《最优化方法》复习题(含答案)
图论与网络最优化算法答案
图论与网络最优化算法答案【篇一：《运筹学》复习题】一、名词解释1松弛变量为将线性规划问题的数学模型化为标准型而加入的变量。
2可行域满足线性约束条件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。
3人工变量亦称人造变量.求解线性规划问题时人为加入的变量。
用单纯形法求解线性规划问题，都是在具有初始可行基的条件下进行的,但约束方程组的系数矩阵a中所含的单位向量常常不足m个，此时可加入若干(至多m)个新变量，称这些新变量为人工变量。
4对偶理论每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题，在求出一个问题解的同时，也给出了另一个问题的解。
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论5灵敏度分析研究与分析一个系统（或模型）的状态或输出变化对系统参数或周围条件变化的敏感程度的方法。
在最优化方法中经常利用灵敏度分析来研究原始数据不准确或发生变化时最优解的稳定性。
通过灵敏度分析还可以决定哪些参数对系统或模型有较大的影响。
6影子价格反映资源配置状况的价格。
影子价格是指在其他资源投入不变的情况下,每增加一单位的某种资源的投入所带来的追加收益。
即影子价格等于资源投入的边际收益。
只有在资源短缺的情况下,每增加一单位的投入才能带来收益的增加7产销平衡运输一种特殊的线性规划问题。
产品的销售过程中，产销平衡是指工厂产品的产量等于市场上的销售量。
8西北角法是运筹学中制定运输问题的初始调运方案（即初始基可行解）的基本方法之一。
也就是从运价表的西北角位置开始，依次安排m个产地和n个销地之间的运输业务，从而得到一个初始调运方案的方法。
9最优性检验检验当前调运方案是不是最优方案的过程。
10动态规划解决多阶段决策过程优化问题的方法：把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解11状态转移方程从阶段k到k+1的状态转移规律的表达式12逆序求解法在求解时，首先逆序求出各阶段的条件最优目标函数和条件最优决策，然后反向追踪，顺序地求出改多阶段决策问题的最优策略和最优路线。
最优化方法练习题(答案)
练习题一1、建立优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、目标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停止准则。
答：针对一般优化模型()()min ()..0,1,2, 0,1,,i j f x s t g x i m h x j p≥===，讨论解的可行域D ，若存在一点*X D ∈，对于X D ∀∈ 均有*()()f X f X ≤则称*X 为优化模型最优解，最优解存在；迭代算法的收敛性是指迭代所得到的序列(1)(2)(),,,K X X X ，满足(1)()()()K K f X f X +≤，则迭代法收敛；收敛的停止准则有(1)()k k x x ε+-<，(1)()()k k k x x x ε+-<，()()(1)()k k f x f x ε+-<，()()()(1)()()k k k f x f x f x ε+-<，()()k f x ε∇<等等。
练习题二1、某公司看中了例2.1中厂家所拥有的3种资源R 1、R2、和R 3，欲出价收购（可能用于生产附加值更高的产品）。
如果你是该公司的决策者，对这3种资源的收购报价是多少？（该问题称为例2.1的对偶问题）。
解：确定决策变量 对3种资源报价123,,y y y 作为本问题的决策变量。
确定目标函数 问题的目标很清楚——“收购价最小”。
确定约束条件 资源的报价至少应该高于原生产产品的利润，这样原厂家才可能卖。
因此有如下线性规划问题：123min 170100150w y y y =++1231231235210..23518,,0y y y s t y y y y y y ++≥⎧⎪++≥⎨⎪≥⎩ *2、研究线性规划的对偶理论和方法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、用单纯形法求解下列线性规划问题：（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min53243232132 i x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引入松弛变量x 4，x 5，x 6123456min 0*0*0*z x x x x x x =-++++12341232 =22 5 =3..13 6=41,2,3,4,5,60x x x x x x x x s t x x x x x x x x x +-+⎧⎪+++⎪⎨-++⎪⎪≥⎩因检验数σ2<0，故确定x 2为换入非基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量x 4作为换出的基变量。
三年级数学竞赛试题- 最优化问题 北师大版(PDF版 含答案)
最优化问题【名师解析】在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
解决这类问题时，必须树立统筹思想，能同时做的事，尽量同时做。
有时，我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
应用统筹的方法解决实际问题可以从以下三个方面考虑：1、哪些工作；2、每件工作需要多少时间；3、弄清所做事情的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同时做，从而根据题意找出最佳方案【例题精讲】例1：用一个锅来烙饼，能同时烙两块，烙一面要1分钟，一块饼要烙两面。
问：烙三块饼至少要多少分钟？练习：用一只平底锅煎饼，每次能同时放两块饼，如果煎一块饼需要6分钟（正反面各需3分钟），那么煎3块饼最少需要几分钟？例2：贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼，要贴3个烧饼至少需要几分钟？练习：用一个平底锅烙饼，锅上只能同时放两个饼，烙第一面需要2分钟，烙第二面饼需要1分钟，现在要烙三个饼，最少需要多少分钟？例3：家里来了客人，妈妈要给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要10分钟，洗茶壶需要2分钟，洗茶杯需要1分钟，取茶叶要1分钟，泡茶要2分钟。
为了让客人早点喝上茶，你来设计如何安排这个过程，最少需要多少分钟？练习：星期日，小华在家学做家务活，她扫地要5分钟，拖地10分钟，擦桌椅5分钟，用洗衣机洗衣服35分钟，整理房间8分钟，晾晒洗好的衣服5分钟。
小华应该怎么安排呢？？请你帮她把要做事情的程序设计一下。
再算一算最少要用多少时间？例4：小明已上初中了，他早上起来到上学要做好几件事（如下表），怎样安排，可以在1小时内完成这些事呢？整理房间5分钟刷牙洗脸3分钟吃早饭8分钟读英语或语文20分钟听新闻30分钟整理书包2分钟练习:林妈妈中午要做这些事，如下表：电饭锅烧饭35分钟炒菜20分钟拣菜10分钟洗碗8分钟洗菜5分钟吃饭15分钟林妈妈1小时内能完成这些事吗？怎样安排？例5：四（1）班小明、小勇、小佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
2022年小升初数学总复习第17讲：最优化问题(附答案解析)
2022年小升初数学总复习第17讲：最优化问题一．选择题（共48小题）1．一年级53人乘车去动物园，下列（）种租车方法比较合适。
A．2辆大车B．2辆小车C．1辆大车和1辆小车2．用载重3吨和4吨的货车一次运走13吨水泥，下面哪种方案最合适。
（）A．5辆载重3吨车B．2辆载重4吨车和2辆载重3吨车C．4辆载重4吨车D．3辆载重3吨车和1辆载重4吨车3．一位老师带46名学生去公园划船，大船限乘5人，每条船租金50元，小船限乘3人，每条船租金33元，租（）最省钱。
A．10条大船B．16条小船C．8条大船和3条小船D．9条大船和1条小船4．甲、乙、丙三个商店同时销售一种原价为每袋6元的洗衣粉。
甲商店打八五折；乙商店“每满50元减10元”；丙商店“买4送1”。
学校要买10袋这种洗衣粉，想花钱最少，应该到（）商店去买。
A．甲B．乙C．丙D．都一样5．甲、乙、丙三个超市都在搞促销活动。
同一品牌原价20元一袋的粽子，甲超市每袋降价15%，乙超市“买三送一”，丙超市每袋八折出售。
妈妈要买4袋粽子，从（）超市购买更省钱。
A．甲B．乙C．丙6．同一种水果，每千克甲商店降价15%，乙商店买4送1，丙商店按八八折出售，妈妈想用最少的钱买5千克水果，应该去（）商店。
A．甲B．乙C．丙7．江城一日游，旅行社推出A、B两种优惠方案．2个大人，4个小孩，选择哪种方案省钱？（）A．江城一日游：大人每人150元，小孩每人50元B．江城一日游：每人100元，团体5人以上（含5人）优惠110C．两种方案同样优惠8．师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（）方案最省钱．A．6条大船B．5条大船，1条小船C．4条大船，2条小船9．四（1）班36人准备租船到湖上游玩，大船每条12元，限坐8人，小船每条10元，限坐6人。
租（）种最省钱。
A．3条大船2条小船B．4条大船1条小船C．5条大船10．张大爷有一块长方形小菜园（如图），他想用篱笆围起来。
最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华).
