南京盐城2018届高三一模数学试题及答案

所以 cbcosA＝bacosC， 由余弦定理得 b2＋c2－a2＝b2＋a2－c2，得 a＝c，(10 分)
从而 cosB＝a2＋2ca2c－b2＝c2＋c2－ 2c2 25c2＝35.(12 分)
又 0<B<π，所以 sinB＝ 1－cos2B＝45，
从而
cosB＋π4 ＝cosBcosπ4 －sinBsinπ4 ＝35×
22－45×
22＝－
2 10 .(14
分)
17. 解析：(1) 在图 1 中，连结 MO 交 EF 于点 T.
设 OE＝OF＝OM＝R.
在 Rt△OET 中，因为∠EOT＝12∠EOF＝60°，
所以 OT＝R2，则 MT＝OM－OT＝R2，
从而 BE＝MT＝R2，即 R＝2BE＝2.(2 分) 故所得柱体的底面积 S＝S 扇形 OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝43π－ 3.(4 分) 因为所得柱体的高 EG＝6－1×2＝4， 所以 V＝S·EG＝163π－4 3. 故当 BE 长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积
23. (本小题满分 10 分) 已知 n∈N*，nf(n)＝C0nCn1＋2C1nC2n＋…＋rCrn－1Crn＋…＋nCnn－1Cnn. (1) 求 f(1)，f(2)，f(3)的值； (2) 试猜想 f(n)的表达式(用一个组合数表示)，并证明你的猜想．
2018 届南京、盐城高三年级第一次模拟考试 数学参考答案
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 设直线 MN 交 y 轴于点 D，当点 M，N 均在 y 轴右侧，D→N＝2N→M时，求直线 BM 的
方程.
19. (本小题满分 16 分) 设数列{an}满足 a2n＝an＋1an－1＋λ(a2－a1)2，其中 n≥2，且 n∈N，λ为常数. (1) 若{an}是等差数列，且公差 d≠0，求 λ 的值； (2) 若 a1＝1，a2＝2，a3＝4，且存在 r∈[3，7]，使得 m·an≥n－r 对任意的 n∈N*都成立， 求实数 m 的最小值； (3) 若 λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数 T，使得 an＋T＝an 对任意的 n∈N* 均成立．求所有满足条件的数列{an}中 T 的最小值．
10. 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，若{an}的前 2 017 项中的奇数项和为 2 018，则 S2 017 的值为________.
x（3－x）， 0≤x≤3，
11. 设函数 f(x)是偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－3x＋1， x>3，
若函数 y＝f(x)－m
有四个不同的零点，则实数 m 的取值范围是________.
16. (本小题满分 14 分)
在△ABC
中，角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
c＝
5 2 b.
(1) 若 C＝2B，求 cosB 的值；
(2) 若A→B·A→C＝C→A·C→B，求 cosB＋π4 的值.
17. (本小题满分 14 分) 有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计)，一边 AB 长为 6 分米，另一边足够长．现从中截 取矩形 ABCD(如图 1 所示)，再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰．好．能折卷成一个底面是 弓形的柱体包装盒(如图 2 所示，重叠部分忽略不计)，其中 OEMF 是以 O 为圆心、∠EOF＝ 120°的扇形，且弧 EF，GH 分别与边 BC，AD 相切于点 M，N. (1) 当 BE 为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； (2) 当 BE 的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？
12. 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝k(x－3 3)上存在一点 P，圆 x2＋(y－1)2＝1
上存在一点 Q，满足O→P＝3O→Q，则实数 k 的最小值为________.
13. 如图是蜂巢结பைடு நூலகம்图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶 点称为“晶格点”．若 A，B，C，D 四点均位于图中的“晶格点”处，且点
B. [选修 4-2：矩阵与变换](本小题满分 10 分)
已知矩阵 M＝20 01，求圆 x2＋y2＝1 在矩阵 M 的变换下所得的曲线方程.
C. [选修 4-4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)
在极坐标系中，直线 ρcosθ＋π3 ＝1 与曲线 ρ＝r(r>0)相切，求 r 的值.
令 x＝0，得点 B 的坐标为(0，－ 3)． 所以椭圆的方程为xa22＋y32＝1.(4 分)
32
将点 N 的坐标
3，
23代入，得（
a32）2＋
2 3

＝1，解得
a2＝4.
所以椭圆 C 的标准方程为x42＋y32＝1.(8 分)
(2) 设直线 BM 的斜率为 k(k>0)，则直线 BM 的方程为 y＝kx－ 3.
2018 届南京、盐城高三年级第一次模拟考试 数学
(满分 160 分，考试时间 120 分钟) 参考公式： 柱体体积公式：V＝Sh，其中 S 为底面积，h 为高. 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1. 已知集合 A＝{x|x(x－4)<0}，B＝{0，1，5}，则 A∩B＝________. 2. 设复数 z＝a＋i(a∈R，i 为虚数单位)，若(1＋i)·z 为纯虚数，则 a 的值为________． 3. 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级 4 000 名学生中随机抽取 100 名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直 方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80)(单位：分钟) 内的学生人数为________．
2018 届高三年级第一次模拟考试(一) 数学附加题
(本部分满分 40 分，考试时间 30 分钟) 21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做， 则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修 4-1：几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图，已知 AB 为⊙O 的直径，直线 DE 与⊙O 相切于点 E，AD⊥DE，垂足为 D.若 DE ＝4，求切点 E 到直径 AB 的距离 EF.
