【建模 精品资源】马尔科夫链
马尔科夫链例题整理通用课件
马尔科夫链的理论。
在其他领域的应用
要点一
总结词
除了大数据和人工智能领域，马尔科夫链在其他领域也有 广泛的应用前景。
要点二
详细描述
例如在物理学中的统计力学、生物学中的基因序列分析、 经济学中的市场预测和交通规划等领域，马尔科夫链都可 以发挥重要作用。随着科学技术的发展，马尔科夫链的应 用前景将更加广阔。
05
马尔科夫链的优化与改进
状态转移概率优化
状态转移概率矩阵调整
01
根据实际数据和业务需求，对状态转移概率矩阵进行优化，以
提高模型预测的准确性和稳定性。
状态转移概率学习
02
通过训练数据学习状态转移概率，利用监督学习或强化学习等
方法对状态转移概率进用平滑技术处理状态转移概率，以减少模型预测的误差和不
用户行为分析
总结词
利用马尔科夫链分析用户在互联网上 的行为模式和习惯。
详细描述
通过分析用户在互联网上的行为数据 ，利用马尔科夫链可以发现用户的行 为模式和习惯，从而更好地理解用户 需求，优化产品设计和服务。
自然语言处理
总结词
利用马尔科夫链进行文本生成、语言模型等自然语言处理任 务。
详细描述
马尔科夫链在自然语言处理领域有着广泛的应用，如文本生 成、语言模型等。通过建立状态转移概率矩阵，可以模拟文 本生成的过程，从而生成符合语法和语义规则的自然语言文 本。
详细描述
马尔科夫链可以用于对大量数据进行建模， 通过分析数据之间的转移概率，预测未来的 趋势和模式。在大数据领域，马尔科夫链可 以应用于推荐系统、股票市场预测、自然语 言处理等领域。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
马尔可夫链的基础知识
马尔可夫链的基础知识马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一系列随机事件的演变过程。
它的基本思想是，当前事件的发生只与前一个事件的状态有关，与更早的事件无关。
马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，如自然语言处理、金融市场分析、生物信息学等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间、状态转移概率和初始状态分布组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
状态转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率，用P表示。
初始状态分布是指在初始时刻各个状态出现的概率分布，用π表示。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：当前状态的发生只与前一个状态有关，与更早的状态无关。
即P(Xn+1|Xn,Xn-1,...,X1) = P(Xn+1|Xn)。
2. 遍历性质：从任意一个状态出发，经过有限步骤可以到达任意一个状态。
3. 唯一性质：对于给定的状态空间和状态转移概率，存在唯一的初始状态分布使得马尔可夫链收敛到平稳分布。
4. 平稳性质：当马尔可夫链收敛到平稳分布时，后续状态的分布不再改变。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写诗、自动对话等。
通过学习语料库中的马尔可夫链模型，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测金融市场的走势。
通过分析历史数据，建立马尔可夫链模型，可以预测未来的市场状态。
3. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过建立马尔可夫链模型，可以预测基因序列中的隐含信息，如启动子、剪接位点等。
四、马尔可夫链的改进1. 高阶马尔可夫链：考虑当前状态与前几个状态的关系，可以建立高阶马尔可夫链模型。
高阶马尔可夫链可以更准确地描述事件的演变过程。
2. 隐马尔可夫链：考虑到状态不可观测的情况，可以建立隐马尔可夫链模型。
隐马尔可夫链可以用于序列标注、语音识别等领域。
五、总结马尔可夫链是一种描述随机事件演变过程的数学模型，具有马尔可夫性质、遍历性质、唯一性质和平稳性质。
马尔科夫链的基本原理和使用教程(Ⅱ)
马尔科夫链的基本原理和使用教程马尔科夫链是一种描述状态随机变化的数学模型，它在很多领域都有着广泛的应用，比如自然语言处理、生物信息学、金融工程等。
在本文中，我们将介绍马尔科夫链的基本原理以及如何使用它来建模和解决实际问题。
1. 马尔科夫链的基本原理马尔科夫链是一个随机过程，它具有“无记忆”的性质，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种性质被称为马尔科夫性质，它在描述一些随机现象时非常有用。
一个马尔科夫链可以用一个状态空间和状态转移概率矩阵来描述。
状态空间是指所有可能的状态的集合，而状态转移概率矩阵则描述了在每个状态下转移到其他状态的概率。
