(优选)离散数学一阶逻辑等值式
离散数学第2章一阶逻辑
2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
综上，有如下结论： (1)谓词中个体词的顺序不能随意变更。 (2)一元谓词用以描述一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系。 (3)0元谓词就是一般命题。 (4)具体命题的谓词表示形式和n元谓词是不同的， 前者是有真值的，而后者不是命题，它的 真值是不确定的。 (5)一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的 个体变项都用个体域中某个具体的个体取代后， 就成为一个命题。而且，个体变项在不同的个体域 中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大 的影响。
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2.2.1 一阶逻辑公式的语言翻译 2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
例2.2.1 用一阶逻辑符号化下述语句. (1)天下乌鸦一般黑。 (2)没有人登上过木星。 (3)在美国留学的学生未必都是亚洲人。 (4)每个实数都存在比它大的另外的实数。 (5)尽管有人很聪明，但未必一切人都聪明 (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使 得对任意的x，只要|x-a|<δ ，就有 |f(x)-f(a)|<ε 成立。
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2.1 一 阶 逻 辑 基 本 概 念
解： (1)设F(x):x是乌鸦；G(x,y):x与y一般黑 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) 或者 (x)(y)(F(x)F(y)G(x,y)) (2)设H(x):x是人；M(x):x登上过木星。 (x)(H(x)M(x)) 或 (x)(H(x) M(x)) (3)设H(x)：是亚洲人；A(x):是在美国留学的学生。 (x)(A(x) H(x)); 或者： (x)(A(x) H(x)) (4)设R(x):x是实数；L(x,y):x小于y (x)(R(x) (y)(R(y) L(x,y))); (5)设M(x):x是人；C(x):x很聪明 (x)(M(x)C(x)) (x)((M(x) C(x)); (6)对任意给定的ε >0，必存在着δ >0，使得对任意的x，只 要|x-a|<δ ，就有|f(x)-f(a)|<ε 成立。 (ε )((ε >0)(δ )((δ >0) (x)(( |x-a|<δ (|f(x)-f(a)|<ε )))) 28
第2章_一阶逻辑[离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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Table2两个变量的量词
描述 xyP(x,y) yxP(x,y) xyP(x,y) xyP(x,y) 真 假 对于任意一组x和y， 存在一组x和y，使 P(x,y)为真 得P(x,y)为假 对于任意x，存在y， 存在x，对于任意y， 使得P(x,y)为真 P(x,y)为假 存在x，对于任意y， 对于任意x，存在y， P(x,y)为真 使得P(x,y)为假
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一阶逻辑基本概念
EXAMPLE 5
设P(x) 表示语句“x2<10.”，个体 域为不大于4的所有正整数。则x P(x)的真值是多少?
x P(x)=P(1)∧P(2)∧P(3)∧P(4) = 0
17
一阶逻辑基本概念
DEFINITION 3.
谓 词 P(x) 的 存 在 量 化 (existential quantification)是一个按如下规则确定真值的命题：如果
11
一阶逻辑基本概念
为了进一步讨论命题函数P(x)的真值情况， 首先需要指定个体变量x的取值范围，即个体 域(universe of discourse, or domain)。每 一个个体变量x都有自己的个体域。如果没有 特别指定的个体域，则缺省为一个全个体域 (total universe of discourse) 即任意个体 均可以作为常量对x代入。
DEFINITION 4.
一阶逻辑公式及解释
谓词公式定义为：
(1)n元谓词是一个谓词公式； (2)若A是谓词公式，则(﹁A)也是谓词公式； (3)若A,B是谓词公式，则(A∧B)、(A∨B)、(A→B)、 (A↔B)也是谓词公式；
(4)若A是谓词公式，则xA，xA也是谓词公式。
(5)有限次地使用(1)~(4)所得到的也是谓词公式。
《离散数学》一阶逻辑
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x)
注意量词的变化
注意量词的变化
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证明:设D={a1,a2,…,an}
（1）x(A(x)∨B) (A(a1)∨B) ∧(A(a2)∨B)∧… ∧(A(an)∨B) (A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)) ∨B xA(x)∨B
设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
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量词否定等值式
❖定理2.1 量词否定等值式
▪ xA(x) xA(x)
▪ xA(x) xA(x)
❖证明:设D={a1,a2,…,an}
▪
xA(x)
A(a(A1)(∨a1)∧AA(a(a2)2∨)∧……∨∧AA(a(na)n))
10
明确个体域
例2.（1） 凡人都要死的。（ 2） 有人活百岁以上
❖ 考虑个体域D为人类集合
▪ F(x)： x是要死的。 x F(x)
个体域不同，符号化不同
▪ G(x)： x活百岁以上。 x G(x)
❖ 考虑个体域为全总个体域
▪ 对于所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。引入新谓词 M(x): x是人。
(此点以后再讨论)； ❖ 当个体域为有限集时，如果D={a1,a2,…an},由量词的意义可以看出，对于
任意的谓词A(x), 都有：
▪ xA(x) A(a1)∧A (a2) ∧…∧A (an); ▪ xA(x) A (a1)∨A (a2) ∨…∨A (an).
