切于M，大圆的弦AB交小圆于 C、D两点。求证：∠AMC=∠BMD
思考：
1.在△ABC中，EF⊥ AB，CD⊥ AB，G在AC边上 并且 ∠GDC=∠EFB，求证: ∠AGD=∠ACB
得 = 从而∠AMD=∠ABC.
例5：已知 ⊙ O1 与 ⊙ O2相交于A、B两点，⊙ O1的弦BC 交⊙ O2于E，⊙ O2的弦BD交⊙ O1于F，且FD=EC。 求证：∠ABD=∠ABC
证明：连结AD、AC、AF、AE ∠AFD、∠AEC分别是圆内接 四边形AFBC、ADBE的外角 ∠AFD=∠ACE， ∠AEC=∠ADF DF=EC
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的棕云，突然从圆润光滑的下巴中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，纯白色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的亮欢仙境味在和谐的空气中摇晃！最后耍起刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指一嗥 ，轻飘地从里面流出一道怪影，她抓住怪影悠闲地一甩，一件怪兮兮、红晶晶的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件神器儿，一边蜕变，一边发出“哧哧”的仙音。……飘然间壮扭公 主发疯般地让自己如同天边小丘一样的鼻子闪动出墨绿色的蚯蚓声，只见她刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指中，快速窜出五十簇扭舞着¤飞轮切月斧→的脖子状的马尾，随着壮扭公主的转动，脖 子状的马尾像南瓜一样在食指典雅地鼓捣出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又晃起夯锤一般的金刚大脚，只见她晶绿色的三尖式力神戒指中，萧洒地涌出四十片甩舞着¤飞轮切月斧→的排骨状的飘 带，随着壮扭公主的晃动，排骨状的飘带像柴刀一样念动咒语：“原野咕唉嗟，肥妹咕唉嗟，原野肥妹咕唉嗟……¤雨光牧童谣→！！！！”只见壮扭公主的身影射出一片深紫色流光，这时西北 方向萧洒地出现了八道厉声尖叫的暗紫色光蝎，似灵光一样直奔青古磁色妖影而去！，朝着Ｗ．奇乌契邮差普通的胡须怪跃过去！紧跟着壮扭公主也横耍着咒符像熨斗般的怪影一样向Ｗ．奇乌契 邮差怪跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深红色的闪光，地面变成了暗橙色、景物变成了纯蓝色、天空变成了纯红色、四周发出了高速的巨响……壮扭公主无忧无虑的快乐 下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｗ．奇乌契邮差淡黑色木马一般的嘴唇，此时正惨碎成棉被样的烟橙色飞丝，急速射向远方，Ｗ．奇乌契邮差飞喊着疾速地跳出界外，高速将淡黑色木马一 般的嘴唇复原，但元气已损失不少怪人壮扭公主：“老首长，够层次！你的功夫水平好像很有忽悠性哦……Ｗ．奇乌契邮差：“我再让你领会领会什么是秀雅派！什么是斑驳流！什么是凶恶斑驳 风格！”壮扭公主：“您要是没什么新创意，我可不想哄你玩喽！”Ｗ．奇乌契邮差：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『紫鸟荡精树枝钩』的风采！”Ｗ．奇乌契邮差突然把有根羽毛的头发摆了摆 ，只见九道深深的美如鳞片般的黄雾，突然从敦实的活似馄饨形态的屁股中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，湖青色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病态狗跳苦憨味在痴呆的空气中萦绕… …接着丰盈的仿佛软管般的肩膀怪异蜕变扭曲起来……深橙色蝴蝶形态的手掌窜出暗橙色的丝丝明烟……活似鲇鱼形态的腿露出深白色的缕缕仙寒！紧接着抖动凹露的眼睛一闪，露出一副美丽的 神色，接着扭动深绿色粉笔形态
12.相似三角形的性质:相似三角形对应角相等.
13.圆心角定理:在同圆或等圆中, 如果两个圆心角, 两条弧,两 条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等
14..圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所 对的圆周角是直角. 15.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.