通过状态转移概率矩阵，我们可以计算出在给定初始状态下，未来状态的概率分布。
2. 马尔科夫链的应用马尔科夫链在自然语言处理中有着广泛的应用，比如用来建模文本生成的过程。
通过分析大量的文本数据，我们可以构建一个马尔科夫链模型，用来预测下一个词语的概率分布。
这种方法可以被应用在语音识别、机器翻译等领域。
此外，马尔科夫链也可以用来建模股票价格的变化。
通过分析历史的股票价格数据，我们可以构建一个马尔科夫链模型，用来预测未来股票价格的变化。
这种方法可以被应用在金融工程领域，帮助投资者做出更准确的决策。
3. 使用教程要使用马尔科夫链来建模和解决实际问题，首先需要收集相关的数据。
比如如果我们想建模股票价格的变化，就需要收集历史的股票价格数据。
然后，我们可以利用这些数据来估计状态转移概率矩阵。
一种常见的方法是使用最大似然估计来估计状态转移概率矩阵。
通过最大似然估计，我们可以找到一个最符合观测数据的状态转移概率矩阵。
然后，我们可以使用这个估计的状态转移概率矩阵来计算未来状态的概率分布。
除了最大似然估计，还有其他一些方法可以用来估计状态转移概率矩阵，比如贝叶斯估计、马尔科夫链蒙特卡洛方法等。
在实际问题中，选择合适的估计方法是非常重要的。
最后，一旦我们估计出了状态转移概率矩阵，就可以使用这个马尔科夫链模型来进行预测和决策。
Markov Chain(马尔科夫链)
状态转换矩阵：
1 0 0 1 − ������ 0 ������ 0 1 − ������ 0 0 0 1 − ������ 0 0 0
0 0 ������ 0 0
0 0 0 ������ 1
0
赌徒问题（续）
• ������ =
0 ������ 1 − ������ 0 0 1 − ������ 0 0 0 0 0 ������ 0 0 0 0 1 − ������ 0 0 ������ 0 1 阵������的元素������������������ 等于从状态������������ 出发到达稳定时经过������������ 的次数的期望值。 推论：马尔可夫过程中，从非稳定状态������������ 出发，到达稳定状态时的步数期望值 等于矩阵������的������行元素的和。
赌徒问题
• 一个赌徒，假设拿两元钱，一次赌一美元，赢的概率是������，输的概率是1 − ������，当赢够4元，或者全部输光就不赌了。 • 状态转换图：
1 − ������ 1 1 − ������ 1 ������ 2 ������ 3 ������ 1 − ������ 1 4 ������ =
������
������������
.此矩阵
������������������ = 1, ������ = 1,2, … , ������.
������=1
重新标记这些状态的序号，把对角线是1的元素调整到右下角，也就是变成 ������������×������ ������������× ������−������ ������������×������ → ������ ������−������ × ������ ������(������−������)×(������−������) 矩阵������ = ������ − ������������×������
机器学习技术中的马尔科夫链算法
机器学习技术中的马尔科夫链算法马尔科夫链（Markov chain）是一种重要的机器学习技术，用于建模和预测随机过程的状态转移。
在机器学习领域，马尔科夫链算法被广泛应用于各种领域，包括自然语言处理、时间序列分析、图像处理和推荐系统等。
本文将介绍马尔科夫链的基本概念和原理，并探讨在机器学习中的具体应用。
马尔科夫链是一种具有马尔科夫性质的随机过程。
马尔科夫性质指的是，在给定当前状态下，未来状态的转移概率仅依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这一性质使得马尔科夫链能够对状态之间的转移进行建模和预测。
马尔科夫链由状态空间和转移矩阵组成。
状态空间是指系统可能处于的所有状态的集合，转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
通过对转移矩阵的建模和优化，我们可以对未来的状态进行预测和推断。
在机器学习中，马尔科夫链算法常常用于自然语言处理领域。
通过构建一个马尔科夫链模型，我们可以对文本进行建模，并进行文本生成、文本分类、文本推荐等任务。
例如，在文本生成任务中，我们可以使用马尔科夫链模型来学习单词之间的转移概率，然后根据当前状态生成下一个单词，从而实现文本的自动生成。
此外，马尔科夫链算法还可以应用于时间序列分析。
时间序列是一系列按时间顺序排列的数据点，马尔科夫链可以帮助我们对时间序列进行建模，并进行预测和分析。
通过学习时间序列中的状态转移，我们可以预测未来的状态和数值，从而对趋势和模式进行分析和预测。
在图像处理领域，马尔科夫链算法也扮演着重要角色。
通过将图像看作一个状态空间，并利用马尔科夫链模型对图像中的状态进行建模，我们可以实现图像的分割、图像的分类和图像的去噪等任务。
