一元二次方程应用题(动点问题)2016.9.8
(完整版)一元二次方程动点问题讲解
1)设⊿ ABC位于直线L左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函 数关系式; 2)当x为何值时,直线L平分⊿ ABC的面积?
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
∴当L位于CD的右侧时,与
BC交于点Q
L
AP=X,PB=3-X
C
Q
CD=2,PQ=?
p
由小学学习的比例计算PQ 即：CD:DB=PQ:BQ
∴450=½×(2X-50)×3X
Q
X²-25X-30=0
C
解得：X₁=-5(舍去）;X₂=30
解得：综合以上情况在10S,15S,30S时，△OPQ的面积为450
例2 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始 以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以 2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2？
C
通过观察，有两种情况：（1）蚂蚁未爬完OA这段距离
（2）蚂蚁爬完OA这段距离后，再由O点向B爬行
例1 如图OA=OB=50cm,OC是一条射线，OC⊥AB,一
只蚂蚁由点A以2cm/s的速度向B处爬行，同时另一只蚂
蚁由O点以3cm/s的速度沿oc方向爬行，则是否存在这样
的时刻，使两只蚂蚁所在位置与O点组成的三角形的面积
·ALeabharlann RP∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
B
∴当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
初三数学一元二次方程应用题及答案(K12教育文档)
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第1章（九上）一元二次方程解决问题一、选择1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36％， 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 ( )A 、10％ B 、20％ C 、120％ D 、180%2、某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程应为 ( )A 、200（1+x ）2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D 、200[1+(1+x ）+（1+x)2]=10003、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%(即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的21．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ）A 、20% B 、30％ C 、50% D 、120%4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( ) A 、±15 B、15 C 、-15 D 、11二、填空5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格.某种药品经过连续两次降价后,由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。
完整版)一元二次方程的应用练习题及答案
完整版)一元二次方程的应用练习题及答案1.这道题目需要求出某地区在20XX年至20XX年期间投入教育经费的年平均增长率，以及预计20XX年该地区投入教育经费的金额。
首先，我们可以通过计算两个年份的投入教育经费差值，再除以两年的平均值，得出年平均增长率。
其次，通过使用年平均增长率，我们可以预测20XX年该地区的投入教育经费金额。
2.这道题目需要求出白溪镇在2012年至20XX年期间绿地面积的年平均增长率，以及预测20XX年该镇绿地面积是否能够达到100公顷。
首先，我们可以通过计算两个年份的绿地面积差值，再除以两年的平均值，得出年平均增长率。
其次，通过使用年平均增长率，我们可以预测20XX年该镇绿地面积是否能够达到100公顷。
3.这道题目需要求出某商品的销售单价，以便商家在满足顾客实惠的前提下获得6080元的利润。
首先，我们可以通过计算商品的总成本和总销售额之间的差值，除以销售件数，得出商品的平均利润。
然后，我们可以通过不断降低销售单价，直到平均利润达到所需利润的目标。
4.这道题目需要求出将某种水果的售价降低x元后，每天的销售量是多少斤，以及降价多少元才能每天盈利300元。
首先，我们可以通过不断降低售价，直到每天销售量达到260斤，得出售价和销售量之间的关系。
然后，我们可以通过计算每天销售量和售价之间的总收入和总成本之间的差值，得出每天的利润。
最后，我们可以通过不断降低售价，直到每天利润达到300元的目标。
5.这道题目需要求出每件衬衫应该降价多少元，以便商场平均每天赢利1200元，并且降价多少元时商场平均每天赢利最多。
首先，我们可以通过计算每件衬衫降价1元所带来的额外销售量和额外利润，得出降价和利润之间的关系。
然后，我们可以通过计算商场每天的总销售额和总成本之间的差值，得出商场每天的利润。
最后，我们可以通过比较不同降价方案的利润，得出商场平均每天赢利最多的降价方案。
6.这道题目需要求出某种品牌玩具的销售单价，以便商场获得元的销售利润。
一元二次方程——动点问题
Day5：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程.常见题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例1如图，点O 在线段AB 上，AO=1，OB=2，OC 为射线，且∠BOC=120°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP 为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．t=1或8﹣C．t=8D．t=1或8例2如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q不与A、B重合.（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm2？请说明理由.例3如图，在平面直角坐标系中，过原点O及点A（0,2）、C（6,0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒，则当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案1.【答案】B【考点】本题考查了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【解析】如图1，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60°，∴∠APO=30°，∴OP=2OA=2，∵OP=2t，∴t=1；如图2，当∠APB=90°，过P 作PD⊥AB，∵∠OPD=120°﹣90°=30°，∴OD=12∴AD=AO﹣OD=1﹣t，在Rt△ABP 中，根据勾股定理得：AP 2+BP 2=AB 2，即（2+t）222+（1﹣t）2=32，解得：t=8﹣（负值舍去）；当∠ABP=90°时，此情况不存在；综上，当t=1或t=8﹣时，△ABP 是直角三角形．2.【答案】（1）1秒（2）2秒（3）不能【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【解析】（1）设x 秒后，△PBQ 的面积等于4cm².此时，AP=x cm，PB=（5-x）cm，BQ=2x cm，由S △PBQ =4BQ PB 21=∙得()42-521=∙x x ，整理得0452=+-x x ，解得x 1=1，x 2=4.当x=4时，2x=8>7，不合要求.所以1秒后，△PBQ 的面积等于4cm².（2）设x 秒后，PQ 的长度等于5cm.由PB 2+BQ 2=5²得（5-x）²+（2x）²=5²整理得x²-2x=0，解得x 1=0（舍去），x 2=2.