约瑟夫问题

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约瑟夫环问题(Josephus)

算法设计
Josephus jp=new Josephus(); int a[]=new int[n]; for(int i=0;i<n;i++){ a[i]=i+1; } jp.SortArray(a,n,m,k,g); } public void show(int[]b,int g){ for(int i=b.length-g;i<b.length;i++){ System.out.print(b[i]+" "); } }
• b[c]=a[i]; • a[i]=0; • c++; • if(c==n) break; • } • System.out.print(“最后出列的 3人: "); • this.show(b,g); • } • }
• 1.数据选择：要求：n<2^15; 1<=k<=n; 2.数据和结果显示：
(3)当然其中还是会存在一些漏洞，需要进一步的改进。在计算机中是容不得丝毫的错误的，这也让我们学到了面对科学要持有严谨的态度，否则必定得不到应该有的结果。
总人数n 起始号码k 循环数m 最后出列的3人总人数n 起始号码k 循环数m 最后出列的3人总人数n 起始号码k 循环数m 最后出列的3人 48 6 15 47 21 46 105 73 4 87 32 21 300 80 12 70 296 198 总人数n 起始号码k 循环数m 68 34 25
输出格式：
T行最后min（n，3）个出列的编号。结果：6 1 5
问题背景
• 这个问题是以弗拉维奥•约瑟夫斯命名的，它是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。

3约瑟夫斯问题

后顺时针每隔1枚拿走2枚棋子，连续转了10周，9次越过A.当将要第10次越过A处棋子取走其它棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子. 若N是14的倍数，则圆周上还有多少枚棋子？
作业：
在一个圆周上放一枚黑色的和1990枚白色棋子.一个同学进行这样的操作：从黑色开始，按顺时针方向，每隔1枚，取走1枚.当他取到黑子时，圆周上还剩下多少枚棋子？
• 例2：有1000个学生坐成一圈，依次编号为1,2， 3,…，1000. 现在进行1，2，1，2，…这样报数. 1号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下；三号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下； …；如此进行下去，报1的同学离开，报2的同学留下，直到最后还剩下1个人. 问这个人的编号是多少？
约瑟夫斯问题
• 在古代，有一个野蛮部落，将抓起来的俘虏围成一圈，并从某人开始按顺时针方向以自然数1，2，3，编号，然后杀掉1号、 3号、5号如此进行下去，隔一个人杀一个人，直至最后余下一个人为止，这个幸存者就是约瑟夫斯.
• 例1：有1000人排成一排，依次编号为1，2，3， …，1000. 现在进行1，2，1，2，…这样报数. 1 号学生报1后立即离开，2号学生报2并留下；3号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下；…； 999号学生报1后立即离开，1000号学生报2并留下；然后从2号开始重新报数，2号学生报1后立即离开，4号学生报2并留下；…；如此进行下去，报1的同学离开，报2的同学留下，直到最后还剩下1个人. 问这个人的编号是多少？
• 例3：有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面. 反复这样做直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？

约瑟夫问题及变种

“约瑟夫”问题及若干变种例1、约瑟夫问题(Josephus)[问题描述]M只猴子要选大王，选举办法如下：所有猴子按1…M编号围坐一圈，从第1号开始按顺序1，2，…，N 报数，凡报到N的猴子退出到圈外，再从下一个猴子开始继续1~ N报数，如此循环，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。

M和N由键盘输入，1≤N,M≤10000，打印出最后剩下的那只猴子的编号。

例如，输入8 3，输出：7。

[问题分析1]这个例题是由古罗马著名史学家Josephus提出的问题演变而来的，所以通常称为Josephus(约瑟夫)问题。

在确定程序设计方法之前首先来考虑如何组织数据，由于要记录m只猴子的状态，可利用含m个元素的数组monkey来实现。

利用元素下标代表猴子的编号，元素的值表示猴子的状态，用monkey[k]=1表示第k只猴子仍在圈中，monkey[k]=0则表示第k只猴子已经出圈。

程序采用模拟选举过程的方法，设变量count表示计数器，开始报数前将count置为0，设变量current 表示当前报数的猴子编号，初始时也置为0，设变量out记录出圈猴子数，初始时也置为0。

每次报数都把monkey[current]的值加到count上，这样做的好处是直接避开了已出圈的猴子（因为它们对应的monkey[current]值为0），当count=n时，就对当前报数的猴子作出圈处理，即：monkey[current]：=0，count：=0，out：=out+1。

