习题八关系的闭包运算
关系的闭包
1 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
2014-10-14
关系的闭包
28
例8(续4)
解(续4):
b a
c d
1 1 . 1 0
1 1 M (t ( R)) M ( R) M ( R 2 ) M ( R 3 ) 0 0
问题: (1) r( R ) = R ?
(2) s( R ) = R ?
(3) t( R ) = R ?
2014-10-14
关系的闭包
19
定理7.10
定理7.10 : 设 RAA 且 A, 则
r( R ) = RIA; s( R ) = RR-1; t( R ) = RR2R3….
a
2014-10-14
d
关系的闭包
0 1 0 0 1 0 1 0 . M ( s ( R )) 0 1 0 1 0 0 1 0
26
例8(续2)
解(续2):
b a
c dபைடு நூலகம்
1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0
关系的闭包
0 1 M (R 2 ) 0 0 0 1 3 M (R ) 0 0
2014-10-14
1 0 0 0 0 1 0 0
0 1 M ( R) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0
G( R ) G(s( R ))
关系的闭包 12
关系的闭包运算
关系的闭包运算
关系的闭包运算是关系上的一元运算，它把给出的关系R扩充成一新关系R’，使R’具有一定的性质，且所进行的扩充又是最“节约”的。
比如自反闭包，相当于把关系R对角线上的元素全改成1，其他元素不变，这样得到的R’是自反的，且是改动次数最少的，即是最“节约”的。
一个关系R的闭包，是指加上最小数目的有序偶而形成的具有自反性，对称性或传递性的新的有序偶集，此集就是关系R的闭包。
设R是集合A上的二元关系，R的自反（对称、传递）闭包是满足以下条件的关系R'：
（i）R'是自反的（对称的、传递的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）对于A上的任何自反（对称、传递）关系R"，若R"⊇R，则有R"⊇R'。
R的自反、对称、传递闭包分别记为r(R）、s(R) 和t(R）。
性质1
集合A上的二元关系R的闭包运算可以复合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的对称闭包的传递闭包，通常简称为R的对称传递闭包。
而tsr(R)则表示R的自反对称传递闭包。
性质2
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）如果R是自反的，那么s(R）和t(R）也是自反的；
（b）如果R是对称的，那么r(R）和t(R）也是对称的；
（c）如果R是传递的，那么r(R）也是传递的。
性质3
设R是集合A上的二元关系，则有
（a）rs(R)=sr(R）；
（b）rt(R)=tr(R）；（c）ts(R)⊇ st(R）。
离散数学33.关系的闭包
一、关系的闭包
关系的闭包有3种: 自反闭包, 对称闭包,传递闭包. 1、定义3-8.1 设R是集合X上的二元关系,如果有另一个关系 R满足: 1) R是自反的(对称的,可传递的); 2) RR; 3)对于任何自反的(对称的,可传递的)关系R ,如果R R, 就 有R R ,则称R是R的自反(对称,传递)闭包. 记为r(R),s(R),t(R).
• 所以R是对称的.
• ② R =R∪RcR.
• ③ 设R是对称的，且RR ，要证 R R.
• 任取<a,b>∈R∪Rc<a,b>∈R∨<a,b>∈Rc
• <a,b>∈ R∨<b,a>∈R
• <a,b>∈ R ∨<b,a>∈ R
• <a,b>∈ R ∨<a,b>∈ R <a,b>∈ R
下证 R∪R(2)∪… 是传递的. 事实上，对任意 <x, y>,<y, z>, (<x, y> R∪R (2)∪…)∧(<y, z> R∪R (2) ∪…)
(t) (<x, y>R (t)) ∧ (s)(<y, z>R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t) R (s)) (t) (s)(<x, z> R (t+s)) <x, z> R∪R (2)∪… 从而 R∪R (2)∪… 是传递的. 因t(R)是传递闭包， 故t(R) R∪R2∪…. 由以上两方面知, t(R) ＝ R∪R2∪… .