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嵌套量词
❖多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。 ❖对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
离散数学课件第二章 一阶逻辑
§2.1
一阶逻辑的基本概念
原因：命题逻辑不考虑命题之间的内在联系
和数量关系。
要反映这种内在联系，就要对命题逻 辑进行分析 , 分析出其中的个体词、谓词和 量词，再研究它们之间的逻辑关系，总结出 正确的推理形式和规则，这就是一阶(谓词) 逻辑的研究内容。 办法：将命题再次细分。
解决这个问题的方法： 在表示命题时，既表示出主语，也表示 出谓语，就可以解决上述问题。这就提出了 谓词的概念(谓词是用来刻划个体词的性质 或事物之间的关系的词,谓词S(x)相当于一 个函数).
§2.1 一阶逻辑的基本概念
2.1.1 个体、谓词和命题函数 在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词和个体两部分。
主语 谓语 宾语
讨论对象 对象的性质或关系
讨论对象
个体词（组）
谓词
个体词（组）
1、定义：在原子命题中，所描述的对象称为个体；用 以描述个体的性质或个体间关系的部分，称为谓词。
例2.1：分析下列个命题中的个体和谓词
如何表示？
2.1.3 命题函数 谓词本身并不是命题，只有谓词的括号内填入足够 的个体，才变成命题。 设 H(x) 是谓词 表示 x “能够到达山顶” ， l 表示个体李四， t 表示老虎， c 表示汽车， 那么H（l）， H（t）， H（c），等分别表示各 个不同的命题：但它们有一个共同的形式， 即 H（x） 当 x 分别取 l、 t、 c 时 就表示“李四能够到达山顶”，“老虎能够到达山 顶”，“汽车能够到达山顶”。
Discrete Mathematics
刘师少
Tel： 86613747（h） E-mail： lss@
授课:
51学时
教学目标:
知识、能力、素质
第二章 一阶逻辑
离散数学一阶逻辑等值演算
在一阶逻辑中，推理系统还包括量词和谓词，量词 用于描述个体的数量，谓词则用于描述个体的性质 。
推理系统的构造
构造推理系统需要确定系统的 公理和推理规则。
公理的选择应确保系统的一致 性和完备性，即从公理推导出 的结论不与已知事实相矛盾， 并且所有需要的结论都能从公 理推导出来。
离散数学一阶逻辑等值演算的展望
形式化方法的普及和应用
随着计算机科学的不断发展，离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法将更加普及和应 用，成为解决复杂问题的关键工具之一。
人工智能与离散数学的深度融合
未来的人工智能系统将更加依赖于离散数学一阶逻辑等值演算的形式化方法，以实现更 加智能化的推理和决策。
新兴领域的应用拓展
离散数学一阶逻辑等值演算
目
CONTENCT
录
• 离散数学概述 • 一阶逻辑基础 • 等值演算 • 推理系统 • 应用实例 • 离散数学一阶逻辑等值演算的发展
趋势与展望
01
离散数学概述
定义与特点
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树、逻辑等）的数学分 支的总称。
特点
离散数学主要关注离散对象的结构、性质和关系，通常不涉及连 续的量或函数。
离散概率论是研究离散随机事件的数学分支，例如扔骰子、抽签等。一阶逻辑等值演算在离散概率论 中也有着重要的应用。
利用一阶逻辑等值演算，可以描述随机事件之间的关系和性质，例如计算事件的概率、推导事件的独 立性等。这些描述方法有助于深入理解随机事件和概率分布，为解决实际问题提供有力支持。
06
离散数学一阶逻辑等值演算的发展趋势与展望
《离散数学》第二章一阶逻辑
定义谓词F(x)：x是亚洲人。 x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
真值： T
2013-7-29
离散数学
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例：将下列命题符号化。 (1) 兔子比乌龟跑得快.
