数学周报答案

第5期有效学案参考答案第5课时等腰三角形(1)【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高. 【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC.【问题1】证明：∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC．∴△AOB≌△AOC(SSS)．∴∠OAB＝∠OAC．∵AB＝AC，∴AO⊥BC .【问题2】设∠ACD＝α，则∠EDC＝α，∠A＝∠AED＝2α，∠ACB＝∠B＝∠BDC＝∠A＋∠ACD＝3α．在△ABC中，由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°，∴α＝°．∴∠A＝2α＝45°.1．D. 2．D .3．40°，40°；30°，120°或75°，75°.4. 25. 5．105°.6.（1）70°；（2）40°.7．∠A=∠E．理由：∵CB=CE，∴∠E=∠CBE．又∵AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∴∠A=∠E．8．∵DB=DC，∴∠DBC=∠C=40°，∴∠ADB=∠DBC+∠C=80°．∵AB=DB，∴∠A=∠ADB=80°．∴∠ABD=180°-∠A-∠ADB=20°．9．解：此题分三种情况．(1)当底边上的高与一腰的夹角是40°时，如图①，顶角是80°，从而两个底角是50°，50°；(2)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形内部时，如图②，顶角是50°，从而两个底角是65°，65°；(3)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形外部时，如图③，顶角是130°，从而两个底角是25°，25°．综上所述，三个角的度数为80°，50°，50°或50°，65°，65°或130°，25°，25°.10．（1）∵DA= DC，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠CDB=60°．∵DB=DC，∴∠B=∠DCB=60°，∴∠ACB=90°；（2）∠ACB=90°；（3）不论∠A•等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°. 11．B.12．证明：连接DE，DF．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又∵BD＝CF，BE＝CD，∴△BDE≌△CFD(SAS)．∴DE＝DF．∵EG＝GF，∴DG⊥EF．第6课时等腰三角形(2)【检测1】D.【检测2】证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD，∴△ADB≌△ADC(AAS)．∴AB＝AC；(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”.【问题1】已知：如图，∠DAC是△ABC的外角，且∠DAC＝2∠B．求证：△ABC是等腰三角形．证明：∵∠DAC＝2∠B，又∵∠DAC＝∠B＋∠C，∴∠B＝∠C．∴△ABC是等腰三角形【问题2】∵BD⊥EF，∴∠F＋∠FCD＝90°，∠B＋∠E＝90°.CABD①②③40︒DAC CADB40︒CADB40︒∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵∠FCD＝∠ACB,∴∠B＝∠FCD.∴∠E＝∠F.∴AE＝AF.∴△AEF是等腰三角形.1．是. 2．C. 3．D. 4．2cm.5．∵PD∥OB，∴∠DPO=∠BOC．∵OC平分∠AOB，∴∠BOC=∠AOC.∴∠DPO=∠AOC．∴DP=DO，即△DOP是等腰三角形 .6．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．又∵AD∥EG，∴∠G=∠CAD，∠AFG=∠BAD.∴∠G=∠AFG，∴△AGF是等腰三角形．7．连接CD．∵AD＝BC，AC＝BD，DC＝CD．∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．∴OD＝OC.8．6.9．证明：在DC上截取DE＝DB，连接AE．则AB＝AE，∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠C＝∠EAC．∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB.10．D.11．(1)证明：∵AB＝BA，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴∠EAB＝∠EBA．∴AE＝BE.(2)∵∠AEC＝45°，∠C＝90°，∴∠CAE＝45°．∴∠CAE＝∠CEA．∴CE＝AC＝1.第7课时等腰三角形(3)【检测1】相等，60；等边三角形，60，60.【检测2】一，三，作图略.【问题1】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°．又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形．∴△ADE是等边三角形．【问题2】DE=DB，理由：∵CD=CE，∴∠E=∠EDC．又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°．又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE．1．都. 2．150m. 3．4．4．C.5．D.6．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵AD⊥BC，∴∠DAC=30°．