20. (本小题满分 16 分)
设函数 f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋bx－c(a，b，c∈R).
(1) 当 c＝0 时，若函数 f(x)与 g(x)的图象在 x＝1 处有相同的切线，求 a，b 的值； (2) 当 b＝3－a 时，若对任意 x0∈(1，＋∞)和任意 a∈(0，3)，总存在不相等的正实数 x1， x2，使得 g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，求 c 的最小值； (3) 当 a＝1 时，设函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点．求 证：x1x2－x2<b<x1x2－x1.
令 f(x)＝－x3＋3x2，x∈(0，3)，则由 f′(x)＝－3x2＋6x＝－3x(x－2)＝0，解得 x＝2.(12 分)
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
所以当 x＝2 时，f(x)取得最大值． 故当 BE 的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大．(14 分)
18. 解析：(1) 由 N 3， 23，Q2 3 3，0得直线 NQ 的方程为 y＝32x－ 3.(2 分)
A，B 的位置如图所示，则A→B·C→D的最大值为________．
14. 若不等式 ksin2B＋sinAsinC>19sinBsinC 对任意△ABC 都成立，则实数 k 的最小值为 ________.
二、 解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．
15. (本小题满分 14 分) 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，CA＝CB，M，N 分别是 AB，A1B1 的中点． (1) 求证：BN∥平面 A1MC； (2) 若 A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.
的
焦点与
双
曲线x42－
y2 5
＝
1
的右焦点重合，则实数
p
的值为
________.
7. 设函数 y＝ex＋e1x－a 的值域为 A，若 A⊆[0，＋∞)，则实数 a 的取值范围是________.
8. 已知锐角 α，β满足(tanα－1)(tanβ－1)＝2，则 α＋β 的值为________.
9. 若函数 y＝sinωx 在区间[0，2π]上单调递增，则实数 ω 的取值范围是________.
D. [选修 4-5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 已知实数 x，y 满足 x2＋3y2＝1，求当 x＋y 取最大值时 x 的值.
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤
22. (本小题满分 10 分) 如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是菱形，AC 与 BD 交于点 O，OP⊥底面 ABCD， M 为 PC 的中点，AC＝4，BD＝2，OP＝4. (1) 求直线 AP 与 BM 所成角的余弦值； (2) 求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值．
为163π－4 3立方分米．(6 分)
(2) 设 BE＝x，则 R＝2x，
所以所得柱体的底面积 S＝S 扇形 OEF－S△OEF＝13πR2－12R2sin120°＝4π3 － 3x2.
因为所得柱体的高 EG＝6－2x，
所以 V＝S·EG＝8π3 －2 3(－x3＋3x2)，其中 0<x<3.(10 分)
16. 解析：(1) 因为 c＝ 25b，
所以由正弦定理得
sinC＝
5 2 sinB.(2
分)
又 C＝2B，所以 sin2B＝ 25sinB，
即 4sinBcosB＝ 5sinB.(4 分) 又 B 是△ABC 的内角，
所以
sinB>0，故
cosB＝
5 4 .(6
分)
(2) 因为A→B·A→C＝C→A·C→B，
(第 3 题)
(第 4 题)
4. 执行如图所示的伪代码，若 x＝0，则输出的 y 的值为________.
5. 口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1，2，3，4，若从袋中一
次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为________.
6.
若抛物线
y2＝2px
2 1. {1} 2. 1 3. 1 200 4. 1 5. 3 6. 6
7. (－∞，2]
3π 8. 4
9. 0，14
10. 4 034
11. 1，94 12. － 3 13. 24 14. 100
15. 解析：(1) 因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱， 所以 AB∥A1B1，且 AB＝A1B1. 又 M，N 分别是 AB，A1B1 的中点， 所以 MB＝A1N，且 MB∥A1N， 所以四边形 A1NBM 是平行四边形， 从而 A1M∥BN.(4 分) 又 BN⊄平面 A1MC，A1M⊂平面 A1MC， 所以 BN∥平面 A1MC.(6 分) (2) 因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱， 所以 AA1⊥底面 ABC，而 AA1⊂侧面 ABB1A1， 所以侧面 ABB1A1⊥底面 ABC. 又 CA＝CB，且 M 是 AB 的中点，所以 CM⊥AB. 因为由侧面 ABB1A1⊥底面 ABC，侧面 ABB1A1∩底面 ABC＝AB，CM⊥AB，且 CM⊂ 底面 ABC， 所以 CM⊥侧面 ABB1A1.(8 分) 又 AB1⊂侧面 ABB1A1，所以 AB1⊥CM.(10 分) 又 AB1⊥A1M，A1M，MC⊂平面 A1MC，且 A1M∩MC＝M， 所以 AB1⊥平面 A1MC.(12 分) 又 A1C⊂平面 A1MC，所以 AB1⊥A1C.(14 分)
图1
图2
18. (本小题满分 16 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)的下顶点为 B，M，N 是椭 圆上异于点 B 的动点，直线 BM，BN 分别与 x 轴交于点 P，Q，且 Q 是线段 OP 的中点．当
点 N 运动到点 3， 23处时，点 Q 的坐标为233，0.