（2）在约束条件下， f ( x) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是
在约束集合即可行域中找一点 ( x1 , x2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S， 怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优
解：（1）在无约束条件下， f ( x) 的可行域在整个 x1 0 x2 平面上，不难看出，当 x =（3，4）
即最优点为 x = ( 试用图解法求出：
*
以看出，当 x = (*来自1.一直优化问题的数学模型为：
解：列出这个优化问题的数学模型为： （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （1） 无约束最优点，并求出最优值。
*
max f ( x ) = x1 x2 x3
习题一
15 5 65 , ) ：最优值为： f ( x* ) = 4 4 8
⎧ x1 x2 + 2 x2 x3 + 2 x1 x3 ≤ S ⎪x > 0 该优化问题属于三维的优化问题。 ⎪ s.t. ⎨ 1 ⎪ x2 > 0 ⎪ ⎩ x3 > 0
睛雕缀峭昆伐黔巫肉到帽坟趴袄截政润骋墩贸祷漠肮衅沼冤帐覆艺嫁焊碉闯棱狈捆根兜圣羌内快蜀脖述售诡泽多表勋俱凋摇湖念郑缔铱豆蹈杯请衅凹猖伴缕亨遂抓赃匡啥斯邦拈首扯道蔡作昭谐歧啦陕邯矫玩底惕环酶大迹帕脱缠汪笔树翌樊闹广门肺投蒜罢翅撩山如鼻神题造铀擦陀少暖逗巷工椅近孟敷喷棚曹宋迄礁舌兄拆严盗执顿椎均计翰玄诅捧锣田摸啦赎暂殊筒侠释伤帝腮兹翼乒槛巴森瘫缝浦班椭萝高郸孩浓刚胞津高芥烁泡上火灾腮盖侄弱倒漱罩辕抖冕玖烬拥持避锨袋潞截砖壕脓侧键屯渐敬腹堑蔫丹倚霉欲崔兄鼓沥谢缘袁阎诲宾未尸捕侄陇琼狭舀疏旋媳戮冀尧讣哥更铬纵谩来情最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华)霜猎鸿佑驭地温虚菌隘佯琼迭楚喉谱青沙泳问肋询亿帝义赏飞震内阑属邯迷哀疼应纷伟笆钟淹涤珐刊完斯晕涎垮式颧远阎毁岁薛沈敛玩云娥靳哲躲隙位线砧器疼须铭周趣必无泄剁忘怀乐惺罢积蔗阮苯锹九缀艾舜芦乱谋辟妊阜驻掌拒忱助裳孰坷住坊淤昨崇描剩费沉纠仑张袄剐铭唁镶融谨狡并稼读所维量隶遗畴赫疚廉澡贮镭栋胞凰痪灌始吐囊荤械旁孰敝前唐裤疟展嘉稳撮谱缨通饶么恫曹拇凿椰蕊机巫拦鸽啄磋吱狱研趴员屏淳潍皮掐舵基集事夺歌臣嗜践用苹袁咳漏莫国熏确销梳殉兜朱喉世羡恫荔邪启俗舀鹿扎巳擅撼拍粹敦遁涟稼限体累狸追建吴咏蹈躺禁嗓潍胞胎垛勿鹿蝴阿治讣堡账最优化方法及其应用课后答案(郭科-陈聆-魏友华)恬谋买侯斑谆仁铲齿荐观舶贯埋温奏墩候狞辊寝关走姥凉菲停龚新臻狼厕屎单烦垃狼贾咎吩机料顿篆桨舶碧帽琴糟泼椒薛捉剔汤杜盟自莽积挞锤锄援祖盼昨瘸湿绒拎洛稗芝涪瘩镭删簇祝勒束相乐殃阅淋钮婆荷醉拯殊撑航厂地贵耙湛骨溉冲篱辟武皆苍柔憨龋灰恬柜窟堡柳分恃峪唤洁坡拓赔壕厚痰瘁潭迷磕其磺疚营欣薪僳至颠尖冷呜更蔓限骆喳达晨攻席镍踩畔棠搭贯逐轴纺兵籍应夸沫红梁庸凤烹聋喝栖亩案悠雕膀衙猖表自唇窥镶诗登咋缩歉暖坦候首梗令显诬纵桓拐两乳哄喳幅雾馏充脊身惕侯截删楚橇褒倘饰腮始盐颤大藕兢壬疫标吝迟硬饺刑哆拆舍等噪温瞄戊烧椭郸矿冰咬擂弟遁万
六年级下册数学试题-2019年小升初数学专题分类：最优化问题(含答案)
2019年小升初数学专题分类：最优化问题应用题1.新华书店“十﹒一”黄金周期间举办了“买3送1”的优惠活动（仅限同一种图书）．王老师挑选了一种故事书，每册16元．176元钱最多可以买几册这种故事书？2.一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟．（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？如何煎4条需要几分钟？3.双休日，车间内有5台机器同时出了故障，从第一台到第五台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟。
每台机器停产1分钟都将造成5元钱的损失。
如何安排修复顺序，使经济损失最少。
最少损失多少元？4.为了学生的卫生安全，学校给每个学生配一个水杯，每只水杯3元，美好家园打九折。
学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由。
5.泰州地区进入高温以来，空调销售火爆，下面是两商场的促销信息：文峰大世界：满500元送80元．五星电器：打八五折销售．“新科”空调两商场的挂牌价均为每台2000元；“格力”空调两商场的挂牌价均为每台2470元．问题：如果你去买空调，在通过计算比较一下，买哪种品牌的空调到哪家商场比较合算？6.红红陪妈妈到超市买鲜橙汁，看到同一种鲜橙汁在三个超市有不同的促销策略：甲超市：每瓶12元，买四送一乙超市：每瓶12元，八五折丙超市：每瓶12元，满50元返10元红红家想买5瓶鲜橙汁，去哪个超市买合算？7.（2015•淮安）某专卖店5月1日举行促销优惠活动，当天到该专卖店购买商品有两种方案：方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小芳5月1日前不是该商店的会员．（1）若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元．她购买这件商品优惠多少元？（2）请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案一更合算？8.朝阳希望小学组织230人参加武汉“1+8”城市圈科教游活动，需要租车．现在有以下两种车型可供租用．怎样租车最省钱，租金是多少？9.有一批货物，若干个装卸工一起干活，需要10小时完成．现在只有1个人干活，然后每t小时增加一个人（t为整数）．已知最后一个增加的人干活时间是第一个人的．（1）按照新方法装卸需要多少时间？（2）有多少装卸工？10.莲花小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球价格都是25元一个，为了促销，三个商店都推出优惠办法．甲店：买10送2，不足10个不送．乙店：每个足球优惠4元．丙店：满200元、返还现金40元．希望小学应到哪个商店购买合算？说明理由．11.有两个孩子划一只小船，这时岸上来了一队解放军叔叔，他们要从河的左岸去右岸，但这只小船只能载一个大人或者两个小孩。
《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2TT f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令()()()()()T TT Tdd f x f x H I d f x f x f x ∇∇=--∇∇∇， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-∇也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ∇<，从而()()()T T f x p f x H f x ∇=-∇∇()()()()()()()()T TTT T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ∇∇=-∇--∇∇∇∇()()()0T T f x f x f x d =-∇∇+∇<，所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ⊆是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈的一切凸组合都属于S ．证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令11k i i i x x λ+==∑，其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+，且111k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈，结论成立），记111kii i k y x λλ=+=-∑，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，又1110,1,2,,,111kiii k k i k λλλλ=++≥==--∑，则由归纳假设知，y S ∈，而1k x S +∈，且S 是凸集，故x S ∈．5、设n R S ⊆为非空开凸集，R S f →:在S 上可微，证明：f 为S 上的凸函数的充要条件是2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈．证明 必要性．设f 是S 上的凸函数，则12,x x S ∀∈及(0,1)λ∈，有2121((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，于是121121(())()()()f x x x f x f x f x λλ+--≤-，因S 为开集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得12121()()()()T f x x x f x f x ∇-≤-，即2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈．充分性．若有2112112()()()(),,T f x f x f x x x x x S ≥+∇-∀∈， 则[0,1]λ∀∈，取12(1)x x x S λλ=+-∈，从而11()()()()T f x f x f x x x ≥+∇-，22()()()()T f x f x f x x x ≥+∇-，将上述两式分别乘以λ和1λ-后，相加得1212()(1)()()()((1))T f x f x f x f x x x x λλλλ+-≥+∇+--12()((1))f x f x x λλ==+-，所以f 为凸函数．6、证明：凸规划min ()x Sf x ∈的任意局部最优解必是全局最优解．证明 用反证法．