全国高中物理竞赛力 物体的平衡

力 物体的平衡【基本内容】：1、力学中常见的几种力重力 由于地球的吸引而使物体受到的力，方向竖直向下。

重力实际上是地球对物体引力的一个分力，另一个分力提供提供物体随地球自转所需的向心力。

弹力 物体发生弹性形变时，由于要恢复原状，会对跟它接触的物体产生力的作用，这种力叫弹力。

在弹性限度内，弹簧的弹力与弹簧的形变量（伸长量或缩短量）成正比。

F kx =-，k 为劲度系数，x 为形变量。

摩擦力 摩擦力分为滑动摩擦力和静摩擦力两种，当一个物体在另一个物体表面有相对运动或相对运动趋势时，所产生的阻碍相对运动或相对运动趋势的力，方向沿接触面的切线且与相对运动或相对运动趋势相反。

滑动摩擦力的大小由公式f N μ=计算，动摩擦因数μ是由接触面的情况和材料决定。

2、共点力作用下物体的平衡如果几个力作用在物体上，且交于一点或几个力的作用线交于一点，这几个力叫做共点力。

如果物体只受三个力作用，一般根据两个力的合力同第三个力等值反向做出平行四边形，解决问题，处理方法有勾股定理、正弦定理和余弦定理，有时也根据根据相似三角形的关系列方程。

如果物体受到三个以上的共点力作用，一般可用正交分解法。

物体的平衡包括静平衡和动平衡，即有静止、匀速直线运动、匀速转动三种平衡状态。

3、有固定转动轴物体的平衡力矩 力与力臂（转动轴到力的作用线之间的距离）的乘积称为力矩，记为M Fd =，它是使物体绕轴转动状态发生改变的原因，单位为N m ⋅。

力偶与力偶矩 作用在物体上的大小相等、方向相反、作用线平行的两个力组成的一对力偶。

力偶对物体只有转动作用，其转动作用的大小由力偶矩来度量。

力偶矩的大小等于力与力偶臂的乘积，力偶臂等于两个平行力的作用线之间的距离。

4、一般物体的平衡力对物体的作用效果可以改变物体的运动状态，物体所受的合力对物体的平动有影响，而合力矩对物体的转动有影响，当这两种影响都不存在时，物体处于平衡状态。

所以受任意的（共点的）平面力系作用的物体，平衡条件为000()x y i F F M ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑对任一转轴 这三个方程组成平面内任意力系的平衡方程式。

值得注意的是，所有力对于某一点的力矩代数和为零时，则对任一点的力矩代数和都等于零，因此，上述方程组中只能有一条力矩平衡方程。

当然，平衡方程组也可用两个力矩平衡方程来表示，即A 000x i Bi F M M ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩∑∑∑其中直线AB 不能与x 轴垂直。

若用三个力矩平衡方程表示物体的平衡条件，需注意：选作转轴的三点A 、B 、C 不能再同一直线上。

对于空间力系，一般可列出六个独立平衡方程，即所有力在任意x 轴上投影的代数和为零（三个方程），所有力对任意x 轴力矩的代数和为零（三个方程）。

5、平衡的稳定性物体的平衡可以分为稳定平衡、不稳定平衡和随遇平衡。

平动平衡的稳定性 处在平衡状态的质点，当受到扰动时，会稍稍偏离平衡位置。

这时会产生合外力。

当平衡的物体受外界的微小扰动偏离平衡位置时，如果这物体在所受各力作用下将回到平衡位置，这种平衡叫稳定平衡；如果这物体在各力的作用下将继续偏离平衡位置而不会再回复到平衡位置，这种平衡叫不稳定平衡；如果这物体所受合外力仍为零，且能在新位置继续保持平衡状态，这种平衡就叫随遇平衡。

例如，位于光滑碗底的质点处于稳定平衡状态；位于光滑圆球顶端的质点处于不稳定平衡状态，位于光滑水平面上的质点处于随遇平衡状态。

一个质点可以在一个方向处于某种平衡状态，而在另一个方向处于另一种平衡状态。

例如，一个质点位于内壁光滑的水平直管底部，对于平行于管轴方向的扰动，处于随遇平衡，对于垂直于管轴方向的扰动，则处于稳定平衡状态。

显然，对于受共点力作用但不能看成质点的物体的平衡可同样讨论。

这一类属平动平衡。

转动平衡的稳定性 相对固定轴可以转动的物体处于平衡时，若受到外界扰动而偏离平衡位置，产生合外力矩。

如果合外力矩是一个回复力矩，即此合外力矩有把物体拉回原平衡位置的倾向，那么称原物体的平衡处于稳定的转动平衡状态。

同样，可给出不稳定转动平衡状态和随遇转动平衡状态的定义。

无固定转轴物体平衡的稳定性 对于无固定转轴物体，当它受到外界扰动而偏离平衡位置时，会产生合外力和合外力矩。

如果合外力是平动回复力，合外力矩是转动回复力矩，那么会有被拉回到平衡位置的倾向，则原物体的平衡位置处的平衡是稳定的。

同样，可给出不稳定平衡和随遇平衡的定义。

而且，物体可以在平动方面处于一种平衡状态，而在转动方面处于另一种平衡状态；对于同一种平动平衡状态，可以在一个方向上处于一种平衡状态，在另一个方向上处于另一种平衡状态。

