交叉相位调制

E(r, t )
1 2
xˆ ( E1e i1t
E2ei2t
)
c.c.
PNL
(r,t)
1 2
xˆ{PNL
(1 )
exp(i1t)
PNL
(2
)
exp(i2t)
四波混频
PNL (21 2 ) exp[i(21 2 )t]
PNL (22 1) exp[i(22 1)t]} c.c.,
式中包含有新频率和下的振荡项，这些项对应于FWM。但是它必须 满足相位匹配条件，此条件在实际过程中一般不满足，除非作特 殊的安排。因此这里假设相位匹配条件不满足，所以忽略四波混 频项。
第七Байду номын сангаас 交叉相位调制（XPM）
1. XPM感应的非线性耦合 2. XPM感应的调制不稳定性 3. XPM配对孤子 4. 频域和时域效应 5. XPM的应用 6. 偏振效应
1. XPM感应的非线性耦合
XPM引起的非线性耦合
✓ 两不同波长、不同传输方向、不同偏振方向的脉冲沿光纤共同传输时， 之间都可能发生相互耦合，下面考虑最简单的情况，即两偏振方向一 致、传输方向一致但波长不同的光沿光纤传输的情况
j
c
nj z n2
j
c
2
2
Ej 2 E3 j z
耦合NLS方程 ✓ 推导方法和第2章中的思路一致，也是将电场做分离变量
E j (r, t) Fj (x, y) Aj (z, t) exp(i0 j z)
空间横向分布 慢变振幅
传播常数
将传播常数展宽，值保留二次项，可到传输方程为
Aj
z
1 j
✓ 在准单色近似条件下，将电场的快变化部分分开，写成如下形式
E(r, t )
1 2
xˆ ( E1e i1t
E2ei2t )
c.c.
偏振方向的单位矢量 两脉冲的载频
时间的慢变函数，对脉宽 大于0.1ps的脉冲有效
✓ 非线性折射率引起XPM
P 0 ( (1) E (2) : EE (3) EEE)
✓走离长度
LW
T0 d
脉宽
d g1 g2
g1 g2
它是由于群速度失配导致两交叠脉冲互相分开时的光纤长度值
2.XPM感应的调制不稳定性
对于单光束，在光纤的反常色散区将产生调制不稳定性；当两束光通 过正常群速度色散区时能否产生调制不稳定性？
A1
z
1
g1
A1 t
i21
2
2 A1 t 2
1
其中
j
L j
NL j
(n
L j
n j )2 ,
n j
n
L j
(
j
1,2)
n j
NL j
/ 2nj
n2 (
Ej
2
2
E3 j
2
),
三阶非线性效应引起的折射率改变量
因子2表明在同样的 光强下，XPM的影响 是SPM的2倍！
SPM，与自身强度有关
XPM，与共同传输的 其他光波有关
非线性相移
NL j
2
A1
i1
A1 2 2 A2 2
A1
A2
z
1
g2
A2 t
i22
2
2 A2 t 2
2
2
A2
i 2
A2 2 2 A1 2 A2
对于连续光，以上方程中的时间微分项为零；若光纤损耗忽略不计， 可得稳态解为
Aj Pj exp(ij )
入射光功率
非线性相移
j j Pj 2P3 j z
为了检验稳态的稳定性，引入一个与时间有关的微扰，设此时的解为
以上线性方程组的通解为
波数
微扰频率
a j u j exp[i(Kz t)] i j exp[i(Kz t)]
对于某些微扰频率，当波数K的虚部不为零时，稳态解将变得不稳定， 微扰沿光纤指数增长。调制不稳定性产生的条件为：
[2
c21 sgn(21)][2
2 c2
sgn(22
)]
4
Ωcj 4 j Pj
A2 (z,t) B2 tanh W t z /V exp i K2z 2t
孤子振幅： B12 2 1 22 2 21 W 2 31 2 B22 2 2 21 122 W 2 31 2
孤子波数： K1 1B12 21 Ω12 2 K2 B22 Ω22 W 2 2
PNL (1) eff ( E1 2 2 E2 2 )E1, PNL (2 ) eff ( E2 2 2 E1 2 )E2 ,
eff
30 4
(3) xxxxx
光纤中最低阶非线性效 应源于三阶极化率！
改写成
PNL
(
j
)
0
NL j
E
j
,
将其与线性部分PL合在一起
总的感应极化强度
P( j ) 0 j E j
➢ 亮—暗孤子对：群速度相同
暗孤子在反常GVD区传输，亮孤子在正常GVD区传输。因为XPM的强度 是 SPM的两倍，假如XPM感应的啁啾与SPM感应的啁啾相反，它就可以
抵消由SPM和正常GVD的联合作用感应的光脉冲的时域展宽。
表达式：
A1(z,t) B1 tanh W t z /V exp i K1z 1t
z
1
g1
A1 t
i21
2
2 A1 t 2
1
2
A1
i1
A1 2 2 A2 2
A1
A2
z
1
g2
A2 t
i22
2
2 A2 t 2
2
2
A2
i 2
A2 2 2 A1 2 A2
非线性参量定义为
j
n2 j
cAeff
( j 1, 2)
✓如果两个脉冲群速度不同，会产生走离效应，那么XPM作用就会减弱。
Aj t
i 2
2
j
2 Aj t 2
j
2
Aj
in2 j
c
f jj
2
Aj 2 f jk
Ak 2
交叠积分为
fjk
Fj (x,
2
y)
Fk (x,
y) 2
dxdy
2
Fj (x, y) dxdy
Fk (x,
y)
2
dxdy
✓ 若忽略各交叠积分的差别，可以写成下面形式的两个耦合NLS方程
A1
1/ 2
2 j 取决于GVD的符号，为±1
结论： a.随两光束功率差的增加， XPM感应的调制不稳定增 益增加； b.群速度失配较小时， XPM感应的调制不稳定性 比较显著。
3.XPM配对孤子
XPM感应的调制不稳定性说明耦合非线性薛定谔方程也可能具有配对 孤子形式的孤立波解，此配对孤子通过XPM互作用保持其形状不变， 两孤子的载频可以不同，而且GVD参量甚至可以有不同符号。
Aj Pj aj exp(ij )
微扰
微扰满足下面的两个耦合线性方程
a1
z
1
g1
a1 t
i 2
21
2a1 t 2
i 2P1
a1 a1*
2i1(P1P2 )1/2 (a2 a2*)
a2
z
1
g2
a2 t
i 2
22
2a2 t 2
i 2P2
a2 a2*
2i 2 (P1P2 )1/2 (a1 a1*)