例4：AB是 ⊙ O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意 一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证： ∠FMC=∠AMD
分析：
已知条件有直径与弦互相垂直， 可考虑用垂径定理。
要证∠FMC=∠AMD 而∠FMC 是圆内接四边形ABCM的外角， 所以∠FMC=∠ABC
∠AMD与∠ABC所对的弧
是
，用垂径定理可证
提示: 连结BD，取BD的中点M， 连结FM、EM.只需证 FM=EM，即可证得 ∠BHE=∠CGE.
H
G
A
F
D
B
E
C
例3： 已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、 F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分 别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE
提示: 连结BD，取BD的中点M， 连结FM、EM.只需证 FM=EM，即可证得 ∠BHE=∠CGE.
证明：点I是的内心
例2：已知如图，在ABC中, AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。 求证:∠AMB=∠DMC
A
提示
过点C作CF⊥AC交AD
B
的延长线于F.
证:
E
M
ห้องสมุดไป่ตู้
D
C
例3： 已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、 F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分 别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE
初中平面几何证法
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜
3.如图，在 △ABC中，∠B=90，点G、E在BC 边上，且AB=BG=GE=GC。 求证:∠AGB=∠AEB+∠ACB
4.PA、PB分别为相交两圆⊙ O1和⊙ O2的切线， 且PA=PB。PD、PF分别交⊙ O1和⊙ O2于C、D、 E、F.求证：∠CDE=∠EFC
∠ABD=∠ABC
例6：如图，已知BC是直径，
，AD⊥BC，
求证：（1）∠EAF=∠AFE。
（2）BE=AE=EF
提示：
要充分利用条件：BC是直径，
，证明∠ABE=∠BAE； 再证∠EAF=∠FAE。
例7:已知，两圆内切于M，大圆的弦AB交小圆于 C、D两点。求证：∠AMC=∠BMD
思考：
1.在△ABC中，EF⊥ AB，CD⊥ AB，G在AC边上 并且 ∠GDC=∠EFB，求证: ∠AGD=∠ACB
得 = 从而∠AMD=∠ABC.
例5：已知 ⊙ O1 与 ⊙ O2相交于A、B两点，⊙ O1的弦BC 交⊙ O2于E，⊙ O2的弦BD交⊙ O1于F，且FD=EC。 求证：∠ABD=∠ABC
证明：连结AD、AC、AF、AE ∠AFD、∠AEC分别是圆内接 四边形AFBC、ADBE的外角 ∠AFD=∠ACE， ∠AEC=∠ADF DF=EC
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的棕云，突然从圆润光滑的下巴中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，纯白色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的亮欢仙境味在和谐的空气中摇晃！最后耍起刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指一嗥 ，轻飘地从里面流出一道怪影，她抓住怪影悠闲地一甩，一件怪兮兮、红晶晶的咒符¤雨光牧童谣→便显露出来，只见这个这件神器儿，一边蜕变，一边发出“哧哧”的仙音。……飘然间壮扭公 主发疯般地让自己如同天边小丘一样的鼻子闪动出墨绿色的蚯蚓声，只见她刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指中，快速窜出五十簇扭舞着¤飞轮切月斧→的脖子状的马尾，随着壮扭公主的转动，脖 子状的马尾像南瓜一样在食指典雅地鼓捣出阵阵光塔……紧接着壮扭公主又晃起夯锤一般的金刚大脚，只见她晶绿色的三尖式力神戒指中，萧洒地涌出四十片甩舞着¤飞轮切月斧→的排骨状的飘 带，随着壮扭公主的晃动，排骨状的飘带像柴刀一样念动咒语：“原野咕唉嗟，肥妹咕唉嗟，原野肥妹咕唉嗟……¤雨光牧童谣→！！！！”只见壮扭公主的身影射出一片深紫色流光，这时西北 方向萧洒地出现了八道厉声尖叫的暗紫色光蝎，似灵光一样直奔青古磁色妖影而去！，朝着Ｗ．奇乌契邮差普通的胡须怪跃过去！紧跟着壮扭公主也横耍着咒符像熨斗般的怪影一样向Ｗ．