三角形五心性质概念整理超全
三角形五心性质概念整理超全资料全
重心1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) 平面上任意一点为（x，y）则该点到三顶点距离平方和为：(x1-x)2+(y1-y)2+(x2-x)2+(y2-y)2+(x3-x)2+(y3-y)2=3x2-2x(x1+x2+x3)+3y2-2y(y1+y2+y3)+x12+x22+x32+y12+y22+y32=3[x-1/3*(x1+x2+x3)]2+3[y-1/3*(y1+y2+y3)]2+x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3（重心坐标）时上式取得最小值x12+x22+x32+y12+y22+y32-1/3(x1+x2+x3)2-1/3(y1+y2+y3)2最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为[(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3]；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3，纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3，纵坐标：（Z1+Z2+Z3）/35、三角形到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量），则M点为△ABC的重心，反之也成立。
7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则向量OG=1/3（向量OA+向量OB+向量OC）心设△ABC的切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、三角形的心到三边的距离相等，都等于切圆半径r．2、∠BIC=90°+∠BAC/2．3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形切圆切BC于D，则S△ABC=BD×CD4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC心的充要条件是：向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC心I的坐标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))．6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和切圆的半径，O和I分别为其外心和心，则OI2=R2-2Rr．7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则切圆半径r=2S/(a+b+c)8、双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的心在实轴的射影为对应支的顶点。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的、外心、内心、重心、垂心、和旁心(五心定理)
三角形的外心、内心、重心、垂心、旁心(五心定理)
4
三
角
形的
垂心
三角形的三条高交于一点,这点称
为三角形的垂心 1，三角形任一顶点到垂心的距离，等于外
心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂
心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；
2，锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的
垂心在三角形外 ；
5
三角形的旁心
三角形的一条内角平分线与另两
个外角平分线交
于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
1， 每个三角形都有三个旁心；
2， 旁心到三边的距离相等
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。
A
B
C
D
E F
I a
A B
C D
E
F O。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心及定理性质.初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证实，特别简单。
〔重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因此得名〕重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为〔〔X1+X2+X3〕/3，〔Y1+Y2+Y3〕/3〕。
5.以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A〔∠A为锐角或直角〕或∠BOC=360°-2∠A〔∠A为钝角〕。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1图2三角形的三条高〔所在直线〕交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点能够得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
〔此直线称为三角形的欧拉线〔Eulerline〕〕3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1.若D、E、F分别是△ABC三边的高的垂足，则∠1=∠2。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理 （三角形的重心， 外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、 三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心 。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片， 其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2∶1。
2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（ (X1+X2+X3)/3 ，（ Y1+Y2+Y3)/3 。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若 O 是△ ABC 的外心，则∠ BOC=2 ∠A （∠ A 为锐角或直角）或∠ BOC=360° -2∠A （∠ A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时， 外心在三角形内部； 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部； 当三角形为直角三角形时， 外心在斜边上， 与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量： d1 ，d2 ，d3 分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3 ，c2=d1d3 ，c3=d1d2 ；c=c1+c2+c3 。
重心坐标： ( (c2+c3)/2c ，(c1+c3)/2c ， (c1+c2)/2c ) 。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。
一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。
二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
三角形的五心
1、重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
该点叫做三角形的重心。
2、外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。
该点叫做三角形的外心。
3、垂心定理：三角形的三条高交于一点。
该点叫做三角形的垂心。
4、内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。
该点叫做三角形的内心。
5、旁心定理：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。
该点叫做三角形的旁心。
三角形有三个旁心。
三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心。
当且仅当三角形是正三角形的时候重心、外心、垂心、内心,四心合一心,称做正三角形的中心.
