数学《直线与圆的位置关系》知识点及习题
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《直线与圆的位置关系》知识点及习题
1、直线与圆的位置关系
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
直线l与⊙O相交<====> d 直线l与⊙O相切<====> d=r; 直线l与⊙O相离<====> d>r; 2、切线的判定和性质 (1)、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。如右图中,OD垂直于切线。 4、切线长定理 (1)、切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点 到圆的切线长。 (2)、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点 的连线平分两条切线的夹角。 (3)、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。 (4)、三角形的内切圆:与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。三角形的内 切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。 基础训练 1.填表: 直线与圆的位置关系图形 公共点 个数 公共点 名称 圆心到直线的距离d 与圆的半径r的关系 直线的 名称 相交 相切 相离 2.若直线a与⊙O交于A,B两点,O到直线a•的距离为6,•AB=•16,•则⊙O•的半径为_____. 3.在△ABC中,已知∠ACB=90°,BC=AC=10,以C为圆心,分别以5,52,8为半径作图,那么直线AB 与圆的位置关系分别是______,_______,_______. 4.⊙O的半径是6,点O到直线a的距离为5,则直线a与⊙O的位置关系为() A.相离 B.相切 C.相交 D.内含 5.下列判断正确的是() ①直线上一点到圆心的距离大于半径,则直线与圆相离;②直线上一点到圆心的距离等于半径,则直线 与圆相切;③直线上一点到圆心的距离小于半径,•则直线与圆相交. A.①②③ B.①② C.②③ D.③ 6.OA平分∠BOC,P是OA上任一点(O除外),若以P为圆心的⊙P与OC相离,•那么⊙P与OB的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 7.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=6,CB=8,以C为圆心,r为半径作⊙C,当r为多少时,⊙C与AB相切? 8.如图,⊙O的半径为3cm,弦AC=42cm,AB=4cm,若以O为圆心,•再作一个圆与AC相切,则这个圆的半径为多少?这个圆与AB的位置关系如何? ◆提高训练 9.如图所示,在直角坐标系中,⊙M的圆心坐标为(m,0),半径为2,•如果⊙M与y轴所在直线相切,那么m=______,如果⊙M与y轴所在直线相交,那么m•的取值范围是_______. 10.如图,△ABC中,AB=AC=5cm,BC=8cm,以A为圆心,3cm•长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______. 11.如图,正方形ABCD的边长为2,AC和BD相交于点O,过O作EF∥AB,交BC于E,交AD于F,则以点B为圆心,2长为半径的圆与直线AC,EF,CD的位置关系分别是什么? 12.已知⊙O的半径为5cm,点O到直线L的距离OP为7cm,如图所示. (1)怎样平移直线L,才能使L与⊙O相切? (2)要使直线L与⊙O相交,应把直线L向上平移多少cm? 13.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5,若以C为圆心,r为半径作圆,•那么: (1)当直线AB与⊙C相切时,求r的取值范围; (2)当直线AB与⊙C相离时,求r的取值范围; (3)当直线AB与⊙C相交时,求r的取值范围. 14.在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30•°的方向迎着气象站袭来,已知该风暴速度为每小时20千米,风暴周围50千米范围内将受到影响,•若该风暴不改变速度与方向,问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响?若不受影响,请说明理由;若受影响,请求出受影响的时间. 九年级直线和圆的位置关系练习题 一、选择题: 1.若∠OAB=30°,OA=10cm,则以O为圆心,6cm为半径的圆与射线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定 2.Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以C为圆心作⊙C和AB相切,则⊙C的半径长为() A .8 B .4 C .9.6 D .4.8 3.⊙O 内最长弦长为m ,直线l 与⊙O 相离,设点O 到l 的距离为d ,则d 与m 的关系是( ) A .d =m B .d >m C .d >2 m D .d <2 m 4.以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边,则该三角形为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形 5.菱形对角线的交点为O ,以O 为圆心,以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的关系为( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不能确定 6.⊙O 的半径为6,⊙O 的一条弦AB 为63,以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是( ) A .相离 B .相交 C .相切 D .不能确定 7.下列四边形中一定有内切圆的是( ) A .直角梯形 B .等腰梯形 C .矩形 D .菱形 8.已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ,那么点O 是△DEF 的( ) A .三条中线交点 B .三条高的交点 C .三条角平分线交点 D .三条边的垂直平分线的交 点 9.给出下列命题: ①任一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆; ②任一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形; ③任一个三角形一定有一个内切圆,并且只有一个内切圆; ④任一个圆一定有一个外切三角形,并且只有一个外切三角形. 其中真命题共有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二、证明题 1. 如图,已知⊙O 中,AB 是直径,过B 点作⊙O 的切线BC ,连结CO .若AD ∥OC 交⊙O 于D .求证:CD 是⊙O 的切线. 2. 已知:如图,同心圆O ,大圆的弦AB=CD ,且AB 是小圆的切线,切点为E .求证:CD 是小圆的切线. 3. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=5,BC=12,⊙O 的半径为3. (1)当圆心O 与C 重合时,⊙O 与AB 的位置关系怎样?