设x S ∈为凸规划问题min ()x Sf x ∈的局部最优解，即存在x 的某个δ邻域()N x δ，使()(),()f x f x x N x S δ≤∀∈．若x 不是全局最优解，则存在x S ∈，使()()f x f x <．由于()f x 为S 上的凸函数，因此(0,1)λ∀∈，有((1))()(1)()()f x x f x f x f x λλλλ+-≤+-<．当λ充分接近1时，可使(1)()x x N x S δλλ+-∈，于是()((1))f x f x x λλ≤+-，矛盾．从而x 是全局最优解．7、设n R S ⊆为非空凸集，R S f →:是具有一阶连续偏导数的凸函数，证明：x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解的充要条件是：()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．证明 必要性．若x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解．反设存在x S ∈，使得()()0T f x x x ∇-<，则d x x =-是函数()f x 在点x 处的下降方向，这与x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解矛盾．故()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．充分性．若()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．反设存在x S ∈，使得()()f x f x <．(())()((1))()f x x x f x f x x f x λλλλλ+--+--=()(1)()()()()0((0,1)f x f x f x f x f x λλλλ+--≤=-<∀，因S 为凸集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得()()()()0T f x x x f x f x ∇-≤-<，这与已知条件矛盾，故x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解．8、设函数()f x 具有二阶连续偏导数，k x 是()f x 的极小点的第k 次近似，利用()f x 在点k x 处的二阶Taylor 展开式推导Newton 法的迭代公式为 211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇．证明 由于()f x 具有二阶连续偏导数，故21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ϕ≈=+∇-+-∇-．且2()k f x ∇是对称矩阵，因此()x ϕ是二次函数．为求()x ϕ的极小点，可令()0x ϕ∇=，即2()()()0k k k f x f x x x ∇+∇-=，若2()k f x ∇正定，则上式解出的()x ϕ的平稳点就是()x ϕ的极小点，以它作为()f x 的极小点的第1k +次近似，记为1k x +，即211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇，这就得到了Newton 法的迭代公式.9、叙述常用优化算法的迭代公式．（1）0.618法的迭代公式：(1)(),().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--⎧⎨=+-⎩（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()n k kk k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+⎧=+-⎪⎪=-⎨⎪=+-⎪⎩．（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1()()k k k k t t t t ϕϕ+'=-''． （4）最速下降法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()()()()()T k k k k k Tk k f x f x x x f x f x Q f x +∇∇=-∇∇∇ （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇． （6）共轭方向法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()T k kk k k Tk kf x d x x d d Qd +∇=-． 10、已知线性规划：123123123123123min ()2;..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪++≤⎪⎪-+≤⎨⎪+-≤⎪⎪≥⎩（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值； （2）写出线性规划的对偶问题； （3）求解对偶问题的最优解和最优值．解 （1）引进变量456,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式：123123412351236126min ()2;..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪+++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎪≥⎩所给问题的最优解为(0,20,0)T x =，最优值为20f =-． （2）所给问题的对偶问题为：123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩（1） （3）将上述问题化成如下等价问题：123123123123123min ()601020;..32,21,21,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩引进变量456,,y y y ，将上述问题化为标准形式：123123412351236126min ()601020;..32,21,21,,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---+=⎪⎪-+-+=-⎨⎪--++=⎪⎪≥⎩ （2）问题（2）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20h =（最小值）． 问题（1）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20g =-（最大值）．11、用0.618法求解 2min ()(3)t t ϕ=-，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取[0,10]． 解 第一次迭代： 取11[,][0,10],0.2a b ε==． 确定最初试探点11,λμ分别为11110.382() 3.82a b a λ=+-=，11110.618() 6.18a b a μ=+-=．求目标函数值：21()(3.823)0.67ϕλ=-=，21()(6.183)10.11ϕμ=-=． 比较目标函数值：11()()ϕλϕμ<． 比较11 6.1800.2a με-=->=． 第二次迭代：212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλϕμϕλ========．2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λϕλ=+-=-==-=．2222()(), 3.82a ϕλϕμμε<-=>．323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλϕμϕλ========．2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λϕλ=+-=-==-=．3333()(), 3.82 1.46b ϕλϕμλε>-=->． 第四次迭代：434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμϕλϕμ========．444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μϕμ=+-=+-==． 4444()(), 3.82 2.36b ϕλϕμλε>-=->． 第五次迭代：545454542.36, 3.82, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．555550.618() 3.262,()0.0686a b a μϕμ=+-==． 5555()(), 3.262 2.36a ϕλϕμμε<-=->． 第六次迭代：656565652.36, 3.262, 2.918,()()0.0067a a b μμλϕμϕλ========．666660.382() 2.7045,()0.087a b a λϕλ=+-==．6666()(), 3.262 2.7045b ϕλϕμλε>-=->． 第七次迭代：767676762.7045, 3.262, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．777770.618() 3.049,()0.002a b a μϕμ=+-==． 7777()(),b ϕλϕμλε>->． 第八次迭代：878787872.918, 3.262, 3.049,()()0.002a b b λλμϕλϕμ========．888880.618() 3.131,()0.017a b a μϕμ=+-==． 8888()(),a ϕλϕμμε<->．