联立方程模型估计方法
联立方程模型stata
联立方程模型stata在Stata中，联立方程模型是一种常用的统计方法，用于分析多个相关联的方程。
联立方程模型通常被用于研究经济学领域的问题，例如宏观经济模型或者市场调查。
要在Stata中创建联立方程模型，首先需要确保已经加载了所需的数据集。
然后，我们可以使用`regress`命令来估计每个方程的回归系数。
例如，假设我们有两个方程，第一个方程是Y1与X1和X2的线性关系，第二个方程是Y2与X1和X3的线性关系，我们可以这样拟合模型：```regress Y1 X1 X2regress Y2 X1 X3```然而，这种方法只能估计每个方程的回归系数，并不能考虑方程之间的相互关系。
要解决这个问题，我们可以使用联立方程模型的拟合方法，例如三阶段最小二乘法（3SLS）或广义矩估计（GMM）。
在Stata中，`ivregress`命令可以用于执行3SLS估计，而`gmm`命令可以用于执行GMM估计。
这些命令需要指定一个工具变量来解决因果关系的问题，并提供一个合适的IV或GMM估计器。
例如，我们可以这样拟合3SLS模型：```ivregress 2sls (Y1 = X1 X2) (Y2 = X1 X3), first```在这个例子中，`(Y1 = X1 X2)`表示第一个方程的回归关系，`(Y2 = X1 X3)`表示第二个方程的回归关系。
`first`选项告诉Stata使用3SLS方法进行估计。
类似地，我们可以使用`gmm`命令进行GMM估计。
这个命令需要指定一个合适的GMM估计器，例如系统GMM或者差分GMM。
下面是一个使用系统GMM进行估计的例子：```gmm (Y1 = X1 X2), instruments(X1 X2) equation(Y1)gmm (Y2 = X1 X3), instruments(X1 X3) equation(Y2)```在这个例子中，`(Y1 = X1 X2)`和`(Y2 = X1 X3)`分别表示两个方程的回归关系。
第11章 联立方程模型的估计方法
• 估计结果显示
Dependent Variable: CC Method: Two-Stage Least Squares Date: 04/11/03 Time: 22:06 Sample(adjusted): 1979 1996 Included observations: 18 after adjusting endpoints Instrument list: C G CC1 Variable C Y CC1 R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression F-statistic Prob(F-statistic) Coefficient 164.8004 0.317539 0.391935 0.999435 0.999360 228.3835 13200.10 0.000000 Std. Error 95.45182 0.032376 0.087514 t-Statistic 1.726529 9.807786 4.478510 Prob. 0.1048 0.0000 0.0004 9875.667 9026.792 782385.2 2.015655
Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid Durbin-Watson stat
⒋用间接最小二乘法估计消费方程
Ct 10 11Ct 1 12 Gt 1t Yt 20 21Ct 1 22 Gt 2 t
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
12 联立方程模型和识别
将阶条件和秩条件综合在一起，判断结构式参数的可识别性：
