离散数学试卷八试题与答案
离散数学试题带答案(八)
离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。
设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P⇄Q）∧(P⇄R∨S)b)我今天进城，除非下雨。
设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：⌝Q→P或⌝P→Qc)仅当你走，我将留下。
设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。
设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。
（5分）(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →（⌝P∨⌝Q∨R）).⇔(（P∧Q∧⌝R）∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨（⌝P∨⌝Q∨R）)⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨（⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨（P∧Q∧R)2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)a) T b) F3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。
《离散数学》试题及答案
《离散数学》试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列关系中，哪个是等价关系？（）A. 小于等于（≤）B. 大于等于（≥）C. 整除（|）D. 模2同余（≡）答案：D2. 下列哪个图是完全图？（）A. 无向图B. 有向图C. 简单图D. n阶完全图答案：D3. 设A和B为集合，若A∪B=A，则下列哪个结论成立？（）A. A⊆BB. B⊆AC. A=BD. A∩B=∅答案：B4. 下列哪个命题是永真命题？（）A. (p→q)∧(q→p)B. (p∧q)→(p∨q)C. (p→q)∧(p→¬q)D. (p∧¬q)→(p→q)答案：B5. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的最小生成树的边数是（）。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 设A={1,2,3,4,5}，B={3,4,5,6,7}，则A∩B=_________。
答案：{3,4,5}7. 设图G的顶点集V={a,b,c,d}，边集E={e1,e2,e3,e4,e5}，其中e1=(a,b)，e2=(a,c)，e3=(b,d)，e4=(c,d)，e5=(d,a)，则G的邻接矩阵为_________。
答案：[0 1 1 0 0; 1 0 0 1 0; 1 0 0 1 0; 0 1 1 0 1;0 0 0 1 0]8. 设p为真命题，q为假命题，则(p∧q)∨(¬p∧¬q)的值为_________。
答案：真9. 设G=(V,E)是一个连通图，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}，若G的度数序列为（3,3,3,3,3,3），则G的边数是_________。
答案：1510. 下列命题中，与“若p，则q”互为逆否命题的是_________。
大学离散数学试卷八及答案
大学离散数学试卷八及答案一、判断题（每题1分，共10分）1、 设<S, *>是群<G, *>的子群，则<G,*>中幺元e 是<S, *>中幺元。
（ √ ）2、 如果一个有向图D 是欧拉图，则D 是强连通图。
（ √ ）3、 设G 为无向图，若G 中恰好n 个结点，n-1条边，则G 必为一棵树。
（ ⨯ ）4、 “如果地球体积比太阳小，那么雪是白色的。
”是真命题。
（ ⨯ ）5、 A 上二元关系R 是可传递的， 则R 2也是可传递的。
（ ⨯ ）6、 4个顶点的简单无向图一定是平面图。
（ √ ）7、 设A ，B 是任意集合，则P(A)∪P(B) = P(A ∪B)。
（ ⨯ ）8、 设函数B A f →：，C B g →：，若f g 是满射的，则g 是满射的。
（ √ ）9、 布尔格一定是分配格。
（ √ ）10、 群中不可能有幂等元。
（ ⨯ ）二、填空题(每空2分，共34分)1．设A={2,3,4,5,6}，定义R 是A 上的关系，且xRy 当且仅当x=y+2，那么R=__{<4,2>,<5,3>,<6,4>}_。
.2．∃yF(x,y)→ ﹁∀xG(x, y)的前束范式为___∀y ∃x(F(u,y)→ G(x, u))___。
3．设F(x):x 为整数；G （x ）：x 是自然数；L(x,y): x<y 。
则命题“有些整数比所有的自然数都小。
” 在一阶逻辑中的符号化形式为 ∃x(F(x)˄∀y(G(y)→L(x,y))_。
4．一棵无向树T 有5片树叶，3个3度顶点，其余顶点均为4度。
则T 共有__8__个结点。
5．设G 是具有9个顶点的简单图并且是二部图，则其边数m 最大为___20___。
6．设集合A={1,2}，则A 上可定义____3___ 个不具有传递性的二元关系。
7．设集合A ＝{a ,b ,c },B ={a ,b }, 那么 P(B )－P(A )=__∅____ . 8．设循环群G 有4个元素，a 为生成元，则其含有2个元素的子群为___{a,a 4}___。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 在集合{1,2,3}和{3,4,5}的笛卡尔积中，元素(3,4)属于（）。
A. {1,2,3}B. {3,4,5}C. {1,2,3,4,5}D. {1,2,3}×{3,4,5}答案：D2. 命题“若x>2，则x>1”的逆否命题是（）。
A. 若x≤2，则x≤1B. 若x≤1，则x≤2C. 若x≤1，则x≤2D. 若x≤2，则x≤1答案：C3. 函数f: A→B的定义域是集合A，值域是集合B的（）。
A. 子集B. 真子集C. 任意子集D. 非空子集答案：D4. 以下哪个图是无向图（）。
A. 有向图B. 无向图C. 完全图D. 树答案：B5. 以下哪个命题是真命题（）。
A. 所有的马都是白色的B. 有些马是白色的C. 没有马是白色的D. 以上都不是答案：B二、填空题（每题2分，共10分）6. 集合{1,2,3}的子集个数为______。
答案：87. 命题“若x>0，则x>1”的逆命题是：若x>1，则______。
答案：x>08. 函数f: A→B中，若A={1,2}，B={3,4}，则f的值域可以是{3}或{4}或{3,4}，但不能是______。
答案：{1,2}9. 在有向图中，若存在从顶点A到顶点B的有向路径，则称A到B是______的。
答案：可达10. 命题逻辑中，合取（AND）的符号是______。
答案：∧三、解答题（每题15分，共30分）11. 证明：若p∧q为真，则p和q都为真。
证明：根据合取（AND）的定义，p∧q为真当且仅当p和q都为真。
因此，若p∧q为真，则p和q都为真。
12. 给定函数f: A→B，其中A={1,2,3}，B={4,5,6}，且f(1)=4，f(2)=5，f(3)=6。
请找出f的值域。
答案：根据函数的定义，f的值域是其所有输出值的集合。
因此，f的值域为{4,5,6}。
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，空集的表示符号是（）。
A. {0}B. ∅C. {}D. Ø答案：B2. 如果A和B是两个集合，那么A∩B表示（）。
A. A和B的并集B. A和B的交集C. A和B的差集D. A和B的补集答案：B3. 命题逻辑中，p ∧ q的真值表中，当p和q都为假时，p ∧ q的值为（）。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案：B4. 在图论中，如果一个图中的任意两个顶点都由一条边相连，则称这个图为（）。
