概率论与数理统计：概率论练习题1及答案
概率论与数理统计练习册答案
概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案：（C ）注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案：（D ）注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案：（D ）注：选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案：（C ）注：古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案：（A ）解：用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”，考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==，故365()1365rrP P A =-.12.答案：（B ）解：“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”，说明AB C ?，故()()P AB P C ≤；而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案：（D ）解：由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案：（B ）解：所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注：0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案：（A ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案：（C ）解：用A 表示事件“取到白球”，用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =，则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案：（C ）解：即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3．0.3，0.5 解：若A 与B 互斥，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ），于是 P （B ）=P （A+B ）-P （A ）=0.7-0.4=0.3；若A 与B 独立，则P （AB ）=P （A ）P （B ），于是由P （A+B ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=P （A ）+P （B ）-P （A ）P （B ），得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解：由题设P （AB ）=P （A ）P （B|A ）=0.4，于是P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ）=0.5+0.6-0.4=0.7.解：因为P （AUB ）=P （A ）+P （B ）-P （AB ），又()()()P AB P AB P A +=，所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解：由题设P （A ）=0.7，P （AB ）=0.3，利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4，故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解：因为P （AB ）=0，所以P （ABC ）=0，于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解：这是一个古典概型问题，将七个字母任一种可能排列作为基本事件，则全部事件数为7！，而有利的基本事件数为12121114=，故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解：设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的}，B={抽取的产品为工厂B 生产的}，C={抽取的是次品}，则P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，P （C|A ）=0.01，P （C|B ）=0.02，故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解：设A={甲射击}，B={乙射击}，C={目标被击中}，则P （A ）=P （B ）=1/2，P （C|A ）=0.6，P （C|B ）=0.5，故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
概率论与数理统计练习题练习题及参考答案(东师)
《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2N 的样本，则ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ；6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)( Y D X D ，则4)( Y X D ；9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X是 的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDXp 1: 3． ,,,0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为则12 X 的概率分布为222)(21x e7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)( Y E a X E ，则 )(XY E )()(y f x f Y X8．设1 与2 是未知参数 的两个 0.99 估计，且对任意的 满足)()(21 D D ，则称1 比2有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2 N 抽得的简单随机样本，已知202，现检验假设0 ：H ，则当222121)()(n n Y D X D时，0)( X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （10 ），则犯第一类错误的概率是 .三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)( A P ，事件B 的概率6.0)( B P ，条件概率8.0)|( A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
概率论与数理统计练习题,概率论与数理统计试题及答案
概率论与数理统计练习题一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
5. 设随机变量X 的概率密度是：⎩⎨⎧<<=其他103)(2x x x f ，且{}784.0=≥αX P ，则α=0.6 。
6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (Y )= 3/4 。
7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N(2, 13) 。
8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.7，P (A －B)=0.3，则=⋃)(B A P 0.6 。
9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332，则{}=<2X P 0.6247 。
10. 随机变量X 的概率密度函数1221)(-+-=x xe xf π，则E (X )= 1 。
11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,),(y x xy y x f ，则E (X )= 4/3 。
12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=0.6, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 0.4 。
13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数644261)(+--=x x ex f π，则μ= 2 。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
《概率论与数理统计》习题及答案--第一章
第一章
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（ 1）掷一颗骰子，记录出现的点数 . A ‘出现奇数点’ ； （ 2）将一颗骰子掷两次， 记录出现点数 . A ‘两次点数之和为
一次的点数，比第二次的点数大 2’；
Байду номын сангаас10’，B ‘第
（ 3）一个口袋中有 5 只外形完全相同的球，编号分别为 1,2,3,4,5 ；从中同时
解 （ 1） A1 A2 A3 ；（ 2） A1 A2 A3 ；（ 3） A1 A2 A3 （ 4） A1 A2 A1 A3 A2 A3 。
A1 A2 A3
A1 A2 A3 ；
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解 设 A ‘任取一电话号码后四个数字全不相同’ ，则
P( A)
(2,3,5), (2, 4,5), (1,3,5)}
A {(1, 2,3), (1,2, 4), (1,2,5), (1,3, 4), (1,3,5), (1,4,5)}
（ 4） S {( ab, , ), ( , ab, ), ( , ,ab), (a,b, ), ( a, ,b), (b, a, ),
(b, , a), ( , a, b,), ( ,b, a)} ，其中‘ ’表示空盒；
A {( ab, , ), (a, b, ), ( a, , b), (b, a, ), (b, , a)} 。
（ 5） S {0,1, 2, }, A {0,1, 2,3, 4}, B {3, 4, } 。 2．设 A, B,C 是随机试验 E 的三个事件，试用 A, B,C 表示下列事件：
（ 1）仅 A 发生； （ 2） A, B, C 中至少有两个发生； （ 3） A, B, C 中不多于两个发生； （ 4） A, B, C 中恰有两个发生； （ 5） A, B, C 中至多有一个发生。
《概率论与数理统计》练习题(含答案)