例如，在图像分割任务中，我们可以使用马尔科夫链模型学习像素之间的转移概率，并通过优化算法对图像进行分割。
此外，在推荐系统中，马尔科夫链算法也具有广泛的应用。
通过将用户和物品看作系统的状态，可以利用马尔科夫链模型对用户的行为进行建模和预测。
通过学习用户之间的转移概率，我们可以根据当前用户的状态预测下一个可能感兴趣的物品，从而实现个性化的推荐。
数学建模——马尔科夫链模型
即
1 an 1 an1 bn1 0 cn1 2 1 a n a n1 bn1 (4.2) 2
类似可推出
1 bn bn 1 c n 1 2
(4.3)
cn=0
(4.4)
将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得
an bn cn an1 bn1 cn1
x ( n) b n cn
当n=0时
表示植物基因型的 初始分布（即培育 开始时的分布）
x (0) b 0 c0
显然有 a0 b0 c0 1 （ii）第n代的分布与 第n－1代的分布之间的关系是通过表 5.2确定的。 （b）建模 根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA 型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA 型结合，后代是AA型的可能性为 1/2，而 第n－1代的aa型与 AA型结合，后代不可能 是AA型。因此当n=1,2…时
（a）假设 父母的基因型 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 AA－AA AA－Aa 者的基因型 现在，我们考虑在控 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 制结合的情况下，如 AA 1 1/2 AA， Aa的人占总人数的百分比， 后 何确定后代中隐性患 记 x ( n ) an ，n=1,2,…（这里 者的概率。 代 b 不考 虑aa型是因 n 基 为这些人不可能成年并结婚） Aa 0 1/2 因 （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 型 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出：
由（4.5）式递推，得
《马尔可夫链讲》课件
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
马尔科夫链模型简介
马尔科夫链模型简介马尔科夫链模型是一种描述随机过程的数学模型，它使用状态转移概率矩阵来表示状态之间的转移。
该模型有着广泛的应用，在自然语言处理、金融学、生态学、物理学和化学等多个领域中有着重要的地位。
状态与状态转移马尔科夫链模型中的状态可以是任何状态，例如一个人的身体状态、一个系统的状况、一个物品的状态等。
设状态集合为$S=\\{s_1,s_2,...,s_n\\}$，则任何一个时刻系统都处于其中的一个状态。
接着，我们定义状态之间的转移概率矩阵$P=(p_{ij})_{n\\times n}$，其中p ij表示在状态s i下，系统转移到s j的概率。
因此，对于所有的$i,j\\in\\{1,2,...,n\\}$，有$0\\leq p_{ij}\\leq1$且$\\sum_{j=1}^{n}p_{ij}=1$。
由此可以看出，状态转移矩阵P具有无后效性：状态s i到s i+k的转移只和当前状态s i有关，和之前的所有状态都无关。
马尔科夫性质马尔科夫链模型有一个很重要的性质，即马尔科夫性质。
它指的是，一个某时刻的状态和当前状态之前的所有状态无关，只和当前状态有关。
更正式地，对于所有$i\\in\\{1,2,...,n\\}$，$j\\in\\{1,2,...,n\\}$和k>0，有：$$ \\begin{aligned} P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i,X_{t-1}=s_{i-1},...,X_0=s_0)&=P(X_{t+k}=s_j|X_t=s_i)\\\\ &=p_{ij}^k \\end{aligned} $$其中X t表示在时刻t系统所处的状态。
这个性质使得我们可以用状态转移概率矩阵来描述系统随时间的演化。
平稳分布在马尔科夫链中，平稳分布是一个与时间无关的状态分布。
它满足以下条件：若$\\pi$是一个向量，其中第i个元素表示系统处于状态s i的稳态概率，则有$\\pi P=\\pi$。
如何使用马尔可夫链蒙特卡洛进行概率建模(Ⅰ)
马尔可夫链蒙特卡洛是一种强大的数学工具，可以用于概率建模和随机模拟。
在本文中，将探讨马尔可夫链蒙特卡洛的基本原理、应用和实现方法。
1. 马尔可夫链蒙特卡洛的基本原理马尔可夫链蒙特卡洛是一种基于马尔可夫链的随机模拟方法。
马尔可夫链是一种随机过程，具有“无记忆”的性质，即下一时刻的状态只取决于当前时刻的状态，而与过去的状态无关。
