中考专题二次函数题型分类总结

一、二次函数的定义
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．
练习：
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ；
⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ；
⑧y=－5x 。

2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4
秒时，该物体所经过的路程为 。

3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。

4、若函数y=(m －2)x
m －2
+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。

6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

二、二次函数的对称轴、顶点、最值
1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b
x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，． 当2b x a <-
时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b
x a
=-时，y 有最小值2
44ac b a
-．
2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，．当2b
x a <-
时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-
时，y 随x 的增大而减小；当2b
x a
=-时，y 有最大值2
44ac b a
-．
练习：
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。

2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ .
3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )
B.
5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( )
A.开口向上，对称轴是y轴
B.开口向下，对称轴是y轴
C.开口向下，对称轴平行于y轴
D.开口向上，对称轴平行于y轴
6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1
4
的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .
7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。

8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。

9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0.
11．已知二次函数y=mx2+(m－1)x+m－1有最小值为0，则m＝ ______ 。

12．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝。

三、函数y=ax2+bx+c的图象和性质
练习：
1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。

2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。

3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。

4.二次函数y=3x 2
－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。

5.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。

6.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .
7.已知二次函数y=－12 x 2+3x+5
2 的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则
y 1,y 2,y 3的大小关系为 .
8．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－1
4 x 2+x －4
9.如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像
大致是（ ）
10．试说明函数y=1
2 (x －3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。

11．某商场以每台2500元进口一批彩电。

如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？
四、二次函数图象的平移及二次函数基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2
y a x h =-的性质：左加右减。

4.()2
y a x h k =-+的性质：
2、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成
c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）
练习：
1．填表：
2．已知函数y=2x 2,y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2。

（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。

（2）分析分别通过怎样的平移。

可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？
3．试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移2
3 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

5．把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，在向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x 2－3x+5，试求b 、c 的值。

6．把抛物线y=－2x 2+4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

7.抛物线y= －3
2 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式
为 。

8.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。

9.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

10.如果将抛物线y=2x 2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。

11.将抛物线y=ax 2+bx+c 向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x 2－4x －1则a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 12.将抛物线y ＝ax 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的
抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _.
五、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：
① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，
，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac
AB x x a
-=-=.
② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.
1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'
当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．
2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，
c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
下面以0a >时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：
练习：
1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写
一个即可）
2. 二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为
3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点
4. 如图所示，二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于点C ， 则△ABC
的面积为( ) A.6 B.4
C.3
D.1
5. 已知抛物线y ＝5x 2＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为
49
25
，则m 的值为( ) A.－2 B.12
C.24
D.48
6. 若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是
7. 1.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。

8. 2.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有 个交点。

9. 已知抛物线y ＝x 2-2x-8，
（1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。

六、函数的的对称性
二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 ➢ 关于x 轴对称
2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---； ➢ 关于y 轴对称
2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++； ➢ 关于原点对称
2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；
()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-；
➢ 关于顶点对称
2
y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2
2
2b y ax bx c a
=--+-；
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
➢ 关于点()m n ，
对称 ()2
y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
练习
1.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。

2.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则a= b= c=
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．
⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；
⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数b
在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b
a
-
<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -
=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b
a
->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b
a
->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -
=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b
a
-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．
总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．
ab 的符号的判定：对称轴a b
x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab
3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
练习
1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b<0,c=0
D.a>0,b<0,c<0
2.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象2如图所示，则下列结论正确的是（ ） A ．a+b+c> 0 B ．b> -2a
C ．a-b+c> 0
D ．c< 0
3.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论： ①c>0； ②a+b+c> 0
③a-b+c> 0 ④b 2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．①②③
D ．①③⑤
4.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）
5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a>b>c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是图所示的( )
6．二次函数
y ＝
ax 2
＋bx
＋c 的图象如图5所示，那么
abc ，
b
2－4ac ， 2a ＋b ，a ＋b ＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
7.在同一坐标系中，函数y= ax 2+c 与y= c
x
(a<c)图象可能是图所示的( )
A B C D
8.反比例函数y= k
x 的图象在一、三象限，则二次函数y ＝kx 2-k 2x-1c 的图象大致为图中的
（ ）
9.反比例函数y= k
x 中，当x> 0时，y 随x 的增大而增大，则二次函数y ＝kx 2+2kx 的图象
大致为图中的（ ）
1
x
y
O 1
x y O 1
x
y
O 1
x
y
O
A B C D 10.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论： ①a ，b 同号； ②当x ＝1和x ＝3时，函数值相同； ③4a ＋b ＝0;
④当y ＝－2时，
x 的值只能取0； 其中正确的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y ＝ax ＋bc 不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
八、函数解析式的求法
a) 三点式。

