上海好的数学补习班 上海好的高中补习班-各章节知识点总结(大纲版)
闵行松江七宝寒假高中数学补习班-七宝新王牌
闵行松江七宝寒假高中数学补习班-七宝新王牌必修1第一章：集合与函数概念考点：1.集合的含义与表示2.集合间的基本关系3.集合的基本运算4.函数的定义域和值域5.了解并简单应用分段函数6.函数的单调性、最值及几何意义、奇偶性7.会利用函数图像表示并分析函数的性质。
易错点：做题目容易漏掉空集Φ这种情况，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；容易遗忘判断单调性以及奇偶性的方法。
难点：集合的运算、会利用韦恩图、补集思想、充要条件、函数的单调性、奇偶性。
第二章：基本初等函数考点：理解指数函数、对数函数的概念以及运算性质，会画图像并且了解相关性质。
了解幂函数的概念，结合图像了解变化情况。
易错点：容易遗忘指数、对数函数的图像性质，以及相关的运算性质。
难点：指数、对数函数的图像性质以及运算性质。
第三章：函数的应用考点：结合2次函数的图像，了解函数的零点和方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性和个数。
了解函数的增长特征，了解函数模型的广泛应用易错点：不了解函数零点与方程根之间的联系，不懂如何判断方程根是否存在以及个数。
难点：了解函数的零点和方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性和个数。
必修2第一章：空间几何体考点：能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
易错点：识别不出三视图所表示的立体模型，忘记表面积和体积的计算公式。
难点：正确判断三视图所表示的立体模型，掌握表面积和体积的计算公式。
第二章：点、直线、平面之间的位置关系考点：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
易错点：在判断线面位置关系的时候往往会遗漏掉一些特殊的情况，导致做错题目。
难点：掌握线面位置关系的相关性质和判定定理。
第三章：直线与方程考点：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
(整理)浦东金桥高中数学补习班函数学习(一)
第七讲 函数的学习（一）一、函数的概念及其关系的建立【知识结构】 一、函数的概念1、函数的概念：在某个变化个变化过程中有两个变量y x ,，如果对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，那么y 就是x 的函数。
记作()x f y =，()D x ∈。
x 叫做自变量，x 的取值范围D 叫做函数的定义域；和x 对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2、函数的三要素分别指函数的 定义域 、 值域 、 对应法则 ；当两个函数的 定义域 、 对应法则 分别相同时，那么这两个函数是同一函数3、函数的表示方法一般有 解析法 、 列表法 、 图像法当图像满足 和,x a a R =∈的图像最多只有一个交点 时才可作为函数图像在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。
分段函数是一个函数，而不是几个函数。
在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。
二、函数关系的建立求解应用题的一般步骤： 1、审清题意：认真分析题目所给的有关材料，弄清题意，理顺问题中的条件和结论，找到关键量，进而明确其中的数量关系(等量或大小关系) 2、建立文字数量关系式：把问题中所包含的关系可先用文字语言描述关键量之间的数量关系，这是问题解决的一把钥匙。
3、转化为数学模型：将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言，建立相应的数学模型(一般要列出函数式、三角式、不等式、数列、排列组合式、概率以及利用几何图形等进行分析)，转化为一个数学问题。
4、解决数学问题：利用所学数学知识解决转化后的数学问题，得到相应的数学结论。
5、返本还原：把所得到的关于应用问题的数学结论，还原为实际问题本身所具有的意义。
【热身练习】1、已知函数1)(2++=bx ax x f （a ，b 为实数），R x ∈． （1）若函数)(x f 的最小值是0)1(=-f ，求)(x f 的解析式；（2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[]3,1--上恒成立，试求k 的取值范围.2、已知扇形的周长为10，求扇形半径r 与面积S 的函数关系式及此函数的定义域、值域.【例题精讲】例1 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.例2 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，一直分裂下去．（１） 用列表表示，1个细胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的细胞个数；（２）用图像表示1个细胞分裂的次数n (n ∈N *)与得到的细胞个数y 之间的关系；例3（1）已知1)f x =+()f x 及2()f x ； （2）已知12)(3)(+=-+x x f x f ，求)(x f .例4（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ；（2）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（3）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．例5设定义在N 上的函数f （x ）满足f （n ）=⎩⎨⎧-+)]18([13n f f n ),2000(),2000(>≤n n 试求f （2002）的值.例6某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：⎪⎩⎪⎨⎧∈>∈≤≤-=),(32),1(961N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数） 注：次品率生产量次品数=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品． 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？例7（1）求下列函数的定义域：xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．（2）已知函数()f x 的定义域是(,)a b ，求函数()(31)(31)F x f x f x =-++的定义域．例8旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为多少时，旅行社可获得的利润最大？例9有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积最大（中间木档的面积可忽略不计).【巩固练习】1.设M={x|－2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f （x）的图象可以是2.设函数f（x）=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<+,114,1)1(2xxxx则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为A.（－∞，－2］∪［0，10］B.（－∞，－2］∪［0，1］C.（－∞，－2］∪［1，10］D.［－2，0］∪［1，10］3.已知f（x）=⎩⎨⎧<≥,0,0,0,1xx则不等式xf（x）+x≤2的解集是________.4.已知f（xx+-11）=2211xx+-，则f（x）的解析式可取为A.21xx+B.－212xx+C.212xx+D.－21xx+5.函数f（x）=|x－1|的图象是6.已知)(x f 的图象恒过（1，1）点，则)4(-x f 的图象恒过（ ）A ．（－3，1）B ．（5，1）C ．（1，－3）D ．（1，5）7.已知2()1f x x x =++，则[f f =___________．8.设二次函数()f x 满足f (x +2)=f (2-x )，且方程()0f x =的两实根的平方和为10，)(x f 的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式.9.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB=3米，AD=2米，（1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内? (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积。
上海高中数学知识点全总结
上海高中数学知识点全总结一、代数与函数1. 集合与函数的概念集合的基本概念、表示法和运算；函数的定义、性质和运算；特殊函数（如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的图像和性质。
2. 代数式的运算整式的加减乘除、因式分解；分式的约分和通分；多项式的根的求解；复数的基本概念和运算。
3. 不等式一元一次不等式和一元二次不等式的解法；不等式的证明；绝对值不等式的解集求解。
4. 函数的极限与连续性数列极限的概念和性质；函数极限的定义、性质和计算；无穷小量和无穷大量的概念；函数的连续性。
5. 导数与微分导数的定义、几何意义和物理意义；常见函数的导数；高阶导数；隐函数的求导；微分的概念和应用。
6. 函数的极值与最值问题极值存在的条件；最值的求解方法；实际问题中的最大值和最小值问题。
7. 函数的图像与性质函数的单调性、奇偶性、周期性；三角函数的图像和性质；指数函数和对数函数的图像；反函数的概念。
二、几何1. 平面几何点、线、面的基本性质；直线和圆的方程；圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程和性质；多边形的面积和几何变换。
2. 空间几何空间直线和平面的方程；空间向量的基本概念和运算；立体几何图形（棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球）的体积和表面积计算；空间几何体的外接和内切问题。
3. 解析几何坐标系的建立和应用；曲线的参数方程；极坐标系和直角坐标系的转换；曲线的对称性。
三、概率与统计1. 概率论基础随机事件的概率；条件概率和独立事件；贝叶斯定理；随机变量及其分布；离散型和连续型随机变量的概率密度函数。
2. 统计学基础数据的收集和整理；平均数、中位数、众数、方差、标准差的概念和计算；数据的图形表示（如直方图、箱线图）；线性回归分析。
四、数学分析1. 数列的极限数列极限的概念；数列极限的性质；无穷等比数列的极限；级数的概念和收敛性。
2. 函数的极限与连续性函数极限的ε-δ定义；连续函数的性质和分类；闭区间上连续函数的性质。
上海高三数学知识点归纳
上海高三数学知识点归纳数学是一门重要的学科，对于高三学生来说尤为关键。
在高三阶段，学生们需要全面复习并掌握各种数学知识点，以应对即将到来的高考。
为了帮助同学们更好地归纳数学知识点，下面将对上海高三数学知识点进行详细的整理与归纳。
