概率论与数理统计答案(东华大学出版)第六章

第六章 数理统计基本概念与抽样分布

第一节 数理统计基本概念

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1、 设总体ξ分布为下述情形（1）(,)B k p ξ

；

（2）ξ服从参数为λ的指数分布；（3）(,1)N ξ

μ，14,ξξ为取自总体4n =的样本，分别写出它们的样本空间和样本的联

合分布律（或联合密度）。 解答：（1）因(,)B k p ξ

，所以{}(1),0,1,

l l k l k P l C p p l k ξ-==-=，故样本空间为

1414{(,,)|,,0,1,

,}X k k k k k ==，11441144{,

,}{}

{}P k k P k P k ξξξξ=====

111444(1)(1)k k k k k k k k k k C p p C p p --=-⋅

⋅-，14,

,0,1,

,k k k =；

（2）因()ξ

πλ，所以{},0,1,

!

k

P k e k k λλξ-==

=，故样本空间

141

4{(,,)|0,1,}X k k k k ==，11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====

1

4

1414,,

,0,1,

!

!

k

k

e e k k k k λ

λλλ--=

⋅

⋅

=；

（3）因(,1)N ξμ，所以2

()

()ex p ()2x f x μ-=-()x -∞<<∞，故样本空间

1414{(,

,)|,

,}X k k k k R =∈，

2114()(

,

,)exp()22x f x x μπ

-=-⋅

⋅

24())2x μ--14(,

,)x x -∞<<∞。

2、 设样本观察值12,,,n x x x 中有些值是相同的，把它们按小到大排列，分别取值为

(1)(2)()k x x x <<<，取(1)(2)(),,

,k x x x 得频数分别为12,,

k n n n ，1

()k

i i n n ==∑，显

然有样本均值_

()11k i i i x n x n ==∑，样本方差_

2

2()11()1k i i i S n x x n ==--∑。 （1） 求证：_

2

2

2()1

1[()]1k i i i S n x n x n ==

--∑；

（2） 有一组25n =的样本观察值，其数据如下，试求_

x 、2

2,s b 。

解答：（1）_2

2()11()1k i i i S n x x n ==--∑__

22

()()11(2())1k i i i i n x x x x n ==-⋅+-∑=2()1

1[1k i i i n x n =-∑ _

_2

()1

2()]k k

i i i i i i x n x x n ==-+∑∑___

2

2()11[2()]1k i i i n x x n x n x n ==

-⋅+-∑ _

2

2()1

1[()]1k i i i n x n x n ==

--∑。 （2）_

11

(8*05*17*33*42*6)285732

i i i

x n x n =

⋅=

++++=++++∑∑，

_

2

2222

222

21111

[()](8051733426

252)

124

3

i i s n x n x n =⋅-=⋅+⋅+⋅+⋅

+⋅-⋅=-∑， _

22

22112411[()] 3.52

253

i i n b n x n x s n n -=⋅-==⋅=∑ 3、 设123,,ξξξ为取自正态总体2

(,)N μσ的一个样本，其中μ未知但2

σ已知。问下述样本

函数中哪些是统计量？哪些不是统计量？ （1）()123,ξξξ+；（2）()3

2

1

i

i ξ

μ=-∑；（3）

3

22

1

1

i i ξ

σ

=∑；（4）123max(,,)ξξξ；

（5）

(1)(3)1()2ξξ+；

（6）131

()ξξσ

+。 解答：因统计量是样本的连续函数且不包含任何未知参数。由题意，μ未知但2

σ已知，因此可知除（2）不是统计量外，其余5个都是统计量。 4、 在计算样本均值与样本方差时，常常对数据作线形变换,i i x a

y b

-=

1,2,,i n =，使i

y 成为较简单的整数以简化运算，求证：__

222x y x b y a

s b s ⎧⎪=+⎨=⎪⎩。其中：__

1111,n n i i i i x x y y n n ====∑∑，

__

222

21111(),()11n n x

i y i i i s x x s y y n n ===-=---∑∑。