初中数学教学海伦公式应用论文
人教版数学八年级下册第十六章二次根式阅读与思考《海伦—秦九韶公式》优秀教学案例
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解海伦公式的定义和意义，掌握海伦公式的推导过程。
五、案例亮点
1.情境创设：本节课通过多媒体展示三角形模型，引导学生观察三角形的特征，并提出问题，激发了学生的学习兴趣和好奇心。这种情境创设使得学生能够更加直观地理解三角形的性质，为后续的学习打下了坚实的基础。
2.问题导向：在教学过程中，我设计了系列问题，引导学生思考和讨论海伦公式和秦九韶公式的推导过程。这种问题导向的教学方法使得学生能够主动参与学习，培养了他们的独立思考能力和解决问题的能力。
4.培养学生学会关爱他人，学会合作，培养良好的团队精神。
在教学过程中，我将以生动的语言、丰富的教学手段，激发学生的学习兴趣，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的氛围中掌握知识，提高能力，培养情感。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用多媒体展示三角形模型，引导学生观察三角形的特征，提出问题：“如何计算三角形的面积？”
人教版数学八年级下册第十六章二次根式阅读与思考《海伦—秦九韶公式》优秀教学案例
一、案例背景
人教版数学八年级下册第十六章二次根式中的阅读与思考《海伦—秦九韶公式》是一个重要的数学历史知识点，它不仅涉及到数学知识，还涉及到数学家的历史贡献，以及数学方法的创新。本节课的主要内容是让学生了解海伦公式和秦九韶公式的来源、发展和应用，培养学生对数学的兴趣和热爱，提高学生的数学素养。
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：\《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明：与海伦在他的著作\《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC = (a_+b_-c_)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos_ C)=1/2*ab*√[1-(a_+b_-c_)_/4a_*b_] =1/4*√[4a_*b_-(a_+b_-c_)_]=1/4*√[(2ab+a_+b_-c_)(2ab-a_-b_+c_)] =1/4*√[(a+b)_-c_][c_-(a-b)_] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, (a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2]当P＝1时，△2＝q,S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]}因式分解得1/16[(c+a) 2-b 2][b 2-(c-a) 2]=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则S△ABC=1/2 aha =1/2 ab×sinC =1/2 r p= 2R2sinAsinBsinC= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中，S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)]就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一勾股定理 如右图勾股定理证明海伦公式。证二：斯氏定理 如右图。斯氏定理证明海伦公式证三：余弦定理分析：变形②S =可知，运用余弦定理c2 = a2 + b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S =则要证S === ab×sinC此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式恒等式证明(1)恒等式证明(2)证五：半角定理∵证一，x = =－c = p－cy = =－a = p－az = =－b = p－b∴r3 =∴r =∴S△ABC = r·p =故得证。 二、海伦公式的推广于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形=现根据猜想进行证明。证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f∵∠1+∠2 =180○∠2+∠3 =180○∴∠1 =∠3∴△EAB～△ECD∴= = =解得：e =①f =②于S四边形ABCD = S△EAB将①，②跟b =代入公式变形④，得：∴S四边形ABCD =所以，海伦公式的推广得证。 三、海伦公式的推广的应用海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事倍功半。例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2.