解：定义特性谓词F(x)：x是兔子。
G(y): y是乌龟。
x(M ( x) F ( x))
x(M ( x) F ( x))
考虑所有狮子都喝咖啡的情况。
左式为假，符合原句的意思。 对右式而言，设x是老虎，则右式为真。这和原 句是矛盾的。
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离散数学
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个体域对命题符号化的影响
例：将下列命题符号化。要求个体域为： （1）有理数集合；（2）实数集合；（3）全总个体域。 1. 凡是有理数均可表示成分数。 解：设P (x)：x是有理数。 Q (x)：x可以表示成分数。 （1）有理数集合：x Q(x) （2）实数集合： x (P(x) Q(x)) （3）全总个体域：x (P(x) Q(x)) 2. 有的有理数是整数。 解：设P (x)：x是有理数。 I (x)：x是整数。 （1）有理数集合： x I (x) （2）实数集合： x (P(x) I(x)) （3）全总个体域： x (P(x) I(x))
第二章 一阶逻辑
浙江工业大学计算机学院 浙江工业大学软件学院
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离散数学
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所有的人都是要死的。 苏格拉底是人， 所以苏格拉底是要死的。
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离散数学
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命题逻辑的局限
符号化： P:所有的人都是要死的。 Q:苏格拉底是人， R:所以苏格拉底是要死的。 P∧Q→R 推理正确吗? 命题逻辑不能表现出简单命题中各部分的内在联系。
离散数学第五章一阶逻辑等值演算与推理
5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B 是等值的。
记做A B，称A B是等值式。
谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。
下面主要讨论关于量词的等值式。
一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。
例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。
又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。
第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x)(5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。
对于(1)式，“并不是所有的x都有性质A”与“存在x没有性质A”是一回事。
对于(2)式，“不存在有性质A的x”与“所有x都没有性质A”是一回事。
第四组量词辖域收缩与扩张等值式设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则(1)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.3)(2)x(A(x)∨B)xA(x)∨Bx(A(x)∧B)xA(x)∧Bx(A(x)→B)xA(x)→Bx(B→A(x))B→xA(x) (5.4)注意：这些等值式的条件。
第五组量词分配等值式设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则(1)x(A(x)∧B(x)）xA(x)∧xB(x)(2)x(A(x)∨B(x)）xA(x)∨xB(x) (5.5)二、基本规则1．置换规则设Φ(A)是含公式A的公式，Φ(B)是用公式B取代Φ(A)中所有的A之后的公式，若A B，则Φ(A)Φ(B).一阶逻辑中的置换规则与命题逻辑中的置换规则形式上完全相同，只是在这里A，B 是一阶逻辑公式。
离散数学 第二章：一阶逻辑
(2) xF(x) G(x, y);
(3) xyR(x, y) L(y, z) xH(x, y).
2.闭式
定义6. 设A为任一公式,若A中无自由出现的个体变项,则称A是 封闭的合式公式,简记闭式.
例: xF(x) G(x),xyF(x) G(x, y) 闭式, 但 xF(x) G(x, y),zyL(x, y, z) 不是闭式.
(1)所有的人都要死的. (2)有的人活百岁以上.
全称量词:一切,所有,任意. 用 表示.
1.量词
x：表示对个体域中的所有个
xF(x)体：表. 示个体域中的所有个体都具有性质F.
存在量词:存在着,有一个,至少有一个. 用 表示.
x：表示存在个体域里的个体.
xF ( x)：表示存在着个体域中的个体具有性质F.
（2）xR(x) G(x), 其中 G(x): x是整数.
3) 同2).
例3. 将下面命题符号化. (1)对所有的x ,均有 x2-1=(x+1)(x-1). (2)存在x,使得 x+5=2.
要求: 1)个体域为自然数集合. 2)个体域为实数集合.
解：1) 不用引入特性谓词.
（1）xF(x), 其中 F(x): x2-1=(x+1)(x-1). 真命题
（3） xF(x) yF(y) L(x, y),
其中 F(x): x是自然数, L(x,y): y是 x的先驱数.