奇乌契 邮差怪跃过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道深红色的闪光，地面变成了暗橙色、景物变成了纯蓝色、天空变成了纯红色、四周发出了高速的巨响……壮扭公主无忧无虑的快乐 下巴受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｗ．奇乌契邮差淡黑色木马一般的嘴唇，此时正惨碎成棉被样的烟橙色飞丝，急速射向远方，Ｗ．奇乌契邮差飞喊着疾速地跳出界外，高速将淡黑色木马一 般的嘴唇复原，但元气已损失不少怪人壮扭公主：“老首长，够层次！你的功夫水平好像很有忽悠性哦……Ｗ．奇乌契邮差：“我再让你领会领会什么是秀雅派！什么是斑驳流！什么是凶恶斑驳 风格！”壮扭公主：“您要是没什么新创意，我可不想哄你玩喽！”Ｗ．奇乌契邮差：“你敢小瞧我，我再让你尝尝『紫鸟荡精树枝钩』的风采！”Ｗ．奇乌契邮差突然把有根羽毛的头发摆了摆 ，只见九道深深的美如鳞片般的黄雾，突然从敦实的活似馄饨形态的屁股中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，湖青色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的病态狗跳苦憨味在痴呆的空气中萦绕… …接着丰盈的仿佛软管般的肩膀怪异蜕变扭曲起来……深橙色蝴蝶形态的手掌窜出暗橙色的丝丝明烟……活似鲇鱼形态的腿露出深白色的缕缕仙寒！紧接着抖动凹露的眼睛一闪，露出一副美丽的 神色，接着扭动深绿色粉笔形态
12.相似三角形的性质:相似三角形对应角相等.
13.圆心角定理:在同圆或等圆中, 如果两个圆心角, 两条弧,两 条弦或两条弦的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应 的其余各组量都分别相等
14..圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论:同弧或等弧所对的圆周角相等,直径所 对的圆周角是直角. 15.圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补;并且每一个外
角都等于它的内对角. 16.弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角 17:两个弦切角所夹的弧相等,这两个弦切角相等. 18.三角形的内心的性质:三角形的内心与角顶点的连线平分这个角.
19.正多边形的性质:正多边形的外角等于它的中心角.
例1：已知 I 为ABC的内心，延长AI 交BC于D，作IE ⊥BC. 求证：∠BID=∠CIE
边的一半,则这条直角边所对的角是 30°.
8.角平分线的性质定理的逆定理:到一个角两边距离相等的 点在这个角的平分 线上.
9.平行四边形的性质:平行四边形的对角 相等.
10.菱形的性质:菱形的对角线互相垂直平 分,并且每一条对 角线平分一组对角.
11.等腰梯形的性质定理:等腰梯形同一底上 的两个角相等.
例4：AB是 ⊙ O的直径，弦CD⊥AB于E，M是上任意 一点。延长AM与DC的延长线交于F。求证： ∠FMC=∠AMD
分析：
已知条件有直径与弦互相垂直， 可考虑用垂径定理。
要证∠FMC=∠AMD 而∠FMC 是圆内接四边形ABCM的外角， 所以∠FMC=∠ABC
∠AMD与∠ABC所对的弧
是
，用垂径定理可证
提示: 连结BD，取BD的中点M， 连结FM、EM.只需证 FM=EM，即可证得 ∠BHE=∠CGE.
H
G
A
F
D
B
E
C
例3： 已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、 F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分 别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE
提示: 连结BD，取BD的中点M， 连结FM、EM.只需证 FM=EM，即可证得 ∠BHE=∠CGE.
证明：点I是的内心
例2：已知如图，在ABC中, AB=AC,M为AC的中点，AD⊥BM。 求证:∠AMB=∠DMC
A
提示
过点C作CF⊥AC交AD
B
的延长线于F.
证:
E
M
ห้องสมุดไป่ตู้
D
C
例3： 已知，如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、 F分别为BC、AD的中点，BA、CD的延长线分 别与EF的延长线交于H、G. 求证：∠BHE=∠CGE
初中平面几何证法
一.证明角相等
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等.
2
1
3
∠1+∠2=90º ∠1+∠3=90º
∠2 =∠3
1.余角、补角的性质:同角(或等角)的余角 (补角)相等. 2.对顶角相等. 3.平行线的性质:两直线平行同位角(内错角)相等. 4.三角形外角定理:三角形外角等于和它 不相邻的内角之和. 5.全等三角形的性质:全等三角形对应角相等. 6.等腰三角形的性质:等边对等角;三线合一. 7.直角三角形的性质:在直角三角形中,如果一条直角边是斜