求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x海伦公式的推广，得：(4－x)(2＋x)2 =27x4－12x2－16x＋27 = 0x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0(x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0当x = 1时，AD = BC = 1∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,sa=inputbox(\请输入三角形第一边的长度\ b=inputbox(\请输入三角形第二边的长度\ c=inputbox(\请输入三角形第三边的长度\ a=1*a b=1*b c=1*cp=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*qmsgbox(\三角形面积为\,\三角形面积\在VC中实现#include #include main() {int a,b,c,s;printf(\输入第一边\\n\ scanf(\ printf(\输入第二边\\n\ scanf(\ printf(\输入第三边\\n\ scanf(\ s=(a+b+c)/2;printf(\面积为:%f\\n\ }海伦公式
海伦公式的推导和应用
海伦公式海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的国王希伦（,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明（1）：与海伦在他的着作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的几种证明与推广
海伦公式的几种证明与推广第一篇：海伦公式的几种证明与推广海伦公式的几种证明与推广古镇高级中学付增德高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：s=(p-a)(p-b)(p-c)，而公式里的p=2(a+b+c)，称为半周长。
图1C海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=p(p-a)(p-b)(p-c)===141414(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a=[(a+b)-c][c144ab-(a-b)]+b-c+2ab)[-(a+b-c-2ab)]=-(a+b-c)2ab+2ac+2bc-a-b-cabsinC和余弦定理教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s=c=a+b-2abcosC的证明过程：s=absinC=ab1-cosnC=ab1-（a+b-c2ab)下略。
我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式S∆ABC= aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。
如图2，B图2C⎧x2+y2=c2222⎪2a+c-b22在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有⎨x+z=b解方程，得y=，2a⎪y+z=a⎩z=a+b-c2a，x=c-y=c-（a+c-b2a)=12a4ac-(a+c-b)下略。
海伦公式——精选推荐
海伦公式本⽂为“第三届数学⽂化征⽂⽐赛海伦公式作者: 陆前进作品编号：028⼀、你从哪⾥来早期的算术和⼏何在古代⼈们的⽣活中起了不⼩的作⽤，他们从实际⽣活中产⽣了计数以及度量⽅⾯的基本运算，在⼟地测量和简易⼯程⽅⾯获得了⼀定的⼏何知识。
但他们的成就都是经验知识的结果，那时只要数学⽅⾯的知识能应付实际⽣活中的问题，⼈们就感到满⾜了。
对上古时代的⼈来说，只是由于⽣活需要的驱使，⼈们才去追求知识，为了知识本⾝⽽去追求知识的观念，⼀直要等到希腊⼈来进⾏。
希腊⼈通过对⾃然现象的细致考察和理性思考，发展出⼀种概括、抽象、推理的能⼒，他们不仅在数学的各个部分作出了显著的、不朽的贡献，⽽且还为它们以后的发展奠定了永久的基础。
数学的抽象和严谨，是⼀种独特的看待世界的⽅式，这种⽅式来⾃于希腊古典时期，这个时期指的是⼤约从公元前600年持续到公元300年的这⼀段时间，涌现出像泰勒斯（公元前625年—前547年），毕达哥拉斯（公元前572年—前501年），欧⼏⾥得（公元前330年—前275年）和阿基⽶德（公元前287年—212年）等璀璨的名星。
希腊⼈坚持演绎推理作为数学证明中唯⼀的⽅法是为数学作出的最重要的贡献，它使得数学从⽊匠的⼯具盒和测量学等实际背景中解放出来。
从此以后，⼈们开始靠理性⽽不是凭感觉去判断什么是正确的，正是依靠这种判断，希腊⼈创造了我们今天所看到的这门学科，为⼈类⽂明、科技进步开辟了道路。
希腊⼈专注于⾃⼰的理念世界，在罗马强⼤的军事⼒量⾯前不堪⼀击，从公元前212年叙拉古城陷落于罗马的马塞卢斯之⼿阿基⽶德被杀害到公元30年，罗马正式成为帝国，对西⽅世界⾏使着史⽆前例的统治。
阿基⽶德在数学景观上投⼊了长长的影⼦，其后的古代数学家虽然都有⾃⼰的建树，但却没有⼈能够⽐得上叙拉古城这位伟⼤的数学家。
阿基⽶德之后的数学家有两位值得介绍，其中⼀位是阿波罗尼奥斯（公元前约262—190年），其代表作《圆锥曲线》被公认为是圆锥曲线问题的权威论述，当近⼆千年以后的开普勒作出他关于⾏星以椭圆形轨道围绕太阳运动的独创性理论时，圆锥曲线的重要性得到了证实，椭圆绝不仅是古希腊数学家⼿中好玩的珍品，它成为地球和地球上我们全体⼈类运⾏的轨道。
初中数学 什么是海伦公式
初中数学什么是海伦公式海伦公式是用于计算任意三角形面积的公式，也被称为三角形面积公式。
它是由希腊数学家海伦提出的，因此得名为海伦公式。
在初中数学中，学生通常在七年级或八年级学习这个公式。
下面将详细介绍海伦公式的定义、证明和应用。
