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1.1.2 量词
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能
(1)通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义． (2)能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号 表述存在性命题． (3)会判断全称命题和存在性命题的真假．
2．过程与方法 (1)通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和 问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力． (2)通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和 反思意识． 3．情感、态度与价值观 通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知 识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感， 激发学生学习数学的兴趣．
【错因分析】 混淆符号“∀”与“∃”的含义，不清 楚全称命题与存在性命题真假的判断方法而出现错误．
【防范措施】 1.符号“∀”的含义是“任意”、“所 有”的意思；而“∃”的含义是“存在”、“某些”的意思．
2．判断全称命题和存在性命题真假的方法如下：
【正解】 (1)∵x＝－1 时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)∵x＝0 时，|x|≤0 成立， ∴原命题是真命题．
【解】 根据题意知，f(x1)min≥g(x2)min， 当 x1∈[－1,3]时，f(x1)min＝0. 当 x2∈[0,2]时，g(x2)＝(12)x2－m 的最小值为 g(2)＝14－m. 因此 0≥14－m，解之得 m≥14. 故实数 m 的取值范围是[14，＋∞)．
●重点、难点 重点：理解全称量词与存在量词的意义． 难点：判断全称命题和存在性命题的真假． 重、难点突破方法：通过设置大量丰富的例子，引导学 生观察、发现、合作与交流，务必理清各类型命题形式结构、 性质关系．
●教学建议 结合本节课的特点，应通过实例层层深入、逐步推进， 讲解时切忌急躁，真正做到让学生在观察、发现、合作与交 流中感受知识，在教师的引导释疑下学得知识，并在训练中 得以熟练掌握．
【解】 (1)∀x∈R，x 能写成小数形式． (2)∀x∈{x|x 是凸 n 边形}， x 的外角和等于 2π. (3)∃数列{an}，{an}既是等差数列，又是等比数列． (4)∀x∈R，x3>x2. (5)∃α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
全称命题和存在性命题的真假判断
设 q(x)是某集合 M 的 有些元素x 具有的某种性质，那 么存在性命题就是形如“ 存在 集合 M 中的元素 x，q(x)”的 命题，用符号简记为 ∃x∈M，q(x) .
全称命题和存在性命题的判断
判断下列命题是全称命题还是存在性命题： (1)等边三角形的三边相等； (2)存在实数 x，使 x2－3>0； (3)有的向量方向不确定． 【思路探究】 根据命题中含有(隐含)的量词进行判断．
1．全称量词和全称命题的定义 短语“所有”在陈述中表示 所述事物的全体 ，逻辑中 通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示．含有 全称量词 的
命题，叫做全称命题．
2．全称命题的形式 设 p(x)是某集合 M 的 所有元素 都具有的性质，那么全称 命题就是形如“对 M 中的 所有x ，p(x)”的命题．用符号 简记为 ∀x∈M，p(x) .
(1)求 f(0)的值； (2)当 f(x)＋2＞logax 对于 x∈(0，12)恒成立时，求 a 的取 值范围．
【解】 (1)由已知等式 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x， 令 x＝1，y＝0， 得 f(1)－f(0)＝2，又因为 f(1)＝0， 所以 f(0)＝－2. (2)由(1)知 f(0)＝－2， 所以 f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x. 因为 x∈(0，12)，所以[f(x)＋2]∈(0，34)．
【自主解答】 (1)中隐含了量词“所有”，所以是全称 命题．
(2)存在性命题． (3)中含有存在量词“有的”，所以为存在性命题．
判定一个语句是全称命题还是存在性命题时要注意以下 三点：
(1)判断该语句是否为一个命题； (2)对命题类型进行判定时关键是看命题中含有的量词是 全称量词还是存在量词； (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题的含义的实质．
●教学流程
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续wk.baidu.com持安静
演示结束
全称量词与全称命题
【问题导思】 命题“任意三角形的内角和为 180°”中使用了什么量 词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？ 【提示】 使用了量词“任意”，能，如“任意的正方 形都是平行四边形”，“对任意的 x∈R，x2－2x＋2＞0 恒成 立”等．
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b
a，b ，
有
a，b ，
又∵0≤ a，b ≤π，
∴0≤ a，b π2， 即 a，b 的夹角为零或锐角．
故它是假命题．
(2)∵x2＋y2＝0 时，x＝y＝0，故不存在 x，y 为正实数，
使 x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3) 由有 序实 数 对与 平面 直 角坐 标 系中 的点 的 对应 关 系
知，它是真命题．
(4)函数 f(x)＝0 既是奇函数又是偶函数，故它是真命题．
1．判断一个全称命题或存在性命题是否为真命题，实质 上是利用学过的定理、定义、公理来判断在命题条件下是否 可得出命题的结论．
2．全称命题为真命题的判定方法是推理证明，为假命题 则通过举反例证明；存在性命题为真命题的判定方法为举例 验证，为假命题则需要推理证明．
1．判断一个命题是否为全称命题或存在性命题，就 是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词．有些命 题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据语义判断形 式，如大多数公理、定理的简述都是一般性结论，它们大 多数省略了全称量词，但仍应看作全称命题．
2．判断全称命题和存在性命题的真假时，首先要判 断命题是全称命题还是存在性命题，然后通过举例或理论 证明判断命题的真假.