§2.2 一阶逻辑合式公式及解释
一、合式公式
1.字母表 定义1.字母表如下: (1)个体常项: a,b,c,… (2)个体变项: x,y,z,… (3)函数符号: f,g,h,… (4)谓词符号: F,G,H,…
离散数学第二章
(5) 只有有限次地应用(1)－(4)构成的符号串
才是合式公式(也称谓词公式)，简称公式。
(1) x( P( x) Q( y)) (2) x(G( x) xH ( x, y)) (3) x(y(R( x, y)) F ( x)) (4), x2 , xn )是任意 n 元谓词，
t1 , t2 ,, tn 是项，则称 R(t1 , t2 ,, tn ) 为原子公式。
4、合式公式的递归定义。
(1) 原子公式是合式公式；
(2) 若 A 是合式公式，则(A)也是合式公式；
(3)若 A, B 是合式公式，则( A B),( A B),
个体常项
用 a, b, c 表示
个体词 个体变项
用 x, y , z 表示
个体域(或称论域)——个体变项取值的范围。 2、 谓词——刻画个体词的性质或 个体词之间关系的词。
谓词常项
谓词 谓词变项
都用 F , G, H 表示
n元谓词(用 F ( x1 , x2 ,, xn ) 表示) 如 F ( x, y)：x 比 y 高。
构成了公式的一个解释。
1、解释 I 由以下4部分组成： (3) D 上一些特定的函数； (4) D 上一些特定的谓词；
例1 A x( P( x) Q( x))
I : D {2,3}, P( x) : x 2, Q( x) : x 3
A x( P( x) Q( x))
性质F 1 D中至少有一个元素满足 xF ( x) : D中所有元素不满足性质 F 0
D {a1, a1,, an }
xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an ) xF( x) F (a1 ) F (a2 ) F (an )
(优选)离散数学一阶逻辑等值式
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
基本等值式(续)
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y) xA( x)
该式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变项； 无论y取何值，A(y)应该均为真； 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
A( c ) xA( x)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则（简记为EI规则或EI）
xA( x) A(c)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
一阶逻辑等值式与前束范式
目录
• 一阶逻辑等值式 • 前束范式 • 一阶逻辑等值式与前束范式的比较 • 一阶逻辑等值式与前束范式的转换 • 一阶逻辑等值式与前束范式的实际应用
01
一阶逻辑等值式
等值式的定义
总结词
一阶逻辑等值式是指在逻辑推理过程中 ，两个一阶逻辑公式在逻辑上等价的公 式。
VS
详细描述
04
一阶逻辑等值式与前束 范式的转换
等值式转换为前束范式
总结词
将一阶逻辑等值式转换为前束范式的过程需要遵循一定的规则和步骤，以确保转换的正 确性和有效性。
详细描述
首先，需要识别等值式中的所有量词，并根据量词的类型（存在量词或全称量词）进行 分类。然后，根据量词的特性，将等值式中的公式进行适当的重写和重组，以消除量词 的存在。在转换过程中，需要注意保持等值式的逻辑等价性，确保转换后的前束范式与
02
前束范式
前束范式的定义
前束范式是一种一阶逻辑公式表示形 式，其特点是所有量词都出现在公式 前面，且每个量词的范围都被明确的 括号括起来。
前束范式具有清晰的形式化表达，使 得逻辑推理和证明更加方便。
前束范式的性质
01
前束范式的量词具有顺序性，即量词的顺序决定了 公式中表达式的顺序。
02
前束范式的量词范围明确，每个量词的作用域被括 号明确地界定。
05
一阶逻辑等值式与前束 范式的实际应用
在知识表示中的应用
知识推理
一阶逻辑等值式与前束范式在知 识推理中发挥了重要作用，它们 能够清晰地表示知识的逻辑关系， 有助于提高推理的准确性和效率。
知识表示语言
一阶逻辑等值式与前束范式可以 作为知识表示语言的基础，用于 构建更加丰富和精确的知识库， 为人工智能系统提供可靠的知识 支持。
离散数学第二章一阶逻辑
(2) ∀x∀y(x+0=y →y+0=x) 真命题 (3) ∀x∀y∃z(x+y=z) 真命题 (4) ∀x∀y(x+y=x*y) 假命题 (5)x+y=y+z,它的真值不确定,因而不是命题. 注)非闭式,在有的解释中不是命题.
定义:设A为一公式(谓词公式),如果A在任何解释下都是 真的,则称A为逻辑有效式(永真式);如果A在任何解释下 都是假的,则称A是矛盾式(永假式);若至少存在一个解 释使A为真,则称A是可满足式. 2.代换实例 设A0是含命题变项p1,p2,…,pn的命题公式,A1,A2,…,An 是n个谓词公式,用Ai(1≤i≤n)处处代换pi,所得公式A 称为A0的代换实例. 例如:F(x)→G(x),∀xF(x)→∃xG(x)等都是p→q的代换实例; 命题公式中的重言式的代换实例在谓词公式中可仍称为重言式 ,这样的重言式都是逻辑有效式. 命题公式中的矛盾式的代换实例仍为矛盾式.