经检验，x=2符合要求，所以2秒后，PQ 的长度等于5cm.（3）不能.理由：设x 秒后，△PBQ 的面积等于7cm²，由题意得()72-521=∙x x ，整理得x²-5x+7=0，03-28-25<==∆，此方程无解，所以△PBQ 的面积不可能等于7cm².3.【答案】t=2或55+=t 或5-5=t 【考点】该题考查的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【解析】过点P 作PG⊥OC，垂足为G.在Rt△POG 中，∵∠POG=45°，∴∠OPG=45°，∵OP=t 2，∴OG=PG=t，∴点P（t，t），又∵Q（2t，0），B（6,2），根据勾股定理可得PB²=（6-t）²+（2-t）²，QB²=（6-2t）²+2²，PQ²=（2t-t）²+t²=2t².在P、Q 移动过程中，PQ 始终与OD 垂直，容易得知∠BPQ 不可能等于90°.①若∠PQB=90°，则有PQ²+QB²=PB²，即2t²+[（6-2t）²+2²]=（6-t）²+（2-t）²，整理得4t²-8t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2，∴t=2.②若∠PBQ=90°，则有PB²+QB²=PQ²，∴[（6-t）²+（2-t）²]+[（6-2t）²+2²]=2t²，整理得t²-10t+20=0，解得t=5±5.∴当t=2或55+=t 或5-5=t 时，△PQB 为直角三角形.。
(完整版)一元二次方程与动点及答案
1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2A3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？5.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB=16cm ，BC=6cm ，动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以3厘米每秒的速度向点B 移动，一直到达点B 为止．点Q 以2厘米每秒的速度向点D 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10厘米？6.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?Q PBDAC7.如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线l上，当C、Q两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；的函数关系式．（3）当5秒≤t≤8秒时，求S与t8.2012•重庆模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm，QR=12cm，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动，直至点R与点A重合为止，设运动时间为t（s），t＞0．（1）点P与点D重合时，令PR与BC交于M点，求PM的长度；（2）设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2，直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）在运动的过程中，令线段PR与线段AD的交点为N（若无交点则不考虑），则是否存在t的值，使△NQR为等腰三角形？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．9.（2012•市南区模拟）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm，QR=8cm，AB与QR在同一直线l上，开始时点Q与点A重合，让△PQR以1cm/s 的速度在直线l上运动，同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动，直至点Q与点B重合．时，都停止运动，设运动的时间为t（s），四边形PMBN的面积为S（cm2）（1）当t=1s时，求S的值；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围（不考虑端点）；（3）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN 的面积？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形PMBN为平行四边形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．10.如图1，在长为44，宽为12的矩形PQRS中，将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置，其中边AB、DE在PQ上，边EF在QR上，边BC、DG在同一直线上，且Rt△ABC两直角边BC=6，AB=8，正方形DEFG的边长为4．从初始时刻开始，三角形纸片ABC，沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移；同时正方形纸片DEFG，沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移，当边GF落在SR上时，纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移，直至G点与S点重合时，两张纸片同时停止移动．设平移时间为x秒．（1）请填空：当x=2时，CD= 2 ，DQ= 4 ，此时CD+DQ = CQ（请填“＜”、“=”、“＞”）；（2）如图2，当纸片DEFG沿QR方向平移时，连接CD、DQ和CQ，求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（这里规定线段的面积为零）；（3）如图3，当纸片DEFG沿RS方向平移时，是否存在这样的时刻x，使以A、C、D为的值；若不存在，请说明理由．顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出对应x11.（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B﹣A﹣D﹣A运动，沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A﹣D﹣A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B﹣A﹣D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中，当线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．12.（2006•青岛）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜边上的中点．如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在△EFG平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情．况）（1）当x为何值时，OP∥AC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）1.解：设x秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2，由题意可得：2x（6-x）÷2=8解得x1=2，x2=4．经检验均是原方程的解．答：2或4秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2．2.解：（1）由题意，得BQ=2t，PB=5-t．故答案为：2t，5-t．（2）在Rt△PBQ中，由勾股定理，得4t2+（5-t）2=25，解得：t 1=0，t2=2．（3）由题意，得2t(5−t)2=4，解得：t 1=1，t2=4（不符合题意，舍去），∴当t=1时，△PBQ的面积等于4cm2．3.解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2则：BP=6-x，BQ=2x，所以S△P B Q=12×（6-x）×2x=8，即x2-6x+8=0，可得：x=2或4（舍去），即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm2．