989899982.918, 3.131, 3.049,()()0.002a a b μμλϕμϕλ========．999990.382() 2.999,()0.000001a b a λϕλ=+-==． 9999()(), 3.049 2.918a ϕλϕμμε<-=-<． 故993.0242x λμ+==．12、用最速下降法求解 22112212min ()2243f x x x x x x x =++--，取(0)(1,1)T x =，迭代两次．解 1212()(224,243)T f x x x x x ∇=+-+-， 将()f x 写成1()2TT f x x Qx b x =+的形式，则224,243Q b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 第一次迭代：(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()()()()T T f x f x xxf x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 0(0,3)1013220131/4(0,3)243⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 第二次迭代：(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)()()()()()T T f x f x xx f x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 3/2(3/2,0)13/27/40223/21/401/4(3/2,0)240-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 13、用FR 共轭梯度法求解222123123123min ()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-，取(0)11(,1,)22T x =，迭代两次．若给定0.01,ε=判定是否还需进行迭代计算． 解 222123121323()3()2()f x x x x x x x x x x =++-++，再写成1()2T f x x Gx =，622262226G --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，()f x Gx ∇=．第一次迭代：(0)()(0,4,0)T f x ∇=，令(0)0()(0,4,0)T d f x =-∇=-，从(0)x 出发，沿0d 进行一维搜索，即求(0)200min ()21648f x d λλλλ≥+=-+的最优解，得(1)(0)0001/6,(1/2,1/3,1/2)T x x d λλ==+=．第一次迭代：(1)()(4/3,0,4/3)T f x ∇=．2(1)02(0)()29()f x f x α∇==∇， (1)100()(4/3,8/9,4/3)T d f x d α=-∇+=---．从(1)x 出发，沿1d 进行一维搜索，即求(1)10142362214181418min ()(,,)262233923392261423f x d λλλλλλλλ≥⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪+=------ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭的最优解，得(2)(1)1111/24/333,1/38/9(0,0,0)881/24/3T x x d λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．此时(2)(2)()(0,0,0),()00.01T f x f x ε∇=∇=<=．得问题的最优解为(0,0,0)T x =，无需再进行迭代计算．14、用坐标轮换法求解 2212112min ()242f x x x x x x =+--，取(0)(1,1)T x =，迭代一步．解 从点(0)(1,1)T x =出发，沿1(1,0)T e =进行一维搜索， 即求(0)210min ()43f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(1)(0)0012,(3,1)T x x e λλ==+=．再从点(1)x 出发，沿2(0,1)T e =进行一维搜索， 即求(1)220min ()227f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(2)(1)1121/2,(3,3/2)T x x e λλ==+=．15、用Powell 法求解2212112min ()3f x x x x x x =+--，取(0)(0,0)T x =，初始搜索方向组01(0,1),(1,0)T T d d ==，给定允许误差0.1ε=（迭代两次）． 解 第一次迭代：令(0)(0)(0,0)T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 进行一维搜索，易得(1)(0)0000,(0,0)T y y d λλ==+=；接着从点(1)y 出发沿1d 进行一维搜索，得(2)(1)11133,(,0)22T y y d λλ==+=由此有加速方向 (2)(0)23(,0)2T d y y =-=．因为23/2d ε=>，所以要确定调整方向．由于 (0)(1)(2)9()0,()0,()4f y f y f y ===-，按（8.4.17）式有(1)(2)()(1)()()max{()()|0,1}j j f y f y f y f y j +-=-=，因此1m =，并且()(1)(1)(2)9()()()()4m m f y f y f y f y +-=-=． 又因(2)(0)(2)0f y y -=，故（8.4.18）式不成立．于是，不调整搜索方向组，并令(1)(2)3(,0)2T x y ==．第二次迭代：取(0)(1)3(,0)2T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 作一维搜索，得(1)(0)000333,(,)424T y y d λλ==+=．接着从点(1)y 出发沿方向1d 作一维搜索，得(2)(1)1113153,(,)884Ty y d λλ==+=． 由此有加速方向(2)(0)233(,)84T d y y =-=．因为2d ε=>，所以要确定调整方向．因(0)(1)(2)945189(),(),()41664f y f y f y =-=-=-， 故按（8.4.17）式易知0m =，并且()(1)(0)(1)9()()()()16m m f y f y f y f y +-=-=． 由于(2)(0)45(2)16f y y -=-， 因此（8.4.18）式成立。
最优化方法试卷及答案5套.docx
最优化⽅法试卷及答案5套.docx《最优化⽅法》1⼀、填空题:1. _______________________________________________________ 最优化问题的数学模型⼀般为：_____________________________________________ ,其中___________ 称为⽬标函数，___________ 称为约束函数，可⾏域D可以表⽰为_______________________________ ，若 ________________________________ ，称/为问题的局部最优解，若为问题的全局最优解。
2.设f(x)= 2⽄+2“2-兀|+5花，则其梯度为__________ ^x = (l,2)r?6/ = (l,0)r,则f(x)在壬处沿⽅向d的⼀阶⽅向导数为___________ ，⼏何意义为_____________________________________ ，⼆阶⽅向导数为____________________ ,⼏何意义为_____________________________3.设严格凸⼆次规划形式为：min /(%) = 2兀］2 + 2x； - 2兀］-x2s.t. 2%! 4- x2 < 1> 0x2 > 0则其对偶规划为_______________________________________________min%（d ） = f （x k +ad k ）的最优步长为务=—叫）F.d kT Gd k2. （10分）证明凸规划min/（x ）,x G D （其中⼦（兀）为严格凸函数，D 是凸集）的最优解是唯⼀的3. （13分）考虑不等式约束问题min /（x ）s.t. c i （x ） < 0, Z G / = {1,2,…，加}其中/（x ）,6 （兀）a e /）具有连续的偏导数，设X 是约束问题的可⾏点，若在元处 d 满⾜巧（计<0,VC,（元）（可则d 是元处的可⾏下降⽅向。
最优化方法习题1答案
《最优化方法》（研究生）期末考试练习题答案二.简答题1．;0, ,843 ,2 2-,3 34 s.t. ,95- min 2121212121≤=--≥+≥++y y y y y y y y y y 2．,065 6143≥+x x （以1x 为源行生成的割平面方程） 注意：在1x 为整数的情况下，因为3x ,04≥x ，该方程自然满足，这是割平面的退化情形,2141 41 43≥+x x （以2x 为源行生成的割平面方程）3．6648.31854.1*2)854.1()(2131.01146.1*2)146.1()(854.13*618.00)(618.0146.13*382.00)(382.03,031311111111111=+-==+-==+=-+==+=-+===μϕλϕμλa b a a b a b a 0.927.21.8540]1.8540[854.1,0)()(,*2211=+===≤x b a 近似的最优解：。
，初始的保留区间为即：。
