高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限课程

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高等数学同济大学第六版1-04-极限的运算-文档资料

常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则 lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
求极限方法举例
例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解
lim( x2 3x 5) lim x2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3lim x lim 5 22 3 2 5 3 0,
（2）零是可以作为无穷小的唯一的数。
2.无穷小与函数极限的关系: 定理 : lim f ( x) A f (x) A (x),
其中( x)是自变量变化时的无穷小.
意义：将一般极限问题转化为特殊极限 — 无穷小 —的问题。
3.无穷小的运算性质:
定理. 在同一自变量的变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.
n n
n
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
又如,
函数 x2 1当 x2 1
x 时的极限为 1 ，
而当x 1 时的极限为 0 ，
函数 x2 1本身不是无穷小量， x2 1
而当x
1
时函数
x2 x2
1 才是无穷小量。 1
注意（1）无穷小是变量,不是有穷小量，不能与很小的数混淆;
x 1
x2
2x
3
lim
x 1
(x
3)( x
1)
x 1
x1 1
lim
x1 x1 x 3 2
消去零因子
例4
求
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2

高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限

函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数

高等数学同济第六版教材pdf

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并且，该教材还融入了一些生活中的实际问题，帮助学生将数学理论应用于实际情境中。

第二部分：教材内容概览《高等数学》第六版教材共包含十章内容，分别是函数与极限、微分学、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与柯西公式、定积分应用、微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学与多元函数积分学。

每章内容都有详细的讲解和大量的习题，帮助学生巩固知识并提高解题能力。

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高等数学同济教材第六版

高等数学同济教材第六版高等数学是大学数学重要的一门课程，对于理工科学生来说是必修内容。

同济大学出版社出版的高等数学同济教材第六版是一本经典教材，被广大学生和教师广泛使用。

本文将对该教材进行全面分析和评价。

一、教材概述高等数学同济教材第六版于20xx年出版，是在前五版的基础上进行了更新和修订的版本。

该教材内容全面、系统，逻辑清晰，覆盖了大部分高等数学的主要内容，包括数列与极限、连续函数与导数、定积分与反常积分等。

该教材的编写团队由同济大学数学系的教授和专家组成，他们在教学和研究领域积累了丰富的经验。

因此，该教材不仅准确地反映了高等数学的理论与实践，而且融入了许多实例和习题，以帮助学生巩固所学知识。

二、教材特点1. 知识点详细全面：高等数学同济教材第六版在每个章节中详细介绍了各个知识点，并结合实例进行讲解。

每个知识点都给出了定义、必要条件和相关定理，能够满足学生对于理论知识的要求。

2. 题目丰富多样：该教材提供了大量的习题和例题，在不同难度层次上进行了分级，从基础到提高，充分满足了学生的不同需求。

习题形式多样，有选择题、填空题、计算题等，可以培养学生的各种解题能力。

3. 理论与实践结合：高等数学同济教材第六版注重将理论与实践相结合，通过例题和习题的设计，引导学生将所学的知识应用到实际问题中。

这有助于学生更好地理解和掌握知识，并提升解决实际问题的能力。

三、教材优势1. 难度适中：高等数学同济教材第六版的难度设置适中，能够满足大多数理工科学生的学习需求。

教材章节之间难度递进，有利于学生渐进地学习和掌握知识。

2. 理论严谨性：教材中的理论推导和证明过程准确严谨，能够帮助学生建立起扎实的数学基础和严密的逻辑思维能力。

3. 重点突出：高等数学同济教材第六版对于重点知识点进行了重点突出，以加深学生对于重要概念和定理的理解。

同时，在对应关键知识点下辅以大量的习题，以帮助学生加深对该知识点的掌握。

四、教材不足1. 缺乏应用示例：尽管教材在理论与实践结合方面有很大的优势，但有时缺乏具体的实际应用示例，这对于一些学生来说可能不够直观。

同济高等数学第六版上册第一章ppt精编版

k
k
lim x 2 k 1 1;
lim x 2 k 1
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内容小结
1. 数列极限的 “ – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限
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第三节函数的极限
对 y f ( x) , 自变量变化过程的六种形式: ( 4) x ( 1 ) x x0
定义
如果对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 N ,使得对于 n N 时的一切 x n , 不等式 x n a 都成立,那末就称常数 a 是数列
x n 的极限,或者称数列 x n 收敛于a ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n

n (1) n 1 n
故
n (1) n lim xn lim 1 n n n
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例2. 设 q 1 , 证明等比数列 1 , q , q 2 , , q n 1 , 的极限为0 . 证:
n 1
n 1
n 1
xn 0 q
,;
n ( 1) { n
n 1
}
3 , 3 3 , , 3 3 3 ,
1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一注意：动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n f ( n).
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第一章
( 2) x x 0 (3) x x0 本节内容 :