（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm2，S△P B Q=1l th i n gs in th ei r be i ng ar e g o o d f o rs o 2×（6-y ）×2y=12，即y 2-6y+12=0，因为△=b 2-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ 的面积不会等于12cm 2，则线段PQ 不能平分△ABC 的面积．4.相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用．几何动点问题．（1）设x 秒时．由三角形的面积公式列出关于x 的方程，（6﹣x ）•2x=8，通过解方程求得x 1=2，x 2=4；（2）过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，构建相似三角形△CQD ∽△CAB ，由该相似三角形的对应边成比例得到，即QD=；然后由三角形的面积公式列出关于x 的方程（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．由实际情况出发，来对方程的解进行取舍．解：（1）设x 秒时，点P 在AB 上，点Q 在BC 上，且使△PBQ 面积为8cm 2，由题意得（6﹣x ）•2x=8，解之，得x 1=2，x 2=4，经过2秒时，点P 到距离B 点4cm 处，点Q 到距离B 点4cm 处；或经4秒，点P 到距离B 点2cm 处，点Q 到距离B 点8cm 处，△PBQ 的面积为8cm 2，综上所述，经过2秒或4秒，△PBQ 的面积为8cm 2；（2）当P 在AB 上时，经x 秒，△PCQ 的面积为：×PB ×CQ=×（6﹣x ）（8﹣2x ）=12.6，解得：x 1=（不合题意舍去），x 2=，经x 秒，点P 移动到BC 上，且有CP=（14﹣x ）cm ，点Q 移动到CA 上，且使CQ=（2x ﹣8）cm ，过Q 作QD ⊥CB ，垂足为D ，由△CQD ∽△CAB 得，即 QD=，由题意得（14﹣x ）•=12.6，解之得x 1=7，x 2=11．经7秒，点P 在BC 上距离C 点7cm 处，点Q 在CA 上距离C 点6cm 处，使△PCQ 的面积等于12.6cm 2．经11秒，点P 在BC 上距离C 点3cm 处，点Q 在CA 上距离C 点14cm 处，14＞10，点Q 已超出CA 的范围，此解不存在．综上所述，经过7秒和秒时△PCQ 的面积等于12.6cm 2．hingsintheirbeingaregoodforso 5.解：设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，作PH⊥CD，垂足为H，则PH=AD=6，PQ=10，HQ=CD-AP-CQ=16-5t，∵PH2+HQ2=PQ2可得：（16-5t）2+62=102，解得t1=4.8，t2=1.6．答：P，Q两点从出发经过 1.6或4.8秒时，点P，Q间的距离是10cm．6.答案略分析：7.（1）当t=3时，CQ=3，过P作PE⊥QR于E，易求得PE的长和△QPE的面积，设PQ交CD于G，由于CG∥PE，可证得△CQG∽△EQP，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值．（2）当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．（3）当5≤t≤8时，AB与PQ相交，RP与CD相交，仿照（1）的方法，可求得正方形外部的两个小三角形的面积，进而可参照（2）的方法求得阴影部分的面积表达式，由此可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值．解答：解：（1）作PE⊥QR，E为垂足．∵PQ=PR，∴QE=RE=QR=4，在Rt△PEQ中∴PE==3；（1分）当t=3时，QC=3，设PQ与DC交于点G．∵PE∥DC，∴△QCG∽△QEP．（2分）∴，∵S△QEP=×4×3=6，∴S=×6=（cm2）．（3分）（2）当t=5时，CR=3．i n th e i r b e i n g a r e g o o d f o r s 设PR 与DC 交于G ，由△RCG ∽△REP ，可求出CG=，所以，S △RCG =×3×=（cm 2），（5分）S=12﹣=（cm 2）．（6分）（3）当5≤t ≤8时，QB=t ﹣5，RC=8﹣t ，设PQ 交AB 于点H ，由△QBH ∽△QEP ，EQ=4，∴BQ ：EQ=（t ﹣5）：4，∴S △BQH ：S △PEQ =（t ﹣5）2：42，又S △PEQ =6，∴S △QBH =（t ﹣5）2（7分）由△RCG ∽△REP ，同理得S △RCG =（8﹣t ）2（8分）∴S=12﹣（t ﹣5）2﹣（8﹣t ）2．即S=﹣（9分）当t=﹣=时，S 最大，S 的最大值==（cm 2）．（10分）a r e g o o d f o r s o 考8.点：相似形综合题．分析：（1）由正方形的性质可以得出DC ∥AB ，就有∠CDR=∠ARD ，在Rt △PQR 中，由PQ=6cm ，QR=12cm 有tan ∠ARD=，就可以得出MC ，再根据勾股定理就可以求出PM 的值；（2）分情况求出当当0＜t ≤6时，当6＜t ≤12时，12＜t ≤18时，根据三角函数和梯形的面积公式三角形的面积公式就可以表示出S 的解析式；（3）根据等腰三角形的条件分三种情况进行计算，先运用勾股定理将三角形的三边表示出来，由等腰三角形的边的平方相等建立的等量关系求出其解就可以了．解答：解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴CD=BC ，CD ∥AB ，∠C=90°，∴∠CDR=∠ARD ，∵PQ=6cm ，QR=12cm ，∴tan ∠ARD=，∴tan ∠CDR==，∵CD=6，∴CM=3，在Rt △CPM 中，由勾股定理，得PM==3．（2）如图1，当0＜t ≤6时，∵QB=t ，QR=12，∴BR=12﹣t ，∴BM=6﹣0.5t ，∴S=，∴S=﹣t 2+6t ，如图2，当6＜t ≤12时，∵AR=12﹣t+6=18﹣t ，BR=12﹣t ，∴SA=9﹣0.5t ，MB=6﹣0.5t∴S=，=3t+45，dAl l th i n gs i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o 如图3，12＜t ≤18时，AR=6﹣（t ﹣12）=18﹣t ，AS=9﹣0.5t ，∴S=，=t 2﹣9t+81；（3）当6＜t ≤12时，由图象得：QN 2=AQ 2+AN 2=（t ﹣6）2+（9﹣0.5t ）2=t 2﹣21t+117，NR 2=AN 2+AR 2=（9﹣0.5t ）2+（18﹣t ）2=t 2﹣45t+405RQ 2=144①如图4，当QR 2=NR 2时，t 2﹣45t+405=144，解得：t 1=18+t ＞12（舍去），t 2=18﹣；②如图5，当QN 2=QR 2时，t 2﹣21t+117=144，解得：t 1=﹣1.2（舍去），t 2=18（舍去），③如图6，当QN 2=RN 2时，t 2﹣21t+117=t 2﹣45t+405，解得：t=12，12＜t ≤18与6＜t ≤12时一致，而t=18时△NQR 不存在，∴t=12或t=18﹣．andAllthingsintheirbeingaregoodforso9.（1）当t=1时，AQ=MQ=1，AB=PQ=4，∴MP=QB=4﹣1=3．∵QR=8，∴BR=8﹣3=5．∵在Rt△PQR中，PQ=4，QR=8，∴tan∠PRQ==．∴，∴，∴BN=2.5．S四边形PMBN==（0≤t≤4）；（2）由题意，得AQ=MQ=t，PM=BQ=4﹣t，BR=8﹣（4﹣t）=4+t，∴BN=2+t，∴S四边形PMBN=，=t2﹣4t+12（0≤t≤4）；（3）由题意，得t2﹣4t+12=×4×8，解得：t1=8+4（舍去），t2=8﹣4，∴t的值为8﹣4；（4）∵四边形PMBN是平行四边形，∴PM=BN．∵PM=4﹣t，BN=2+t，∴4﹣t=2+t，∴t=d A l l t h i n g s i n t he i r b e i n g a r e g o o df o r s o ∴t=时，四边形PMBN 为平行四边形．10.