1. 海伦公式的定义：在任意三角形ABC中，设三角形的三边分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，则三角形的面积S可以用以下公式计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))2. 海伦公式的证明：海伦公式可以通过应用勾股定理和二次函数的性质进行证明。
具体证明步骤如下：-步骤1：根据勾股定理，可以得到a^2 = h^2 + (b/2)^2和c^2 = h^2 + (b/2)^2，其中h表示从三角形顶点到底边的距离，也就是三角形的高。
-步骤2：将步骤1中的等式代入c^2 = a^2 + b^2，可以得到b^2 = 4h^2 - 4h(a-c)，进一步化简可得b^2 = 4(s-a)(s-b)(s-c)/s。
-步骤3：将b^2代入海伦公式中，可以得到S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
-步骤4：由于勾股定理只适用于直角三角形，因此需要对非直角三角形进行划分。
可以将三角形ABC划分成两个直角三角形，分别以顶点A和顶点C为直角顶点，然后分别应用勾股定理和步骤2中的等式进行证明。
3. 海伦公式的应用：-计算三角形的面积：海伦公式是计算任意三角形面积的标准公式，可以通过已知三条边的长度来计算三角形的面积。
-判断三角形的形状：海伦公式可以用于判断三角形的形状。
如果三角形的三条边长度相等，那么这个三角形就是等边三角形；如果两条边长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形；如果三条边长度都不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
-解决与三角形相关的几何问题：海伦公式可以应用在各种涉及三角形的几何问题中，如求解角度、判断三角形的相似性等。
总结起来，海伦公式是用于计算任意三角形面积的公式。
边长234的三角形的面积
边长234的三角形的面积一、引言三角形作为初中数学中的基础知识之一，广泛应用于几何学、物理学等领域。
在计算三角形的面积时，通常使用海伦公式或正弦公式等方法。
本文将探讨边长为234的三角形的面积计算方法，以及分析可能存在的问题和解决方案。
二、海伦公式计算三角形面积海伦公式是计算任意三角形面积的一种常用方法。
根据海伦公式，已知三角形的三边长a、b、c时，可以使用以下公式计算三角形的面积S：S = √(p × (p-a) × (p-b) × (p-c))其中，p为半周长，计算方式为：p = (a + b + c)/2对于边长为234的三角形，我们可以使用海伦公式进行计算。
根据上述公式，我们可以得到：p = (234 + 234 + 234)/2 = 351S = √(351 × (351-234) × (351-234) × (351-234)) = √(351 × 117 ×117 × 117)经过计算，得出边长为234的三角形的面积为√(351 × 117 × 117 × 117)。
三、问题分析与解决方案3.1 浮点数误差问题在计算过程中，由于浮点数的精度有限，可能会产生误差。
这可能导致最终计算结果的精度不准确。
为了解决这个问题，我们可以使用更高精度的数据类型进行计算，例如使用Python中的Decimal库进行计算。
3.2 边长太长导致的计算问题边长为234的三角形，由于边长较大，可能会导致计算过程中的数值溢出或者计算结果超过机器所能表示的范围。
为了解决这个问题，我们可以考虑使用符号运算软件，如MATLAB或Mathematica等。
这些软件可以处理较大的数值，并且提供更高精度的计算能力。
3.3 符号运算软件计算示例以Mathematica为例，我们可以使用该软件计算边长为234的三角形的面积。
海伦公式原理简介
海伦公式原理简介第一篇：海伦公式原理简介原理简介我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。
假设在平面内，有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]而公式里的p为半周长：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：“Metrica”(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。
——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。
比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
编辑本段证明过程证明（1）与海伦在他的著作“Metrica”(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC =(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2，上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。
海伦公式的一个简洁证明
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海伦公式的一个简洁证明
作者：刘超
来源：《中学数学杂志(高中版)》2009年第06期
若已知任一△ABC的三边长为a,b,c,则其面积可表示为A=,此即海伦公式.关于海伦公式的证明,笔者已在文[1]中给出了中外数学史上的有关证明方法.分析发现,历史上的证法均为几何证法(添加辅助线,利用全等三角形的边、角关系或者相似三角形中的比例关系进行推导),各种方
法堪称精巧美妙,但略显复杂.本文拟给出海伦公式的一个代数证法.
该证法较之历史上的几何证法,所用知识简单,证明过程直观、自然,巧而不烦,且对于运用“构造多项式”方法证明几何命题也有一定的启发作用
