等差数列第二课时教案
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标知识与技能目标：理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，能够运用等差数列的性质解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等差数列的性质，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用。
二、教学重点等差数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的性质。
三、教学难点等差数列通项公式的理解和运用，等差数列性质的推导和应用。
四、教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、合作交流，从而达到对等差数列知识的理解和运用。
五、教学过程1. 导入新课：通过回顾等差数列的定义和性质，引出本节课的内容——等差数列的通项公式。
2. 自主学习：学生自主学习等差数列的通项公式，理解公式的含义和运用。
3. 案例分析：教师给出几个等差数列的实例，引导学生运用通项公式解决问题。
4. 小组讨论：学生分组讨论等差数列的性质，总结出等差数列的性质。
5. 课堂小结：教师引导学生总结本节课的主要内容和收获。
6. 课后作业：布置适量的课后练习，巩固所学知识。
教学反思：本节课通过问题驱动、案例分析和小组讨论等多种教学方法，使学生掌握了等差数列的通项公式和性质。
在教学过程中，注意引导学生主动探究、合作交流，培养了学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
但也发现部分学生在理解等差数列通项公式时存在困难，需要在今后的教学中加强针对性辅导。
六、教学内容本节课将继续深入学习等差数列的相关知识，主要包括等差数列的前n项和公式、等差数列的求和方法以及等差数列在实际问题中的应用。
七、教学过程1. 复习导入：通过复习上节课所学的等差数列的通项公式，引导学生自然过渡到本节课的学习内容。
2. 自主学习：学生自主学习等差数列的前n项和公式，理解公式的含义和运用。
3. 案例分析：教师给出几个等差数列的前n项和实例，引导学生运用公式解决问题。
高中数学《2.2等差数列》第2课时教案 新人教A版必修5
高中数学《2.2等差数列》第2课时教案新人教A版必修5课题：2.2.2等差数列（2）主备人：执教者：【学习目标】明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。
【学习重点】等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用【学习难点】灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题【授课类型】新授课【教具】多媒体、实物投影仪【学习方法】诱思探究法【学习过程】 一、复习引入：首先回忆一下上节课所学主要内容：1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即na －1-n a =d ，4a =7, 求3a , 9a .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… P44例2 问：已知数列{na }是等差数列 （1）7532a a a =+是否成立？9512aa a =+呢？为什么？（2）112(1)n nn aa a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？个性设计（3）2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？ 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，qp n ma a a a +=+即 m+n=p+q ⇒qp n ma a a a+=+ (m, n, p, q ∈N )但通常 ①由qp n ma a a a+=+ 推不出m+n=p+q ，②nm n ma a a +=+探究：等差数列与一次函数的关系四、课堂练习： 1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d2. 在等差数列{}na 中, 若 65=a158=a求14a五、课堂小结：1．,,,2a bA a A b +=⇔成等差数列 2．在等差数列中， m+n=p+q⇒qp n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )六、作业布置:课时作业2.2.2 课后反思：。
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标1. 理解等差数列的定义及其性质。
2. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式。
3. 能够解决与等差数列相关的一些实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的定义2. 等差数列的性质3. 等差数列的通项公式4. 等差数列的前n项和公式5. 等差数列的实际应用问题三、教学重点与难点1. 重点：等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式。
2. 难点：等差数列的实际应用问题的解决。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解等差数列的概念、性质、公式。
2. 通过例题讲解等差数列的实际应用问题。
3. 引导学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力。
五、教学过程第一课时：等差数列的定义与性质一、导入（5分钟）1. 复习等差数列的概念。
2. 引导学生思考等差数列的特点。
