傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明性质一：线性性质F[a*f(t)+b*g(t)]=a*F[f(t)]+b*F[g(t)]其中F表示傅里叶变换。
这个性质的证明非常简单，我们只需将傅里叶变换的定义代入到等式中即可。
性质二：时移性质时移性质指的是时域上的移动会导致频域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(t - a)] = e^(-2πiaω) * F[f(t)]其中a是常数，ω是角频率。
这个性质的证明可以通过将f(t-a)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质三：频移性质频移性质指的是频域上的移动会导致时域上的相位变化。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[e^(2πiaω0) * f(t)] = F[f(t - a)]其中a是常数，ω0是角频率。
这个性质的证明可以利用傅里叶变换的定义以及欧拉公式进行推导。
性质四：尺度变换性质尺度变换性质指的是时域上的信号缩放会导致频域上的信号压缩。
设F[f(t)]表示函数f(t)的傅里叶变换，则有：F[f(a*t)]=，a，^(-1)*F[f(t/a)]其中a是常数。
这个性质的证明可以通过将f(a*t)展开成泰勒级数，并代入傅里叶变换的定义进行推导得到。
性质五：卷积定理卷积定理是傅里叶变换中最重要的性质之一、它指出卷积在频域上等于两个函数的傅里叶变换的乘积。
设f(t)和g(t)是两个函数，f(t)*g(t)表示它们的卷积，F[f(t)]和F[g(t)]表示它们的傅里叶变换，则有：F[f(t)*g(t)]=F[f(t)]*F[g(t)]其中*表示卷积，乘法表示两个函数的傅里叶变换的乘积。
这个性质的证明可以通过将卷积展开成积分形式，然后利用傅里叶变换的定义进行推导得到。
以上是傅里叶变换的几个重要性质及其证明。
这些性质使得傅里叶变换具有很强的分析和应用能力，在信号处理、图像处理、通信等领域得到广泛应用。
这些性质的正确性和证明对于理解和应用傅里叶变换非常重要。
傅里叶变换性质傅里叶变换的性质证明
F ( ) R ( ) j X ( ) R () jX () F * ()
五．时移特性
若 f(t) F (),
则 f(t t0 ) F ()e j t0 ;
若 F ()F ()ej() 则 f ( t t 0 ) F () e j ( ) t 0
utF 直流 12
余下部 f2(t)分 u(t)1 21 2sgtn),( utj1
f2t微f分 2tt1, f2(t)j1
ut
f1 t
dut f1t
1
dt
1 2
1
o
t
o
t
o
t
2．频域微分性质
若 f(t) F (),则 t( t f ) jF d d
或 j t( t f ) d F d
显然
R ftc ostdt
X
fts
intdt
R R
关于 的奇函数
X X
F F
已 F f t 知 F
F f t F
证明
当 F 1 a 0 时 ,设 f(a a b b t)t e j x t,d 则 tt x b ,d t 1 d x
aa
F 1 f(x )e j axeja ba 1d xa1Faejab
2 E ej24 E 2 E e j2 j2 F 2 F
F 1 2 2 E e j 2 4 E 2 E e j 2
122 E ej2 2 e j2
2 E 2 e j 4 e j 4 2 2 E 2 2 jsi4 n 2
2
对压 所 2 ： f缩 2 有 t 5 E S a e j 5 2
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
傅里叶变换的基本性质
傅里叶变换的基本性质（一）傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。
在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。
因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。
一、线性傅里叶变换是一种线性运算。
若则其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。
例3-6利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数。
解因由式(3-55)得二、对称性若则证明因为有将上式中变量换为x，积分结果不变，即再将t用代之，上述关系依然成立，即最后再将x用t代替，则得所以证毕若是一个偶函数，即，相应有，则式(3-56)成为可见，傅里叶变换之间存在着对称关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数。
式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。
例如：例3-7若信号的傅里叶变换为试求。
解将中的换成t，并考虑为的实函数，有该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性故再将中的换成t，则得为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。
三、折叠性若则四、尺度变换性若则证明因a＞0，由令，则，代入前式，可得函数表示沿时间轴压缩(或时间尺度扩展) a倍，而则表示沿频率轴扩展(或频率尺度压缩) a倍。
