复变函数课后习题答案全

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复变函数课后习题答案(全)

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精心整理页脚内容习题一答案1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)i i i --(3)131i i i--(4)8214i i i -+-解:(1)1323213iz i -==+, 因此:32Re , Im 1313z z ==-,(2)3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---,因此,31Re , Im 1010z z =-=,(3)133335122i i iz i i i --=-=-+=-, 因此,35Re , Im 32z z ==-,(4)82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此,Re 1, Im 3z z =-=,2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2)13i -+(3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cossin22iii e πππ=+=(2)13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin2sin cos 222i i θθθθθ-+=+精心整理页脚内容3. 求下列各式的值: (1)5(3)i -(2)100100(1)(1)i i ++-(3)(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--(4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5)3i (6)1i +解:(1)5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- (2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--(4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- (5)3i 3cossin22i ππ=+(6)1i +2(cossin )44i ππ=+ 4. 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解:12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,5. 解下列方程: (1)5()1z i +=(2)440 (0)z a a +=>解:(1)51,z i +=由此2551k i z i ei π=-=-,(0,1,2,3,4)k =(2)4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4个根分别为:精心整理页脚内容(1), (1), (1), (1)2222a a a a i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,zx iy =+则2x y z x y+≤≤+证明:首先,显然有22z x y x y =+≤+;其次,因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+从而222x y z x y +=+≥。

复变函数课后部分答案

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34 z , 2
3 5 z i, 2 2
.
5 Argz arctan 2k , k 0, 1, 3
2.当x, y等于什么实数时,等式 x 1 i( y 3) 1 i 5 3i 成立。
解: 原式等价于x 1 i( y 3) 2 8i,
由这四个偏导数连续,可知u,v在整个复平面可微;
柯西 黎曼方程在x 0, y 1时成立,
所以f ( z)只在z i点可导,在整个复平面上处处不解析。
知识点7.
课堂练习:
5.若e2z-1 = 1,求z的值。
解:
2 z 1 Ln1 ln1 2k i 2k i,
5.指出下列各题中点z的轨迹,并作图: 1 ) z 2 3i 5;
解: 1 )设z = x+iy,
x iy 2 3) 5,
( x 2) 2 ( y 3) 2 5,
为一圆周: ( x 2)2 ( y 3)2 25;
知识点3.
课堂练习:
2.若(1 i)n (1 i)n , 试求n的值。
解:由已知可得,
n n n n n 2 2 (cos i sin ) 2 (cos i sin ), 4 4 4 4 即 n n n n sin sin 2 k . 4 4 4 4 n 2
解: 1 )函数的奇点是 z 0, z i.
2)函数的奇点是z 1, z i.
exp[exp( i)] exp[cos 1 i sin 1]
ecos1[cos(sin1) i sin(sin1)]
Im{exp[exp(i)]} ecos1 sin(sin1);

复变函数(第四版)课后习题答案

复变函数(第四版)课后习题答案

(3 + 4i )(2 − 5i ) = 5
2i
29 , 2
26 ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ ⎡ (3 + 4 i )(2 − 5 i ) ⎤ = arg ⎢ Arg ⎢ + 2kπ = 2 arctan − π + 2kπ ⎥ ⎥ 2i 2i 7 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = arctan 26 + (2k − 1)π , 7 k = 0,±1,±2, " .
{
}
{
}
Arg i8 − 4i 21 + i = arg i8 − 4i 21 + i + 2kπ = arg(1 − 3i ) + 2kπ
(
)
(
)
= −arctan3 + 2kπ 2.如果等式 解:由于
k = 0,±1,±2, ".
x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立,试求实数 x, y 为何值。 5 + 3i x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i ) = 5 + 3i (5 + 3i )(5 − 3i ) =
2 2
= ( z1 + z2 )( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = 2( z1 z1 + z2 z2 )几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。 12.证明下列各题: 1)任何有理分式函数 R ( z ) =
2 2
1 ; 3 + 2i
1 3i (2) − ; i 1− i

复变函数课后习题答案(全)