1. 初等代数1.1 复数复数的定义与运算复数的平方根1.2 多项式多项式的定义与运算多项式的因式分解多项式方程的求解1.3 分式分式的定义与运算分式方程的求解1.4 指数与对数指数与对数的定义与运算指数和对数方程的求解2. 几何与向量2.1 几何基础知识平面几何的基本性质空间几何的基本性质2.2 直线和圆直线、线段、射线的性质与判定圆的性质与判定2.3 平面图形三角形、四边形、多边形的性质与判定圆的相交关系2.4 三维图形球、柱体、锥体、棱柱、棱锥的性质与判定 2.5 向量向量的定义与运算向量的数量积与向量积3. 数列与数学归纳法3.1 等差数列等差数列的通项公式与求和公式 3.2 等比数列等比数列的通项公式与求和公式 3.3 菲波那切数列菲波那切数列的性质与应用3.4 数学归纳法数学归纳法的基本思想与应用4. 函数与图像4.1 一次函数一次函数的性质与图像一次函数方程的求解4.2 二次函数二次函数的性质与图像二次函数方程的求解4.3 高次函数高次函数的性质与图像高次函数方程的求解4.4 反函数与复合函数反函数的概念与性质复合函数的概念与性质4.5 常用基本函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的性质与图像5. 概率统计与数理思维5.1 随机事件与概率随机事件与样本空间概率的定义与计算5.2 概率的加法与乘法定理概率的加法法则概率的乘法定理5.3 排列与组合排列与组合的基本概念与性质排列与组合的计算方法5.4 统计与抽样统计数据的收集与整理样本调查与抽样方法5.5 数理思维与证明数理思维的基本方法与应用数学证明的基本思路与技巧通过对上海高三数学知识点的归纳，同学们可以更好地了解到数学的基本概念、定理与公式，从而能够更有序地进行学习与复习。
上海教材高中数学知识点总结(最全)
目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U ：如U=R 交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集：}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注：数形结合—--文氏图、数轴 4．四种命题原命题:若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题:若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7。
全称命题、存在性命题的否定∀∈M, p(x)否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M ， p （x ）否定为： ∀∈M ， )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ,02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ） 3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注:用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤ 求最值条件是“一正二定三相等"三、函数概念与性质1．奇偶性f(x)偶函数⇔()()f x f x -=⇔f （x)图象关于y 轴对称 f(x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f （x ）图象关于原点对称 注：①f(x ）有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f(x ）奇函数,在x=0有定义⇒f(0)=0③“奇+奇=奇”(公共定义域内） 2．单调性f(x)增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1)＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1) ＞f （x 2） 或0)()(2121>--x x x f x ff(x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T )4．二次函数解析式： f （x)=ax 2+bx+c ，f （x ）=a(x-h)2+kf （x)=a(x-x 1)（x-x 2)对称轴：a bx 2-= 顶点:)44,2(2ab ac a b --单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当a b x 2-=，f （x)min ab ac 442-=奇偶性：f(x ）=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法—-- 注意对称轴与区间的位置关系注:一次函数f （x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a nnaa1=- m nmn a a = 2．对数式 b N a=log N a b =⇔（a 〉0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b n log log =ab log 1=注：性质01log =a 1log =a aN a N a =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =，1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称(互为反函数)4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下:α>101<<αα<0五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注：)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分， 并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断)注：①)(x f 零点:0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ,0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点——-0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈）2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦" 5．诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+6．特殊角的三角函数值α6π 4π 3π 2π π23πsin α 0 21 22 231 0 1-cos α 1 23 2221 01-tg α33 13/ 0 / 7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =±()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质 单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：y=sinxy=cosxy=tanx图象sinx cosx tanx 值域 ［-1，1] [-1，1］ 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 2π2ππ对称轴 2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=—cosCtan(A+B ）=—tanC 2cos 2sin CB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =CcsinA R a sin 2= CB A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A (求边) cos A =bcac b 2222-+(求角）面积公式：S △＝21ab sin C注：ABC ∆中,A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义:d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+=中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则qp n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项:11-=n n q a a求和:⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项：ac b =2（c b a ,,成等比)性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn 4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=CB 共始点中点公式：⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅⋅=2121yy x x + 注：①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：b a =⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=（21,e e不共线——基底) 平行：⇔b a //b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ) 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x 模：a＝22y x +=+=2)(b a夹角:=θcos ||||b a ba 注：①0∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律）不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数:bi a z +=(a,b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ）,虚数（0≠b )，复数集C注：z 是纯虚数0=⇔a ,0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -=模：22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减：（a+bi)±（c+di)=？ 乘法:（a+bi ）（c+di)=？ 除法：di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方:12-=i ，=ni rrk i i=+4 3．