6--多项式运算

拟合问题引例
拟合问题引例
0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 温度 t( 已知热敏电阻数据：
电阻R() 765 求600C时的电阻R。
1100 1000 900 800 700 20
826ຫໍສະໝຸດ Baidu
873
942 1032
设 R=at+b a,b为待定系数
40
60
80
100
曲线拟合理论
j m
x p
j
rj 1
2


x p
多项式的值
计算多项式在给定点的值
代数多项式求值
y = polyval(p,x): 计算多项式 p 在 x 点的值
注：若 x 是向量或矩阵，则采用数组运算 (点运算)！ 例：已知 p( x) 2 x 3 x 2 3，分别取 x=2 和一个 22 矩阵， 求 p(x) 在 x 处的值 >> p=[2,-1,0,3]; >> x=2; y=polyval(p,x) >> x=[-1, 2;-2,1]; y=polyval(p,x)
多项式的值
矩阵多项式求值
Y=polyvalm(p,X)
采用的是普通矩阵运算 X 必须是方阵
3 2 例：已知 p( x) 2 x x 3，则
polyvalm(p,A) = 2*A*A*A - A*A + 3*eye(size(A)) polyval(P,A) = 2*A.*A.*A - A.*A + 3*ones(size(A)) >> p=[2,-1,0,3]; >> x=[-1, 2;-2,1];polyval(p,x) >> polyvalm(p,x)
多项式的零点
x=roots(p)：若 p 是 n 次多项式，则输出是 p=0 的 n 个根组成的 n 维向量。
3 2 例：已知 p( x) 2 x x 3，求 p(x) 的零点。
>> p=[2,-1,0,3]; >> x=roots(p) 若已知多项式的全部零点，则可用 poly 函数给出该多项式 p=poly(x)

举例
在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测得的 温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27， 24。试估计每隔1/10小时的温度值。 hours=1:12; temps=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,'spline'); %(直接输出数据将是很多的) plot(hours,temps,'+',h,t,hours,temps,'r:') xlabel('Hour'),ylabel('Degrees Celsius’)
已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi, yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所
有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。
y + + + + + i (x+ i,yi)
+
最小二乘法，即
min|f(xi ) yi |2
i 1 n
+ +
y=f(x) x
x y 37 3.4 37.5 3 38 3 38.5 2.27 39 2.1 39.5 1.83 40 1.53 40.5 1.7 41 1.8 41.5 1.9 42 2.35 42.5 2.54 43 2.9
多项式插值
一维插值：interp1 yi = interp1(x,y,xi,'method') x,y为原 始数据，x1, y1为插值出的数值，'method'是插值 所用的方法. Available methods are: ‘nearest’ - 最邻近插值 ‘linear’ - 线性插值 ‘spline’ - 三次样条插值 ‘cubic’ - 三次插值
a=[3 2 5 4 6];b=[1 3 4 2 7 2]; [r,p,k]=residue(a,b)
[b,a] = residue(r,p,k)将部分分式展开的形 式还原为两个多项式b(x)和a(x)相除的形式
b x bs x s 如果多项式a x 不含重根，则 = t a x at x b x r1 r2 a x x p1 x p2 其中，p1 , p2 , p3 , rn k x x pn
有理多项式运算
部分分式展开与结合： [r,p,k] = residue(a,b) a,b为分子， 分母多项式系数向量，r,p,k分别是留数， 极点，直项
3x 4 2 x3 5 x 2 4 x 6 例：将 5 进行部分分式展开 4 3 2 x 3x 4 x 2 x 7 x 2
%作图
多项式插值
二维插值：interp2 zi = interp2(x,y,z,xi,yi,‘method’) x,y,z为原始数据，计算xi,yi处的函数值zi ， ‘method’指定的方法同interp1. 要求x0,y0单调,x,y可取为矩阵，或x取行向量，y 取为列向量;x,y的值分别不能超出x0,y0的范围。
b1 x b0 可以写成： a1 x a0
, pn 称为极点,r1 , r2 , r3 ,
, rn 称为留数,k x 称为直项
留数和极点的个数n满足： n length a 1 length r length p 如果b x 的次数小于a x 的次数，则直项的系数向量的系数为空， 否则，它们之间满足： length k length b length a 1 如果a x 含有m重根p j rj x pj p j m 1 , 则展开的这m项应该写成： rj m 1
d 是分母
3 2 p ( x ) 2 x x 3， q( x) 2 x 1 ， 例：已知 求 p' , ( p q)', ( p / q)'
>> k1=polyder([2,-1,0,3]); >> k2=polyder([2,-1,0,3],[2,1]); >> [k2,d]=polyder([2,-1,0,3],[2,1]);
i 为点（xi, yi) 与曲线 y=f(x) 的距离
多项式拟合
最小二乘拟合：polyfit p = polyfit(x,y,n) 求由给定向量x,y对应 的数据点的n次多项式拟合函数，p为所求拟合 多项式的系数向量（按降幂排列）。 【例】对下面数据作分别作二次、三次、七次 多项式拟合，并通过各次拟合的误差和来比较 拟合程度的高低。
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
y 2.1 3.2 2.1 2.5 3.2 3.5 3.4 4.1 4.7 5.0 5.2
拟合举例
【例】 某种合金中的主要成分为A,B两种金属， 经过试验发现：这两种金属成分之和x与合金的 膨胀系数y有如下关系，建立描述这种关系的数 学表达式.
p( x) ( x x1 )(x x2 )( x xn )
多项式插值、拟合
多项式插值、拟合
概述
在生产和科学实验中，自变量x与因变量y之间的 函数关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函 数在若干个点的函数值或导数值. 当要求知道观测点之 外的函数值时，需要估计函数在该点的数值. 这就要根 据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ(x)，使 函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这 样的函数φ(x)，办法是很多的. 根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法： ① 测量值是准确的，没有误差，一般用插值. ② 测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合.
3 2 p 2 x x 3 例： 1 p2 2 x 1 p1 p2 2 x 3 x 2 2 x 4
[2, 1, 0, 3] [ 0, 0, [ 2, 1] [2, 1, 2, 4]
多项式四则运算
多项式乘法运算： k = conv(p,q)
例：计算多项式 2 x 3 x 2 3 和 2 x 1 的乘积
例： 2 x 3 x 2 3
[2, 1, 0, 3]
注：系数中的零不能省！
多项式构造
多项式的符号形式：poly2sym（p,’x’） poly2sym([2,-1,0,3]) poly2sym([2,-1,0,3],’x’) 特征多项式或指定根的多项式：poly（A） 若A是方阵，返回A的特征多项式；若A是向 量，返回以A中元素为根的首1多项式。
A=[0,1,1;1,0,1;1,1,1]; poly(A), x=[1 2 0]; poly(x)
多项式四则运算
多项式加减运算
Matlab 没有提供专门进行多项式加减运算的函数，事实 上，多项式的加减就是其所对应的系数向量的加减运算 对于次数相同的多项式，可以直接对其系数向量进行 加减运算； 如果两个多项式次数不同，则应该把低次多项式中系 数不足的高次项用 0 补足，然后进行加减运算。
数学实验
多项式及相关运算
主要内容
多项式基本运算 多项式插值拟合