(2)________a，b∈R，使方程组aa2xx＋＝b2y＝1 有唯一解． 【解析】 (1)∵(x＋1)2≥0 恒成立，应填“∀”． (2)把 ax＋by＝1，a2x＝2 看成两条直线，故存在 a，b 的 值使两条直线相交，应填“∃”． 【答案】 (1)∀ (2)∃
课时作业（二）
已知函数 f(x)对一切实数 x，y 均有 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y ＋1)x 成立，且 f(1)＝0.
将本例第(1)小题改为“任意两向量 a，b，若 a·b<0，则 a，b 夹角为钝角”．试判断真假．
【解】 若 a·b<0， 则 a，b 夹角为钝角也是错误的，是假命题，
∵a，b 方向相反时，即 a，b 夹角为 π 时，a·b<0 也成立.
混淆符号“∀”与“∃”的含义致误 判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)∃x∈R，|x|≤0. 【错解】 (1)∵x＝1 时，x2＋2x＋1＞0. ∴原命题是真命题． (2)∵x＝1 或 x＝－1 时都有|x|＞0. ∴原命题是假命题．
判断下列命题的真假． (1)任意两向量 a，b，若 a·b>0，则 a，b 夹角为锐角； (2)∃x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一 点 P； (4)存在一个函数，既是奇函数又是偶函数． 【思路探究】 先判断是全称命题还是存在性命题，然 后利用数学知识加以判断，从而得出结论．
要使 x∈(0，12)时，f(x)＋2＜logax 恒成立，显然当 a＞1 时不可能，
所以0lo＜gaa12＜≥134，， 解得344≤a＜1. 3
故 a 的取值范围是[ 44，1)．
(2013·南通高二检测)已知 f(x)＝x2，g(x)＝(12)x－m，若对 ∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，有 f(x1)≥g(x2)，求实数 m 的取值 范围．
一个全称命题或存在性命题，可能有不同的表述方法，
现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择.
命题
表 述 方 法
全称命题“∀x∈A，p(x)” ①所有的 x∈A， p(x)成立 ②对一切 x∈A， p(x)成立 ③对每一个 x∈A， p(x)成立 ④任意一个 x∈A， p(x)成立 ⑤凡 x∈A，都有 p(x)成立
判断下列语句是全称命题还是存在性命题． (1)有一个实数 a，a 不能取对数； (2)所有不等式的解集 A，都有 A⊆R； (3)有些三角函数不是周期函数； (4)自然数的平方是正数．
【解】 (1)含有存在量词“有一个”，所以是存在性命 题；
(2)含有全称量词“所有”，所以是全称命题； (3)含有存在量词“有些”，是存在性命题． (4)省略了全称量词“都”，是全称命题.
