浮点数1

浮点数在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。 浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。 一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × be。在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。 这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。 例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示43210，4.321或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。当然，实际使用的位数通常远大于4。 此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和−∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。 大部份计算机采用二进制（b=2）的表示方法。位(bit)是衡量浮点数所需存储空间的单位，通常为32位或64位，分别被叫作单精度和双精度。有一些计算机提供更大的浮点数，例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理器（以及其被集成进x86处理器中的后代产品）提供80位长的浮点数，用于存储浮点运算的中间结果。还有一些系统提供128位的浮点数

浮点数的表示

在实际应用中，往往会使用实数，例如下面的一些十进制实数：

179.2356=0.1792356x10^3

0.000000001=0.1x10^8

3155760000=0.215576x10^6

很明显，上述第一个数既有整数也有小数，不能用定点数格式化直接表示，后两个数则可能超出了定点数的表示范围，所以计算机引入了类似与科学表示法来标示实数。

(1)典型的浮点数格式

在机器中，典型的浮点数格式如图所示

浮点数代码由两部分组成：阶码E和尾数M。浮点数真值为：

N=+/-(R^E)xM

R是阶码的底。在机器中一般规定R为2，4，8或16，与尾数的基数相同。例如尾数为二进制，则R也为2。同一种机器的R值是固定不变的，所以不需要在浮点数代码中表示出来，他是隐含约定的。因此，机器中的浮点数只需表示出阶码和尾数部分。

E是阶码，即指数值，为带符号整数，常用移码或补码表示。

M是尾数，通常是纯小数，常用原码或补码表示。

S是尾数的符号位，安排在最高位。它也是整个浮点数的符号位，表示该浮点数的正负。

浮点数表示范围主要由阶码决定，精度则主要由尾数决定。为了充分利用尾数的有效位数，同时也使一个浮点数具有确定的表示形式，通常采用浮点数规格化形式，即将位数的绝对值限定在某个范围之内。如果阶码的底位2，则规格化浮点数的尾数应满足条件：1/2=<|M|<1.尾数作为定点数小数，其绝对值应小于1；由于利用了最高位，其绝对值应大于或等于(0.1)2,即1/2。从形式上看：对于正数，规格化尾数最高数位m1=1，这意味着尾数的有效位数被充分利用了。对于负数补码，一般情况下尾数最高位数m1=0，但有一种特殊情况除外，即M=-1/2(此时m1=1)。(这时它讨论的前提是位数是用补码表示)

例：某浮点数长12位，其中阶码4位用补码表示；尾符1位，尾数7位用补码表示。写出二进制(-101.011)2的规格化浮点数代码。

(-101.011)2=(-0.101011)2x2^3

其浮点数代码为| 1| 0 | 011|0101010 |

尾符阶码尾数

这个题你要小心的是尾数是7位，你把-0.101011换成补码时要先补满7位。

(2)移码(增码)

浮点数的阶码是带符号定点整数，常用移码表示。

若浮点数阶码为n+1(包括阶符)，则移码定义如下：

[x]移=2^n+x -2^n=

上式中x表示真值，[x]移表示x的移码，

移码的一些性质a移码其实就是把真值映射到0~255正数域，若将移码视作无符号数，则移码的大小就反映了真值的大小，这讲便于两个浮点数的阶码比较。

b最高位为符号位，表示形式与原码和补码相反，1表示正，0表示负。

c移码与补码的关系：[x]补=2^(n+1)+x(mod 2^(n+1))=2^n+2^n+x=2^n+[x]移。从形式上看，[x] 移与[x]补符号位相反外，其余各位相同。

d移码表示中，0有唯一的编码，即[+0]移=[-0]移=100……0。

e[x]移位全0时，表示阶码最小

(3)浮点数表示范围

浮点数的表示范围和阶码的底有关，也与阶码和尾数的位数以及采用的机器数表示形式有关。

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典型值阶码尾数真值

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最大整数11……1 0.11……1 2^(2^k-1)x(1-2^(-n))

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绝对值最大负数11……1 1.00……0 2^(2^k-1)x(-1)

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非0最小正数00……0 0.10……0 2^(-2^k)x2^(-1)

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绝对值最小负数00……0 1.0……0 2^(-2^k)x(-2^(-1))

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(4)使用浮点数格式举例

按IEEE标准，常用的浮点数的格式为：

数符阶码尾数总位数

短实数 1 8 23 32