蒙特卡洛方法则是一种基于随机抽样的数值计算方法。
将这两种方法结合起来，就得到了马尔可夫链蒙特卡洛方法。
2. 马尔可夫链蒙特卡洛的应用马尔可夫链蒙特卡洛在概率建模和随机模拟中有着广泛的应用。
其中一个典型的应用就是在金融工程领域中的期权定价模型。
通过建立马尔可夫链蒙特卡洛模拟模型，可以对期权的价格进行准确的估计和预测。
此外，马尔可夫链蒙特卡洛还可以用于模拟蛋白质的折叠结构、天气预测、交通流量分析等领域。
3. 马尔可夫链蒙特卡洛的实现方法要实现马尔可夫链蒙特卡洛方法，首先需要确定一个马尔可夫链，然后进行随机抽样。
在确定马尔可夫链时，需要考虑链的状态空间、转移概率矩阵等参数。
在进行随机抽样时，可以使用不同的抽样方法，如Metropolis-Hastings算法、Gibbs抽样等。
4. 马尔可夫链蒙特卡洛的优缺点马尔可夫链蒙特卡洛方法具有很多优点，如能够处理复杂的高维概率分布、能够灵活处理概率模型中的随机变量等。
但是，该方法也存在一些缺点，如需要大量的随机抽样、收敛速度较慢等。
5. 马尔可夫链蒙特卡洛的发展趋势随着计算机技术的不断发展，马尔可夫链蒙特卡洛方法在概率建模和随机模拟中的应用前景十分广阔。
未来，可以期待该方法在更多领域中得到应用，如生物信息学、人工智能、环境科学等。
总结马尔可夫链蒙特卡洛是一种强大的数学工具，可以用于概率建模和随机模拟。
通过建立马尔可夫链蒙特卡洛模型，可以对复杂的随机过程进行准确的建模和分析。
随着计算机技术的不断进步，相信马尔可夫链蒙特卡洛方法在未来会有更广泛的应用和发展。
空间马尔科夫链步骤-概述说明以及解释
空间马尔科夫链步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述空间马尔科夫链（Spatial Markov Chains）是一种在空间上描述状态变化的概率模型。
它是对传统马尔科夫链的扩展，将状态的变化不仅仅与时间相关，还与空间位置相关。
传统的马尔科夫链是一种时间序列模型，用于描述随机过程中状态的转移。
它的基本思想是状态的转移只与前一个状态有关，与其他状态及其顺序无关。
然而，当我们考虑到状态之间的关联与位置之间的关联时，传统的马尔科夫链就无法满足我们的需求了。
空间马尔科夫链在空间上划分了若干个小区域，每个小区域内的状态转移满足马尔科夫性质，即只与前一个状态有关。
而不同小区域之间的状态转移则考虑了位置的影响，因此更加贴合实际情况。
在空间马尔科夫链的建模过程中，首先需要确定状态空间，即系统所能处于的各种状态。
然后，将空间分割为若干个小区域，并确定每个小区域内部的状态转移概率。
接着，考虑位置影响，确定不同小区域之间的状态转移概率。
最后，通过迭代运算，可以得到系统在不同时间步骤中不同位置的状态。
空间马尔科夫链在很多领域都有广泛的应用，如经济学、城市规划、生态学等。
它可以用于预测未来的状态变化、评估不同状态之间的转换概率以及分析系统的稳定性。
然而，空间马尔科夫链也存在一些局限性。
首先，它基于空间分割的方式有时会导致信息的损失，因为将空间划分为小区域可能无法完全反映出现实世界的实际情况。
其次，空间马尔科夫链的建模必须基于某种假设，而这些假设可能无法完全准确地描述系统的状态变化。
总之，空间马尔科夫链是一种在空间上描述状态转移的概率模型，具有很多应用价值。
在进行空间马尔科夫链建模时，需要考虑系统的状态空间、空间分割和位置影响等因素。
然而，它也存在一些局限性，需要根据具体情况进行评估和应用。
1.2 文章结构本文主要从引言、正文和结论三个部分来组织和展开内容。
下面是对每个部分的简要说明：引言部分将首先概述空间马尔科夫链的概念和背景。
马尔可夫链模型
马尔可夫链模型(重定向自马尔可夫链)马尔可夫链模型（Markov Chain Model）[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。
该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。
时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。
马尔可夫链是随机变量的一个数列。
这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。
如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。
上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。
马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。
而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。
马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。