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创作编号:BG7531400019813488897SX创作者:别如克*习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010 z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+ ==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ-(5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cossin22iii e πππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin)33)sin()][cos()sin()]44i ii iππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin2)1212i iππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212iiπθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin5)(cos3sin3)iiϕϕϕϕ+-cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)iiiϕϕϕϕϕϕ+==+-+-(5=11cos(2)sin(2)3232k i kππππ=+++1,0221,122,2i ki ki k+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin(2)]2424k i kππππ=+++88,0,1iie ke kππ==⎪=⎩4.设12,z z i==-试用三角形式表示12z z与12zz解:12cos sin, 2[cos()sin()]4466 z i z iππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k i z i ei π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)z==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4个根分别为:(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,zx iy =+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y =≤+;创作编号:BG7531400019813488897SX创作者: 别如克*其次,因222,x y x y +≥ 固此有2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。

复变函数课后部分答案

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1 u v . 4
2 2
7.已知映射 z , 求:
3
2)区域0 arg z
解: 2)设z = re ,
3

3
在平面上的像。
i 3 3 3i
i
w (re ) r e ,

3 映成0 arg z .
映射 z 将区域0 arg z
8.下列函数何处可导?何处解析? 1 )f ( z) x2 yi; 3) f ( z) xy 2 ix 2 y;
其实,世上最温暖的语言,“ 不是我爱你,而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇!只有彼此以诚相待,彼此尊重, 相互包容,相互懂得,才能走的更远。 相遇是缘,相守是爱。缘是多么的妙不可言,而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时,错过一世! 择一人深爱,陪一人到老。一路相扶相持,一路心手相牵,一路笑对风雨。在平凡的世界,不求爱的轰轰烈烈;不求誓 言多么美丽;唯愿简单的相处,真心地付出,平淡地相守,才不负最美的人生;不负善良的自己。 人海茫茫,不求人人都能刻骨铭心,但求对人对己问心无愧,无怨无悔足矣。大千世界,与万千人中遇见,只是相识的 开始,只有彼此真心付出,以心交心,以情换情,相知相惜,才能相伴美好的一生,一路同行。 然而,生活不仅是诗和远方,更要面对现实。如果曾经的拥有,不能天长地久,那么就要学会华丽地转身,学会忘记。 忘记该忘记的人,忘记该忘记的事儿,忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合,月有阴晴圆缺。对于离开的人,不必折磨自己脆弱的生命,虚度了美好的朝夕;不必让心灵痛苦不堪, 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪,告诉自己,日子还得继续,谁都不是谁的唯一,相信最美的风景一直在路上。 人生,就是一场修行。你路过我,我忘记你;你有情,他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人,然而事与愿违时, 你越渴望的东西,也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望,就会像肥皂泡一样破灭,只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风,有多少故事留下感动。愿曾经的相遇,无论是锦上添花,还是追悔莫及;无论是青涩年华的懵懂赏 识,还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往,依然如花芬芳四溢,永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实,人生之路的每一段相遇,都是一笔财富,尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上,他们都会丰富你的生命,使 你的生命更充实,更真实;丰盈你的内心,使你的内心更慈悲,更善良。所以生活的美好,缘于一颗善良的心,愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来,愿相亲相爱的人,相濡以沫,同甘共苦,百年好合。愿有情有意的人,不离不弃,相惜相守,共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了,依然是彼此手心里的宝,感恩一路有你!

复变函数课后习题答案(全)之欧阳数创编

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习题一答案2. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+ (2)(1)(2)i i i -- (3)131i i i -- (4)8214i i i -+- 解:(1)1323213i z i -==+, 因此:32Re , Im 1313z z ==-, (2)3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---, 因此,31Re , Im 1010z z =-=, (3)133335122i i i z i i i --=-=-+=-, 因此,35Re , Im 32z z ==-, (4)82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此,Re 1, Im 3z z =-=,3. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i (2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cos sin 22ii i e πππ=+= (2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 4. 求下列各式的值: (1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- (5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- (2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5= (6)= 5.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+, 6. 解下列方程:(1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=> 解:(1)z i += 由此25k i z i e i π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4个根分别为:), 1), 1), )i i i i +-+---7. 证明下列各题:(1)设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明:首先,显然有z x y =≤+;其次,因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥ (2)对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++证明:验证即可,首先左端221212()()x x y y =+++, 而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++- 2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++,由此,左端=右端,即原式成立。