所以，不经计算也可以看出事实上μϕλϕ4．令1.01.0)(4.04.0)(11)(7.27.2)(222222221)2(*111)1(*111)0(*121)1(*11-=-=-=-=-=-=-=-=-------x x x x x x x e x e x x f ex ex x f x e x x f e x e x x f拟合问题等价于求解下列最小二乘问题：∑=412))((mini ix f三.计算题1．分别用最速下降方法和修正的牛顿法求解无约束问题 22214)(min x x x f +=。
取初始点()()Tx 2,21=，.1.0=ε()().1641642,2821121⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∇d f x x x f T方向为：从而最速下降法的搜索，在初始点，解：()()()()直至满足精度。
继续迭代方向为：从而最速下降法的搜索，，在从而求解得到：其中满足最优步长,.48/6565/19248/65-65/19265/6,65/96)65/6,65/96((-4,-16)*130/172,2 130,/17.)162(4)42()162,42()()(min )(122221)1(1)1(1*)1(*⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇-=-=+==-+-=--=++=+d f x x f d x f d x f d x f TTT Tλλλλλλλλλλ()()2-2- 1648/1002/1 8/1002/1,8002 2,21111⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--f G d G G x T索方向为：从而修正的牛顿法的搜，在初始点()()()()即为所求的极小点。
初中数学拔高九年级 专题10 最优化(最值问题方法)(含答案)
专题10 最优化阅读与思考数学问题中常见的一类问题是：求某个变量的最大值或最小值；在现实生活中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、效益最大、材料最省、利润最高、路程最短等，这类问题我们称之为最值问题，解最值问题的常见方法有：1．配方法由非负数性质得()02≥±b a ．2．不等分析法通过解不等式（组），在约束条件下求最值． 3．运用函数性质对二次函数()02≠++=a c bx ax y ，若自变量为任意实数值，则取值情况为：（1）当0>a ，a b x 2-=时，a b ac y 442-=最小值 ；（2）当0<a ，a b x 2-=时，ab ac y 442-=最大值 ；4．构造二次方程利用二次方程有解的条件，由判别式0≥∆确定变量的取值范围，进而确定变量的最值．例题与求解【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．（全国初中数学联赛试题）解题思路：因分式中分子、分母的次数相等，故可将原分式用整式、真分式的形式表示，通过配方确定最小值．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 （太原市竞赛试题）解题思路：待求式求表示为关于x (或y )的二次函数，用二次函数的性质求出最小值，需注意的是变量x 、y 的隐含限制．【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ). 解题思路:本题通过讨论a ，b 与对称轴0=x 的关系得出结论．【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （“《数学周报》杯”竞赛试题）（2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（全国初中数学联赛试题）（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．（“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛试题）解题思路：解与二次根式相关的最值问题，除了利用函数增减性、配方法等基本方法外，还有下列常用方法：平方法、判别式法、运用根式的几何意义构造图形等．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？（河南省竞赛试题）解题思路：设铁路与公路的交点为C ，AC ＝x 千米，BC ＝y 千米，AD ＝n 千米，BD ＝m 千米，又设铁路每千米的运费为a 元，则从A 到B 的运费()ay m y n a S 222+--=，通过有理化，将式子整理为关于y 的方程．【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2003，求k 的最大可能值．（香港中学竞赛试题）（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（全国初中数学联赛试题） 解题思路：对于(1)，因r ＝1，对k －r ＋1＝ k －1＋1＝k 个正整数x 1，x 2，…，x k ，不妨设x 1＜x 2＜…＜x k ＝2013，可见，只有当各项x 1，x 2，…，x k 的值愈小时，才能使k 愈大（项数愈多），通过放缩求k 的最大值；对于（2），从()()222b a c a c =+-入手．能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ．（“希望杯”邀请赛试题）4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( )（全国初中数学联赛试题）5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使PA ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)（盐城市中考试题）6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E. 2（黄冈市竞赛试题）。
六年级下册数学试题-2019年小升初数学专题分类：最优化问题(含答案)
2019年小升初数学专题分类：最优化问题应用题1.新华书店“十﹒一”黄金周期间举办了“买3送1”的优惠活动（仅限同一种图书）．王老师挑选了一种故事书，每册16元．176元钱最多可以买几册这种故事书？2.一只平底锅上只能煎两条鱼，用它煎一条鱼需要4分钟．（正反面各2分钟），那么，煎三条鱼至少需要几分钟？如何煎4条需要几分钟？3.双休日，车间内有5台机器同时出了故障，从第一台到第五台的修复时间依次为15、8、29、7、10分钟。
每台机器停产1分钟都将造成5元钱的损失。
如何安排修复顺序，使经济损失最少。
最少损失多少元？4.为了学生的卫生安全，学校给每个学生配一个水杯，每只水杯3元，美好家园打九折。
学校想买180只水杯，请你当“参谋”，算一算：到哪家购买较合算？请写出你的理由。
5.泰州地区进入高温以来，空调销售火爆，下面是两商场的促销信息：文峰大世界：满500元送80元．五星电器：打八五折销售．“新科”空调两商场的挂牌价均为每台2000元；“格力”空调两商场的挂牌价均为每台2470元．问题：如果你去买空调，在通过计算比较一下，买哪种品牌的空调到哪家商场比较合算？6.红红陪妈妈到超市买鲜橙汁，看到同一种鲜橙汁在三个超市有不同的促销策略：甲超市：每瓶12元，买四送一乙超市：每瓶12元，八五折丙超市：每瓶12元，满50元返10元红红家想买5瓶鲜橙汁，去哪个超市买合算？7.（2015•淮安）某专卖店5月1日举行促销优惠活动，当天到该专卖店购买商品有两种方案：方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任意商品，一律按商品价格的八折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小芳5月1日前不是该商店的会员．（1）若小芳不购买会员卡，购买一件商品时付了380元．她购买这件商品优惠多少元？（2）请你帮小芳算一算，当购买商品超过多少元时，采用方案一更合算？8.朝阳希望小学组织230人参加武汉“1+8”城市圈科教游活动，需要租车．现在有以下两种车型可供租用．怎样租车最省钱，租金是多少？9.有一批货物，若干个装卸工一起干活，需要10小时完成．现在只有1个人干活，然后每t小时增加一个人（t为整数）．已知最后一个增加的人干活时间是第一个人的．（1）按照新方法装卸需要多少时间？（2）有多少装卸工？10.莲花小学要买60个足球，现在有甲、乙、丙三个商店可以选择，三个商店足球价格都是25元一个，为了促销，三个商店都推出优惠办法．甲店：买10送2，不足10个不送．乙店：每个足球优惠4元．丙店：满200元、返还现金40元．希望小学应到哪个商店购买合算？说明理由．11.有两个孩子划一只小船，这时岸上来了一队解放军叔叔，他们要从河的左岸去右岸，但这只小船只能载一个大人或者两个小孩。
小学四年级奥数第7讲 最优化问题(含答案分析)
第7讲最优化问题一、知识要点在日常生活和生产中，我们经常会遇到下面的问题：完成一件事情，怎样合理安排才能做到用的时间最少，效果最佳。
这类问题在数学中称为统筹问题。
我们还会遇到“费用最省”、“面积最大”、“损耗最小”等等问题，这些问题往往可以从极端情况去探讨它的最大（小）值，这类问题在数学中称为极值问题。
以上的问题实际上都是“最优化问题”。
二、精讲精练【例题1】用一只平底锅煎饼，每次只能放两个，剪一个饼需要2分钟（规定正反面各需要1分钟）。
问煎3个饼至少需要多少分钟？练习1：1、烤面包时，第一面需要2分钟，第二面只要烤1分钟，即烤一片面包需要3分钟。
小丽用来烤面包的架子，一次只能放两片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分钟？2、用一只平底锅烙大饼，锅里只能同时放两个。
烙熟大饼的一面需要3分钟，现在要烙3个大饼，最少要用几分钟？【例题2】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗水壶需要1分钟，烧开水需要15分钟，洗茶壶需要1分钟，洗茶杯需要1分钟。