二、新课（20分钟）1. 讲解等差数列的定义。
2. 引导学生总结等差数列的性质。
三、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固等差数列的定义与性质。
2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
第二课时：等差数列的通项公式与求和公式一、导入（5分钟）1. 复习等差数列的定义与性质。
2. 引导学生思考等差数列的通项公式和求和公式。
二、新课（20分钟）1. 讲解等差数列的通项公式。
2. 讲解等差数列的前n项和公式。
三、练习与讨论（10分钟）1. 布置练习题，让学生巩固等差数列的通项公式和求和公式。
2. 组织学生进行小组讨论，分享解题心得。
四、总结与拓展（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结。
2. 引导学生思考等差数列的实际应用问题。
教学评价：通过课堂讲解、练习和小组讨论，评价学生对等差数列的定义、性质、通项公式和求和公式的掌握程度，以及解决实际问题的能力。
六、教学目标1. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式解决实际问题。
2. 理解等差数列的图像和特点。
3. 能够运用等差数列的知识解决一些综合性的数学问题。
七、教学内容1. 等差数列的图像和特点2. 等差数列的实际应用问题3. 等差数列的综合训练八、教学重点与难点1. 重点：等差数列的图像和特点，以及实际应用问题的解决。
等差数列教案(多篇)
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解等差数列的概念及其特点；（2）掌握等差数列的通项公式、求和公式；（3）能够运用等差数列解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳等差数列的性质；（2）培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观：（2）引导学生运用数学知识解决实际问题，感受数学的应用价值。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）等差数列的概念及其特点；（2）等差数列的通项公式、求和公式。
2. 教学难点：（1）等差数列的通项公式的推导；（2）等差数列求和公式的应用。
三、教学过程1. 导入新课：（1）回顾等差数列的定义；（2）引导学生思考等差数列的特点。
2. 知识讲解：（1）讲解等差数列的通项公式；（2）讲解等差数列的求和公式。
3. 例题解析：（1）分析等差数列的例题，引导学生运用通项公式和求和公式；（2）讲解解题思路和方法。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
四、课后作业1. 巩固等差数列的概念和性质；2. 练习运用通项公式和求和公式解决实际问题。
五、教学反思1. 总结本节课的收获：（1）学生掌握了等差数列的概念和性质；（2）学生能够运用通项公式和求和公式解决实际问题。
2. 反思教学过程：（1）是否充分讲解等差数列的性质和公式；（2）是否注重学生的参与和思考；（3）是否及时给予学生反馈和指导。
3. 改进措施：（1）针对学生的薄弱环节，加强讲解和练习；（2）鼓励学生积极参与，提高课堂氛围；（3）关注学生的学习进度，及时调整教学节奏。
六、教学评价1. 评价内容：（1）等差数列的概念及其特点；（2）等差数列的通项公式、求和公式；（3）运用等差数列解决实际问题的能力。
2. 评价方式：（1）课堂问答；（2）练习题；（3）课后作业；（4）小组讨论。
七、教学资源1. 教学课件：（1）展示等差数列的定义、性质；（2）呈现通项公式、求和公式的推导过程；（3）提供丰富的例题和练习题。
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标知识与技能目标：理解等差数列的定义及其性质，能够运用等差数列的概念解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等差数列的性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
二、教学重点与难点重点：等差数列的定义及其性质。
难点：等差数列的通项公式及其应用。
三、教学准备教师准备：等差数列的相关教学材料、PPT、例题及练习题。
学生准备：学习等差数列的相关知识，了解等差数列的基本概念。
四、教学过程1. 导入新课教师通过PPT展示等差数列的实例，引导学生回顾等差数列的基本概念，为新课的学习做好铺垫。
2. 探究等差数列的性质（1）教师引导学生观察等差数列的前几项，引导学生发现等差数列的规律。
（2）学生分组讨论，总结等差数列的性质。
（3）各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
3. 学习等差数列的通项公式（1）教师引导学生根据等差数列的性质，推导出等差数列的通项公式。
（2）学生跟随教师一起推导，理解并掌握通项公式。
4. 应用等差数列的知识解决问题（1）教师出示例题，引导学生运用等差数列的知识解决问题。
（2）学生独立思考，解答例题，教师点评解答过程。
5. 课堂小结教师引导学生总结本节课所学内容，巩固等差数列的知识。
五、课后作业教师布置练习题，让学生巩固等差数列的知识，提高解题能力。
教案二一、教学目标知识与技能目标：掌握等差数列的通项公式及其应用，能够运用等差数列的知识解决实际问题。
过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等差数列的性质，培养学生的逻辑思维能力和抽象概括能力。
情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。
二、教学重点与难点重点：等差数列的通项公式及其应用。
难点：等差数列的前n项和公式的推导及应用。
三、教学准备教师准备：等差数列的相关教学材料、PPT、例题及练习题。