例2.7 给定解释I如下: 1)DI={2,3} 2)DI中特定元素a=2 3)函数f(x)为f(2)=3,f(3)=2 4)谓词F(x)为F(2)=0,F(3)=1 G(x,y)为G(i,j)=1,i,j=2,3 L(x,y)为L(2,2)=L(3,3)=1,L(2,3)=L(3,2)=0 在解释I下,求下列各式的真值 (1) ∀ ∀x(F(x)∧G(x,a)) (2)∃x(F(f(x))∧G(x,f(x))) ∃ (3)∀x∃yL(x,y) ∀ ∃
例2.2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)凡有理数均可表成分数; (2)有的有理数是整数; 要求:1)个体域为有理数集合, 2)个体域为实数集合, 3)个体域为全总个体域. 解: 1)个体域为有理数集合(不用引入特性谓词): (1) 设 F(x):x可表成分数; 则命题符号化为∀xF(x). ∀ (2) 设 G(x):x是整数;则命题符号化为∃xG(x). 2)个体域为实数集合(引入特性谓词):令 R(x):x是有理数; (1) 设F(x):x可表成分数;则命题符号化为∀x(R(x)→F(x)) (2) 设G(x):x是整数;则命题符号化为∃x(R(x)∧G(x))。
离散数学(一阶逻辑等值演算与推理)
（量词否定等值式） （量词分配等值式）
量词否定等值式 换名规则 辖域收缩扩张规则
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求前束范式的实例
(3) xF(x)y(G(x,y)H(y)) 解 xF(x)y(G(x,y)H(y)) zF(z)y(G(x,y)H(y)) zy(F(z)(G(x,y)H(y))) 或 xF(x)y(G(z,y)H(y)) xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
若x(A(x)B)在I下取0值，则在I下对任意的 xD，使A(x)B在I下取0值。故A(x)和B都 为假命题，所以xA(x)B在I下取0值。
13
基本等值式
(4) 量词分配等值式 ① x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) ② x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x) 注意：对，对无分配律
3
基本等值式
第二组 (1) 消去量词等值式 设D ={a1, a2, … , an} ① xA(x) A(a1)A(a2)…A(an) ② xA(x) A(a1)A(a2)…A(an)
例 设个体域 A={a,b}, 公式
(x)P(x) (x)S(x)在A上消去量词后应为: P(a)P(b)(S(a)S(b))
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实例
例3 设个体域D={a,b,c}, 消去下述公式中的量 词: (1) xy(F(x)G(y)) (2) xyF(x,y) 解 xy(F(x)G(y)) (y(F(a)G(y)))(y(F(b)G(y))) (y(F(c)G(y))) ((F(a)G(a))(F(a)G(b))(F(a)G(c))) ((F(b)G(a))(F(b)G(b))(F(b)G(c))) ((F(c)G(a))(F(c)G(b))(F(c)G(c)))
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离散数学课件-5-一阶逻辑等值演算与推理
离散数学课件-5-一阶逻辑等值演算与推理第五章一阶逻辑等值演算与推理§1 一阶逻辑等值式与置换规则定义：A，B两个谓词公式，若A?B是永真式，则称A与B是等值的，记为A?B。
常用等值式：第一组：命题逻辑中常用等值式的代换实例第二组：一阶逻辑中的特有等值式1．消去量词当D={a1, a2,…, a n}时，有①?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)②?xA(x)?A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n)2．量词否定①??xA(x)??x?A(x)②﹁?xA(x)??x?A(x)3．辖域收缩与扩张①?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B②?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B③?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B④?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B4．量词分配①?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x)②?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x)演算规则：1．置换规则：φ(A)：含A的谓词公式φ(B)：用公式B替换φ(A)中所有A之后的公式若A?B，则φ(A)?φ(B)。
2．换名规则：设A是谓词公式，把A中某指导变元对应的全部约束出现替换为A中未出现过的符号，而A中其余部分不变，设所得谓词公式为A′，则A?A′。
3．代替规则设A是谓词公式，把A中某个体变项的全部自由出现替换为A中未出现过的符号，而A中其余部分不变，设所得公式为A′，则A?A′。
例①?xF(x,y,z)→?yG(x,y,z)sF(s,y,z)→?tG(x,t,z) 换名②?x(F(x,y)→?yG(x,y,z))x(F(x,t)→?yG(s,y,z)) 代替例给定解释I：D I ={2,3}，a：2，b：3G(x,y)：G(a, a)=G(a, b)=G(b, a)=1，G(b, b)=0F(x)：F(a)=0，F(b)=1① ?x(F(x)∧G(x,a))(F(a)∧G(a,a))∧(F(b)∧G(b,a))?(0∧1)∧(1∧1)? 0② ?x?yG(x,y)x(G(x,a)∧G(x,b))(G(a,a)∧G(a,b))∨(G(b,a)∧G(b,b))(1∧1)∨(1∧0)1例证明：﹁?x(F(x)→G(x))??x(F(x)∧﹁G(x)) 解：﹁?x(F(x)→G(x))﹁?x(﹁F(x)∨G(x))x﹁(﹁F(x)∨(G(x)x(F(x)∧﹁G(x))§2 前束范式定义：设A是谓词公式，若A有如下形式Q1x1Q2x2…Q k x k B其中Q i(1≤i≤k)为?或?，B为不含量词的公式，则称A为前束范式。