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
第3章-8关系的闭包
3.8.1 关系的闭包的概念
关系的闭包运算是关系上的一元运算，是包含
该关系且具有某种性质的最小关系。
定义3.8.1：设
传递 对称
传递 对称
传递 对称
自反闭包是包含R的最小自反关系。
s t
定理3.8.1：设是上的二元关系，那么
（1） R是自反的，当且仅当
（2） R是对称的，当且仅当
(
D. 可传递的
B )
（2) 设ρ 是整数集I上的关系，定义为当且仅当 时， ，则ρ 是 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 ( D. 可传递的 A、B )
2. 下图给出了{1,2,3}上三个关系的关系图，试对每一 个图所表示的关系的性质作出判别，并将选中的性质的 代号填入相应的括号内。
若 A. 自反的 B. 对称的 C. 反对称的 D. 可传递 E. 反自反
R
（3） R是传递的，当且仅当
r R R
3.8.2 闭包运算 1. 自反闭包 2. 对称闭包 3. 传递闭包 一定存在着
使得
练习
1. 从下列各题给出的备选答案中选出正确的答案，并将其 代号填入题后面的括号内。
(1)设A={0,1,2,3}，A上的关系
,则ρ是
A. 自反的
B. 对称的
C. 反对称的
则 是（
则 是（ 则 是（
3
2
1
A﹑B A E
）
） ）
3. 设
，A上的关系
对下列求出的闭包判断正确与否，分别将“Y”或“N”
填入后面的括号。
（ （ （
N
）
Y ） N
）
小结: 本节介绍了关系的闭包的概念及其求 法。重点掌握关系的传递闭包的求法。
关系的闭包等价关系
[对称性] 假设( x1,x2)S ( y1,y2), 由S的定义以及R1,R2满足对称性可
知： ( y1,y2)S (x1,x2); S对称。 [传递性] 假设(x1,x2)S ( y1,y2), 且( y1,y2)S ( z1,z2), 则x1R1y1, y1R1z1,
自反闭包的计算公式
r(R) = RIA, IA是集合A上的恒等关系
(证明所给表达式满足自反闭包定义中的三条性质)
1. 对任意 xA, (x,x)IA, 因此, (x,x)RIA 2. RRIA 3. 设 R’ 集合A 上的自反关系，且RR’, 则对 任意 (x,y)RIA, 有(x,y)R, 或者 (x,y)IA。 对两种情况，均有 (x,y)R’, 因此, RIAR’
证明这是等价关系，并给出其商集．
等价关系的一个例子
R1,R2分别是集合X1,X2上的等价关系。定义X1X2上的关系S： (x1,x2)S (y1,y2) 当且仅当 x1R1y1 且 x2R2y2
证明：S是X1X2上的等价关系
[自反性] 对任意(x,y)X1X2, 由R1,R2满足自反性可知， (x,x)R1,
[1]={…, -5, -2, 1, 4, 7, …};
[2]={…, -4, -1, 2, 5, 8, 11, …}
等价类的代表元素
对于等价类[x]R={ y | yA xRy }，x称为这个等价 类的代表元素． 其实，该等价类的每个元素都可以做代表元素： 若xRy，则[x]=[y]
用定义证明有关闭包的性质
证明：st ( R) ts( R)
关系的闭包运算 离散数学
(1)传递闭包的性质
R是传递的，当且仅当 t(R) =R
(2) 构造传递闭包的方法
设R是集合X上的二元关系,则t(R)=
证R∪明R：2∪(1R)3∪∪i∞=1…Ri t(R) 用数学归纳法 1) i=1时，根据传递闭包的定义R t(R)
=
∞
∪
Ri
i=1
2)假设i≥1时，Ri t(R),从而对i+1时， 设<x,y>∈Ri+1 ,∵Ri+1=Ri 。R，则存在某个元 素c，使得<x,c>∈Ri，<c,y>∈R，由归纳假设 有<x,c>∈t(R),<c,y>∈t(R),
S2={<a,c>,<b,d>} S3={<a,d>} S4=, ∴ t(S)=S ∪ S2 ∪ S3
={<a,b>, <a,c>，<a,d>，<b,c>,<b,d>,<c,d>}
闭包的性质
设R1和R2是集合A上的关系且R1 ⊇ R2，则 a）r(R1) ⊇ r(R2) b）s(R1) ⊇ s(R2) b）t(R1) ⊇ t(R2) 定理* 设R是集合X上的二元关系,则
t(R）= R∪R2∪R3∪…∪Rk
分析：只要能够证明出t(R) R∪R2∪R3∪…∪Rk