Matlab 多项式基本运算
多项式构造
Matlab 中多项式的表示方法
在 Matlab 中，n 次多项式是用一个长度为 n+1的向量来 表示，缺少的幂次项系数为 0。
p( x) an x n an1x n1 a1x a0 在 Matlab中表示为向量： [an , an1 , , a1 , a0 ]
>> p=[2,-1,0,3]; >> q=[2,1]; >> k=conv(p,q);
多项式除法运算： [k,r] = deconv(p,q)
其中 k 返回的是多项式 p 除以 q 的商，r 是余式。 [k,r]=deconv(p,q) <==> p=conv(q,k)+r
多项式的求导
多项式的求导: polyder k=polyder(p) : 多项式 p 的导数； k=polyder(p,q): p*q 的导数； [k,d]=polyder(p,q): 有理分式p/q 的导数，k 是分子，
例: 用四种方法对 z xe
( x2 y 2 )
在（-2，2）
上的二维多项式插值效果进行比较。(cz6_1.m)
实验内容
1、求多项式x4+8x3-10的根，并根据已经求出的 根建立起该多项式，并与原多项式进行对比。 2、求f(x)=x-10x+2=0在x0=0.5附近的根
3、课本：P130：3,4,5；8；12
！！！注意：所有的插值方法都要求x是单调的，并且xi不能够 超过x的范围。
‘nearest’(最邻近插值):将插值点x处的函数值y 置为与之最接近的已知点xi处的值，即为yi。 ‘linear’(线性插值):用直线连接相邻的已知数据 点（ xi ，yi），插值点x处的函数值y由该直线确 定。 ‘spline’(三次样条插值):用三次函数连接相邻的 已知数据点（ xi ，yi），插值函数在已知点处连 续并且它的一阶导数和二阶导数也连续。 ‘cubic’(立方插值):用于实现分段光滑hermite 插值，并保留数据的单调性和形状。