分析：（1）当x=2时，延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，就有EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，就可以求出CH=6﹣2x ，再根据勾股定理就可以求出CD 、DQ 及CQ 的值；（2）由图形观察可以得出S △CDQ =S △CBQ ﹣S △CHD ﹣S 梯形HBQD ，只要根据条件分别表示出=S △CBQ 、S △CHD 、S 梯形HBQD 的面积即可；（3）根据数学分类讨论思想，从不同的时间进行计算．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，解直角三角形CHD ；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形ADH ；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，解直角三角形DCK 和直角三角形DHA ；如图9，当CD=AC 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，解直角三角形DKC ；如图10，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点，解直角三角形DHA ．结合各图形运动的不同位置表示出相应线段的长度，根据勾股定理建立方程求出x 的值即可．解答：解：（1）延长ED 交BC 于H ，延长GD 交PQ 于点K ，∴EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，∵x=2，BC=6，DE=4，∴EQ=DK=HB=4，BK=HD=2，BQ=6，∴CH=2．在Rt △CHD 、Rt △DKQ 、Rt △CBQ 中，由勾股定理得：CD=2，DQ=4，CQ=6．∴CD+DQ=6，∴CD+DQ=CQ ．故答案为：2，4，=；（2）当0≤x ≤2时，如图2，∵EQ=DK=2x ，BK=HD=x ，BQ=4+x ，CH=6﹣2x ，∴S △CDQ =，=﹣x 2﹣4x+12当2＜x ≤3时，如图5，作CH ⊥DG 于H ，DK ⊥BC 于K ，l th i n g s in th ei r be i n g a r e g o o df o r s o ∴EQ=BK=2x ，CK=HD=6﹣2x ，BQ=4+x ，CH=x ，∴S △CDQ =CK •KD+KB •BQ ﹣﹣﹣，=（6﹣2x ）x+2x （4+x ）﹣﹣﹣，=x 2+4x ﹣12；当3＜x ≤4时，如图3，作DH ⊥BC 的延长线于H ，∴EQ=HB=2x ，HD=x ，BQ=4+x ，CH=2x ﹣6，∴S △CDQ =HB •QB ﹣﹣﹣，=2x （4+x ）﹣﹣﹣，=8x+2x 2﹣x 2+3x ﹣4x ﹣12﹣3x ，=x 2+4x ﹣12．∴S=，（3）∵纸片DEFG 沿RS 方向平移，∴4≤x ≤24．如图6，当CD=AC 时，作CH ⊥GD 的延长线于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣6﹣4=2，CH=（x+4）﹣（2x ﹣4）=8﹣x ，∵AB=8，BC=6，∴AC==10在Rt △CHD 中，由勾股定理，得（8﹣x ）2+22=100，解得：x 1=8+4，x 2=8﹣4＜4（舍去）；如图7，当AD=AC 时，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DH=12﹣4=8，AH=（x+4+8）﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，在Rt △ADH 中，由勾股定理，得（16﹣x ）2+82=100，i n g s i n t h e i r b e i n g 解得：x 1=22，x 2=10；如图8，当AD=CD 时，作DK ⊥BC 于BC 延长线于点K ，作DH ⊥PQ 于点H ，∴GR=2x ﹣4，BQ=x+4，∴DK=2x ﹣4﹣（x+4）=x ﹣8，KC=12﹣4﹣6=2，AH=x+4+8﹣（2x ﹣4）=16﹣x ，DH=12﹣4=8．∴（x ﹣8）2+4=（16﹣x ）2+64，∴x=15；综上所述：纸片DEFG 沿RS 方向平移，当x 的值为：22，10，15，8+4时，以A 、C 、D 为顶点的三角形是等腰三角形．andAllthingsintheirbeingaregoodfo 11.irbeingaregoodforso 分析：（1）分情况讨论，当点P沿A﹣D运动时，当点P沿D﹣A运动时分别可以表示出AP的值；（2）分类讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，根据三角形的面积公式分别求出S与t的函数关系式；（3）分情况讨论，当0＜t＜1时，当1＜t＜时，当＜t＜时，利用三角形的面积相等建立方程求出其解即可；（4）分情况讨论当P在A﹣D之间或D﹣A之间时，如图⑥，根据轴对称的性质可以知道四边形QCOC′为菱形，根据其性质建立方程求出其解，当P在D﹣A之间如图⑦，根据菱形的性质建立方程求出其解即可．解答：解：（1）当点P沿A﹣D运动时，AP=8（t﹣1）=8t﹣8．当点P沿D﹣A运动时，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t．（2分）（2）当点P与点A重合时，BP=AB，t=1．当点P与点D重合时，AP=AD，8t﹣8=50，t=．当0＜t＜1时，如图①．过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ==，∴QE===．∴S=﹣30t2+30t．当1＜t≤时，如图②．S==，∴S=48t﹣48；（3）当点P与点R重合时，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=．当0＜t≤1时，如图③．∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM．∵AB∥QR，n dAl l th i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o ∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB ∴13t=13，解得：t=1当1＜t ≤时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．∴t=．当＜t ≤时，如图⑤．∵S △ABR =S △QBR ，∴S △ABR ＜S 四边形BQPR ．∴BR 不能把四边形ABQP 分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或时，线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR 分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间时，C ′D ′在BC 上方且C ′D ′∥BC 时，∴∠C ′OQ=∠OQC ．∵△C ′OQ ≌△COQ ，∴∠C ′OQ=∠COQ ，∴∠CQO=∠COQ ，∴QC=OC ，∴50﹣5t=50﹣8（t ﹣1）+13，或50﹣5t=8（t ﹣1）﹣50+13，解得：t=7或t=．当P 在A ﹣D 之间或D ﹣A 之间，C ′D ′在BC 下方且C ′D ′∥BC 时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD ，∴50﹣5t+13=8（t ﹣1）﹣50，解得：t=．n dAl l th i n gs in th ei r be i ng ar eg oo df or s o∴当t=7，t=，t=时，点C 、D 关于直线PQ 的对称点分别为C ′、D ′，且C ′D ′∥BC ．beingaregoodforso 分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OP∥EG∥AC，据此可求出x的值．（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积．三角形AHF中，AH的长可用AF的长和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）．