然后继续往下报数，直到圈中只剩一只猴子为止（即out=m-1）。

参考程序如下：program josephus1a {模拟法，用数组下标表示猴子的编号}const maxm=10000;var m,n,count,current,out,i:integer;monkey:array [1..maxm] of integer;beginwrite('Input m,n:');readln(m,n);for i:=1 to m do monkey[i]:=1;out:=0; count:=0; current:=0;while out<m-1 dobeginwhile count<n dobeginif current<m then current:=current+1 else current:=1;count:=count+monkey[current];end;monkey[current]:=0; out:=out+1; count:=0end;for i:=1 to m doif monkey[i]=1 then writeln('The monkey king is no.',i);readlnend.[运行结果]下划线表示输入Input m，n:8 3The monkey king is no.7 {时间：0秒}Input m，n:10000 1987The monkey king is no.8544 {时间：3秒}[反思]时间复杂度很大O(M*N)，对于极限数据会超时。

约瑟夫问题多种解决方法

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s:=0; while s<n do begin if j<m then inc(j) else j:=1; s:=s+a[j]; end; write(j); a[j]:=0; end; end.

约瑟夫问题多种解决方法
约瑟夫问题的来历
• 据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而 Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。
著名约瑟夫问题一
• 17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止

约瑟夫问题pascal

约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换，是一个出现在计算机科学和数学中的问题。

在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。

又称“丢手绢问题”）据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。

首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。

接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人。

这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人留下，这个人就可以继续活着。

问题是，给定了和，一开始要站在什么地方才能避免被处决？Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

//详情请见百度百科。

[题目描述]Josephus问题是建立在历史学家Josephus的一个报告的基础之上，该报告讲述了他和40个士兵在公元67年被罗马军队包围期间签定的一个自杀协定，Josephus建议每个人杀死他的邻居，他很聪明的使自己成为这些人中的最后一个，因此获得生还。

21世纪的今天，我们将Josephus问题稍作扩展：设N个人围成一圈，依次从1到N编号，从第S号开始报数，报到K的人出列，求第T个出列的人的编号。

显然，Josephus面对的是N = 40, K = 2, S= 1, T = 40的退化情况。

[数据范围]30%的数据，K = 2100%的数据，1 <= N <= 1000000, 1<= K <= 2147483647, 1 <= S <= N, 1 <= T <= N最简单的推导方法应该是模拟。

实验一、约瑟夫问题

实验一：约瑟夫问题求解一、问题描述1、实验题目：约瑟夫（Josephus）问题的一种描述是：编号为1，2，……，n的n个人按顺时针方向围坐一圈，每人持有一个密码（正整数）。

一开始任选一个正整数作为报数上线值m，从第一个人开始按顺时针方向自1开始报数，报到m时停止报数。

报m的人出列，将他的密码作为新的m值，从他在顺时针方向下一个人开始重新从1报数，如此下去，直至所有的人全部出列为止。

2、基本要求：试设计一个程序，按出列顺序印出个人编号。

3、测试数据：m的初值为20；n=7，7个人的密码依次为：3，1，7，2，4，8，4。

ｍ的初值为6，正确的出列顺序应为：6，1，4，7，2，3，5。

二、需求分析１、本程序用来求出含有密码的约瑟夫问题，可以输出所有人的出列顺序。

2 、程序运行后显示提示信息，提示用户输入一圈的人数n，接着输入每个人的密码，最后提示输入初始密码。

3、用户输入完毕后，程序自动输出运算结果。

三、概要设计1、设计思路n个人围成一圈，每个人的手中都有一个密码，这个密码决定了下一次报数的上限。

游戏规则：①给定一个初始密码②循环报数，报到密码值的人要出列，依次类推，直到所有的人都出列本程序要求输入的内容：n个人的密码及初始密码；本程序要求输出的内容：n个人出列的顺序。