重心的几条性质及证明方法：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
如图，在△ABC中，O为重心，所以AD,BE,CF是三条中线，过D、F分别作BE的G平行线交AC于H、G点,交AD于P点。
∵FG是△ABD的中位线，∴点P是OA的中点，
同理，DH是△BCE的中位线, ∴点O、P是线段AD的三等分点．∴AO:OD=2:1.。
三角形的五心整理
三角形的五心
一、三角形的重心
1、重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
（重心坐标）
二、三角形的外心
三角形外心的性质
性质：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
三、三角形内心
四、三角形垂心
五、三角形旁心
1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．
证明如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面积, 即四边形GMAN和△GBC的面积相等．
2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离
的二倍．
证明如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC
外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥
BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平
C C
行四边形。
又显然DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．。
三角形五心分别为
三角形五心及定律三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，内心定理，垂心定理，旁心定理的总称一、重心定理1.定义：三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
2.重心的性质：（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中点。
EC、FB交于G。
求证：EG=1/2CG。
证明：过E作EH∥BF交AC于H。
∵AE=BE，EH//BF；∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)又∵AF=CF，∴HF=1/2CF，∴HF:CF=1/2；∵EH∥BF∴EG:CG=HF:CF=1/2，∴EG=1/2CG（2）重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
证明方法：在△ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA'、BOB'、COC'分别为a、b、c边上的中线。
根据重心性质知：OA'=1/3AA'OB'=1/3BB'OC'=1/3CC'过O，A分别作a边上高OH'，AH可知OH'=1/3AH则，S△BOC=1/2×OH'a=1/2×1/3AHa=1/3S△ABC同理可证S△AOC=1/3S△ABCS△AOB=1/3S△ABC所以，S△BOC=S△AOC=S△AOB（3）重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
（4）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
（5.）以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
二、外心定理1.定义：三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
（三角形有且只有一个外接圆。
）2.外心的性质：（1）三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的 3 个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3 个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若O 是△ABC 的外心，则∠BOC=2∠A（∠A 为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图 1 图 2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7 个点可以得到6 个四点圆。
2、三角形外心O、重心G 和垂心H 三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2 倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。
（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
(完整word版)三角形五心性质总汇
三角形的五心1.内心：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心。
角平分线性质:到角两边距离相等. 内心性质：到三角形三边距离相等。
2.重心:三角形三条中线交点中线性质:将三角形面积等分成两部分.重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短)3.外心：三角形三边垂直平分线的交点,三角形外接圆圆心。
垂直平分线性质:到线段两端点距离相等。
外心性质：到三角形三个顶点距离相等。
4.旁心：三角形一个内角平分线与另外两个外角的平分线的交点。
旁心性质：三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个， 但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等。
三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)． 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等． 都等于三角形的外接圆半径．锐角三角形的外心在三角形内； 直角三角形的外心在斜边中点； 钝角三角形的外心在三角形外． 2、三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)． 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径． 内切圆半径r 的计算：设三角形面积为S ，并记p =12(a +b +c )，则r =Sp ．特别的，在直角三角形中,有 r =12(a +b －c )． 3、三角形的重心 三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心． 上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2．4、三角形的垂心 三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”． A B COABCDE F GAB CD E F I aIKHE F D A BCM5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。
三角形重心垂心外心内心相关性质介绍
三 角 形 的“五 心”所谓三角形的“五心”是指三角形的重心、垂心、外心、旁心及内心。
当三角形是正三角形时，重心、垂心、外心及内心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心（1个）定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的外心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21 4.直角三角形的外心在斜边中点。