三角形OFP中，可过O作OD⊥FP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函数关系式．（3）先求出三角形ABC和四边形OAHP的面积，然后将其代入（2）的函数式中即可得出x的值．解答：解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC∴，∴FG==3cm∵当P为FG的中点时，OP∥EG，EG∥AC∴OP∥AC∴x==×3=1.5（s）∴当x为1.5s时，OP∥AC．（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5cm∵EG∥AH∴△EFG∽△AFH∴∴AH=（x+5），FH=（x+5）过点O作OD⊥FP，垂足为D∵点O为EF中点∴OD=EG=2cm∵FP=3﹣x∴S 四边形OAHP =S △AFH ﹣S △OFP =•AH •FH ﹣•OD •FP=•（x+5）•（x+5）﹣×2×（3﹣x ）=x 2+x+3（0＜x ＜3）．（3）假设存在某一时刻x ，使得四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24则S 四边形OAHP =×S △ABC ∴x 2+x+3=××6×8∴6x 2+85x ﹣250=0解得x 1=，x 2=﹣（舍去）∵0＜x ＜3∴当x=（s ）时，四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13：24．。
一元二次方程的应用之动点问题
飞机航线问题
一架飞机以速度v0从机场起飞，以角度θ和速度v1改变航向，最终飞向位于d距离处的目的地。
集训队掉队问题
两个集训队进行长跑训练，已知甲队每分钟跑400米，乙队每分钟跑300米， 求甲队领先乙队的时间和距离。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一元二次方程的应用之动 点问题
了解一元二次方程在动点问题中的应用。介绍动点问题的概念和常见场景， 回顾一元二次方程的概念和求解方法，以及解决动点问题的思路。探讨各种 实际问题，从车辆行驶到射击训练。
动点问题的基本概念介绍
动点问题是指描述运动中物体位置随时间变化的数学问题。通过一元二次方 程模型，我们能够分析和解决各种动点问题。
动点问题的常见场景
某车辆行驶问题
人跑步问题
分析车辆的位移和速度随时间的变
研究人的速度和位置关系，解决跑
化，解决关于车辆行驶距离的问题。 步速度和时间的关联问题。
弹射问题
探讨弹射物的抛射高度与发射角度、 速度之间的关系。
某车辆行驶问题
一辆车以匀减速行驶，在t=0时刻开始减速，当速度减至0时停下。已知车辆 总行程为S，求车辆的减速度和总的减速时间。
人跑步问题
一个人跑步以恒定速度v1从起点出发，在t1时刻以恒定速度v2超过位于d距离 处的另一个人，求v1和v2之间的关系。
弹射问题
如果我们以速度v和角度θ把一个抛射物发射到水平面上某一目标点，求v和θ之间的关系。
抛物线下落问题
一个物体从某一高度h以速度v0抛出，求该物体抛出后的落地点和落地时间。
公式法解一元二次方程的例题20道
公式法解一元二次方程的例题20道一元二次方程是中学数学学习中的重要内容，公式法是解一元二次方程的一种常见方法。
通过求根公式，可以解任意形式的一元二次方程，这在代数学习中具有重要意义。
接下来，我将结合公式法解一元二次方程的例题，带你一起深入理解这一知识点。
1. 解题思路在使用公式法解一元二次方程时，我们首先要将方程化为标准形式：$ax^2+bx+c=0$，然后利用求根公式：$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$来求得方程的解。
在实际解题中，我们需要注意判别式$\Delta=b^2-4ac$的正负与零，以确定方程的解的个数及性质。
2. 例题1已知一元二次方程$2x^2-5x+2=0$，求方程的根。
解：根据公式法，首先计算判别式$\Delta=(-5)^2-4\times2\times2=1$，由于$\Delta>0$，则方程有两个不相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{5+\sqrt{1}}{4}=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{1}}{4}=\frac{3}{2}$。
方程的解为$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{3}{2}$。
3. 例题2求一元二次方程$3x^2-4x+1=0$的根。
解：计算判别式$\Delta=(-4)^2-4\times3\times1=0$，由于$\Delta=0$，则方程有两个相等的实根。
代入求根公式，得$x_1=x_2=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
方程的解为$x_1=x_2=\frac{2}{3}$。
4. 例题3已知一元二次方程$4x^2-12x+9=0$，求方程的根。
解：计算判别式$\Delta=(-12)^2-4\times4\times9=-48$，由于$\Delta<0$，则方程没有实数根，只有一对共轭复数根。
代入求根公式，得$x_1=\frac{12+\sqrt{-48}}{8}=1+\frac{\sqrt{3}}{2}i$，$x_2=\frac{12-\sqrt{-48}}{8}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
一元二次方程应用题(动点问题)2016.9.8
课外延伸
4．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR， PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直 线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的 速度沿直线l按箭头方向匀速运动， （1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的 面积为5，求时间t； （2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面 积为7，求时间t；
2 2
2
2 t2 t 5
B t=2不符合题意，舍去
拓展与创新
例3如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点 C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设 动点运动时间为x秒 （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若 存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． A P B Q C
一元二次方程的应用 ---动点问题
①若一个直角三角形的三边长为连续的偶数，则这个直角 三角形的斜边的长为 ． ②若直角三角形的一条直角边的长为4cm，斜边与另一条 直角边的长度之比为5∶3，则这个直角三角形的面积 ．
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开 始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B 开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q 分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于 8cm2？
课外延伸
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AB＝4cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A 出发，沿边AD向点D以2cm/s的速度移动，点Q从 点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动，P、Q 同时出发，若有一点运动到端点时，另一点也随之 停止．则①CD＝ cm； ②经过 秒后，PQ＝CD．
(完整版)一元二次方程解决动点问题