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法：反设—推理-矛盾—结论 分析法：执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真,即证……,这只要证C 为真，而已知C 为真，故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1）验证当n=1时命题成立,（2)假设当n=k(k ∈N* ，k ≥1)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立由（1）(2）知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-,斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+b ya x 一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系（注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离:|AB ｜=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ，半径r圆一般方程:022=++++F Ey Dx y x （条件是?）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径r =6、直线与圆位置关系注：点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外 7、直线截圆所得弦长AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1|+|PF 2|=2a （2a>｜F 1F 2｜) 双曲线：|PF 1|-|PF 2|=±2a （0〈2a 〈｜F 1F 2｜) 抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质(如焦点在x 轴)椭圆12222=+b y a x ( a>b 〉0)双曲线12222=-by a x （a>0，b>0）中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c,0）、F 2(—c,0) 顶点: 椭圆(±a ，0)，（0, ±b),双曲线(±a,0） 范围: 椭圆-a ≤x ≤a ，—b ≤y ≤b双曲线｜x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c （c=22b a -)双曲线2c （c=22b a +） 2a 、2b ：椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0〈e<1,双曲线e 〉1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn抛物线y 2=2px(p>0）顶点(原点） 对称轴（x 轴)开口(向右） 范围x ≥0 离心率e=1焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句：INPUT “提示内容"；变量 2输出语句:PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF-THEN —ELSE ”语句 “IF —THEN"语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2 END IF 5循环语句当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法：到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x ）= a n x n +a n-1x n-1+…。
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目录一、会集与常用逻辑二、不等式三、函数看法与性质四、根本初等函数五、函数图像与方程六、三角函数七、数列八、平面向量九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计一、会集与常用逻辑1．会集看法元素：互异性、无序性2．会集运算全集U：如U=R交集： A B { x x A且 x B}并集： A B { x x A或x B}补集： C U A { x x U且x A}3．会集关系空集A子集 A B :任意x A x BA B A A B A B B A B注：数形结合 --- 文氏图、数轴4．四种命题原命题：假设p 那么 q抗命题：假设q 那么 p 否命题：假设p 那么q逆否命题：假设q 那么p原命题逆否命题否命题抗命题5．充分必要条件p 是 q 的充分条件：P qp 是 q 的必要条件：P qp 是 q 的充要条件：p? q6．复合命题的真值①q真〔假〕 ? “q〞假〔真〕②p、 q 同真 ? “ p∧ q〞真③p、 q 都假 ? “ p∨ q〞假7.全称命题、存在性命题的否认M, p(x 〕否认为 :M,p( X )M, p(x 〕否认为 :M,p( X )二、不等式1．一元二次不等式解法假设a0 ， ax2bx c 0 有两实根 , () ，那么ax2bx c0解集 ( ,)ax 2bx c 0 解集 ( ,)(, )注：假设 a 0 ，转变为 a0 情况2．其他不等式解法 —转变x a a x ax 2 a 2x ax a 或 xax 2a2三、函数看法与性质1．奇偶性f(x) 偶函数f ( x)f ( x)f(x) 图象关于 y 轴对称f(x) 奇函数f ( x)f ( x)f(x) 图象关于原点对称注：① f(x) 有奇偶性定义域关于原点对称②f(x) 奇函数 , 在 x=0 有定义f(0)=0③“奇 +奇=奇〞〔公共定义域内〕2．单调性f(x) 增函数： x ＜ x2 f(x ) ＜f(x2)11或 x ＞ x2 f(x ) ＞ f(x )112f (x)g( x)0 f ( x)g ( x) 0f ( x ) f ( x )或12a f ( x ) a g ( x )f ( x)g( x) 〔 a 1〕log a f ( x) log a g( x)f ( x) 00 a〔〕f ( x)g( x)13．根本不等式① a 2 b 2 2ab②假设 a,b R a b ab，那么2注：用均值不等式 ab 2 ab 、 ab (a b) 22求最值条件是“一正二定三相等〞f(x) 减函数：？注：①判断单调性必定考虑定义域② f(x) 单调性判断定义法、图象法、性质法“增 +增 =增〞③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性T 是 f (x)周期 f (x T)f (x) 恒成立〔常数 T0 〕4．二次函数解析式： f(x)=ax2+bx+c ， f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x1)(x-x 2)对称轴： xb 极点： (b , 4 ac 2a2 a 4 a单调性： a>0，(b ] 递减， [,2 a当 xb， f(x) min4 acb22a 4 a奇偶性： f(x)=ax 2+bx+c 是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、谈论法 ---注意对称轴与区间的地址关系注：一次函数 f(x)=ax+b 奇函数b=0b2log a b log a nbn 1)log b ab , ) 递加注：性质 log a 10 log a a 1 a log a N N常用对数 lg N log 10 N ， lg 2 lg 5 12 a自然对数 ln N log e N ， ln e13．指数与对数函数y=a x 与 y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？xa图象关于 y=x 对称〔互为反函数〕注： y=a 与 y=log xy x 2 , yx 3, y 1x 1四、根本初等函数4．幂函数x 2 , ya n 1ny x 在第一象限图象以下：1．指数式a1 (a0)amm ana n2．对数式log a N ba bN 〔 a>0,a ≠ 1〕11log a MN log a M log a N log aMlog a M log a NNlog a M n n log a Mlog m b lg blog a blg alog m ay y五、函数图像与方程y=f(x)y=f(|x|) 1．描点法函数化简→定义域→谈论性质〔奇偶、单调〕取特别点如零点、最值点等2．图象变换平移：“左加右减，上正下负〞y f ( x)y f ( x h)伸缩： y f ( x)每一点的横坐标变为原来的倍y f ( 1 x)对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变〞y f (x)x轴y f ( x)y f (x)y轴y f ( x)y f (x)原点y f (x)直线x a注： y f (x)y f (2a x)翻折： y f ( x)y| f (x) |保存x轴上方局部，并将下方局部沿x 轴翻折到上方yy=f(x)yy=|f(x)|aob cxa o bc x3．零点定理假设 f ( a) f (b)0 ，那么y f ( x) 在( a, b)内有零点〔条件： f (x) 在[ a, b]上图象连续不中止〕注：① f ( x) 零点： f ( x)0 的实根②在 [ a, b] 上连续的单调函数 f (x) ，f (a) f (b)0那么 f (x) 在( a,b)上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点--- f ( a) f (b) 0 ？六、三角函数1．看法第二象限角 (2k,2k) (k Z )22．弧长l r扇形面积S1lr23．定义siny xtanycosr xr其中 P( x, y) 是终边上一点， PO r4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦〞5．引诱公式：“奇变偶不变，符号看象限〞a obc x a o b c x y f (x)y f (| x |) 保存 y 轴右边局部，并将右边局部沿y 轴翻折到左边如 Sin(2)sin，cos(/ 2)sin 6．特别角的三角函数值3 64322sin0123101 222cos13211 222tg0313/0/ 37．根本公式同角 sin 2cos21sin tancos和差 sin sin cos cos sin cos cos cos sin sintantan tan 1tan tan倍角 sin 22sin coscos22221 12 cos sin2cos2sin2tantan 21 tan 2降幂 cos 2α = 1 cos2sin2α=1cos222叠加 sin cos 2 sin()43 sin cos 2 sin()a sinb cos a2b2 sin()(tan a )b8．三角函数的图象性质y=sinx y=cosx y=tanx图象单调性：(,)增(0, )减( ,)增2 2 2 2sinx cosx tanx值域[-1 ， 1][-1 ， 1]无奇偶奇函数偶函数奇函数周期2π2ππ对称轴x k/ 2x k无中心k ,0/ 2k ,0k / 2,0注： k Z69．解三角形根本关系 ：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanCsinA BcosC22正弦定理 ：a=bcsin A =sin Csin Ba 2R sin Aa :b :c sin A : sin B : sin C余弦定理 ： a 2=b 2+c 2－2bccosA 〔求边〕b 2c 2 a 2cosA=〔求角〕2bc面积公式 ：S △＝ 1absinC2注：ABC 中， A+B+C=？ A Bsin A sin Ba 2＞b 2+c 2? ∠A ＞2七、数 列2、等比数列定义 ： a n 1 ( 0)a n q q通项 ： a n a 1q n 1na 1 (q 1)求和 ： S na 1 (1 q n )1)1 (qq中项 ： b 2ac 〔 a, b, c 成等比〕性质 ：假设 m n p q那么 a m a n a pa q3、数列通项与前 n 项和的关系s 1a 1 (n 1)a ns n 1 (n2)s n4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1、等差数列定义 ： a n 1 通项 ： a n求和 ： S na n d a 1(n 1)dn(a 1a n ) 12na 1n( n 1)d21．向量 加减三角形法那么，平行四边形法那么AB BCAC 首尾相接， OBOC = CB 共始点中点公式： ABAC2 AD D 是BC 中点2． 向量 数量积a a bcosy 1 y 2b == x 1 x 2a c〔 a, b, c 成等差〕中项 ： b2性质 ：假设 m np q ，那么 a m a n a pa q注：① a , b 夹角：00≤θ≤1800② a, b 同向： a b a b3．根本定理a1e12e2〔 e1 ,e2不共线--基底〕平行： a // b a b x1 y2x2 y1〔 b0 〕垂直： a b a b 0x1 x2y1 y2 0模： a ＝x 2y22(a b) 2 a b夹角： cosa b| a || b |注：① 0 ∥ a② a b c a b c 〔结合律〕不成立③ a b a c b c 〔消去律〕不成立九、复数与推理证明1．复数看法复数： z a bi (a,b R) ，实部a、虚部b分类：实数〔 b 0 〕，虚数〔 b 0〕，复数集C注： z 是纯虚数 a 0 ， b 0相等：实、虚局部别相等共轭： z a bi模： z a 2b2z z2z复平面：复数 z 对应的点(a, b)2．复数运算加减：〔 a+bi 〕± (c+di)= ？乘法：〔 a+bi 〕〔 c+di 〕 =？除法：abi =(a bi )(c di ) ==c di(c di )(c di )乘方：i2 1 ，i n i 4 k r i r3．合情推理类比：特别推出特别归纳：特别推出一般演绎：一般导出特别〔大前题→小前题→结论〕4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法：反设—推理—矛盾—结论解析法：执果索因解析法书写格式：要证 A 为真，只要证 B 为真，即证，这只要证 C 为真，而 C 为真，故 A 必为真注：常用解析法研究证明路子，综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)考据当 n=1 时命题成立 ,(2) 假设当 n=k(k N*，k1) 时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立由 (1)(2) 知这命题对所有正整数 n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可以，归纳假设必定使用十、直线与圆1、倾斜角范围 0,斜率y2y1 k tanx1x2注：直线向上方向与 x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为 90 时，斜率不存在2、直线方程点斜式 y y0k (x x0 ) ，斜截式 y kx by y1x x1，截距式x y1两点式y2y1x2x1a b 一般式 Ax By C0注意适用范围：①不含直线 x x0②不含垂直 x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、地址关系〔注意条件〕平行k1k2且 b1b2垂直k1k21垂直A1 A2 B1B2 0 4、距离公式两点间距离： |AB|=( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2圆一般方程： x2y 2Dx Ey F 0〔条件是？〕圆心 D ,ED 2E24F半径 r2226、直线与圆地址关系地址关系相切订交相离几何特色d rd r d r代数特色△ 0△ 0△ 0注：点与圆地址关系(x0a)2( y0b)2r 2点P x0, y0在圆外7、直线截圆所得弦长AB 2 r 2 d 2十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)点到直线距离： d Ax0By0CA2B2双曲线： |PF 1|-|PF 2|= ± 2a(0<2a<|F 1F2|)抛物线：与定点和定直线距离相等的点轨迹5、圆标准方程：( x a)2( y b)2r 2圆心( a , b )，半径r二、标准方程与几何性质〔如焦点在x 轴〕椭圆 x2y 2 1( a>b>0)a 2b 2双曲线x 2 y 2 1(a>0,b>0)a 2b 2中心 原点 对称轴 ？ 焦点 F 1(c,0) 、 F 2(-c,0)极点 : 椭圆 ( ± a,0),(0,± b) ，双曲线 ( ± a,0)范围 : 椭圆 -a x a,-b y b双曲线 |x| a ，y R焦距 ：椭圆 2c 〔c= a 2b 2 〕双曲线 2c 〔 c=a2b 2〕2a 、 2b: 椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率 ： e=c/a 椭圆 0<e<1, 双曲线 e>1注：双曲线x 2y 2 1渐近线 y b x a 2b 2 a方程 mx 2 ny 2 1 表示椭圆 m 0,n0.m n方程 mx 2ny 21 表示双曲线mn抛物线 y 2=2px(p>0)极点〔原点〕 对称轴〔 x 轴〕张口〔向右〕 范围 x 0离心率 e=1焦点 F ( p,0)准线 xp 22十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图程序框名称 功能起止框初步和结束输入和输出的信息输入、输出框赋值、计算办理框判断某一条件可否成立判断框循环框重复操作以及运算二．根本算法语句及格式1 输入语句 ： INPUT “提示内容〞 ；变量2 输出语句 ： PRINT “提示内容〞 ；表达式3 赋值语句 ：变量 =表达式4 条件语句“ IF —THEN — ELSE 〞语句“ IF — THEN 〞语句IF条件THEN IF条件THEN语句1语句ELSE END IF语句 2END IF5 循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE条件DO循环体循环体WEND LOOP UNTIL条件当型“先判断后循环〞直到型“先循环后判断〞三．算法案例1、求两个数的最大合约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式 f(x)= a n x n+a n-1 x n-1+.+a1x+a 0的求值秦九韶算法： v1 =a n x+a n－1v2=v 1x+a n－2v3=v 2x+a n－3v n=v n－1x+a0注：递推公式v0=a n v k=v k－1X +a n－k(k=1,2,n)求 f(x) 值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的变换k 进制数变换为十进制数：a n a n 1 .....a1 a0 (k ) a n k n a n 1k n 1......... a1k a0十进制数变换成k 进制数：“ 除 k 取余法〞例 1辗转相除法求得123 和 48 最大合约数为 3例 2 f(x)=2x 5－ 5x4－ 4x3+3x2－ 6x+7，秦九韶算法求 f(5) 123＝2×48＋ 27v0=248＝1×27＋ 21v1=2×5－5=527 ＝1×21＋ 6v2=5×5－4=2121＝3× 6＋3v=21× 5+3=10836＝2×3+0v4=108×5－6=534v5=534× 5+7=2677十三、立体几何1．三视图正视图、侧视图、俯视图' ''=452．直观图：斜二测画法X OY平行 X 轴的线段，保平行和长度平行 Y 轴的线段，保平行，长度变原来一半3．体积与侧面积V 柱 =S 底 h V锥 =1S 底 h V球 =4πR333S圆锥侧 =rl S圆台侧= (R r )l S球表 =4 R2 4．公义与推论确定一个平面的条件：①不共线的三点②一条直线和这直线外一点③两订交直线④两平行直线公义：平行于同一条直线的两条直线平行定理：若是两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
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上海教材高中数学知识点总结(最全)
目录一、集合与常用逻辑 二、不等式 三、函数概念与性质 四、基本初等函数 五、函数图像与方程 六、三角函数 七、数 列 八、平面向量九、复数与推理证明 十、直线与圆 十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步 十三、立体几何 十四、计数原理 十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念 元素：互异性、无序性 2．集合运算 全集U:如U=R 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集：}{B x A x x B A ∈∈=⋃或补集:}{A x U x x A C U ∉∈=且 3．集合关系 空集A ⊆φ子集B A ⊆:任意B x A x ∈⇒∈B A B B A BA AB A ⊆⇔=⊆⇔=注:数形结合-——文氏图、数轴 4．四种命题原命题：若p 则q 逆命题：若q 则p 否命题：若p ⌝则q ⌝ 逆否命题：若q ⌝则p ⌝原命题⇔逆否命题 否命题⇔逆命题5．充分必要条件p 是q 的充分条件：q P ⇒ p 是q 的必要条件：q P ⇐ p 是q 的充要条件：p ⇔q 6．复合命题的真值①q 真（假）⇔“q ⌝”假（真） ②p 、q 同真⇔“p ∧q ”真 ③p 、q 都假⇔“p ∨q ”假 7.全称命题、存在性命题的否定∀∈M, p （x)否定为: ∃∈M, )(X p ⌝ ∃∈M, p(x)否定为: ∀∈M, )(X p ⌝二、不等式1．一元二次不等式解法若0>a ,02=++c bx ax 有两实根βα,)(βα<，则02<++c bx ax 解集),(βα02>++c bx ax 解集),(),(+∞-∞βα注：若0<a ，转化为0>a 情况 2．其它不等式解法—转化a x a a x <<-⇔<⇔22a x <⇔>a x a x >或a x -<⇔22a x >0)()(>x g x f ⇔0)()(>x g x f ⇔>)()(x g x f a a )()(x g x f >（a >1）⇔>)(log )(log x g x f a a f x f x g x ()()()><⎧⎨⎪⎩⎪0（01<<a ）3．基本不等式 ①ab b a 222≥+ ②若+∈R b a ,，则ab ba ≥+2注:用均值不等式ab b a 2≥+、2)2(b a ab +≤求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f （x ）偶函数⇔()()f x f x -=⇔f （x ）图象关于y 轴对称 f （x)奇函数⇔()()f x f x -=-⇔f(x ）图象关于原点对称 注：①f(x)有奇偶性⇒定义域关于原点对称②f （x)奇函数,在x=0有定义⇒f （0)=0③“奇+奇=奇”（公共定义域内) 2．