马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。
一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。
本文中假定S是可数集(即有限或可列)。
用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。
2）是系统的状态转移概率矩阵，其中Pij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。
对于任意i∈s，有。
3）是系统的初始概率分布，qi是系统在初始时刻处于状态i的概率，满足。
[编辑]马尔可夫链模型的性质马尔可夫链是由一个条件分布来表示的P(Xn + 1 | X n)这被称为是随机过程中的“转移概率”。
马尔可夫链精品PPT课件
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
马尔科夫链模型及其应用
马尔科夫链模型及其应用马尔科夫链是一种随机过程模型，它由数学家安德烈·安德烈耶维奇·马尔可夫在20世纪初提出。
马尔科夫链是一种具有无记忆性的随机过程，它的未来状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
由于这种性质，马尔科夫链被广泛应用于很多领域，包括自然语言处理、金融学、生物学等。
马尔科夫链模型的基本概念是状态和状态转移概率。
一个马尔科夫链由若干个离散状态组成，这些状态可以互相转移。
每个状态之间的转移概率是固定的，且只与当前状态有关，与过去的状态无关。
因此，马尔科夫链的状态转移是一个概率过程。
状态转移矩阵是描述马尔科夫链状态转移的关键工具，它表示了从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔科夫链可以表示为一个状态转移图，其中每个状态表示为图中的一个节点，转移概率表示为节点之间的有向边。
马尔科夫链模型的应用非常广泛。
在自然语言处理领域，马尔科夫链被应用于自动文本生成、文本分类、机器翻译等任务。
通过建立语言模型，将文本视为一个马尔科夫链，可以生成具有类似语言风格和语法结构的文本。
在金融学领域，马尔科夫链被用于分析股票市场的走势。
通过将股票价格视为一个马尔科夫链模型，可以预测未来的股票价格。
在生物学领域，马尔科夫链被应用于基因组序列分析、蛋白质结构预测等任务。
通过将基因序列或蛋白质序列视为马尔科夫链模型，可以识别隐藏的生物信息并做出预测。
除了以上领域外，马尔科夫链模型还被应用于图像处理、语音识别、推荐系统等任务中。
在图像处理中，马尔科夫链被用于图像分割、图像重建等任务。
通过将图像像素视为一个马尔科夫链模型，可以根据像素之间的转移概率进行图像分割。
在语音识别中，马尔科夫链被用于建立语音模型，实现自动语音识别任务。
在推荐系统中，马尔科夫链被用于建立用户行为模型，预测用户的行为偏好，为用户推荐合适的内容。
马尔科夫链模型的应用还可以进一步扩展。
例如，可以将马尔科夫链与其他方法结合，提高模型的准确性和稳定性。
马尔科夫链培训课件
确定模型的状态空间
确定状态转移概率矩阵
确定初始状态分布
建立马尔科夫链模型的步骤
确定状态转移矩阵
状态转移矩阵的每个元素表示从当前状态转移到下一个状态的概率。
可以通过历史数据或专家经验进行估计，对于某些无法直接观测的状态转移，可以使用隐马尔科夫模型等进行建模。
状态转移矩阵应满足马尔科夫链的性质：即下一个状态只依赖于当前状态。
预测未来状态
模型误差
由于马尔科夫链模型本身的限制和简化，可能存在误差。
数据误差
由于历史数据可能不完整或存在误差，会导致预测结果的不准确。
随机误差
由于未来是不确定的，即使使用最精确的模型和方法，也可能存在随机误差。
预测的误差分析
05
马尔科夫链模型的优化
通过比较实际序列和预测序列之间的误差，选择优化目标以最小化预测误差。
稳定性
可预测性
马尔科夫链的转移概率矩阵不会随着时间的推移而改变。
给定足够的信息，可以预测马尔科夫链未来的状态。
03
马尔科夫链的性质
02
01
02
马尔科夫链的应用
利用马尔科夫链模型，对股票价格的变化进行预测和分析，为投资者提供参考。
股票价格预测
通过构建马尔科夫链模型，评估不同状态之间的转移概率，为金融机构提供风险评估支持。
对优化后的模型进行性能评估，比较优化前后的性能提升，并分析优化结果的可靠性和稳定性。
06
马尔科夫链模型的评估
通过直接观察模型运行的过程和结果来进行评估。
评估的方法
直接观测法
通过对模型进行多次运行，并利用样本数据来评估模型的性能。
基于样本法
通过反向测试模型来进行评估，即利用已知结果测试模型。
马尔科夫链
不可约定义 如闭集C的状态互通，则闭集C称为不可约的。如 马氏链 X n 状态空间不可约，则马氏链 X n 称为不可约的。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集判断 C是闭集的充要条件为对任意i C及k C都有 p ik =0,n≥1.