学生准备：学习等差数列的相关知识，了解等差数列的基本概念。
等差数列前n项和(第二课时)教案
等差数列的前n项和〔第二课时〕〔人教A版·必修5〕【教学目标】1.知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n项和公式研究S n的最值.初步体验函数思想在解决数列问题中的应用.2.过程与方法：通过对公式从不同角度、不同侧面的剖析，培养学生思维的灵活性，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感、态度与价值观：①提高学生代数的思维能力，使学生获得一定的成就感；②通过生动具体的现实问题、数学问题，激发学生探究的兴趣与欲望，树立求真的勇气与自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感.【教学重点】等差数列前n项和公式的掌握与应用.【教学难点】灵活应用求和公式解决问题.【教辅手段】多媒体投影仪、黑板【教学过程】I.情景设置—温故知新首先，回忆上一节所学的内容：〔1〕等差数列的前n项和公式1：s n na1an2〔2〕等差数列的前n项和公式2：s nna1nn1d2Ⅱ.新知探究1.等差数列的等价条件例1：数列a的前n项和S nn221n，求〔1〕S n S n1(n 2).〔2〕求这个数列的通项公式.〔3〕这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？分析：课本例题，题型比较简单，主要是靠引导学生.过程略.[设计意图]本例题实际上给出了数列前n项和公式判别是否是等差数列的依据，要让学生们知道等差数列前n项是一个常数项为0的关于n的二次型函数.接下来，我们来完成一探究题.2如果一个数列an的前n项和为Sn pn qn r.其中p、q、r为常数，且0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：由Snpn2qn r得S1a1q ra nS1(n1)npn2qnrnn1(n2).又S Sn2时nSnSn1(pn2qnr)[p(n1)2q(n1)r]2pn(pq)a nr(n)2pn(pq)(n2).d a n a n1[2pn(p q)][2p(n1)(pq)]2p此类数列从第二项开始为等差数列.归纳要使数列an为等差数列，那么2p1(pq)p qr,即r0.[设计意图]本探究实际上是对例1的深化，目的是为了让学生进一步认识到，如果一个数列的前n项公式是一个常数项为0的关于n的二次型函数，那么这个数列一定是等差数列，从而使学生从结构上认识数列.2.等差数列的最值问题例2：等差数列5,42,34,的前n项和为s n，求使得s n最大的序号n77的值分析：等差数列的前n项和公式可以S n n n(n1)dd(d)n写成a1n2a1222，所以可以看成函数y d x2a1dx，xN*，当xn时的函数值.另一22方面，容易知道sn关于n的图像是一条抛物线上的一些点，因此，我们可以利用二次函数来求n的值.解：由题意知，等差数列5,42,3,的公差为5所以77n55s nn127 75n5n21425151125 14256当n取与15最接近的整数即为7或8时s n取最大值.2[设计意图]通过学习等差数列前n项和的函数性质来用于实际题型中的应用，加深对函数结构的认识。
《等差数列性质》第2课时教案设计
＝a如数列：1，3，5，7，9，11，13，……中，3是1和5的等差中项，5是3和7的等差中项，7是5和9的等差中项等等.说明：等差中项概念可以作为等差数列中的性质应用设计意图:由浅入深,使学生独立思考发现问题,总结规律.培养学生勤于思考,勤于探索进一步思考，同学们是否还发现什么规律呢？比如5不仅是3和7的等差中项，同时它也是1和9的等差中项，即不仅满足5＝，同时还满足5＝.再如7不仅是5和9的等差中项，同时它也是3和11的等差中项，还是1和13的等差中项，即：7＝＝＝.a4＝a1＋a5＝2a3，a4＋a6＝a3＋a7＝2a5看来，a2＋依此类推，可得在一等差数列中满足性质1若m＋n＝p＋q，则aa n＝a p＋a q.m＋当m=n时下面，我们来看一个实际问题.［例1］梯子的最高一级宽33 cm，最低一级宽110 cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度.分析：首先要数学建模，即将实际问题转化为数学问题，然后求其解，最后还要结合实际情况将其还原为实际问题的解.表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，由已知条件，有a1＝33，解：用{an}a12＝110，n＝12.a1＋(12－1)d，即：110＝33＋11d，解得：d＝7.由通项公式，得a12＝因此，a33＋7＝40，a3＝40＋7＝47，a4＝54，a5＝61，a6＝68，a7＝75，2＝a8＝82，a9＝89，a10＝96，a11＝103.a1＋(n－1)d（1）（2）由等差数列通项公式an＝a m＋(n－m)d（！）—（2）得到移项之后可以得到an＝a m＋(n－m)d性质2 an＝［例2］求解：d=2思考：求完公差之后是否还要求首项，确定通项公式？有没有更好、更简单的解决办法？d=2∴说明：例2可以用待定系数法列方程确定基本元来求解。
但是如果使用性质2则可以省去求首项和通项公式的麻烦，直接求得要求的项。
方法简单并且计算量小。
等差数列的概念(第2课时)教案-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