该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比，信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽倍数，反之亦然。
例3-8已知,求频谱函数。
解前面已讨论了的频谱函数，且根据尺度变换性，信号比的时间尺度扩展一倍，即波形压缩了一半，因此其频谱函数两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。
五、时移性若则此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。
它表明若在时域平移时间，则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变。
例3-9求的频谱函数。
解: 根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有六、频移性若则证明证毕频移性说明若信号乘以，相当于信号所分解的每一指数分量都乘以，这就使频谱中的每条谱线都必须平移，亦即整个频谱相应地搬移了位置。
傅里叶变换的性质
由于 满足绝对可积条件，其傅里叶变换不含冲激函数，故
10） 频谱如图 5.4-8(d)所示。
（5.4-
(a)
(b)
(c) 图 5.4-8 三角脉冲信号及其频谱 若傅里叶变换式对 求导，可得频域微分性质：
(d) （5.4-11）
例 5.4-6 利用频域微分性质求斜变函数 解
的傅里叶变换。
根据频域微分性质，有
4 傅里叶变换的性质
傅里叶变换建立了信号的时域与频域间的一般关系。实际上， 通过数学运算求解一个信号的傅里叶变换不是最终的目的，重要的是在信号分 析的理论研究与实际设计中能够了解当信号在时域进行某种运算后在频域将 发生何种变化，或反过来从频域的运算推测时域信号的变动。如果采用傅里叶 变换的基本性质求解复杂信号变换，不仅计算过程简单，而且物理概念清楚。
一、线性 傅里叶变换的线性性质包含齐次性与可加性，若
，
则
（5.4-1）
式中 、 为任意常数。
上面的结论可以容易地由傅里叶变换的定义式证明。即傅里 叶变换是一种线性运算，相加信号的频谱等于各个信号的频谱之和。
二、对偶性 若
则
如图 5.4-1 所示，其中
，
。
图 5.4-1 对偶性说明 证明 由逆傅里叶变换公式
（5.4-8）
图 5.4-7 符号函数及其频谱 利用常数 1 和符号函数的傅里叶变换，可求得阶跃函数的变换。由于
故有
（5.4-9）
阶跃函数的傅里叶变换在 处为
，在 处为
。
例 5.4-5 利用时域微分性质求图 5.4-8(a)所示三角脉冲 信号的傅里叶变换。
解 三角脉冲信号可表示为
对 求两次导数，波形如图 5.4-8(b)和(c)所示。根据微分性质得
信号分析与处理——傅里叶变换性质
1. 线性 2. 奇偶性 3. 对偶性 4. 尺度变换特性 5. 时移特性
6.
频移特性
7.
微分特性
8.
积分特性
9. 帕斯瓦尔定理
10. 卷积定理
1、线性（叠加性）
若:
x1 (t) X1 ()
x2 (t) X 2 ()
则: a1x1 (t) a2 x2 (t) a1 X 1 () a2 X 2 ()
Sa(t0
)e
j t0 2
2
由积分性质，可得 的x频2 (谱t)为
X 2 ()
X1() j
X1(0) ()
又因为： 所以得：
X1(0) 1
X 2 ()
1
Sa(
t0
)e
j
t0 2
j 2
()
9、帕斯瓦尔定理
若: x(t) X ()
则:
x(t) 2 dt 1 X () 2 d
2
式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式
2
)
由线性和时移特性，有:
X
2
()
3Sa(
3
2
)
X
()
1 2
e
j
5 2
X 1 ( )
e
j 5 2
X
2
()
e
j 5 2
1 2
Sa(
2
)
3Sa( 3
2
)
例：求三脉冲信号的频谱
g (t为)P36页的标准矩形脉冲信号
求如下三脉冲信号的频谱函数
x(t) g(t) g(t T ) g(t T )
解：
X () G()(1 e jT e jT ) G()(1 2 cosT ) E Sa( )(1 2 cosT )
序列的傅里叶变换的定义和性质
式中a, b为常数
3. 时移与频移
设X(e jω)=FT[x(n)]， 那么
改变相位
FFTT[[xx((nnnn00))]]eejjn0n0XX((eejj)) FFTT[[eejj00nnxx((nn))]]XX((eej(j(00)))
序列的傅里叶变换的定义和性质
h(n)= he(n)u+(n) h(n)= ho(n)u+(n)+h(o)δ(n)
u(n)
分段增 益函数
2, n 0 1, n 0 0, n 0
说明：实因果序列可以完全仅由其偶序列he(n)恢复，因为其
奇序列ho(n)中缺少n=0点h(n)的信息，因此由ho(n)恢复h(n)
时，需要补充一点h(o)δ(n)信息
h (o ), n 0
h0(，o ) n, =0n 0
he(n)
1 h (n ), n 0 2 1 h ( n ), n 0 2
ho (n)
1 h (n ), n 0 2 1 h ( n ), n 0
2
序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)分别用he(n)和ho(n)表示为
x(n)=cosωn+j sinωn 上式表明:共轭对称序列的实部是偶函数， 虚部是奇函数。
序列的傅里叶变换的定义和性质
(3) 任意序列可表示成共轭对称序列与共轭反对称序列之和
x(n)=xe(n)+xo(n)
xe(n), xo(n)和原序列x(n)有何关系？ 将上式中的n用-n代替， 取共轭：