2、数据结构为了实现上述功能，可以采用链式存储结构。

采用链式存储结构，定义了一个存储个人信息的结构体，及两个自定义函数，分别用于创建链表和约瑟夫出列操作。

①链表抽象数据类型的定义： #define SLNODE struct slnodeADT SLNODE{数据对象：D={ i a |i a ∈SLNODE, i=1,2,3.... }数据关系：R=φ}ADT SLNODE;②自定义函数:void create_SLnode(SLNODE *p,int n)//创建队列{ 创建链表，为N 个人分配密码 }void Josef(SLNODE *p,int n)//进行约瑟夫操作{输入初始密码m;for(){ 将出列的结点删除，并输出出列序号；}}③本程序的保护模块：结构体模块主程序模块自定义函数模块调用关系：3、程序设计主要算法的流程图：create_SLnode( )算法流程图Josef( )算法流程图四、详细设计1、元素类型、结点的类型及指针#define SLNODE struct slnodeSLNODE//每个结点的结构体{int num;//num代表序号int code;//code代表密码SLNODE *next;};2、自定义函数：void create_SLnode(SLNODE *p,int n)//创建队列，并将其尾指针指向第一个序号{SLNODE *r,*s;s=p;int i,m;cout<<"请给这"<<n<<"个人分配密码："<<endl;for(i=0;i<n;i++){cout<<"请给第"<<i+1<<"个人输入密码："<<endl;cin>>m;r=(SLNODE *)malloc(sizeof(SLNODE));r->code=m;r->num=i+1;r->next=s->next;s->next=r;s=s->next;}p=p->next;s->next=p;}void Josef(SLNODE *p,int n)//进行约瑟夫操作{p=p->next;int m;int i,j;SLNODE *r;cout<<"请输入初始密码："<<endl;cin>>m;cout<<"依次出列的序号为:"<<endl;for(i=0;i<n-1;i++)p=p->next;for(i=0;i<n-2;i++){for(j=0;j<m-1;j++)p=p->next;cout<<(p->next)->num<<endl;m=(p->next)->code;r=p->next;p->next=r->next;}if(m%2==0)cout<<p->num<<endl<<(p->next)->num<<endl;elsecout<<(p->next)->num<<endl<<p->num<<endl;}3、主函数：int main(){SLNODE *p;int n;cout<<"请输入一圈的人数："<<endl;cin>>n;p=(SLNODE *)malloc(sizeof(SLNODE));p->next=NULL;create_SLnode(p,n);Josef(p,n);return 0;}4、函数的调用关系：主函数main()调用自定义函数void create_SLnode(SLNODE *p,int n);/*创建队列*/与void Josef(SLNODE *p,int n);/*进行约瑟夫操作*/。

约瑟夫问题

4、狐狸捉兔子
题目：
围绕着山顶有１０个洞，狐狸要吃兔子，兔子说：“可以，但必须找到我，我就藏身于这十个洞中，你从１０号洞出发，先到１号洞找，第二次隔１个洞找，第三次隔２个洞找，以后如此类推，次数不限。”但狐狸从早到晚进进出出了１０００次，仍没有找到兔子。问兔子究竟藏在哪个洞里？
参考程序下载
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5、进制转换
题目：
将一个十进制自然数转换成二进制数，一般采取除2取余法。从键盘输入一个十进制自然数（约定该数小于等于Maxlongint）,输出相应的二进制数
设有一天平，可用来称物体的质量，同时给出一个正整数n(n<=10)。
问题1：试设计n个砝码的质量，用它们能称出尽可能多的1，2，3，...连续整数质量，约定砝码可以放在天平的左右两个托盘中的任何一个或两个中。例如n=2,此时设计2个砝码的质量分别为1，3，则能同时称取1，2，3，4。
问题2：在给出n个砝码能称出最大质量范围内的一个质量x,试给出称取x的方案。如上例中：
6/7,7/8,1/1
编程求出n级法雷序列，每行输出10个分数。n的值从键盘输入。
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13、砝码设计
题目：
①把组成这个四位数的4个数字由小到大排列，形成由这四个数字组成的最大的四位数；
②把组成这个四位数的4个数字由大到小排列，形成由这四个数字组成的最小的四位数（如果含有数字0，则不足四位）；

约瑟夫问题大全

“约瑟夫”问题及若干变种林厚从例1、约瑟夫问题(Josephus)[问题描述]M只猴子要选大王，选举办法如下：所有猴子按1…M编号围坐一圈，从第1号开始按顺序1，2，…，N报数，凡报到N的猴子退出到圈外，再从下一个猴子开始继续1~ N报数，如此循环，直到圈内只剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。

M和N由键盘输入，1≤N,M≤10000，打印出最后剩下的那只猴子的编号。

例如，输入8 3，输出：7。

[问题分析1]这个例题是由古罗马著名史学家Josephus提出的问题演变而来的，所以通常称为Josephus(约瑟夫)问题。

在确定程序设计方法之前首先来考虑如何组织数据，由于要记录m只猴子的状态，可利用含m 个元素的数组monkey来实现。

利用元素下标代表猴子的编号，元素的值表示猴子的状态，用monkey[k]=1表示第k只猴子仍在圈中，monkey[k]=0则表示第k只猴子已经出圈。

程序采用模拟选举过程的方法，设变量count表示计数器，开始报数前将count置为0，设变量current表示当前报数的猴子编号，初始时也置为0，设变量out记录出圈猴子数，初始时也置为0。