24.4 一元二次方程的应用(6)班级：姓名：小组：【学习目标】1. 通过回忆旧知，学生能准确说出几何图形中动点的行走路程；2. 通过认真审题，学生能准确找出其中的等量关系；3. 借助等量关系，学生能准确列出关于动点的一元二次方程；4. 根据一元二次方程的特点，学生能灵活选用适当的方法解一元二次方程；5. 根据具体题意，学生能合理舍掉其中一个根.【重点难点】重点：用一元二次方程解决动点问题；难点：分析动点的运动，列出一元二次方程.【导学流程】（一）了解感知：认真阅读下面一段话，然后完成练习1. 一般动态问题的解法是“动中求静”，即按题意确定动点的一个基本位置，然后按照这个这个基本位置作出恰当的图形，再按照题意逐步探索和求解。
2. 完成课本56页C组1题(写在书上)（二）深入学习：分析下列题目的等量关系，列一元二次方程求解:1.等腰直角△ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm²? 2.如图所示，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=5cm，点P从点A开始沿AB边向点B 以1cm/s的速度移动，点Q从B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，若一动点运动到终点，则另一个也随之停止。
（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm²？（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于7cm²？说明理由。
（三）迁移运用：用一元二次方程的相关知识解决下列问题：1.在矩形ABCD中,AB=5cm,BC=7cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发了t秒，直至两动点中某一点到达端点后停止（即0<t<3.5）(1)经过几秒后，PQ的长度等于5？(2)经过几秒后，△BPQ的面积等于4？(3)经过几秒后，DP=DQ？QPD CBA。
一元二次方程经济利润问题、面积问题、动点问题例题+练习非常好分类全面
3、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。
现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？4、服装柜在销售中发现某品牌童装平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0元。
为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。
经市场调查发现，如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件。
要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？5、西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出2 0 0千克。
为了促销，该经营户决定降价销售。
经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1 元/千克，每天可多售出40千克。
另外，每天的房租等固定成本共24元。
该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？6、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出(350 —10a)件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？7、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。
当每吨售价为260元时，月销售量为45 吨。
该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。
经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。
综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。
（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。
”你认为对吗？请说明理由。
一元二次方程-动点问题
二．经过多少时间后， S△PCQ的面积为 15cm2？
三．请用配方法说明，何 时△PCQ的面积最大， 最大面积是多少？
2．如图，用一块长为50cm、宽为30cm的长方形铁 片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角截去四个 相同的小正方形，设小正方形的边长为xcm． （1）底面的长AB=_______cm，宽 BC=__________cm（用含x的代数式表示） （2）当做成盒子的底面积为300cm2时，求该盒子 的容积． （3）该盒子的侧面积S是否存在最大的情况？若存在， 求出x的值及最大值是多少？若不存在，说明理由．
想一想
(40 x 30)(600 10 x ) 10000. 1
答 : 每个台灯的定价应为50元或80元, 进 货 量 相 应 为5000个 或 200个.
某商场将进货价为30元的台灯以40元售出,平均每月 能售出600个.市场调研表明:当销售价为每上涨1元时, 其销售量就将减少10个.商场要想销售利润平均每月 达到10000元,每个台灯的定价应为多少元?这时应进 台灯多少个?
边形DFCE的面积为20cm2？
Ｃ
F
Ｅ
Ａ
Ｂ
Ｄ
3、如图,已知A、B、C、D为矩形的四个顶
点,AB=16㎝,AD=6㎝,动点P、Q分别从点A、C 同时出发,点P以3㎝/s的速度向点B移动,一直到
点B为止,点Q以2㎝/s的速度向点D移动.
（1）P、Q两点从出发开始几秒时, 四边形PBCQ的面积是33c㎡
D
P
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，
点P和点Q的距离是10cm？
的速度移动, 同时另一
点Q由C点以3cm/s的速
度沿着CB边移动,几秒钟
后, PCQ的面积等于
一元二次方程动点问题
第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页1．如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB=16cm ，AD=6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止，点Q 以2cm/s 的速度向D 移动．（1）P 、Q 两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ 的面积为33cm 2；（2）P 、Q 两点从出发开始到几秒时，点P 和点Q 的距离是10cm ．2．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2﹣7x+12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边A→B→C→A 的方向运动，运动时间为t （秒）． （1）求AB 与BC 的长；（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP时运动时间t 的值； （3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．3．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=BC=5cm ，点Q 从点A 开始沿AB 边向点B 以lcm/s 的速度移动点P 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 速度移动，两点同时出发，连接PQ ．（1）经过多长时间后，△PBQ 的面积等于4cm 2？ （2）△PBQ 的面积能否等于7cm 2？试说明理由．4．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD =90°，AB =AD =10cm ，BC =8cm 。
点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿折线ABCD 运动，点Q 从点D 出发，以每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动。