复变函数课后习题答案(全)之欧阳理创编

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习题一答案2. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+ (2)(1)(2)i i i -- (3)131i i i -- (4)8214i i i -+- 解:(1)1323213i z i -==+, 因此:32Re , Im 1313z z ==-, (2)3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---, 因此,31Re , Im 1010z z =-=, (3)133335122i i i z i i i --=-=-+=-, 因此,35Re , Im 32z z ==-, (4)82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此,Re 1, Im 3z z =-=,3. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i (2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cos sin 22ii i e πππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 4. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- (5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- (2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- (5=(6)= 5.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,6. 解下列方程:(1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=> 解:(1)z i += 由此25k i z i e i π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4个根分别为:), 1), 1), )i i i i +-+---7. 证明下列各题:(1)设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明:首先,显然有z x y =≤+;其次,因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥(2)对任意复数12,,z z 有2221212122Re()z z z z z z +=++证明:验证即可,首先左端221212()()x x y y =+++, 而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy =+++++- 2222112212122()x y x y x x y y =+++++221212()()x x y y =+++,由此,左端=右端,即原式成立。

复变函数课后习题答案

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习题一 P311题 (2)i ii i -+-11 = 1)1(2)1(--++i i i i =223i --)R e (z 23-= ; 21)(-=z I m ; z = 23-2i + ; z =210;arg(z) = arctan-31π (4) 8i i i +-214 i i +-=41 i 31-= ;;1)Re(=z ;3)Im(-=z ;31i z += ;10=z 3a r c t a na r g -=z ; 5题(2) πππi e i 2)sin (cos 22=+=-;(4)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-)43sin(arctan )43cos(arctan 5)43sin(arctan )43cos(arctan 91634i i i;5θi e = );43arctan(-=θ (6) θθθθθθθθϑθθ7sin 7cos )()()2sin 2(cos )sin (cos )7(4322323i e e e e e i i i i i i i -====+---- ; 8题(2) 16)2()1(848==+πie i (4));3432sin 3432(cos2163ππππ-+-=--k i k i ;431arctan ππθ-=-= ;2,1,0=K);1(24)2222(2360i i K -=-= );125sin 125(cos261ππi K += );1213sin 1213(cos 262ππi K +=12题(2) ;3)2(=-z R e 即 ;3])2[(e =+-iy x R ;32=-x 5=x 直线(6) ;4)arg(π=-i z ;4))1(arg(π=-+y i x arctan;41π=-x y ;11=-xy 1+=x y 以i 为起点的射线(x>0). 13题(1) 0)(<z I m ; 即y<0, 不含实轴的下半平面,开区域,无界,单连通。

最新复变函数课后习题答案(全)

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习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i(2)1-+(3)(sin cos)r iθθ+(4)(cos sin)r iθθ-(5)1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解:(1)2cos sin22ii i eπππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- (5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解:12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k iz i e iπ=-=-,(0,1,2,3,4)k=(2)z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++,当0,1,2,3k=时,对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6.证明下列各题:(1)设,z x iy=+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y=≤+;其次,因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。

复变函数—课后答案习题五解答

复变函数—课后答案习题五解答

1 z ( z − 1) 1
2 2
在 z = 1 处有一个二级极点,这个函数又有下列洛朗展开式
z ( z − 1)
="+
1
( z − 1)
5

1
( z − 1)
4
+
1
( z − 1)
3
,| z − 1|> 1. , | z − 2 |> 1
−1 所以“ z = 1 又是 f (z ) 的本性奇点” ,又其中不含 (z − 2) 幂项,因此 Res ⎡ ⎣ f ( z ) ,1⎤ ⎦ = 0 ,这些说法对
m −1
ϕ (z ) + (z − z 0 )m ϕ ' (z ) = (z − z0 )m−1 [mϕ (z ) + (z − z0 )ϕ ' (z )]
故 z0 是 f ' (z ) 的 m-1 级零点。 3.验证: z = 解 由 ch
πi
2
是 ch z 的一级零点。
πi
2
= cos
π
2
= 0 , (ch z ) ' z = π i = sh
z → z0
lim
f ( z) f '( z ) = lim z → z 0 g '( z ) g ( z)
(或两端均为∞) 。