然后继续往下报数，直到圈中只剩一只猴子为止（即out=m-1）。

c课程设计约瑟夫问题

c课程设计约瑟夫问题一、教学目标本章节的教学目标分为三个维度：知识目标、技能目标和情感态度价值观目标。

1.知识目标：通过学习约瑟夫问题，学生能够理解并掌握约瑟夫问题的基本概念、原理和解决方法。

2.技能目标：学生能够运用所学的约瑟夫问题的解决方法，解决实际问题，并能够进行简单的数学推理和分析。

3.情感态度价值观目标：通过学习约瑟夫问题，学生能够培养对数学的兴趣和好奇心，提高解决问题的能力和团队合作的精神。

二、教学内容本章节的教学内容以约瑟夫问题为核心，包括以下几个方面：1.约瑟夫问题的定义和背景介绍。

2.约瑟夫问题的解决方法，包括递归法、循环队列法和迭代法。

3.约瑟夫问题的应用场景，结合实际问题进行讲解。

4.约瑟夫问题的扩展，如约瑟夫环的生成和约瑟夫问题的变种。

三、教学方法为了激发学生的学习兴趣和主动性，本章节将采用多种教学方法：1.讲授法：通过讲解约瑟夫问题的定义、原理和解决方法，使学生掌握基本概念和知识点。

2.案例分析法：通过分析实际问题，引导学生运用所学的约瑟夫问题的解决方法，培养学生的解决问题的能力。

3.实验法：通过进行约瑟夫问题的编程实验，让学生亲手实践，加深对解决方法的理解和记忆。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，丰富学生的学习体验，将选择和准备以下教学资源：1.教材：选用权威、系统的教材，如《计算机科学导论》等，作为学生学习的基本依据。

2.参考书：推荐一些相关的参考书，如《算法导论》等，供学生进一步拓展学习。

3.多媒体资料：制作PPT、教学视频等多媒体资料，以图文并茂的形式呈现教学内容，提高学生的学习兴趣。

4.实验设备：准备计算机实验室，让学生能够进行约瑟夫问题的编程实验，提高实践能力。

五、教学评估本章节的评估方式包括平时表现、作业和考试三个部分，以全面、客观、公正地评估学生的学习成果。

1.平时表现：通过观察学生在课堂上的参与度、提问和回答问题的表现，了解学生的学习态度和理解程度。

约瑟夫问题

第一个人出列：从数器 j 从 1 数到 person[i] <- 0 第二个人出列：从数器 j 从 1 数到 person[i] <- 0 „„ n-1个出列：„„
k = 0 的后继开始扫描数组，报数计 m，该人出列，把他的状态置成 0，
k = i 的后继开始扫描数组，报数计 m，该人出列，把他的状态置成 0，
此题如果意思是定位第 m 个元素，当不需要跳过任何元素时。从 k 开始报数第 m 个元素是： ((( k + m - 1 ) – 1 ) mod ) n +1
“遍历”和“数到”的区别：遍历到的每个元素需要做相同的操作，而“数到m”第m个元素和前 m-1 个元素有不同的操作。
如果需要跳过某些标记的元素，就无法直接确定第 m 个元素的位置，则需要按顺序逐个扫描元素，跳过不符合要求的元素，对符合要求的元素进行计数。此处注意第一个数也许需要跳过，第一个报数的编号也许不是 k，不能直接从 1 计数。 i <- k j <- 0 while ( j< m ) do begin i <- (i mod n) + 1 if ( person[i] <> 0 ) then j <- j+1 end

2.1
模拟方法
2.2
2.1.1 数组+标记 2.1.2 循环链表+删除节点
数学模型

定义数组： array person[1..n]代表 n 个人的状态；第i个元素代表编号为i的人的状态，下标代表人的编号；状态： 1代表没有出列，0代表已出列。使用线性数组表示环状圆圈 * 数组元素间相邻关系和环状结构元素间相邻关系有所不同，person[n]没有后继节点，person[1]没有前驱节点。数组可以使用下面方法实现环状结构的相邻关系： person[i]后继节点的下标为j： if i = n then i<- 1 else i <- i+1 或者 i <- (i mod n) +1