【同济第六版高数】第01章函数与极限教案与习题讲解(2)

第一章函数与极限§1. 2 数列的极限一个实际问题:如可用渐近的方程法求圆的面积？设有一圆, 首先作内接正四边形, 它的面积记为A 1；再作内接正八边形, 它的面积记为A 2；再作内接正十六边形, 它的面积记为A 3；如此下去, 每次边数加倍, 一般把内接正8×2n -1边形的面积记为A n . 这样就得到一系列内接正多边形的面积:A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅设想n 无限增大（记为n →∞, 读作n 趋于穷大）, 即内接正多边形的边数无限增加, 在这个过程中, 内接正多边形无限接近于圆, 同时A n 也无限接近于某一确定的数值, 这个确定的数值就理解为圆的面积. 这个确定的数值在数学上称为上面有次序的数（数列） A 1, A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅ , A n , ⋅ ⋅ ⋅当n →∞时的极限.数列的概念:如果按照某一法则, 使得对任何一个正整数n 有一个确定的数x n , 则得到一列有次序的数x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅这一列有次序的数就叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子:{1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1+n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅;{n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {(-1)n +1}: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , (-1)n +1, ⋅ ⋅ ⋅ ;{n n n 1)1(--+}: 2, 21, 34, ⋅ ⋅ ⋅ , n n n 1)1(--+, ⋅ ⋅ ⋅ . 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 21, (-1)n +1, n n n 1)1(--+. 数列的几何意义:数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅.数列与函数:数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数:x n =f (n ),它的定义域是全体正整数.数列的极限:数列的极限的通俗定义：对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值a , 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛a . 记为a x n n =∞→lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.例如11lim =+∞→n n n ,021lim =∞→n n , 1)1(lim 1=-+-∞→nn n n ; 而{2n}, { (-1)n +1}, 是发散的.对无限接近的刻划:x n 无限接近于a 等价于|x n -a |无限接近于0,极限的精确定义:定义如果数列{x n }与常a 有下列关系:对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切x n , 不等式|x n -a |<ε都成立, 则称常数a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或x n →a (n →∞). 如果数列没有极限, 就说数列是发散的.数列极限的几何解释: 例题:例1. 证明1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 分析: |x n -1|=nn n n 1|1)1(|1=--+-. 对于∀ε >0, 要使|x n -1|<ε , 只要ε<n 1, 即ε1>n . 证明: 因为∀ε >0, ∃]1[ε=N ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -1|=ε<=--+-n n n n 1|1)1(|1, 所以1)1(lim 1=-+-∞→nn n n . 例2. 证明0)1()1(lim2=+-∞→n n n . 分析: |x n -0||0)1()1(|2-+-=n n 11)1(12+<+=n n . 对于∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<+11n , 即11->εn . 证明: 因为∀ε >0, ∃]11[-=εN ∈N +, 当n >N 时, 有 |x n -0|=ε<+<+=-+-11)1(1|0)1()1(|22n n n n , 所以0)1()1(lim 2=+-∞→n n n . 例3. 设|q |<1, 证明等比数列1, q , q 2, ⋅ ⋅ ⋅ , q n -1, ⋅ ⋅ ⋅的极限是0.分析: 对于任意给定的ε >0, 要使|x n -0|=| q n -1-0|=|q | n -1<ε ,只要n >log |q |ε +1就可以了, 故可取N =[log |q |ε +1]。

数列极限的定义1资料.