《概率论与数理统计》练习题（含答案）一、单项选择题1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是（ ） （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立. （D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立.答案：（D ）.解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.事实上由图 可见A 与C 不独立.2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为（ ） （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-. （C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ.答案：（A ）解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是（ ） （A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+. （C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =.SABC答案：（B ）解答：由不相关的等价条件知，0y x cov 0xy =⇒=），（ρ ()+2cov x y D X Y DX DY -=+（，） 应选（B ）.4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为(,)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)111169183X Y P αβ若,X Y 独立，则,αβ的值为（ ）（A ）21,99αβ==. （A ）12,99αβ==.（C ） 11,66αβ== （D ）51,1818αβ==.答案：（A ）解答： 若,X Y 独立则有(2,2)(2)(2)P X Y P X P Y α======1121()()()3939αβαα=+++=+∴29α=， 19β=故应选（A ）.5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ为来自X 的样本，则下列结论中正确的是（ ）（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. 答案：（A ） 解答：1EX μ=，所以1X 是μ的无偏估计，应选（A ）.6. 设A 、B 、C 为三个事件，()0P AB >且(|)1P C AB =，则有（ ）Y X（A ）()()() 1.P C P A P B ≤+- （B ）()().P C P A B ≤ （C ）()()() 1.P C P A P B ≥+- （D ）()().P C P A B ≥答案：C 解答：由(|)1P C AB =知()()P ABC P AB =，故()()P C P AB ≥ ()()()()()()()1P C P AB P A P B P A B P A P B ≥=+-≥+- 应选C.7. 设随机变量X 的概率密度为2(2)4(),x f x x +-=-∞<<∞, 且~(0,1)Y aX b N =+，则在下列各组数中应取（ ） （A ）1/2, 1.a b == （B）2,a b ==（C ）1/2,1a b ==-. （D）2,a b == 答案：B 解答：22(2)4()x f x +-==即~(2,)X N - 故当a b ===时 ~(0,1)Y aX b N =+ 应选B.8. 设随机变量X 与Y 相互独立，其概率分布分别为010.40.6X P010.40.6Y P则有（ ）（A ）()0.P X Y == （B ）()0.5.P X Y ==（C ）()0.52.P X Y == （D ）() 1.P X Y == 答案：C解答：()(0,0)(1,1)P X Y P X Y P X Y ====+== 0.40.40.60.60.52=⨯+⨯= 应选C.9. 对任意随机变量X ，若EX 存在，则[()]E E EX 等于（ ）（A ）0. （B ）.X （C ）.EX （D ）3().EX 答案：C 解答：[()]E E EX EX = 应选C.10. 设12,,,n x x x 为正态总体(,4)N μ的一个样本，x 表示样本均值，则μ的置信度为1α-的置信区间为（ ） （A ）/2/2(x u x u αα-+ （B ）1/2/2(x u x u αα--+ （C ）(x u x uαα-+ （D ）/2/2(x u x u αα-+ 答案：D 解答：因为方差已知，所以μ的置信区间为/2/2(X u X u αα-+应选D. 11、设为总体的一个样本，为样本均值，则下),,,(21n X X X )2,1(2N X列结论中正确的是（ D ）。
(完整版)概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
概率论与数理统计第一章答案
概率论与数理统计第⼀章答案习题1-21. 选择题(1) 设随机事件A ，B 满⾜关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发⽣, 则B 必发⽣. (B) A , B 同时发⽣.(C) 若A 发⽣, 则B 必不发⽣. (D) 若A 不发⽣，则B ⼀定不发⽣.解根据事件的包含关系, 考虑对⽴事件, 本题应选(D).(2) 设A 表⽰“甲种商品畅销, ⼄种商品滞销”, 其对⽴事件A 表⽰( ). (A) 甲种商品滞销, ⼄种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, ⼄种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, ⼄种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者⼄种商品畅销.解设B 表⽰“甲种商品畅销”，C 表⽰“⼄种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D).2. 写出下列各题中随机事件的样本空间:(1) ⼀袋中有5只球, 其中有3只⽩球和2只⿊球, 从袋中任意取⼀球, 观察其颜⾊; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出⼀个, 观察其颜⾊； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的⿊球个数； (4) ⽣产产品直到有10件正品为⽌, 记录⽣产产品的总件数. 解 (1) {⿊球,⽩球}； (2) {⿊⿊,⿊⽩,⽩⿊,⽩⽩}； (3) {0,1,2}；(4) 设在⽣产第10件正品前共⽣产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }.3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表⽰下列各事件： (1) 仅有A 发⽣；(2) A , B , C 中⾄少有⼀个发⽣; (3) A , B , C 中恰有⼀个发⽣; (4) A , B , C 中最多有⼀个发⽣; (5) A , B , C 都不发⽣;(6) A 不发⽣, B , C 中⾄少有⼀个发⽣. 解 (1) ABC ; (2)A B C ; (3) ABC ABC ABC ;(4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C .4. 事件A i 表⽰某射⼿第i 次(i =1, 2, 3)击中⽬标, 试⽤⽂字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3; (4) A 2－A 3;(5)23A A ； (6)12A A .解 (1) 射⼿第⼀次或第⼆次击中⽬标;(2) 射⼿三次射击中⾄少击中⽬标;(3) 射⼿第三次没有击中⽬标;(4) 射⼿第⼆次击中⽬标,但是第三次没有击中⽬标;(5) 射⼿第⼆次和第三次都没有击中⽬标;(6) 射⼿第⼀次或第⼆次没有击中⽬标.习题1-31. 选择题 (1) 设A, B 为任⼆事件, 则下列关系正确的是( ).(A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ .(C)()()()P AB P A P B =. (D)()()()P A P AB P AB =+.解由⽂⽒图易知本题应选(D).(2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ).(A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件.(C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C).2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ).解因()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= ,故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =-0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .解由公式()()()()P A B P A P B P AB =+- 知()0.3P AB =. 于是()()()0.1.P AB P A P AB =-=4. 设A , B 为随机事件,()0.7P A =,()0.3P A B -=, 求()P AB .解由公式()()()P A B P A P AB -=-可知,()0.4P AB =. 于是()0.6P AB =.5. 设A , B 是两个事件, 且()0.6P A =, ()0.7P B =.问: (1) 在什么条件下()P AB 取到最⼤值, 最⼤值是多少？ (2) 在什么条件下()P AB 取到最⼩值, 最⼩值是多少？解 ()()()()P AB P A P B P A B =+- =1.3()P A B - .(1) 如果A B B = , 即当A B ?时, P B A P =)( ()B =0.7, 则()P AB 有最⼤值是0.6 .(2) 如果)(B A P =1，或者A B S = 时, ()P AB 有最⼩值是0.3 .6. 已知1()()()4P A P B P C ===,()0P AB =, 1()()12P AC P BC ==, 求A , B , C 全不发⽣的概率.解因为ABCAB ?,所以0()P ABC P AB ≤≤（）=0, 即有()P ABC =0.由概率⼀般加法公式得()()()()()()()()7.12P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+= 由对⽴事件的概率性质知A ,B , C 全不发⽣的概率是5()()1()12P ABC P A B C P A B C ==-=.习题1-41. 选择题在5件产品中, 有3件⼀等品和2件⼆等品. 若从中任取2件, 那么以0.7为概率的事件是( )．(A) 都不是⼀等品. (B) 恰有1件⼀等品. (C) ⾄少有1件⼀等品. (D) ⾄多有1件⼀等品.解⾄多有⼀件⼀等品包括恰有⼀件⼀等品和没有⼀等品, 其中只含有⼀件⼀等品的113225C C C ?, 没有⼀等品的概率为023225C C C ?, 将两者加起即为0.7. 答案为（D ）.2. 从由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件. 求: (1) 恰有1件次品的概率; (2) 恰有2件次品的概率; (3) ⾄少有1件次品的概率; (4) ⾄多有1件次品的概率; (5) ⾄少有2件次品的概率.解 (1) 恰有1件次品的概率是12545350C C C ;(2) 恰有2件次品的概率是21545350C C C ; (3 )⾄少有1件次品的概率是1-03545350C C C ; (4) ⾄多有1件次品的概率是03545350C C C +12545350C C C ; (5) ⾄少有2件次品的概率是21545350C C C +30545350C C C .3. 袋中有9个球, 其中有4个⽩球和5个⿊球. 现从中任取两个球. 求：(1) 两个球均为⽩球的概率；(2) 两个球中⼀个是⽩的, 另⼀个是⿊的概率； (3）⾄少有⼀个⿊球的概率.解从9个球中取出2个球的取法有29C 种，两个球都是⽩球的取法有24C 种，⼀⿊⼀⽩的取法有1154C C 种，由古典概率的公式知道(1) 两球都是⽩球的概率是2924C C ;(2)两球中⼀⿊⼀⽩的概率是115429C C C ;(3)⾄少有⼀个⿊球的概率是12924C C -.4. 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 求下列事件的概率:(1) 两数之和⼩于6 5;(2) 两数之积⼩于14;(3) 以上两个条件同时满⾜;(4) 两数之差的绝对值⼩于12的概率.解设X , Y 为所取的两个数, 则样本空间S = {(X , Y )|0(1) P {X +Y <65}=1441172550.68125-??=≈;(2) P {XY <14}=11411111ln 40.64444dx x+=+≈?;(3) P {X +Y <65, XY <14} =0.2680.932110.2680.932516161()()5545x dx dx x dx x ?+-++-≈0.593.(4) 解设x , y 为所取的两个数, 则样本空间Ω = {(x , y )|012}. 参见图1-1.图1-1 第2题样本空间故 111123222()14AS P A S Ω-===, 其中 S A , S Ω分别表⽰A 与Ω的⾯积.习题1-51. 选择题(1) 设随机事件A , B 满⾜P (A |B )=1, 则下列结论正确的是( )(A) A 是必然事件. (B) B 是必然事件. (C) AB B =. (D)()()P AB P B =.解由条件概率定义可知选(D).(2) 设A , B 为两个随机事件, 且0()1P A <<, 则下列命题正确的是( ).(A) 若()()P AB P A =, 则A , B 互斥.