证明：对x,y∈X，设<x,y>∈t(R)，则必存在最小正整 数k，使得<x,y>∈Rk，现证明k≤n。
若k＞n，则存在结点序列x＝a0,a1,a2 ,… ,ak－1,ak＝y， 使得xRa1 , a1Ra2 ,… ,ak－1Ry。 因为k＞n，则a0,a1,… ,ak中必有相同者， 不妨设ai ＝ aj ,0 ≤i＜j≤k， 于是xRa1 , a1Ra2 ,… ,ai－1Rai ,ajRaj＋1 ,… ,ak－1Ry成立。 即<x,y>∈Rs ,这里s＝k－(j－i)＜k,这与k是最小的假设 相矛盾，于是k≤n，又<x,y>是任意的，故定理成立。
3-8 关系的闭包
6、Warshall算法 设R是ｎ个元素集合A上的二元关系， (1)A是R的相关矩阵； (2)置i=1；
(3)对所有ｊ，如果aji=1，则对k=1，2，…，n
ajk=ajk+aik（第i行与第j行逻辑相加，记于第j行） (4)i=i+1； (5)如果i≤n，则转到步骤(3)，否则停止。
把包含R并且满足性质P的最小关系称为R对于P的
闭包, 记为P(R). (1)若P是自反的, 则称R是自反闭包, 记为r(r); (2)若P是对称的，则称R是对称闭包, 记为s(R); (3) 若P是传递的, 则称R是传递闭包,记为t(R).
也可形式地给出下面的定义和定理.
一、关系的闭包定义
定义3-8.1：设R是X上的二元关系，如果另外有一
则自反闭包 r(R)={<x，x>，<x，y>，<y，z>，<y，y>，<z，z>} 对称闭包 s(R)={<x，x>，<x，y>，<y，z>，<y，x>，<z，y>}
传递闭包
t(R)={<x，x>，<x，y>，<y，z>，<x，z>}
由闭包的定义可以知道，构造关系R的闭包方法 就是向R中加入必要的有序对，使其具有所希望的 性质。下面定理体现了这一点。
3、定理3-8.3：设R是集合X上的二元关系，则 s(R)=RRc。 证明：RRRc满足定义第一条。 <x，y>RRc<x，y>R<x，y>Rc<y， x>Rc<y，x>R<y，x>RRc，所以RRc是对 称的，满足定义的第二条。 如果RR”，且R”是对称的，<x，y>RRc，则<x， y>R或<x，y>Rc，如<x，y>R，由RR”，则<x， y>R”，如<x，y>Rc则<y，x>R则<y，x>R”， 又因R”对称，所以<x，y>R”，所以RRcR”，满足 定义第三条。得s(R)=RRc。
习题八关系的闭包运算
习题八:关系的闭包运算1．根据图3-8.1中的有向图，写出邻接矩阵和关系R ，并求出R 的自反闭包和对称闭包。
2．设集合A =｛ d c b a ,,,｝,A 上的关系R =｛〉〈〉〈〉〈〉〈d c c b a b b a ,,,,，，，｝a ）用矩阵运算和作图方法求出R 的自反闭包，对称闭包和传递闭包；b ）用Warshall 算法求出R 的传递闭包。
3．归纳出用矩阵和作图方法求出自反（对称，传递）闭包的一般方法。
4．设R 是有限集X 上的一个二元关系，证明：a ）对于任意在X 上的二元关系R ，有+R 是可传递的；b ）若有X 上任何其他传递关系P ，使得P ⊇R ，则必有P R ⊆+；c ）+R 就是定义3-8.1中所说的传递闭包。
图3-8.15．设21R R 和是集合A 上的关系且21R R ⊇，求证a))()(21R r R r ⊇b) )()(21R s R s ⊇c) )()(21R t R t ⊇6．证明定理3-9.6的c ）7．设21R R 和是集合A 上的关系，证明a) )()()(2121R r R r R R r =b) )()()(2121R s R s R R s =c) )()()(2121R t R t R R t =8．设R 是集合A 上的一个任意关系，)(*R tr R =，证明下列各式：a)+++=R R )(b)R R R R R ⋅==⋅+**c)***)(R R =9．如图2-2所示，给出了集合{}6,5,4,3,2,1上关系R 的关系图，试求R 的传递闭包。
10．设A 是任意集合，R 是A 上任意二元关系，试证：（1）()()R t R R ==+++ （2）R R R R R *+*== （3）()()R tr R R ==***11． 设R 为A 上的二元关系，()R r ，()R s ，()R t 分别表示R 的自反、对称、传递闭包。