约瑟夫斯问题

约瑟夫斯问题约瑟夫问题维基百科，⾃由的百科全书跳到导航跳到搜索约瑟夫问题（有时也称为约瑟夫斯置换），是⼀个出现在计算机科学和数学中的问题。

在计算机编程的算法中，类似问题⼜称为约瑟夫环。

⼈们站在⼀个等待被处决的圈⼦⾥。

计数从圆圈中的指定点开始，并沿指定⽅向围绕圆圈进⾏。

在跳过指定数量的⼈之后，处刑下⼀个⼈。

对剩下的⼈重复该过程，从下⼀个⼈开始，朝同⼀⽅向跳过相同数量的⼈，直到只剩下⼀个⼈，并被释放。

问题即，给定⼈数、起点、⽅向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

历史这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的⼀名犹太历史学家。

他在⾃⼰的⽇记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。

他们讨论是⾃杀还是被俘，最终决定⾃杀，并以抽签的⽅式决定谁杀掉谁。

约瑟夫斯和另外⼀个⼈是最后两个留下的⼈。

约瑟夫斯说服了那个⼈，他们将向罗马军队投降，不再⾃杀。

约瑟夫斯把他的存活归因于运⽓或天意，他不知道是哪⼀个。

[1]解法⽐较简单的做法是⽤循环单链表模拟整个过程，时间复杂度是O(n*m)。

如果只是想求得最后剩下的⼈，则可以⽤数学推导的⽅式得出公式。

且先看看模拟过程的解法。

Python版本-- coding: utf-8 --class Node(object):def init(self, value):self.value = valueself.next = Nonedef create_linkList(n):head = Node(1)pre = headfor i in range(2, n+1):newNode = Node(i)pre.next= newNodepre = newNodepre.next = headreturn headn = 5 #总的个数m = 2 #数的数⽬if m == 1: #如果是1的话，特殊处理，直接输出print (n)else:head = create_linkList(n)pre = Nonecur = headwhile cur.next != cur: #终⽌条件是节点的下⼀个节点指向本⾝for i in range(m-1):pre = curcur = cur.nextprint (cur.value)pre.next = cur.nextcur.next = Nonecur = pre.nextprint (cur.value)using namespace std;typedef struct _LinkNode {int value;struct _LinkNode* next;} LinkNode, *LinkNodePtr;LinkNodePtr createCycle(int total) {int index = 1;LinkNodePtr head = NULL, curr = NULL, prev = NULL;head = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));head->value = index;prev = head;while (--total > 0) {curr = (LinkNodePtr) malloc(sizeof(LinkNode));curr->value = ++index;prev->next = curr;prev = curr;}curr->next = head;return head;}void run(int total, int tag) {LinkNodePtr node = createCycle(total);LinkNodePtr prev = NULL;int start = 1;int index = start;while (node && node->next) {if (index == tag) {printf("%d\n", node->value);prev = node->next;node->next = NULL;node = prev;} else {prev->next = node->next;node->next = NULL;node = prev->next;}index = start;} else {prev = node;node = node->next;index++;}}}int main() {if (argc < 3) return -1;run(atoi(argv[1]), atoi(argv[2]));return 0;}数学推导解法我们将明确解出{\displaystyle k=2}k=2时的问题。

约瑟夫问题

约瑟夫问题简介约瑟夫问题是一个经典的数学问题，由弗拉维奥·约瑟夫斯(Josephus Flavius)所提出。

问题的背景是：在一个固定长度的圆桌周围围坐着n个人，从第一个人开始报数，报到m的人出圈，然后从下一个人开始重新报数，直到剩下最后一个人。

问题是，给定n和m，求最后剩下的人的编号。

解法暴力破解法最直观的解法是使用循环和数组来模拟这个过程。

首先，我们用一个数组来表示这些人的编号，例如[1, 2, 3, ..., n]。

然后我们在循环中模拟报数的过程，每次报到m的人就从数组中删除。

当数组中只剩下一个元素时，就找到了最后剩下的人。

def josephus(n, m):people = list(range(1, n +1))idx =0while len(people) >1:idx = (idx + m -1) % len(people)people.pop(idx)return people[0]这种解法的时间复杂度为O(n*m)，并且在n很大的情况下，性能会变得很差。

数学公式法约瑟夫问题其实存在一个更巧妙的解法，不需要模拟整个过程，而是通过数学公式来直接计算出最后剩下的人的编号。

如果我们将问题的规模缩小为n-1，即在一个长度为n-1的圆桌上进行同样的操作，求出的结果为f(n-1, m)。

然后我们将这个结果映射到原始问题的编号上，即将f(n-1, m)变为f(n, m)。

计算f(n, m)的过程如下： - 首先，我们将f(n, m)映射到f(n-1, m)上。

假设f(n, m) = x，那么f(n, m)在映射到f(n-1, m)上的过程中，每次都将整个序列向后移动m 位，即f(n, m)在映射到f(n-1, m)上的过程中，原来的第x个元素变成了第x+m个元素。