单调性f （x ）增函数：x 1＜x 2⇒f(x 1）＜f(x 2)或x 1＞x 2⇒f(x 1） ＞f(x 2） 或0)()(2121>--x x x f x ff （x ）减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f （x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”③奇函数在对称区间上单调性相同 偶函数在对称区间上单调性相反 3．周期性T 是()f x 周期⇔()()f x T f x +=恒成立（常数0≠T）4．二次函数解析式： f(x)=ax 2+bx+c ，f （x)=a （x-h)2+kf （x)=a(x —x 1)（x —x 2)对称轴：abx 2-= 顶点:)44,2(2a b ac a b -- 单调性：a>0，]2,(ab--∞递减，),2[+∞-a b 递增 当ab x 2-=，f （x ）min a b ac 442-=奇偶性：f （x)=ax 2+bx+c 是偶函数⇔b=0闭区间上最值:配方法、图象法、讨论法—-- 注意对称轴与区间的位置关系注:一次函数f(x)=ax+b 奇函数⇔b=0四、基本初等函数1．指数式 )0(10≠=a a nnaa 1=- m nmn a a = 2．对数式 b N a =log N a b=⇔（a>0,a ≠1）N M MN a a a log log log +=N M NM a a a log log log -=M n M a n a log log =a b b m m a log log log =ablg lg =n a a b b n log log =ab log 1=注：性质01log =a 1log =a a N aNa =log常用对数N N 10log lg =，15lg 2lg =+ 自然对数N N e log ln =,1ln =e 3．指数与对数函数 y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注：y=a x与y=log a x 图象关于y=x 对称（互为反函数）4．幂函数 12132,,,-====x y x y x y x yαx y =在第一象限图象如下：α>101<<αα<0五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调） 取特殊点如零点、最值点等 2．图象变换平移：“左加右减，上正下负”)()(h x f y x f y +=→=伸缩：)1()(x f y x f y ϖϖ=−−−−−−−−→−=倍来的每一点的横坐标变为原对称：“对称谁,谁不变，对称原点都要变”)()()()()()(x f y x f y x f y x f y x f y x f y y x --=−−→−=-=−→−=-=−→−=原点轴轴注:)(x f y =ax =→直线)2(x a f y -=翻折：→=)(x f y |()|y f x =保留x 轴上方部分，并将下方部分沿x 轴翻折到上方→=)(x f y (||)y f x =保留y 轴右边部分， 并将右边部分沿y 轴翻折到左边3．零点定理若0)()(<b f a f ，则)(x f y =在),(b a 内有零点 （条件：)(x f 在],[b a 上图象连续不间断）注：①)(x f 零点:0)(=x f 的实根②在],[b a 上连续的单调函数)(x f ,0)()(<b f a f 则)(x f 在),(b a 上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点——-0)()(<b f a f ？六、三角函数1．概念 第二象限角)2,22(ππππ++k k (Z k ∈)2．弧长 r l ⋅=α 扇形面积lr S 21=3．定义 r y =αsin r x =αcos xy=αtan 其中),(y x P 是α终边上一点，r PO =4．符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5．诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限”如ααπsin )2(-=-Sin ，ααπsin )2/cos(-=+ 6．特殊角的三角函数值α6π 4π 3π 2π π23πsin α 0 21 22 231 0 1-cos α 1 23 2221 01-tg α33 13/ 0 / 7．基本公式同角1cos sin 22=+αααααtan cos sin = 和差()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±()βαβαβαsin sin cos cos cos =± ()βαβαβαtan tan 1tan tan tan ±=±倍角 αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=降幂cos 2α=22cos 1α+ sin 2α=22cos 1α- 叠加 )4sin(2cos sin πααα+=+)6sin(2cos sin 3πααα-=-)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a )(tan ba=ϕ8．三角函数的图象性质 单调性： )2,2(ππ-增 ),0(π减 )2,2(ππ-增注：Z k ∈y=sinxy=cosxy=tanx图象sinx cosx tanx 值域 [-1，1］ ［—1，1] 无 奇偶 奇函数 偶函数 奇函数 周期 2π2ππ对称轴 2/ππ+=k xπk x =无中心()0,πk()0,2/ππk + ()0,2/πk9．解三角形基本关系:sin （A+B)=sinC cos(A+B ）=—cosC tan （A+B)=-tanC 2cos 2sinCB A =+ 正弦定理：A a sin =B b sin =CcsinA R a sin 2= CB A c b a sin :sin :sin ::=余弦定理：a 2=b 2+c 2－2bc cos A （求边) cos A =bcac b 2222-+（求角）面积公式:S △＝21ab sin C注：ABC ∆中，A+B+C=？ B A B A sin sin <⇔<a 2＞b 2+c 2 ⇔ ∠A ＞2π七、数 列1、等差数列定义：d a a n n =-+1 通项：d n a a n )1(1-+= 求和：2)(1n n a a n S += d n n na )1(211-+= 中项：2ca b +=（c b a ,,成等差） 性质：若q p n m +=+，则qp n m a a a a +=+2、等比数列 定义：)0(1≠=+q q a a nn通项：11-=n n q a a求和：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn中项:ac b =2（c b a ,,成等比)性质：若q p n m +=+ 则q p n m a a a a ⋅=⋅ 3、数列通项与前n 项和的关系⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n a s a n nn4、数列求和常用方法公式法、裂项法、 错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减 三角形法则，平行四边形法则=+BC AB AC 首尾相接，OC OB -=CB 共始点中点公式:⇔=+AD AC AB 2D 是BC 中点 2． 向量数量积 b a ⋅=θcos ⋅⋅=2121y y x x +注:①b a ,夹角：00≤θ≤1800②b a ,同向：b a =⋅3．基本定理 2211e e a λλ+=(21,e e不共线--基底) 平行：⇔b a //b a λ=⇔1221y x y x =（0≠b ） 垂直：0=⋅⇔⊥b a b a 02121=+⇔y y x x 模:a＝22y x +=+=+2)(b a夹角：=θcos ||||b a ba 注：①0∥a ②()()c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（结合律)不成立③c a b a ⋅=⋅c b =⇒（消去律)不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：bi a z +=(a ，b )R ∈，实部a 、虚部b 分类：实数（0=b ），虚数（0≠b ），复数集C注:z 是纯虚数0=⇔a ,0≠b相等：实、虚部分别相等 共轭：bi a z -=模:22b a z +=2z z z =⋅复平面：复数z 对应的点),(b a 2．复数运算加减:(a+bi ）±（c+di)=？ 乘法：（a+bi)（c+di)=？ 除法:di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+==… 乘方：12-=i ，=n i rr k i i=+4 3．合情推理类比:特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎:一般导出特殊（大前题→小前题→结论） 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论 反证法:反设—推理—矛盾—结论 分析法:执果索因分析法书写格式：要证A 为真，只要证B 为真，即证……， 这只要证C 为真，而已知C 为真,故A 必为真 注：常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程5．数学归纳法：(1)验证当n=1时命题成立，(2)假设当n=k （k ∈N ＊ ,k ≥1）时命题成立, 证明当n=k+1时命题也成立由（1)（2）知这命题对所有正整数n 都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角 范围[)0,π 斜率 2121tan y y k x x α-==-注：直线向上方向与x 轴正方向所成的最小正角倾斜角为90︒时，斜率不存在 2、直线方程点斜式)(00x x k y y -=-，斜截式b kx y += 两点式121121x x x x y y y y --=--， 截距式1=+bya x一般式0=++C By Ax注意适用范围：①不含直线0x x = ②不含垂直x 轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线 3、位置关系(注意条件） 平行⇔12k k = 且21b b ≠垂直⇔121k k =- 垂直⇔12120A A B B += 4、距离公式两点间距离：｜AB|=221221)()(y y x x -+- 点到直线距离：d =5、圆标准方程：222)()(r b y a x =-+- 圆心),(b a ,半径r圆一般方程：022=++++F Ey Dx y x (条件是？）圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭半径2r =6、直线与圆位置关系注:点与圆位置关系 ⇔>-+-22020)()(r b y a x 点()00,P x y 在圆外7、直线截圆所得弦长AB =十一、圆锥曲线一、定义椭圆： |PF 1｜+｜PF 2｜=2a(2a>｜F 1F 2｜) 双曲线：|PF 1｜-|PF 2|=±2a(0<2a<|F 1F 2|） 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹 二、标准方程与几何性质(如焦点在x 轴)椭圆12222=+b y a x （ a>b 〉0）双曲线12222=-by a x （a>0，b 〉0)中心原点 对称轴？ 