A. 连通图B. 无向图C. 完全图D. 有向图答案：C5. 布尔代数中，逻辑或运算符表示为（）。
A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：B6. 一个关系R是从集合A到集合B的二元关系，如果对于A中的每个元素x，B中都存在唯一的元素y与之对应，则称R为（）。
A. 单射B. 满射C. 双射D. 单满射答案：C7. 在命题逻辑中，如果p是假命题，那么¬p的值为（）。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案：A8. 一个有向图是无环的，那么它一定是（）。
A. 有向无环图B. 无向无环图C. 有向有环图D. 无向有环图答案：A9. 在集合论中，如果集合A是集合B的子集，那么A⊆B表示（）。
A. A包含于BB. A是B的真子集C. A是B的超集D. A与B相等答案：A10. 命题逻辑中，p → q的真值表中，当p为真，q为假时，p → q 的值为（）。
A. 真B. 假C. 不确定D. 无定义答案：B二、多项选择题（每题3分，共15分）1. 在集合论中，以下哪些符号表示的是集合的并集（）。
A. ∪B. ∩C. ⊆D. ⊂答案：A2. 在图论中，以下哪些说法是正确的（）。
A. 有向图可以是无环的B. 无向图可以是无环的C. 有向图一定是连通的D. 无向图一定是连通的答案：A B3. 在命题逻辑中，以下哪些符号表示的是逻辑与（）。
离散数学及其应用第8版答案1
离散数学及其应用第8版答案1.4节1、16.5-（-3）-2的计算结果为（）[单选题] *A.3B.4C.0D.6(正确答案)2、50．式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（）[单选题] *A．21024B．21024+1C．22048(正确答案)D．22048+13、42．已知m、n均为正整数，且2m+3n＝5，则4m?8n＝（）[单选题] *A．16B．25C．32(正确答案)D．644、函数f（x）=-2x+5在（-∞，+∞）上是（）[单选题] *A、增函数B、增函数(正确答案)C、不增不减D、既增又减5、9．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＝8，则k的值为( ) [单选题] *A．4B．5C．－6D．－8(正确答案)6、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)7、5．将△ABC的三个顶点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，则所得图形与原图的关系是( ) [单选题] *A．关于x轴对称B．关于y轴对称(正确答案)C．关于原点对称D．将原图向x轴的负方向平移了1个单位长度8、25.{菱形}∩{矩形}应（）[单选题] *A.{正方形}(正确答案)B.{矩形}C.{平行四边形}D.{菱形}9、11．11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（）[单选题] * A．140°B．130°C．120°D．110°(正确答案)10、8．如图，在数轴上表示的点可能是（）[单选题] * A．点PB．点Q(正确答案)C．点MD．点N11、x? ?1·()＝x? ?1，括号内应填的代数式是( ) [单选题] *A. x? ?1B. x? ?1C. x2(正确答案)D. x12、29．已知2a＝5，2b＝10，2c＝50，那么a、b、c之间满足的等量关系是（）[单选题] *A．ab＝cB．a+b＝c(正确答案)C．a：b：c＝1：2：10D．a2b2＝c213、1．(必修1P5B1改编)若集合P={x∈N|x≤2 022}，a=45，则( ) [单选题] *A．a∈PB．{a}∈PC．{a}?PD．a?P(正确答案)14、13.不等式x+3＞5的解集为（）[单选题] *A. x＞1B. x＞2(正确答案)C. x＞3D. x＞415、30°角是（）[单选题] *A、第一象限(正确答案)B、第一象限C、第三象限D、第四象限16、1.计算-20+19等于（）[单选题] *A.39B.-1(正确答案)C.1D.3917、设函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）上可导，且（x）＞0 则（）[单选题] *A、f（0）＜0B、f（0）＜1C、f（1）＞f（0）D、f（1）＜f（0）(正确答案)18、15、如果m/n<0，那么点P（m,n）在（）[单选题] *A. 第二象限B. 第三象限C. 第四象限D. 第二或第四象限(正确答案)19、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] * A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣420、23.将x-y-6=0改写成用含x的式子表示y的形式为（）[单选题] *A. x=y+6B. y=x-6(正确答案)C. x=6-yD. y=6=x21、12.下列方程中，是一元二次方程的为（）[单选题] *A. x2+3xy=4B. x+y=5C. x2=6(正确答案)D. 2x+3=022、下面哪个式子的计算结果是9﹣x2() [单选题] *A. (3﹣x)(3+x)(正确答案)B. (x﹣3)(x+3)C. (3﹣x)2D. (3+x)223、如果平面a和平面β有公共点A，则这两个平面就相交（）[单选题] *A、经过点A的一个平面B、经过点A的一个平面(正确答案)C、点AD、无法确定24、为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的( ) [单选题] *A．中位数B．平均数C．众数(正确答案)D．方差25、3.如果两个数的和是正数，那么[单选题] *A.这两个数都是正数B.一个为正，一个为零C.这两个数一正一负，且正数的绝对值较大D.必属上面三种情况之一(正确答案)26、8．一实验室检测A、B、C、D四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（）[单选题] *A.+2B.-3C.+9D.-8(正确答案)27、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（）[单选题] *A、平行B、平行C、相交但不垂直(正确答案)D、不能确定28、2005°角是（）[单选题] *A、第二象限角B、第二象限角(正确答案)C、第二或第三象限角D、第二或第四象限角29、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)30、下列表示正确的是（）[单选题] *A、0={0}B、0={1}C、{x|x2 =1}={1,-1}(正确答案)D、0∈φ。
离散数学8习题解答
