第三章 证明平行四边形教学案例

第三章证明（三）
§3.1平行四边形(二)
一、学生知识状况分析
在八年级教材中，学生已经对平行四边形的判别方法，通过一些直观的方法进行了大量的探索，所以学生对所要学习的结论已经有所了解。

其次经历了《证明（一）》、《证明（二）》的学习，进行了一定的推理训练，学生已经初步具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。

在上节课学生已经探究了平行四边形的性质定理，已经获得了从边、角、对角线的角度分别研究性质定理。

在以前的数学学习中，学生已经经历了许多审题的过程，具有了一定的阅读理解能力和对问题的综合分析积累，具备了一定的独立分析问题、解决问题的能力及与他人合作交流的能力。

二、教学任务分析
因为这节课所涉及的命题较多，学生八年级对此已有所探索了解，对于这些命题，教科书利用提问的方式让学生联想回忆，然后利用已证明过的定理及有关的定义去证明它们，让学生进一步从中体会证明的必要性，理解证明的方法，掌握用综合法书写证明的格式，初步感受判定定理的应用。

因此，本节课注重新旧知识的结合及学生综合分析、独立推理能力的训练。

对证明方法和证明过程的分析体验，成为本节课的重点。

此外，这部分题目往往有多种思路，注意引导学生结合所给条件
选用不同的知识点、从不同的角度思考问题；注意证明分析过程中所渗透的归纳、类比、转化等数学思想方法。

三、目标与重难点
教学目标：
知识与技能:
1.掌握平行四边形的判定方法。

2.进一步掌握推理的技能。

过程与方法：
1.让学生在证明命题的过程中，运用归纳、类比、转化等数学方法思考问题。

2.通过证明，进一步发展初步的演绎推理能力，体会证明的必要性。

情感、态度与价值观：
1.通过对已有知识的复习，使学生体会数学知识的发生发展过程，从而培养学生严谨的科学态度。

2.在独立思考的基础上，积极参与对数学问题的讨论，敢于发表自己的观点，并尊重理解他人的见解。

重点难点
重点：平行四边形的判定定理及应用。

难点：灵活运用平行四边形的判定定理解决问题。

教学方法：自主学习与合作探究相结合的教学方法。

学习目标：
1.你能说出平行四边形的定义吗？它有哪些性质？
2.你能规范的证明平行四边形的判定定理吗？
3.应用平行四边形的性质和判定定理进行有关的计算和证明。

四、教学过程分析
教学过程设计分成七个环节：
第一环节：导入新课，明确目标
第二环节：呈现问题，自主学习
第三环节：教师引导，精讲要点
第四环节：合作探究，交流展示
第五环节：课堂训练，达标检测
第六环节：课堂小结
第七环节：布置作业
第一环节：导入新课，明确目标
上节课我们已经认识了平行四边形，知道平行四边形的定义和性质，请同学们回答：
1.平行四边形是如何定义的？
2.平行四边形有哪些性质？
目的：通过复习平行四边形的性质，让学生知道利用平行四边形的性质可以证明线段或角相等。

因此有必要掌握如何判断一个四边形是平行四边形，从而引入新课—平行四边形的判定。

第二环节：呈现问题，自主学习
学生自主学习课本并完成下列问题：
1.两组对边的四边形是平行四边形。

2.两组对边的四边形是平行四边形。

3.一组对边的四边形是平行四边形。

4.对角线的四边形是平行四边形。

5.两组对角的四边形是平行四边形。

目的：（1）以问题串的形式引入新课，让学生明确本节课所要掌握的主要内容。

（2）让学生回忆八年级探索过的平行四边形的判定方法，目的是引导学生利用综合法证明这些判定定理的正确性及发展学生的合情推理与演绎推理的能力。

第三环节：教师引导，精讲要点
1.学生口述平行四边形的判定方法。

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（2）定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（3）定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（4）定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（5）定理：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