x*(-n)=xe(n)-xo(n)
根据上面两式， 得到
xxee ((nn))
1 22
3.5傅立叶变换的性质与应用
线性与对称性
例4. 求:
1 F t
(ω ≠ 0)
解: 由符号函数的傅立叶变换对: 由符号函数的傅立叶变换对: Sgn(t)
2 jω
2 ∴ 2π Sgn(ω) = 2π Sgn(ω) jt
1 则 jπ Sgn(ω) : t
脉冲展缩与频带的关系
尺度特性 信号在时域中的扩展或压缩, 信号在时域中的扩展或压缩,将影响频谱的波形 若 f (t ) F ( jω ) 则
h(t ) H ( jω )
Y f ( jω ) = H ( jω ) F ( jω )
卷积定理
利用卷积定理证明时移特性: 利用卷积定理证明时移特性:
f (t t0 ) = f (t ) * δ (t t0 ) F ( jω )e jω t0
利用卷积定理证明频移特性: 利用卷积定理证明频移特性:
0
Aτ 4π τ
ω
τ
4
τ
4
τ
等效脉宽与等效频宽
F ( jω ) =
∫
∞
∞
f ( t )e
jω t
dt
1 ∞ jω t f (t ) = ∫∞ F ( jω)e dω 2π
∫
∞
∞
f ( t )d t = F (0)
F (0 ) B B
f f
∫
= 1
∞
∞
F ( jω )dω = f (0)
等效脉宽
1 ω f ( at ) F( j ) a a
(a ≠ 0)
若 a > 1: 时域压缩,则频域展宽; 若 : 时域压缩,则频域展宽; 若 0 < a < 1: 时域展宽,则频域压缩. 若 : 时域展宽,则频域压缩. 若 a = -1: 若 :
简述傅里叶变换
简述傅里叶变换傅里叶变换是现代数学、物理及工程学的基石之一，它能将一个时间域信号转换成一个频域信号，为各种信号处理、控制、通信、图像处理等领域提供了有力的工具，是第一次把两个物理量之间的变换相结合，并在证明中使用了一些非常复杂的数学方法以及接近两个世纪的科学发展而发明的。
一、傅里叶变换的定义傅里叶变换是指将一个时间域函数f(x)转换成一个频域函数F(u)的过程。
其定义是：$$F(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jux}dx$$其中，j为虚数单位，u为频率，f(x)为原信号，F(u)为转换后的频率信号。
该公式中，积分的上下限为负无穷到正无穷。
分析以上公式，可以发现傅里叶变换有以下几个特点：1. 将原信号f（x）从时域转换到频域；2. 傅里叶变换公式是一个积分表达式，波形的具体形式决定了计算的难度；3. 积分变量是虚数u，表示频率；4. 傅里叶变换是线性的。
二、傅里叶变换的性质1. 时间移位性质该性质指的是如果将函数f(x)向右移动a单位，则傅里叶变换的频域函数F(u)将乘以e^-j2πau：$$FT(f(x-a)) = F(u) \cdot e^{-j2\pi ua}$$2. 频率移位性质该性质是当函数f(t)乘以一个复指数时，经傅里叶变换后，其频率也将发生移位。
$$FT(e^{j2\pi Tu}f(t)) = F(u-T) $$其中T是一个常数，表示频域移位的量。
3. 线性性质傅里叶变换是线性的，即对于任何两个函数f1(t)和f2(t)，有：$$FT(af_1(t)+bf_2(t)) = aF_1(u)+bF_2(u)$$其中a和b是任何常数。
4. 傅里叶变换的共轭对称性傅里叶变换具有共轭对称性，即：$$F^*(u) = F(-u)$$5. 卷积定理该性质的表述是：f和g的卷积时f和g的傅里叶变换的乘积。
即：$$FT(f*g) = FT(f)\cdot FT(g)$$其中“*”表示卷积操作。
傅里叶变换性质
傅里叶变换性质证明1. 线性变换 F {fc f c 2211+}=c 1F {f1}+c 2F {f2} (1.1)证明： F {fc f c 2211+}=[]dx x x efc fc iwx-∞∞⎰+-2211)()( =dx x dx x efc efc iwxiwx⎰⎰∞∞---∞∞-+)()(2211=c 1F {f1}+c 2F {f2}2. 尺度变换性质如果f(x)的傅里叶变换存在且为F(w),则f(ax)的傅里叶变换为⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1。
(也可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1） 证明：因为 F {()ax f }=()dx ax f e iwx-+∞∞-⎰则，令du adx u a x ax u 1,1,===当a>0时， F {()u f }=()du u f ae ua wi -+∞∞-⎰1即，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 （或记为f(ax)↔⎪⎭⎫⎝⎛a w F a 1）当a<0时，a a -= 则，u adx u a x x a ax u 1,1,-=-=-== F {()u f }=()()du u f adu u f a ee u awi ua wi -+∞∞---∞∞+⎰⎰=11-综上所述，F {()ax f }=⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1 (亦或可记为 f(ax)↔⎪⎭⎫ ⎝⎛a w F a 1）物理意义：（1）0<a<1时域扩展，频带压缩； （2）a>1时域压缩，频域扩展； （3）a=-1，f(t)→f(-t);F(w)→F(-w)。