离散数学8习题解答第8 章习题解答8.1 图8.6 中,(1)所⽰的图为,3,1K (2) 所⽰的图为,3,2K (3)所⽰的图为,2,2K 它们分别各有不同的同构形式.8.2 若G 为零图,⽤⼀种颜⾊就够了,若G 是⾮零图的⼆部图,⽤两种颜⾊就够了.分析根据⼆部图的定义可知,n 阶零图(⽆边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图的每个顶点都⽤同⼀种颜⾊染⾊,因为⽆边,所以,不会出现相邻顶点染同⾊,因⽽⼀种颜⾊就够⽤了.8.3 完全⼆部图,,s r K 中的边数rs m -.分析设完全⼆部图s r K ,的顶点集为V, 则?==2121,V V V V V ,且,||,||21s V r V ==s r K ,是简单图,且1V 中每个顶点与2V 中所有顶点相邻,⽽且1V 中任何两个不同顶点关联的边互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全⼆部图s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即1β等于s r ,中的⼩者. 分析不妨设,s r ≤且⼆部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall 定理可知,图中存在1V 到的完备匹配,设M 为⼀个完备匹配,则1V 中顶点全为M 饱和点,所以,.1r =β8.5 能安排多种⽅案,使每个⼯⼈去完成⼀项他们各⾃能胜任的任务.分析设},,{1丙⼄甲=V ,则1V 为⼯⼈集合, },,{2c b a V =,则2V 为任务集合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得⽆向图>=8.7 所⽰.本题是求图中完美匹配问题. 给图中⼀个完美匹配就对应⼀个分配⽅案.图8.7 满⾜Hall 定理中的相异性条件,所以,存在完备匹配,⼜因为,3||||21==V V 所以,完备匹配也为完美匹配.其实,从图上,可以找到多个完美匹配. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙⼄甲=此匹配对应的⽅案为甲完成a,⼄完成b, 丙完成c,见图中粗边所⽰的匹配. )},(),,(),,{(c a b M 丙⼄甲=2M 对应的分配⽅案为甲完成b,⼄完成a,丙完成c.请读者再找出其余的分配⽅案.8.6 本题的答案太多,如果不限定画出的图为简单图,⾮常容易地给出4族图分别满⾜要求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶数个顶点,偶数条边的欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇数个顶点,奇数条边的欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任选⼀个顶点,在此顶点处加⼀个环,所务图为奇数个顶点,偶数条边的欧拉图.分析上⾯给出的4族图都是连通的,并且所有顶点的度数都是偶数,所以,都是欧拉图.并且(1),(2) 中的图都是简单图.⽽(3),(4)中的图都带环,因⽽都是⾮简单图. 于是,如果要求所给出的图必须是简单图,则(3),(4)中的图不满⾜要求.其实,欧拉图是若⼲个边不重的图的并,由这种性质,同样可以得到满⾜(3),(4)中要求的简单欧拉图.设k G G G ,,,21 是长度⼤于等于3的k 个奇圈(长度为奇数的圈称为奇圈),其中k 为偶数,将1G 中某个顶点与2G 中的某顶点重合,但边不重合, 2G 中某顶点与3G 中某顶点重合,但边不重合,继续地,最后将1-k G 中某顶点与k G 中某顶点重合,边不重合,设最后得连通图为G,则G 中有奇数个顶点,偶数条边,且所有顶点度数均为偶数,所以,这样的⼀族图满⾜(4)的要求,其中⼀个特例为图8.8中(1)所⽰.在以上各图中,若k G G G ,,,21 中有⼀个偶圈,其他条件不变,构造⽅法同上,则所得图G 为偶数个顶点,奇数条边的简单欧拉图,满⾜(3)的要求,图8.8中(2)所⽰为⼀个特殊的情况.8.7 本题的讨论类似于8.6题,只是将所有⽆向圈全变成有向圈即可,请读者⾃⼰画出满⾜要求的⼀些特殊有向欧拉图.8.8 本题的答案也是很多的,这⾥给出满⾜要求的最简单⼀些图案,⽽且全为简单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧拉图,⼜都是哈密尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度⼤于等于3的初级回路,即圈k G G G ,,,21 ,⽤8.6题⽅法构造的图G 均为欧拉图,但都不是哈密尔顿图,图8.8给出的两个图是这⾥的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相邻的顶点,在它们之间加⼀条边,所得图均为哈密尔顿图,但都不是欧拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度⼤于等于4的圈,⽐如说1G ,在1G 中找两个不相邻的相邻顶点,在它们之间加⼀条新边,然后⽤8.6题⽅法构造图G,则G 既不是欧拉图,也不是哈密尔顿图,见图8.9所⽰的图.分析 (1) 中图满⾜要求是显然的.(2)中构造的图G 是连通的,并且各顶点度数均为偶数,所以,都是欧拉图,但因为G 中存在割点,将割点从G 中删除,所得图⾄少有两个连通分⽀,这破坏了哈密尔顿图的必要条件,所以,G 不是哈密尔顿图.(3) 中构造的图中,所有顶点都排在⼀个圈上,所以,图中存在哈密尔顿回路,因⽽为哈密尔顿图,但因图中有奇度顶点(度数为奇数的顶点),所以,不是欧拉图. 由以上讨论可知,(4) 中图既不是欧拉其实,读者可以找许多族图,分别满⾜题中的要求.8.9 请读者⾃⼰讨论.8.10 其逆命题不真.分析若D 是强连通的有向图,则D 中任何两个顶点都是相互可达的,但并没有要求D 中每个顶点的⼊度都等于出度. 在图8.2 所⽰的3个强连通的有向衅都不是欧拉图.8.11 除2K 不是哈密尔顿图之外, n K (3≥n )全是哈密尔顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图,⼜是哈密尔顿图.分析从哈密尔顿图的定义不难看出,n 阶图G 是否为哈密尔顿图,就看是否能将G 中的所有顶点排在G 中的⼀个长为n 的初级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个这样的⽣成圈(含所有顶点的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔顿图.在完全图n K 中,各顶点的度数均为n-1,若n K 为欧拉图,则必有1-n 为偶数,即n 为奇数,于是,当n 为奇数时, n K 连通且⽆度顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图.当n 为偶数时,各顶点的度数均为奇数,当然不是欧拉图.8.12 有割点的图也可以为欧拉图.分析⽆向图G 为欧拉图当且仅当G 连通且没有奇度顶点.只要G 连通且⽆奇度顶点(割点的度数也为偶数),G 就是欧拉图.图8.8所⽰的两个图都有割点,但它们都是欧拉图.8.13 将7个⼈排座在圆桌周围,其排法为.abdfgeca分析做⽆向图>=},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语⾔与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8.10所⽰.图G 是连通图,于是,能否将这7个⼈排座在圆桌周围,使得每个⼈能与两边的⼈交谈,就转化成了图G 中是否存在哈密尔顿回路(也就是G 是否为哈密尔顿图).通过观察发现G 中存在哈密尔顿回路, abdfgeca 就是其8.14 ⽤i v 表⽰颜⾊.6,,2,1, =i i 做⽆向图>=},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的)(,v d V v ∈表⽰顶点v 与别的能搭配的颜⾊个数,易知G 是简单图,且对于任意的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔顿图,因⽽G 中存在哈密尔顿回路,不妨设1654321i i i i i i i v v v v v v v 为其中的⼀条,在这种回路上,每个顶点⼯表的颜⾊都能与它相邻顶点代表的颜⾊相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与6i v 所代表的颜⾊相搭配就能织出3种双⾊布,包含了6种颜⾊.8.15∑=?======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R ⽽本图边数m=10.