离散数学---一阶逻辑的等值式
求前束范式例1 求前束范式例
求下列公式的前束范式： 求下列公式的前束范式 ： 1、 ∀x A(x) ∧ ∀x B(x) 1、⇔∀ (A(x) ∧ B(x)) 、 、⇔∀x 2、 ∃x A(x) ∨ ∃x B(x) 2、⇔ ∃x(A(x) ∨ B(x)) 、 、 3、 ∀x A(x) ∨ ∀x B(x) 3、⇔ ∀x A(x) ∨ ∀y B(y) 、 、 4、 ∃x A(x) ∧ ∃x B(x) 、 ⇔ ∀x ∀y (A(x) ∨ B(y))
对于公式∀ ∧∀y ∧∃y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)和∃x A(x)∧∃ B(y) ∧∀ 和 ∧∃ 对于公式∀ ∧∀y 对于公式∀x A(x)∧∀ B(y)，由于∀对合取有分配律，所以 ∧∀ ，由于∀对合取有分配律， 可变换为： 可变换为： ∧∀y ∧∀x ∀x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∀x A(x)∧∀ B(x) ⇔ ∀x(A(x)∧B(x)) ∧∀ ∧∀ ∧ 注意运用此变换的前提是B(y)中不出现 ， 如果 中不出现x，如果B(y) 注意运用此变换的前提是 中不出现 中出现x，则可使用换名规则（如果x是约束出现 是约束出现） 中出现 ，则可使用换名规则（如果 是约束出现）或者 是自由出现） 是替换规则（如果x是自由出现 先将x变为其他变换符 是替换规则（如果x是自由出现）先将x变为其他变换符 号。 对于公式∃ ∧∃y 对于公式∃x A(x)∧∃ B(y)，由于∃对合取没有分配律， ∧∃ ，由于∃对合取没有分配律， 所以只能变换为： 所以只能变换为： ∨∃y ∃x A(x)∨∃ B(y) ⇔ ∃x∃y(A(x)∨ B(y)) ∨∃ ∃ ∨ 显然对于公式∀ ∧∃y ∧∀y 显然对于公式∀x A(x)∧∃ B(y)、∃x A(x)∧∀ B(y)都只能变 ∧∃ 、 ∧∀ 都只能变 换为： 换为： ∧∃y ∀x A(x)∧∃ B(y) ⇔ ∀x∃y(A(x)∧B(y))、 ∧∃ ∃ ∧ 、 ∧∀y ∃x A(x)∧∀ B(y) ⇔ ∃x∀y(A(x)∧B(y)) ∧∀ ∀ ∧
离散数学第二章一阶逻辑知识点总结
数理逻辑部分第2章一阶逻辑2.1 一阶逻辑基本概念个体词(个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物,用a，b，c表示个体变项:抽象的事物，用x, y，z表示个体域：个体变项的取值范围有限个体域,如｛a，b, c｝, ｛1, 2}无限个体域,如N, Z， R，…全总个体域: 宇宙间一切事物组成谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项:F(a):a是人谓词变项:F(x）：x具有性质F一元谓词: 表示事物的性质多元谓词(n元谓词，n≥2): 表示事物之间的关系如L(x，y）:x与y有关系L，L（x，y)：x≥y，…0元谓词：不含个体变项的谓词，即命题常项或命题变项量词：表示数量的词全称量词∀: 表示任意的，所有的, 一切的等如∀x 表示对个体域中所有的x存在量词＄：表示存在，有的，至少有一个等如∃x表示在个体域中存在x一阶逻辑中命题符号化例1 用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1）墨西哥位于南美洲在命题逻辑中，设p：墨西哥位于南美洲符号化为 p, 这是真命题在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F（x):x位于南美洲符号化为F(a)例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化（1)人都爱美； (2) 有人用左手写字分别取(a）D为人类集合, （b）D为全总个体域。
解:(a) （1) 设G（x）：x爱美，符号化为∀x G（x)（2) 设G（x）：x用左手写字, 符号化为＄x G（x) (b）设F（x）：x为人，G(x）：同（a）中(1） x （F(x）→G(x))（2) ∃x （F(x)∧G(x)）这是两个基本公式，注意这两个基本公式的使用.例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化（1) 正数都大于负数（2）有的无理数大于有的有理数解注意: 题目中没给个体域, 一律用全总个体域（1）令F(x）：x为正数, G(y）：y为负数, L（x,y): x〉y x（F(x）→∀y(G(y)→L(x，y）)）或∀x y（F（x）∧G(y)→L（x,y））两者等值（2) 令F（x)：x是无理数, G(y）: y是有理数,L(x，y）：x>y＄x（F(x)∧＄y（G（y)∧L(x，y）)）或＄x＄y(F（x）∧G(y）∧L(x，y）) 两者等值几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求,用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考：①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？2.2 一阶逻辑合式公式及解释字母表定义字母表包含下述符号：(1）个体常项：a, b, c，…，a i, b i，c i, …, i≥1(2）个体变项：x, y, z, …，x i, y i, z i, …，i≥1（3) 函数符号：f, g, h，…, f i，g i, h i，…, i≥1(4) 谓词符号：F，G，H, …，F i, G i, H i，…, i≥1（5) 量词符号：∀，＄（6）联结词符号:⌝, ∧, ∨, →，↔（7）括号与逗号：(， ), ,定义项的定义如下：（1）个体常项和个体变项是项.(2）若ϕ（x1, x2, …, x n）是任意的n元函数，t1,t2,…，t n是任意的n个项，则ϕ（t1，t2，…，t n) 是项.(3) 所有的项都是有限次使用（1）, （2) 得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项定义设R（x1，x2，…, x n）是任意的n元谓词，t1，t2,…，t n 是任意的n个项,则称R（t1, t2，…, t n）是原子公式。