举个例子，1 -1≤t ≤1 f(t)=0 其他而函数f(t)的傅里叶变换F(w)为()()dt dt dt dt t f w F eeeeiwtiwtiwtiwt⎰⎰⎰⎰+∞----∞---+∞∞-∙++∙==111100()()ww w w sin 20sin 20∙=+∙+= f(t)图像为附属matlab代码：x=-10:0.01:10y=1.*(x>=-1&x<=1)+0.*(x<-1)+0.*(x>1)plot(x,y,'r','linewidth',2)axis([-10 10 0 2.1]) %在x取值[-10,10]内作图，在值域[0,1]内以0.2分度取值grid onF(w)的图像：附属代码：x=-10:0.01:10y=2.*sin(x)./xplot(x,y,'r','linewidth',2)grid on（1）当0<a<1时，我们任意取a=0.5，则1 -2≤t≤2f(0.5t)=0 其他同理，()() www F2sin=。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020傅里叶变换的性质2. 6.1线性若信号朋和朋的傅里叶变换分别为"佝)和吸),F[f1(t)]=F1(cy)?F[f2(t)]=F2(cy)则对于任意的常数a和b,有F[af l(t)+f2(t)]=aF»4-bF2(cy)将其推广,若仙)i=lA3…….n,则其中直为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a,即叠加性表明，儿个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和9■妣②+触）卜呗）］+屯⑵］2. 6. 2反褶与共轨性设f（t）的傅里叶变换为尸［处）W（◎严滋=F（w）,下面我们来讨论信号反褶、共轨以及既反褶乂共辄后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶f（-t）是f（t）的反褶，其傅里叶变换为（2）共轨（3）既反褶又共轨本性质还可利用前两条性质来证明：设g (t) =f (-t) , h(t)=g*(t),则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2. 6. 3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即(2-3S)根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34),由FT 的唯一性可得O f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X@)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X (3)二0,于是盹')胡：他ss 辭可见，若f("是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 F(-o) =F(co) = F 4((D )左边反褶，右边共轨O f(t)是实的奇函数,EP-f(t)=f(-t)R@)的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故qXcd) =arctaii这时R@)=0,于是戸⑷=- 2< f(t) sin伽同可见，若f(t)是实奇函数，则F@)是虚奇函数，即( [3/( j>-(o ，l^o 7 () 左边反褶，右边共轨有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。
傅里叶变换性质
四．尺度变换性质
第 9
页
若f
(t)
F (),则f
at
1 a
F a
, a为非零实常数
意义
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。 (2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
(3) a 1 f t f t, F F 。
X
第
(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
10
页
f t
F
E
E
o t
2
0
F
0
通信中调制与解调，频分复用。
X
七．微分性质
第 16
页
时域微分性质
f (t) F()，则f (t) jF()
频域微分性质
若f (t) F( ), 则tf (t) jd F d
d F
jtf (t)
d
jt n
f
(t)
dn F
d n
或
t n f (t) jn F n
X
1．时域微分
1、f(t)是实函数
实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶、 奇函数
若f(t)是实偶函数，F(ω)必为ω的实偶函数
F f ( t )e j t d t
20 f ( t )cost d t
若f(t)是实奇函数，F(ω)必为ω的虚奇函数
F
f
(
t
)e
j
t
d
t
2 j f ( t )sint d t
0
X
第
2、 f(t)是虚函数
7 页
令 f t jgt
F jgt e jt dt
jgt cos( t )dt gt sin( t )dt
信息光学基础1-6傅里叶变换性质
2
f
b 2
e
j
2
f
b 2
]
Hale Waihona Puke j2 f b e j2 fa sin( bf ) bf
b e j2 fa sin c(bf )
解法二： 比例和位移性质
F sin(2
f0 x)
1 2j
[d (
fx
f0 )
d
(
fx
f0 )]
F cos(2
f0 x)
b
解法一：根据傅里叶变换的定义
F 1{rect( x a )} rect( x a ) e j2 fx dx