已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为t 秒. （1）求CD 的长.（2）t 为何值时？四边形PBQD 为平行四边形.（3）在点P ，点Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为20cm 2？若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由.。
一元二次方程——动点问题
Day5 ：一元二次方程之动点问题一元二次方程解决问题1．动点问题几何图形应用题，要点是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，依照面积或体积公式列出方程.常有题型：选择题、解答题，求最值问题.易错点：找准动点的关系.中考回顾：常考，求最值或三角形为直角三角形等等.例 1如图，点O 在线段 AB 上，AO=1 ， OB=2 ， OC为射线，且∠BOC=120°，动P点以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 作匀速直线运动．设运动时间为t 秒，当△ABP为直角三角形时，t 的值为（）A．t=1B．﹣33 t=1 或1+8C．t=1+ 33D．t=1 或1+338811 / 4例 2如图，已知△ ABC中，∠ B=90 °，AB=5cm ，BC=7cm ，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的速度搬动，点Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cm/s的速度搬动，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止，其中P、Q 不与 A、B 重合.的面PBQ积等于 4cm 2？（ 1）若是 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后，△（ 2）若是 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么几秒后，的长度PQ等于 5cm ？（ 3）在（ 1 ）中，△ 的PBQ面积能否等于 7cm 2？请说明原由.例 3如图，在平面直角坐标系中，过原点O 及点 A（ 0,2）、C（ 6,0）作矩OABC形，∠AOC 的均分线交 AB 于点 D. 点 P 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线OD 方向搬动；同时点 Q 从点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿 x 轴正方向搬动. 设搬动时间为 t 秒，则当 t 为何值时，△ PBQ 为直角三角形？22 / 4参照答案1.【答案】 B【考点】本题观察了动点问题，结合三角形，注意画出图形，帮助理解．【剖析】如图 1 ，当∠PAB=90°时，∵∠BOC=120°，∴∠AOP=60 °，∴∠APO=30 °，∴OP=2OA=2 ，∵ OP=2t ，∴t=1 ；如图 2 ，当∠APB=90 °，过P作 PD⊥ AB ，∵∠ OPD=120°﹣ 90 ° =30 °，1， PD=OP?sin ∠ POD=3 t ，∴ OD= OP=t2∴ AD=AO ﹣ OD=1 ﹣ t ，在 Rt △ ABP中，依照勾股定理得：222，即（2+t2+）（2222，+BPAP=AB 3 t ） + （ 3 t ）+ （ 1﹣ t ）=3﹣331+解得： t=（负值舍去）；8当∠ ABP=90°时，此情况不存在；综上，当 t=1或 t=﹣ABP是直角三角形．1+ 33 时，△82.【答案】（ 1）1秒（ 2）2秒（ 3）不能够【考点】一元二次方程在三角形中动点问题的应用.【剖析】（ 1 ）设x 秒后，△PBQ的面积等于4cm2.此时，AP=xcm ， PB= （ 5-x） cm ， BQ=2xcm ，由 S△PBQ= 1PB BQ 4 得15 - x 2 x 4，22整理得 x 240，解得 x12 5x=1 ，x=4.当 x=4 时， 2x=8>7 ，不合要求.所以 1 秒后，△PBQ的面积等于 4cm2.（ 2 ）设x 秒后，PQ的长度等于5cm.33 / 4由 PB2 +BQ 2=52 得（5-x）2+（2x）2=52整理得 x2-2x=0，解得x1=0（舍去），x2=2.经检验，x=2吻合要求，所以 2 秒后，PQ的长度等于5cm.（ 3 ）不能够.原由：设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2 ，12x 7 ，由题意得5- x2， 25-28-3 0，整理得 x2-5x+7=0此方程无解，所以△的PBQ面积不能能等于 7cm2.3.【答案】 t=2或t5 5 或 t 5 - 5【考点】该题观察的是一元二次方程与直角坐标系结合的动点应用题型.【剖析】过点 P 作 PG⊥ OC，垂足为 G.在 Rt △ POG中，∵∠POG=45 °，∴∠OPG=45 °，∵ OP= 2t，∴OG=PG=t ，∴点P（ t ， t ），又∵Q（ 2t ， 0 ），B（ 6,2 ），依照勾股定理可得PB2= （ 6-t ） 2+ （ 2-t） 2 ， QB2= （ 6-2t） 2+22，PQ2= （ 2t-t） 2+t2=2t2.在 P、Q 搬动过程中，始PQ终与 OD 垂直，简单得知∠不BPQ可能等于 90 °.①若∠ PQB=90°，则有PQ2+QB2=PB2，即2t2+[ （ 6-2t ） 2+22]=（ 6-t ） 2+ （ 2-t） 2 ，整理得 4t2-8t=0，解t得1=0 （舍去），t2 =2 ，∴ t=2.②若∠ PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，∴ [ （ 6-t） 2+ （ 2-t） 2]+[（ 6-2t） 2+22]=2t2，整理得 t2-10t+20=0，解t=5得±5 .∴当 t=2 或t5 5 或 t 5- 5 时，△PQB为直角三角形.44 / 4。
一元二次方程的应用(动点问题)
二实验中学西校九年级数学组
1.如图 所示， 在直角坐标系中，四边形OACB 为矩形， C点的坐标为(3,6),若点P 从 O点沿 OA向点A 以1㎝/s 的 速度运动，点Q 从点 A沿 AC以2cm/s 的速度运动，如 果P,Q 分别从O,A 同时出发 ，问 （1）经过多长时间△PAQ 的面积为2平方厘米? （2） △PAQ的面积能否达到3平方厘米? （3）经过多长时间P,Q两点间的距离是 2 2 厘米?
3.如图所示 ，△ABC中，∠B=900，AB=BC=6cm。点 P从A点开始沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动， 点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动. （1）P、Q两点分别从A,B同时出发，经过几秒钟，使 △PBQ的面积等于8平方厘米？ （2）如果P、Q两点分别从A,B出发，并且P到B点后 继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上 前进，从开始经过几秒钟，使△PCQ的面积等于 10 2 平方厘米？ (P在BC上，Q在AC上） C C Q A Q P
P
B
A
BLeabharlann yB CQ
O
P
A
x
2.如图所示 AO=OB=50厘米，OC是一条射线， OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2厘米每秒的速度沿 AB方向向B点爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3厘 米每秒的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时 刻，使两只蚂蚁所在的位置与O点组成的三角形面 积为450平方厘米？ A P O B
Q C
一元二次方程动点问题讲解
(1)解：∠ BAC=45°,AP=x,
C
当L位于CD的左侧时,与AC L
Q
交于点Q,则PQ=X
p
A·
∴S△APQ=½×x×x=½x²
DB
(0＜x≤2)
例4：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线L与AB垂直.