(B) 若()1P BA =, 则()0P AB =. (C) 若()()1P AB P AB +=, 则A , B 为对⽴事件. (D) 若(|)1P B A =, 则B 为必然事件.解由条件概率的定义知选（B ）．2. 从1,2,3,4中任取⼀个数, 记为X , 再从1,2,…,X 中任取⼀个数, 记为Y ,求P {Y =2}. 解解 P {Y =2}=P {X =1}P {Y =2|X =1}+P {X =2}P {Y =2|X =2}+P {X =3}P {Y =2|X =3}+P {X =4}P {Y =2|X =4}=41×(0+21+31+41)=4813.3. ⼝袋中有b 个⿊球、r 个红球, 从中任取⼀个, 放回后再放⼊同颜⾊的球a 个. 设B i ={第i 次取到⿊球}, 求1234()P B B B B .解⽤乘法公式得到)|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P =.32ar b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+=注意, a = 1和a = 0分别对应有放回和⽆放回抽样.4. 甲、⼄、丙三⼈同时对某飞机进⾏射击, 三⼈击中的概率分别为0.4, 0.5, 0.7. 飞机被⼀⼈击中⽽被击落的概率为0.2, 被两⼈击中⽽被击落的概率为0.6, 若三⼈都击中, 飞机必定被击落. 求该飞机被击落的概率.解⽬标被击落是由于三⼈射击的结果, 但它显然不能看作三⼈射击的和事件. 因此这属于全概率类型. 设A 表⽰“飞机在⼀次三⼈射击中被击落”, 则(0,1,2,3)i B i =表⽰“恰有i 发击中⽬标”.i B 为互斥的完备事件组. 于是没有击中⽬标概率为0()0.60.50.30.09P B =??=, 恰有⼀发击中⽬标概率为1()0.40.50.30.60.50.30.60.50.70.36P B =??+??+??=,恰有两发击中⽬标概率为2()0.40.50.30.60.50.70.40.50.70.41P B =??+??+??=,恰有三发击中⽬标概率为3()0.40.50.70.14P B =??=.⼜已知 0123(|)0,(|)0.2,(|)0.6,(|)1P A B P A B P A B P A B ====, 所以由全概率公式得到 3()()(|)0.360.20.410.60.1410.458.iii P A P B P A B ===?+?+?=∑5. 在三个箱⼦中, 第⼀箱装有4个⿊球, 1个⽩球; 第⼆箱装有3个⿊球, 3个⽩球; 第三箱装有3个⿊球, 5个⽩球. 现任取⼀箱, 再从该箱中任取⼀球.(1) 求取出的球是⽩球的概率；(2) 若取出的为⽩球, 求该球属于第⼆箱的概率.解 (1)以A 表⽰“取得球是⽩球”，i H 表⽰“取得球来⾄第i 个箱⼦”,i =1,2,3. 则P (i H )=13, i =1,2,3, 123115(|),(|),(|)528P A H P A H P A H ===. 由全概率公式知P (A )=112233()(|)()(|)()(|)P H P A H P H P A H P H P A H ++=12053. (2) 由贝叶斯公式知 P (2|H A )=222()()(|)20()()53P AH P H P A H P A P A ==6. 某⼚甲、⼄、丙三个车间⽣产同⼀种产品, 其产量分别占全⼚总产量的40%, 38%, 22%, 经检验知各车间的次品率分别为0.04, 0.03, 0.05. 现从该种产品中任意取⼀件进⾏检查.(1) 求这件产品是次品的概率;(2) 已知抽得的⼀件是次品, 问此产品来⾃甲、⼄、丙各车间的概率分别是多少？解设A 表⽰“取到的是⼀件次品”, i B (i =1, 2, 3)分别表⽰“所取到的产品来⾃甲、⼄、丙⼯⼚”. 易知,123,,B B B 是样本空间S 的⼀个划分, 且122()0.4,()0.38,()0.22P B P B P B ===，12(|)0.04,(|)0.03P A B P A B ==,3(|)0.05P A B =.(1) 由全概率公式可得112233()(|)()(|)()(|)()P A P A B P B P A B P B P A B P B =++0.40.040.380.030.220.0384.=?+?+?=.(2) 由贝叶斯公式可得111(|)()0.40.045(|)()0.038412P A B P B P B A P A ?===,222(|)()0.380.0319(|)()0.038464P A B P B P B A P A ?===,333(|)()0.220.0555(|)()0.0384192P A B P B P B A P A ?===.习题1-61. 选择题(1) 设随机事件A 与B 互不相容, 且有P (A )>0, P (B )>0, 则下列关系成⽴的是( ).(A) A , B 相互独⽴. (B) A , B 不相互独⽴.(C) A , B 互为对⽴事件. (D) A , B 不互为对⽴事件. 解⽤反证法, 本题应选(B).(2) 设事件A 与B 独⽴, 则下⾯的说法中错误的是( ).(A) A 与B 独⽴. (B) A 与B 独⽴. (C)()()()P AB P A P B =. (D) A 与B ⼀定互斥.解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与,A 与B 及A 与B 也相互独⽴. 因此本题应选(D).(3) 设事件A 与 B 相互独⽴, 且0(A)(|)()P A B P A =. (B) ()()()P AB P A P B =.(C) A 与B ⼀定互斥. (D)()()()()()P A B P A P B P A P B =+- .解因事件A 与B 独⽴, 故A B 与也相互独⽴, 于是(B)是正确的. 再由条件概率及⼀般加法概率公式可知(A)和(D)也是正确的. 从⽽本题应选(C).2．设A , B 是任意两个事件, 其中A 的概率不等于0和1, 证明 P (B |A )=)(A BP 是事件A 与B 独⽴的充分必要条件.证由于A 的概率不等于0和1, 故题中两个条件概率都存在.充分性. 因事件A 与B 独⽴, 知事件A 与B 也独⽴, 因此()(),()()P B A P B P B A P B ==,从⽽()()P B A P B A =.必要性. 已知()()P BA PB A =, 由条件概率公式和对⽴事件概率公式得到()()()()()1()()P AB P AB P B P AB P A P A P A -==-,移项得[]()1()()()()(),P AB P A P A P B P A P AB -=-化简得 P (AB )=P (A )P (B ), 因此A 和B 独⽴.3. 设三事件A , B 和C 两两独⽴, 满⾜条件：,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 且9()16P A B C =,求()P A .解根据⼀般加法公式有()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AC P AB P BC P ABC =++---+ .由题设可知 A , B 和C 两两相互独⽴, ,ABC =?1()()()2P A P B P C ==<, 因此有2()()()[()],()()0,P AB P AC P BC P A P ABC P ====?=从⽽29()3()3[()]16P A B C P A P A =-=,于是3()4P A =或1()4P A =, 再根据题设1()2P A <, 故1()4P A =.4．某⼈向同⼀⽬标独⽴重复射击, 每次射击命中⽬标的概率为p (0解 “第4次射击恰好第2次命中” 表⽰4次射击中第4次命中⽬标, 前3次射击中有⼀次命中⽬标. 由独⽴重复性知所求概率为1223(1)C p p -.5. 甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击, 已知甲命中⽬标的概率为 0.7, ⼄命中⽬标的概率为0.8. 求：(1) 甲、⼄两⼈同时命中⽬标的概率；(2) 恰有⼀⼈命中⽬标的概率； (3) ⽬标被命中的概率.解甲、⼄两⼈各⾃向同⼀⽬标射击应看作相互独⽴事件. 于是(1) ()()()0.70.80.56;P AB P A P B ==?=(2)()()0.70.20.30.80.38;P AB P AB +=?+?=(3) ()()()()()0.70.80.560.94.P A B P A P B P A P B =+-=+-=总习题⼀1. 选择题：设,,A B C 是三个相互独⽴的随机事件, 且0()1P C <<, 则在下列给定的四对事件中不相互独⽴的是( ).(A)A B 与C . (B)AC 与C .(C) A B -与C . (D) AB 与C .解由于A , B , C 是三个相互独⽴的随机事件, 故其中任意两个事件的和、差、交、并与另⼀个事件或其逆是相互独⽴的, 根据这⼀性质知(A), (C), (D)三项中的两事件是相互独⽴的, 因⽽均为⼲扰项, 只有选项(B)正确..2. ⼀批产品由95件正品和5件次品组成, 先后从中抽取两件, 第⼀次取出后不再放回.求: (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率; (2) 抽得⼀件为正品, ⼀件为次品的概率.解 (1) 第⼀次抽得正品且第⼆次抽得次品的概率为9551910099396?=.(1) 抽得⼀件为正品，⼀件为次品的概率为95559519.10099198+= 3. 设有⼀箱同类型的产品是由三家⼯⼚⽣产的. 已知其中有21的产品是第⼀家⼯⼚⽣产的, 其它⼆⼚各⽣产41. ⼜知第⼀、第⼆家⼯⼚⽣产的产品中有2%是次品, 第三家⼯⼚⽣产的产品中有4%是次品. 现从此箱中任取⼀件产品, 求取到的是次品的概率.解从此箱中任取⼀件产品, 必然是这三个⼚中某⼀家⼯⼚的产品. 设A ={取到的产品是次品},B i ={取到的产品属于第i 家⼯⼚⽣产}, i =1, 2, 3. 由于B i B j =?(i ≠j, i , j =1, 2, 3)且B 1∪B 2∪B 3=S , 所以B 1, B 2, B 3是S 的⼀个划分. ⼜ P (B 1)=21, P (B 2) =41, P (B 3)=41,P (A | B 1)=1002, P (A | B 2)=1002, P (A | B 3)=1004,由全概率公式得P (A )=P (B 1)P (A |B 1)+P (B 2)P (A |B 2)+P (B 3)P (A | B 3)=100441100241100221?+?+?=0.025. 4. 某⼚⾃动⽣产设备在⽣产前须进⾏调整. 假定调整良好时, 合格品为90%; 如果调整不成功,则合格品有30%. 若调整成功的概率为75%, 某⽇调整后试⽣产, 发现第⼀个产品合格. 问设备被调整好的概率是多少？解设A ={设备调整成功}, B ={产品合格}. 则全概率公式得到()()(|)()(|)0.750.90.250.30.75P B P A P B A P A P B A =+=?+?=.由贝叶斯公式可得()0.750.9(|)0.9()0.75()(|)()P AB P A B P B P A P B A P B ?====.5. 将两份信息分别编码为A 和B 传递出去. 接收站收到时, A 被误收作B 的概率为0.02,⽽B 被误收作A 的概率为0.01, 信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1. 若接收站收到的信息是A , 问原发信息是A 的概率是多少？解以D 表⽰事件“将信息A 传递出去”，以D 表⽰事件“将信息B 传递出去”，以R 表⽰事件“接收到信息A ”,以R 表⽰事件“接收到信息B ”.已知21()0.02,()0.01,(),()33P R D P R D P D P D ====.由贝叶斯公式知()()()196()()197()()()()P R D P D P DR P D R P R P R D P D P R D P D ===+.。
概率论与数理统计练习题+答案
概率论与数理统计 练习题1答案题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分）1、若P(A)=0.3，()0.1P AB =，则P(AB)=__________. 答案：0.22、设()0, ()0,P A P B >>则下列公式正确的是( )。
A 、[]()()1()P A B P A P B -=-B 、( )()()P A B P A P B =⋅C 、(|)(|)P AB A P B A =D 、()(|)P A B P B A =答案：C3、设I 是一个区间，sin()0x I x x Iϕ∈⎧=⎨∈⎩，是一个概率密度函数，则I 是( )。