试确定()R rst ，()R rts ，()R srt ，()R str ，()R trs ，()R tsr 之间的相互关系（等于或包含关系），并说明理由。
关系的闭包教学课件
03
关系闭包的计算方法
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
自反闭包
总结词
自反闭包是关系的一种扩展，它使得每个元素都与自己有关系。
详细描述
自反闭包是通过将所有自反关系（即关系中元素与自身相关）扩展到整个关系 而得到的。如果关系中存在元素A与自身相关，则自反闭包中一定包含该关系。
要点二
详细描述
在推荐系统中，闭包关系可以帮助理解用户的行为和兴趣 ，从而为用户提供更加准确的推荐。例如，通过分析用户 行为路径和物品间的闭包关系，可以发现用户可能感兴趣 的潜在物品或服务，从而为用户提供更加丰富的推荐内容 。同时，利用闭包关系还可以提高推荐系统的多样性，避 免用户陷入信息过载和推荐疲劳的问题。
函数依赖
一种特殊的数据依赖，表示一个属性决定另一个属性 的值。
范式转换
将关系模式从低范式向高范式转换，以消除数据冗余 和异常。
关系闭包与数据库设计
关系闭包
通过计算关系模式的闭包，可以确定关系模式满足的范式级别，从 而指导数据库设计。
闭包计算
通过计算属性集合的闭包，可以确定属性之间的函数依赖关系。
数据库设计优化
提高代码复用
闭包可以用于实现高阶函数、回调函数、观察者 模式等高级编程技术，提高代码复用性和可维护 性。
实现封装和隐藏
通过闭包，可以将数据封装在内部，对外只暴露 必要的接口，实现数据的隐藏和封装，提高代码 的安全性和模块化。
02
什么是关系的闭包？
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
闭包在数据库系统、知识表示、推理等领域有着广泛的应用。例如，在关系数据库中，闭包 可以用于查询优化和数据更新；在自然语言处理中，闭包可以用于语义分析和文本处理；在 人工智能和机器学习中，闭包可以用于知识表示和推理。
关系的闭包实例
关系的闭包实例在计算机科学中，关系是指集合之间的一种特殊联系。
一个关系可以用有序对的集合来表示，其中每个有序对由两个元素组成，分别来自两个不同的集合。
在关系理论中，闭包是指对于一个关系R，通过一系列操作得到的包含R中所有满足特定条件的元素对的集合。
关系的闭包在实际应用中有着广泛的用途。
本文将通过几个具体的实例来展示关系的闭包的应用。
1. 传递闭包（Transitive Closure）传递闭包是关系闭包中最重要的一种。
在一个关系R中，如果存在元素a和b，且存在元素c使得(a, c)和(c, b)都属于R，那么就称R 是传递的。
传递闭包就是在一个关系R的基础上，添加任何使得R 成为传递的元素对，直到无法再添加为止。
传递闭包在图论中有着重要的应用，可以用来求解最短路径、网络流等问题。
2. 自反闭包（Reflexive Closure）自反闭包是指在一个关系R的基础上，添加所有未包含在R中的形如(a, a)的元素对。
自反关系在实际应用中很常见，比如在数据库中，可以用自反闭包来表示一个实体与自身之间的关系。
3. 对称闭包（Symmetric Closure）对称闭包是指在一个关系R的基础上，添加所有未包含在R中的形如(b, a)的元素对，使得(a, b)和(b, a)都属于R。
对称闭包在社交网络中有着重要的应用，可以用来判断两个用户之间是否存在朋友关系。
4. 传递自反闭包（Transitive Reflextive Closure）传递自反闭包是指在一个关系R的基础上，同时添加传递闭包和自反闭包。
这种闭包在关系数据库中经常使用，可以用来表示一个实体与自身以及与其他实体之间的传递关系。
以上这些闭包只是关系闭包中的几个常见示例，实际应用中还有许多其他种类的闭包。
关系的闭包可以通过算法来计算，比如使用Warshall算法计算传递闭包，使用Floyd算法计算最短路径等。
总结起来，关系的闭包是在一个关系的基础上，通过添加满足特定条件的元素对来得到的扩展集合。
关系传递闭包的计算
关系传递闭包的计算关系是数据库中最基本的数据结构之一，它用于描述数据之间的联系。
在关系中，元组之间存在着某种联系，这种联系可以用关系运算来表达。
关系运算包括选择、投影、连接和除法等。
在关系运算中，传递闭包是一个非常重要的概念。
本文将介绍传递闭包的定义、性质和计算方法。