离散数学部分概念和公式总结(考试专用)
命题：称能判断真假的陈述句为命题。
命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。
命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。
给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。
若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。
真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。
将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。
命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
（2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
（3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。
主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。
主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。
命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A↔B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。
约束变元和自由变元：在合式公式∀x A和∃x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。
一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A↔B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。
前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。
集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。
笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。
二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。
离散数学一阶逻辑笔记
离散数学一阶逻辑笔记一、一阶逻辑基本概念。
（一）个体词。
1. 定义。
- 个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体。
- 例如，在“小王是学生”中，“小王”就是个体词；在“3是有理数”中，“3”是个体词。
2. 分类。
- 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，常用a,b,c,·s表示。
“小李”可以用a表示。
- 个体变项：表示抽象或泛指的个体词，常用x,y,z,·s表示。
例如，“某个学生”可以用x表示。
（二）谓词。
1. 定义。
- 谓词是用来刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词。
- 例如，在“小王是学生”中，“是学生”就是谓词，它刻画了“小王”的性质；在“3大于2”中，“大于”是谓词，它刻画了“3”和“2”之间的关系。
2. 分类。
- 谓词常项：表示具体性质或关系的谓词。
如“是偶数”是谓词常项。
- 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。
- 一元谓词：与一个个体词相联系的谓词。
例如P(x)，其中P表示“是学生”，x是个体变项。
- 二元谓词：与两个个体词相联系的谓词。
例如Q(x,y)，其中Q表示“大于”，x,y是个体变项。
- n元谓词：与n个个体词相联系的谓词，一般表示为P(x_1,x_2,·s,x_n)。
（三）量词。
1. 全称量词。
- 符号表示为“∀”，表示“所有的”“任意一个”等。
- 例如，“所有的人都会呼吸”可以表示为∀ x(P(x)to Q(x))，其中P(x)表示“x是人”，Q(x)表示“x会呼吸”。
2. 存在量词。
- 符号表示为“∃”，表示“存在一个”“至少有一个”等。
- 例如，“存在一个数是偶数”可以表示为∃ x(P(x)，其中P(x)表示“x是数且x是偶数”。
二、一阶逻辑公式及其解释。
（一）一阶逻辑合式公式（谓词公式）1. 原子公式。
- 设P(x_1,x_2,·s,x_n)是n元谓词，t_1,t_2,·s,t_n是项，则P(t_1,t_2,·s,t_n)称为原子公式。
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量词辖域收缩与扩张等值式
设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现
关于全称量词的：
关于存在量词的:
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B
x(A(x)B)xA(x)B x(A(x)B)xA(x)B
x(BA(x))BxA(x) x(BA(x))BxA(x)
(5) x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) 解 用换名规则, 也可用代替规则, 这里用代替规则
x(F(x,y)y(G(x,y)H(x,z))) x(F(x,u)y(G(x,y)H(x,z))) xy(F(x,u)G(x,y)H(x,z))) 注意：x与y不能颠倒
2.4 一阶逻辑推理理论
不是前束范式，
公式的前束范式
定理（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公 式都存在与之等值的前束范式
注意: 公式的前束范式不惟一 求公式的前束范式的方法: 利用重要等值式、 置换规则、换名规则、代替规则进行等值演算.