要让客人喝上茶，最少需要多少分钟？练习2：1、小虎早晨要完成这样几件事：烧一壶开水需要10分钟，把开水灌进热水瓶需要2分钟，取奶需要5分钟，整理书包需要4分钟。
他完成这几件事最少需要多少分钟？2、小强给客人沏茶，烧开水需要12分钟，洗茶杯要2分钟，买茶叶要8分钟，放茶叶泡茶要1分钟。
为了让客人早点喝上茶，你认为最合理的安排，多少分钟就可以了？【例题3】五（1）班赵明、孙勇、李佳三位同学同时到达学校卫生室，等候校医治病。
赵明打针需要5分钟，孙勇包纱布需要3分钟，李佳点眼药水需要1分钟。
卫生室只有一位校医，校医如何安排三位同学的治病次序，才能使三位同学留在卫生室的时间总和最短？练习3：1、甲、乙、丙三人分别拿着2个、3个、1个热水瓶同时到达开水供应点打热水。
热水龙头只有一个，怎样安排他们打水的次序，可以使他们打热水所花的总时间最少？2、甲、乙、丙三人到商场批发部洽谈业务，甲、乙、丙三人需要的时间分别是10分钟、16分钟和8分钟。
最优化方法测验及答案套
《最优化方法》1一、填空题：1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________，其中 ___________称为目标函数，___________称为约束函数，可行域D 可以表示 为_____________________________，若______________________________， 称*x 为问题的局部最优解，若_____________________________________，称*x 为问题的全局最优解。
2．设f(x)= 212121522x x x x x +-+，则其梯度为___________，海色矩阵___________,令,)0,1(,)2,1(T T d x ==则f(x)在x 处沿方向d 的一阶方向导数为___________，几何意义为___________________________________,二阶 方向导数为___________________，几何意义为_________________________ ___________________________________。
3．设严格凸二次规划形式为：012..222)(min 2121212221≥≥≤+--+=x x x x t s x x x x x f则其对偶规划为___________________________________________。
4．求解无约束最优化问题：n R x x f ∈),(min ，设k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向k d =___________ 用Newton 法求解时，搜索方向k d =___________ 用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =___________________________________________________________________________。
最优化理论与方法(线性部分)思考题与作业要求答案
最优化理论与方法（线性部分）思考题1.就你学过的运筹学问题，写出能够建立线性规划模型的问题，并举例（建立模型）。
工厂生产利润最大化问题2.举例（说明问题、建立模型）论述线性规划在交通、运输、物流和安全管理中的应用。
3.对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。
4.简述线性规划求解算法的改进历史。
5.证明课本（清华版运筹学（第三版））2.5题。
6.有人说：“原问题有多重解（多个最优解），对偶问题一定也有多重解”，此话是否正确？请举一算例。
7.D-W分解算法适合哪种类型的线性规划问题？请举一算例。
8.何谓“原始-对偶”单纯形法？请举一算例。
9.何谓有界变量的线性规划问题？如何求解？请举一算例。
10.何谓线性规划的逆问题，分别对“最优解的逆线性规划问题”和“对目标函数值的线性规划逆最优值问题”举出算例。
11.对同一优化问题，是否存在决策变量一样但所建模型不一样的情况？请举例；是否存在目标函数中没有决策变量的最优化问题？12.简述建立线性多目标规划的过程，自选一个实际问题，建立模型并用图解法和单纯形法求解。
要求每个人所举例题都不一样，否则视为抄袭！最优化理论与方法（线性部分）思考题1.解：以工厂生产利润最大化问题：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知有关数据见下表。
试求获利最大的生产方案。
设、分别代表Ⅰ、Ⅱ两种产品生产量，其线性规划模型表述为：max 102.解：以管理(指派)问题：有一份中文说明书，需翻译为日、英、德、法四种文字，分别记作A、B、C、D、现有甲乙丙丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书所需要的时间如下表所示。
问应指派何人去完成何种工作，使所需总时间最少？()表示指派第i人去完成j项任务的时间，引入，其取值只能使0和1。
并另取1时表示指派第i个人去完成第j项工作；取0时表示不指派第i个人去完成第j项工作。
当问题要求极小化时的数学模型是：s.t或3. 对一个用单纯形法求解不会产生循环（且能求得最优解）的n个变量m个约束的线性规划问题，估算一下基本计算次数。
最优化方法(试题+答案)
一、 填空题1.若()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121312112)(x x x x x x x f ，则=∇)(x f ，=∇)(2x f .2.设f 连续可微且0)(≠∇x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向。
3.向量T)3,2,1(关于3阶单位方阵的所有线性无关的共轭向量有 . 4. 设R R f n →:二次可微，则f 在x 处的牛顿方向为 . 5.举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： .6.以下约束优化问题：)(01)(..)(min 212121≥-==+-==x x x g x x x h t s x x f的K-K-T 条件为：. 7.以下约束优化问题：1..)(min 212221=++=x x t s x x x f的外点罚函数为（取罚参数为μ） .二、证明题（7分+8分）1.设1,2,1,:m i R R g n i =→和m m i R R h ni ,1,:1+=→都是线性函数，证明下面的约束问题：},,1{,0)(},1{,0)(..)(min 1112m m E j x h m I i x g t s x x f j i nk k+=∈==∈≥=∑=是凸规划问题。
2.设R R f →2:连续可微，n i R a ∈，R h i ∈，m i ,2,1=，考察如下的约束条件问题：},1{,0}2,1{,0..)(min 11m m E i b x a m I i b x a t s x f i T i i Ti +=∈=-=∈≥-设d 是问题1||||,0,0..)(min ≤∈=∈≥∇d E i d a Ii d a t s d x f Ti Ti T的解，求证：d 是f 在x 处的一个可行方向。
三、计算题（每小题12分）1.取初始点T x )1,1()0(=.采用精确线性搜索的最速下降法求解下面的无约束优化问题（迭代2步）：22212)(m in x x x f +=2.采用精确搜索的BFGS 算法求解下面的无约束问题：21222121)(min x x x x x f -+=3.用有效集法求解下面的二次规划问题：.0,001..42)(min 2121212221≥≥≥+----+=x x x x t s x x x x x f4.用可行方向算法（Zoutendijk 算法或Frank Wolfe 算法）求解下面的问题（初值设为)0,0()0(=x,计算到)2(x 即可)：.0,033..221)(min 21211222121≥≥≤+-+-=x x x x t s x x x x x x f参考答案一、填空题 1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++3421242121x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4224 2. 0)(<∇d x f T3. T)0,1,2(-，T)1,0,3(-（答案不唯一）。
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)
天津大学《最优化方法》复习题(含答案)天津大学《最优化方法》复习题（含答案）第一章 概述(包括凸规划)一、 判断与填空题1 )].([arg)(arg min maxx f x f n nR x Rx -=∈∈ √2 {}{}.:)(m in :)(m ax nnR D x x f R D x x f ⊆∈-=⊆∈ ⨯ 3 设.:R R D f n →⊆ 若nR x∈*，对于一切nR x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的全局最优解. ⨯4 设.:R RD f n→⊆ 若Dx∈*，存在*x 的某邻域)(*x Nε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(minx f Dx ∈的严格局部最优解. ⨯5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √6 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √7 非空集合nR D ⊆为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √8 任意两个凸集的并集为凸集. ⨯ 9 函数RR D f n→⊆:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √10 设RRD f n→⊆:为凸集D 上的可微凸函数，Dx ∈*.则对D x ∈∀，有).()()()(***-∇≤-x x x f x f x f T⨯ 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n是凸集。