解：设x秒后，三角形的面积为8 D
C
则AP=Xcm PB=6-X
Q
BQ=2X 依题意列方程：½2x(6-x)=8
整理 得到 x2 6x 8 0
解这个方程，得
x1 2, x2 4
∵0≤x≤6
A· P
·B
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于8cm²
n--5
例3：等腰直角⊿ ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A
B
Q
C
P
A
练习2:在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm，点D
从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向点B移动,过点
ＤD做DE平行于BC,DF平行于AC,点E.F分别在AC,BC
上,问：点D出发几秒后四边形DFCE的面积为
20cm2？
Ｃ
F Ｅ
Ａ
Ｄ
Ｂ
·A
R
பைடு நூலகம்
P
∴S◇=S△ABC-S△BPQ-S△APQ
∴16=32-½(8-X)²-½×(X)²
整理：x²-8x+16=0
整理：x₁=x₂=4
CQ
初三数学一元二次方程应用题
初三数学一元二次方程应用题嘿，小伙伴们！今天咱们要聊聊初三数学里的“明星”——一元二次方程。
这玩意儿听起来有点吓人，但其实，只要掌握了诀窍，就会发现它其实是个有趣的“小魔术”。
咱们就用一个真实的例子，看看怎么把它用到实际问题中，帮你解决那些看似复杂的题目。
1. 什么是“一元二次方程”？1.1 定义和特点一元二次方程其实就是一个形如 (ax^2 + bx + c = 0) 的方程，其中 (a)、(b)、(c) 是常数，(x) 是未知数。
听起来有点复杂，但实际上很简单。
最常见的形式就是 (x^2) 的系数不为零的方程。
要记住，这个方程的图像是一条抛物线，所以有时候也叫“抛物线方程”。
1.2 应用场景一元二次方程其实在生活中处处可见，比如说你买了两个不同品牌的篮球，这两个篮球的价格分别是 (x) 元和 (2x) 元。
你用 (5x) 元买了这两个篮球，这时候你就可以用一元二次方程来找出每个篮球的价格。
2. 解决实际问题的步骤2.1 问题设定假设有一个题目，问你一个长方形的长比宽多 4 米，面积是 60 平方米。
你要找出长和宽的尺寸。
首先，你得设定未知数。
假设宽是 (x) 米，那么长就是 (x + 4) 米。
于是，你就能写出方程：(x(x + 4) = 60)。
2.2 构建方程展开这个方程，得到 (x^2 + 4x = 60)。
接着，把方程变成标准形式：(x^2 + 4x 60 = 0)。
这就变成了一个经典的一元二次方程了。
2.3 求解方程有了方程，接下来就得解它了。
可以用“求根公式”来找答案，公式是 (x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a})。
对咱们这个方程来说，(a = 1)、(b = 4)、(c = 60)。
代入公式中，计算得出两个根，解出 (x = 6) 或 (x = 10)。
因为宽度不能是负数，所以宽是 6 米，长就是 (6 + 4 = 10) 米。
3. 实践中的小窍门3.1 检查答案找到答案后，别急着高兴。
一元二次方程应用--“动点”问题
1 2 解：当0 x 2时，S x 2 当2 x 3时，S 3 3 x
2
C l
A P
D
B
自学检测 1：10分钟
1、 在△ABC中, AC=50cm, CB=40cm, ∠C=90°,点P从点A开始沿AC边向点C以 2cm/s的速度移动, 同时另一点Q由C点以 3cm/s的速度沿着CB边移动,几秒钟后, PCQ 的面积等于450cm2? B
Q
C P
A
2、在直角三角形ABC中,AB=BC=12cm， 点D从点A开始以2cm/s的速度沿AB边向 Ｄ 点B移动,过点D做DE平行于BC,DF平行于 AC,点E.F分别在AC,BC上,问：点D出发 Ｆ 几秒后四边形DFCE的面积为 20cm2？
Ｃ F Ｅ
Ａ
Ｄ
பைடு நூலகம்
Ｂ
当堂训练：10分钟
1、完成P53-54问题解决T2、T4. 2、完成P58 问题解决 T18、20、21
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
自学指导1：10分钟 例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从 点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q 从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如 果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ D C 的面积等于8cm2？
解：设AP=x，则PR=x，PB=8-x 根据题意得：x 8-x 16 整理得：x 2 8 x 16 0 解这个方程得：x1 x2 4
C Q
A R P
B
答：当AP 4cm时，四边形面积为16cm 2
例3：⊿ABC中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD⊥ AB,垂足为 D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过 点P作直线l与AB垂直. i)设⊿ ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之 间的函数关系式;
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课外延伸
3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6米，BC＝8米， 动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移 动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB 向点B移动，设P、Q两点移动t秒（0<t<5）后，四 边形ABQP的面积为S米2,（1）求面积S与时间t的 关系式；（2）在P、Q两点移动的过程中，四边形 ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时 点P的位置；若不能，请说明理由．
一元二次方程的应用 ---动点问题
①若一个直角三角形的三边长为连续的偶数，则这个直角 三角形的斜边的长为 ． ②若直角三角形的一条直角边的长为4cm，斜边与另一条 直角边的长度之比为5∶3，则这个直角三角形的面积 ．
例1 在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开 始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B 开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q 分别从A、B同时出发，几秒后⊿ PBQ的面积等于 8cm2？
A R P
2X
C 2X Q
12-2X
B
例2 如图,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm，
BC=3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿 边AB向点B移动,点Q以2cm/s的速度从点B 开始沿边BC向点C移动.如果点P、Q同时出发， 几秒后PQ之间的的距离等于 4 2cm?
C ↑ Q A
P→
(2t ) (6 t ) (4 2)
解：设x秒后⊿ PBQ的面积等于8cm2
D C
1 2 x (6 x) 8 2x 6x 8 02x1 2, x2 4
∵0＜x＜6
(X-2)(X-4)=0
Q
2X
A B
x6
所以2秒或4秒后⊿ PBQ的面积等于 8cm2
X
P
6-X
解决有关“动点”的问题”方法
1)关键—— 以静代动 把动的点进行转换,变为线段的长度, 2)方法—— 时间变路程 求“动点的运动时间”可以转化为求“动点 的运动路程”，也是求线段的长度;
A D P
l B
Q
C
R
课外延伸
课外延伸
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°， AB＝4cm，AD＝18cm，BC＝21cm，点P从点A 出发，沿边AD向点D以2cm/s的速度移动，点Q从 点C出发沿边CB向点B以6cm/s的速度移动，P、Q 同时出发，若有一点运动到端点时，另一点也随之 停止．则①CD＝ cm； ②经过 秒后，PQ＝CD．
A Q
C
P
B
自主完成
2、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C， D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一 个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在 相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm， DN=x2cm． 当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
2 2
2
2 t2 t 5
B t=2不符合题意，舍去
拓展与创新
例3如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现
有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s 的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点 C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设 动点运动时间为x秒 （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若 存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． A P B Q C
课外延伸
4．有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR， PQ＝PR＝5cm，QR＝8cm，点B、C、Q、R在同一直 线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的 速度沿直线l按箭头方向匀速运动， （1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的 面积为5，求时间t； （2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面 积为7，求时间t；
自主完成
1.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发 沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向 以2cm/S的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的四分之一？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值； 若不能，说明理由．
3）常依据的数量关系——面积，勾股定理，
由此,学会把动点的问题转化为静点的问题, 是解这类问题的关键.
新知探究
Rt△ABC中,AB=BC=12cm,动点P从A点出发,以 2cm/s的速度沿AB向B移动,通过点P作 PR//BC,PQ//AC，求P出发几秒时,四边形PQCR的 ∵0＜x＜6 面积等于20cm2?
A
P
N
D
B
Q M
C
课外延伸
1．如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB＝ 16cm，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出 发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为 止，点Q以2 cm/s的速度向D移动． （1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ 的面积为33cm2； （2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的 距离是10cm．