因此，f(n-1, m) = (x + m) % n。

- 其次，我们将f(n-1, m)映射回f(n, m)上。

约瑟夫问题多种解决方法

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著名约瑟夫问题一
• 17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。题目中30个人围成一圈，因而启发我们用一个循环的链来表示。可以使用结构数组来构成一个循环链。结构中有两个成员，其一为指向下一个人的指针，以构成环形的链；其二为该人是否被扔下海的标记，为1表示还在船上。从第一个人开始对还未扔下海的人进行计数，每数到9时，将结构中的标记改为0，表示该人已被扔下海了。这样循环计数直到有15个人被扔下海为止
约瑟夫问题的另外一个有名的例子
• 一堆猴子都有编号，编号是1，2，3 ...m , 这群猴子（m个）按照1-m的顺序围坐一圈，从第1开始数，每数到第N个，该猴子就要离开此圈，这样依次下来，直到圈中只剩下最后一只猴子，则该猴子为大王。
• 二．基本要求： (1) 输入数据：输入 m,n m,n 为整数，n<m （2）中文提示按照m个猴子，数n 个数的方法，输出为大王的猴子是几号，建立一个函数来实现此功能
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• p2->next=p1; • p2=p1; •} • p2->next=head; • return head; •} • struct monkey *findout(struct monkey *start,int
n) •{ • int i; • struct monkey *p; • i=n; • p=start;
• cout<<"----------------------------------------

约瑟夫环问题(Josephus)

• b[c]=a[i]; • a[i]=0; • c++; • if(c==n) break; • } • System.out.print(“最后出列的 3人: "); • this.show(b,g); • } • }
• 1.数据选择：要求：n<2^15; 1<=k<=n; 2.数据和结果显示：
问题描述
• 已知n（<2^15）个人（以编号1,2，…，n 分别表示）围坐在一圆桌上，从编号为k （1≤ k≤ n）的人开始报数，数到m的那个人出列，他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列，依此重复，直到圆桌周围的人全部出列，依次输出最后个整数T（<2^15）表示测试次数，接着第二到T+1行分别为n，m和k 的值。例：2 10 2 3
• public void SortArray(int[]a,int n,int m,int k,int g){ • int[] b=new int[n]; • int c=0; • int i=k-2; • while(true){ • for(int j=0;j<m;){ • i=(i+1)%n; • if(a[i]!=0){ • j++; • } • }
总人数n 起始号码k 循环数m 最后出列的3人总人数n 起始号码k 5 2 2 2 1 4 20 6
数据测试
总人数n 起始号码k 循环数m 最后出列的3人总人数n 起始号码k 循环数m 最后出列的3人
10 2 3 6 1 5 30 4 7 18 23 26
循环数m
最后出列的3人
8
3 14 6
数据测试
最后出列的3人总人数n