因 f ( z ) 和 g ( z ) 是 以 z0 为 零 点 的 两 个 不 恒 等 于 零 的 解 析 函 数 , 可 设 f ( z ) = ( z − z0 )ϕ ( z ) ,
习题五解答
1、下列函数有些什么奇点?如果是极点,指出它的级。 (1)
z ( z + 1)

(完整版)复变函数习题答案第2章习题详解

(完整版)复变函数习题答案第2章习题详解

第二章习题详解1. 利用导数定义推出: 1)()1-=n n nzz '(n 为正整数)解: ()()()()()z z z z z n n z nz z z z z z z nn n n n z n n z n∆∆∆∆∆∆∆∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++=-+=--→→Λ22100121limlim '()()11210121----→=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=n n n n z nz z z z n n nz ∆∆∆Λlim 2) 211z z -=⎪⎭⎫⎝⎛'解: ()()2000111111z zz z z z z z z z z z z z z z z -=+-=+-=-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→→∆∆∆∆∆∆∆∆∆lim lim lim '2. 下列函数何处可导?何处解析? 1)()iy x z f -=2解:设()iv u z f +=,则2x u =,y v -=x x u 2=∂∂,0=∂∂y u ,0=∂∂xv,1-=∂∂y v 都是连续函数。

只有12-=x ,即21-=x 时才满足柯西—黎曼方程。

()iy x z f -=∴2在直线21-=x 上可导,在复平面内处处不解析。

2)()3332y i x z f +=解:设()iv u z f +=,则32x u =,33y v =26x x u =∂∂,0=∂∂y u ,0=∂∂xv ,29y y v =∂∂都是连续函数。

只有2296y x =,即032=±y x 时才满足柯西—黎曼方程。

()3332y i x z f +=∴在直线032=±y x 上可导,在复平面内处处不解析。

3)()y ix xy z f 22+=解:设()iv u z f +=,则2xy u =,y x v 2=2y x u =∂∂,xy y u 2=∂∂,xy xv 2=∂∂,2x y v =∂∂都是连续函数。

复变函数论第三版课后习题答案解析

复变函数论第三版课后习题答案解析

第一章习题解答(一)1.设z ,求z 及Arcz 。

解:由于3i z e π-== 所以1z =,2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。

2.设121z z =,试用指数形式表示12z z 及12z z 。

解:由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。

3.解二项方程440,(0)z a a +=>。

:解:12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。

4.证明2221212122()z z z z z z ++-=+,并说明其几何意义。

证明:由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是:平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。

5.设z 1,z 2,z 3三点适合条件:0321=++z z z ,1321===z z z 。

证明z 1,z 2,z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。

证 由于1321===z z z,知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。

因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=]21212z z z z ++=所以, 12121-=+z z z z ,又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ,同理33231=-=-z z z z ,知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。

复变函数(第四版)课后题(附答案)

复变函数(第四版)课后题(附答案)

1 +2
i
⎫ ⎬ ⎭
=
3 13

Im⎨⎧ ⎩3
1 + 2i
⎫ ⎬ ⎭
=

2 13
,
1 = 1 (3 + 2i) , 1 = ⎜⎛ 3 ⎟⎞ 2 + ⎜⎛ − 3 ⎟⎞2 = 13 ,
3 + 2i 13
3 + 2i ⎝ 13 ⎠ ⎝ 13 ⎠ 13
Arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
3
1 +2
Im⎨⎧ ⎩
(3
+
4i)(2
2i

5i)⎫
⎬ ⎭
=
−13

1
⎡ ⎢ ⎣
(3
+
4i)(2
2i

5i)⎤
⎥ ⎦
=

7 2
+
l3i
(3 + 4i)(2 − 5i) = 5 29 ,
2i
2
Arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i

5
i)⎤
⎥⎦
=
arg⎢⎣⎡
(3
+
4
i)(2
2i

5
i)⎤
⎥⎦
+
2kπ
=
2
arctan
26 7

π
+
2kπ
= arctan 26 + (2k −1)π ,
7
k = 0,±1,±2," .
( ) ( ) (4) i8 − 4i21 + i = i2 4 − 4 i2 10i + i = (−1)4 − 4(− )1 10i + i