全称命题和存在性命题的表述
(1)设集合 S＝{四边形}，p(x)：内角和为 360°， 试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”．
(2)设 q(x)：x2＝x，试用不同的表述写出存在性命题“∃ x∈R，q(x)”．
【思路探究】 解答本题应先分清是全称命题还是存在 性命题，再选取合适的量词用不同的方式来表述．
存在量词与存在性命题
【问题导思】 命题“存在实数 a，使关于 x 的方程 x2＋x－a＝0 有实 根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题 吗？
【提示】 使用了量词“存在”，能，如“存在整数 n 使 n 能被 13 整除”，“存在实数 x，使 x2－2x－1＞0 成立” 等．
1．存在量词和存在性命题的定义 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中 表示所述事物的 个体或部分 ，逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“ ∃ ”表示，含有 存在量词 的命题，叫做存在 性命题． 2．存在性命题的形式
1．“a⊥α，则 a 垂直于平面 α 内任一条直线”是( )
A．全称命题
B．存在性命题
C．不是命题
D．假命题
【解析】 命题中含有全称量词“任一条”，所以为全 称命题．
【答案】 A
2．下列命题中是存在性命题的是( ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 【解析】 A 为全称命题，B 中含有“∃”是存在性命 题，而 C，D 也可以看作全称命题． 【答案】 B
3．在下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰
三角形；③有的菱形是正方形．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 三个命题均是真命题．
【答案】 A
4．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真 命题．
(1)________x∈R，使 x2＋2x＋1≥0；
存在性命题“∃x∈A，q(x)”
①存在 x∈A， 使 q(x)成立 ②至少有一个 x∈A，使 q(x)成立 ③对有些 x∈A， q(x)成立 ④对某个 x∈A， q(x)成立 ⑤有一个 x∈A， 使 q(x)成立
用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)凸 n 边形的外角和等于 2π； (3)有的数列既是等差数列，又是等比数列； (4)对任意实数 x，都有 x3>x2； (5)至少有一对实数 α，β，使 cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
【自主解答】 (1)依题意可得以下几种不同的表述： 对所有的四边形 x，x 的内角和为 360°； 对一切四边形 x，x 的内角和为 360°； 每一个四边形 x 的内角和为 360°； 任一个四边形 x 的内角和为 360°； 凡是四边形 x，它的内角和为 360°.
(2)依题意可得以下几种不同的表述： 存在实数 x，使 x2＝x 成立； 至少有一个 x∈R，使 x2＝x 成立； 对有些实数 x，x2＝x 成立； 有一个 x∈R，使 x2＝x 成立； 对某一个 x∈R，x2＝x 成立．
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能
(1)通过教学实例，理解全称量词和存在量词的含义． (2)能够用全称量词符号表示全称命题，用存在量词符号 表述存在性命题． (3)会判断全称命题和存在性命题的真假．
2．过程与方法 (1)通过观察命题、科学猜想以及通过参与过程的归纳和 问题的演绎，培养学生的观察能力和概括能力． (2)通过问题的辨析和探究，培养学生良好的学习习惯和 反思意识． 3．情感、态度与价值观 通过引导学生观察、发现、合作与交流，让学生经历知 识的形成过程，增加直接经验基础，增强学生学习的成功感， 激发学生学习数学的兴趣．
【错因分析】 混淆符号“∀”与“∃”的含义，不清 楚全称命题与存在性命题真假的判断方法而出现错误．
【防范措施】 1.符号“∀”的含义是“任意”、“所 有”的意思；而“∃”的含义是“存在”、“某些”的意思．
2．判断全称命题和存在性命题真假的方法如下：
【正解】 (1)∵x＝－1 时，x2＋2x＋1＝0， ∴原命题是假命题． (2)∵x＝0 时，|x|≤0 成立， ∴原命题是真命题．
【解】 根据题意知，f(x1)min≥g(x2)min， 当 x1∈[－1,3]时，f(x1)min＝0. 当 x2∈[0,2]时，g(x2)＝(12)x2－m 的最小值为 g(2)＝14－m. 因此 0≥14－m，解之得 m≥14. 故实数 m 的取值范围是[14，＋∞)．
●重点、难点 重点：理解全称量词与存在量词的意义． 难点：判断全称命题和存在性命题的真假． 重、难点突破方法：通过设置大量丰富的例子，引导学 生观察、发现、合作与交流，务必理清各类型命题形式结构、 性质关系．
●教学建议 结合本节课的特点，应通过实例层层深入、逐步推进， 讲解时切忌急躁，真正做到让学生在观察、发现、合作与交 流中感受知识，在教师的引导释疑下学得知识，并在训练中 得以熟练掌握．
【解】 (1)∀x∈R，x 能写成小数形式． (2)∀x∈{x|x 是凸 n 边形}， x 的外角和等于 2π. (3)∃数列{an}，{an}既是等差数列，又是等比数列． (4)∀x∈R，x3>x2. (5)∃α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
全称命题和存在性命题的真假判断
设 q(x)是某集合 M 的 有些元素x 具有的某种性质，那 么存在性命题就是形如“ 存在 集合 M 中的元素 x，q(x)”的 命题，用符号简记为 ∃x∈M，q(x) .