约瑟夫问题

约瑟夫问题约瑟夫问题约瑟夫问题是个有名的问题：N个人围成一圈，从第一个开始报数，第M个将被杀掉，最后剩下一个，其余人都将被杀掉。

例如N=6，M=5，被杀掉的人的序号为5，4，6，2，3。

最后剩下1号。

假定在圈子里前K个为好人，后K个为坏人，你的任务是确定这样的最少M，使得所有的坏人在第一个好人之前被杀掉。

举个例子：有64名战士被敌人俘虏了。

敌人命令他们拍成一圆圈，编上号码1，2，3…，64。

敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们隔着一个杀一个这样转着圈杀。

最后只剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。

请问约瑟夫斯是多少号？（这就是“约瑟夫斯”问题。

）这个问题解答起来比较简单：敌人从1号开始，隔一个杀一个，第一圈把所有的奇数号码的战士圈杀光了。

剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编号的奇数号码。

由于第一圈剩下的全部是偶数号2，4，6，…，64。

把它们全部用2去除，得1，2，3，…，32。

这是第二圈编的号码。

第二圈杀过以后，又把奇数号码都杀掉了，还剩16个人。

如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

$64=2^6$，它可以连续被2整除6次，是从1到64中能被2整除次数最多的数，因此，最后必然把64 号留下。

如果有65名战士被俘，敌人还是按上述的方法残杀战士，最后还会剩下约瑟夫斯吗？经过计算，很容易得到结论，不是。

因为第一个人被杀后，也就是1号被杀后，第二个被杀的是必然3号。

如果把1号排除在外，那么还剩下的仍是64人，新1号就是3号。

这样原来的2号就变成了新的64 号，所以剩下的必然是2号。

进一步的归类，不难发现如果原来有$2^k$个人，最后剩下的必然$2^k$号；如果原来有$2^k+1$个人，最后剩下2号；如果原来有$2^k+2$个人，最后剩下4号……如果原来有$2^k+m$个人，最后剩下2m号.比如：原来有100人，由于$100=64+36=2^6+36$，所以最后剩下的就是36×2=72号；又如：原来有11 1人，由于$100=64+47=2^6+47$，所以最后剩下的就是47×2=94号传说古代有一批人被蛮族俘虏了，敌人命令他们排成圆圈，编上号码1，2，3，…然后把1号杀了，把3号杀了，总之每隔一个人杀一个人，最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫斯。

Josephu（约瑟夫）问题解析

Josephu（约瑟夫）问题解析Josephu问题为：设置编号为1,2,3，......n的n个⼈围坐⼀圈，约定编号为k（1<=k<=n）的⼈从1看是报数，数到m的那个⼈出列，它的下⼀位⼜从1开始报数，数到m的那个⼈出列，以此类推，直到所有⼈出列为⽌，由此产⽣⼀个出队编号的序列。

提⽰：⽤有个不带头的循环链表来处理Josephu问题：先构成⼀个有n个结点的单循环链表，然后由k结点起从1开始计数，计到m时，对应结点从链表中删除，然后再从被删除结点的下⼀个结点⼜从1开始计数，直到最后⼀个结点从链表中删除算法结束。

代码：public class Demo{public static void main(String[] args){CycLink cyclink=new CycLink();cyclink.setLen(5);cycLink.createLink();cyclink.show();}}//⼩孩class Child{//编号int no;//结点Child nextChild=null;public Child(int no){//给编号this.no=no;}}//环形链表class CycLink{//先定义⼀个指向链表第⼀个⼩孩的引⽤//指定第⼀个⼩孩的引⽤不能动，不然以后找不到他了Child firstChild=null;//定义⼀个游标Child temp=null;//表⽰共有⼏个⼩孩int len=0;//设置链表⼤⼩public void setLen(int len){this.len=len;}//初始化环形链表public void createLink(){for(int i=1;i<=len;i++){if(i==1){//创建第⼀个⼩孩Child ch=new Child(i);this.firstChild=ch;this.temp=ch;}else{//创建最后⼀个⼩孩if(i==len){Child ch=new Child(i);temp.nextChild=ch;temp=ch;temp.nextChild=this.firstChild;}else{//继续创建⼩孩Child ch=new Child(i);//连接，搭桥temp.nextChild=ch;//temp向前⾛⼀步，指向刚刚进来的孩⼦temp=ch;}}}}//打印该环形链表public void show(){Child temp=this.firstChild;do{System.out.println(temp.no);temp=temp.nextChild;}while(temp!=this.fistChild);}}优化：代码：public class Demo{public static void main(String[] args){CycLink cyclink=new CycLink();cyclink.setLen(50);cycLink.createLink();cycLink.setK(2);cycLink.setM(3);cyclink.show();cyclink.play();}}//⼩孩class Child{//编号int no;//结点Child nextChild=null;public Child(int no){//给编号this.no=no;}}//环形链表class CycLink{//先定义⼀个指向链表第⼀个⼩孩的引⽤//指定第⼀个⼩孩的引⽤不能动，不然以后找不到他了 Child firstChild=null;//定义⼀个游标Child temp=null;//表⽰共有⼏个⼩孩int len=0;int k=0;int m=0;//设置mpublic void setM(int m){this.m=m;}//设置链表⼤⼩public void setLen(int len){this.len=len;}//设置从第⼏个⼈开始数数public void setK(int k){this.k=k;}//开始playpublic void play(){Child temp=this.fistChild;//1.先找到开始数数的⼈//int i=1;i<k;因为⾃⼰也要数⼀下，所以i不能为k for(int i=1;i<k;i++){temp=temp.nexChild;}while(this.len!=1){//2.数m下for(int j=1;j<m;j++){temp=temp.nextChild;}//找到要出圈的前⼀个⼩孩，有待优化Child temp2=temp;while(temp2.nextChild!=temp){temp2=temp2.nextChild;}//3.将数到m的⼩孩，退出圈temp2.nextChild=temp.nextChild;//让temp指向数数的⼩孩temp=temp.nextChild;this.len--;}//最后⼀个⼩孩（验证）System.out.println(temp.no);}//初始化环形链表public void createLink(){for(int i=1;i<=len;i++){if(i==1){//创建第⼀个⼩孩Child ch=new Child(i);this.firstChild=ch;this.temp=ch;}else{//创建最后⼀个⼩孩if(i==len){Child ch=new Child(i);temp.nextChild=ch;temp=ch;temp.nextChild=this.firstChild;}else{//继续创建⼩孩Child ch=new Child(i);//连接，搭桥temp.nextChild=ch;//temp向前⾛⼀步，指向刚刚进来的孩⼦ temp=ch;}}}}//打印该环形链表public void show(){Child temp=this.firstChild;do{System.out.println(temp.no);temp=temp.nextChild;}while(temp!=this.fistChild);}}。

