概率论与数理统计：概率论练习题1及答案

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概率论练习题1

（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

1、若当事件A ，B 同时发生时，事件C 必发生，则下列选项正确的是（ ） A ．()()P C P AB =； B ．()()P C P AB ≤； C ．()()P C P AB ≥； D ．以上答案都不对．

2、设随机变量()~X E λ，则下列选项正确的是（ ）

A ．X 的密度函数为(),0

0,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩；

B ．X 的密度函数为(),0

0,

0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；

C ．X 的分布函数为(),0

0,0x e x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；

D ．X 的分布函数为()1,0

0,

0x e x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩．

3、设相互独立的连续型随机变量1X ，2X 的概率密度函数分别()1f x ，()2f x ，分布函数分别为()1F x ，()2F x ，则下列选项正确的是（ ） A ．()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数； B ．()()12f x f x ⋅必为某一随机变量的概率密度函数； C ．()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数； D ．()()12F x F x ⋅必为某一随机变量的分布函数．

4、设()~,X B n p ，()2~,Y N μσ，则下列选项一定正确的是（ ） A ．()E X Y np μ+=+； B ．()E XY np μ=⋅； C ．()()21D X Y np p σ+=-+； D ．()()21D XY np p σ=-⋅．

5、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()1,0.2B ，则下列选项正确的是（ ）

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A ．()1P X Y ==；

B ．()1P X Y ≤=；

C ．()1P X Y ≥=；

D ．以上答案都不对． 6、设12,,

,,

n X X X 为独立的随机变量序列，且都服从参数为()0λλ>的指数

分布，当n 充分大时，下列选项正确的是（ ）

A ．

2

1

n

i

i X

n n

λλ

=-∑近似服从()0,1N ； B

n

i X n

λ-∑近似服从()0,1N ；

C ．21

n

i i X λλ=-∑近似服从()0,1N ； D ．

1

n

i i X n

n

λ=-∑近似服从()0,1N ．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

1、设事件A ，B ，C 相互独立，且()()()P A P B P C ==，()19

27

P A B C =

，则()P A =．

2、若()14P A =

，()13P B A =，()1

2

P A B =，则()P A B =．

3、设()2~10,X N σ，且()10200.3P X <<=，则()010P X <<=

．

4、设随机变量X 与Y 相互独立，且()~100,0.3X B ，()~4Y P ，则

()D X Y -=

．

5、设平面区域(){},01D x y x y =≤≤≤，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 的联合分布密度函数为

．

6、若随机变量X 的分布律为()()2,0,1,2,

k P X k ae k -+===，则常数

a =

．

三、解答题（本大题共 6 小题，共 64 分）

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1、设盒一装有1支红色笔和2支黑色笔，盒二装有2支红色笔和1支黑色笔，盒三装有3支红色笔和3支黑色笔．现掷一枚匀质骰子，若掷出1点，则从盒一中任取一支笔，若掷出6点，则从盒三中任取一支笔，否则均从盒二中任取一支笔．求取出黑色笔的概率．（10分）

2、一盒装有6只灯管，其中有2只次品，4只合格品，随机地抽取一只测试，测

试后不放回，直到2只次品都被找出，求所需测试次数X 的概率分布及均值．（10分）

3、设连续型随机变量X 的分布密度函数为(),13;0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.，且

{}{}23212P X P X <<=-<<，求常数a 和b 的值．（10分）

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4、设某工程队完成某项工程所需时间X （天）服从()100,25N ．工程队若在100天内完工，可获奖金10万元；若在100~115天内完工，可获奖金3万元；若超过115天完工，则罚款5万元．求该工程队在完成工程时所获奖金的均值（要求用标准正态分布的分布函数值表示）．（10分）

5、设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为()8,01;,0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他，求关

于X 和Y 的边缘分布密度函数()X f x 和()Y f y ，并判别X 与Y 是否相互独立．（10分）

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6、设()~,X U a b ，且()0E X =，()1

3

D X =．试确定X 的概率密度函数（6分）

7、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .（8分）

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概率论练习题1参考答案

一、单项选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1、C ； 2、B ； 3、D ； 4、A ； 5、D ； 6、B ． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

1、13

； 2、13

； 3、0.3； 4、25； 5、()()2,,;

,0,

x y D f x y ∈⎧⎪=⎨

⎪⎩其他.

； 6、2

3e e ---．

三、解答题（本大题 6 小题，共 64 分）

1、解 设A 表示“取出黑色笔”，i

B 表示“从盒i 中取笔”，1,2,3i =．……..2分

则()()1

3

16

P B P B ==，()2

46

P B =，()1

23

P A B =，()2

13

P A B =，()3

12

P A B =，…………7分

故由全概率公式，有()()()3

1

124111563636212

i

i

i P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑．……………….10分

2、解 由题意可知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，…………….…….2 且{}1

215P X ==

，{}2315P X ==，{}145P X ==， {}4515P X ==，{}163

P X ==，……..7分 所以 ()121411423456151551533E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………10分 3、解 由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞

=⎰

，可得()31

421ax b dx a b +=+=⎰，………..3分

又由 {}{}23212P X P X <<=-<<，可得()()3

2

2

1

2ax b dx ax b dx +=+⎰⎰，即

02

a

b +=，…..7分

联立方程，解得

11,36

a b ==-

．………………………………………….10分

4、解 方法1 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ．

设所获奖金为Y 万元，Y 的可能取值为10，3，-5，Y 取各值的概率为

()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫

==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭

， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)

5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭

，…………….8分

Y 因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分

方法2 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ， 所获奖金

10,100;

3,100115;5,115.X Y X X ≤⎧⎪

=<≤⎨⎪->⎩

…………………………………………….2分