焦点F 1(c ，0)、F 2(—c,0) 顶点： 椭圆（±a ，0），（0, ±b)，双曲线（±a ，0) 范围： 椭圆—a ≤x ≤a,—b ≤y ≤b双曲线|x| ≥ a ，y ∈R 焦距：椭圆2c(c=22b a -)双曲线2c （c=22b a +) 2a 、2b :椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0<e 〈1,双曲线e 〉1注：双曲线12222=-by a x 渐近线x a by ±=方程122=+ny mx 表示椭圆n m n m ≠>>⇔.0,0 方程122=+ny mx 表示双曲线0<⇔mn 抛物线y 2=2px(p>0)顶点（原点） 对称轴（x 轴) 开口(向右) 范围x ≥0 离心率e=1焦点)0,2(p F准线2px -= 十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句:INPUT “提示内容";变量2输出语句：PRINT “提示内容”；表达式 3赋值语句：变量=表达式 4条件语句“IF —THEN —ELSE"语句 “IF —THEN ”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句 ELSE END IF 语句2 END IF 5循环语句当型循环语句 直到型循环语句 WHILE 条件 DO 循环体 循环体 WEND LOOP UNTIL 条件 当型“先判断后循环” 直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数 辗转相除法:到达余数为0 更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f （x ）= a n x n +a n —1x n-1+….+a 1x+a 0的求值秦九韶算法： v 1=a n x+a n －1 v 2=v 1x+a n －2v 3=v 2x+a n －3 v n =v n －1x+a 0注：递推公式v 0=a n v k =v k －1X +a n －k （k=1，2,…n ）求f （x)值，乘法、加法均最多n 次 3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：111011.........)(.....a k a k a k a k a a a a n n nn n n +⨯++⨯+⨯=---十进制数转换成k 进制数：“除k 取余法"例1辗转相除法求得123和48最大公约数为3例2已知f(x)=2x 5－5x 4－4x 3+3x 2－6x+7，秦九韶算法求f （5）123＝2×48＋27 v 0=2 48＝1×27＋21 v 1=2×5－5=5 27＝1×21＋6 v 2=5×5－4=21 21＝3×6＋3 v 3=21×5+3=1086＝2×3+0 v 4=108×5－6=534v 5=534×5+7=2677十三、立体几何1．三视图 正视图、侧视图、俯视图2．直观图：斜二测画法'''X OY ∠=450平行X 轴的线段，保平行和长度平行Y 轴的线段，保平行,长度变原来一半 3．体积与侧面积V 柱=S 底h V 锥 =31S 底h V 球=34πR 3S 圆锥侧=rl π S 圆台侧=l r R )(+π S 球表=24R π 4．公理与推论 确定一个平面的条件:①不共线的三点 ②一条直线和这直线外一点③两相交直线 ④两平行直线公理:平行于同一条直线的两条直线平行定理：如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
上海高中数学知识点总结
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上海高二补习班 上海高二秋季班 高二数学选修函数的单调性共17页
练习1(1)已知f(x)=2x3+3x2-12x+3,则函数f(x)在
区间(-2,1)内是（ ）
A单调递减
B单调递增，
C可能递增也可能递减 D以上都成立
2已知 fx函 k3x 数 3 k1 x2k21 ,k0 的单调 0 ， 4， 减 k 的 则 区值 间是 .是
改为：在(区 0,4)间 上单调递 , 减
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练习2 讨 论函 y数2xx2的 单调 . 性
解:函数的定义域为(0,2).
y ′= 1 - x , 2x - x2
解不等式y ′>0得:0<x<1,则函数的 单增区间为(0,1). 解不等式y ′<0得:1<x<2,则函数的 单减区间为(1,2).
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练习3 求证 x： 0时 ,x当 ln (1x)成.立
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巩固练1.确定函数 f(x)2x36x27，
在哪些区间是单调函数。
变式1：求 f(x)2x36x27(x> -1)
的单调增区间.
变式2：求 f(x)2x36 a x27 (a0 )
的单调减区间.
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变式2求 f(x)2x36ax27(a0)的单调减区间.
解：由导函y数 6为 x2 12ax, 即 x(x2a)0
Thank you
令 f(x ) 0 ,即 6 x 2 1 2 a x 0
(1 )当 2 a 0 时 ,即 a 0 ,则 0x2a 所 以 f( x ) 的 单 调 减 区 间 为 （ 0 ， 2 a )
（ 2 ） 当 2 a 0 时 ,即 a 0 ,则 2ax0 所 以 f( x ) 的 单 调 减 区 间 为 （ 2 a ， 0 )
上海高三数学各章节知识点
上海高三数学各章节知识点在上海高三数学课程中，学生将接触到许多重要的章节和知识点。
本文将针对这些章节和知识点进行详细介绍，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
一、函数与极限1. 函数的定义与性质：介绍函数的概念、定义和常见的函数类型，包括一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
2. 极限与连续：讲解极限的概念与判断方法，以及函数的连续性与间断点的判定。
二、导数与微分1. 导数的定义与计算：介绍导数的概念、几何意义和计算方法，包括导数的四则运算、求导法则等。
2. 函数的单调性与极值：讲解函数的单调性、最大值和最小值的判定方法，以及应用题的解题思路。
三、数列与数学归纳法1. 等差数列和等比数列：介绍等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等。
2. 数列极限与无穷级数：讲解数列的极限概念与判定方法，以及无穷级数的收敛性与求和公式。
四、三角函数与向量1. 三角函数的定义与性质：介绍正弦函数、余弦函数、正切函数等的定义、周期性与图像。
2. 向量的基本概念与运算：讲解向量的定义、坐标表示、数量积、向量夹角等。
五、平面解析几何与立体几何1. 平面几何基础知识：介绍平面内的基本图形、相交关系、相似与全等等。
2. 空间几何基本知识：讲解空间内的基本图形、平行与垂直关系、投影等。
六、概率与统计1. 概率基本概念：介绍随机事件、样本空间、概率的定义与性质等。
2. 统计基本知识：讲解统计学中的样本调查、数据分析、频率分布等。
总结：上海高三数学课程中的各章节和知识点涵盖了函数与极限、导数与微分、数列与数学归纳法、三角函数与向量、平面解析几何与立体几何、概率与统计等方面。
通过学习这些内容，学生能够全面理解数学的基本概念与方法，提高数学解题能力，为高考和未来的学习打下坚实的数学基础。
上海高中数学——知识点总结
上海高中数学——知识点总结1.数与运算1.1自然数、整数、有理数、实数的概念及其性质；1.2实数的四则运算及应用；1.3数量关系与相等关系的运算性质；1.4整式、分式、方程式的基本性质及运算方法；1.5分数与百分数相互转换及运算法则。
2.一次函数与二次函数2.1二元一次方程组及其解法；2.2一次函数的性质及图象；2.3一次方程的解集与图象；2.4二次函数及其性质；2.5二次函数的图象与变化规律；2.6二次方程的解集与图象。
3.概率与统计3.1随机事件及其概率；3.2复合事件的概率；4.几何与三角函数4.1直线、角、多边形的性质和计算；4.2圆的性质和计算；4.3三角形的性质和计算；4.4三角函数的概念及其性质；4.5三角函数的图象与变化规律；4.6三角函数的基本关系与解法。
5.数列与数学归纳法5.1数列及其性质、表示方法及运算；5.2等差数列和等比数列；5.3数学归纳法。
6.空间几何与立体几何6.1球、圆锥、圆柱、棱柱的性质和计算；6.2平面与空间直线的位置关系；6.3空间直线与平面的位置关系；6.4球冠的计算；6.5空间直角坐标系；6.6空间中点、向量的坐标及运算；6.7空间直线的方程、位置关系和交点计算。
7.排列与组合7.1排列与组合的基本概念；7.2排列与组合的计数法则；7.3组合恒等式及应用；7.4二项式定理及应用。
8.导数与微积分8.1函数的概念及性质；8.2极限及其运算法则；8.3导数的概念及其计算方法；8.4函数的增减性、单调性和最值问题；8.5函数的图象与变化规律；8.6函数的应用（如最佳化问题、中值定理等）；8.7不定积分的概念及其计算方法；8.8定积分的概念、性质及计算方法；8.9积分中值定理及应用。
在上海高中数学中，这些知识点是必须要掌握的，能够帮助学生建立数学思维，培养数学能力，提高数学素养。
同时，这些知识点也为学生今后的学习和研究提供了基础。
通过对这些知识点的学习和掌握，学生可以在高考中取得更好的成绩，为将来的升学和就业打下坚实的数学基础。
上海教材高中数学知识点总结(最全)