复变函数(第四版)课后习题答案

复变函数(第四版)课后习题答案

3i 1−
i
⎫ ⎬ ⎭
=

5 2
⎜⎛ 1 − 3i ⎟⎞ = 3 + i 5 , 1 − 3i = ⎜⎛ 3 ⎟⎞2 + ⎜⎛ − 5 ⎟⎞2 = 34 , ⎝ i 1−i⎠ 2 2 i 1−i ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 2
Arg⎜⎛ ⎝
1 i

3i 1−i
⎟⎞ ⎠
=
arg⎜⎛ ⎝
1 i

3i 1−
i
⎟⎞ ⎠
2.如果等式 x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立,试求实数 x, y 为何值。
5 + 3i
解:由于
x
+
1+ i(y
5 + 3i

3)
=
[x
+1 + i(y − 3)](5 − (5 + 3i)(5 − 3i)
3i)
= 5(x +1)+ 3(y − 3)+ i[− 3(x +1)+ 5(y − 3)]
= 2 i sin nt
14.求下列各式的值
( ) (1) 3 − i 5 ; (2) (1 + i)6 ; (3) 6 −1 ;
1
(4) (1 − i)3
( ) ( ) 解
(1)
3 − i 5 = ⎢⎢⎣⎡2⎜⎜⎝⎛
3 2

i 2
⎟⎟⎠⎞⎥⎥⎦⎤5
=
2e−iπ / 6 5 = 32e−i5π / 6
=
32
⎡ ⎢⎣cos
⎛ ⎜⎝

5π 6
⎞ ⎟⎠
+

(精品)《复变函数》习题及答案

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第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0的某个邻域内可导。

( )2、如果z 0是f (z )的本性奇点,则)(lim 0z f z z →一定不存在。

( )3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续,则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。

( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。

( )5、若z 0是)(z f 的m 阶零点,则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。

( )6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件,则f (z )在z 0解析。

( )7、若)(lim 0z f z z →存在且有限,则z 0是函数的可去奇点。

( )8、若f (z )在单连通区域D 内解析,则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。

( )9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数,则它在D 内有任意阶导数。

( )10、若函数f (z )在区域D 内的解析,且在D 内某个圆内恒为常数,则在区域D 内恒等于常数。

( )11、若函数f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0连续。

( ) 12、有界整函数必为常数。

( ) 13、若}{n z 收敛,则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。

( )14、若f (z )在区域D 内解析,且0)('≡z f ,则C z f ≡)((常数)。

( ) 15、若函数f (z )在z 0处解析,则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。

( ) 16、若f (z )在z 0解析,则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。

( ) 17、若函数f (z )在z 0可导,则f (z )在z 0解析。

( ) 18、若f (z )在区域D 内解析,则|f (z )|也在D 内解析。

( )19、若幂级数的收敛半径大于零,则其和函数必在收敛圆内解析。

复变函数课后习题答案(全)之欧阳法创编

复变函数课后习题答案(全)之欧阳法创编

习题一答案2. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+ (2)(1)(2)i i i -- (3)131i i i -- (4)8214i i i -+- 解:(1)1323213i z i -==+, 因此:32Re , Im 1313z z ==-, (2)3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---, 因此,31Re , Im 1010z z =-=, (3)133335122i i i z i i i --=-=-+=-, 因此,35Re , Im 32z z ==-, (4)82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此,Re 1, Im 3z z =-=,3. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i (2)1-+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cos sin 22ii i e πππ=+= (2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= (3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 4. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- (5(6)解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- (2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- (5= (6=5.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解:12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,6. 解下列方程:(1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=> 解:(1)z i += 由此25k iz i e iπ=-=-,(0,1,2,3,4)k=(2)z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++,当0,1,2,3k=时,对应的4个根分别为:),1),1),)i i i i+-+---7.证明下列各题:(1)设,z x iy=+则z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y=≤+;其次,因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。