(n )
证 只需证必要性. 用归纳法，设C为闭集，由定义当n=1时结论 p (m ) 成立. 今设n=m 时， ik =0，i C, k C,则
T T
(n )
回顾：马尔科夫链的状态分类
一、周期态
马尔科夫链周期定义
如集合n : n 1, p iin 0 非空，则称该集合的最大公约数d=d (n （i）=G.C.D n : pii ) 0 为状态i的周期，如d>1就称i为周期的， 如d=1就称i为非周期的。
( )
回顾：马尔科夫链的状态分类
定 理4.5 可达关系与互通关系都具有传递性，即 如果I j，j k，则i k; 如果I j，j k，则i k。 定 理4.6 如I j则 （1）i与j同为常返或非常返，如为常返，则他们同为正常返或 零常返。 （2）i与j由相同的周期。
状态空间的分解
一、闭集和不可约
闭集定义 如对任意I C及k C都有 p ik =0，状态空间I的子集C 称为（随机）闭集. 闭集的意思是自C的内部不能到达C的外部. 这意味着一旦 质点进入闭集C中，它将永远留在C中运动. 另如 p ii =1，则称状态i为吸收的.显然状态i吸收等价于单点 集 为闭集. i
j I
回顾：马尔科夫链的基本概念
三、n步转移概率和矩阵
n步转移概率和矩阵定义 称条件概率
pij
(n )
P X m n j | X m i i ,j I ,m 0,n 1 ,
马尔科夫链的基本原理和使用教程(九)
马尔科夫链的基本原理和使用教程马尔科夫链是概率论和数理统计中的一个重要概念，被广泛应用于金融、生物、自然语言处理等领域。
它以马尔科夫性质为基础，描述了一个随机系统在给定状态下未来状态的概率分布。
在本文中，我们将介绍马尔科夫链的基本原理和使用教程。
一、马尔科夫链的基本原理马尔科夫链是一个描述随机系统状态转移的数学模型。
其基本原理由马尔科夫性质所决定，即给定当前状态，未来状态的概率分布只与当前状态有关，而与过去状态无关。
具体地，假设随机系统有N个状态，用S={S1, S2, ..., SN}表示。
那么，马尔科夫链可以用一个N*N的状态转移矩阵P={p(i,j)}来描述，其中p(i,j)表示从状态Si转移到状态Sj的概率。
对于任意时刻t，系统的状态可以用一个N维向量X(t)来表示，其第i个分量表示系统处于状态Si的概率。
那么，系统在t+1时刻的状态可以用状态转移矩阵P与向量X(t)的乘积来表示，即X(t+1)=PX(t)。
根据这一定义，我们可以得到马尔科夫链的一个重要性质，即其长期行为与初始状态无关。
也就是说，随着时间的推移，系统的状态分布会收敛到一个稳定的分布，与初始状态无关。
这一性质在实际应用中具有重要意义，可以用来描述系统的稳定性和长期行为。
二、马尔科夫链的使用教程接下来，我们将介绍如何使用马尔科夫链进行建模和分析。
首先，我们需要确定系统的状态空间和状态转移矩阵。
例如，假设我们要对一个天气系统进行建模，可以将天气分为晴天、多云、雨天等几种状态，然后根据观测数据来估计状态转移概率。
其次，我们需要选择适当的马尔科夫链模型。
一般来说，马尔科夫链可以分为离散和连续两种类型。
离散型马尔科夫链适用于状态空间有限且状态之间的转移是离散的情况，而连续型马尔科夫链适用于状态空间无限且状态之间的转移是连续的情况。
在确定了状态空间、状态转移矩阵和模型类型之后，我们可以利用马尔科夫链进行系统的分析和预测。
例如，可以用马尔科夫链来预测未来的天气情况，计算某种状态在未来的出现概率，或者评估系统的稳定性和长期行为。
10632-数学建模-论文-马尔可夫链
若以X n表示时刻 n 时Q的位置，
则 { X n , n = 0,1,2,L}是一随机
1
2
3
45
过程， 而且当X n = i 时，X n+1 , X n+2 ,L等以后的行为只与 X n = i
有关，而与质点以前是如何到 i 是完全无关的，所以，它是一
个马氏链，且为齐次马氏链。
状态空间为：I = {1,2,3,4,5}
= 0.284
14
南京邮电大学孔告化讲 课稿
例题：设 {X n , n ≥ 0} 是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏链，
一步转移概率矩阵为 0 1 2
0 ⎜⎛ 3 / 4 1/ 4 0 ⎟⎞ P = 1 ⎜1/4 1/2 1/4⎟
2 ⎜⎝ 0 3 / 4 1/ 4⎟⎠
已知初始分布为：pi (0) = P{X0 = i} = 1/ 3, i = 0,1,2
=
1|
Xn
=
1}
≈
8
52 + 52
=
26 35
13
南京邮电大学孔告化讲 课稿
续例：若计算机在某一时段（15分钟）的状态为 0，问从此时段 起此计算机能连续正常工作 一小时 （4个时段）的概率为多少？
解：由题意，P{ X1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1 | X 0 = 0}
有 P{Xm+n = aj | Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 ,L, Xtr = air , Xm = ai }
= P{Xm+n = a j | Xm = ai }
记 Pij (m, m + n) = P{ Xm+n = a j | X m = ai } 称 Pij (m, m + n) 为马氏链在时刻 m 处于状态 ai 条件下， 在时刻 m + n 转移到状态 a j 的转移概率.