lim
n
xn
a
或 xn a (n )
此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . a xn a
(n N)
几何解释 :
(
a xN 1
)
xN2 a
即xn U ( a , )
(n N)
例如， 1 , 2 , 3 , , n , 2 3 4 n1
xn
n n 1
1
(n )
收
敛
xn
举例
刘徽《九章算书注》中言：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可分割，则与圆合体而无所失矣。”
割圆术，即是不断倍增内接正多边形的边数，求出圆面积的方法。
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列的极限为 a , 记作
割圆术，即是不断倍增内接正多边形的边数，求出圆面积的方法。
导入
刘徽的割圆术
刘徽《九章算书注》中言：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可分割，则与圆合体而无所失矣。”
割圆术，即是不断倍增内接正多边形的边数，求出圆面积的方法。
导入
刘徽的割圆术
刘徽《九章算书注》中言：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可分割，则与圆合体而无所失矣。”
n (1)n1 n
1
(n )
2 , 4 , 8 , , 2n , xn 2n (n ) 发
散
xn (1)n1 趋势不定
例1. 已知Байду номын сангаас
证明数列
的极限为1.
证:
xn 1

《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)

跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、连续与间断
一、函数
三、极限
习题课
函数与极限
第一章
一、函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设

高数课本_同济六版

第一章函数与极限（考研必考章节,其中求极限是本章最重要的内容，要掌握求极限的集中方法）第一节映射与函数（一般章节)一、集合（不用看）二、映射（不用看）三、函数（了解)注:P1——5 集合部分只需简单了解P5—-7不用看P7-—17 重点看一下函数的四大性态:单调、奇偶、周期、有界P17-—20 不用看P21 习题1.11、2、3大题均不用做4大题只需做（3）（5）（7）(8)5--9 均做10大题只需做（4）（5）（6）11大题只需做（3)（4）（5)12大题只需做（2）（4）(6)13做14不用做15、16重点做17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求,可不看）一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解)P26--28 例1、2、3均不用证p28——29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解P30 定理4不用看P30——31 习题1-21大题只需做(4）（6）(8)2—-6均不用做第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题）一、（了解）二、（了解）P33—-34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可P35 例6 要会做例7 不用做P36—-37 定理2、3证明不用看定理3’4" 完全不用看p37习题1—-31-—4 均做5-—12 均不用做第四节 (重要）一、无穷小(重要）二、无穷大（了解）p40 例2不用做 p41 定理2不用证p42习题1-—41做 2—-5 不全做 6 做 7--8 不用做第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在）p43 定理1、2的证明要理解p44推论1、2、3的证明不用看p48 定理6的证明不用看p49 习题1—-51题只需做(3)（6)(7）（8）（10)(11)(13)(14)2、3要做4、5重点做6不做第六节极限存在准则(重要）两个重要极限（重要两个重要极限要会证明p50 准则1的证明要理解p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限)p53另一个重要极限的证明可以不用看p55-—56柯西极限存在准则不用看p56习题1--71大题只做（1）（4)(6）2全做3不用做4全做，其中（2)（3）(5）重点做第七节（重要）p58—-59 定理1、2的证明要理解p59 习题1——7 全做第八节（基本必考小题)p60--64 要重点看第八节基本必出考题p64 习题1-—81、2、3、4、5要做其中4、5要重点做6--8不用做第九节（了解）p66——67 定理3、4的证明均不用看p69 习题1--91、2要做3大题只做（3)--(6）4大题只做(4）—-（6）5、6均要重点做第十节（重要,不单独考大题，但考大题会用到）一、（重要) 二、（重要）p72三、一致连续性（不用看）p74习题1——101、2、3、5要做，要会用5的结论。

高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件

具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例如计算物体的质量、重心、转动惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例如计算曲线的长度、面积、体积等。
积分在经济中有广泛的应用，例如计算总成本、总收益、总利润等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广，表示一个三元函数在某个区域上的累积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点

高等数学同济大学第六版1-02-数列的极限课件共52页文档

只有(至有多限 N 个只 )个落有在 . 其外
数列收敛的表述——用逻辑符号:
lim
n
xn
a
0,N 0,n N , xn a .
one of all, for every,
exist.
[ ' e p s i l n ]G r e e k a l p h a b e t : E
{(1)n1}
14 n(1)n1
n (1)n1
2, , ,,
,; {
}
23
n
n
2, 22,L, 22L2,L
注意：数列对应着数轴上一个点列.可看作一动
点在数轴上依次取 x1,x2,,xn,.
x3 x1 x2 x4 xn
问当 n无限增大时, x n 是否无限接近于某一题确定的数值?如果是,如何确定?
例1 证l明 im n(1)n11. n n
证
xn
1
n(1)n1 n
11， n
任给0,要xn1,只要n1,或n1,
所以, 取N1,则当nN时,就有n(1)n11
n
n(1)n1 n
1n 1N 1 11
,即limn(1)n1
n
n
1.
用定义证数列极限存在时,关键是对任意给定
的 0, 寻找N.
例2 证li明 q m n0 ,其q 中 1 . n
(1 )(2 )
6n
n
过剩近
似(橘色
n i1
1 n
i n
2
12
22 L n3
n2
加蓝色 n ( n 1 ) ( 2 n 1 ) 1 1
1
部分)
6n3
(1 )(2 )