经典数学故事之约瑟夫问题

有⼀个古⽼的传说，有64名战⼠被敌⼈俘虏了，敌⼈命令它们排成⼀个圈，编上号码1，2，3，……64。

敌⼈把1号杀了，⼜把3号杀了，他们是隔⼀个杀⼀个这样转着圈杀。

最后剩下⼀个⼈，这个⼈就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号?
这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。

给⼤家⼀个提⽰，敌⼈从l号开始，隔⼀个杀⼀个，第⼀圈把奇数号码的战⼠全杀死了。

剩下的32名战⼠需要重新编号，⽽敌⼈在第⼆圈杀死的是重新编排的奇数号码。

按照这个思路，看看你能不能解决这个问题?
答案解析：
由于第⼀圈剩下的全部是偶数号2，4，6，8，……64。

把它们全部⽤2除，得1，2，3，4，……32.这是第⼆圈重新编的号码。

第⼆圈杀过之后，⼜把奇数号码都杀掉了，还剩下16个⼈。

如此下去，可以想到最后剩下的必然是64号。

64=2×2×2×2×2×2，它可以连续被2整除6次，是从1到64中质因数⾥2最多的数，因此，最后必然把64号剩下。

从
64=2×2×2×2×2×2还可以看到，是转过6圈之后，把约瑟夫斯剩下来的。

约瑟夫问题数据结构实验报告

约瑟夫问题数据结构实验报告[正文]1.实验目的本实验的目的是分析约瑟夫问题，并设计合适的数据结构解决该问题。

2.实验背景约瑟夫问题，又称为约瑟夫环，是一个经典的数学问题。

问题描述如下：有n个人围成一圈，从第一个人开始报数，数到第m个人时将其杀死，然后从下一个人开始重新报数，数到第m个人又将其杀死，如此循环进行，直到所有人都被杀死为止。

求出最后一个被杀的人在初始序列中的编号。

3.实验设计为了解决约瑟夫问题，我们需要设计合适的数据结构来表示这个过程。

以下为实验所采用的数据结构：3.1 线性表由于约瑟夫问题是围成一圈的，因此我们选择使用循环链表来表示人围成的圈。

每个节点代表一个人，包含一个成员变量用于存储人的编号。

3.2 算法采用如下算法来解决约瑟夫问题：1.创建一个循环链表，将n个人的编号分别存入节点中。

2.初始化一个指针p指向链表的第一个节点。

3.从第一个人开始报数，每报到第m个人，将该节点从链表中删除。

4.如果链表中只剩下一个节点，此时的节点即为最后一个被杀的人，输出其编号。

4.实验步骤4.1 数据结构设计根据实验设计中的描述，我们编写了一个含有循环链表和节点的数据结构。

```cppstruct ListNode {int number;ListNode next;};```4.2 实现约瑟夫问题算法根据实验设计中的算法描述，我们编写了解决约瑟夫问题的函数。

```cppint josephusProblem(int n, int m) {// 创建循环链表// 初始化指针p// 开始报数并删除节点// 返回最后被杀的人的编号}```4.3 测试与分析我们通过输入不同的n和m值，测试了约瑟夫问题的解决函数，并对实验结果进行了分析。

5.实验结果经过测试，我们得到了约瑟夫问题的解。

6.实验总结通过本实验，我们深入了解了约瑟夫问题，并成功设计了合适的数据结构和算法解决了该问题。

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法律名词及注释1.约瑟夫问题：亦称为约瑟夫环问题，是一个数学难题，起源于古代历史记载，已有几个世纪的历史。

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