参考文献
[1] 刘超. 海伦公式证明之史海钩沉[J].中学数学杂志,2008,(10).。
海伦公式来历
海伦公式来历在数学的广袤天地里，海伦公式就像一颗璀璨的明珠，散发着独特的魅力。
说起海伦公式，咱们得先聊聊三角形。
三角形这玩意儿，咱们在数学课堂上可没少见。
从小学开始，咱们就认识了三角形，知道它有三条边和三个角。
等到了初中、高中，对三角形的研究那是越来越深入。
那海伦公式到底是啥呢？它呀，是用来计算三角形面积的一个神奇公式。
公式是这样的：假设三角形的三条边分别为 a、b、c，半周长 p = （a + b + c）/ 2，那么三角形的面积S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)] 。
还记得我当年读高中的时候，有一次数学考试就考到了海伦公式。
当时我可紧张啦，因为之前虽然学过，但没有真正透彻理解。
拿到试卷，看到那道要用海伦公式求解的题目，我心里“咯噔”一下。
题目给的三角形三条边的长度都挺复杂的，我硬着头皮开始算半周长，然后代入公式里去。
那过程真是小心翼翼，就怕算错一个数。
结果呢，因为太紧张，第一次算错了，等检查的时候才发现，赶紧改正过来。
那次考试让我深刻体会到，对于数学公式，不能只是死记硬背，得真正理解它的来龙去脉，才能在关键时刻不出错。
海伦公式的来历可不简单。
它最早是由古希腊数学家海伦发现的。
海伦这位老兄，那可是相当厉害。
在那个年代，没有咱们现在这么方便的计算工具，他就能琢磨出这么精妙的公式，不得不让人佩服。
那他是怎么发现这个公式的呢？据说啊，他通过对大量不同形状的三角形进行研究和计算，不断尝试和总结，最终找到了这个简洁而又实用的方法。
这就好比咱们在黑暗中摸索，突然找到了那把能打开宝藏大门的钥匙。
海伦公式的出现，给三角形面积的计算带来了极大的便利。
在实际生活中，也有很多地方能用到它。
比如说，建筑工人在测量一块三角形土地的面积时，如果知道了三条边的长度，就可以用海伦公式快速算出面积，从而更好地规划土地的使用。
咱们再从数学的角度来看看海伦公式。
它其实蕴含着很深的数学原理和思想。
通过这个公式，我们能感受到数学的美妙和神奇。
海伦公式的一种简洁证明及其应用
2021年第2期中学数学教学参考（下旬）22,2n—1=21，解得w=22，》=l l，满足条件。
所以 ;/z+2w的最大值为44。
故填答案:44。
3结束语数学知识交汇处的问题是创新命题的深层体现，在高考中的地位越来越重要。
此类问题可有效关联不同数学知识、数学思想与方法，在一定程度上可以 增强题目的综合性和趣味性，激发学生的学习兴趣，提高分析能力和综合应用能力，备受命题者的青睐。
因此.教师在日常教学中要重视教材，回归教材，重视 基础知识的巩固，强调基本技能的训练，通过复习使 学生达到对所学知识的系统认识，为知识交汇问题的 解决奠定基础。
海伦公式的一神简洁证明Jft其应用张浩博（上海复旦五浦汇实验学校八年级）摘要：海伦公式可以利用三角形的三边长来求 三角形的面积，利用海伦公式可以简捷求解相关问题，大大提高解题效率。
关键词：海伦公式；秦九韶公式；三角形文章编号：1002-2171 (2021)2-0077-01海伦公式是古希腊数学家阿基米德在公元前三世纪提出的，而南宋数学家秦九韶也在十三世纪证明 了可以和海伦公式互推的秦九韶公式[1]。
他们所做 出的这些贡献，极大简化了人们对已知三角形的三边 求三角形面积问题的过程。
本文给出海伦公式的一种简洁证明，并结合例题进行应用。
1简洁证明海伦公式：已知在A A B C中，的对 边分别为a,6, c，且p=a+b0+--o求证S aabc= \/p(.p~a)(.p— b)(p— c)0证明：不妨设为A A B C的最大角，过点A作A H丄B C,垂足为H，如图1。
B a~x H x C图1设 则 X，因为 AH2=62—x2=c2—(a—:r)2，所以 62—j：2=c2—a2+2a x一j：2,B P2ax=a2+f一c2,故 所以 SA A flC=+a •. I,?'a2+y-c Va2+62—c2\/L a2+b2—c2\—2^—)\b—Ta—)=/(a2-\-2ab-\~b2 —c2 ) ( —a2 +2a6 — 62 +c2 )V/[(a + 6)2 — c2][c2 — (a —6)2].V16--/(q+6+c)(g-\~b—c)(g—b~\~c)(—a+6+c)V I6-V g-\-b-\-c—a+6+c a—b-\~c a~\~b—c_ ~~2 2 # ^ 2 ^2~V p(p—a){p—b){p—c)〇秦九韶公式：已知在A A B C中，的对边分别为<2,6, c，且/>=a+b〇+c,则S^sA a2 -b2-/a2+b2~c2'实际上，只要将秦九韶公式用公式法及分组法因 式分解，即可推导出海伦公式。
海伦公式求三角形内切圆半径
海伦公式求三角形内切圆半径在初中数学中，我们学习了三角形的内切圆问题。
这个问题涉及到海伦公式，也就是三角形面积公式，在这里我们将介绍如何用海伦公式求解三角形内切圆半径。
三角形内切圆是指在三角形内部与三角形的三条边都有且仅有一个交点的圆。
这个交点称作内切圆圆心，该圆的半径称作内切圆半径（r）。
设三角形三边长度分别为a、b、c，半周长为p，三角形的面积为S，则可以使用海伦公式求解内切圆半径。
海伦公式是一个用来计算三角形面积的公式，具体形式为：
S = √ [ p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中，p = (a+b+c)/2 是三角形半周长。
内切圆半径r的求解公式为：
r = S / p
通过海伦公式计算三角形面积S，再根据半周长p计算出内切圆半径r，即可求得三角形内切圆的半径及其圆心坐标。
使用海伦公式求解内切圆半径的过程可能比较繁琐，但准确性较高、精度较好。