同济大学高等数学第六版上第一章第五节-极限运算法则PPT课件

x l x 0 i f ( m x ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 )),且 Q (x0)0, 则有
f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 .
由无穷小运算法则,得
-
15
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B )0.(1)成立.
[f( x ) g ( x ) ] ( A B ) (A )B ( ) AB
(A B ) 0.
(2)成立.
limf([x)n ][lim f(x)n ].
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限等于极限的和、差、积、商
⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对任何一个过程都成立
-
18
五、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末称函数f (x) 当x x0(或x )时为无穷小,
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
-
2
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷小 x
lim(1)n 0, n n
数{列 (1)n}是n 当时的无 . n

高等数学(同济第六版)课件第一章 2.数列的极限

得: n g ( ) 取 N [ g ( )]
n 1 （ lim 用定义证明： 1） n 2 n 1 2 1 n （2） lim 2 sin 0 n n 3
lim xn a
n
0,
自然数N
lim 一般地：若数列{yn}有界， xn 0 n
小
结（二）
3.数列极限的性质：（1）唯一性（2）有界性（3）不等式性质（4）有界数列与无穷小量的乘积还是无穷小量
4.常用的结论：
（ lim C C 1）
n
（其中C为常数）
1 （2） lim p 0, （其中p为大于零的常数） n n
（3） q n 0, 其中 q 1. lim
重要极限Ⅱ
(e 2.71828)
例4 求下列极限
1 n (1) lim(1 ) n n 2 1 ( n 2 ) 2 lim(1 ) n n 2
1 n 2 (1 ) n 2 lim n 1 2 (1 ) n 2
1 n 2 lim(1 ) e n n 2 e 1 2 1 lim(1 ) n n 2
1 n ( 2) lim(1 ) n n n1 n n n 1 lim( ) lim( ) n n n 1 n n n lim ( ) n n 1 1 1 1 n 1 n 1 1 lim(1 ) lim(1 ) lim(1 ) n n n n1 n1 n1 1 e
n sin n! (4) lim 2 n n 1
n 1 3 n 4 ( 3) lim( ) n n
6n n (5) lim n （ n cos ） n 7 5 2

高等数学第六版上下册同济大学出版社

y ex ex
y ch x
O
x
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又如, y f (x) ex ex
y 奇函数 ex ex
2
y sh x
记
sh x 双曲正弦
Ox
再如,
y
sh x ch x
e e
x x
e e
x x
奇函数
y
记
th x 双曲正切
说明: 给定 f (x), x (l, l)
1 y th x
周期为
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
例如, 常量函数 f (x) C
狄利克雷函数
1, x 为有理数 0 , x 为无理数
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3. 反函数与复合函数
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为单射, 则存在一新映射
使
其中
称此映射 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
y f 1(x) , x f (D)
性质:
1) y＝f (x) 单调递增 (减) , 其反函数
且也单调递增 (减) .
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2) 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u cot v , v k π (k 0, 1, 2,) v x , x (, )
2
可定义复合函数:
k Z
约定: 为简单计, 书写复合函数时不一定写出其定义域, 默认对应的函数链顺次满足构成复合函数的条件.