复变函数课后习题答案(全)第四版

复变函数课后习题答案(全)第四版

习题一答案1. 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+ (2)(1)(2)i i i --(3)131i i i-- (4)8214i i i -+-解:(1)1323213iz i -==+, 因此:32Re , Im 1313z z ==-,1232, arg arctan , 3131313z z z i ==-=+(2)3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---, 因此,31Re , Im 1010z z =-=,1131, arg arctan , 3101010z z z i π==-=--(3)133335122i i iz i i i --=-=-+=-, 因此,35Re , Im 32z z ==-,34535, arg arctan , 232i z z z +==-=(4)82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此,Re 1, Im 3z z =-=,10, arg arctan3, 13z z z i π==-=--2. 将下列复数化为三角表达式和指数表达式: (1)i (2)13i -+ (3)(sin cos )r i θθ+(4)(cos sin )r i θθ- (5)1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解:(1)2cossin22iii e πππ=+=(2)13i -+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+22sin [cossin]2sin 2222ii e πθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5(3)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+-(5)3i (6)1i +解:(1)5(3)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin())16(3)66i i ππ=-+-=-+ (2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(13)(cos sin )(1)(cos sin )i i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )332[cos()sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-2[cos()sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)122[cos(2)sin(2)]21212ii eπθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- (5)3i 3cossin22i ππ=+11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++31, 02231, 122, 2i k i k i k ⎧+=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6)1i +2(cossin )44i ππ=+ 4112[cos (2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++48482, 02, 1i i e k e k ππ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩4. 设121, 3,2iz z i +==-试用三角形式表示12z z 与12z z解:12cossin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+, 12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=> 解:(1)51,z i+= 由此2551k i z i ei π=-=-, (0,1,2,3,4)k =(2)4444(cos sin )za a i ππ=-=+11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++,当0,1,2,3k =时,对应的4个根分别为:(1), (1), (1), (1)2222a a a ai i i i +-+--- 6. 证明下列各题:(1)设,z x iy =+则2x y z x y +≤≤+证明:首先,显然有22z x y x y =+≤+;其次,因222,x y x y +≥固此有2222()(),x y x y +≥+ 从而222x y z x y +=+≥。

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习题一答案1.求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数:(1)132i+(2)(1)(2)ii i--(3)131ii i--(4)8214i i i-+-解:(1)1323213i zi-==+,因此:32 Re, Im1313 z z==-,232arg arctan,31313z z z i==-=+(2)3(1)(2)1310i i izi i i-+===---,因此,31Re, Im1010z z=-=,131arg arctan,31010z z z iπ==-=--(3)133335122i i iz ii i--=-=-+=-,因此,35Re, Im32z z==-,535,arg arctan,232iz z z+==-=(4)82141413z i i i i i i=-+-=-+-=-+因此,Re1,Im3z z=-=,arg arctan3,13z z z iπ==-=--2.将下列复数化为三角表达式和指数表达式:(1)i(2)1-+(3)(sin cos)r iθθ+(4)(cos sin)r iθθ-(5)1cos sin (02)iθθθπ-+≤≤解:(1)2cos sin22ii i eπππ=+=(2)1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=(3)(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=(4)(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=(5)21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 22sin [cossin]2sin 2222ii eπθθπθπθθ---=+=3. 求下列各式的值:(1)5)i - (2)100100(1)(1)i i ++-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- (4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-(5(6解:(1)5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+-5552(cos()sin()))66i i ππ=-+-=-+(2)100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-(3)(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--2[cos()sin()](cos sin )33)sin()][cos()sin()]44i i i i ππθθππθθ-+-+=-+--+-)sin()](cos2sin 2)1212i i ππθθ=-+-+(2)12)sin(2)]1212ii πθππθθ-=-+-=(4)23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- cos10sin10cos19sin19cos(9)sin(9)i i i ϕϕϕϕϕϕ+==+-+- (5=11cos (2)sin (2)3232k i k ππππ=+++1, 0221, 122, 2i k i k i k +=⎪⎪⎪=-+=⎨⎪-=⎪⎪⎩(6=11(2)sin (2)]2424k i k ππππ=+++88, 0, 1i i e k e k ππ==⎪=⎩4.设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z解:12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-,所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+,12z z 1155[cos()sin()](cos sin )2464621212i i ππππππ=+++=+ 5. 解下列方程: (1)5()1z i += (2)440 (0)z a a +=>解:(1)z i += 由此25k iz i e iπ=-=-,(0,1,2,3,4)k=(2)z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++,当0,1,2,3k=时,对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6.证明下列各题:(1)设,z x iy=+z x y≤≤+证明:首先,显然有z x y=≤+;其次,因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。