目录一、集合与常用逻辑二、不等式三、函数概念与性质四、基本初等函数五、函数图像与方程六、三角函数七、数列八、平面向量九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计一、集合与常用逻辑1．集合概念元素：互异性、无序性2．集合运算全集U:如U=R交集：并集：补集：3．集合关系空集子集：任意注:数形结合--—文氏图、数轴4．四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p 否命题：若则逆否命题:若则原命题逆否命题否命题逆命题5．充分必要条件p是q的充分条件：p是q的必要条件：p是q的充要条件:p⇔q6．复合命题的真值①q真（假）⇔“”假(真）②p、q同真⇔“p∧q”真③p、q都假⇔“p∨q”假7.全称命题、存在性命题的否定∀∈M, p（x）否定为: ∃∈M，∃∈M， p（x）否定为：∀∈M，二、不等式1．一元二次不等式解法若，有两实根,则解集解集注：若,转化为情况2．其它不等式解法—转化或（)（)3．基本不等式①②若，则注：用均值不等式、求最值条件是“一正二定三相等”三、函数概念与性质1．奇偶性f（x)偶函数f（x)图象关于轴对称f(x）奇函数f（x)图象关于原点对称注：①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称②f(x）奇函数,在x=0有定义f（0)=0③“奇+奇=奇"（公共定义域内）2．单调性f（x）增函数：x1＜x2f（x1）＜f（x2)或x1＞x2f(x1) ＞f（x2)或f（x)减函数：？注：①判断单调性必须考虑定义域②f（x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增"③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3．周期性是周期恒成立（常数）4．二次函数解析式： f（x)=ax2+bx+c，f（x）=a（x—h)2+kf（x）=a（x-x1）（x—x2）对称轴：顶点：单调性：a>0,递减，递增当,f(x）min奇偶性：f（x）=ax2+bx+c是偶函数b=0闭区间上最值：配方法、图象法、讨论法-—-注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x）=ax+b奇函数b=0四、基本初等函数1．指数式2．对数式（a〉0,a≠1）注：性质常用对数，自然对数,3．指数与对数函数y=a x与y=log a x定义域、值域、过定点、单调性？注:y=a x与y=log a x图象关于y=x对称（互为反函数）4．幂函数在第一象限图象如下:五、函数图像与方程1．描点法函数化简→定义域→讨论性质（奇偶、单调）取特殊点如零点、最值点等2．图象变换平移:“左加右减，上正下负"伸缩：对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变"注：翻折:保留轴上方部分，并将下方部分沿轴翻折到上方保留轴右边部分,并将右边部分沿轴翻折到左边3．零点定理若，则在内有零点(条件：在上图象连续不间断)注:①零点：的实根②在上连续的单调函数，则在上有且仅有一个零点③二分法判断函数零点———？六、三角函数1．概念第二象限角（）2．弧长扇形面积3．定义其中是终边上一点,4．符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦" 5．诱导公式:“奇变偶不变，符号看象限”如,6．特殊角的三角函数值7．基本公式同角和差倍角降幂cos2α= sin2α=叠加8．三角函数的图象性质单调性：增减增注：9．解三角形基本关系：sin(A+B)=sinC cos(A+B)=—cosCtan（A+B）=-tanC正弦定理：==余弦定理：a2=b2+c2－2bc cos A（求边）cos A=(求角）面积公式：S△＝ab sin C注：中,A+B+C=?a2＞b2+c2 ⇔∠A＞七、数列1、等差数列定义:通项:求和：中项：（成等差）性质:若，则2、等比数列定义：通项：求和：中项:（成等比）性质：若则3、数列通项与前项和的关系4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1．向量加减三角形法则，平行四边形法则首尾相接，=共始点中点公式：是中点2．向量数量积 ==注：①夹角：00≤θ≤1800②同向：3．基本定理 (不共线——基底）平行：（）垂直：模：＝夹角:注：①∥②（结合律）不成立③（消去律）不成立九、复数与推理证明1．复数概念复数：（a,b,实部a、虚部b分类：实数（），虚数（），复数集C注：是纯虚数，相等：实、虚部分别相等共轭：模：复平面:复数z对应的点2．复数运算加减：（a+bi）±(c+di)=？乘法：（a+bi）(c+di)=？除法： ===…乘方:,3．合情推理类比：特殊推出特殊归纳：特殊推出一般演绎：一般导出特殊（大前题→小前题→结论) 4．直接与间接证明综合法：由因导果比较法：作差—变形—判断—结论反证法:反设—推理—矛盾—结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A为真,只要证B为真,即证……，这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5．数学归纳法：（1）验证当n=1时命题成立，(2)假设当n=k(k∈N＊，k≥1）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立由(1）（2）知这命题对所有正整数n都成立注：用数学归纳法证题时，两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾斜角范围斜率注：直线向上方向与轴正方向所成的最小正角倾斜角为时，斜率不存在2、直线方程点斜式,斜截式两点式，截距式一般式注意适用范围：①不含直线②不含垂直轴的直线③不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行且垂直垂直4、距离公式两点间距离：|AB|=点到直线距离：5、圆标准方程:圆心，半径圆一般方程：（条件是？）圆心半径6、直线与圆位置关系注:点与圆位置关系点在圆外7、直线截圆所得弦长十一、圆锥曲线一、定义椭圆：｜PF1｜+|PF2｜=2a（2a〉|F1F2｜）双曲线：｜PF1|—|PF2|=±2a（0<2a<|F1F2｜) 抛物线:与定点和定直线距离相等的点轨迹二、标准方程与几何性质（如焦点在x轴）椭圆（ a>b>0)双曲线（a>0,b〉0）中心原点对称轴？焦点F1(c,0）、F2（-c,0）顶点:椭圆(±a，0），（0, ±b),双曲线（±a,0) 范围: 椭圆—a≤x≤a,-b≤y≤b双曲线|x｜≥ a，y∈R焦距:椭圆2c（c=)双曲线2c（c=）2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率：e=c/a 椭圆0〈e〈1，双曲线e>1注：双曲线渐近线方程表示椭圆方程表示双曲线抛物线y2=2px(p>0）顶点（原点) 对称轴（x轴）开口(向右）范围x 0 离心率e=1焦点准线十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一．程序框图二．基本算法语句及格式1输入语句:INPUT “提示内容”；变量2输出语句：PRINT“提示内容”；表达式3赋值语句:变量=表达式4条件语句“IF-THEN—ELSE”语句“IF-THEN”语句IF 条件 THEN IF 条件 THEN 语句1 语句ELSE END IF语句2END IF5循环语句当型循环语句直到型循环语句WHILE 条件 DO循环体循环体WEND LOOP UNTIL 条件当型“先判断后循环”直到型“先循环后判断”三．算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式f(x)= a n x n+a n-1x n-1+…。
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[新王牌]高二数学复习知识点归纳总结不等式单元知识总结 一、不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)ab 1a b (5)ab =1a =b (6)ab 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔(2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4) (乘法单调性)a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒(7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ (8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒ (9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c(10)a b 0n N a b ()n n＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒(11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b3．绝对值不等式的性质(1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．⎧⎨⎩(2)如果a ＞0，那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ |x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔(3)|a ·b|＝|a|·|b|．(4)|a b | (b 0)＝≠．||||a b(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |． 二、不等式的证明 1．不等式证明的依据(1)a b ab 0a b ab 0a b 0a b a b 0a b a b =0a =b实数的性质：、同号＞；、异号＜－＞＞；－＜＜；－⇔⇔⇔⇔⇔(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R)②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)③≥、，当且仅当时取“”号a b +∈+2ab(a b R a =b =)2．不等式的证明方法(1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等． 三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0 f(x)0 g(x)0 f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩(9)当a ＞1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，af(x)＞ag(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪直线和圆的方程单元知识总结一、坐标法 1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系． 2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离|P P |=12()()x x y y 212212-+-特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，则 |P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，则 |P 1P 2|=|x 2－x 1| 3．线段的定比分点(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212公式x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222 二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0． 所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角)当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角)(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k =y (x x )212--y x x 121≠2．