A 、[,)2ππ B 、(0,]π C 、3(,]2ππ D 、(,0]2π- 答案：A4、将一枚硬币抛掷三次，设头两次抛掷中出现正面的次数为ξ，第三次抛掷出现正面的次数为η，二维随机变量(,)ξη所有可能取值的数对有( )。
A 、2对 B 、6对 C 、3对 D 、8对答案：B5、设2~(, ),~(0, 1)N a N ξση则η与ξ的关系为( )。
A 、2aξησ-=B 、a a ηξ=+C 、a ξησ-=D 、a ξησ=-答案：D7、设独立随机变量12100,,,ξξξ⋅⋅⋅均服从参数为4λ=的泊松分布，试用中心极限定理确定概率1001420i i P ξ=⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭∑____________。
已知，0,1(0.5)0.6915F =，0,1(1)0.8413F =，0,1(2)0.9772F = 答案：0.84138、样本1(,, )n X X 来自总体ξ，ξ有分布密度()x ϕ及分布函数()F x ，则以下结论不成立的是( )。
A 、i X 有分布密度()x ϕ，1, 2, , i n =B 、i X 有分布函数()F x ，1, 2, , i n =C 、{}1 ,, n Max X X 的分布函数为[]()nF xD 、n X 为{}1,,ax n M X X 的一个元偏估计答案：D 9、设(12,,, n X X X )是正态总体2~(, )XN μσ的样本，统计量()(/U X μσ=-服从(0,1)N ，又知20.64,16n σ==，及样本均值X ，利用U 对μ作区间估计，若已指定置信度1α-,并查得U 的临界值为121.96U α-=,则μ的置信区间为( )。
概率论与数理统计练习题附答案详解
概率论与数理统计练习题附答案详解第⼀章《随机事件及概率》练习题⼀、单项选择题1、设事件A 与B 互不相容，且P (A )＞0，P (B )＞0，则⼀定有（）（A ）()1()P A P B =-；（B ）(|)()P A B P A =；（C ）(|)1P A B =；（D ）(|)1P A B =。
2、设事件A 与B 相互独⽴，且P (A )＞0，P (B )＞0，则（）⼀定成⽴（A ）(|)1()P A B P A =-；（B ）(|)0P A B =；（C ）()1()P A P B =-；（D ）(|)()P A B P B =。
3、设事件A 与B 满⾜P (A )＞0，P (B )＞0，下⾯条件（）成⽴时，事件A 与B ⼀定独⽴（A ）()()()P AB P A P B =；（B ）()()()P A B P A P B =；（C ）(|)()P A B P B =；（D ）(|)()P A B P A =。
4、设事件A 和B 有关系B A ?，则下列等式中正确的是（）（A ）()()P AB P A =；（B ）()()P AB P A =；（C ）(|)()P B A P B =；（D ）()()()P B A P B P A -=-。
5、设A 与B 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是（）（A ）A 与B 互不相容；（B ）A 与B 相容；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()P A B P A -=。
6、设A 、B 为两个对⽴事件，且P (A )≠0，P (B ) ≠0，则下⾯关系成⽴的是（）（A ）()()()P AB P A P B =+；（B ）()()()P A B P A P B ≠+；（C ）()()()P AB P A P B =；（D ）()()()P AB P A P B =。
7、对于任意两个事件A 与B ，()P A B -等于（）（A ）()()P A P B - （B ）()()()P A P B P AB -+；（C ）()()P A P AB -；（D ）()()()P A P B P AB +-。
《概率论及数理统计》习题一课后答案
而P AUB UC P A P B P C
P
AB
P
AC
P
BC
P
ABC
而P AB P B A P B P AB
P ABC P BC A P BC P ABC
1.35袋中装有1个白球,1个黑球.从中任取1个,若取出 白球,则试验停止;若取出黑球,则把取出黑球放回的同 时,再加入1个黑球,如此下去,直到取出白球为止.问试 验恰好在第3次取球后结束的概率是多少?
解 设Ai=｛第i次取到白球｝i=1，2，3.
则所求概率为
P(A1 A2 A3) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(√)
解 Q A AUB
P(A) P(AU B)
1 P(A) P(A UB) 1
P(AUB) 1
1.11 试问下列命题是否成立?若正确给出其证明.
(4)若P(A)=1,P(B)=1,则 P(A∩B)=1
(√)
解
由 (3),P(A∪B)=1
P(AI B) P(A) P(B) P(A UB)
(2) : A、B中至少有一个发生,且C不发生 : ( A U B)C
(3) : A、B、C恰有两个发生 : ABC U ABC U ABC
(4) : A、B、C中最多有一个发生(:即对立事件至少有两个发生) AB U BC U AC
1.8 设A与B互不相容,且P(A)=0.2,P(A+B)=0.6,求 P(B)
解 所求概率为
P 3!8! 1 10! 15
概率论与数理统计练习题与答案
概率论与数理统计练习题与答案第一章随机事件及其概率（一）一．选择题1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]（A）不可能事件（B）必然事件（C）随机事件（D）样本事件2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A）{抽到的三个产品全是合格品}{抽到的三个产品全是废品}（B）{抽到的三个产品全是合格品}{抽到的三个产品中至少有一个废品}（C）{抽到的三个产品中合格品不少于2个}{抽到的三个产品中废品不多于2个}（D）{抽到的三个产品中有2个合格品}{抽到的三个产品中有2个废品}3．下列事件与事件不等价的是 [C ]（A）（B）（C）（D）4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示 [ C]（A）二人都没射中（B）二人都射中（C）二人没有都射着（D）至少一个射中5．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为. [ D]（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B）“甲、乙两种产品均畅销”；（C）“甲种产品滞销”；（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销6．设，则表示 [ A]（A）（B）（C）（D）7．在事件，，中，和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 [ A]（A）；（B）；（C）；（D）.8、设随机事件满足，则 [ D ] （A）互为对立事件 (B)互不相容(C)一定为不可能事件 (D)不一定为不可能事件二、填空题1．若事件A，B满足，则称A与B 互不相容或互斥。
2．“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为。
三、简答题：1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。
答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 )｝（2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3 ,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝(3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝2．设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案
《概率论与数理统计》考试练习题及参考答案一、单选题1. 设X~N（2,9），Y~N(2,1),E(XY)=6,则D(X-Y)之值为A 、14B 、6C 、12D 、4答案：B2. 设X,Y的方差存在，且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X,YA 、不相关的充分条件，但不是必要条件B 、独立的必要条件，但不是充分条件C 、不相关的必要条件，但不是充分条件D 、独立的充分必要条件答案：B3. 已知P(A)=0.3 ，P(B)=0.5 ，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=A 、0.2B 、0.1C 、0.3D 、0.4答案：A4. 已知随机变量X服从二项分布，且EX=2.4,DX=1.44，则二项分布中的参数n,p的值分别为A 、n=4 ，p=0.6B 、n=6 ，p=0.4C 、n=8 ，p=0.3D 、n=24 ，p=0.1答案：B5. 若随机变量X与Y的方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有A 、X与Y一定相互独立B 、X与Y一定不相关C 、D(XY)=D(X)D(Y)D 、D(X-Y)=D(X)-D(Y)答案：B6. 同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是A 、1/8B 、1/6C 、1/4D 、1/2答案：D7. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为A 、1B 、1/2C 、2D 、-1答案：D8. 假设一批产品中一、二、三等品各占60% 、30% 、10%，今从中随机取一件产品，结果不是三等品，则它是二等品的概率为A 、1/3B 、1/2C 、2/3D 、1/4答案：A9. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为A 、2/5B 、3/5C 、1/5D 、4/5答案：A10. 设随机变量X服从正态分布N(1 ，4) ，Y服从[0 ，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )=A 、1B 、2C 、3D 、4答案：D11. 某电路由元件A 、B 、C串联而成，三个元件相互独立，已知各元件不正常的概率分别为：P（A）=0.1 ，P（B）=0.2 ，P（C）=0.3，求电路不正常的概率A 、0.496B 、0.7C 、0.25D 、0.8答案：A12. 一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1 ，2 ，3 ，4 ，5顺序的概率为A 、1/120B 、1/60C 、1/5D 、1/2答案：B13. 设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y ，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然A 、不相关B 、相互独立C 、不独立D 、无法判断答案：A14. 设P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中正确的是A 、P(A-B)=P(A)-P(B)B 、P(AB)=P(A)P(B)C 、P(A+B)=P(A)+P(B)D 、P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)答案：D15. 随机变量X的所有可能取值为0和x ，且P{X=0}=0.3,E(X)=1,则x=A 、10/7B 、4/5C 、1D 、0答案：A16. 已知人的血型为O 、A 、B 、AB的概率分别是0.4；0.3；0.2；0.1。
(完整版)概率论与数理统计习题1及答案
概率论与数理统计习题及答案习题 一1。
写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. (2） 掷二颗骰子,A =“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点."B =“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” (3）将一枚硬币抛两次， A =“第一次出现正面." B =“至少有一次出现正面。
”C =“两次出现同一面。