分析平⾯图(平⾯嵌⼊)的⾯i R 的次数等于包围它的边界的回路的长度,这⾥所说回路,可能是初级的,可能是简单的,也可能是复杂的,还可能由若⼲个回路组成.图8.1所⽰图中,321,,R R R 的边界都是初级回路,⽽0R 的边界为复杂回路(有的边在回路中重复出现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12,其中边65,e e 在其中各出现两次.8.16 图8.11中,实线边所⽰的图为图8.1中图G,虚线边,实⼼点图为它的对偶图的顶点数*n ,边数*m ,⾯数*r 分别为4,10和8,于是有分析从图8.11还可以发现,G 的每个顶点位于的⼀个⾯中,且的每个⾯只含G 的⼀个顶点,所以,这是连通平⾯图G 是具有k 个连通分⽀的平⾯图2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者⾃⼰给出⼀个⾮连通的平⾯图,求出它的对偶图来验证这个结论.另外,⽤图8.1还可以验证,对于任意的*v (*G 中的顶点),若它处于G 的⾯i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同构.分析任意平⾯图的对偶图都是连通的,因⽽与都是连通图,⽽G 是具有3个连通分⽀的⾮连通图,连通图与⾮连通图显然是不能同构的.图 8.12 中, 这线边图为图8.2中的图G,虚线边图为G 的对偶图,带⼩杠的边组成的图是*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森图中有长度为奇数的圈,根据定理8.1可知它不是⼆部图.图中每个顶点的度数均为3,由定8.5可知它不是欧拉图.⼜因为它可以收缩成5K ,由库拉图期基定理可知它也不是平⾯图.其实,彼得森图也不是哈密尔顿图图,这⾥就不给出证明了.8.19 将图8.4重画在图8.13中,并且将顶点标定.图中afbdcea 为图中哈密尔顿回路,见图中粗边所⽰,所以,该图为哈密尔顿图.将图中边),(),,(),,(d f f e e d 三条去掉,所得图为原来图的⼦图,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期基定理可知,该图不是平⾯图.8.20 图8.14 所⽰图为图8.5所⽰图的平⾯嵌⼊.分析该图为极⼤平⾯图.此图G 中,顶点数9=n ,边数.12=m 若G 是不是极⼤平⾯图,则应该存在不相邻的顶点,,v u 在它们之间再加⼀条边所得'G 还应该是简单平⾯图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8.16⽭盾,所以,G 为极⼤平⾯图.其实,n ( 3≥n )阶简单平⾯图G 为极⼤平⾯图当且仅当G 的每个⾯的次数均为3.由图8.14可知,G 的每个⾯的次数均为3,所以,G 为极⼤平⾯图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇数时命题为真,见8.11的解答与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答与分析.(3) 只有m n ,都是偶数时,m n K ,中才⽆奇度数顶点,因⽽m n K ,为欧拉图,其他情况下,即m n ,中⾄少有⼀个是奇数,这时m n K ,中必有奇度顶点,因⽽不是欧拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回路,因⽽为哈密尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在⼆部图m n K ,中,m V n V==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8.8⽭盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图是同构的,但它们的对偶⼒(虚边图)是不同构的.(2) 任何平⾯图的对偶图都是连通图.设G 是⾮连通的平⾯图,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是⾮连通的平⾯图时,,1*+-=k n r 其中k 为G 的连通分⽀数.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析根据库期基定理可知,所求的图必含有5K 或3,3K 同胚⼦图,或含可收缩成5K 或3,3K 的⼦图.由于顶点数和边数均已限定,因⽽由3,3K 加2条边的图可满⾜要求,由5K 增加⼀个顶点,⼀条边的图可满⾜要求,将所有的⾮同构的简单图画出来,共有4个,其中由3,3K 产⽣的有2个,由5K 产⽣的有2个.见图8.16所⽰.。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题1. 关于图论的基本概念，以下哪个说法是正确的？A. 无向图中的边无方向性，有向图中的边有方向性。
B. 有向图中的边无方向性，无向图中的边有方向性。
C. 无向图和有向图都是由顶点和边组成的。
D. 无向图和有向图都只由边组成。
答案：A2. “若顶点集合为V，边集合为E，那么图G可以表示为G(V, E)”是关于图的哪个基本概念的描述？A. 图的顶点B. 图的边C. 图的邻接D. 图的表示方法答案：D3. 以下哪个命题是正确的？A. 若集合A和B互相包含，则A和B相等。
B. 若集合A和B相交为空集，则A和B相等。
C. 若集合A和B相等，则A和B互相包含。
D. 若集合A和B相等，则A和B相交为空集。
答案：C二、填空题1. 有一个集合A = {1, 2, 3, 4}，则集合A的幂集的元素个数为__________。
答案：162. 设A = {a, b, c}，B = {c, d, e}，则集合A和B的笛卡尔积为__________。
答案：{(a, c), (a, d), (a, e), (b, c), (b, d), (b, e), (c, c), (c, d), (c, e)}3. 若p为真命题，q、r为假命题，则合取范式(p ∨ q ∨ r)的值为__________。
答案：真三、计算题1. 计算集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {3, 4, 5, 6}的交集、并集和差集。
答案：交集：{3, 4}并集：{1, 2, 3, 4, 5, 6}差集：{1, 2}2. 计算下列命题的真值：(~p ∨ q) ∧ (p ∨ ~q)，其中p为真命题，q为假命题。
答案：真四、证明题证明：对于任意集合A和B，如果A和B互相包含，则A和B相等。
证明过程：假设A和B互相包含，即A包含于B且B包含于A。
设x为集合A中的任意元素，则x也必然存在于集合B中，即x属于B。
同理，对于集合B中的任意元素y，y也属于集合A。
离散数学习题集(十五套) - 答案
离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。
4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。
5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。
10．下图所示的偏序集中，是格的为。
二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。
2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。
5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项不是离散数学的研究对象？A. 图论B. 组合数学C. 微积分D. 逻辑学答案：C2. 在逻辑学中，下列哪个命题是真命题？A. 如果今天是周一，那么明天是周二。
B. 如果今天是周一，那么明天是周三。
C. 如果今天是周一，那么明天是周四。
D. 如果今天是周一，那么明天是周五。