（1）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩=G-1，则 该模型过度识别； （2）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩=G-1，则 该模型恰好识别； （3）如果 G K G 1 ，且识别矩阵的秩﹤G-1，则 该模型不可识别； （4）如果 G K G 1 ，则该模型不可识别。
二、联立方程模型的类型
1、模型的结构型
如上例。是依据经济理论设定模型时所采用的形式，直 接反映各变量之间的关系，用来描述某一经济结构。
◆模型中的每一个方程叫结构方程； ◆结构方程中的参数叫结构参数，表示每个前定变量对
内生变量的直接影响； ◆模型中结构方程的个数若等于内生变量的个数，该模 型叫完备模型。若模型不完备，则不能求解。
1
Cov( Pt vt )
2 p
2 v 1 1 2 (1 1 ) p
1 P lim pt t n n 1 2 1 pt P lim n n
pv E( ) p
t t 2 t
1
p p
t t 2 t
由此得出结论：如果模型中解释变量与残差项相关，则参数 估计量有偏且不一致。
( )Qt ( 0 0 ) ( 1 1 ) Pt (vt ut )
0 0 1 1 vt ut Qt Pt
※说明组合出来的式子与(1)、(2)具有相同的统计形式，并且
在数目上无限，因而是不可识别的。
0 0 1 1 vt ut 2 Qt Pt Yt
※线性组合与（1）具有不同的统计形式，可识别，但过度识
别；（2）与组合式具有相同的统计形式，不可识别。
计量经济学之联立方程模型
计量经济学之联立方程模型引言联立方程模型（Simultaneous Equation Model，简称SEM）是计量经济学中的一个重要分析工具，用于研究多个经济变量之间的相互关系。
通过建立一组方程，可以理解变量之间的联动效应，并进行预测和政策分析。
本文将介绍联立方程模型的基本概念、建模步骤和常见的估计方法等内容。
基本概念联立方程模型的定义联立方程模型是指由多个方程组成的一种数学模型，用于描述多个经济变量之间的关系。
每个方程都包含一个因变量和若干个解释变量，以及一个误差项。
联立方程模型的核心思想是通过解方程组，得到各个变量的估计值，进而分析它们之间的关系。
基本假设在建立联立方程模型时，需要对变量之间的关系进行假设。
常见的基本假设有：1.线性关系假设：方程中的变量之间的关系是线性的。
2.独立性假设：各个方程中的误差项是独立的，即它们之间不存在相关性。
3.零条件均值假设：解释变量的条件均值为零，即解释变量的期望与误差项无关。
4.同方差假设：各个方程中的误差项方差相等。
建模步骤建立联立方程模型的步骤如下：步骤一：确定变量根据研究主题和数据可获得的变量，确定需要建立模型的变量集合。
步骤二：构建方程根据经济理论和实际问题，构建联立方程模型的方程形式。
每个方程包含一个因变量和若干个解释变量。
步骤三：参数估计通过收集数据，对联立方程模型进行参数估计。
常用的估计方法有最小二乘估计（Ordinary Least Squares，简称OLS）和广义矩估计（Generalized Method of Moments，简称GMM）等。
步骤四：模型诊断对估计得到的模型进行诊断，检验模型的拟合优度、参数显著性和误差项的假设等。
常见的诊断方法有虚拟变量检验、异方差性检验和序列相关性检验等。
步骤五：模型解释与政策分析根据估计得到的模型结果，解释各个变量之间的关系，并进行政策分析。
可以利用模型进行预测和模拟，评估不同政策对经济变量的影响。
§4.4联立方程模型的单方程估计方法Single-EquationEstimationMethods
四、三种方法的等价性证明
⒈三种单方程估计方法得到的参数估计量
00
IV
X
* 0
X0
Y0
X0
1
X
* 0
00
ILS
X
Y0
1
X0 XY1
X 0 Y1
00
• 消费方程是恰好识别的； • 投资方程是过度识别的； • 模型是可以识别的。
⒉数据
年份
Y
I
C
G
1978
3606
1378
1759
469
1979
4074
1474
2005
595
1980
4551
1590
2317
644
1981
4901
1581