全称命题和存在性命题的判断
判断下列命题是全称命题还是存在性命题： (1)等边三角形的三边相等； (2)存在实数 x，使 x2－3>0； (3)有的向量方向不确定． 【思路探究】 根据命题中含有(隐含)的量词进行判断．
1．全称量词和全称命题的定义 短语“所有”在陈述中表示 所述事物的全体 ，逻辑中 通常叫做全称量词，并用符号“ ∀ ”表示．含有 全称量词 的
命题，叫做全称命题．
2．全称命题的形式 设 p(x)是某集合 M 的 所有元素 都具有的性质，那么全称 命题就是形如“对 M 中的 所有x ，p(x)”的命题．用符号 简记为 ∀x∈M，p(x) .
(1)求 f(0)的值； (2)当 f(x)＋2＞logax 对于 x∈(0，12)恒成立时，求 a 的取 值范围．
【解】 (1)由已知等式 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x， 令 x＝1，y＝0， 得 f(1)－f(0)＝2，又因为 f(1)＝0， 所以 f(0)＝－2. (2)由(1)知 f(0)＝－2， 所以 f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x. 因为 x∈(0，12)，所以[f(x)＋2]∈(0，34)．
【自主解答】 (1)中隐含了量词“所有”，所以是全称 命题．
(2)存在性命题． (3)中含有存在量词“有的”，所以为存在性命题．
判定一个语句是全称命题还是存在性命题时要注意以下 三点：
(1)判断该语句是否为一个命题； (2)对命题类型进行判定时关键是看命题中含有的量词是 全称量词还是存在量词； (3)当命题中不含量词时，要注意理解命题的含义的实质．
●教学流程
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续wk.baidu.com持安静
演示结束
全称量词与全称命题
【问题导思】 命题“任意三角形的内角和为 180°”中使用了什么量 词？你还能举出几个含有这样量词的命题吗？ 【提示】 使用了量词“任意”，能，如“任意的正方 形都是平行四边形”，“对任意的 x∈R，x2－2x＋2＞0 恒成 立”等．
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b
a，b ，
有
a，b ，
又∵0≤ a，b ≤π，
∴0≤ a，b π2， 即 a，b 的夹角为零或锐角．
故它是假命题．
(2)∵x2＋y2＝0 时，x＝y＝0，故不存在 x，y 为正实数，
使 x2＋y2＝0，故它是假命题．
(3) 由有 序实 数 对与 平面 直 角坐 标 系中 的点 的 对应 关 系
知，它是真命题．
(4)函数 f(x)＝0 既是奇函数又是偶函数，故它是真命题．
1．判断一个全称命题或存在性命题是否为真命题，实质 上是利用学过的定理、定义、公理来判断在命题条件下是否 可得出命题的结论．
2．全称命题为真命题的判定方法是推理证明，为假命题 则通过举反例证明；存在性命题为真命题的判定方法为举例 验证，为假命题则需要推理证明．
1．判断一个命题是否为全称命题或存在性命题，就 是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词．有些命 题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据语义判断形 式，如大多数公理、定理的简述都是一般性结论，它们大 多数省略了全称量词，但仍应看作全称命题．
2．判断全称命题和存在性命题的真假时，首先要判 断命题是全称命题还是存在性命题，然后通过举例或理论 证明判断命题的真假.
(2)________a，b∈R，使方程组aa2xx＋＝b2y＝1 有唯一解． 【解析】 (1)∵(x＋1)2≥0 恒成立，应填“∀”． (2)把 ax＋by＝1，a2x＝2 看成两条直线，故存在 a，b 的 值使两条直线相交，应填“∃”． 【答案】 (1)∀ (2)∃
课时作业（二）
已知函数 f(x)对一切实数 x，y 均有 f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y ＋1)x 成立，且 f(1)＝0.
将本例第(1)小题改为“任意两向量 a，b，若 a·b<0，则 a，b 夹角为钝角”．试判断真假．
【解】 若 a·b<0， 则 a，b 夹角为钝角也是错误的，是假命题，
∵a，b 方向相反时，即 a，b 夹角为 π 时，a·b<0 也成立.
混淆符号“∀”与“∃”的含义致误 判断下列命题的真假． (1)∀x∈R，x2＋2x＋1＞0； (2)∃x∈R，|x|≤0. 【错解】 (1)∵x＝1 时，x2＋2x＋1＞0. ∴原命题是真命题． (2)∵x＝1 或 x＝－1 时都有|x|＞0. ∴原命题是假命题．
判断下列命题的真假． (1)任意两向量 a，b，若 a·b>0，则 a，b 夹角为锐角； (2)∃x，y 为正实数，使 x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一 点 P； (4)存在一个函数，既是奇函数又是偶函数． 【思路探究】 先判断是全称命题还是存在性命题，然 后利用数学知识加以判断，从而得出结论．
要使 x∈(0，12)时，f(x)＋2＜logax 恒成立，显然当 a＞1 时不可能，
所以0lo＜gaa12＜≥134，， 解得344≤a＜1. 3
故 a 的取值范围是[ 44，1)．
(2013·南通高二检测)已知 f(x)＝x2，g(x)＝(12)x－m，若对 ∀x1∈[－1,3]，∃x2∈[0,2]，有 f(x1)≥g(x2)，求实数 m 的取值 范围．
一个全称命题或存在性命题，可能有不同的表述方法，
现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择.