∵AE=AD，∴∠ADE=12×(180°－30°)=75°．∴∠CDE=∠ADC－∠ADE=15° .7．∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形．∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°．∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝12∠APQ＝30°．同理，∠CAQ＝30°．∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝30°＋60°＋30°＝120°. 8．证明：如图，延长AE到M，使EM＝AB，连接DM．∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，且AB＝AC．∴EM＝AC．∵CD＝AE，∴CD＋AC＝AE＋EM．即AD＝AM．∴△ADM是等边三角形．∴DA＝DM，且∠M＝60°．在△DAB和△DME中，,,,DA DMA MAB ME=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB≌△DME(SAS)．∴DB＝DE.9．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°．于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°．∴△ACE≌△DCB(SAS). ∴AE＝DB.(2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB．∵CA＝CD，∠ACG＝∠DCH＝60°．CADB E M∴△ACG≌△DCH(ASA)．∴CG＝CH．而∠DCE＝60°．∴△CGH是等边三角形.10．B.11．证明：(1)∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°.∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°．∴∠PBA＝∠PCQ＝30°．(2)∵AB＝DC＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC，∴△PAB≌△PQC，∴PA ＝PQ．第8课时等腰三角形(4)【检测1】一半.【检测2】4cm.【问题1】连接AD．∵AB＝AC，点D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝60°．从而∠ADE＝30°.∴AD＝2AE.由∠B＝30°得AB＝2AD.∴AB＝4AE，BE＝3AE．∴AE∶EB＝1∶3.【问题2】有触礁的危险．过点P作PC⊥AB，垂足为点C．∵∠BPA＝∠PBC－∠A＝15°，∴∠BPA＝∠A，∴AB＝PB＝15×2＝30．在Rt△PBC中，PC＝12PB＝15海里＜18海里.故不改变方向，继续向前航行有触礁的危险.1.2cm. 2．18cm，120°.3．4． 4．2cm． 5．1．6．∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝60°．∵CD⊥AD，∴∠ACD＝90°－∠DAC＝30°．∴AD＝6AC21＝cm.7．连接AE，在Rt△ABC中，∠B＝90°－∠BAC＝90°－60°＝30°.∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE.∴∠EAD＝∠B＝30°.∴∠CAE＝30°.∴AE＝2CE＝3×2＝6cm.∴BE=6cm.8．能求出PD的长.过点P作PE⊥OB.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE．∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠POA＝15°．∴∠ECP＝∠BOP＋∠CPO＝15°＋15°＝30°．∴PE＝2421PC21＝＝ ．∴PD＝2．9．(1)当∠BQP＝90°时，BQ＝12BP．即t＝12(3－t)，t＝1(s)；(2)当∠BPQ＝90°时，BP＝12BQ．即3－t＝12t，t＝2(s)．故当t＝1 s或t＝2 s时，△PBQ是直角三角形.10．225a. 提示：过点B作BD⊥AC，垂足为D．则∠BAD＝30°，BD＝12AB＝15m.11．(1)如图2；(2)∵l垂直平分AB，∴∠EDB＝90°，EA＝EB．∴∠EBA＝∠A＝30°．∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°．∴∠EBC＝∠EBD＝30°．∴DE＝CE＝12BE．又∵∠F＝90°－∠ABC＝30°，∴EF＝2CE．∴EF＝2DE．12．3测试题基础巩固1．D. 2．D. 3．B ．4．C ．5．A ．6．B ． 7．480．8．等腰. 9．1．10．85°．11．∵AB ＝AC ， BD 平分∠ABC ，∴∠C ＝∠ABC ＝2∠DBC ． 在△DBC 中，∠C ＋∠DBC ＋∠BDC ＝180°， ∴2∠DBC ＋∠DBC ＋84°＝180°． ∴∠DBC ＝32°．∴∠ABD ＝32°．∴∠A ＝∠BDC －∠ABD ＝84°－32°＝52°． 12．证明：∵BA=BC ，∴∠A=∠C ．又∵DF ⊥AC ，∴∠A +∠D =90°，∠C+∠CEF =90°． ∴∠D =∠CEF ．又∵∠CEF=∠BED ，∴∠D =∠BED ，∴BD=BE ． 13.∵CD 平分∠ACB ，∠ACB=120°， ∴∠1=∠2=12022ACB ∠︒==60°． ∵AE ∥DC ，∴∠4=∠2=60°，∠E=∠1=60°， ∴∠3=∠4=∠E=60°，∴△ACE 是等边三角形．14．