2604
716
1982
5489
1760
2868
861
1983
6076
⒊用狭义的工具变量法估计消费方程
用Gt作为Yt的工具变量
0 164.79951 1 0.3175387 2 0.3919359
• 估计结果显示
Dependent Variable: CC Method: Two-Stage Least Squares Date: 04/11/03 Time: 22:06 Sample(adjusted): 1979 1996 Included observations: 18 after adjusting endpoints Instrument list: C G CC1
⒊间接最小二乘法也是一种工具变量方法
计量学-联立方程组模型的参数估计
因此第一个结构式方程参数的间接最小二乘估
计，与简约式参数的最小二乘估计的关系为：
βˆ1 Πˆ Γˆ 1
也就是
ˆ11 ˆ12
ˆ1K1
0
0
XX
1
XY
1
ˆ12
ˆ1g1
0
0
9
分别由分块矩阵 和
Y Y1 Y11 Y12
Yi XΠi ui , i 2,, g1
对它们分别作最小二乘估计，得：
Πˆ i XX1XYi , i 2,, g1
因此这些内生变量的估计量为：
Yˆi XΠˆ i XXX1XYi , i 2,, g1
29
它们可以合并为：
Yˆ10 Yˆ 2 Yˆ 3 Yˆ g1
XXX1 X Y2 Y3 Yg1
以简约式的第l个方程为例：
Ylt l1 X1t l 2 X 2t lK X Kt ult
该方程的系数构成行向量 Πl l1,,lK
，它的最小二乘估计量为：
Πˆ l XX1XYl
6
这些参数估计向量可以合并成下列简约式 模型参数的估计量矩阵：
Πˆ
Πˆ 1Πˆ 2 Πˆ g
ˆˆ 1211
X X11 X12
表示 Y 和X 。
X11
X12 X11
ˆ11
X12
ห้องสมุดไป่ตู้
ˆ1K1
0
X11
0
X12 Y1
Y11
1
ˆ12
Y12
ˆ1g1
0
0
10
X11X11
X12X11
ˆ11
X11X12
ˆ1K1
X11Y1
X12X12
联立方程模型 make system
联立方程模型是一种数学方法，通过联立多个方程来描述和解决复杂的问题。
这种模型在经济学、物理学、工程学等领域中得到了广泛的应用，能够帮助研究人员理解和预测各种变量之间的关系。
本文将介绍联立方程模型的基本概念和应用，以及如何构建和求解联立方程模型。
一、联立方程模型的基本概念联立方程模型是一种描述多个变量之间关系的数学模型。
我们可以用一组方程组来表示这些变量之间的相互影响。
一般来说，联立方程模型可以写成如下形式：1. 假设我们有n个变量和m个方程，我们可以用矩阵和向量的形式来表示联立方程模型：其中，Y是一个n维向量，代表因变量；X是一个n×k维矩阵，代表自变量；β是一个k维向量，代表自变量的系数；ε是一个n维向量，代表误差项。
2. 联立方程模型的基本假设包括：（1）线性关系假设：假设因变量和自变量之间的关系是线性的；（2）随机抽样：样本必须是随机抽样的，以保证估计结果的一致性；（3）独立同分布假设：误差项之间是相互独立的，并且服从相同的分布；（4）方差齐性假设：误差项的方差是相同的。
二、构建联立方程模型构建联立方程模型的基本步骤包括：1. 确定研究的目标和问题：首先需要明确研究的目的，确定需要研究的变量和它们之间的关系。
2. 收集数据：根据研究目标，需要收集相关的数据样本。
3. 设定模型：选择合适的自变量和因变量，并设计出联立方程模型的形式。
4. 估计参数：通过最小二乘法或其他方法，估计模型的参数。
5. 检验模型：对模型的拟合度和估计结果进行检验，检验模型是否符合现实情况。
6. 修正模型：根据检验结果对模型进行修正，直至得到较为合理的模型。
三、求解联立方程模型求解联立方程模型的常用方法有：1. 最小二乘法：通过最小化因变量的观测值和模型估计值之间的差异来估计参数。
2. 极大似然估计：通过最大化样本数据出现的概率来估计参数。
3. 广义最小二乘法：当误差项不满足方差齐性和独立同分布假设时，可以使用广义最小二乘法进行参数估计。