等差数列的性质及其应用【学习目标】课程标准学科素养 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质 2.能运用等差数列的性质解决有关问题1、数学抽象2、数学运算一．等差数列的性质(1)通项公式的推广：()*,)(N m n d m n a a m n ∈-+=(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q (m, n, p,q ∈N *)，则q p n m a a a a +=+； 特别地，若k n m 2=+,则 . (3)等差数列的项的对称性.在有穷等差数列中,与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和, 即a 1+a n =a 2+ =a 3+ =……【思考】(1)等差数列的性质“若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q ”反过来成立吗?(2)对于任意等差数列{a n },a 1+a 3+a 4=a 2+a 6是否成立?二. 由等差数列衍生的新数列若{a n },{b n }分别是公差为',d d 的等差数列,则有数列 名称{a 2n }, {a 2n -1}公差为 的等差数列 {}mn k a)1(-+公差为 的等差数列(k ,m ∈N *) {c +a n } 公差为 的等差数列(c 为任意常数) {ca n } 公差为 的等差数列(c 为任意常数){a n +a n +k } 公差为 的等差数列)(*N k ∈{pa n +qb n }公差为 '的等差数列(p ,q 为常数)【小试牛刀】1.在等差数列{a n }中,若a 2=1,a 6=-1,则a 4=( ) A.-1 B.1 C.0 D.-12 2.在等差数列{a n }中,若a 2+a 8=10,则(a 4+a 6)2-2a 5=( )A.100B.90C.95D.203.已知数列{a n }是等差数列,若a 1+a 7=-8,a 2=2,则数列{a n }的公差d = .4.已知数列{a n }为等差数列,若a 1+a 2+a 3=3,a 7+a 8+a 9=9,则a 4+a 5+a 6= .【经典例题】题型一 等差数列性质的应用例1 (1)等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，36927a a a ++=，求28a a +=（ ）A ．11B ．22C ．33D ．44(2) 在等差数列{a n }中,若a 2与a 4是方程x 2-4x +3=0的两根,则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5= .【跟踪训练】1 (1)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0),且a 3+a 6+a 10+a 13=32,若a m =8,则m = .(2)如果等差数列{log 2a n }满足log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=10,那么=101a a .题型二 等差数列中对称设项法的应用例2 已知三个数组成等差数列,首、末两项之积为中间项的5倍,后两项的和为第一项的8倍,求这三个数.【跟踪训练】2 已知四个数组成递增的等差数列,中间两数的和为2,首、末两项的积为-8,求这四个数.题型三 等差数列的应用例3：课本P16例3：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少()0>d d 万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.【当堂达标】1.在等差数列{a n }中,若a 4=2,a 8=14,则a 15=( ) A.32 B.-32C.35D.-352.在等差数列{a n }中,若a 4+a 5=15,a 7=12,则a 2=( ) A.3 B.-3C.32D.-323. 数列{a n }满足()97566421log ,93a a a a a a a a n n ++=++=++则且的值是 （ ）A. -2 21.-B C.2 D.214.我国古代有一道数学问题:今有金锤,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,中间三尺重几何?意思是:现有一根金锤,长5尺,头部1尺,质量为4斤,尾部1尺,质量为2斤,且从头到尾,每一尺的质量构成等差数列(注:尺、斤为我国古代计量单位,1米=3尺,1千克=2斤),则中间三尺的质量一共为( ) A.6斤 B.7斤C.8斤D.9斤5.在等差数列 {a n } 中,若a 1,a 1 021为方程 x 2-10x +16=0的两根,则 a 2+a 511+a 1 020= .6.设公差为-2的等差数列{a n },如果a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99= .7.已知数列{a n }是等差数列,且公差为.d (1)若的值；求656015.20,8a a a ==(2)若.,52,34525432d a a a a a a 求公差==+++8.(拔高题)已知等差数列{a n }的首项a 1=2，公差8=d ，在{a n }中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n }. (1)求数列{b n }的通项公式.(2)29b 是不是数列{a n }的项？若是，它是{a n }的第几项？若不是，说明理由.【参考答案】【小试牛刀】1、解析:因为2a 4=a 2+a 6=1-1=0,所以a 4=0.2、解析:因为数列{a n }为等差数列,所以a 2+a 8=a 4+a 6=2a 5=10,所以(a 4+a 6)2-2a 5=102-10=90.3、解析:由等差数列的性质,知2a 4=a 1+a 7=-8,所以a 4=-4.又因为a 4=a 2+2d ,a 2=2,所以d =-3.4、解析:因为数列{a n }为等差数列,所以a 1+a 2+a 3,a 4+a 5+a 6,a 7+a 8+a 9是等差数列,所以a 4+a 5+a 6是a 1+a 2+a 3与a 7+a 8+a 9的等差中项,根据题中条件可得a 4+a 5+a 6=6.【经典例题】【例1】（1）【答案】B 【分析】根据14739a a a ++=，36927a a a ++=，利用等差数列的性质求得4a 和6a 的值，然后由2846a a a a +=+求解.