【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题
一、简答题（共70分）
1、试阐述解析延拓的含义。

解析延拓的结果是否唯一？（6分）
解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。

替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。

无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。

2、奇点分为几类？如何判别？（6分）
在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。

判别方法：洛朗级数展开法
A，先找出函数f(z)的奇点；
B，把函数在的环域作洛朗展开
1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；
2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；
3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。

3、何谓定解问题的适定性？（6分）
1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。

满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。

4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）
在某区域上处处可导的复变函数
称为该区域上的解析函数.
1）在区域内处处可导且有任意阶导数.
2）
()
()
⎩
⎨
⎧
=
=
2
1
,
,
C
y
x
v
C
y
x
u
这两曲线族在区域上正交。

3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。

(称为共轭调和函数)
4）在边界上达最大值。

4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。

波动方程属于其中的双曲线方程。

5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分）
()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==-⎰⎰⎰∞
∞∞-∞∞
-)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ
6、写出复数2
31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2
321isin cos 222ππϕ
ϕρϕϕρi i i +=++=+=+
指数形式：由三角形式得：
313πρπϕi e
z ===
7、求函数
2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解：
奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡---=→z z z z sf z
1)1(1lim )2)(1()2(!11lim Re 22222)
2(\-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=→→z z z z z dz d sf z z 8、求回路积分 dz z
z z ⎰=13cos （8分）
解：)(z f 有三阶奇点z=0（在积分路径内）
[]21-cosz lim z cosz !21lim Re 033220)0(\==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=→→z z z dz d sf ∴原积分=i i sf i πππ-=-=)2
1(2)0(Re 2
9、计算实变函数定积分dx x x ⎰∞
∞-++1142（8分） 解：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=++=)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242i z i z i z i z z z z z f 它具有4个单极点：只有z=)1(22i --和z=)1(2
2i +在上半平面，其留数分别为： ππ2)221221(2I 221)1(22)1(22)1(221lim Re 221)1(22)1(22)1(221lim Re 20))1(22(\20))1(22(\=+=∴=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+==⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=→+→--i
i i i i z i z i z z sf i i z i z i z z sf
z i z i
10、求幂级数k k i z k )(11
-∑∞
= 的收敛半径（8分） 111lim 1
11
lim lim 1
≤-=+=+==∞→∞→+∞→i z k k k k a a R k k k k k 所以收敛圆为
二、计算题（共30分）
1、试用分离变数法求解定解问题（14分）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===><<=-====0
,2/100,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u
令)()(),(t T x X t x u =，并代入方程得
⎪⎩
⎪⎨⎧===-0)()(0)()0(0
''''2''t T l X t T X T X a XT 移项 λ-==X X T a T ''2'' ⎪⎩
⎪⎨⎧===+0)(0)0(0''''l X X X X λ和02''=+T a T λ x
C x C x X C x C x X e C e C x X x x λλλλλλ
λsin cos )(0)(0)(0212
121+=+==+=---时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在
由边界条件0)(0)0(''==l X X ，得：
x l
n C x X l n n l l C l C l C l X C C X x
C x C x X C
Xx x X ππλπλλλλλλλλλλλλλλλcos )(0
sin 00
sin cos )(000)0(sin cos )(0(00
)(0122
2121'22'21'==→=∴=≠=+-==≠==+===≡（否则方程无解），，时，＞时，时，＜
)3,21(sin cos )()(000002''22
2 ，得：的方程代人和把=⎪⎩
⎪⎨⎧+=+==+==n l at n B l at n A t T t B A t T T a T T l
n n n n ππλπλλ x l
n l at n B l at n A t B A t x U n n n πππcos )sin cos (),(100+∑++=∴∞= 由初始条件得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=∑+-=∑+∞=∞=0cos 21cos 1010x l n l a n B B x x l n A A n n n n πππ 把右边的函数展成傅里叶余弦级数, 比较两边的系数得
⎰⎰⎰⎰⋅=⋅-==-=l n l n l l xdx l n a n B xdx l n x l A dx l B dx x l A 000
000cos 02cos )21(201)2
1(1πππ 得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=∴-=-=)2(0)12(4)1(cos 2212
2220k n k n n l A n n l
A l A n n πππ x l n l at n n l l t x U n πππ
cos cos )4(21),(221-∑+-=∴∞=
2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧===-==∆====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π
),(),(),(t x w t x v t x u +=令
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====+====0sin 00000b y y a x x yy xx v a x B v v v v v ，，
π ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-==+====000)(000b y y a x x yy xx w w w y b Ay w w w ，，
则，v ，w 都可以分别用分离变量法求解了。

3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。

(10分)
解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得 ()()()1
13212+=
-+-p p f p f p p f p 解上式这个代数方程，得 ()()()()
3112+-++=p p p p p f ()3
181********+⋅--⋅++⋅-=p p p p f ()t t t e e e t y 3818341---⋅+⋅-=∴ t
e y y y -=-
'+''32。