在实际应用中，海伦公式可以广泛应用于各种领域，例如工程设计、建筑设计和地理测量等。
总之，海伦公式是一个非常有用的数学工具，在三角形内切圆半径的求解中尤其重要。
掌握这个公式可以让我们更好地理解三角形的几何特征，而且在实际应用中也会非常有帮助。
希望大家通过学习和应用，能够更好地掌握海伦公式，以及更深入地理解三角形内切圆半径的问题。
“海伦公式”的证明与拓广——读《解题过程的简化与创新思维的深入》后的启发
Proof and Popularization of Helen Formula --Revelation Got after Reading "the Simplification of the Process of Solving the Questions and the Deepening of Creative Thinking"
作者： 陆海泉
作者机构： 江苏南通新世纪学校226011
出版物刊名： 河北理科教学研究
页码： 23-24页
主题词： “海伦公式” 证明 《解题过程的简化与创新思维的深入》 高中 数学 教学 代数解题
摘要：本刊2001年第1期<解题过程的简化与创新思维的深入>(作者:贺德才)提供了证明海伦公式的4种方法.受此启发,笔者引导学生继续深入探讨,不仅得到了另一个思路自然流畅、过程简捷明了的证明方法,而且向四边形拓广,又获得了个漂亮的"孪生"公式.。
海伦公式探究
海伦公式探究海伦公式探究摘要：海伦公式在数学学习中使⽤⾮常⼴泛，它⽅便了⽇常数学学习中三⾓形的⾯积计算，使我们只需知道任意三⾓形的三边长度，就可以⽤公式求得三⾓形的⾯积⼤⼩。
但是你知道海伦公式的证明⽅法吗？本次探究，着⼿海伦公式的证明⽅法、推⼴，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使⽤。
关键词：海伦公式证明三斜求积术推⼴运⽤余弦定理海伦公式⼜译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王希伦（Heron,也称海龙）⼆世发现的公式，利⽤三⾓形的三条边长来求取三⾓形⾯积。
但根据Morris Kline 在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基⽶得所发现，以托希伦⼆世的名发表（未查证）。
我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本⼀样。
如右图，假设有⼀个三⾓形，边长分别为a 、b 、c ，三⾓形的⾯积S 可由图下公式求得。
证明Ⅰ：与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们⽤三⾓公式和公式变形来证明。
设三⾓形的三边a 、b 、c 的对⾓分别为A 、B 、C ，则余弦定理为：abc b a 2cosC 222-+= C ab S sin 21?=① C ab 2cos 121-?=② 2222224)(121ba cb a ab ?-+-?=③ )(44122222c b a b a -+-=④ )2)(2(41222222c b a ab c b a ab +---++=⑤ ])(][)[(412222b a c c b a ---+=⑥ ))()()((41b b a c b a c b a c b a ++-+--+++=⑦设2b b a p ++=则,2,2,2c b a c p c b a b p c b a a p -+=-+-=-++-=- 上式16))()()((c b a c b a c b a c b a ++-+--+++= ))()((c p b p a p p ---=所以，))()((A BC c p b p a p p S ---=△证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。
(最新版)浅谈公式变形在中学数学中的灵活应用毕业论文
（最新版）浅谈公式变形在中学数学中的灵活应用毕业论文浅谈公式变形在中学数学中的灵活应用宁夏师范学院左旭东摘要：在数学知识体系中，基本公式是重要的基础要素之一，在一般前提下，许多问题可以直接运用基本公式便能解出来，但由于给定条件不同、问题的类型不同及学生的掌握程度不同，就很难直接运用基本公式解题了，需要根据给定条件，对基本公式加以适当的等价变形，找到解题的捷径.将公式巧妙变形之后再用，不仅能使解题过程简捷，令人有赏心悦目之美感，而且能使学生避免沿袭思维的惯常定势,培养其创新思维、逆向思维及探究能力等.现在，公式变形大量应用于中、高考题目的计算中.著名数学教育家波利亚曾说过：“一个专心认真备课的教师能拿出一个数学公式帮助学生发掘它的解题功能.”因此现在有意地培养中学生的公式变形能力已经成为了中学教师义不容辞的任务，各教师都应积极寻找并总结出自己对各种公式的变形方法及巧妙应用.“工欲善其事，必先利其器”，为了更好地帮助学生提高解题能力，应对各种考试题型，本文就乘法公式、三角公式、递推公式的基本变形，通过例证法浅谈一下公式变形在中学数学中的灵活应用.