【详解】∈等差数列{}n a 中14739a a a ++=，36927a a a ++=， ∈1474339a a a a ++==，3696327a a a a ++==，∈413a =，69a =， ∈284622a a a a +=+=，故选：B.（2）解析:因为a 2与a 4是方程x 2-4x +3=0的两根,所以 a 2+a 4=4=a 1+a 5=2a 3,所以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=10.【跟踪训练】1（1）解析:因为a 3+a 6+a 10+a 13=4a 8=32,所以a 8=8,所以m =8.(2)解析:因为{log 2a n }为等差数列,所以log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=5(log 2a 1+log 2a 10). 因为log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 10=10,所以log 2a 1+log 2a 10=2, 所以log 2(a 1a 10)=2,所以a 1a 10=22=4.【跟踪训练】2解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d.依题意,得2a=2,且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.又因为四个数组成递增的等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数分别为-2,0,2,4.【当堂达标】1、解析:由a8-a4=14-2=4d,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.2、解析:由数列的性质,得a4+a5=a2+a7,所以a2=15-12=3.3、C4、解析:原问题等价于等差数列中,已知a1=4,a5=2,求a2+a3+a4的值.=3,所以a2+a3+a4=9,即中间三尺由等差数列的性质,可知a2+a4=a1+a5=6,a3=a1+a52的质量一共为9斤.答案:D5、解析:因为a1,a1 021为方程x2-10x+16=0 的两根,所以a1+a1 021=10.由等差数列的性质,得a2+a1 020=a1+a1 021=10,2a511=10,即a511=5,所以a2+a511+a1 020=15.6、a3+a6+a9+…+a99=(a1+2d)+(a4+2d)+(a7+2d)+…+(a97+2d)=(a1+a4+…+a97)+2d×33=50+2×(-2)×3 3=-82.。
等差数列的概念(第二课时)(教案)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
等差数列的概念第二课时1.课时教学内容等差数列的性质及应用2.课时学习目标(1)能用等差数列的定义推导等差数列的性质；(2)能用等差数列的性质解决一些相关问题；(3)能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题。
3.教学重点与难点重点:等差数列的性质及其应用。
难点:等差数列的性质的推导。
4.教学过程设计环节一复习旧知问题1：你能说出等差数列的概念吗？答案：2 ;前一项 ;同一个常数 ;常数 ;d问题2：你能回忆等差中项的概念吗？(1)条件：如果a,A,b成等差数列．(2)结论：那么A叫做a与b的等差中项．(3)满足的关系式是a+b=2A问题3：等差数列的通项公式为？通项公式的应用？a n=a1+(n−1)d环节二例题解析：例1.已知等差数列{a n}的首项a n=2,d=8,在{a n}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n}。
(1)求数列{b n}的通项公式。
(2) b29是不是数列{a n}的项？若是，它是{a n}的第几项？若不是，请说明理由。
问题4：如何确定{b n}的公差d′？解：（1）设等差数列{b n}的公差为d。
∵b1=a1,b5=a2, ∴b5−b1=a2−a1=8∵b5−b1=4d′, ∴4d′=8, d′=2,∴b n=2+(n−1)2=2n所以数列{b n}的通项公式是b n=2n追问1：如果插入k(k∈N∗)个数，那么数列{b n}的公差d′是多少？解：b1=a1,b k+2=a2,于是，b k+2−b1=a2−a1=d=(k+1)d′所以d′=d k+1解：（2）由（1）知，b n=2n,于是有b29=2×29=58，有已知，a n=2+(n−1)×8=8n−6.令8n−6=58，得n=8,所以b29是数列{a n}中的第8项。
追问2：第（2）小题，你还有其他解法吗？解法2：数列{a n}的各项，依次是数列{b n}的第1、5、9、13、……项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{c n},则c n=1+(n−1)×4=4n−3,令4n−3=29，得n=8,所以b29是数列{a n}中的第8项。
等差数列教案 (2)
等差数列教案一、教学目标1.理解等差数列的概念和特点。
2.掌握等差数列的通项公式和求和公式。
3.能够应用等差数列解决实际问题。
二、教学重点和难点•教学重点：等差数列的概念和特点，通项公式和求和公式的掌握。
•教学难点：能够应用等差数列解决实际问题。
三、教学准备1.教师准备：课件、教案、教具（黑板、粉笔、直尺等）。
2.学生准备：课本、练习册、笔记工具。
四、教学过程1. 导入新知识教师通过提问和引入实际问题，引发学生对等差数列的兴趣。
例如：•有一个数列：1、4、7、10，你觉得这四个数之间有什么规律？•如果我们继续往后推，那么下一个数字是多少？•当然，我们可以一个一个去计算，但是有没有什么更简单的方法？2. 引出等差数列的概念通过示例引导学生发现等差数列的概念。
例如：•我们将这个数列中的每两个连续的数之间的差称为公差。
•不妨将公差记为d，那么这个数列中的每一个数都可以通过前一个数加上公差来得到。