《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出版社

《高等数学》第六版同济大学应用数学系主编高等教育出书社第一周学习任务第一章第1 节习题1－14(3)(6) (8),5(3),9(2),15(4),17函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的成立第2 节习题1－21(2) (5) (8)数列极限的定义数列极限的性质(独一性、有界性、保号性)第3 节习题1－32,4函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的根本性质〔独一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等〕第4 节习题1－44,6无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大之间的关系第5 节习题1－51(5)(11)(13),3,5 极限的运算法那么(6 个定理以及一些推论)第6 节习题1－61(2)(6),2(1)(4),4(1)(3)函数极限存在的两个准那么〔夹逼定理、单调有界数列必有极限〕两个重要极限〔注意极限成立的条件，熟悉等价表达式〕操纵函数极限求数列极限第7 节习题1－71,2,3(1),4(3)(4)无穷小阶的概念〔同阶无穷小、等价无穷小、高阶无穷小、低阶无穷小、k 阶无穷小〕及其应用一些重要的等价无穷小以及它们的性质和确定方法第8 节习题1－83(4),4,5函数的持续性，函数的间断点的定义与分类〔第一类间断点与第二类间断点〕判断函数的持续性和间断点的类型第9 节习题1－93(4)(6)(7),4(4) (6),6持续函数的、和、差、积、商的持续性反函数与复合函数的持续性初等函数的持续性第10 节习题1－101,3有界性与最大值最小值定理零点定理与介值定理(零点定理对于证明根的存在长短常重要的一种方法)总复习题一总复习题一3(2),9(2)(4)(6),10,13总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第二周学习任务在进行第二周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第一周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第二章第1 节习题2－12,6,7,8,13,16(2),17导数的定义、几何意义、物理意义单侧与双侧可导的关系可导与持续之间的关系函数的可导性，导函数，奇偶函数与周期函数的导数的性质按照定义求导及其适用的情形，操纵导数定义求极限会求平面曲线的切线方程和法线方程第2 节习题2－22(9),3(2),4,7(8),8(5),11(6)(9)导数的四那么运算公式〔和、差、积、商〕反函数的求导公式复合函数的求导法那么根本初等函数的导数公式分段函数的求导第3 节习题2－31(3), 3(2),4(1),8,10(2),高阶导数n 阶导数的求法〔归纳法，莱布尼兹公式〕第4 节习题2－41(1),2,3(4),4(1),5(2),10隐函数的求导方法，对数求导法由参数方程确定的函数的求导方法第5 节习题2－52,6函数微分的定义，几何意义根本初等函数的微分公式微分运算法那么，微分形式不变性一元函数微分在函数近似计算中的应用总复习题二总复习题二1,3,6(1),7,11,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第三周学习任务在进行第三周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第二周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第三章第1 节习题3－16,8,11(1),12,15费马定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理及其几何意义构造辅助函数第2 节习题3－21(10)(13)(15),4 洛必达法那么及其应用第3 节习题3－35,7,10(2) (3)泰勒中值定理麦克劳林展开式第4 节习题3－43(6) ,5(4),6,9(5) ,10(3),12函数的单调区间，极值点函数的凹凸区间，拐点第5 节习题3—51(8),4(3),10,11函数极值的存在性：一个必要条件，两个充实条件最大值最小值问题函数类的最值问题和应用类的最值问题第6 节习题3－61,4操纵导数作函数图形〔一般出选择题〕：函数f (x)的间断点、f '(x)和f ''(x)的零点和不存在的点，渐近线由各个区间内f '(x)和f ''(x)的符号确定图形的升降性、凹凸性，极值点、拐点第四周学习任务在进行第四周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第三周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第三章第7 节习题3－75弧微分曲率的定义，曲率的计算公式,曲率圆、曲率半径总复习题三总复习题三1,2(2),6,7,9,10(4),11(3),12,17总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第四章第1 节习题4－11(1),2(1)(6)(8)(13)(17)(19)(21)(25),5原函数和不定积分的概念与根本性质〔之间的关系，求不定积分与求微分或求导数的关系〕根本的积分公式原函数的存在性、几何意义和力学意义第2 节习题4－22(1)(3)(6)(9)(13)(15)(16)(17)(19)(21)(30)(32)(34)(36) (37)第一类换元积分法〔凑微分法〕第二类换元积分法第3 节习题4－32,5,6,9,14,17,18,19,22,24 分部积分法第4 