关键词：公式变形乘法公式三角公式递推公式1Discussion formula deformationin the flexible application of the secondary school mathematicsAbstract: The mathematical knowledge system, the basic formula is one oftheimportant basic elements of the general premise of many of the problemscan be directly applied the basic formula will be able to solved the problem, but due to the given conditions, the type of problem and the students' mastery of , it is difficult solving the direct application of the basic formula, according to the given conditions, the basic formula to be the equivalent deformation, to find a shortcut of the problem-solving. Formula cleverly deformation and then, not only make the problem solving process is simple, itis pleasing beauty, but also enable students to avoid follow the thinking ofthe usual stereotypes, and develop their creative thinking, reverse thinking and inquiry ability. Now widely used formula for deformation in thecalculation of the college entrance examination subject. Famous mathematicseducator Polya once said: \on serious lesson planning teacher can come up with a mathematical formula to .\intended to train capacity task, teachers should be actively looking for and summed up the own deformation method and the ingenious application of the formula. \first, in order to better the multiplication formula, trigonometric formulas, the recurrence formula of the basic deformation, through the example of France Talking about the formula deformation flexible application of mathematics in secondary schools.Keywords: Formula for deformation Multiplication formula TrigonometricformulasRecurrence formula2目录1 引言 ..................................................................1 2 公式变形的基本方法及提高中学生公式变形能力的意义 (1)2.1 公式变形的要求 (1)2.2 公式变形的基本方法 (2)2.2.1 公式变形的基本手段 ........................................ 2 2.2.2公式的各种变形用法 ........................................ 2 2.3 提高中学生公式变形能力的意义 .................................... 3 3 例举几种公式的变形应用 (3)3.1 变形乘法公式，拓宽解题思路 (3)3.1.1 平方差公式 ................................................ 4 3.1.2完全平方公式 .............................................. 4 3.2 变形三角公式，熟练恒等变换 ...................................... 6 3.3 变形递推公式，巧求数列通项 ...................................... 8 4 小结 ................................................................. 11 参考文献 ............................................................... 11 谢辞 (15)31 引言数学公式是由一系列字母、符号组合而成的，公式变形的方式多种多样，揭示数学公式变形的一般规律对深化数学公式教学有积极的意义.由于公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此可以根据需要对公式进行适当的数学处理，或移项、或代换、或迭代、或取特殊值、或配凑等等，这一系列变化统称为公式变形.数学公式变形是对学生进行数学的逆向思维、求异思维、辨证思维训练的好素材.教师在教学中应当细心捕捉、深入挖掘，使学生的数学思维能力得到提升.对于数学课堂教学，要尽可能开拓多种思维渠道，从不同角度达到思维的目标，其态度是发散的，特点是活泼的，结果是创造性的.变化思考角度，可以通过变化公式的各种运用方式，或可以改变公式形式进行多式教学，还可以通过改变题式、一题多解等办法进行，使学生避免沿袭思维的惯常定势，讲究一点创造性思维，考虑问题就会不断深化，思维才能得到真正地发展.