第4章马尔可夫链1-2
定义 3 若对任意的 i , j I ，马尔可夫链{ X n , n T } 的转 移概率 pij ( n) 与 n 无关，则称马尔可夫链是齐次的，并记 pij ( n) 为 pij 。
下面我们只讨论齐次马尔可夫链，通常将“齐次” 两字省略。
设 P 表示一步转移概率 pij ( n) 所组成的矩阵，且状 态空间 I {1, 2,} ，则
P{ X n1 in1 X 0 i0 , X 1 i1 , , X n in } P { X n 1 in 1 X n in }
则称 { X n , n T } 为马尔可夫链，简称马氏链。
上式是马尔可夫链的马氏性（或无后效性）的数学 表达式。由定义知 P{ X 0 i0 , X 1 i1 , , X n in }
其两步转移概率矩阵为
0.7 0.5 2 P 0 0 0.49 0.35 0.20 0.10
0 0.7 0 0.3 0 0 0.5 0 0.5 0 0.5 0 0.4 0 0.6 0 0.4 0 0.6 0.2 0 0.8 0 0.2 0 0.8 0.12 0.21 0.18 0.20 0.15 0.30 0.12 0.20 0.48 0.16 0.10 0.64 0 0.3
( pijn ) k1I
kn1I
pik1 pk1k2 pkn1 j
(3)在(1)中令l=1，利用矩阵乘法可证。 (4)由(3)，利用归纳法可证。
定理1中(1)式称为切普曼---柯尔莫哥洛夫方程， 简称C--K方程。它在马尔可夫链的转移概率的计算中 起着重要的作用。(2)式说明n步转移概率完全由一步 转移概率决定。(4)式说明齐次马尔可夫链的n步转移 概率矩阵是一步转移概率矩阵的n次乘方。
马尔可夫链模型步骤
马尔可夫链模型步骤嘿，咱今儿个就来说说马尔可夫链模型那些事儿哈！马尔可夫链模型，听起来是不是有点高大上，有点让人摸不着头脑？别急，咱慢慢唠。
你看哈，这马尔可夫链模型呢，就像是一个神奇的魔法盒子。
第一步呢，咱得先搞清楚状态是啥玩意儿。
就好比你要去一个陌生的地方，得先知道有哪些地方可以去，这就是状态啦。
这些状态可不是随便瞎弄的，得有它的意义和特点呢。
第二步呢，就是要搞清楚状态之间的转移概率。
这就好比你从一个地方走到另一个地方的可能性有多大。
比如说，你今天心情好，那你去公园的概率可能就大；要是心情一般，可能就窝在家里了。
这概率可重要了，它决定了这个模型会怎么发展，怎么变化。
第三步呢，就是根据这些状态和转移概率来构建模型啦。
这就像是搭积木一样，一块一块地往上堆，最后堆出一个漂亮的城堡。
模型建好了，咱就能用它来做各种好玩的事情啦。
你想想，这马尔可夫链模型是不是很有意思？它能帮我们预测很多事情呢，比如说股票的走势，天气的变化，甚至是人的行为。
这就好比你有了一个能看透未来的水晶球一样，虽然不是百分百准确，但也能给咱提供很多有用的信息呀。
咱再打个比方，这马尔可夫链模型就像是一个会变魔术的大师。
它能把一些看似杂乱无章的东西变得有规律，有秩序。
它能从一堆混乱的数据中找出隐藏的模式和趋势，这多厉害呀！而且哦，马尔可夫链模型在很多领域都有大用处呢。
在统计学里，它能帮助我们分析数据；在机器学习里，它能让机器变得更聪明；在金融领域，它能帮我们做出更明智的投资决策。
哎呀呀，这小小的模型，蕴含着大大的能量呢！你说，咱要是能把这马尔可夫链模型给玩转了，那得多牛呀！咱就能像个超级英雄一样，轻松地解决各种难题，预测各种未来。
那感觉，肯定爽歪歪！所以呀，可别小看了这马尔可夫链模型哦，它可是个宝呢！咱得好好研究研究，好好利用利用。
你说是不是呀？反正我觉得是！嘿嘿！。
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时疾病 a2(n) 1
0.3
0.23 0.223 … 2/9
n 时状态概率趋于稳定值, 稳定值与初始状态无关.