答案：A3. 在集合论中，下列哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 在图论中，下列哪个术语描述的是图中的顶点集合？A. 边B. 路径C. 子图D. 顶点答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个集合A包含5个元素，那么它的子集个数是______。
答案：322. 在逻辑学中，如果命题P和命题Q都是真命题，那么复合命题“P且Q”的真值是______。
答案：真3. 在图论中，如果一个图的顶点数为n，那么它的最大边数是______。
答案：n(n-1)/24. 如果一个二叉树的深度为3，那么它最多包含______个节点。
答案：7三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的连通性，并给出一个例子。
答案：图的连通性是指在图中任意两个顶点之间都存在一条路径。
例如，在一个完全图K3中，任意两个顶点之间都可以通过一条边直接连接，因此它是连通的。
2. 解释什么是逻辑蕴含，并给出一个例子。
答案：逻辑蕴含是指如果一个命题P为真，则另一个命题Q也必须为真。
例如，命题P：“如果今天是周一”，命题Q：“明天是周二”。
如果今天是周一，那么根据逻辑蕴含，明天必须是周二。
3. 请描述什么是二叉搜索树，并给出它的一个性质。
答案：二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中每个节点的左子树只包含小于当前节点的数，右子树只包含大于当前节点的数。
它的一个性质是中序遍历可以得到一个有序序列。
四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个集合A={1, 2, 3, 4, 5}，请计算它的幂集，并列出所有元素。
离散数学考试题目及答案
离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。
答案：命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。
若命题P和Q等价，则记作P⇔Q。
蕴含关系是指如果命题P为真，则命题Q也为真，但Q为真时P不一定为真。
若命题P蕴含Q，则记作P→Q。
2. 证明：若集合A和B的交集非空，则它们的并集包含A和B。
答案：设x属于A∩B，即x同时属于A和B。
根据并集的定义，若元素属于A或B，则它属于A∪B。
因此，x属于A∪B。
由于x是任意属于A∩B的元素，所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素，即A∪B包含A和B。
3. 给定一个有向图G，如何判断G中是否存在环？答案：判断有向图G中是否存在环，可以采用深度优先搜索（DFS）算法。
在DFS过程中，记录每个顶点的访问状态，如果遇到一个已访问过的顶点，且该顶点不是当前路径的直接前驱，则表示存在环。
4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。
答案：有限自动机由以下几部分组成：输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。
输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合；状态集合包含了自动机所有可能的状态；转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下，自动机如何转移到下一个状态；初始状态是自动机开始工作时的状态；接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。
5. 什么是图的连通分量？如何确定一个无向图的连通分量？答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。
在一个无向图中，如果两个顶点之间存在路径，则称这两个顶点是连通的。
确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法。
从任一顶点开始搜索，搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。
重复此过程，直到所有顶点都被访问过，即可确定图中所有连通分量。
离散数学试题+答案
离散数学试题+答案⼀、单项选择题(本⼤题共15⼩题，每⼩题1分，共15分)在每⼩题列出的四个选项中只有⼀个选项是符合题⽬要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。
1.⼀个连通的⽆向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有⼀条( )A.汉密尔顿回路B.欧拉回路C.汉密尔顿通路D.初级回路2.设G是连通简单平⾯图，G中有11个顶点5个⾯，则G中的边是( )A.10B.12C.16D.143.在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是( )A.b∧(a∨c)B.(a∧b)∨(a’∧b)C.(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c)D.(b∨c)∧(a∨c)4.设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{1,-1,i,-i},·>是群，下列是G的⼦群是( )A.<{1},·>B.〈{-1},·〉C.〈{i},·〉D.〈{-i},·〉5.设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( )A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉6.下列各代数系统中不含有零元素的是( )A.〈Q，*〉Q是全体有理数集，*是数的乘法运算B.〈Mn(R),*〉,Mn(R)是全体n阶实矩阵集合，*是矩阵乘法运算C.〈Z，ο〉，Z是整数集，ο定义为xοxy=xy,?x,y∈ZR具有的性质是A.⾃反性B.对称性C.传递性D.反⾃反性8.设A={a,b,c}，A上⼆元关系R={〈a,a〉，〈b,b〉,〈a,c〉}，则关系R的对称闭包S(R)是( )A.R∪I AB.RC.R∪{〈c,a〉}D.R∩I A9.设X={a,b,c},Ix是X上恒等关系，要使Ix∪{〈a,b〉，〈b,c〉，〈c,a〉，〈b,a〉}∪R为X上的等价关系，R应取( )A.｛〈c,a〉，〈a,c〉｝B.{〈c,b〉，〈b,a〉}C.{〈c,a〉，〈b,a〉}D.{〈a,c〉，〈c,b〉}10.下列式⼦正确的是( )A. ?∈?B.C.{?}??D.{?}∈?11.设解释R如下：论域D为实数集，a=0,f(x,y)=x-y,A(x,y):x( )A.( ?x)( ?y)( ?z)(A(x,y))→A(f(x,z),f(y,z))B.( ?x)A(f(a,x),a)C.(?x)(?y)（A(f(x,y),x))D.(?x)(?y)(A(x,y)→A(f(x,a),a))12.设B是不含变元x的公式，谓词公式(?x)(A(x)→B)等价于( )A.(?x)A(x)→BB.(?x)A(x)→BC.A(x)→BD.(?x)A(x)→(?x)B13.谓词公式(?x)(P(x,y))→(?z)Q(x,z)∧(?y)R(x,y)中变元x( )A.是⾃由变元但不是约束变元C.既是⾃由变元⼜是约束变元D.是约束变元但不是⾃由变元14.若P：他聪明；Q：他⽤功；则“他虽聪明，但不⽤功”，可符号化为( )A.P∨QB.P∧┐QC.P→┐QD.P∨┐Q15.以下命题公式中，为永假式的是( )A.p→(p∨q∨r)B.(p→┐p)→┐pC.┐(q→q)∧pD.┐(q∨┐p)→(p∧┐p)⼆、填空题(每空1分，共20分)16.在⼀棵根树中，仅有⼀个结点的⼊度为______，称为树根，其余结点的⼊度均为______。
离散数学考试题及答案