二、三角形的内心（1个）定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2. CE CD BD BF AF AE ===,,3. 三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半w 径．； =++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的旁心（3个） 定 义：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
性 质：1. 旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
即，到三边距离相等。
2. 三角形有三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等3. 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫旁心。
四、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫垂心。
ABC ∆的垂心一般用字母H 表示。
直角三角形的垂心在直角顶点上。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
三角形五心及其性质
三角形的五心定义及性质
三角形五心是指三角形的重心、外心、内心、垂心、旁心。
定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
三角形的性质
1.在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2.在平面上三角形的外角和等于360°(外角和定理)。
3.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6.三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7.在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
9.直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10.三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12.等底同高的三角形面积相等。
13.底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14.三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
15.等腰三角形顶角的角平分线和底边上的高、底边上的中线在一条直线上（三线合一）。
三角形五心分别是什么(一)2024
三角形五心分别是什么（一）引言概述:三角形是几何学中的基本形状之一，它由三条直线边和三个角组成。
在三角形中，有五个特殊的点，它们分别被称为三角形的五心。
这些五心在三角形的性质和形态研究中起着重要的作用。
本文将介绍三角形的五心是什么，并对它们的定义、性质和作用进行详细的阐述。
正文:一、外心（Circumcenter）1. 外心是三角形的一个重要概念，它是三角形三个顶点的垂直平分线的交点。
2. 外心具有以下性质：外心到三个顶点的距离相等，外心到三条边的距离都相等。
3. 外心在三角形中起着重要的作用，特别是在构造等边三角形和外心三等分线时具有重要意义。
二、内心（Incenter）1. 内心是三角形的另一个关键概念，它是三角形三条内切圆的圆心。
2. 内心具有以下性质：内心到三条边的距离相等，内心到三个顶点的连线上的角平分线垂直于相应的边。
3. 内心在三角形中具有重要作用，如构造等边三角形和求解三角形的面积等，还可以用于判断三角形是否等腰、直角等特殊类型。
三、重心（Centroid）1. 重心是三角形的一个特殊点，它是三角形三个顶点连线的中点的集合。
2. 重心具有以下性质：重心到三个顶点的距离成等比例，重心到三角形三条中线的距离成等比例。
3. 重心在三角形的计算、分割和构造等方面具有重要作用，它能帮助确定三角形的质心以及用于判断三角形是否平衡。
四、垂心（Orthocenter）1. 垂心是三角形的一个关键概念，它是三角形三条高线的交点。
2. 垂心具有以下性质：垂心到三个顶点的连线上的角的和为180度，垂心到三角形三条边的距离具有一定的关系。
3. 垂心在三角形的垂线构造、判断特殊类型和计算各种长度方面具有重要作用。
五、内垂心（Incenter）1. 内垂心是三角形中的另一个关键点，它是三角形三条内角平分线的交点。
2. 内垂心具有以下性质：内垂心到三个顶点连线上的角的和为180度，内垂心到三个顶点的距离的倒数之和等于测角的弦长之和。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X1+X2+X3 ) /3 , (Y1+Y2+Y3 ) /3 )。
5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理夕卜心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
2、若0是厶ABC的外心，则/ B0C=2 / A （/A为锐角或直角）或/ BOC=360 -2Z A （/A 为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时, 外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
5、外心到三顶点的距离相等垂心定理图1 图2三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心0、重心G和垂心H三点共线，且0G : GH=1 : 2。
（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line ））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
推论：1. 若D、E、F分别是△ ABC三边的高的垂足，则 / 1 = / 2。
（图1）2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质
三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称
重心定理
三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为
（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理
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显然当x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2＋ｙ3)／3（重心坐标)时
上式取得最小值x１2＋x22＋x３2+ｙ12+ｙ2２+ｙ32-１/3(ｘ１＋x2+x3)2-１/３（y1＋y2+y3)２
三角形五心性质概念整理(超全)
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重心
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。
2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3、重心到三角形３个顶点距离平方的和最小。
4、点Ｏ是平面ABC上任意一点,点I是△ABC内心的充要条件是：
向量ＯＩ＝[a(向量OA)＋ｂ(向量OＢ）+c(向量OＣ）]／（ａ+ｂ+c).
5、在△AＢC中，若三个顶点分别是A(ｘ１，y1),Ｂ(x2，ｙ2）,C（x3,y3),
那么△ABＣ内心Ｉ的坐标是:
（ax1/（ａ＋b＋c)+bx２/(ａ+b＋c)+ｃｘ3/(a+b+c),ay1／(a+b+c)+by２/（a＋b＋ｃ)+cｙ３/(a+ｂ+c))．
∵A、Ｃ、Ｂ、Ｐ四点共圆
∴∠P＝∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAＣ+∠B＝９0°
性质4:点G是平面ABC上一点，点P是平面ABＣ上任意一点,那么点G是⊿ＡBC外心的充要条件是：
(1)向量PG=(tanB+ｔａnC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+（tanA＋tａｎB)向量PC)/2(taｎＡ+tanＢ＋taｎＣ）.