(2)对任意复数12,,z z有2221212122Re()z z z z z z+=++证明:验证即可,首先左端221212()()x x y y=+++,而右端2222112211222Re[()()]x y x y x iy x iy=+++++-2222112212122()x y x y x x y y=+++++221212()()x x y y=+++,由此,左端=右端,即原式成立。

(3)若a bi+是实系数代数方程10110n nna z a z a z a--++++=L的一个根,那么a bi-也是它的一个根。

证明:方程两端取共轭,注意到系数皆为实数,并且根据复数的乘法运算规则,()n nz z=,由此得到:10110()()0n nna z a z a z a--++++=L由此说明:若z为实系数代数方程的一个根,则z也是。

结论得证。

(4)若1,a=则,b a∀≠皆有1a baab-=-证明:根据已知条件,有1aa =,因此:11()a b a b a b a ab aa ab a a b a ---====---,证毕。

(5)若1, 1a b <<,则有11a bab-<- 证明:222()()a b a b a b a b ab ab -=--=+--,2221(1)(1)1ab ab ab a b ab ab -=--=+--,因为1, 1a b <<,所以,2222221(1)(1)0a b a b a b +--=--< ,因而221a b ab -<-,即11a bab-<-,结论得证。

7.设1,z ≤试写出使n z a +达到最大的z 的表达式,其中n 为正整数,a 为复数。

解:首先,由复数的三角不等式有1n n z a z a a +≤+≤+,在上面两个不等式都取等号时n z a +达到最大,为此,需要取nz与a 同向且1nz =,即nz 应为a 的单位化向量,由此,naz a=,z =8.试用123,,z z z 来表述使这三个点共线的条件。

解:要使三点共线,那么用向量表示时,21z z -与31z z -应平行,因而二者应同向或反向,即幅角应相差0或π的整数倍,再由复数的除法运算规则知2131z z Argz z --应为0或π的整数倍,至此得到:123,,z z z 三个点共线的条件是2131z z z z --为实数。

9.写出过1212, ()z z z z ≠两点的直线的复参数方程。

解:过两点的直线的实参数方程为: 121121()()x x t x x y y t y y =+-⎧⎨=+-⎩, 因而,复参数方程为:112121121()()z x iy x iy t x x iy iy z t z z =+=++-+-=+-其中t 为实参数。

10.下列参数方程表示什么曲线?(其中t 为实参数)(1)(1)z i t =+ (2)cos sin z a t ib t =+ (3)iz t t=+解:只需化为实参数方程即可。

(1),x t yt ==,因而表示直线y x =(2)cos ,sin x a t y b t ==,因而表示椭圆22221x y a b+=(3)1,x t y t==,因而表示双曲线1xy =11.证明复平面上的圆周方程可表示为 0zz az az c +++=,其中a 为复常数,c 为实常数 证明:圆周的实方程可表示为:220xy Ax By c ++++=,代入, 22z z z z x y i +-==,并注意到222x y z zz +==,由此 022z z z zzz A B c i+-+++=, 整理,得022A Bi A Bizz z z c -++++=记2A Bi a +=,则2A Bia -=,由此得到0zz az az c +++=,结论得证。

12.证明:幅角主值函数arg z 在原点及负实轴上不连续。

证明:首先,arg z 在原点无定义,因而不连续。

对于00x <,由arg z 的定义不难看出,当z 由实轴上方趋于0x 时,arg zπ→,而当z 由实轴下方趋于0x 时,arg z π→-,由此说明0lim arg z x z →不存在,因而arg z 在0x 点不连续,即在负实轴上不连续,结论得证。

13.函数1w z=把z 平面上的曲线1x =和224x y +=分别映成w 平面中的什么曲线?解:对于1x =,其方程可表示为1zyi =+,代入映射函数中,得211111iyw u iv z iy y-=+===++, 因而映成的像曲线的方程为 221, 11yu v y y-==++,消去参数y ,得 2221,1u v u y +==+即22211()(),22u v -+=表示一个圆周。

对于224x y +=,其方程可表示为2cos 2sin z x iy i θθ=+=+代入映射函数中,得11cos sin 2cos 2sin 2i w u iv z i θθθθ-=+===+因而映成的像曲线的方程为 11cos , sin 22u v θθ==-,消去参数θ,。

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