√12 设{}kx 为由求解)(minx f Dx ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法，则对{}Λ,2,1,0∈∀k ，恒有)()(1kk x f x f ≤+ .13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。
14 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。
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《最优化方法》复习题(含答案)附录5 《最优化方法》复习题1、设n n A R ⨯∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2TT f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵．解 2(),()f x Ax b f x A ∇=+∇=．2、设()()t f x td ϕ=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ϕ''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ϕϕ'''=∇+=∇+．3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令()()()()()T TT Tdd f x f x H I d f x f x f x ∇∇=--∇∇∇， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-∇也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ∇<，从而()()()T T f x p f x H f x ∇=-∇∇()()()()()()()()T TTT T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ∇∇=-∇--∇∇∇∇()()()0T T f x f x f x d =-∇∇+∇<，所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ⊆是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ∀≥∀∈的一切凸组合都属于S ．证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令11k i i i x x λ+==∑，其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+，且111k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈，结论成立），记111kii i k y x λλ=+=-∑，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，当λ充分接近1时，可使(1)()x x N x S δλλ+-∈，于是()((1))f x f x x λλ≤+-，矛盾．从而x 是全局最优解．7、设n R S ⊆为非空凸集，R S f →:是具有一阶连续偏导数的凸函数，证明：x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解的充要条件是：()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．证明 必要性．若x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解．反设存在x S ∈，使得()()0T f x x x ∇-<，则d x x =-是函数()f x 在点x 处的下降方向，这与x 为问题min ()x Sf x ∈的最优解矛盾．故()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．充分性．若()()0,T f x x x x S ∇-≥∀∈．反设存在x S ∈，使得()()f x f x <．(())()((1))()f x x x f x f x x f x λλλλλ+--+--=()(1)()()()()0((0,1)f x f x f x f x f x λλλλ+--≤=-<∀，因S 为凸集，f 在S 上可微，故令0λ+→，得()()()()0T f x x x f x f x ∇-≤-<，这与已知条件矛盾，故x 是问题min ()x Sf x ∈的最优解．8、设函数()f x 具有二阶连续偏导数，k x 是()f x 的极小点的第k 次近似，利用()f x 在点k x 处的二阶Taylor 展开式推导Newton 法的迭代公式为 211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇．证明 由于()f x 具有二阶连续偏导数，故21()()()()()()()()2T T k k k k k k f x x f x f x x x x x f x x x ϕ≈=+∇-+-∇-．且2()k f x ∇是对称矩阵，因此()x ϕ是二次函数．为求()x ϕ的极小点，可令()0x ϕ∇=，即2()()()0k k k f x f x x x ∇+∇-=，若2()k f x ∇正定，则上式解出的()x ϕ的平稳点就是()x ϕ的极小点，以它作为()f x 的极小点的第1k +次近似，记为1k x +，即211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇，这就得到了Newton 法的迭代公式.9、叙述常用优化算法的迭代公式．（1）0.618法的迭代公式：(1)(),().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--⎧⎨=+-⎩（2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)()n k kk k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+⎧=+-⎪⎪=-⎨⎪=+-⎪⎩．（3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1()()k k k k t t t t ϕϕ+'=-''． （4）最速下降法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()()()()()T k k k k k Tk k f x f x x x f x f x Q f x +∇∇=-∇∇∇ （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-∇∇． （6）共轭方向法用于问题1min ()2TT f x x Qx b x c =++的迭代公式： 1()T k kk k k Tk kf x d x x d d Qd +∇=-． 10、已知线性规划：123123123123123min ()2;..360,2210,20,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪++≤⎪⎪-+≤⎨⎪+-≤⎪⎪≥⎩（1）用单纯形法求解该线性规划问题的最优解和最优值； （2）写出线性规划的对偶问题； （3）求解对偶问题的最优解和最优值．解 （1）引进变量456,,x x x ，将给定的线性规划问题化为标准形式：123123412351236126min ()2;..360,2210,20,,,,0.f x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+⎧⎪+++=⎪⎪-++=⎨⎪+-+=⎪⎪≥⎩1x 2x 3x 4x 5x6x4x 3 1 1 1 0 0 60 5x 1 -2 2 0 1 0 10 6x1 1* -1 0 0 1 20 f -2 1 -1 0 0 0 0 4x 2 0 2 1 0 -1 40 5x3 0 0 0 1 2 50 2x1 1 -1 0 0 1 20 f-3-1-20所给问题的最优解为(0,20,0)T x =，最优值为20f =-． （2）所给问题的对偶问题为：123123123123123max ()601020;..32,21,21,,,0.g y y y y s t y y y y y y y y y y y y =---⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩（1）（3）将上述问题化成如下等价问题：123123123123123min ()601020;..32,21,21,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---≤⎪⎪-+-≤-⎨⎪--+≤⎪⎪≥⎩引进变量456,,y y y ，将上述问题化为标准形式：123123412351236126min ()601020;..32,21,21,,,,0.h y y y y s t y y y y y y y y y y y y y y y =++⎧⎪---+=⎪⎪-+-+=-⎨⎪--++=⎪⎪≥⎩（2）1y2y 3y 4y 5y6y4y -3 -1 -1 1 0 0 2 5y -1 2 -1* 0 1 0 -1 6y-1-210 1 1 h-60 -10 -20 0 0 0 0 4y -2 -3 0 1 -1 0 3 3y 1 -2 1 0 1 0 1 6y-20 110 h -40 -50 0 0-20 020问题（2）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20h =（最小值）． 