健康与疾病
例2. 健康和疾病状态同上，Xn=1~ 健康, Xn=2~ 疾
病死亡为第3种状态，记Xn=3 0.8
0.18
0.25
p11=0.8, p12=0.18, pp1231==00..0625, p22=0.25, p23=0.1 p31=0, p32=0, p33=1
若 X (n) 表示质点在时刻n所处的位置，求 一步转移概率。
状态空间I={1，2，3，4，5}，
参数集T={1，2，3，………}，
其一步转 移矩阵为
1 0 0
P1
1
本2 节
0
内0容结12束
10
2
0 0 1 2
0
0
1 2
0
0 0 0 0
有两个吸收壁的随机游动
0
0
0
1
2 1
首页
赌徒输光问题
首页
赌徒甲有资本a元，赌徒乙有资本b元，两人进 行赌博，每赌一局输者给赢者1元，没有和局，
直甲赌获至胜两的人概中 率本有为节一p，人乙内输获光容胜为的结止概。束率设为在q 每1一局p 中，，
求甲输光的概率。
分 这个问题实质上是带有两个吸收壁的随机游动。从 析 甲的角度看，他初始时刻处于a，每次移动一格，向
右移（即赢1元）的概率为p，向左移（即输1元）的 概率为q。如果一旦到达0（即甲输光）或a + b（即 乙输光）这个游动就停止。这时的状态空间为{0，1， 2，…，c}，c = a + b，。现在的问题是求质点从a出 发到达0状态先于到达c状态的概率。
解 设0 j c
设u j 为质点从 j 出发到达 0 状态先于到达 c 状态的概率。
1
2
0.7
Xn+1只取决于Xn和pij, 与Xn-1, …
无关
状态转移具
有无后效性
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21
a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22
状态与状态转移
0.8
0.2
0.3
1
2
0.7
aa12
(n (n
1) 1)
a1 (n) a1 (n)
r j rc 1 r
d0
两式相比
uj
r j rc 1 rc
首页
故
ua
ra rc 1 rc
(
q )a p
(
q )c p
1
(
q p
)c
本节内容结束
当 r 1
u0 uc 1 cd0
而
u j (c j)d0
c j
因此 故
u j c c a b
ua
c
c
首页
由以上计算结果可知
当 r 1 即 p q 时，甲先输光的概率为
考虑质点从j出发移动一步后的情况
在以概率 p 移本到节j 内1 的容假设 结下束，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j1
同理 以概率 q 移到 j 1 的前提下，
到达 0 状态先于到达 c 状态的概率为u j1 根据全概率公式有 u j u j1 p u j1q
这一方程实质上是一差分方程，它的边界条件是
保险公司要对投保人未来的健康状态作出估计, 以制 订保险金和理赔金的数额 .
例1. 人的健康状况分为健康和疾病两种状态，设对特 定年龄段的人，今年健康、明年保持健康状态的概率 为0.8, 而今年患病、明年转为健康状态的概率为0.7.
若某人投保时健康, 问10年后他仍处于健康状态的概率.
‹# ›
状态与状态转移
p11 p12
a2 (n) p21 a2 (n) p22
给定a(0), 预测 a(n), n=1,2,…
设投保 时健康
n a1(n) a2(n)
本0 节内1 容结2束
1 0.8 0.78 0 0.2 0.22
3 …∞ 0.778 … 7/9
0.222 … 2/9
设投保 a1(n) 0
0.7
0.77 0.777 … 7/9
r jd0
首页
当 r 1
c 1
1 u0 uc
(u j u j1)
c 1
j 0 c1
j
本0
节d 内j c1
容j0结r束j d
0
1 rc 1 r
d0
而 u j u j uc (ui ui1)
i j
c 1
c 1
di
rid0
i j
i j
r j (1 r rc j1)d0
当 r 1 即( qpp)a本q(节qp时)内c ， 容甲先1结输(束光qp)的c 概率为b c
用同样的方法可以求得乙先输光的概率
当
p
q
时，乙输光的概率为1
(
q) p
a
当 p q 时，乙先输光的概率为a
c
1
(
q p
)
c
首页
马氏链模型
描述一类重要的随机动态系统(过程)的模型.
• 系统在每个时期所处的状态是随机的.
• 从一时期到下本时期节的内状态容按结一束定概率转移.
• 下时期状态只取决于本时期状态和转移概率. 已知现在，将来与过去无关（无后效性）
马氏链 (Markov Chain) ——时间、状态均为离散的随机转移过程
健康与疾病
通过有实际背景的例子介绍马氏链的基本概念和性质. 人的健康状态随着时间的推移会随机地发生转变.
u0 1, uc 0
首页
欲求 ua 先求 u j
于是 （p + q）u j pu j1 qu j1
uj
u j1
(
q )(u p
j 1
uj
)
设
r q p
本节d j 内 u容j 结u j束1
则可得到两个相邻差分间的递推关系
d j rd j1
于是
d j rd j1 r2d j2
需讨论 r
0.65
1
2
0.02 3 0.1
1
a1(n 1) a1(n) p11 a2 (n) p21 a3 (n) p31 a2 (n 1) a1(n) p12 a2 (n) p22 a3 (n) p32 a3 (n 1) a1(n) p13 a2 (n) p23 a3 (n) p33
状态X n
1, 2,
第n年健康 第n年疾病
状态概率ai (n) P(X n i), i 1,2, n 0,1,
转移概率pij P(X本n1节 内j X容n 结i),束i, j 1,2, n 0,1,
p11 0.8 p12 1 p11 0.2
0.8
0.2
0.3
p21 0.7 p22 1 p21 0.3
马氏链模型
本节内容结束
直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生
一次随机游动，本移动节的内规容则是结：束
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 或向右 移动一单位；
1 2
向左
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
质点在1，5两点被“吸收”