换名规则与代替规则
换名规则: 将量词辖域中出现的某个约束出现的 个体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未 曾出现过的个体变项符号，公式中其余部分不变， 则所得公式与原来的公式等值. 代替规则: 对某自由出现的个体变项用与原公式 中所有个体变项符号不同的符号去代替，则所得公 式与原来的公式等值.
例 将下面命题用两种形式符号化 (1) 没有不犯错误的人 (2) 不是所有的人都爱看电影
解 (1) 令F(x)：x是人，G(x)：x犯错误. x(F(x)G(x))
x(F(x)G(x)) 请给出演算过程，并说明理由. (2) 令F(x)：x是人，G(x)：爱看电影. x(F(x)G(x)) x(F(x)G(x)) 给出演算过程，并说明理由.
前束范式
定义 设A为一个一阶逻辑公式, 若A具有如下形式 Q1x1Q2x2…QkxkB, 则称A为前束范式, 其中Qi (1ik) 为或，B为不含量词的公式.
例如，xy(F(x)(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
是前束范式, 而 x(F(x)y(G(y)H(x,y))) x(F(x)G(x))
xF(x)xG(x) xF(x)xG(x) xF(x)yG(y) xy(F(x)G(y)) 两种形式是等值的
（量词否定等值式） （量词分配等值式）
( 代替规则 ) ( 量词辖域扩张 )
例(续)
(3) xF(x)xG(x)
解 xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x)
x(F(x)G(x))
（为什么？）
真值表法, 等值演算法, 主析取范式法及构造证 明法. 前3种方法采用第一种形式结构, 构造证明 法采用第二种形式结构.
重要的推理定律
第一组 命题逻辑推理定律代换实例 如 xF(x)yG(y)xF(x)为化简律代换实例.
第二组 由基本等值式生成 如 由 xA(x)xA(x) 生成 xA(x)xA(x), xA(x)xA(x), …
或 xy(F(x)G(y)) （为什么？）
(4) xF(x)y(G(x,y)H(y))
解 xF(x)y(G(x,y)H(y))
zF(z)y(G(x,y)H(y)) （换名规则）
zy(F(z)(G(x,y)H(y))) （为什么？）
例(续)
或 xF(x)y(G(z,y)H(y)) （代替规则） xy(F(x)(G(z,y)H(y)))
(2)结论引入规则 (4)假言推理规则 (6)化简规则 (8)假言三段论规则 (10)构造性二难推理规则
推理规则(续)
(12) 全称量词消去规则（简记为UI规则或UI）
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
A(c)
两式成立的条件是：
x是A(x)中的自由出现的个体变项 在第一式中，取代x的y应为任意的不在A(x)中 约束出现的个体变项. 在第二式中，c为任意个体常项. 用y或c去取代A(x)中的自由出现的x时，一定要 在x自由出现的一切地方进行取代.
（优选）离散数学一 阶逻辑等值式
1
基本等值式:
消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} (1) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) (2) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an)
量词否定等值式 (1) xA(x) x A(x) (2) xA(x) x A(x)
基本等值式(续)
▪ 推理的形式结构 ▪ 判断推理是否正确的方法 ▪ 重要的推理定律 ▪ 推理规则 ▪ 构造证明 ▪ 附加前提证明法
推理
推理的形式结构有两种：
第一种 A1A2…AkB (*) 第二种 前提：A1，A2，…，Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为一阶逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 否则称推理不正确. 判断方法:
第三组
xA(x)xB(x)x(A(x)B(x)) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x（A(x) B(x)） xA(x) x B(x)） x（A(x) B(x)） xA(x) x B(x)）
推理规则
(1)前提引入规则 (3)置换规则 (5)附加规则 (7)拒取式规则 (9)析取三段论规则 (11)合取引入规则
基本的等值式(续)
量词分配等值式 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x)
注意：对无分配律，对无分配律
量词等值式 x y A(x,y) y x A(x,y) x y y x A(等值式(续)
公式的前束范式(续)
例 求下列公式的前束范式
(1) x(M(x)F(x)) 解 x(M(x)F(x))
x(M(x)F(x))
（量词否定等值式）
x(M(x)F(x)) 两步结果都是前束范式，说明前束范式不惟一.
例(续)
(2) xF(x)xG(x) 解 xF(x)xG(x)
xF(x)xG(x) x(F(x)G(x)) 另有一种形式
推理规则(续)
(13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG）
A( y) xA( x)
该式成立的条件是： y是A(y)中自由出现的个体变项； 无论y取何值，A(y)应该均为真； 取代自由出现的y的x，也不能在A(y)中约束出 现.