1，已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。

➢ 顶点式。

1，已知抛物线y=x 2-2ax+a 2
+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。

2，已知抛物线 y=4(x+a)2
-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。

➢ 交点式。

1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。

2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2
1
a(x-2a)(x-b)的解析式。

➢ 定点式。

1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222
5212-+-+-=a x a
x y 经过x 轴上一定点Q ，
直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。

2，抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。

3，抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。

➢ 平移式。

1，把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线
y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

2，抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. ➢ 距离式。

1，抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。

2，已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。

➢ 对称轴式。

离的2倍，求抛物线的解析式。

2、已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且
OB-OA=4
3
OC ，求此抛物线的解析式。

➢ 对称式。

1，平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。

AD 交y 轴于E ，
将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。

2，求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。

➢ 切点式。

1，已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。

2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。

➢ 判别式式。

1、已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线
y=-x 2
+(m+1)x+3解析式。

2、已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。

3、已知抛物线y=(m+1)x 2+(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

练习
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2+bx+c ，然后解三元方程组求解； 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x －h)2+k 求解。

3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x －x 1)(x －x 2)。

5．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

6．已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。

7．抛物线y=2x 2+bx+c 与x 轴交于（2，0）、（－3，0），则该二次函数的解析式 。

8．若抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为（1，3），且与y=2x 2的开口大小相同，方向相反，则该二次函数的解析式 。

9．抛物线y=2x 2+bx+c 与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b ＝ ，c ＝ . 10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y 轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。

11．根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1） 当x=3时，y 最小值=－1，且图象过（0，7）
（2） 图象过点（0，－2）（1，2）且对称轴为直线x=32
（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）
（4） 当x=1时，y=0; x=0时,y= －2，x=2 时，y=3
（5）抛物线顶点坐标为（－1，－2）且通过点（1，10）
11．当二次函数图象与x轴交点的横坐标分别是x
1= －3，x
2
=1时，且与y轴交点为（0，－2），
求这个二次函数的解析式
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。

13．知二次函数图象顶点坐标（－3，1
2
）且图象过点（2，
11
2
），求二次函数解析式及图象
与y轴的交点坐标。

14．已知二次函数图象与x轴交点(2,0)， (－1,0)与y轴交点是(0,－1)求解析式及顶点坐标。

15若二次函数y=ax2+bx+c经过（1，0）且图象关于直线x= 1
2
对称，那么图象还必定经过哪
一点？
16．y= －x2+2(k－1)x+2k－k2，它的图象经过原点，求①解析式②与x轴交点O、A及顶点C组成的△OAC面积。

17．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= －1
2
x+2上，
求函数解析式。

九、二次函数应用
一、利润最值问题
（一）一般利润最值问题
1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？最大利润为多少？
（二）与一次函数相关的利润最值问题
2.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y(元)与销售月份x (月)满足关
系式
13
36 8
y x
=-+，而其每千克成本2y(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．
(1)试确定b，c的值；
(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式；
(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?
3.铜陵市大润发超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y(千克)与销售单价x(元)(30
x）存在如下
图所示的一次函数关系式．
⑴试求出y与x的函数关系式；
⑵设大润发超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得
最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围(直接写出答案)．
二、面积最值问题
4.蒋老师的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，蒋老师准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？
x
5.如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．
（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；
（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理
由．
三、图形问题
6.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
7.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正
常情况下，该运动员在空中的最高处距水面
2
10
3
米，入水处距池边的距离为4米，运动员在
距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；
（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完
成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为
3
3
5
米，问此次跳水会不会失
误？并通过计算说明理由．
O
四、图像问题
（一）长度最值、平行四边形问题
8.如图，抛物线14
17
452++-=x y 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过
点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C(3，0). （1）求直线AB 的函数关系式；
（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN ⊥x 轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N. 设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 是否菱形？请说明理由.
O
x
A M N
B
P C
题22图
（二）周长与面积最值问题
9.如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积
及E点的坐标．
（三）等腰三角形问题
10.如图，抛物线254y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，
已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，
是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条 件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
（四）分段函数、累计二次函数问题
11.启优学堂积极应对2018年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x月之间的函数关系（即前x个月的利润总和y 与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=-5x2+205x-1230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12。

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x月之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获利润s（万元）与时间x（月）之间的函数关系式；
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？。