命题
表 述 方 法
全称命题“∀x∈A，p(x)” ①所有的 x∈A， p(x)成立 ②对一切 x∈A， p(x)成立 ③对每一个 x∈A， p(x)成立 ④任意一个 x∈A， p(x)成立 ⑤凡 x∈A，都有 p(x)成立
判断下列语句是全称命题还是存在性命题． (1)有一个实数 a，a 不能取对数； (2)所有不等式的解集 A，都有 A⊆R； (3)有些三角函数不是周期函数； (4)自然数的平方是正数．
【解】 (1)含有存在量词“有一个”，所以是存在性命 题；
(2)含有全称量词“所有”，所以是全称命题； (3)含有存在量词“有些”，是存在性命题． (4)省略了全称量词“都”，是全称命题.
全称命题和存在性命题的表述
(1)设集合 S＝{四边形}，p(x)：内角和为 360°， 试用不同的表述写出全称命题“∀x∈S，p(x)”．
(2)设 q(x)：x2＝x，试用不同的表述写出存在性命题“∃ x∈R，q(x)”．
【思路探究】 解答本题应先分清是全称命题还是存在 性命题，再选取合适的量词用不同的方式来表述．
存在量词与存在性命题
【问题导思】 命题“存在实数 a，使关于 x 的方程 x2＋x－a＝0 有实 根”中使用了什么量词？你还能举出几个含有此量词的命题 吗？
【提示】 使用了量词“存在”，能，如“存在整数 n 使 n 能被 13 整除”，“存在实数 x，使 x2－2x－1＞0 成立” 等．
1．存在量词和存在性命题的定义 短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述中 表示所述事物的 个体或部分 ，逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号“ ∃ ”表示，含有 存在量词 的命题，叫做存在 性命题． 2．存在性命题的形式
1．“a⊥α，则 a 垂直于平面 α 内任一条直线”是( )
A．全称命题
B．存在性命题
C．不是命题
D．假命题
【解析】 命题中含有全称量词“任一条”，所以为全 称命题．
【答案】 A
2．下列命题中是存在性命题的是( ) A．∀x∈R，x2≥0 B．∃x∈R，x2<0 C．平行四边形的对边不平行 D．矩形的任一组对边都不相等 【解析】 A 为全称命题，B 中含有“∃”是存在性命 题，而 C，D 也可以看作全称命题． 【答案】 B
3．在下列存在性命题中假命题的个数是( )
①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰
三角形；③有的菱形是正方形．
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 三个命题均是真命题．
【答案】 A
4．填上适当的量词符号“∀”“∃”，使下列命题为真 命题．
(1)________x∈R，使 x2＋2x＋1≥0；
存在性命题“∃x∈A，q(x)”
①存在 x∈A， 使 q(x)成立 ②至少有一个 x∈A，使 q(x)成立 ③对有些 x∈A， q(x)成立 ④对某个 x∈A， q(x)成立 ⑤有一个 x∈A， 使 q(x)成立
用量词符号“∀”“∃”表达下列命题： (1)实数都能写成小数形式； (2)凸 n 边形的外角和等于 2π； (3)有的数列既是等差数列，又是等比数列； (4)对任意实数 x，都有 x3>x2； (5)至少有一对实数 α，β，使 cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
【自主解答】 (1)依题意可得以下几种不同的表述： 对所有的四边形 x，x 的内角和为 360°； 对一切四边形 x，x 的内角和为 360°； 每一个四边形 x 的内角和为 360°； 任一个四边形 x 的内角和为 360°； 凡是四边形 x，它的内角和为 360°.
(2)依题意可得以下几种不同的表述： 存在实数 x，使 x2＝x 成立； 至少有一个 x∈R，使 x2＝x 成立； 对有些实数 x，x2＝x 成立； 有一个 x∈R，使 x2＝x 成立； 对某一个 x∈R，x2＝x 成立．