一、传递闭包的定义传递闭包是指在一个关系中，如果存在两个元组之间的联系，那么这个联系一定是传递的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。
这种联系就是传递闭包。
传递闭包可以用一个关系来表示，它包含了原始关系中所有的联系以及由这些联系导出的所有联系。
例如，假设有一个关系R(A,B,C)，其中元组(A1,B1,C1)和元组(A2,B2,C2)之间存在联系，元组(A2,B2,C2)和元组(A3,B3,C3)之间也存在联系，那么元组(A1,B1,C1)和元组(A3,B3,C3)之间就存在传递闭包。
传递闭包可以表示为一个关系T(A,B,C)，其中包含了元组(A1,B1,C1)、(A2,B2,C2)、(A3,B3,C3)之间的所有联系。
二、传递闭包的性质传递闭包具有以下性质：1. 传递闭包是原始关系的超集。
也就是说，传递闭包中包含了原始关系中所有的联系。
2. 传递闭包是自反的。
也就是说，每个元组都与自身存在联系。
3. 传递闭包是传递的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，元组B和元组C存在联系，那么元组A和元组C也一定存在联系。
4. 传递闭包是对称的。
也就是说，如果元组A和元组B存在联系，那么元组B和元组A也存在联系。
5. 传递闭包是最小的传递关系。
也就是说，如果一个关系R是传递的，那么它的传递闭包一定包含R。
三、传递闭包的计算方法传递闭包的计算方法有两种：Floyd算法和Warshall算法。
1. Floyd算法Floyd算法是一种基于动态规划的算法，它通过计算路径长度来求解传递闭包。
关系闭包
证明令R′＝R∪R ，因为R R∪R ，即R′ R，又设<x，g>∈R′，则<x，y>∈R或<x，y>∈R ，即<y，x><∈R 或<y，x>∈R，故<y，x>∈R∪R ，所以R′是对称的。
设R″是对称的且R″ R，对任意<x，y>∈R′，则<x，y>∈R或<x，y>∈R 。当<x，y>∈R则<x，y>∈R″，当<x，y>∈R 时，<y，x>∈R，<y，x>∈R″，因为R″对称，所以<x，y>∈R″，因此R′ R″，故
i＝6，i＝7时，由于第六、七列各元素均为零，A的赋值不变。
传递闭包 在语法分析中有很多应用，现以下例说明。
例题4设有一字母表V＝{A，B，C，D，e，d，f}并给定下面六条规则。
A→Af，B→Dde，C→e
A→B，B→De，D→Bf
R为定义在V上的二元关系且xiRxj，即是从xi出发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为xj。说明每一个字母连续应用上述规则可能推出的头字符。
定理3-8.2设R是集合X上的二元关系，则
r(R)＝R∪Ix
证明令R′＝R∪Ix，对任意x∈X，因为有<x，x>∈Ix，故<x，x>∈R′，，于是R′在X上是自反的。
又R R∪Ix即R R′。若有自反关系R″，且R″ R，显然有R″ Ix，于是
R″ Ix∪R＝R′，故
r(R)＝R∪Ix
定理3-8.3设R是集合X上的二元关系，则
例题2设A＝{a，b，c，d}，给定A上的关系R为R＝{<a，b>，<b，a>，<b，c>，<c，d>}，求t(R)。
关系的闭包
0 1 0 0
1 0 0 0
M
1
0
0 0
1 0
0
,
1
E
0
0
1 0
0 1
0
,
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
Mr
1
0
0 0
1 0
0
0
1 0
1 0
0 1
0
M 5 M 4M M 2M M 3,
可见R的幂只有三种，即R，R 2，R 3。
5.4.2 闭包
Mt M M 2 M 3 …
后面的M4 M5 …用不 用加？
不用加了，因为后面的矩阵和前面的重复， 而矩阵的逻辑加A A=A， 故此题中M1 M2 M3 …＝M1 M2 M3
5.4.2 闭包
1 1 1 1
Mt
M
M
2
M
3
1
1
1
1
0 0 0 1
0
0
0
0
注意：对有穷集A来说，R的不同的幂只有有限 种，因此右边一定是有限个项的并。
（对于n元集A，则R的不同幂至多有n个）
5.4.2 闭包
设R是集合A上的关系，A的元素个数为n，
R的传递闭包 t(R) R R2 R3
eg.设A {a,b, c, d}, R { a,b , b, a , b, c , c, d }，
离散数学33.关系的闭包
b) s(R2) s(R1); c) t(R2) t(R1).
