高一数学知识点全解

高一数学知识点全解必修一第一章，集合与函数概念 一，集合1.集合的有关概念：1) 集合的含义：一般的指定的某些对象的全体称为集合（也称为集），集合中的每个对象是集合的一个元素。

2) 集合元素的三个特性：① 元素的确定性 ，如：世界上最高的山② 元素的互异性， 如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y ,} ③ 元素的无序性， 如：{A,B,C}和{A,C,B}表示同一个集合 3） 集合的表示方法：① 列举法，将集合中的元素一一列举出来。

如:{我们班的全体学生}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}② 描述法，将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内。

如：{x 23|>-∈x R },{(x,y)|2x+3y=0,x R y R ∈∈,}③ Venn 图，例题：（集合的意义与表示方法）1.一直集合A={33,,222)1(++++a a a a } 若1A ∈，求实数a 的值2.试用列举法和描述法分别表示下列集合① 方程022=-x 所有实根组成的集合 ② 由大于10小于20的整数组成的集合*思考：能否用例举法表示不等式?37<-X作业：基础篇1，基础篇下列集合中，表示方程组的解集的是（ ）（A ） （B ）（C ）（D ）2，若集合只有一个元素，则实数的值加强篇1，集合A 的元素由0232=+-x kx 的解组成，其中,R k ∈若A 中的元素之多有一个，求k 的 值 2，若，求实数的值。

二，集合间的基本关系 1，“包含”关系--子集注意：A BA AB B A B A B A B ⊄⊆，记作不包含，或者集合不包含于集合反之：集合是同一集合与）的一部分：（是）有两种可能（212“相等”关系：A=B （5》5，且5《5）实例：设 }1,1{},01|{2-==-=B x x A “两个集合表示的元素相通则集合相等”即：① 任何一个集合是它本身的子集② 真子集：如果A B A B ≠⊆，且那就是说集合A 是集合B 的真子集，记作A B（或者B A ）③ 如果A B ⊆，C B ⊆，那么C A ⊆ ④ 如果B A A B B A =⊆⊆那么同时 3，不含任何元素的集合叫空集，记作* 有N 个元素的集合，含有个真子集子集，122-N N例题（集合间的基本关系） 1，设，，若，则实数的取值范围是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）2，若集合、、，满足，，则与之间的关系为（ ）（A ） （B ）（C ） （D ）作业：基础篇1、图中阴影部分表示的集合是 ( ) A. B C A U I B. B A C U I C. )(B A C UI D. )(B A C UY2、已知集合A={x x ≤2，R x ∈}，B={x x ≥a}，且B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）a ≥－２ （B ）a ≤－２ （C ）a ≥２ （D ）a ≤２3、设全集{}+∈≤=N x x x U ,8|，若{}8,1)(=B C A U I ，{}6,2)(=B A C U I ， {}7,4)()(=B C A C U U I ，则 （ ）（A ）{}{}6,2,8,1==B A （B ）{}{}6,5,3,2,8,5,3,1==B A （C ）{}{}6,5,3,2,8,1==B A （D ）{}{}6,5,2,8,3,1==B A 4、设P=}|),{(},|{22x y y x Q x y x ===，则P 、Q 的关系是 （ ） （A ）P ⊆Q（B ）P ⊇Q（C ）P=Q （D ）P ⋂Q=∅加强篇 1，已知集合，，且，求实数的取值范围。

2，已知集合，，若，求实数的取值范围。

二，函数一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 例题1、下列各对函数中，相同的是 （ ）A 、x x g x x f lg 2)(,lg )(2== B 、)1lg()1lg()(,11lg )(--+=-+=x x x g x x x f C 、 vvv g u u u f -+=-+=11)(,11)( D 、f （x ）=x ，2)(x x f =A B U二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；2求函数定义域的两个难点问题（1） ()x 已知f 的定义域是[-2,5],求f(2x+3)的定义域。

（2） (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且x ∈R的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：二次函数必画草图求其值域；⑦利用对号函数四．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称 ②看f(x)与f(-x)的关系五、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则()[]x g f y =在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

六．函数的周期性：1．（定义）若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数，T 是它的一个周期。

说明：nT 也是)(x f 的周期（推广）若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a2 定义在R 上的偶函数()f x ，满足(2)(2)f x f x +=-，在区间［-2,0］上单调递减，设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==，则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f (x )是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f (2005)= .4 已知)(x f 是(-∞+∞，)上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当0≤≤x 1时，f(x)=x ，则f(7.5)=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； ⑶计算：七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域； 2、求反函数的步骤 （1）解 (2)换 (3)写定义域。

3、关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称； （2）y=f(x)和y=f -1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1(a)； （4）f -1[f(x)]=x;（5）若点 (a,b)在y=f(x)的图象上，则 (b,a)在y=f --1(x)的图象上；（--11设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过（A ）1(,1)2（B ）1(1,)2（C ）(1,0) （D ）(0,1)一．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)1．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴ab x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b -- 2．二次函数与一元二次方程关系一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)0=y 的x 的取值。

一元二次不等式)0(02<>++c bx ax 的解集(a>0) 二次函数 △情况 一元二次不等式解集Y=ax 2+bx+c (a>0)△=b 2-4acax 2+bx+c>0 (a>0)ax 2+bx+c<0 (a>0)图象与解△>0 {}21x x x x x ><或{}21x x xx <<△=0 {}0x x x ≠Φ△<0 RΦ1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ）（A ）25)1(≥f (B) 25)1(=f (C) 25)1(≤f (D) 25)1(>f 2、方程0122=++mx mx 有一根大于1，另一根小于1，则实根m 的取值范围是_______二．指数式与对数式 1．幂的有关概念(1)零指数幂)0(10≠=a a (2)负整数指数幂()10,n n aa n N a-*=≠∈ (3)正分数指数幂)0,,,1m nm na a a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r sr sa a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs aa a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式根式的性质:当n 是奇数，则a a nn=；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn4．对数(1)对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a na m 且 (1) 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab (2)1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+三．指数函数与对数函数x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x (a>0且a ≠1)y=log a x (a>0 , a ≠1)定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点（０，1）（1，０）图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数a>1,在(0,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?2. 比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：3、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制4、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。