” 【解】{}{}1123456135A Ω==（），，，，，，，，；{}{}{}{}{}(2)(,)|,1,2,,6,(12),(14),(16),(2,1),(4,1),(6,1),(22),(24),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6);(3)(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(i j i j A B A B ΩΩ=======，，，，，，正反正正反正反反正正正反正正正反反{}{},),(,),(,),C =正正正反反2。
设A ，B ,C 为三个事件，试用A ，B ，C 的运算关系式表示下列事件: （1） A 发生，B ，C 都不发生； （2） A 与B 发生，C 不发生； （3） A ,B ,C 都发生;(4) A ，B ,C 至少有一个发生； （5） A ，B ，C 都不发生; （6） A ，B ,C 不都发生；（7） A ,B ，C 至多有2个发生; (8） A ，B ,C 至少有2个发生.【解】(1） A BC （2） AB C （3） ABC（4） A ∪B ∪C =AB C ∪A B C ∪A BC ∪A BC ∪A B C ∪AB C ∪ABC =ABC （5） ABC =A B C (6） ABC(7） A BC ∪A B C ∪AB C ∪AB C ∪A BC ∪A B C ∪ABC =ABC =A ∪B ∪C(8） AB ∪BC ∪CA =AB C ∪A B C ∪A BC ∪ABC5。
(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答
概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ）1、若1()P A =，则A 与任一事件B 一定独立。
（√）2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
（√）3、样本空间是随机现象的数学模型。
（√）4、试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。
（×）5、试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。
（×）6、实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。
（√）7、若S 为试验E 的样本空间，12,,,n B B B L 为E 的一组两两互不相容的事件，则称12,,,n B B B L 为样本空间S 的一个划分。
（×）8、若事件A 的发生对事件B 的发生的概率没有影响，即()()P B A P B =，称事件A 、B 独立。
（√） 9、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则其中任意(2)k k n ≤≤个事件也是相互独立的。
（√）10、若事件12,,,(2)n B B B n ≥L 相互独立，则将12,,,n B B B L 中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n 个事件仍相互独立。
（√）二、单选题1．设事件A 和B 相互独立，则()P A B =U （ C ）A 、()()P A PB + B 、()()P A P B +C 、1()()P A P B -D 、1()()P A P B -2、设事件A 与B 相互独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则正确的是（ A ）A 、A 与AB +一定不独立 B 、A 与A B -一定不独立C 、A 与B A -一定独立D 、A 与AB 一定独立3、设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则（ B ）A 、1()()()P C P A PB ≤+- B 、1()()()PC P A P B ≥+-C 、()()P C P AB =D 、()()P C P A B =U4、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电，以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ）A 、(1)0{}T t ≥B 、(2)0{}T t ≥C 、(3)0{}T t ≥D 、(4)0{}T t ≥分析 事件(4)0{}T t ≥表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度0t ；事件(3)0{}T t ≥表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，即(3)0{}E T t =≥，选C 。
概率论与数理统计第一章习题参考答案
1第一章 随机事件及其概率1．解：（1）{}67,5,4,3,2=S （2）{} ,4,3,2=S （3）{} ,,,TTH TH H S =（4）{}6,5,4,3,2,1,,T T T T T T HT HH S = 2．解：81)(,21)(,41)(===AB P B P A P\)()()()(AB P B P A P B A P -+= 85812141=-+=)()()(AB P B P B A P -==838121=-= 87811)(1)(=-=-=AB P AB P)])([(AB B A P )]()[(AB B A P -=)()(AB P B A P -= )(B A AB Ì 218185=-=3．解：用A 表示事件“取到的三位数不包含数字1” 2518900998900)(191918=´´==C C C A P4、解：用A 表示事件“取到的三位数是奇数”，用B 表示事件“取到的三位数大于330330””(1)455443)(2515141413´´´´==A C C C C A P =0.482）455421452)(251514122512´´´´+´´=+=A C C C A C B P =0.485、解：用A 表示事件“表示事件“44只中恰有2只白球，只白球，11只红球，只红球，11只黑球”， 用B 表示事件“表示事件“44只中至少有2只红球”， 用C 表示事件“表示事件“44只中没有只白球”只中没有只白球” （1）412131425)(C C C C A P ==495120=338（2）4124838141)(C C C C B P +-==16567495201= 或16567)(4124418342824=++=C C C C C C B P（3）99749535)(41247===CC C P6．解：用A 表示事件“某一特定的销售点得到k 张提货单”张提货单” nkn k n MM C A P --=)1()(7、解：用A 表示事件“表示事件“33只球至少有1只配对”，用B 表示事件“没有配对”表示事件“没有配对” （1）3212313)(=´´+=A P 或321231121)(=´´´´-=A P（2）31123112)(=´´´´=B P8、解、解 1.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P（1）313.01.0)()()(===B P AB P B A P ，515.01.0)()()(===A P AB P A B P7.01.03.05.0)()()()(=-+=-+=AB P B P A P B A P)()()()()()]([)(B A P AB P B A P AB A P B A P B A A P B A A P ===757.05.0==717.01.0)()()()])([()(====B A P AB P B A P B A AB P B A AB P1)()()()]([)(===AB P AB P AB P AB A P AB A P（2）设{}次取到白球第i A i = 4,3,2,1=i则)()()()()(32142131214321A A A A P A A A P A A P A P A A A A P =0408.020592840124135127116==´´´=9、解： 用A 表示事件表示事件“取到的两只球中至少有“取到的两只球中至少有1只红球”，用B 表示事件表示事件“两只都是红球”“两只都是红球”方法1651)(2422=-=C C A P ，61)(2422==C C B P ，61)()(==B P AB P516561)()()(===A P AB P A B P方法2 在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算在减缩样本空间中计算 51)(=A B P1010、解：、解：A 表示事件“一病人以为自己得了癌症”，用B 表示事件“病人确实得了癌症”表示事件“病人确实得了癌症” 由已知得，%40)(%,10)(%,45)(%,5)(====B A P B A P B A P AB P （1）B A AB B A AB A 与,=互斥互斥5.045.005.0)()()()(=+=+==\B A P AB P B A AB P A P同理同理15.01.005.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P （2）1.05.005.0)()()(===A P AB P A B P（3）2.05.01.0)()()(,5.05.01)(1)(====-=-=A P B A P A B P A P A P（4）17985.045.0)()()(,85.015.01)(1)(====-=-=B P B A P B A P B P B P（5）3115.005.0)()()(===B P AB P B A P1111、解：用、解：用A 表示事件“任取6张，排列结果为ginger ginger””92401)(61113131222==A A A A A A P1212、、解：用A 表示事件“A 该种疾病具有症状”，用B 表示事件“B 该种疾病具有症状”由已知2.0)(=B A P3.0)(=B A P 1.0)(=AB P （1）,B A AB B A B A S=且B A AB B A B A ,,,互斥互斥()6.01.03.02.0)()()(=++=++=\AB P B A P B A P B A P4.06.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P ()()()4.0)(1=---=AB P B A P B A P B A P（2）()()()6.01.03.02.0)(=++=++=AB P B A P B A P AB B A B A P（3）B A AB B =， B A AB ,互斥互斥4.03.01.0)()()()(=+=+==B A P AB P B A AB P B P )()()(])[()(B P AB P B P B AB P B AB P ==414.01.0==1313、解：用、解：用i A 表示事件“讯号由第i 条通讯线输入”，,4,3,2,1=i B 表示“讯号无误差地被接受”接受”;2.0)(,1.0)(,3.0)(,4.0)(4321====A P A P A P A P9998.0)(1=A B P ，9999.0)(2=A B P ，,9997.0)(3=A B P 9996.0)(4=A B P 由全概率公式得由全概率公式得9996.02.09997.01.09999.03.09998.04.0)()()(41´+´+´+´==å=ii iA B P A P B P99978.0=1414、、解：用A 表示事件“确实患有关节炎的人”，用B 表示事件“检验患有关节炎的人”由已知由已知1.