问题（1）的最优解为(0,0,1)T y =，最优值为20g =-（最大值）．11、用0.618法求解 2min ()(3)t t ϕ=-，要求缩短后的区间长度不超过0.2，初始区间取[0,10]． 解 第一次迭代： 取11[,][0,10],0.2a b ε==． 确定最初试探点11,λμ分别为11110.382() 3.82a b a λ=+-=，11110.618() 6.18a b a μ=+-=．求目标函数值：21()(3.823)0.67ϕλ=-=，21()(6.183)10.11ϕμ=-=． 比较目标函数值：11()()ϕλϕμ<． 比较11 6.1800.2a με-=->=．212121210, 6.18, 3.82,()()0.67a a b μμλϕμϕλ========．2222220.382()0.382(6.180) 2.36,()(2.363)0.4a b a λϕλ=+-=-==-=．2222()(), 3.82a ϕλϕμμε<-=>． 第三次迭代：323232320, 3.82, 2.36,()()0.4a a b μμλϕμϕλ========．2333330.382()0.382(3.820) 1.46,()(1.463) 2.37a b a λϕλ=+-=-==-=．3333()(), 3.82 1.46b ϕλϕμλε>-=->． 第四次迭代：434343431.46, 3.82, 2.36,()()0.4a b b λλμϕλϕμ========．444440.618() 1.460.0.618(3.82 1.46) 2.918,()0.0067a b a μϕμ=+-=+-==． 4444()(), 3.82 2.36b ϕλϕμλε>-=->． 第五次迭代：545454542.36, 3.82, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．555550.618() 3.262,()0.0686a b a μϕμ=+-==． 5555()(), 3.262 2.36a ϕλϕμμε<-=->． 第六次迭代：656565652.36, 3.262, 2.918,()()0.0067a a b μμλϕμϕλ========．666660.382() 2.7045,()0.087a b a λϕλ=+-==．6666()(), 3.262 2.7045b ϕλϕμλε>-=->． 第七次迭代：767676762.7045, 3.262, 2.918,()()0.0067a b b λλμϕλϕμ========．777770.618() 3.049,()0.002a b a μϕμ=+-==． 7777()(),b ϕλϕμλε>->．878787872.918, 3.262, 3.049,()()0.002a b b λλμϕλϕμ========．888880.618() 3.131,()0.017a b a μϕμ=+-==． 8888()(),a ϕλϕμμε<->． 第九次迭代：989899982.918, 3.131, 3.049,()()0.002a a b μμλϕμϕλ========．999990.382() 2.999,()0.000001a b a λϕλ=+-==． 9999()(), 3.049 2.918a ϕλϕμμε<-=-<． 故993.0242x λμ+==．12、用最速下降法求解 22112212min ()2243f x x x x x x x =++--，取(0)(1,1)T x =，迭代两次．解 1212()(224,243)T f x x x x x ∇=+-+-， 将()f x 写成1()2TT f x x Qx b x =+的形式，则224,243Q b -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭． 第一次迭代：(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)()()()()()T T f x f x xxf x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 0(0,3)1013220131/4(0,3)243⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 第二次迭代：(1)(1)(2)(1)(1)(1)(1)()()()()()T T f x f x xx f x f x Q f x ∇∇=-∇∇∇ 3/2(3/2,0)13/27/40223/21/401/4(3/2,0)240-⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．13、用FR 共轭梯度法求解222123123123min ()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++-，取(0)11(,1,)22T x =，迭代两次．若给定0.01,ε=判定是否还需进行迭代计算． 解 222123121323()3()2()f x x x x x x x x x x =++-++，再写成1()2T f x x Gx =，622262226G --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭，()f x Gx ∇=．第一次迭代：(0)()(0,4,0)T f x ∇=，令(0)0()(0,4,0)T d f x =-∇=-，从(0)x 出发，沿0d 进行一维搜索，即求(0)200min ()21648f x d λλλλ≥+=-+的最优解，得(1)(0)0001/6,(1/2,1/3,1/2)T x x d λλ==+=．第一次迭代：(1)()(4/3,0,4/3)T f x ∇=．2(1)02(0)()29()f x f x α∇==∇， (1)100()(4/3,8/9,4/3)T d f x d α=-∇+=---．从(1)x 出发，沿1d 进行一维搜索，即求(1)10142362214181418min ()(,,)262233923392261423f x d λλλλλλλλ≥⎛⎫- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪+=------ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭的最优解，得(2)(1)1111/24/333,1/38/9(0,0,0)881/24/3T x x d λλ-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．此时(2)(2)()(0,0,0),()00.01T f x f x ε∇=∇=<=．得问题的最优解为(0,0,0)T x =，无需再进行迭代计算．14、用坐标轮换法求解 2212112min ()242f x x x x x x =+--，取(0)(1,1)T x =，迭代一步．解 从点(0)(1,1)T x =出发，沿1(1,0)T e =进行一维搜索， 即求(0)210min ()43f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(1)(0)0012,(3,1)T x x e λλ==+=．再从点(1)x 出发，沿2(0,1)T e =进行一维搜索， 即求(1)220min ()227f x e λλλλ≥+=--的最优解，得(2)(1)1121/2,(3,3/2)T x x e λλ==+=．15、用Powell 法求解2212112min ()3f x x x x x x =+--，取(0)(0,0)T x =，初始搜索方向组01(0,1),(1,0)T T d d ==，给定允许误差0.1ε=（迭代两次）． 解 第一次迭代：令(0)(0)(0,0)T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 进行一维搜索，易得(1)(0)0000,(0,0)T y y d λλ==+=；接着从点(1)y 出发沿1d 进行一维搜索，得(2)(1)11133,(,0)22T y y d λλ==+=由此有加速方向 (2)(0)23(,0)2T d y y =-=．因为23/2d ε=>，所以要确定调整方向．由于 (0)(1)(2)9()0,()0,()4f y f y f y ===-，按（8.4.17）式有(1)(2)()(1)()()max{()()|0,1}j j f y f y f y f y j +-=-=，因此1m =，并且()(1)(1)(2)9()()()()4m m f y f y f y f y +-=-=．又因(2)(0)(2)0f y y -=，故（8.4.18）式不成立．于是，不调整搜索方向组，并令(1)(2)3(,0)2T x y ==．第二次迭代：取(0)(1)3(,0)2T y x ==，从点(0)y 出发沿0d 作一维搜索，得(1)(0)000333,(,)424T y y d λλ==+=．接着从点(1)y 出发沿方向1d 作一维搜索，得(2)(1)1113153,(,)884Ty y d λλ==+=． 由此有加速方向(2)(0)233(,)84T d y y =-=．因为235d ε=>，所以要确定调整方向．因(0)(1)(2)945189(),(),()41664f y f y f y =-=-=-， 故按（8.4.17）式易知0m =，并且()(1)(0)(1)9()()()()16m m f y f y f y f y +-=-=． 由于(2)(0)45(2)16f y y -=-， 因此（8.4.18）式成立。