利用公式变形训练，可以把一个看似孤立的问题从不同角度向外扩散，并形成一个有规律可寻的系列，帮助学生在问题的解答过程中寻找解决类似问题的思路、方法，有意识地充分调动学生学习的积极性、主动性，培养其独立分析问题并解决问题的能力，以及大胆创新、勇于探索的精神，从而真正把学生能力的培养落到实处.更重要的是，通过数学公式变形教学，让学生利用有限的时间创造无限的效益，培养学生敢于思考、敢于联想、敢于质疑的品质与自主探究能力及创新精神.本文就中学生解题过程中常用到的几种公式：乘法公式、三角公式、递推公式的基本变形，浅谈一下公式变形在中学数学中的灵活应用.2 公式变形的基本方法及提高中学生公式变形能力的意义 2.1 公式变形的要求公式变形要“三有”[1]：（1）公式变形要有矢公式变形最终要体现其应用的目的.一个公式的等价形式往往有多种，做题过程中我们应该有目的地选用变形公式，以提高公式的效能.公式变形一定要做到有的放矢，而不是简单的数学符号的变形游戏.否则，就失去了公式变形的意义.（2）公式变形要有据数学公式中的字母可以代表数、式、函数等有数学意义的式子，因此公式变形要有据，要在公式有意义的情况下对公式进行合理而适当的数学处理，例如移项、等量代换、取特殊值等，这一系列变化就是有据的公式变形.（3）公式变形要有益公式变形不仅仅是对原标准公式功能的拓宽，而且在公式变形中，可以充分体现数学思想与数学观点，体现公式转化功能，使学生深刻理解公式的本质.有许多公式在标准形式下不易看出其本质特征，但通过对公式进行适当变形后，就可以从另外一个角度清楚地反应出其内涵，故公式变形有益于体现公式的内涵.2.2 公式变形的基本方法2.2.1 公式变形的基本手段对于一个基本公式，通过移项、分配、结合、代换、迭代、配凑等基本手段，可以得到许多相应的公式.例如，由两角和的余弦公式，在令的前提下得到了二倍角的余弦公式:,在由平方关系，又可得到下面的两个变形公式：2.2.2 公式的各种变形用法横看成岭侧成峰，真正掌握公式就要懂得公式的逆用、凑用、多用、横用与其推广应用[2].“逆用公式”是一种逆向思维，它可以从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探索到变的规律。
中学数学公式教学论文
中学数学公式教学论文摘要：记忆并不是孤立的环节，在前面三个环节的教学设计中就应兼顾记忆能力的培养，促进学生从公式导出时就开始记忆，在理解与应用中巩固记忆。
尤其对于某些公式集中的课题（如初一的乘法公式，高一的三角加法定理）可根据对公示理解与记忆的相辅相成的关系，做出精心设计，使学生在理解的基础上准确、牢固地掌握公式的原型。
一.公式的引入在数学课堂的公式的教学中，公式如果能引入得生动有趣、新颖或者有寓意，将极大地引起学生的学习兴趣，他们的思维将处于较为兴奋的状态，对于公式的引入，常用的有以下几种方式：1.由实际问题引入。
很多数学公式都是来源于生活，它们与我的生活实际息息相关。
在课堂教学中，如果把数学公式的内容与生活实际有机结合起来，使数学公式成为学生看得见，摸得着，听得到的现实，那么学生就会真正体会到生活中充满了数学，感受到数学的价值。
这样，才能牢牢地吸引学生，激发学生思考和解决问题的积极性，培养和提高学生对现实生活的观察和分析能力，真正达到学以致用的目的。
例如，在引入勾股定理的时候，可以与平常铺地用的砖联系起来，并将图案展示在学生面前，让学生根据图案思考直角三角形三边的某种数量关系，从而发现这个定理。
2.由过渡式引入。
由于数学具有系统性的特点，新的公式往往可以从旧公式过渡迁移而来。
用这种方法来引入课题，会让学生感觉新的公式并不孤立，而是旧知识的延伸和发展。
这样学生思维的主动性得到相应的训练，学生按知识系统去探索新知识的本领也会得到一定的培养。
例如：学生由直角三角形三条边之间的关系（即勾股定理），想到任意三角形三条边之间的关系是否也能用公式来表示，这样便可过渡到余弦定理的课题。
3.用发现式引入。
二.公式的推导数学中的每一个公式都有其严格的推导过程。
数学公式的推导，应让学生经历推导的整个过程，让学生熟练地掌握推导的方法，这样不仅有利于学生记住和灵活掌握公式，还能使学生领悟蕴含在推导公式的过程中的数学思想与基本的解题技能。
海伦公式历史背景1000字
海伦公式历史背景1000字海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。
它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。
表达式为：它的特点是形式漂亮，便于记忆。
相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。
中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。
古希腊的数学发展到亚历山大里亚时期，数学的应用得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，在解三角形的过程中，其中一个比较难的问题是如何利用三角形的三边直接求出三角形面积。
这个公式是由古希腊数学家阿基米德得出的，但人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式，称此公式为海伦公式，因为这个公式最早出现在海里的著作《测地术》中，并在海伦的著作《测量仪器》和《度量数》中给出证明。
在小学的数学教材中，介绍了三角形的面积公式：底乘高除以二。
该方法在已知三角形边长的情况下，需要求对应边上的高，而古希腊的几何学家海伦不满足于这样的方法，他期望“直接通过三角形的三边，去计算三角形的面积”。
终于，经过长期的思考，得到了“海伦公式”。
到目前为止，海伦公式的证明有很多种，但在当年，海伦用几何的方法确实算不上容易。
这里介绍一个方法，用余弦定理！三角形是一个稳定的结构，三边一旦确定，其面积也随之确定，并可以用三边表示；四边形结构不稳定，只给出四条边长，图形不唯一。
