实际流体恒定总流的伯努利方程

H
00
0
0
v 2 2g
1.势能积分:
（z
Q
p ）dQ g
物理含义：表示单位时间内通过断面的流体势能
如果断面是渐变流,服从静压强分布规律
p z C
g
（z
Q
p ）dQ＝（z g
p ） g
Q
dQ＝（z
p ） g
Q
2.动能积分：
u2 dQ＝ u3dA
Q 2g
2g A
物理含义：表示单位时间内通过断面的流体动能。
引入一个动能修正系数
（ 是实际动能与按断面平均流速计算的动能之比）
u3dA u3dA
2g
A
v3dA
A
v3A
2g A
的物理意义：
流体流速分布均匀性的指标。
在工程中，通常取 1
u2 dQ＝ u3dA＝ v3A＝v2 Q
Q 2g
2g A
2g
2g
3.水头损失积分：
h' l12
dQ
Q
物理含义：表示单位时间内流体克服1-2流段的摩擦 阻力作功所损失的机械能
z1＋
p1
g
＋
1v12
2g
()
H
i＝z
＋
2
p2
g
＋
2v12
2g
＋h l1-2
+Hi能量的输入，-Hi能量的输出
21
[例题]
如图所示管流，水箱中的水位保持恒定，
已知H、d、hW，试求通过流量Q。
[解]据1→2建立总流的伯努利方程，
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hl1~2
u22 2g
h'l1 ~
2
适用条件：恒定、不可压缩、质量力是重力的实际流动。
方程的物理含义与几何含义
z
p g u2 2g
z＋ p ＋ u 2 g 2g
h' l1 ~ 2
物理意义 单位重量流体所具有的位能 单位重量流体所具有的压能 单位重量流体所具有的动能 单位重量流体所具有的总能量
（机械能)
机械能的损失
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
2
p2
g
＋ 2 v12
2g
＋h
l1-2
z1＋
p1
g
＋ 1 v12
2g
＝z
＋
3
p3
g
＋3v
2g
2 3
＋h
l1-3
结论：对于断面有分支的流动，在列方程时，只需 计入所列断面间的能量损失，不需要考虑另一股分 支流的能量损失。
20
6.断面间无能量的输入和输出：
在实际工程中，有能量的输入和输出的情况还是 非常多的，比如：管道中有风机或者水泵就会有能量 的输入，如果管道中安装水轮机或汽轮机，就可以输 出能量。对这种情况只要把守恒关系建立起来就行了
( z1
p1
g
u12 2g
) dQ
(z2
p2
g
u22 2g
) dQ
h' l12
dQ
？
元流
总流
元流 积 分 总流
元流是总流的一个微分流动
积分，得单位时间内通过总流两过流断面的能量关系：
Q
( z1
p1
g
u12 2g
) dQ
Q
(z2
p2
g
u22 2g
) dQ
Q
h' l12
dQ
重量流量
重量流量 重量流量
是什么原因造成这次事故呢?
“奥林匹克号”与“豪克号”相撞事故示意图
小实验
小实验：如果两手各拿一张薄纸，使它们之间的距离大约4-6厘米，然后用 嘴向着两张纸中间吹气，如图所示，纸张是向内靠还是向外飘动？想一想， 动手试试看
知识回顾
➢实际流体恒定元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
为了计算方便，设 为hw单位重量流体在
两过流断面上的平均能量损失。
h' l12
dQ
hw
Q
Q
（z
Q
p ）dQ＝(z g
p g
）Q
u2 dQ＝v2 Q
2g
2g
h‘ l1-2
dQ＝h w
Q
将上面三个积分项均除以 Q，就 得到了总流的能量方程式。
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
（二）.适用条件 1.恒定流
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
2.流体是不可压缩的
3.列方程的两个断面必须是渐变流的过流断面 （均匀流更没问题）
4.整个流段质量力只有重力，不受惯性力 的作用
5.两断面间没有分流或合流
18
假设两断面间有分流或合流的情况：
19
z
＋
1
p1
是什么原因造成这次事故呢?
现象的解释
小实验：如果两手各拿一张薄纸，使它们之间的距离大约4-6厘米，然后用 嘴向着两张纸中间吹气，如图所示，纸张是向内靠还是向外飘动？想一想， 动手试试看
[例题]
如图所示管流，水箱中的水位保持恒定，
已知H、d、hW，试求通过流量Q。
[解]据1→2建立总流的伯努利方程：
z p 位能与压能之和称为势能，
g 从几何角度看，称之为测压管水头
几何意义 位置水头 压强水头 速度水头 总水头
水头损失
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
（一）恒定总流能量方程式的推导
恒定元流能量方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
h'l1 ~
2
方程两端乘以重量流量dQ ，得单位时间内通过元流两过流断面 的能量关系：
工程流体力学 ——实际流体恒定总流的伯努利方程
1
船吸现象
案例： 1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船——“奥 林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有一比 它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生了一件 意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地向“奥林 匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的船舷上,把 “奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢?
z1
p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hl1~2
H
00
0
0
v 2 2g
hW
得
v
2g
H
hW
Q Av d 2
4
2g
H
hw
小结
z1
ห้องสมุดไป่ตู้p1
g
1v12
2g
z2
p2
g
2v22
2g
hw
➢ 建立了恒定总流能量方程； ➢ 确立了总流流动中动能和势能、流速和压强
相互转化的普遍规律； ➢ 明确了方程中各项的物理意义； ➢ 应用该方程解释了生活中的一些物理现象。
2g
hw
——实际流体恒定总流的能量方程式， 也称之为恒定总流伯努利方程。
伯努利方程的目的：确立了恒定总流流动中势能和动能、 流速和压强相互转化的普遍规律。
（二）恒定总流能量方程式的应用 船吸现象
案例： 1912年秋季的某一天,当时世界上最大的远洋轮船——“奥 林匹克号”正航行在大海上,在离“奥林匹克号”100m的地方,有一比 它小得多的铁甲巡洋舰“豪克号”与它平行疾驶着,这时却发生了一件 意外的事情:小船好像被大船吸过去似的,完全失控,一个劲地向“奥林 匹克号”冲去，最后,“豪克号”的船撞在“奥林匹克号”的船舷上,把 “奥林匹克撞了个大洞。是什么原因造成这次事故呢?