6、液体静平衡静止流体内的压强 液体内部某点处的压强与方向无关，可用公式p gh ρ=计算，式中的h 是指从该点到液面的距离。

浮力 浮力是物体在流体中所受压力的合力，浸没在静止流体内的物体受到的浮力等于它排开流体的重量，即F gV ρ=，浮力的方向竖直向上。

浮力的作用点称为浮心。

浮心就在与浸没在流体中的物体同形状、同体积的那部分流体的重心处，但它不等同于物体的重心，只有在物体密度均匀时，浮心才与浸没在流体中的物体部分的重心重合。

物体平衡的稳定性 物体处于漂浮状态时，所受的浮力与重力是一对平衡力。

处于漂浮状态的物体，其平衡的稳定性，就其所受扰动方式的不同而不同。

对于竖直方向的扰动，其平衡是稳定的；对于水平方向的扰动，其平衡是随遇的；对于过质心的水平轴的旋转扰动，其平衡的稳定性又视其具体情况而定，若偏离平衡位置后，重力和浮力的合力矩促使物体恢复到原来位置，其平衡是稳定的，若重力和浮力的合力矩促使物体倾倒，这时物体的平衡是不稳定的。

【例题】：例1 如图所示，质量为m 的物体静置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的静摩擦因数为μ。

试问，至少要用多大的力作用在物体上才能使物体运动？解 如图所示，设F 的方向与斜面的夹角为α，由图示的物体受力情况以及使物体产生运动的条件，得cos sin 0F mg f αθ+-= sin cos N F mg αθ+= 将f N μ=代入上面两式得cos sin cos sin F mg μθθαμα-=+ 当α取某一值时，可使F 的值达到最小，上式可写成cos sin 1)F mg μθθμαα-=+设sin β=cos β=，tan βμ=于是F ==由上式可知当arctan αβμ==时，所需的力F 最小，其值为F =例2 半径为R 的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为2a π，2Ra =，绳圈的劲度系数为K ，将圈从球的正上方轻放到球上，并使其绳圈沿球表面向下平移，绳圈伸长，先用手扶着绳圈使其各部分都在同一水平面内，最后松手后绳圈能停留在某平衡位置，如图所示。

考虑重力，不计摩擦。

（1）设平衡时绳圈长2b π，b =，求K 值。

（2）若22MgK Rπ=，求绳圈的平衡位置。

解 （1）设平衡时绳圈位于球面上相应于θ角的纬线上，在绳圈上任取一小段，长为b ϕ∆，质量为22M m b M b ϕϕππ∆∆=⋅∆=（ϕ∆很小）.b这一小段绳圈在水平面内，两端受张力T 的作用；竖直平面内受重力mg ∆，方向竖直向下；球面的支持力为N ，方向沿半径R 指向球外。

正视图和俯视图分别如图（a ）和（b ）所示。

由于ϕ∆很小，sin 22ϕϕ∆∆≈，因此两端张力的合力为2sin 2()2T T K b a ϕϕπϕ∆≈∆=-⋅∆，位于水平面内，指向绳圈的圆心。

重力mg ∆、球面支持力N 和张力合力T ϕ∆都在同一平面内。

当绳圈处于平衡状态时，这三个力的合力为零，可得sin 0N T θϕ-∆= ① cos 0N mg θ-∆= ② 由①、②两式，得22()4()tan 2T K b a K b a mg Mg Mg ϕπϕπθϕπ⋅∆-⋅∆-===∆∆ ③又因为tan 1θ=== 由③式，有22tan 1)4()2Mg MgK b a R θππ===- (2)若22MgK Rπ=时，将它代入③式，得 2()tan b a R θ-=，其中sin b R θ=，2Ra =即 2tan (sin )2sin 12RR R θθθ=-=-sin 2sin 1cos θθθ=- sin 2sin cos θθθ=+ 上式平方后得2sin 2sin 21θθ=+ ④T ϕ∆(a)(b)在90θ≤的范围内，0sin 21θ≤≤，④式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。

例3 人对均匀细杆的一端施力，力的方向垂直于杆，要将杆从地板上慢慢地无滑动地抬到竖直位置，试求杆与地板间的最小动摩擦因数。

解 当杆与水平面成倾斜角α时，受力如图所示，设杆长为2l ，取重力和人作用于杆的力F 作用线的交点O 为轴，根据平衡条件得21sin cos (1sin sin )sin Nl fl fl ααααα+=+=因此 222cos sin cos sin 1sin 2sin cos 12tan cot f N N N ααααααααα=⋅=⋅++=⋅+ 要使杆不滑动，须满足f N μ≤即12tan cot μαα≥+因为 2tan cot 2αα+=为正值，所以当 2tan cot αα=即tan α=有最小动摩擦因数min μ=例4 如图所示，一根细棒，上端A 处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等。

两棒限于图示的竖直面内运动，且不计较铰链处的摩擦。

当在C 端加一个适当的外力，（在纸面内），可使两棒平衡在图示位置处，即两棒间夹角为90，且C 端正处在A 端的正下方。

（1）不管两棒质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明道理（2）如果AB 棒的质量1 1.0m kg =，BC 棒的质量2 2.0m kg =，求此外力的大小和方向。

解 （1）先用隔离法考虑BC 棒，以B 为转轴，其重力的力矩与F 的力矩平衡，可知F的方向必须作用在BC 棒左侧向上。

再用整体法考虑ABC 的平衡：系统除受重力1m g 、2m g 的作用外，还受铰链A 处的拉力T 和C 处的外力F 作用而平衡。

由共点力平衡条件可知，力F 的作用线应指向棒AB ，且与重力作用线相交，如图所示。

(2)设棒长为L ，F 与AC 线的夹角为θ，用整体法考虑ABC 以A 为转轴的力矩平衡，有12sin ()sin 452LF m m g θ⋅=+⋅⋅再用隔离法考虑BC 棒以B 为转轴的力矩平衡，有 2sin(45)sin 452LF L m g θ⋅⋅-=⋅ 联立解得18.7()F g N ==sin 0.395θ==arcsin0.395θ=例5 半径为r 、质量为m 的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两相互接触。