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，04.0)(=A B P ， 则9.0)(=A P ，85.0)(=A B P ，96.0)(=A B P ， 由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得 017.096.09.015.01.015.01.0)()()()()()()(=´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1515、解：用、解：用A 表示事件“程序交与打字机A 打字”，B 表示事件“程序交与打字机B 打字”， C 表示事件“程序交与打字机C 打字”；D 表示事件“程序因计算机发生故障被打坏”坏”由已知得由已知得6.0)(=A P ，3.0)(=B P ，1.0)(=C P ； 01.0)(=A D P ，05.0)(=B D P ，04.0)(=C D P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P A D P A P D A P ++=24.025604.01.005.03.001.06.001.06.0==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P B D P B P D B P ++=6.05304.01.005.03.001.06.005030==´+´+´´=)()()()()()()()()(C D P C P B D P B P A D P A P C D P C P D A P ++=16.025604.01.005.03.001.06.004.01.0==´+´+´´=1616、解：用、解：用A 表示事件“收到可信讯息”，B 表示事件“由密码钥匙传送讯息”表示事件“由密码钥匙传送讯息”由已知得由已知得 95.0)(=A P ，05.0)(=A P ，1)(=A B P ，001.0)(=A B P由贝叶斯公式得由贝叶斯公式得999947.0001.005.0195.0195.0)()()()()()()(»´+´´=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P1717、解：用、解：用A 表示事件“第一次得H ”，B 表示事件“第二次得H ”， C 表示事件“两次得同一面”表示事件“两次得同一面”则,21)(,21)(==B P A P ,21211)(2=+=C P ,4121)(2==AB P ,4121)(2==BC P ,4121)(2==AC P )()()(),()()(),()()(C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P ===\C B A ,,\两两独立两两独立而41)(=ABC P ，)()()()(C P B P A P ABC P ¹C B A ,,\不是相互独立的不是相互独立的1818、解：用、解：用A 表示事件“运动员A 进球”，B 表示事件“运动员B 进球”， C 表示事件“运动员C 进球”，由已知得由已知得5.0)(=A P ，7.0)(=B P ，6.0)(=C P 则5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，4.0)(=C P （1）{})(C B A C B A C B A P P =恰有一人进球)()()(C B A P C B A P C B A P ++= （C B A C B A C B A ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=相互独立）C B A ,,(29.06.03.05.04.07.05.04.03.05.0=´´+´´+´´=（2）{})(C B A BC A C AB P P =恰有二人进球)()()(C B A P BC A P C AB P ++= （C B A BC A C AB ,,互斥）互斥） )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++= 相互独立）C B A ,,(44.06.03.05.06.07.05.04.07.05.0=´´+´´+´´= （3）{})(C B A P P =至少有一人进球)(1C B A P -= )(1C B A P -=)()()(1C P B P A P -=相互独立）C B A ,,( 4.03.05.01´´-=94.0= 1919、解：用、解：用i A 表示事件“第i 个供血者具有+-RHA 血型”， ,3,2,1=iB 表示事件“病人得救”表示事件“病人得救”,4321321211A A A A A A A A A A B=4321321211,,,A A A A A A A A A A 互斥，i A （ ,3,2,1=i ）相互独立）相互独立 ()()(1P A P B P +=\+)21A A )()(4321321A A A A P A A A P +8704.04.06.04.06.04.06.04.032=´+´+´+=2020、解：设、解：设i A 表示事件“可靠元件i ” i=1,2,3,4,5 ，B 表示事件“系统可靠”由已知得p A P i =)(1,2,3,4,5)(i = 54321,,,,A A A A A 相互独立相互独立法1：54321A A A A A B =)()(54321A A A A A P B P =\()()()()()()542154332154321A A A A P A A A P A A A P A A P A P A A P ---++=()54321A A A A A P +543322p p p p p p p +---++= ()相互独立54321,,,,A A A A A543222p p p p p +--+=法2：)(1)(54321A A A A A P B P -=)()()(154321A A P A P A A P -= ()相互独立54321,,,,A A A A A()()]1][1)][(1[154321A A P A P A A P ----=()()()]1][1)][()(1[154321A P A P A P A P A P ----=()相互独立54321,,,,A A A A A()()()221111pp p----=543222p p p p p +--+=2121、解：令、解：令A ：“产品真含杂质”，A ：“产品真不含杂质”“产品真不含杂质” 则4.0)(=A P ，6.0)(=A P2.08.0)|(223´´=C A B P 9.01.0)|(223´´=C A B P \)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=6.09.01.04.02.08.0223223´´´+´´´=C C\)()|()()|()()|()()()|(A P A B P A P A B P A P A B P B P AB P B A P +==905.028325660901********.02.08.0223223223»=´´´+´´´´´´=C C C第二章习题答案 1、{}()4.04.011´-==-k k Y Pk=1,2,… 2、用个阀门开表示第i A i))()()()()(())((}0{32321321A P A P A P A P A P A A A P X P -+=== 072.0)2.02.02.02.0(2.0=´-+=23213218.02.0)04.02.02.0(8.0])([}1{´+-+===A A A A A A P X P416.0=512.08.0)(}2{3321====A A A P X P 3、()2.0,15~b X{}kkk C k X P -´==15158.02.0 k=0,1,2,……,15（1）{}2501.08.02.03123315=´==C X P（2）{}8329.08.02.08.02.01214115150015=´-´-=³C C X P（3）{}6129.08.02.08.02.08.02.031123315132215141115=´+´+´=££C C C X P（4）{}0611.08.02.01551515=´-=>å=-k kkk C X P4、用X 表示5个元件中正常工作的个数个元件中正常工作的个数9914.09.01.09.01.09.0)3(54452335=+´+´=³C C X P5、设X={}件产品的次品数8000 则X~b(8000,0.001)由于n 很大，P 很小，所以利用)8(p 近似地～X {}3134.0!8768==<å=-k k k eX P6、(1)X~p (10){}{}0487.09513.01!101151151510=-=-=£-=>\å=-k k k eX P X P (2)∵ X~p ( l ) {}{}!01010210ll --==-=>=\e X P X P{}210==\X P21=\-le7.02ln ==\l {}{}1558.08442.01!7.0111217.0=-=-=£-=³\å=-k k k eX P X P或{}{}{}2ln 2121!12ln 21110122ln -=--==-=-=³-e X P X P X P 7、)1( )2(~p X 1353.0!02}0{22====--e e X P )2( 00145.0)1()(24245=-=--eeC p)3( 52)!2(å¥=-=k kk e p8、(1) 由33)(11312k x k dx kx dx x f ====òò¥+¥- 3=\k（2）{}()2713331331231====£òò¥-xdx x dx x f X P（3）64764181321412141321412=-===þýüîí죣òxdx x X P（4）271927813)(321323132232=-====þýüîíì>òò¥+xdx x dx x f X P9、方程有实根04522=-++X Xt t ，则，则 0)45(4)2(2³--=D X X 得.14£³X X 或 有实根的概率有实根的概率937.0003.0003.0}14{104212=+=£³òòdx x dx x X X P10、)1( 005.01|100}1{200110200200122»-=-==<---òeedx ex X P x x)2(=>}52{X P 0|100200525220020052222»-=-=-¥--¥òeedx exx x)3( 25158.0}20{}26{}20|26{200202002622==>>=>>--ee X P X P X X P 11、解：、解： （1）{}()275271942789827194491)(12132121=+--=÷øöçèæ-=-==>òò¥+x x dx x dx x f X P（2）Y~b(10，275){}kk kC k Y P -÷øöçèæ´÷øöçèæ==10102722275k=0,1,2,……,10（3）{}2998.027*******2210=÷øöçèæ´÷øöçèæ==C Y P{}{}{}1012=-=-=³Y P Y P Y P 5778.027222752722275191110100210=÷øöçèæ÷øöçèæ-÷øöçèæ´÷øöçèæ-=C C 12（1）由()()òòò++==-+¥¥-10012.02.01dy cy dy dy y f24.0)22.0(2.01201c y c y y +=++=-2.1=\c ()ïîïíì£<+£<-=\其它102.12.0012.0y yy y f ()()ïïïïîïïïïíì³+<£++<£--<==òòòòòò--¥-¥-12.12.0102.12.02.0012.010)()(100011y dyy y dy y dy y dt y dtdt t f y F y yyyYïïîïïíì³<£++<£-+-<=11102.02.06.0012.02.0102y y y y y y y{}()()25.02.05.06.05.02.02.005.05.002=-´+´+=-=££F F Y P {}()774.01.06.01.02.02.011.011.02=´-´--=-=>F Y P {}()55.05.06.05.02.02.015.015.02=´-´+-=-=>F Y P{}{}{}{}{}7106.0774.055.01.05.01.01.0,5.01.05.0==>>=>>>=>>\Y P Y P Y P Y Y P Y Y P(2) ()()ïïïîïïïíì³<£+<£<==òòòò¥-41428812081002200x x dtt dt x dt x dt t f x F xxxïïïîïïïíì³<£<£<=4142162081002x x x x xx{}()()167811691331=-=-=££F F X P{}()16933==£F X P{}{}{}9716916733131==£££=£³\X P X P X X P 13、解：{}111,-´===n nj Y i X Pn j i j i ，¼¼=¹,2,1,,{}0,===i Y i X P 当n=3时，（X ，Y ）联合分布律为）联合分布律为14、)1(2.0}1,1{===Y X P ，}1,1{}0,1{}1,0{}0,0{}1,1{==+==+==+===££Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P42.020.004.008.010.0=+++= )2( 90.010.01}0,0{1=-===-Y X P)3(}2,2{}1,1{}0,0{}{==+==+====Y X P Y X P Y X P Y X P60.030.020.010.0=++= }0,2{}1,1{}2,0{}2{==+==+====+Y X P Y X P Y X P Y X P28.002.020.006.0=++= 15、()()()88104242c ee cdxdy ce dx x f yx y x =-×-===+¥-+¥-+¥+¥+-+¥¥-òòò8=\c{}()()()4402042228,2-+¥-+¥-+¥+-+¥>=-×-===>òòòòe ee dy edxdxdy y x f X P yyxx y x xY X 1 2 31 0 1/6 1/62 1/6 0 1/6 31/6 1/6 0D ：xy x ££¥<£00{}()òò>=>yx dxdy y x f Y X P ,()()dx e e dy edxx yx xy x 0402042028-+¥-+-+¥-×==òòò()ò¥++¥----=÷øöçèæ-=+-=2626323122x x xxe e dx eeD ：xy x -££££101{}()dy edxY X P xyx òò-+-=<+10421081 ()()òò------=-=1422101042222dx eedx eex xx yx()()22104221----=--=e e ex x16、（1）61)2(122=-=òdx x x s ， îíìÎ=其他,0),(,6),(G y x y x f（2）îíì<<==ò其他,010,36)(2222x x dy x f x xXïïïîïïíì<£-=<<-==òò其他,0121),1(66210),2(66),(12y y yY y y dx y y y dx y x f17、（1）Y X0 1 2 P{X=x i } 0 0.10 0.08 0.06 0.24 1 0.04 0.20 0.14 0.38 20.02 0.06 0.300.38 P{Y=y i } 0.16 0.34 0.501（2）D ：+¥<£+¥<£y x x 0或：yx y <£+¥<£00()()ïîïíì£>==\òò+¥-¥+¥-00,x x dye dy y xf x f xy Xîíì£>=-00x x e x()()ïîïíì£>==òò-¥+¥-00,0y y dxe dx y xf y f yy Yîíì£>=--00y y ye y22、（1）Y 1 Y 2 -11-14222qq q =×()q q-124222qq q =×()q q-12()21q -()q q-1214222qq q =×()q q-124222qq q =×且{}{}{}{}1,10,01,121212121==+==+-=-===Y Y P Y Y P Y Y P Y YP()12234142222+-=+-+=q qqqq（2）{}10.00,0===Y X P{}{}0384.000==×=Y P X P 又 {}0,0==Y X P {}{}00=×=¹Y P X P∴X 与Y 不相互独立不相互独立23、()1,0~U X ()ïîïíì<<=其它2108y yy f Y且X 与Y 相互独立相互独立则()()()ïîïíì<<<<=×=其它0210,108,y x yy f x f y x f Y XD ：1210<£<£x y y32|)384()8(8}{21032212=-=-==>òòò>y y dy y y ydxdy Y X P yx24X-2-11 3 k p51 61 51151301112+=X Y 52 1 2 10Y 12 510k p5115161+513011即Y 12 5 10 k p5130751301125、U=|X|，当0)|(|)()(0=£=£=<y X P y Y P y F y U时，1)(2)()()()|(|)()(0-F =--=££-=£=£=³y y F y F y X y P y X P y Y P y F y X X U 时，当故ïîïíì<³==-0,00,2)(||22y y e y f X U y U p的概率概率密度函数为26、（1）X Y =，当0)()()(0=£=£=<y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()(022y F y X P y X P y Y P y F y X Y =£=£=£=³时，当故 ïîïíì<³==-0,00,2)(2y y ye y f X Y y Y 的概率概率密度函数为（2）)21(+=X Y ，当0)21()()(0=£+=£=£y X P y Y P y F y Y 时，1)(1)12()12()21()()(01=³-=-£=£+=£=>>y F y y F y X P y X P y Y P y F y Y X Y 时，当时，当故 ïîïíì>>=+=其他的概率概率密度函数为,001,21)(21y y f X Y Y（3）2X Y =，当0)()()(02=£=£=£y X P y Y P y F y Y 时，)()()()()()(02y F y F y X y P y XP y Y P y F y X X Y --=££-=£=£=>时，当故 ïîïíì£>==-0,00,21)(22y y e yy f X Y y Y p 的概率概率密度函数为27、()()ïîïíì<<+=其它201381x x x f X()()p p 4,02,02Î=ÞÎx y x 当y 0£时,()0=y F Yp 40<<y (){}þýüîí죣-=£=p p p y X yP y X P y F Y2()()òò+==-pppyyyx dx x dx x f 01381p 4³y()()113812=+=þýüîí죣-=òdx x y X yP y F Y p p时当p 4,0¹¹\y y ()()ïîïíì><<<×÷÷øöççèæ+×==pp p p 4,0040211381'y y y y yy F y f Y Y()ïîïíì<<+=\其它40161163p p p y yy f Y28、因为X 与 Y 相互独立，且服从正态分布),0(2s N2222221)()(),(sp sy x Y X ey f x f y x f +-==由知，22Y XZ+=0)(0=£z f z Z 时，当时，当0>z òò----=xxx z x z Z z F 2222)(2222221spsy x e+-dydx=2222220202121sspq p sz r zedr rd e---=òòïîïíì³=-其他,0,)()2(222z ez z f z Z ss29、ïîïíì<<-=其他,011,21)(x x f X))1arctan()1(arctan(21)1(21)()()(112--+=+=-=òò+-¥¥-z z dy y dy y f y z f z f z z Y X Z pp30、0)(0=£z f z Z时，当时当0>z2)()()(2302)(z e dy ye edy y f y z f z f zyzyz YX Zll l l l l ----¥¥-==-=òò31、îíì<<=其他,010,1)(x x f X ， íì<<=其他,010,1)(y y f Y ，ïïîïïí죣-=<£==-=òòò-¥¥-其他,021,210,)()()(110z zY X Z z z dy z z dy dy y f y z f z f32 解（1）()()îíì£>=ïîïíì£>==---¥+¥-òò00030023,3203x x e x x dye dy y xf x fxxX()()ïîïí죣=ïîïí죣==òò¥+-¥+¥-其它其它20212023,03y y dx e dx y x f y f xY（2）()()îíì>-£=ïîïíì>£==--¥-òò100030303x e x x dt e x dt t f x F xx txX X()()ïïîïïíì³<£<=ïïîïïíì³<£<==òò¥-21202121202100y y yy y y dt y dt t f y F y yY Y ()(){}()()Z F Z F Z Y X P Z FY X ×=£=\,max max ()ïïîïïíì³-<£-<=--21201210033z e z z ez Z z（3）()÷øöçèæ-=þýüîíìì£<211121max max F F Z P ()21121121233×÷÷øöççèæ---=--e e 233412141--+-=ee33、（1）ïîïíì<<=其他率密度为）上服从均匀分布，概，在（,00,1)(10l x lx f X X（2）两个小段均服从上的均匀分布),0(l ,ïîïíì<<=其他,010,1)(1x lx f X),m i n (21X X Y =, 2)1(1)(ly y F Y --=ïîïíì<<-=其他,00,)(2)(2l y l y l y f Y 34、（1）U 的可能取值是0，1，2，31201}2,3{}1,3{}0,3{}3{12029}2,1{}2,0{}2,2{}1,2{}0,2{}2{32}1,1{}0,1{}1,0{}1{121}0,0{}0{===+==+=======+==+==+==+=======+==+=========Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P y X P U P Y X P U P U 0 1 2 3 P12132120291201(2) V 的可能取值为0,1,2}2{4013}1,3{}1,2{}2,1{}1,1{}1{4027}0,3{}0,2{}0,1{}2,0{}1,0{}0,0{}0{=====+==+==+=======+==+==+==+==+====V P Y X P Y X P Y X P Y X P V P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V PV 0 1 2 P40274013(3) W 的可能取值是0，1，2，3，4，5 0}5{}4{121}2,1{}1,2{}0,3{}3{125}2,0{}1,1{}0,2{}2{125}1,0{}0,1{}1{121}0,0{}0{=======+==+=======+==+=======+=========W P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P Y X P W P Y X P Y X P W P Y X P W PW 0 1 2 3 P121125125121概率统计第三章习题解答1、52}7{,51}6{}5{}4{========X P X P X P X P529)(=X E2、2914}7{,296}6{,295}5{,294}4{========Y P Y P Y P Y P29175)(=Y E 3、设X 为取到的电视机中包含的次品数，为取到的电视机中包含的次品数， 2,1,0,}{3123102===-k CC C k X P kkX 0 1 2 p k 221222922121)(=X E4、设X 为所得分数为所得分数 5,4,3,2,1,61}{===k k X P 12,11,10,9,8,7,361}{===k k X P1249)(=X E5、（1）由}6{}5{===X P X P ，则，则l l l l --=e e !6!565 解出6=l ，故6)(==l X E（2）由于åå¥=-¥=--=-11212211)1(66)1(k k k k kkkpp 不是绝对收敛，则)(X E 不存在。
概率论与数理统计试卷及答案 (1)
模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ； 3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率论与数理统计练习题附答案详解
第一章《蘆机事件及概率》练习題一、肌项选择题(B) P(AIB) = P(A),<c)P(AIB) = 1：<o)P(AIB) = 1设事件A 与s 满足p(A)>0・ P(8)>0・下而条件( )成立时•爭件A 与B一定独立设事件人和fi 有关系Bu4・则下列等式中正确的是()<o)P(B-A) = P{B)-P(A)设A 与fi 是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是()(C)PG4B) = P(A)P(B)：(0) P{A-B) = P(A)。