根据以上引导，我们可以得出等差数列的定义：等差数列是一个数列，其中每两个连续的数之间的差相等。
3. 掌握等差数列的特点•等差数列的前n项可以用数列的第一项a1和公差d来表示，即a1, a1 + d, a1 + 2d, …, a1 + (n-1)d。
•等差数列的第n项可以用通项公式an = a1 + (n-1)d来表示。
•等差数列的前n项和可以用求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)来表示。
4. 解决实际问题让学生思考等差数列在现实生活中的应用，例如：问题：小明每天都会记日记，第一天记了1页，之后每天都比前一天多记2页，今天是他记日记的第10天，那么他一共记了多少页？解题思路： 1. 将这个问题转化为等差数列的求和问题。
2. 根据题意，第一项a1=1，公差d=2，一共有10项n=10。
3. 代入求和公式，Sn = (n/2)(a1 + an)，得到Sn = (10/2)(1 + 1 + 9 × 2) = 100。
2.2.2等差数列(第2课时)学案设计
等差数列(第2课时)学习目标1、能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质。
2、能运用等差数列的性质解决有关问题。
重点难点：1、重点是等差数列的性质。
2、难点是等差数列性质的推导及应用。
合作学习一、设计问题,创设情境探究：(1)在等差数列{a n }中,是否有2a n+1=a n +a n+2成立?为什么？等差数列又可以怎么描述? 是，nd a a n +=+11，d n a a n )1(1-+=，d n a a n )1(12++=+，nd a a n 22211+=+，nd a a a n n 2212+=++，212+++=∴n n n a a a 。
从第2项起,每一项是它的前一项和后一项的等差中项.(2)等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.二、信息交流,揭示规律3.等差数列的性质问题1:列举几个等差数列,观察数列的特点,研究公差与数列单调性的关系. 2,4,6,8,10……-2，-4，-6，-8，-10，……3,3,3,3,3,……性质1:若数列{a n }是等差数列,公差为d.若d>0,则{a n }是递增数列;若d<0,则{a n }是递减数列;若d=0,则{a n }是常数列.问题2:探究等差数列{a n }中任意两项a n ,a m (n>m)之间的关系.它们之间的关系可表示为 . 解:由等差数列的通项公式a n =a 1+(n-1)d ,得a m =a 1+(m-1)d.a n -a m =[a 1+(n-1)d ]-[a 1+(m-1)d ]=(n-m )d ,∴a n =a m +(n-m )d.即等式成立.性质2:a n =a m +(n-m )d ,d=a n -a m n -m. 问题3:在等差数列{a n }中,若m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q 一定成立吗? d n m a d n a d m a a a n m )2(2)1()1(111-++=-++-+=+ d q p a d q a d p a a a q p )2(2)1()1(111-++=-++-+=+q p n m a a a q p n m +=∴+=++性质3:在等差数列{a n }中,若m+n=p+q ,则a m +a n =a p +a q .特别地,m+n=2k ,则a m +a n =2a k 。
3.2《等差数列》第二课时
3.2 等差数列第二课时一、教学目标：1．用函数观点认识等差数列的通项公式；2．理解等差数列中等差中项的概念及求等差中项；3．掌握等差数列的特殊性质及应用；二、教学重难点：重点：等差数列的通项公式，等差中项及其性质。
难点：等差数列性质和的自我探讨及其应用。
三、教学过程：（一）设置情境：1．等差数列的定义：1(1)n na a d n +-=≥ 2．等差数列的通项公式：1(1)na a n d =+- （二）新课讲解：1．等差数列通项公式的再认识：例1．（P113例4）已知数列的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 是常数，且0p ≠，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。
解：取数列{}n a 中的任意相邻两项1n a -与n a （2n ≥），1()[(1)]n n a a pn q p n q --=+--+p =， ∵p 是一个与n 无关的常数，故{}n a 是等差数列，且公差是p ，所以，这个等差数列的首项是1a p q =+，公差是p 。
说明：（1）11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数型，一次项系数恰是公差；（2）数列{}n a 是公差不为0的等差数列⇔通项公式是关于n 的一次函数；（3）由通项公式11(1)()na a n d dn a d =+-=+-（函数观点）研究数列的单调性； （4）等差数列对应点(,)n n a 在直线上。
2．等差中项 ： （1）引例：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由a ，A ，b 成等差数列，得A a b A -=-，所以2a b A +=，反之成立。
（2）定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中2a b A += a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=。
3．等差数列的表示：如果一个数列{}n a 是等差数列，公差为d ，则这个数列可表示为：（1）列举法：1111,,2,,(1),d d n d a a a a ++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅简写成{}1(1)n d a +-。
《等差数列》(第二课时)教学设计.