而在固定一条对角线的情形下，四边形唯一，此时被分为两个三角形；因此，四边形的面积可以通过四条边，一条对角线来表示，而对角线可用余弦定理求得；除了固定对角线，确定一个内角的情况下，四边形也唯一。
因此，用四条边和内角，是不是也能直接计算其面积？四边形结构不稳定，面积不确定，但最值应该是存在的？那么最值是否唯一？其解析式？四边形的结构不稳定，其面积不大可能是只用其边长表达的定值。
没错儿，婆罗摩笈多，并没有意识到他给出的这个四边形面积公式是内接四边形的面积公式，而非一般四边形的面积公式！公式从形式上看和三角形的面积公式——海伦公式很像，那么一般的四边形面积公式是什么样的呢？如果说，三角形的面积是其三条边长的函数；那么四边形的面积函数，其自变量除了边长，应该还包括内角，只需再确定一个内角，四边形就唯一了。
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初中数学教学海伦公式应用论文
摘要：海伦公式在初中数学三角形教学中应用很广，对于解决三角形中的难题有着很大帮助，特别是在解决三角形有两条未知边的面积问题时，更简便快捷。
除此之外，它在多边形面积的求解方面也起着重要的作用。
一、海伦公式概念的理解
古希腊数学家海伦在著作《度量论》中指出：求三角形面积中，只要测量出其三条边，就能求出三角形的面积。
公式为：S=p（p-a）（p-b）（p-c），p=12（a+b+c）（p为周长的一半）
我国宋代数学家秦九韶在著作《数书九章》中，也提出了用三角形的三边求其面积的方法：S=14[a2c2-（c2+a2-b22）]2这种方法和海伦的方法实质是一样的。
海伦公式也叫做“海伦—秦九韶公式”，它在计算多边形的面积时非常适用。
任何一个多边形都可以割成若干个三角形，在用海伦公式求算多边形面积时，三角形的个数为n-2个。
所以在测量它们的面积时，只要把若干个三角形的边长测量出来，就能算出多边形的面积。
二、海伦公式的推导证明
海伦公式在解题过程中作用很大。
但是为了论证海伦—秦九韶公式存在的合理性，笔者从以下几个方面加以推导证明。
1、通过勾股定理推导证明。
在三角形ABC中，BC是底边，相应的三条边分别为a，b ，c，底边上的高为h。
如图所示：证明：由勾股定理可得：k=a-l， h2=b2-l2， h2=c2-k2。
则
k=a2+c2-b22a，l=a2-c2+b22a。
所以h=b2-（a2-c2+b2）24a2=4a2b2-（a2-c2+b2）2a，
S△ABC=12ah=12a×4a2b2-（a2-c2+b2）22a
=144a2b2-（a2+b2-c2）2
2、通过余弦定理推导证明。
在三角形ABC中，三条边分别对应为a，b，c。
其面积可用公式S=12absinC来求得。
根据余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，可求出：cosC=a2+b2-c22ab。
所以sinC=1-cos2C=（1+cosC）（1-cosC）=（1+a2+b2-c22ab）（1-a2+b2-c22ab）经过化简、代入后，也可得到S=p（p-a）（p-b）（p-c）。
三、海伦公式的推广
我们在对海伦公式的证明过程中，产生了很多疑问：通过海伦公式能否对生产生活起着指导作用？当多边形处于一个空间坐标系中时，我们能否找到普遍的规律来解决问题呢？为些，引发了海伦公式的推广。
笔者在本文谈谈在四边形面积计算中的推广。
任意四边形的边长是无法确定的，如果我们将任意四边形放入圆内，能否运用三角形海伦公式来计算呢？如下题：在圆内有一四边形ABCD，边长分别为a、b、c、d。
如图：
延长DA，CB交于F点。
FA为g，FB为h。
∵因为∠FAB+∠BAD=1800，∠BAD+∠C =1800。
∴∠FAB=∠C，∴△FAB～△FCD。
∴ha+g=gh+c=bd，SFAB和SABCD之比为b2/（d2-b2）。
解得g=b
（ab+cd）d2-b2，h=b（ad+bc）d2-b2。
由于SABCD=d2-b2b2SFAB。
把SFAB的面积算出来之后，再代入此公式，简化后就可得出结果：SABCD=（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）。
经过上述的推广，我们可以得出结论：对于任意圆内接四边形ABCD，边长分别为a、b、c、d，其面积SABCD=（p-a）（p-b）（p-c）（p-d）。
四、海伦公式在考试中应用
笔者在复习时，总能碰到能运用海伦公式的数学题目，如：2009年某市的中考题：已知线段AB，CD是此线段上的两点，AB=4，AC=1，AD>1。
以C点为中心顺时针方向旋转点A，以D点为中心逆时针旋转点B，使得AB两点相交于点G，构成△GCD，设CD的长度为x，要求学生求出△GCD的最大面积？如图所示：
笔者在做题之初想通过作高的方法来求△GCD的最大面积，后来灵感来了：为什么不用海伦公式来求解呢？设△GCD的面积为S，因为CD=g=4，CG=d=1，DG=c=3-x。
由此可得出结果为：S=22最大。
结语：海伦公式在初中数学三角形教学中应用很广，对于解决三角形中的难题有着很大帮助，特别是在解决三角形有两条未知边的面积问题时，更简便快捷。
除此之外，它在多边形面积的求解方面也起着重要的作用。
参考文献：
[1]王恒亮.《三角形中线关系下的优美公式——类海伦公式》.[J]中学数学研究（华南师范大学版）2014（09）32—34.
[2]庄春.《以数学史为主体的几篇教学案例》.[J]科技视界2014
（16）14—15.
[3]何苗，张全合。
《海伦公式的3种证明方法》.[J]高中数学教与学2013（23）7—8.
[4]丁位卿.《阿基米德对海伦公式的纯几何首证》.[J]中学数学杂志2013（08）56—57.。