设A 、s 为两个对立爭件，且PS)Ho, p(e)兴0.(A) PG4UB) = P(A) + P(B)：则下面关系成立的是()(B) P(AUB)工P(A) + P(B)：(C) P(4B) = P(A)P(B)：(D) P(AB) = P(A)P(B)<B)P(A)-P(B) + P(AB)t <o)P(A)^P(B)~P(AB).一、填空题1、若 A z>B . AnC. p(A)=・ P(BUC) = 0・8・则 P(A-BC) =2、设 P(A)=. P(fi)=. P(A\B)=.则 P{BIA}=3、已知 P(A) = 0・7・ P(A-B) = 0・3・则 P(AB) =设爭件A 与fi 互不相容，且P(A)>0・ p(e)>o,则一定有(2、设爭件A 与fi 相互独立，且P(A)>0・ p(e)>o,则 < > —定成立(A) P(AIB} = 1 -PG4)：(B) P(AIB) = O ：(A)A 与B 互不相容: (B)4与B 相容^7、对于任总两个爭件A 与8. P{A- B)等于( 3. (A> P (AB) = P(A}P(B).(B) P(A[JB) = P(A)P(B),4.(A) P(AB) = P(A)：(B)PG4UB) = P(A)：5、6x4、已知事件A、B 满足P{AB) = P(Ar>B}.且P (A) = p•则P(B) =5.一批产品，«中10件正骷• 2件次骷.任危抽取2次，每次抽1件，抽出后不再放回・则第2次抽出的是次品的槪率为6、设在4次独立的试验中.事件人每次出现的概率相等.若已知事件A至少出现1次的槪率是65/81.则A在1次试验中出现的概率为7、设爭件A. S的概率分别为P（A） = l/3,P（J?） = l/6, ①若A与e相互独立，则P(A[)B) = :②若A与e互不相容.则P（AB） =8.有W个球.其中有3个红球和7个绿球•随机地分给10个小朋友.每人1个.则炭后3个分到球的小朋友中恰有1个得到红球的概率为9、两射于•彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为•乙击中的概率为・则目标被击巾的概率为三、il•算题K某工厂生产的一批产品共100个，其中有5个次品：从这批产品中任取一半來检求取到的次品不多于1个的概率。
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5 / 8概率论练习题1（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、若当事件A ，B 同时发生时，事件C 必发生，则下列选项正确的是（ ） A ．()()P C P AB =； B ．()()P C P AB ≤； C ．()()P C P AB ≥； D ．以上答案都不对．2、设随机变量()~X E λ，则下列选项正确的是（ ）A ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λ-⎧>=⎨≤⎩；B ．X 的密度函数为(),00,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；C ．X 的分布函数为(),00,0x e x F x x λλ-⎧>=⎨≤⎩；D ．X 的分布函数为()1,00,0x e x F x x λλ-⎧->=⎨≤⎩．3、设相互独立的连续型随机变量1X ，2X 的概率密度函数分别()1f x ，()2f x ，分布函数分别为()1F x ，()2F x ，则下列选项正确的是（ ） A ．()()12f x f x +必为某一随机变量的概率密度函数； B ．()()12f x f x ⋅必为某一随机变量的概率密度函数； C ．()()12F x F x +必为某一随机变量的分布函数； D ．()()12F x F x ⋅必为某一随机变量的分布函数．4、设()~,X B n p ，()2~,Y N μσ，则下列选项一定正确的是（ ） A ．()E X Y np μ+=+； B ．()E XY np μ=⋅； C ．()()21D X Y np p σ+=-+； D ．()()21D XY np p σ=-⋅．5、设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从()1,0.2B ，则下列选项正确的是（ ）6 / 8A ．()1P X Y ==；B ．()1P X Y ≤=；C ．()1P X Y ≥=；D ．以上答案都不对． 6、设12,,,,n X X X 为独立的随机变量序列，且都服从参数为()0λλ>的指数分布，当n 充分大时，下列选项正确的是（ ）A ．21nii Xn nλλ=-∑近似服从()0,1N ； Bni X nλ-∑近似服从()0,1N ；C ．21ni i X λλ=-∑近似服从()0,1N ； D ．1ni i X nnλ=-∑近似服从()0,1N ．二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、设事件A ，B ，C 相互独立，且()()()P A P B P C ==，()1927P A B C =，则()P A =．2、若()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，则()P A B =．3、设()2~10,X N σ，且()10200.3P X <<=，则()010P X <<=．4、设随机变量X 与Y 相互独立，且()~100,0.3X B ，()~4Y P ，则()D X Y -=．5、设平面区域(){},01D x y x y =≤≤≤，二维随机变量(),X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(),X Y 的联合分布密度函数为．6、若随机变量X 的分布律为()()2,0,1,2,k P X k ae k -+===，则常数a =．三、解答题（本大题共 6 小题，共 64 分）5 / 81、设盒一装有1支红色笔和2支黑色笔，盒二装有2支红色笔和1支黑色笔，盒三装有3支红色笔和3支黑色笔．现掷一枚匀质骰子，若掷出1点，则从盒一中任取一支笔，若掷出6点，则从盒三中任取一支笔，否则均从盒二中任取一支笔．求取出黑色笔的概率．（10分）2、一盒装有6只灯管，其中有2只次品，4只合格品，随机地抽取一只测试，测试后不放回，直到2只次品都被找出，求所需测试次数X 的概率分布及均值．（10分）3、设连续型随机变量X 的分布密度函数为(),13;0,ax b x f x +<<⎧=⎨⎩其他.，且{}{}23212P X P X <<=-<<，求常数a 和b 的值．（10分）6 / 84、设某工程队完成某项工程所需时间X （天）服从()100,25N ．工程队若在100天内完工，可获奖金10万元；若在100~115天内完工，可获奖金3万元；若超过115天完工，则罚款5万元．求该工程队在完成工程时所获奖金的均值（要求用标准正态分布的分布函数值表示）．（10分）5、设二维随机变量(),X Y 的概率密度函数为()8,01;,0,xy x y f x y <<<⎧=⎨⎩其他，求关于X 和Y 的边缘分布密度函数()X f x 和()Y f y ，并判别X 与Y 是否相互独立．（10分）5 / 86、设()~,X U a b ，且()0E X =，()13D X =．试确定X 的概率密度函数（6分）7、设随机变量X 服从标准正态分布，求2Y X =的概率密度函数()Y f y .（8分）6 / 8概率论练习题1参考答案一、单项选择题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1、C ； 2、B ； 3、D ； 4、A ； 5、D ； 6、B ． 二、填空题（本大题 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、13； 2、13； 3、0.3； 4、25； 5、()()2,,;,0,x y D f x y ∈⎧⎪=⎨⎪⎩其他.； 6、23e e ---．三、解答题（本大题 6 小题，共 64 分）1、解 设A 表示“取出黑色笔”，iB 表示“从盒i 中取笔”，1,2,3i =．……..2分则()()1316P B P B ==，()246P B =，()123P A B =，()213P A B =，()312P A B =，…………7分故由全概率公式，有()()()31124111563636212iii P A P B P A B ===⋅+⋅+⋅=∑．……………….10分2、解 由题意可知，X 的所有可能取值为2,3,4,5,6，…………….…….2 且{}1215P X ==，{}2315P X ==，{}145P X ==， {}4515P X ==，{}163P X ==，……..7分 所以 ()121411423456151551533E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………10分 3、解 由密度函数的性质()1f x dx +∞-∞=⎰，可得()31421ax b dx a b +=+=⎰，………..3分又由 {}{}23212P X P X <<=-<<，可得()()32212ax b dx ax b dx +=+⎰⎰，即02ab +=，…..7分联立方程，解得11,36a b ==-．………………………………………….10分4、解 方法1 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ．设所获奖金为Y 万元，Y 的可能取值为10，3，-5，Y 取各值的概率为()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…………….8分Y 因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分方法2 由题设知工程队完成工程所需天数()~100,25X N ， 所获奖金10,100;3,100115;5,115.X Y X X ≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…………………………………………….2分5 / 8而()100100{10}{100}(100)00.55P Y P X F -⎛⎫==≤==Φ=Φ= ⎪⎝⎭， ()115100100100{3}{100115}(115)(100)30.555P Y P X F F --⎛⎫⎛⎫==<≤=-=Φ-Φ=Φ- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 115100{5}{115}1(115)11(3)5P Y P X F -⎛⎫=-=>=-=-Φ=-Φ ⎪⎝⎭，…….8分因此 ()()()()100330.5513E Y =⨯Φ+Φ---Φ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()100.5330.551383 1.5=⨯+Φ---Φ=Φ-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．…………10分5、解 关于X 的边缘分布密度函数()Xf x ：当0x ≤或1x ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Xf x f x y dy dy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01x <<时，()()()1212,8441Xxxf x f x y dy xydy xy x x +∞-∞====-⎰⎰，所以，()()241,01;0,X x x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他． ………………………….4分关于Y 的边缘分布密度函数()Yf y ：当0y ≤或1y ≥时，(,)0f x y =，所以()(),00Yf y f x y dx dx +∞+∞-∞-∞===⎰⎰，当01y <<时，()()230,844yyYf y f x y dx xydx yx y +∞-∞====⎰⎰，所以()34,01;0,Yy y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他.．……………………………………………8分于是()()()()32161,01,01;,0,X Y xy x x y f x f y f x y ⎧-<<<<⎪=≠⎨⎪⎩其他，所以X 与Y 不相互独立．……………………………………………10分 6、解 因为()~,X U a b ，所以()2a bE X +=，()()212b a D X -=，于是有()241,2123b a a b -+==，解得 1,3a b =-=，………….…..4分故X 的概率密度函数为()1,13;40,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他.．………………….6分7、22(0,1),(),.x X N x x ϕ-=-∞<<∞Y 的分布函数为2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤ ……………………2分 当0y ≤时，()()0Y F y P Y y =≤=，从而()0.Y f y = ……………………4分当0y>时，2()(){(YF y P X y P X=≤=≤≤=Φ-Φ…6分从而2()()(((Y Yyf y F yϕϕϕϕ-'''==Φ-Φ==+=7分所以20()0,0-⎧>=≤⎩yYyf yy……………………………………………8分6 / 8。