节习题4－42,4,8,20,23 有理函数积分法，可化为有理函数的积分总复习题四总复习题四1,2,5,9,10,12,14,16,21,23,33,35,38 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第五周学习任务在进行第五周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第四周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第五章第1 节习题5—12(1),3(2)(3),11,12(2),13(5)定积分的定义与性质(7 个性质)函数可积的两个充实条件第2 节习题5—25(2),6(5)(8)(11)(12),9(2),10,12,13积分上限函数及其导数牛顿－莱布尼兹公式第3 节习题5—31(2)(4)(6)(10)(12)(19)(21)(24)(26) ,5,6,7(11)定积分的换元法定积分的分部积分法第4 节习题5—41(4)(8)(10),2无穷限的反常积分无界函数的反常积分总复习题五总复习题五1(1) (2) (4) ,3(2),4(2),10(7) (9)(10),11,12,13,14总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六章第1 节————元素法第2 节习题6—21(1)(4),2(1),4,5(1),9,12,15(1)(3) ,16,19,21求平面图形的面积〔直角坐标情形、极坐标情形〕旋转体的体积及侧面积平行截面面积为的立体的体积、平面曲线的弧长第3 节习题6—35,11 用定积分求功、水压力、引力总复习题六总复习题六2,3,5 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第六周学习任务在进行第六周学习任务前，先拿出两天的时间对前五周学习的内容进行简单的复习.首先用一天的时间总结归纳第五周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库；其次用一天对前五周的常识点、难题及错题进行复习章学习内容习题章节操练标题问题备注第七章第1 节习题7—11(1)(4) ,2(2)(4),4(2),5(2)微分方程的根本概念：微分方程，微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解第2 节习题7—21(1)(3)(4)(7),2(3),4,6可别离变量的微分方程的概念及其解法第3 节习题7—31(1)(4),2(1),3一阶齐次微分方程的形式及其解法可化为齐次的方程第4 节习题7—41(2)(3)(7)(10),2(1)(4),3,4,7(3),8(5)一阶线性微分方程的形式和解法伯努利方程的形式和解法第5 节习题7—51(1)(4)(7),2(2),3用降阶法解以下微分方程：y(n) = f ( x)，y'' = f ( x,y')和y'' = f ( y, y')第6 节习题7—61(1)(3)(6),4(2),n 阶线性微分方程的形式线性微分方程的解的布局：齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的解的性质第7 节习题7—71(1)(4)(5),2(2)(3),特征方程特征方程的根与微分方程通解中的对应项微分方程的通解第8 节习题7—81(1)(3)(7)(9),2(2),6二阶常系数非齐次线性微分方程，此中自由项为：多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积第9 节习题7—96 欧拉方程的形式和通解总复习题七总复习题七1(1)(2)(3)(4), 2,3(1)(2)(7),4(4) ,7总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第七周学习任务在进行第七周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第六周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库第八章第1 节习题8—113,15向量概念和线性运算，空间直角坐标系操纵坐标作向量的线性运算向量的模、标的目的角、投影第2 节习题8—23,7,9(1)(2)(3),10向量积、数量积、混合积的概念、性质、运算律、物理意义两向量平行、垂直的充要条件第3 节习题8—32,7,10(1)(4),11(3)曲面方程的概念旋转曲面的概念，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程柱面的概念及二次曲面的概念与常用二次曲面〔锥面、椭球面、双曲面、抛物面〕的方程及其图形第4 节习题8—4 3,5(1),8 空间曲线的一般方程、参数方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程第5 节习题8—5 1,3,5,9平面的点法度方程、一般方程两平面的夹角，两平面垂直、平行或重合的充要条件第6 节习题8—6 1 ,3,4,5,8,14空间直线的一般方程、对称式方程、参数方程两直线的夹角，两直线垂直、平行或重合的充要条件直线与平面的夹角，直线与平面垂直、平行的充要条件平面束总复习题八总复习题八1(1)(2)(3)(4),7,10,12,13,14(1)(2),15,17,20 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第九章第1 节习题9—1 2,5(1)(2),6(1)(4),7(1),8 二元函数的极限、持续性、有界性与最大值最小值定理、介值定理第2 节习题9—2 1(4)(5)(6),4,6(2),8,9(2) 偏导数的概念，高阶偏导数的求解第3 节习题9—3 1(1) (4),2,3,5 全微分的定义，可微分的必要条件和充实条件第4 