2.同学们自主探究平行四边形的判定定理，并能将自己的证明思路与同学们交流分享，感受数学学习的乐趣。

（1）教师引导学生回顾、分析课本对判定定理：两组对边分别相等
的四边形是平行四边形的证明过程。

让学生进一步体会并归纳文字证明题的证明方法（仔细阅读、准确理解命题，分清命题的条件与结论、画相应的图形并标字母、写已知和求证、分析并证明）、总结证明思路（先连接对角线，利用已知条件证明两个三角形全等，然后由对应角相等得到两组对边分别平行，从而依据定义证明了它是平行四边形）及证明过程所采用的数学思想（转化思想）
（2）证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD。

求证：四边形ABCD是平行四边形。

证明：连接AC。

∵AB∥CD
∴∠１＝∠２
∵ AB=CD，AC=CA
∴△ABC≌△CDA(SAS) （方法１）∵△ABC≌△CDA ∴BＣ=AD
又∵ AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形（方法２）∵△ABC≌△CDA
∴∠3＝∠4
∴ AD∥BC
又∵AB∥CD
图3-1
B C
∴四边形ABCD是平行四边形
目的：在此过程中采用自主学习与合作探究结合的方法，首先为了让学生掌握巩固文字证明题的证明方法，为发展学生的推理论证能力奠定了基础。

其次通过命题证明的多样性，拓展学生的思维广度，不仅加深了学生对判定定理的理解和掌握，同时也达到师生间、生生间的沟通、互补、共同提高。

（3）.练习证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

学生按照文字证明题的解答方法自主探究证明过程后，师生交流。

目的：对学生的独立分析问题，自主解决问题能力是一个巩固训练。

效果：学生充分展示了自己的证明思路，个别学生能大胆的将自己与众不同的方法讲出来，其他同学认真倾听，感悟到别人分析的出发点及所用的方法。

体现了证明思路上可以根据已知条件选择判定方法的多样化。

第四环节：合作探究，交流展示
例2：已知：如图。

求证：四边形ＭＮＯＰ是平行四边形。

证明:
(x-3）2—（x—5）2=42
∴x=8
∴MN=5=PO
∴PM=3=ON
∴四边形MNOP是平行四边形.
N
目的：培养学生综合运用所学知识解决实际问题。

效果：学生能够通过题目所给图形发现图形间蕴含的位置关系和数量关系，有效的运用勾股定理和方程求得x的值，进行了平行四边形的判定。

第五环节：课堂训练，达标检测
（一）判断题：
1.平行四边形的对角线相等；（）
2.一组对边平行的四边形是平行四边形；（）
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（）
4.一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形。

（）（二）选择题：
1.能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
(A)一组对角相等． (B)两条对角线互相平分．
(C )两条对角线互相垂直． (D)一对邻角的和为180°．
2.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（）
（A)对角相等．(B)邻角互补．(C )对角互补．(D)内角和是360°．
3.不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）
(A) AB =CD, AD =BC．(B) BC ∥AD，BC ＝AD．
(C ) AB//DC, AD//BC． (D)AB =CD，AD//BC．
目的：学生在规定时间内完成后，教师出示参考答案，让学生自我评定，发挥自我激励，旨在落实学习目标。

教师重点讲解共性问题。

效果：学生能够根据本节课所掌握的知识进行有效的运用，掌握程度很好。

尤其对于判断正误题，掌握了说明一个命题是错误的方法，只须举反例即可，即满足命题已知条件而结论不成立。

第六环节：课堂小结
１．通过本节课的学习你学到了什么知识？
２．你感受到了什么数学思想？
３．你还存在什么疑惑呢？
目的：培养学生及时总结、回顾的品质。

在回顾中学生畅所欲言，找到自己学习中存在的不足和问题的求实作风。

同时培养学生归纳、概括及语言表达能力。

效果：通过总结教师及时了解学生对本节知识点的掌握情况。

以便及时调整教学。

第七环节：布置作业
习题3.２知识技能１、２。