《等差数列》（第二课时）教学设计社旗县三高中赵冉[教材内容]：高一数学第三章，3.2节，等差数列第二课时。
[知识目标]：1、使学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并会用公式解决一些简单问题。
2、掌握等差中项的定义及运算公式。
[能力目标]：通过例题及等差中项公式讲解，培养同学们分析问题、解决问题的能力，培养同学们的发散思维。
[情感目标]：培养学生动脑、动手、勇于发现的科学精神，培养同学们对数学学习的兴趣。
[教学重点]：等差中项的定义及等差数列通项公式的应用。
[教学难点]：对等差的理解及公式应用。
[教学方法]：启发式与练习相结合。
[教学过程]：一、复习1、等差数列定义；2、等差数列通项公式；3、巩固练习；①已知等差数列-3，0，3，……，求a15②已知等差数列a7=10，a10=-2，求a1和d。
二、例题讲解例3、梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
a1=33，n=12，a12=110分析：梯子解：用{a n}表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列，据题意知a1=33，a12=110，n=12，由等差数列的通项公式得a12=a1+(12-1)d 110=33+11d，解得d=7则a2=40，a3=47，a4=54，a5=61，a6=68，a7=75，a8=82，a9=89，a10=96，a11=103答：梯子中间的宽度自上而下依次为40cm、47cm、54cm、61cm、68cm、75cm、82cm、89cm、96cm、103cm。
巩固练习：在24和45中间插入六个数，使他它们从小到大依次成等差数列。
求这六个数。
（d=3，27，30，33，36，39，42）。
如果在a与b之间插入一个数A，使a、A、b成等差数列，那么应满足什么条件呢？由a、A、b等差数列得A-a=b-A，2A=a+b 即A=（a+b）÷2反过来，若A=（a+b）÷2，那么会有什么结果呢？A=（a+b）÷2是a、A、b成等差数列（）条件。
2.3等差数列的前n项和第二课时教案
§2。
3等差数列的前n 项和授课类型：新授课（第２课时）一、教学目标知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究n S 的最值过程与方法：通过等差数列前n 项和的公式应用，体会数学的逻辑性情感态度与价值观:通过有关内容在实际生活中的应用，引导学生要善于观察生活,从生活中发现问题，并用数学解决问题。
二、教学重点熟练掌握等差数列的求和公式三、教学难点灵活应用求和公式解决问题四、教学过程1、课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：①等差数列的前n 项和公式1:2)(1n n a a n S += ②等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= 2、讲授新课探究:—-课本P51的探究活动结论：一般地,如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？由2n S pn qn r =++,得11S a p q r ==++当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+=可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 小结：对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a ：当n a 〉0，d 〈0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值当n a <0，d 〉0,前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值（2） 利用n S ： 由n )2d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 3、课堂练习①一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
等差数列两课教案
等差数列两课教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念和性质。
2. 学会运用等差数列的通项公式和求和公式。
3. 能够解决与等差数列相关的实际问题。
二、教学内容1. 等差数列的概念：定义、性质。
2. 等差数列的通项公式。
3. 等差数列的求和公式。
4. 等差数列的实际应用。
三、教学重点与难点1. 等差数列的概念和性质的理解。
2. 等差数列通项公式的推导和应用。
3. 等差数列求和公式的记忆和运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索等差数列的性质和公式。
2. 利用实例分析，让学生体验等差数列在实际问题中的应用。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 引入：通过举例，引导学生发现等差数列的规律，激发学生的兴趣。
2. 等差数列的概念与性质：引导学生通过观察、分析、归纳等差数列的性质，得出等差数列的定义。
3. 等差数列的通项公式：引导学生运用已知的性质，推导出等差数列的通项公式。
4. 等差数列的求和公式：引导学生通过小组讨论，记忆并理解等差数列的求和公式。
5. 实际应用：利用实例，让学生体验等差数列在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
7. 作业布置：布置有关等差数列的练习题，巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入等差数列的概念，通过实例让学生感受等差数列的特点。
2. 引导学生推导等差数列的通项公式。
3. 讲解等差数列的求和公式，并通过实例让学生掌握其运用。
4. 结合实际问题，让学生运用等差数列的知识解决问题。
六、教学案例1. 等差数列的引入：举例1, 2, 3, 4, 5，引导学生发现其特点。
2. 等差数列的通项公式：通过观察实例，引导学生推导出通项公式。
3. 等差数列的求和公式：讲解求和公式，并通过实例演示其运用。
4. 实际问题：举例一个数列的前三项分别为1, 4, 7，求该数列的第10项。
引导学生运用等差数列的知识解决问题。
七、课后作业1. 复习等差数列的概念、性质、通项公式和求和公式。
2.2 等差数列(第二课时)
2.2 等差数列 （第二课时）课题：2.2 等差数列（第二课时）年级：高一年级主备教师：王冬梅一、学习目标1、理解和掌握等差数列的性质；2、掌握如何证明一个数列是等差数列；3、理解等差数列的图象与一次函数的图象之间的关系。
二、复习引入1、等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。
2、等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+)3、等差中项：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项三、讲解新课【探究1】在数列：1，3，5，7，9，11，13…中?42=+a a ?51=+a a?64=+a a ?73=+a a简单计算就可以知道：73645142,a a a a a a a a +=++=+【性质1】在等差数列{}n a 中，若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+即q p n m +=+⇒q p n m a a a a +=+ ，(m, n, p, q ∈N )（证明略）【探究2】（1）在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象，这个图象有什么特点？（2）在同一直角坐标系中，画出函数53-=x y y 的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数q px y +=的图象之间有什么关系？四、例题讲解1、在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，于是可以从这双项关系式入手。
高中数学《等差数列(2)》教案
数学（高一下）导学案
1、 基础知识：
1．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，则这三个数依次为______． 答案 4,6,8
解析 设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，由已知得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a －d ＋a ＋a ＋d ＝18 ①a －d
2
＋a 2＋a ＋d
2
＝116 ②
由①得a ＝6，代入②得d ＝±2. ∵该数列是递增数列， ∴d ＞0，即d ＝2. ∴这三个数依次为4,6,8. 2、拓展提升
（1）等差数列的设法与求解
2. 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数． 解 法一 设等差数列的等差中项为a ，公差为d ， 则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24， 所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24， 化简得d 2
＝16，于是d ＝±4， 故三个数为－2,2,6或6,2，－2.