第三节 联立方程模型的参数估计
（二）间接最小二乘法（ILS）
1. 适用条件：被估方程是恰好识别；每个简化 式方程的随机项满足古典假定；前定变量之间 不存在高度多重共线性。 2.步骤： （1）写出结构型对应的简化型方程。 （2）对每个简化型方程应用普通最小二乘法， 得到简化型参数估计值。 （3）根据简化型参数与结构型参数之间的关 系（参数关系式体系）及简化式参数估计值， 求出结构型参数的估计值。 3.间接最小二乘估计量的统计性质： 对小样本是有偏的；对大样本是一致的。
2)预测性能检验 计算内生变量观测值与预测值的相对误差：
ˆ y if y if RE i y if ˆ 其中， y if 和yif 分别表示第 i个内生变量的观测值与 预测值 . 一般地， m个内生变量中， RE i 5%的变量个数占 70% 以上，并且每个变量的 RE i不大于10%，则认为模型系统 总体拟合效果好。
1kXk+u1
（1）
Ym= m1X1+ m2X2+ + mkXk+vm 对上述简化型的每一个方程应用OLS，得 ˆ i 2,, m ˆ ˆ ˆ Yi i1 X 1 i 2 X 2 入（1）得 ˆ ˆ Y1=b 12 Y 2+ +b 1m Ym +r 11X1+ +r 1kXk+u1* ˆ ˆ ˆ ˆ 11 1 对（2）应用OLS，求得 b12 ,, b1m , r ,, r k
（一）普通最小二乘法在递归模型中的应用 Y1t=a1+a2X1t+a3X2t+u1t Y2t=b1+b2X1t+b3X2t+b4Y1t+u2t Y3t=c1+c2X1t+c3X2t+c4Y1t+c5Y2tu3t 假定同期个方程的随机误差项互不相关。 可以分别对每个方程用普通最小二乘法进行参数估 计。
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供给方程 需求方程
Q P
t
1
2t
t
Q P Y
t
1
2t
3t
t
我们可以得到相应的结构式模型和简化式模型：
供给方程 需求方程
q p
t
2t
t
q p y
t
2t
3t
t
q
23
y
2t
2t
y
t t
12 t
1t
2
2
2
2
p
3
y
t
t
y
t t
22 t
2t
2
2
2
2
结构式 简化式
t
1
2t
t
由对应的结构式模型可以导出下面的简化式模型
p t
t
t
2
2
q 2 t
2t
t
2
2
显然由简化式模型无法得到结构式模型参数α2、β2 的估计，因此两个方程都是不可识别的。过市场均衡
点E，根本无法得到确定的供给曲线和需求曲线。
第12章 联立方程模型的估计方法
⑵一个方程含有一个先决变量的模型
已知消费和收入模型
消费方程 收入方程
c y
t
t
t
y c i g
t
t
t
t
其中ct、yt分别表示总消费和国民可支配收入，it、gt 为投资和政府支出，β为边际消费倾向(0<β<1)。
第12章 联立方程模型的估计方法
用OLS法可以得到参数β的估计
ˆ
ct yt
yt (yt
) t
y tt
y2 t
第12章 联立方程模型的估计方法
§12.1 联立方程模型概述 §12.2 模型识别问题 §12.3 参数的一致估计 §12.4 两阶段最小二乘法(2SLS) §12.5 具有序列相关和滞后因变量的联立方程 模型的估计 §12.6 更高级的估计方法
第12章 联立方程模型的估计方法
§12.1 联立方程模型概述
方程的参数，我们就无法估计了。因此该模型对供给
方程是可识别的(恰好识别)，而对需求方程却是不可
识别的。
第12章 联立方程模型的估计方法
⑶两个方程各含一个先决变量的模型
供给方程 需求方程
Q P T
t
1
2t
3t
t
Q P Y
t
1
2t
3t
t
其中T为气温(中心化记为r)。可以得到相应的结构式
下面讨论最简单的供给—需求模型
供给方程 需求方程
Q P
t
1
2t
t
Q P Y
t
1
2t
3t
t
12.1
如果把所有变量用离差形式(中心化)表示，模
型变为
供给方程 需求方程
q p
t
2t