证明方法:
设三角形三个顶点为(x1，y1),(x2，y２)，(x3，y3) 平面上任意一点为（x，y） 则该点到三顶点距离平方和为:
(x１-x)２+(y1-ｙ)2＋(ｘ2-x)2+（y２-ｙ)2+(ｘ3－x)2+(ｙ3-y)2
＝３x2-2x（x1＋x2+x３）＋3ｙ2-2y(y1＋y2+y３)+x12+x22＋x３2+ｙ１2＋ｙ2２＋ｙ３２
或（2)向量PG=(cosＡ／2sinＢｓiｎC)向量ＰＡ+(cosB/2sinCsiｎA)向量PB+(cosC／２sinAsinB)向量PＣ.
性质５：三角形三条边的垂直平分线交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABＣ外心的充要条件 (向量GA+向量GB）·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量ＧA)·向量CA=0．
6、(欧拉定理)△AＢC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和Ｉ分别为其外心和内心，则OI2＝R2－２Rr.
７、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积,则内切圆半径r=２S/（a+b＋c)
8、 双曲线上任一支上一点与两交点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
９、△ＡBC中，内切圆分别与AB,BＣ,CA相切于Ｐ，Q,Ｒ,
则AP=AR=(b+a）/２, ＢP =BQ =(a+c-b）/2,
ＣR =CＱ =(b+ａ-c)/2,
ｒ＝[(ｂ+ｃ-a）tａn（A/2)］／2。
10、三角形内角平分线定理：
△ABＣ中,Ｉ为内心，∠ＢAＣ 、∠ABC、 ∠AＣB的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、R、Ｐ，则ＢQ/QＣ=c/b，ＢP/ＰA=ａ／b, ＣＲ/RA=a/c。
7、设△AＢC重心为Ｇ点，所在平面有一点O,则向量OG=1／3(向量OA＋向量OB+向量ＯC）
内心
设△ＡBＣ的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为ａ、b、ｃ,p=(a+b+c)／2．
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径ｒ.
2、∠BIC=90°+∠BAC／2.
3、在RtΔABC中，∠Ａ=90°,三角形内切圆切BC于Ｄ,则S△ABC=ＢD×CD
内切圆的半径
（１）在RtΔABC中，∠C＝90°,ｒ=（a+b-c)/2.
（2)在RtΔABC中,∠C=９0°，r=aｂ/(ａ＋b+c）
（3）任意△ＡBC中r＝(2＊Ｓ△ＡBC）/C△ＡＢC （C为周长）
外心
设⊿AＢC的外接圆为☉G(R）,角A、B、C的对边分别为ａ、ｂ、c,p=（a+b+c)／２.
三角形外接圆半径：
R＝ａbｃ/（４S△ABC）
垂心
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
２、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心;
３、 垂心H关于三边的对称点,均在△AＢＣ的外接圆上。
4、 △ABＣ中，有六组四点共圆，有三组（每组四个)相似的直角三角形，且AH·HD=ＢH·HE＝CＨ·HF。
最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为［(X1+X2＋X3)/３,(Y1＋Ｙ２＋Ｙ3)/3];
空间直角坐标系——横坐标：(X1+Ｘ2+Ｘ３)/3，纵坐标:(Ｙ1+Ｙ２＋Y3)/３,纵坐标:(Z1+Z２+Z３)/3
5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABＣ中,若MA向量+MB向量+MC向量=0（向量) ，则M点为△ＡBC的重心，反之也成立。
５、 Ｈ、Ａ、B、Ｃ四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
６、 △ABC,△ABH,△ＢCH,△ＡＣH的外接圆是等圆。
7、 在非直角三角形中,过Ｈ的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB／ＡＰ·taｎB＋AＣ/AＱ·ｔaｎＣ=tａnA＋tanB＋taｎC。
8、 三角形任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的2倍。
性质1：(1）锐角三角形的外心在三角形内;
(2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
(3)钝角三角形的外心在三角形外．
（4）等边三角形外心与内心为同一点。
性质2:∠BGC=2∠A,（或∠BGC＝2(18０°-∠A））.
性质3：∠ＧAC＋∠B=9０°
证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）