直线的方程(1)点斜式 已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式 已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则其方程为：y=kx ＋b (3)两点式 已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠(4)截距式 已知直线在x ，y 轴上截距分别为a 、b ，则其方程为：x a yb +=1(5)参数式 已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000(6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)． (7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0． ②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0． 3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B C C 121212=(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是一般方程时，A AB BC C 121212==(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k 2当，是一般式方程时，≠l l 12A A BB 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||() ②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A AB B =0⎧⎨⎩4．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间的距离为：．d =|C C |12-+A B226．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0． 如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解． 7．简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题， 例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 满足下列条件：A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222nn n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)求z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解． 三、曲线和方程 1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题(1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M 的坐标； ②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0； ④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)； ②求截距：方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x 方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线． 3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)． 四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2(2)一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方()()x D y E D E F+++=+-22442222当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D ED E F 2212422+-当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E 22当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程 以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则d Aa Bb C A B=+++||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔5．求圆的切线方法(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y22 过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+16．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔圆锥曲线单元知识总结一、圆锥曲线 1．椭圆(1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆．e (0e 1)ca(2)图形和标准方程图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0)821(a b 0)x a y b x b y a 22222222(3)几何性质条件{M|MF 1|+|MF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}{M||MF |M l =|MF |M l =e 0e 1}1122点到的距离点到的距离，＜＜标准方程x a y b a b 222210+=()＞＞x b y a a b 222210+=()＞＞顶点A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)B 1(0，－b)，B 2(0，b)A 1(0，－a)，A 2(0，a)B 1(－b ，0)，B 2(b ，0)轴对称轴：x 轴，y 轴．长轴长|A 1A 2|=2a ，短轴长|B 1B 2|=2b 焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)F 1(0，－c)，F 2(0，c)焦距|F 1F 2|=2c(c ＞0)，c 2=a 2－b 2离心率e (0e 1)＝＜＜ca准线方程l l 12x x ：＝；：＝-a c a c22l l 12y y ：＝；：＝-a c a c22焦点半径|MF 1|＝a ＋ex 0，|MF 2|＝a －ex 0|MF 1|＝a ＋ey 0，|MF 2|＝a －ey 0点和椭圆的关系＞外在椭圆上＜内x a y b x y 022022001+=⇔(,)(k 为切线斜率)，y kx ＝±a k b 222+(k 为切线斜率)，y kx ＝±b k a 222+切线方程x x a y yb0202＋＝1(x 0，y 0)为切点x x b y ya0202＋＝1(x 0，y 0)为切点切点弦方 程(x 0，y 0)在椭圆外x x a y yb0202＋＝1(x 0，y 0)在椭圆外x x b y ya 0202＋＝1弦长公式|x x |1+k |y y |1+1k212122－或－其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率2．双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程图8－3的标准方程为：x ayb2222－＝＞，＞1(a0b0)图8－4的标准方程为：y axb2222－＝＞，＞1(a0b0)(3)几何性质条件P＝{M|MF1|－|MF2|＝2a，a＞0，2a＜|F1F2|}．P{M||MF|M l|MF|M le e1}1122＝点到的距离＝点到的距离＝，＞．标准方程xayb2222－＝＞，＞1(a0b0)yaxb2222－＝＞，＞1(a0b0)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴对称轴：x轴，y轴，实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c(c＞0)，c2＝a2＋b2离心率e(e1)＝＞ca准线方程l l12x x：＝－；：＝acac22l l12y y：＝－；：＝acac22渐近线方程y x(0)＝±或－＝baxayb2222y x(0)＝±或－＝abyaxb2222共渐近线的双曲线系方程xayb2222－＝≠k(k0)yaxb2222－＝≠k(k0)焦点半径|MF1|＝ex0＋a，|MF2|＝ex0－a|MF1|＝ey0＋a，|MF2|＝ey0－ay kx＝±a k b222-(k为切线斜率)k k＞或＜－babay kx＝±b k a222-(k为切线斜率)k k＞或＜－ababx xay yb22－＝1((x0，y0)为切点y yax xb22－＝1((x0，y0)为切点切线方程xy a a((x y)2200＝的切线方程：＝，为切点x y y x002+切点弦方 程(x 0，y 0)在双曲线外x x ay y b0202－＝1(x 0，y 0)在双曲线外y y ax xb 0202－＝1弦长公式|x x |1+k |y y |1+1k212122－或－其中(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率3．抛物线(1)定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离．③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k|x x ||y y |2121－＝－112+k焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程 1．定义缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件．A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件． 2．对于缺xy 项的二元二次方程：Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．椭圆：＋＝或＋＝()()()()x h a y k b x h b y k a ----2222222211中心O ′(h ，k)双曲线：－＝或－＝()()()()x h a y k b y k a x h b ----2222222211中心O ′(h ，k)抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为(y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)， 顶点O ′(h ，k)．对称轴平行于y 轴的抛物线方程为：(x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－2p(y －k) 顶点O ′(h ，k)．以上方程对应的曲线按向量a ＝(－h ，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．。