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第二篇 动态电路的时域分析
第五章 电容元件与电感元件 第六章 一阶电路 第七章 二阶电路
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用√ §6.2 零状态响应√ §6.3 阶跃响应和冲激响应 §6.4 零输入响应 §6.5 线性动态电路的叠加定理 §6.6 三要素法 §6.7 瞬态和稳态 §6.8 正弦激励的过渡过程和稳态
或iSC(t)，便可由上述两式解得t≥t0时的uC(t)。
而对含电感L的一阶电路，同样可以得到：
L
di L (t) dt
R
0i
L
(t)
uOC
(t
)
G
0L
di L (t) dt
i
L
(t
)
i
SC
(t
)
如果给定初始条件iL(t0)以及t≥t0时的iSC(t)或 uOC(t)，同样可解得t≥t0时的iL(t)。
而由元件的VCR可得：
uR0 (t) R0i(t),
i(t) C duC(t) dt
第二式带入第一式并整理可得：
R
0C
du C (t dt
)
uC
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(t
)
uOC
(t
)
类似地，根据图(c)， 由KCL和元件的VCR可得：
C
du C (t dt
)
G
0uC
(t
)
i SC
(t
)
如果给定初始条件uC(t0)以及t≥t0时的uOC(t)
dt
解： 特征方程
s 5 0
特征根
s 5
通解
x(t ) K e5t
代入初始条件，得 K 2
原问题的解为
x(t ) 2 e5t
一阶非齐次方程的求解
非齐次方程和初始条件
dx Ax Bf dt
x(t0 ) X0
(2 1) (2 2)
其中 x(t) 为待求变量，f(t) 为输入函数，A、B 及X0 均为常数。
确定待定常数K
求得 xh(t) 和 xp(t) 后，将初始条件代入通解式，可确
定待定常数K，从而得到原问题的解。
例：求解方程
2 dx 12x 18, x(0) 8 dt
解：特征方程 2s 12 0 特征根 s 6
xh (t ) K e6t
设 x p (t) Q 求得 Q 18 12 1.5
(6)
（6）式称为微分方程的特征方程，其根称为微分方程的 特征根或固有频率。因而可求得：
s A , x(t) K e At (7)
再确定待定常数K 将初始条件（2）式代入通解（3）式，可得：
x(t0 ) K e st0 X 0 即 K X 0 es t0
例：求解方程 dx 5x 0 , x(0) 2
根据第一节RC电路的公式并结合上图电路可得 t≥0时的电路方程为：
RC
du C (t dt
)
uC
(t
)
U
S
初始条件：uC(0)=0。解此方程即可得到uC(t)。
有关微分方程的解法，在高等数学中已经学过， 这里再简单回顾一下。
一阶微分方程的求解
一阶齐次方程的求解 齐次方程和初始条件
dx Ax 0
（2）将 N1 用戴维南定理或诺顿定理等效化简，得 简单一阶电路。
（3）求解简单一阶电路，得到 uc(t) 或 iL(t) 。
（4）回到原电路，将电容用一电压源（其值为 uc(t)） 置换，或将电感用一电流源（其值为 iL (t)）置换，再 求出电路中其余变量。
根据图(b)，由KVL可得：
uR0 (t) uC (t) uOC (t)
所谓零状态响应是指电路原始状态为零，仅仅由激 励源在电路中产生的响应，
而仅仅是由电容的初始状态uC(t0)所引起的响应 uC’’(t)称为零输入响应。
两种响应之和就是总响应或称之为全响应， 它是由输入和非零初始状态共同作用的响应。
本节先讨论由恒定电源输入产生的一阶电路的 零状态响应。
仍以上述RC串联电路为例，设t0=0，t≥0时输 入阶跃波，其值为US，它相当于在t=0时通过开关 使RC电路与直流电压源US接通，如图所示。
无论是电阻电路还是动态电路，电路中各支路 电流和电压仍然满足KCL和KVL，与电阻电路的差 别仅仅是动态元件的电流与电压约束关系是微分与 积分关系(见第五章)。
因此，根据KCL、KVL和元件的VCR所建立的动 态电路方程是以电流、电压为变量的微分方程或微 分—积分方程。
如果电路中的无源元件都是线性时不变的，那 么，动态电路方程是线性常系数微分方程。
通解 x(t) K e6t 1.5
一阶电路的定义：
如果电路中只有一个动态元件，相应的电路称 为一阶电路，而所得到的方程则是一阶微分方程。 一般而言，如果电路中含有n个独立的动态元件， 那么，描述该电路的就是n阶微分方程， 相应的电 路也称为n阶电路。
分解方法在这里的运用：
（1）将一阶电路分为电阻网络 N1 和动态元件N2两 部分。
解的结构: （2－1）式的通解由两部分组成
x(t) xh (t) xp (t)
(2 3)
其中 xh(t) 为（2－1）式所对应齐次方程的通解， xp(t) 为（2－1）式的一个特解。
先求 xh(t)
前已求得
xh (t) K es t
再求 xp(t) 特解 xp(t) 的 形式与输入函数 f(t) 的形式有关：
(1)
dt
x(t0 ) X 0
(2)
这里，x(t) 为待求变量，A 及X0 均为常数。
先求通解（满足（1）式且含有一个待定常数的解。）
假设 x(t ) K es t
(3)
则有 d x(t) K s est
(4)
dt
将（3）和（4）代入（1）式，可得
K est (s A) 0
(5)
s A0
因此，从分解方法观点看，处理一阶电路最关 键的步骤是先求得uC(t)或iL(t)。
第六章 一阶电路
§6.1 分解方法在动态电路分析中的运用 §6.2 零状态响应 §6.3 阶跃响应和冲激响应 §6.4 零输入响应 §6.5 线性动态电路的叠加定理 §6.6 三要素法 §6.7 瞬态和稳态 §6.8 正弦激励的过渡过程和稳态
再看如图所示电路。
如果电容具有初始电压uC(t0)，则在t≥t0时，这 种电路相当于有两个独立电压源。因此，根据叠 加原理，该电路中任一电压、电流(当然也包括电 容的电压)是两个电源单独作用时结果的叠加，其 分解电路如下图所示。
图中，由独立源在t≥t0时产生的响应为uC’(t)，此 时，电容的初始电压为零，该响应仅仅是由电路的输入 引起，一般称为零状态响应。