法二 设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ， 依题意，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24， 所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24， 得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2
＝－12，
即d 2
＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2，－2.。
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2.2等差数列第二课时人教A版必修五
教学目标
1. 知识与技能
在理解等差数列定义及如何判定等差数列，学习等差数列通项公式的基础上，掌握等差中项的定义及应用，明确等差数列的性质，并用其进行一些相关等差数列的计算.
2.过程与方法
以等差数列的通项公式为工具，探究等差数列的性质，同时进一步培养学生归纳，总结的一些数学探究的方法.
3.情感、态度与价值观
在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.
教学重点
（1）明确等差中项的定义及应用.
（2）理解并掌握等差数列的性质.
教学难点
理解等差数列的性质的应用.
教辅手段
PPT,多媒体投影幕布
教学过程
一、复习引入——温故知新
【内容设置与处理方式】
借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识
1. 等差数列的定义
2. 等差数列的通项公式与公差
二、 新知探究
（一） 等差中项
【内容设置与处理方式】
直接给出等差中项的定义：由三个数b A a ,,组成的等差数列是最简单的等差数列，此时A 叫做a 和b 的等差中项.b a A +=2
同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.
等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.
（二） 等差数列的性质
1. 列举几个数列，观察数列的特点，研究公差与数列单调性的
关系.
问题1： 数列1: 1,3,5,7,9,11，……
数列2： 30，25,20，15,10,5，……
数列3： 8,8,8,8,8,8，……
引导学生观察，得到等差数列的一个性质.
性质1：若数列}{n a 是等差数列，公差为d .若d >0,则是}{n a 递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列.
2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=
参考证明：由等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=得
d m a a m )1(1-+=
∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-
即等式成立
由此也可得到公差的另一种表示:m
n a a d m n --=
性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3：在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+一定成立吗?特别地,k n m 2=+,则k n m a a a 2=+成立?
启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
给出结论，上述等式在等差数列中一定成立.
性质3: 在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+.
三、 即时巩固
学生自主完成作业，老师讲评
问题4：已知等差数列}{n a 中,15741=++a a a ，45642=⋅⋅a a a ,求数列}{n a 的通项公式.
参考答案: 解：
4712a a a =+
∴1534741==++a a a a
由此得到54=a 又45
642=⋅⋅a a a ，∴962=a a
即9)2)(244=-+d a d a （
9)25)(25=-+∴d d （
得2±=d
当2=d 时，32)4(4-=-+=n d n a a n
当2-=d 时，n d n a a n 213)4(4-=-+=
5：学生自主探究得出结论，老师辅助指点
问题5：已知}{},{n n b a 是等差数列，公差分别为21,d d .βαλ，，是常数,则}{},{n n n b a a βαλ+,是等差数列吗?如果是,公差分别为多少? 参考解答:}{},{n n n b a a βαλ+都是等差数列,公差分别为211,d d d βαλ+ 性质4:}{},{n n b a 是等差数列，则}{},{n n n b a a βαλ+都是等差数列.
四、 归纳提升
引导学生归纳本课时的主要学习内容，交流成果，教师帮助完善
1. 等差中项的定义与应用
2. 等差数列的性质
性质1：若d >0,则}{n a 是递增数列；若d <0,则}{n a 是递减数列；若d =0,则}{n a 是常数列.
性质2：d m n a a m n )(-+=;m
n a a d m n --= 性质3: 在等差数列}{n a 中，若q p n m +=+,则q p n m a a a a +=+.
性质4：}{},{n n b a 是等差数列，
则}{},{n n n b a a βαλ+都是等差数列. 五、 课后延续
1. 回顾本课程的学习过程，整理学习笔记.
2. 完成作业39p 4
补充题目:在等差数列}{n a 中,1053=+a a ,2697=+a a ,求6,a d . 板书设计
课题
（一） 等差中项
（二） 等差数列的性质
问题4的解答 （多媒体投影幕布） （最后保留如下内容） 课后延续
备用问题 1.【2010年全国卷】如果等差数列}{n a 中，12543=++a a a ，那么 7654321a a a a a a a ++++++ （）
A.14
B.21
C.28
D.35 教后反思。