t
q p y
t
2t
3t
t
12.2
这时，模型称为供给—需求的结构式模型。
第12章 联立方程模型的估计方法
由于联立方程模型中供给(需求)方程包含了两 个内生变量，直接用OLS得到的参数估计将是 有偏和不一致的，下面会进一步说明。
第12章 联立方程模型的估计方法
P Pt+1
D1(Yt)
D2(Yt+1) S
Pt
Q
Qt
Qt+1
图12.1 可支配收入变化引起市场均衡点移动
第12章 联立方程模型的估计方法
⑵模型的结构式与简化式
第12章 联立方程模型的估计方法
§12.2 模型识别问题 探讨从已知的简化式模型是否可以确定其结构式方程， 这一过程称为模型识别问题。
1、模型的识别类型 ⑴模型分为可识别模型与不可识别模型：
如果从简化式模型无法估计出所有的结构式参数，就 说该方程是不可识别的；如果从简化式模型可以得到 结构式参数的值，就说该方程是可以识别的。
第12章 联立方程模型的估计方法
利用OLS法由简化式模型可以得到估计量
ˆ qt yt
12
y2 t
ˆ pt yt
22
y2 t
因为参数之间有关系
2
12
/ 22
，于是由这两个估
计的商，可以结构式模型中供给方程的参数估计：
ˆ **
ˆ 12
qtyt
2
ˆ 22
pt yt
这种估计方法称为间接LS法。但对结构式模型中需求
如果把模型(12.2)所有内生变量都表示成只有先决变 量的函数，模型变为
q
23
y
2t
2t
y
t t
12 t
1t
2
2
2
2
p
3
y
t
t
y
t t
22 t
2t
2
2
2
2
这时，模型称为供给—需求的简化式模型。
12.3
⑶参数估计的性质
对结构式模型(12.2)的供给方程直接利用OLS法，斜率
(1 )Var(y ) t
Var( ) t
0
(1 )Var(y ) t
这里it、gt是模型的外生变量，与误差项无关。不等式 表明了OLS法高估了边际消费倾向的真实值。在本例
的消费收入模型中，联立方程只含有一个误差项εt， 因此可以导出参数估计的偏差方向。在一般情况下，
参数估计的偏差方向是无法确定的。
⑵可识别模型又可以分为恰好识别与过度识别两类：
如果结构式方程的参数存在唯一的取值，就说该方程 是恰好可识别的；如果结构式方程的某些参数具有多 个取值，就说该方程是过度识别的。
第12章 联立方程模型的估计方法
2、供给—需求模型的识别问题
⑴没有先决变量的模型
供给方程 需求方程
Q P
t
1
2t
t
Q P
y2 t
y2 t
所以
P lim
ˆ
P lim
y tt
y2 t
由消费收入的简化式模型
c i g 1
t 1 t 1 t 1 t
y
1
i1ຫໍສະໝຸດ g1t 1 t 1 t 1 t
第12章 联立方程模型的估计方法
可得
P lim
ytt
Cov(i , ) Cov(g , ) Var( )
tt
tt
t
y2 t
的参数估计值为
ˆ ptqt
2
p2 t
第12章 联立方程模型的估计方法
再把供给方程qt代入参数估计表达式得
ˆ
p tt
2
2
p2
t
在联立方程中，一个方程的内生变量往往会影响另一
方程的其它变量，因此通常误差项εt与内生变量pt相 关，OLS估计将是有偏和不一致的。
⑷消费收入模型OLS估计的偏差方向
量Pt、Qt。
第12章 联立方程模型的估计方法
⑴内生变量、外生变量与先决变量
在 生模变型量；中由由方模程型内外部部确决定定的的变变量量PYtt、称Q为t称外为生内变 量。要决定市场的均衡价格和数量Pt、Qt必须 知道Pt-1、Yt ，它们引起Pt、Qt的变化被称为先 导变量。实际上作为先导变量的，是外生变量 和滞后内生变量。图12.1反映了可支配收入Y的 变化如何影响市场的均衡价格与数量。
在构造商业和经济模型时，被研究的运动过程 常常可以用一组互相依赖的联立方程表示。
1、供给—需求模型
供给方程 需求方程
QS P P
t
1
2t
3 t 1
t
QD P Y
t
1
2t
3t
t
平衡方程
QS QD
t
t
其中P、Q分别表示价格和数量，Y为可支配收
入。三个方程共同决定市场均衡时的价格和数