离散数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，下列哪个符号表示属于关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ∩答案：A2. 对于命题逻辑，下列哪个是真值表的表示方法？A. 真值表B. 逻辑图C. 布尔代数D. 集合论答案：A3. 以下哪个是图论中的基本单位？A. 点B. 线C. 面D. 体答案：A4. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在x=-1处的值是：A. 0C. 4D. 6答案：C5. 在关系数据库中，以下哪个操作用于删除表中的记录？A. SELECTB. INSERTC. UPDATED. DELETE答案：D6. 以下哪个是离散数学中的归纳法证明方法？A. 直接证明法B. 反证法C. 归纳法D. 构造性证明法答案：C7. 在逻辑中，以下哪个是析取命题？A. P ∧ QB. P ∨ QC. ¬PD. P → Q答案：B8. 以下哪个是图的遍历算法？B. BFSC. Dijkstra算法D. Floyd算法答案：B9. 在集合{1, 2, 3}上，以下哪个是幂集？A. {∅, {1}}B. {1, 2}C. {1, 2, 3}D. 所有选项答案：D10. 以下哪个是递归算法的特点？A. 不能自我调用B. 必须有一个终止条件C. 必须有一个基本情况D. 所有选项答案：D二、填空题（每空2分，共20分）1. 在离散数学中，_________ 表示一个命题的否定。
答案：¬P2. 如果集合A和集合B的交集为空集，那么A和B被称为_________。
答案：不相交3. 一个函数f: A → B是_________，如果对于集合B中的每个元素b，集合A中至少有一个元素a与之对应。
答案：满射4. 在图论中，一个没有环的连通图被称为_________。
答案：树5. 一个命题逻辑公式是_________，如果它在所有可能的真值分配下都是真的。
答案：重言式6. 一个关系R在集合A上是_________，如果对于A中的任意两个元素a和b，如果(a, b)属于R，则(b, a)也属于R。
《离散数学》复习练习题带答案(八)
8、 =。
9、设R为集合A上的关系，则t（R）=。
10、若R 是集合A上的偏序关系，则R满足。
二、
1、下列命题正确的有（）。
A、若 是满射，则 是满射；B、若 是满射，则 都是满射；
C、若 是单射，则 都是单射；D、若 单射，则 是单射。
2、设f，g是函数，当（）时，f=g。
A、 ；B、 ；
10、“没有不犯错误的人”的逻辑符号化为（）。
设H（x）：x是人，P（x）：x犯错误。
A、 ；B、 ；
C、 ；D、 。
三、
1、（10分）用反证法证明 。
2、（8分）用CP规则证明 。
3、（10分）演绎推理：所有的有理数都是实数，所有的无理数也是实数，虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。
答案
七、填空15%（每小题3分）
1、P，Q的真值相同；2、 ；3、 ；4、 ；5、 。
八、选择30%（每小题3分）
题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B、C
A、C
B
C、D
C
D
A
B、C
B、D
C
九、逻辑判断28%
1、（8分）
① P
②AP
③BT①②I
④ P
⑤ T④E
⑥ T⑤I
⑦FT③⑥I
所以 不相容。
2、（10分）
2、集合A={ ,{ }}的幂集P(A)=。
3、设A={1，2，3，4}，A上二元关系R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>}画出R的关系图
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、选择题1. 在一个聚会中，有9名男生和11名女生。
问这些学生中，至少有一个女朋友的学生人数的奇偶性是怎样的？答案：奇数2. 设A、B、C是三个命题。
已知命题A为真，命题B为假，命题C为真，则下列命题中，一定为假的是：A) A → (B ∨ C)B) (A → C) ∨ BC) (A ∧ B) ∨ CD) A ↔ (B ∧ C)答案：D) A ↔ (B ∧ C)3. 设集合A={x | -3 < x ≤ 2}，集合B={y | -4 ≤ y < 3}，则下列集合中，既是A的子集又是B的子集的集合是：A) {-2, -1, 0, 1, 2}B) {-3, -2, -1, 0, 1, 2}C) {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}D) {-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}答案：B) {-3, -2, -1, 0, 1, 2}4. 设A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5, 6}，C={4, 5, 6, 7}，则(A ∪ B) ∩ C等于：A) {1, 2, 3, 4, 5, 6}B) {3, 4, 5, 6}C) {4}D) {4, 5, 6}答案：C) {4}二、填空题1. 一个完全图有9条边，则该完全图的顶点数为________。
答案：52. 若一个集合有n个元素，则该集合的幂集的元素个数为________。
答案：2^n3. 设a是整数，若3a-5能被4整除，则a的一个可能的取值是________。
答案：24. 设n为正整数，若C(n, 3) = 1，则n的值为________。
答案：4三、解答题1. 证明：设A、B、C为三个集合，要证明A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B)∪ (A ∩ C)。
解答：对于任意元素x，若x ∈ A ∩ (B ∪ C)，则x ∈ A 且 x ∈ (B∪ C)。
根据集合的交和并的定义，可得x ∈ A 且 (x ∈ B 或 x ∈ C)。
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4. 设 I 是如下一个解释：D = {2, 3},
a
b
f (2) f (3)
3
2
3
2
试求 (1) P(a, f (a))∧P(b, f (b));
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一、填空题 1 设集合 A,B，其中 A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则 A - B＝____________________;
(A)
- (B)＝ __________________________ . 2. 设有限集合 A, |A| = n, 则 |(A×A)| = __________________________. 3. 设集合 A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从 A 到 B 的所有映射是 __________________________ _____________, 其中双射的是
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0 1 1 1 1
15. 设图 G 的相邻矩阵为 1 0 1 0 0 ，则 G 的顶点数与边数分别为(
).
1 1 0 1 1
1 0 1 0 1
1 0 1 1 0
(A)4, 5 (B)5, 6 三、计算证明题
(C)4, 10
(D)5, 8.
1.设集合 A＝{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12}，R 为整除关系。
则在解释 I 下取真值为 1 的公式是( ).
(A)xyP(x,y) (B)xyP(x,y) (C)xP(x,x) (D)xyP(x,y). 6. 若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是( ).