二、闭包的构造方法
1、定理 3-8.2-8.4 设R是X上的二元关系，那么 a) r(R)=R∪IX; b) s(R)= R∪Rc; c) t(R)= R∪R(2)∪R(3) ∪…
a) 证：设R = R∪IX • ∵ ① xX,<x,x>R∴R具有自反性.
R的自反闭包r(R)-----Reflexive Closure 对称闭包s(R)-----Symmetric Closure 传递闭包t(R)-----Transitive Closure
用扩充序偶的方法得到自反（对称）闭包 例如， 设A={a,b,c,d},R={<a,b>, <b,a>, <b,c>, <c,d>, <d,b>},则 r(R) = {<a,b>, <b,a>, <b,c>, <c,d>, <d,b> , <a,a><b,b>,<c,c>, <d,d> } s(R) = {<a,b>, <b,a>, <b,c>, <c,d>, <d,b>,<c,b>, <d,c>, <b,d>}
事实上，由于<x, y> R(n+1) = R(n) R (t)(<x,t> R(n) ∧<t,y>R) (t)(<x,t>t(R) ∧<t,y>t(R))
<x,y>t(R) 从而 R(n+1) t(R) .
关系的闭包运算例题
关系的闭包运算例题一、设有关系R(A, B, C)，其中A是主键，下列哪个选项描述了R的关系闭包运算的结果？A. 包含R中所有元组及其由函数依赖推导出的新元组B. 仅包含R中所有元组C. 包含R中所有属性及其组合D. 仅包含R中的主键A（答案：A）二、关系闭包运算主要用于处理数据库中的哪种问题？A. 数据冗余B. 数据完整性C. 函数依赖的推导D. 数据安全性（答案：C）三、设有关系模式R(A, B, C, D)，其中A是主键，B函数依赖于A，C函数依赖于B，D函数依赖于C。
关系R的闭包至少包含哪些属性？A. A, BB. A, B, CC. A, B, C, DD. B, C, D（答案：C）四、在关系闭包运算中，如果某个属性函数依赖于另一个属性，那么闭包中将包含什么？A. 仅包含函数依赖的起始属性B. 仅包含函数依赖的目标属性C. 包含函数依赖的起始属性和目标属性D. 不包含任何函数依赖的属性（答案：C）五、设有关系R(A, B, C)，其中A是主键，B函数依赖于A。
关系R的闭包将包含哪些元组？A. R中所有元组以及由B对A的函数依赖推导出的新元组B. R中所有元组以及由A对B的函数依赖推导出的新元组C. 仅R中所有元组D. R中所有元组以及任意新推导出的元组（答案：A）六、关系闭包运算的结果是一个什么类型的数据结构？A. 关系B. 元组C. 属性集D. 函数依赖集（答案：A）七、在进行关系闭包运算时，如果关系中没有函数依赖，那么闭包的结果将是什么？A. 空关系B. 包含所有可能元组的关系C. 与原关系相同的关系D. 无法确定（答案：C）八、设有关系模式R(A, B, C)，其中A是主键，B和C都函数依赖于A。
关系R的闭包中不会包含哪种类型的元组？A. A=1, B=2, C=3（假设这是R中的一个元组）B. A=1, B=2, C=4（假设这不是R中的元组，但由函数依赖推导得出）C. A=2, B=3, C=5（假设这不是R中的元组，且无法由函数依赖推导得出）D. A=2, B=3, C=6（假设这是R中的一个元组）（答案：C）九、关系闭包运算在数据库设计中主要用于什么目的？A. 优化查询性能B. 确保数据完整性C. 减少数据冗余D. 提高数据安全性（答案：B）十、设有关系R(A, B)，其中A是主键，B函数依赖于A。