证明：连接FA ，∵AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠B ＝∠C ＝30°．∵EF 垂直平分AC ，∴FA ＝FC .于是∠FAC ＝∠C ＝30°，∠BAF ＝90°． 在Rt△BAF 中得，∵BF ＝2FA ．∴BF ＝2CF ．15．过点D 作DG ∥AE 交BC 于点G ．则∠DGB ＝∠ACB ． ∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ． ∴∠B ＝∠DGB ．∴DB ＝DG ． ∵BD ＝CE ，∴DG ＝CE ．∵∠FDG ＝∠FEC ，∠DFG ＝∠EFC ，∴△FDG ≌△FEC ．∴DF ＝EF ． 能力提高1．D ．2．C ．提示：两条对角线的交点P 0满足条件．以AB 为边向正方形内作等边三角形P 1AB ，则P 1也满足条件．同理可作出P 2、P 3、P 4．因此，在正方形内共可找到5个满足条件的点P (注：在正方形外还可以找到4个满足条件的点P ) ．3．40°．提示：∠APQ ＋∠AQP ＝2(∠B ＋∠C )＝2(180°－110°)＝140°．4．①②③④．提示：连接AC ，由SAS 知△PCA ≌△PCB ，于是可知PC 平分等腰三角形CAB 的顶角，所以PC ⊥AB ．5．解：过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则AG ∥BC ，∠FGA ＝∠FEB ，∠AFG ＝∠BFE ．∵FA ＝FB ．∴△FAG ≌△FBE ． ∴FG ＝FE ＝3，AG ＝BE ＝4．易知△CDE 是等腰直角三角形，从而可知△AGD 是等腰直角三角形， ∴DG ＝AG ＝4．∴DF ＝DG ＋FG ＝4＋3＝7．6．答：AB 与AF ，CF 之间的等量关系是：AB ＝AF ＋CF ． 证明：分别延长AE ，DF 相交于点M ．则△EAB ≌△EMC ． ∴AB ＝CM ，∠BAE ＝∠FMA ．∵∠BAE ＝∠FAM ，∴∠FAM ＝∠FMA ．∴AF ＝FM ．∴AB ＝CM ＝CF ＋FM ＝CF ＋AF ．第6期有效学案参考答案第9课时第十二章复习课【检测1】相等；相等；重合；两；两. 【检测2】相等；相等；60°；三；三；60°.【检测3】（1）是轴对称图形，有3条对称轴；（2）是轴对称图形，l图2D EFBAC有5条对称轴；（3）不是轴对称图形；（4）是轴对称图形，有1条对称轴；（5）是轴对称图形，有2条对称轴；（6）不是轴对称图形；（7）是轴对称图形，有1条对称轴；（8）是轴对称图形，有4条对称轴．【问题1】(1)∵∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°．∴∠ABC＝∠BAC．∴AC＝BC＝20，20÷10＝2(小时).故该船到达C处时的时间是13时30分.(2)∵∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，∴CD＝12BC＝10(海里)，10÷10＝1(小时).故14时30分到达海岛B的正南D点处.【问题2】连接OP．(1)由对称性可知MP＝MP1，NP＝NP2，∴P1P2＝△PMN的周长＝5(cm)．(2)△OP1P2是等边三角形，理由是：由对称性可知∠MOP＝∠MOP1，∠NOP＝∠NOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°．而OP1＝OP，OP2＝OP，∴OP1＝OP2，∴△OP1P2是等边三角形1．D. 2．3，－4. 3．B. 4．C. 5. 60°.6．如图1，点A关于MN的对称点A′与点A重合．过点B作BO⊥MN于点O，延长BO到B′，使OB′＝BO；同理作出点C关于MN的对称点C′．连接A′B′，B′C′，C′A′，则△A′B′C′即为所求.7．证明：连接AE，CE，∵NE垂直平分BD，∴BE＝DE．∵ME垂直平分AC，∴AE＝CE．∵AB＝CD，∴△EAB≌△ECD(SSS)．∴∠ABE＝∠CDE . 8．（1）20，45，60；（2）∠A=2∠DBC；（3）作AE⊥BC，垂足为点E.∵AB=AC，∴∠CAE=12∠BAC，∠CAE+∠C=90°.又∵BD⊥AC，∴∠DBC+∠C=90°.∴∠DBC=∠CAE=12∠BAC.9．如图2.10.（-1，3）.11．△AFC是等腰三角形．证明：∵ BD＝BE，∠BAD＝∠BCE，∠B＝∠B，∴△BAD≌△BCE．∴∠BAC＝∠BCA．∵∠BAD＝∠BCE，∴∠DAC＝∠ECA．∴FA＝FC．∴△AFC是等腰三角形．第十二章综合测试题(一)一、精挑细选，一锤定音1．Ａ. 2．B．3．C．4.Ａ. 5．D．6．D．7．D.8．D．9．B．提示：需经过6次反射．10．Ｂ.提示：AＯ既可以作底边，也可以作腰.二、慎思妙解，画龙点睛11．2.12．21∶05．13．20.14．答案不唯一，如BD＝CE或∠BAD＝∠CAE等．°．16.5. 17.5cm.18．70°或20°．提示：有锐角三角形和钝角三角形两种情况．三、过关斩将，胜利在望19．如图1.图240︒40︒60︒60︒60︒60︒40︒60︒60︒30︒30︒30︒20．如图2.21．（1）图略；（2）A′（2，2），B′（3，1），C′（-1，-2）．22．延长AD，BC相交于点E，则△CDE是等边三角形．在Rt△ABE中，∵∠A＝30°，∴AE＝2BE．设CD＝x，则4＋x＝2(1＋x)．解得x＝2．故CD的长为2．23.同意. 理由：∵点E在BO的垂直平分线上，∴BE OE.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°.∵OB平分∠ABC，∴∠OBE=∠ABO=30°.∴∠OBE=∠EOB=30°.∴∠OEF=60°.同理∠OFE=60°.∴△OEF是等边三角形．24.（1）①与③；①与④；②与③；②与④.（2）答案不唯一，如选①与③.已知：∠EBO=∠DCO，BE=CD；求证：△ABC是等腰三角形。