离散数学试题及答案
离散数学试题及答案一、选择题1. 下列哪个是由离散数学的基本概念组成的？A. 集合论和函数论B. 图论和逻辑C. 运算符和关系D. 全数论和数论答案：B2. 下列哪个是离散数学的一个应用领域？A. 数据结构和算法分析B. 微积分和线性代数C. 概率论和统计学D. 数值分析和微分方程答案：A3. 集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A交B的结果是：A. {1, 2, 3, 4}B. {2, 3}C. {2}D. {1}答案：B4. 下列哪个是对于集合的补集运算的正确描述？A. A∪A' = ∅B. A∩A' = ∅C. A - A' = AD. A'∩B' = (A∪B)'答案：B5. 若命题p为真，命题q为假，则命题p→q的真值为：A. 真B. 假C. 不确定D. 无法确定答案：B二、填空题1. 对于命题“如果x是偶数，则x能被2整除”，其逆命题为________________。
答案：如果x不能被2整除，则x不是偶数。
2. 在一个完全图中，如果有12条边，则这个图有__________个顶点。
答案：6个顶点。
3. 设集合A={1, 2, 3, 4}，则A的幂集的元素个数是__________。
答案：2^4=16个元素。
4. 设关系R={(-1, 0), (0, 1), (1, 0)}，则R的逆关系是__________。
答案：R^(-1)={(0, -1), (1, 0), (0, 1)}。
5. 若集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则A的笛卡尔积B是__________。
答案：A×B={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}。
三、计算题1. 求集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3, 4}的并集。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，以下哪个概念不是布尔代数的基本元素？A. 逻辑与B. 逻辑或C. 逻辑非D. 逻辑异或答案：D2. 下列哪个命题不是命题逻辑中的命题？A. 所有学生都是勤奋的B. 有些学生是勤奋的C. 学生是勤奋的D. 勤奋的学生答案：D3. 在集合论中，以下哪个符号表示集合的并集？A. ∩B. ∪C. ⊆D. ⊂答案：B4. 以下哪个图不是无向图？A. 简单图B. 完全图C. 有向图D. 多重图答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果一个命题的逆否命题为真，则原命题的________为真。
答案：逆命题2. 在图论中，如果一个图的任意两个顶点都由一条边连接，则称这个图为________图。
答案：完全3. 一个集合的幂集是指包含该集合的所有________的集合。
答案：子集4. 如果一个函数的定义域和值域都是有限集合，那么这个函数被称为________函数。
答案：有限三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的欧拉路径。
答案：欧拉路径是一条通过图中每条边恰好一次的路径。
2. 解释什么是二元关系，并给出一个例子。
答案：二元关系是指定义在两个集合之间的关系，它将第一个集合中的元素与第二个集合中的元素联系起来。
例如，小于关系就是一个二元关系。
3. 请说明什么是递归函数，并给出一个简单的例子。
答案：递归函数是一种通过自身定义来计算函数值的函数。
例如，阶乘函数就是一个递归函数，定义为：n! = n * (n-1)!，其中n! = 1当n=0时。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算以下逻辑表达式：(P ∧ Q) ∨ ¬R答案：首先计算P ∧ Q，然后计算¬R，最后计算两者的逻辑或。
2. 给定集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A ∪ B。
答案：A ∪ B = {1, 2, 3, 4}3. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(5)。
离散数学考试试题及答案
离散数学考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在集合论中，以下哪个选项表示“属于”关系？A. ⊆B. ⊂C. ∈D. ⊇答案：C2. 以下哪个命题是真命题？A. p ∧ ¬pB. p ∨ ¬pC. p → ¬pD. ¬(p → q) → p答案：B3. 以下哪个选项是命题逻辑中的德摩根定律？A. ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬qB. ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬qC. ¬(p → q) = p ∧ ¬qD. ¬(p ∨ q) = ¬p ∨ ¬q答案：A4. 以下哪个选项是命题逻辑中的蕴含等价？A. p → q ≡ ¬p ∨ qB. p → q ≡ ¬q → ¬pC. p → q ≡ p ∨ ¬qD. p → q ≡ ¬p ∧ q答案：A5. 以下哪个选项是关系的性质？A. 反身性B. 对称性C. 传递性D. 所有选项都是答案：D6. 以下哪个选项是图论中的有向图？A. 无向图中的边没有方向B. 有向图中的边有方向C. 混合图中的边既有方向也有无方向D. 所有选项都是答案：B7. 在图论中，以下哪个选项是树的性质？A. 树是无环的B. 树是连通的C. 树是无向图D. 所有选项都是答案：D8. 以下哪个选项是布尔代数的基本运算？A. 与（AND）B. 或（OR）C. 非（NOT）D. 所有选项都是答案：D9. 以下哪个选项是组合数学中的排列？A. 从n个不同元素中取出m个元素的组合B. 从n个不同元素中取出m个元素的排列C. 从n个相同元素中取出m个元素的组合D. 从n个相同元素中取出m个元素的排列答案：B10. 以下哪个选项是集合论中的幂集？A. 一个集合的所有子集的集合B. 一个集合的所有真子集的集合C. 一个集合的所有超集的集合D. 一个集合的所有子集的个数答案：A二、简答题（每题10分，共30分）1. 简述命题逻辑中的等价命题是什么？答案：等价命题是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同真值的命题。
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试卷八试题与答案一、填空题：（每空1分，本大题共15分）1．设}4,}3{,,2{aA=，}1,4,3,}{{aB=，请在下列每对集合中填入适当的符号：⊆∈,。
（1）}{a B, (2)}}3{,4,{a A。
2．设}1,0{=A，N为自然数集，⎩⎨⎧=是偶数。
，是奇数，，xxxf1)(若AAf→：，则f是射的，若ANf→：，则f是射的。
3．设图G = < V ，E >中有7个结点，各结点的次数分别为2，4，4，6，5，5，2，则G中有条边，根据。
4．两个重言式的析取是，一个重言式和一个矛盾式的合取是。
5．设个体域为自然数集，命题“不存在最大自然数”符号化为。
6．设S为非空有限集，代数系统>⋃<,2S中幺元为，零元为。
7．设P、Q为两个命题，其De-Morden律可表示为。
8．当8=G时，群>*<,G只能有阶非平凡子群，不能有阶子群，平凡子群为。
9. 设P：它占据空间，Q：它有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质。
命题“占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质”的符号化为。
10. 如果有限集合A有n个元素，则|2A|= 。
二、单项选择题：（每小题1分，本大题共15分）1．设}16{2<=xxxA是整数且，下面哪个命题为假（）。
A、A⊆}4,2,1,0{；B、A⊆---}1,2,3{；C、A⊆Φ；D、Axxx⊆<}4{是整数且。
2．设}}{,{,ΦΦ=Φ=BA，则B－A是（）。
A、}}{{Φ；B、}{Φ；C、}}{,{ΦΦ；D、Φ。