节习题9—4 2,4,6,8(1),10,12(1)多元复合函数求导法那么〔共3 个定理〕全导数全微分形式不变性第5 节习题9—5 1,4,6,8,10(1)一个方程的情形〔定理1，定理2〕方程组的情形〔定理3〕第八周学习任务在进行第八周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第七周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第九章第6 节习题9—6 3,6,8空间曲线的切线与法平面，曲线在一点处的切向量曲面的切平面与法线，曲面在一点处的法向量第7 节习题9—7 2,5,8标的目的导数的概念，标的目的余弦标的目的导数与可微的关系梯度的概念与计算公式第8 节习题9—8 1,2,6,9,11多元函数极值、极值点的概念多元函数极值的必要条件、充实条件条件极值，拉格朗日乘数法第9 节习题9—9 二元函数的二阶泰勒公式总复习题九总复习题九1,2,5,6(2) ,8,9,11,15,18 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十章第1 节习题10—1 2,4(1)(2)(3),5(1)(4)二重积分的定义、几何意义二重积分的性质〔6 个〕二重积分的中值定理第2 节习题10—21(1)(4),2(1)(3),4(1)(3),6(1)(2)(6),11(1)(3),12(1)(3),13(1 )(3),14(1) (3)操纵直角坐标计算二重积分操纵极坐标计算二重积分第九周学习任务在进行第九周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第八周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库天数学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十章第3 节习题10-31(2),4,5,6,7,9(1)(2), 10(1)(2),11(1)(2)(3)(4),12(1)(3)三重积分的定义和性质、操纵直角坐标计算三重积分、操纵柱面坐标计算三重积分、操纵球面坐标计算三重积分第4 节习题10—4 1,2,3,4(1),5,7,(1)(3) ,14 曲面的面积、质心、动弹惯量、引力总复习题十总复习题十1(1),2(1)(3),3(1),6,8(1),10,11,12 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十一章第1 节习题11—1 1,3(1)(3)(5)(7) 对弧长的曲线积分的概念、性质、计算方法第2 节习题11—2 1,3(1)(3)(5)(7),4(1) (3),7(1)(2)对坐标的曲线积分的概念、性质、计算方法两类曲线积分之间的联系第3 节习题11—31(1)(2),2(1),3,4(1)(2),5(1)(3), 6(1)(3)格林公式操纵格林公式计算曲线积分平面上曲线积分与路径无关的条件二元函数的全微分求积第4 节习题11—4 4(1)(2),5(1) (2),6 (1) (3) 对面积的曲面积分的概念、性质、计算方法第5 节习题11—5 3(1)(3) (4),4(1)对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法两类曲面积分之间的联系第十周学习任务在进行第十周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第九周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十一章第6 节习题11—61(1)(3),2(1),3(1)高斯公式操纵高斯公式计算曲面积分散度的概念与计算第7 节习题11—72(1)(2),3(1)斯托克斯公式操纵斯托克斯公式计算曲线积分旋度的概念与计算总复习题十一总复习题十一1,2,3(1)(3),3(6),4(1)(3),5,7 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法第十二章第1 节习题12—12(3)(4),3(1)(2)4(1)(2)(5)常数项级数的概念收敛级数的根本性质等比级数〔几何级数〕敛散性的判别级数收敛的必要条件第2 节习题12—21(1)(4)(5),2(1)(4),3(1)(3),4(1) (3)(5),5(2)(3)(5正项级数及其审敛法〔正项级数收敛的充要条件，比拟审敛法及其推论、比较审敛法的极限形式，比值审敛法、根值审敛法，极限审敛法〕p 级数敛散性的判别交错级数及其审敛法〔莱布尼茨定理〕绝对收敛与条件收敛第3 节习题12—31(1)(2)(3) (6),2(1) (2)函数项级数的概念幂级数及其收敛性〔阿贝尔定理及其推论，幂级数的收敛半径〕幂级数的运算〔幂级数的和函数的性质〕第4 节习题12—42(1)(2)(4) ,4,5,6泰勒级数、麦克劳林级数把函数展开成幂级数的步调e x、sin x 、cos x、ln(1+ x)、(1 x)α + 的麦克劳林展开式用间接法把函数展开成幂级数第十一周学习任务在进行第十一周学习任务前，先用一天的时间总结归纳第十周中复习的常识点，整理并创立本章中的难题、错题题库章学习内容习题章节操练标题问题大纲常识点第十二章第7 节习题12—71(1)(2),2(1)(3),6三角级数三角函数系的正交性函数展开成傅里叶级数〔收敛定理，狄利克雷充实条件〕正弦级数和余弦级数第8 节习题12—81(1),2(1) 周期为2l的周期函数的傅里叶级数总复习题十二总复习题十二1,2(1)(5),4,5(1),5(2),6(1),7(1)(4),8(1)(3),9(1),10(1),11 总结归纳本章的根本概念、根本定理、根本公式、根本方法备注以上第十二章的内容用两天的时间完成，用两天的时间将高等数学的上册做系统的复习，用两天的时间将高等数学的下册做系统的复习。