3．下图描述的偏序集中，子集},,{feb的上界为（）。
A、cb,；B、ba,；C、b；D、cba,,。
4．设f和g都是X上的双射函数，则1)(-gf为（）。
A、11--gf；B、1)(-fg；C、11--fg；D、1-fg。
5．下面集合（）关于减法运算是封闭的。
A、N ；B、}2{Ixx∈；C、}12{Ixx∈+；D、}{是质数xx。
6．具有如下定义的代数系统>*<,G，（）不构成群。
A、}10,1{=G，*是模11乘；B、}9,5,4,3,1{=G，*是模11乘；C、QG=（有理数集），*是普通加法；D、QG=（有理数集），*是普通乘法。
7．设},32{InmG nm∈⨯=，*为普通乘法。
则代数系统>*<,G的幺元为（）。
A、不存在；B、032⨯=e；C、32⨯=e；D、1132--⨯=e。
8．下面集合（）关于整除关系构成格。
A、{2，3，6，12，24，36} ；B、{1，2，3，4，6，8，12} ；C、{1，2，3，5，6，15，30} ；D、{3，6，9，12}。
9．设},,,,,{fedcbaV=，},,,,,,,,,,,{><><><><><><=efeddaaccbbaE，则有向图>=<EVG,是（）。
A、强连通的；B、单侧连通的；C、弱连通的；D、不连通的。
10．下面那一个图可一笔画出（）。
11．在任何图中必定有偶数个（）。
A、度数为偶数的结点；B、入度为奇数的结点；C、度数为奇数的结点；D、出度为奇数的结点。
12．含有3个命题变元的具有不同真值的命题公式的个数为（）。
A、32；B、23；C、322；D、232。
13．下列集合中哪个是最小联结词集（）。
A、},{→⌝；B、},{↔⌝；C、},{↔→；D、},,{∨∧⌝。
14．下面哪个命题公式是重言式（）。
A、)()(RQQP→∧→；B、PQP→∧)(；C、)()(QPQP⌝∧⌝∧∨⌝；D、PQP∧∨⌝)(。
15．在谓词演算中，下列各式哪个是正确的（）。
A、),(),(yxxAyyxyAx∃∃⇔∃∃；B、),(),(yxxAyyxyAx∀∀⇔∃∃；C、),(),(yxxAyyxyAx∃∀⇐∀∃；D、)()(xxAaA∀⇒。
三、判断改正题：（每小题2分，本大题共20分） 1．设}2,1{=A ，}{a B =，则BA BA⋃=⋃222。
（其中A2为 （A ）） ( )2．设}1,0{=A ，}2,1{=B ，则}2,0,1,1,0,1,2,1,0,1,1,0{2><><><><=⨯B A 。
（ ）3．集合A 上的恒等关系是一个双射函数。
（ ） 4．设Q 为有理数集，Q 上运算 * 定义为),max(b a ba =*，则>*<，Q 是半群。
（ ）5．阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
（ ） 6．在完全二元树中，若有t 片叶子，则边的总数12-=t e。
（ ）7．能一笔画出的图不一定是欧拉图。
（ ） 8．设P ，Q 是两个命题，当且仅当P ，Q 的真值均为T 时，Q P ↔的值为T 。
（ ）9．命题公式Q Q P P →→∧))((是重言式。
（ ）10．设，是研究生：x x P )(，曾读过大学：x x Q )( 命题“所有的研究生都读过大学”符号化为：))()((x Q x P x ∧∀。
（ ）四、简答题：（25分） 1．设},,{c b a A =，A 上的关系 },,,,,,,{><><><><=b c c b b a a a ρ，求出)()(,)(ρρρt s r 和。
2．集合}36,24,12,6,3,2{=A 上的偏序关系②为整除关系。
设}12,6{=B ，}6,3,2{=C ，试画出②的哈斯图，并求A ，B ，C 的最大元素、极大元素、下界、上确界。
3．图给出的赋权图表示五个城市54321v v v v v ，，，，及对应两城镇间公路的长度。
试给出一个最优化的设计 方案使得各城市间能够有公路连通。
4．已知}654321{，，，，，=G，7⨯为模7乘法。
试说明>⨯<7，G 是否构成群？是否为循环群？若是，生成元是什么？ 5．用逻辑推演下式C B A →∧)( ，D ⌝，D C ∨⌝⇒ B A ⌝∨⌝ （7分）6. 求)()(Q P P Q ∧⌝∧→的主合取范式。
五、证明题：（25分）1．如果集合A 上的关系R 和S 是反自反的、对称的和传递的，证明：S R ⋂是A 上的等价关系。
2．用推理规则证明)()(a G a P ∧⌝是))()((,)(,))()((,)))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ↔∀∧⌝∧→∀的有效结论。
3．若有n 个人，每个人都恰有三个朋友，则n 必为偶数。
4．设G 是（11，m ）图，证明G 或其补图G 是非平面图。
答 案一、填空题1．（1）∈， （2）⊆。
2．双射 ， 满射。
3．14 ，Ev V v ii 2)deg(=∑∈。
4．重言式 ，矛盾式 。
5．)(x y y x >∃∀， 6．Φ，S 。
7．Q P Q P Q P Q P ⌝∧⌝⇔∨⌝⌝∨⌝⇔∧⌝)()(，；P Q P P P Q P P ⇔∧∨⇔∨∧)(,)( 。
8．2，4； 3，5，6，7；>*<>*<,,},{G e 。
9. R Q P S ∧∧↔； 10. 2n二、单项选择题三、判断改正题 1．× BABA 222⋃⊇⋃ 。
2．×}211201101111210110200100{2><><><><><><><><=⨯，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，B A3．√ 。
4．√ 。
5．× 阶数为偶数的有限群中周期为2 的元素个数一定为奇数。
6．× 完全二叉树中，边数)1(2-=t e 。
7．√ 。
8．× 当且仅当P ，Q 的真值相同时，Q P ↔的真值为T 。
9．√ 。
10．× ))()((x Q x P x →∀。
四、简答案题 1．解},,,,,,,,,,,{)(><><><><><><=c c b b b c c b b a a a r ρ，},,,,,,,,,{)(><><><><><=a b b c c b b a a a s ρ，},,,,,,,,,{2><><><><><==c c b b c a b a a a ρρρ ，},,,,,,,,,,,{23><><><><><><==b c c b b a c a b a a a ρρρ ，},,,,,,,,,,,,,{)(2><><><><><><><=⋃=∴b c c b c c b b c a b a a a t ρρρ。
2．解： 的哈斯图为集合 最大元 极大元 下界 上确界 A 无 24，36 无 无 B 12 12 6，2，3 12 C66无63．解此问题的最优设计方案即要求该图的最小生成树， 由破圈法或避圈法得最小生成树为： 其权数为1+1+3+4 = 9 。
4．解：>⨯<7，G 既构成群，又构成循环群，其生成元为3，5。
因为：7⨯的运算表为：7⨯1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 1 3 5 3 3 6 2 5 1 4 4 4 1 5 2 6 3 5 5 3 1 6 4 2 66543211）由运算表知，7⨯封闭；2）7⨯可结合（可自证明）3）1为幺元； 4）111=-，421=-，531=-，241=-，351=-，661=-，综上所述，>⨯<7，G 构成群。
由331=，232=，633=，434=，535=，136=。
所以，3为其生成元，3的逆元5也为其生成元。
故>⨯<7，G 为循环群。
5．解：命题公式对应的二元树见右图。
5. ⑴D C ∨⌝ 前提引入⑵ C D ⌝→⌝ ⑴置换⑶ D ⌝ 前提引入⑷C ⌝ ⑵⑶假言推理⑸ C B A →∧)( 前提引入 ⑹ )(B A ∧⌝ ⑷⑸拒取式⑺ B A ⌝∨⌝ ⑹置换6. 解：)()()()()()())()()()(Q P Q P Q P Q P F Q P P Q P Q Q P P Q Q P P Q ⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝∨∧∨⇔⇔∧⌝∧∨∧⌝∧⌝⇔∧⌝∧∨⌝⇔∧⌝∧→五、证明题 1．证明：（1）,,,,,,S a a R a a S R A a >∈<>∈<∈∀∴自反，S R S R a a ⋂⋂>∈<∴∴,,自反。