b
b
b 2
a
e j2 fxdx
b 2
a
j 2 fx
b 2
a
[e ]
b 2
a
j2 f
e j2 fa
[e
j
d(x)
x
d (x a)g(x)dx g(a)
d(x)函数的筛选性质
1 ei2 fxdf d (u)
2）rect 函数的傅里叶变换
f
(x,
y)
rect(x,
y)
1
0
x
1 2
,
y
1 2
其它
解：F{rect(x)}
rect(x)exp(i2 fx)dx
1 2
(ei 2
f0x
ei 2
) f0 x
1 F{ei2 f0x} 1 F{ei2 } f0x
傅里叶变换的性质
Sgn(t)
1
eat
1
eat t
lim
a0
a2
j2 2
2
j
2
j2 f
1
j f
uo (t)
1 2
Sgn(t)
1
j
u(t) 1 () j
14
7.对偶性: Duality
若 x(t) X ( j) 则 X ( jt) 2 x()
证明： x(t) 1 X ( j)e jtd
2
2 x() X ( jt)e jtdt
对称 : F (t)
2f ()
相似 : f (at) (a 0)
|
1 a
|
F
a
翻转 : f (t)
F ()
20
乘积定理 若F()=F [f(t)], G()=F [g(t)], 则
f (t)g(t) d t
1
F ()G() d (1.20)
2
证
f (t)g(t) d t
u(t) ue (t) uo (t)
1 ue (t) 2
uo (t)
1 2
Sgn(t)
1, t 0
Sgn(t)
1, t 0
u(t)
1
t
0
ue (t)
1/2
t
0
uo (t)
1/2
t
0
-1/2
13
ue(t) ()
Sgn(t) lim[eatu(t) eatu(t)] a0 [Sgn(t)] lim[ 1 1 ] a0 a j a j
X ( jt) 2 x()
利用时移特性有 X[ j(t t0 )] 2 x()e jt0
傅里叶变换频域积分证明
傅里叶变换频域积分证明傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的重要工具。
它可以将一个信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，并提供了一种计算信号在频域上性质的方式。
傅里叶变换在信号处理、通信工程、图像处理等领域都有着广泛的应用。
我们假设有一个信号函数x(t)，其傅里叶变换为X(ω)，即：X(ω) = ∫[x(t) * e^(-jωt)]dt其中，j是虚数单位，ω是频率。
根据反射定理，我们知道下面的傅里叶变换的积分公式成立：x(t)=1/(2π)∫[X(ω)*e^(jωt)]dω其中，X(ω)是信号的傅里叶变换。
我们将上述积分公式两边都沿ω轴从负无穷到正无穷进行积分，得到：∫[x(t)]dt = 1/(2π) ∫[∫[X(ω) * e^(jωt)]dω]dt根据二重积分的计算顺序原则，我们可以将上式中关于ω的积分与关于t的积分顺序进行交换。
这样我们就可以得到：∫[x(t)]dt = 1/(2π) ∫[∫[X(ω) * e^(jωt)]dt]dω根据积分的线性性质，我们知道∫[e^(jωt)]dt = 2πδ(ω)，其中δ(ω) 是狄拉克函数。
将上式带入，我们得到：∫[x(t)]dt = 1/(2π) ∫[X(ω) * 2πδ(ω)]dω化简可以得到：∫[x(t)]dt = ∫[X(ω)]dω这个等式是傅里叶变换频域积分的证明。
这个等式的意义是，信号在时域上的积分等于在频域上取频率为0时的傅里叶变换的积分。
傅里叶变换频域积分的证明过程比较简单，主要是通过交换积分顺序和利用狄拉克函数的性质进行推导。
这个结论在信号处理中有着广泛的应用。
比如，我们可以通过在频域上对信号的傅里叶变换进行积分，来求得信号在时域上的积分。
这对于求解信号的能量、功率、均值等性质都有着重要的意义。
总结起来，傅里叶变换频域积分的证明是通过交换积分顺序和利用狄拉克函数的性质。
该等式的意义是信号在时域上的积分等于在频域上取频率为0时的傅里叶变换的积分。
傅里叶变换性质证明
傅里叶变换性质证明The final revision was on November 23, 2020傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号和的傅里叶变换分别为和，则对于任意的常数a和b，有将其推广，若,则其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和?2.6.2 反褶与共轭性设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为（2）共轭（3）既反褶又共轭本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质2.6.3 奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即?根据定义，上式还可以写成下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得（）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即左边反褶，右边共轭（）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换的性质Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】傅里叶变换的性质本质就是信号的时域运算关系在傅里叶变换域中的体现，也是求解信号傅里叶变换的基本手段。
傅里叶变换具有唯一性。
傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。
讨论傅里叶变换的性质，目的在于：1. 了解特性的内在联系2. 用性质求3. 了解在通信系统领域中的实用这些性质在内容和形式上具有某种程度的对称性。
§对称性质1．性质2．意义例3-7-1例3-7-2例3-7-3§ 线性1．性质§ 奇偶虚实性奇偶虚实性实际上在§的“傅里叶变换的特殊形式”中已经介绍过。
1.证明：由定义可以得到2.若，则证明：设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然§ 尺度变换性质1. 性质：2. 证明：综合上述两种情况3．意义(1) 0<a<1 时域扩展，频带压缩。
脉冲持续时间增加a倍，信号变化减缓，信号在频域的频带压缩a倍。
因此高频分量减少，幅度上升a倍。
(2) a>1 时域压缩，频域扩展a倍。
持续时间短，变化加快。
信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍。
此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比，有时为加速信号的传递，要将信号持续时间压缩，则要以展开频带为代价。
§ 时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，例3-7-8求下图所示函数的傅里叶变换。
解：由对称关系求，又因为得幅频、相频特性分别如下图所示。
幅度频谱无变化，只影响相位频谱§ 时移+尺度变换1. 性质：2. 证明： (仿的证明过程)当时，设，则例3-7-9方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换两种方法结果相同。
§ 频移特性1．性质2．证明4．应用通信中调制与解调，频分复用§ 频移特性1．性质2．证明4．应用通信中调制与解调，频分复用§ 时域微分性质1．性质即3. 特别注意如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出直流分量单独求傅里变换，余下部分再用微分性质。
傅里叶变换性质证明
2.6傅里叶变换的性质2.6.1线性若信号「和J的傅里叶变换分别为一「；和FJ-,则对于任意的常数a和b,有将其推广，若- - - 「出■,则其中匚为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a,则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即卩叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和砒心©］的©卜伽）12.6.2反褶与共轭性设f(t) 的傅里叶变换为F面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换（1）反褶f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为綁new九(2) 共轭=匸施)时论匸加門(幼因为曲是实数，所以(dtr=dt 彳寻共觇提到积分之外根据傅里叶变换的定义(3) 既反褶又共轭町(卯訂:厂(号叫fe本性质还可利用前两条性质来证明：设g(t)=f(-t) ，h(t)=g*(t)，则*曾筍％芳遛凸■_苗苫在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此，无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质FLTH)] = F® 町甘D FLH 心FH)2.6.3奇偶虚实性已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示 成模与相位或者实部与虚部两部分，即下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t) 为实函数对比式(2-33)与(2-34)，由FT 的唯一性可得尺(耐=][/(f)cosaf 址(1.1)f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X( )=0，于是可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即 匚】：’匚° :左边反褶，右边共轭 (1.2)f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t)R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时R( )=0，于是FQ)=卩(询片 眄' =盹)+歼询)根据定义，上式还可以写成(2-33)呎弊)=arc tan［制(曲)=2[f(唧)=-2小幷)sin(曲)dt可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即咆=[北)严自=[伽沁伽皿左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号(即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性)的FT频谱特点。
23傅里叶变换性质及定理(精)
e
f x e jx dx
F je jt0
时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号
振幅频谱，仅使信号增加一 t0 线性相位。
例2.3-1 求如图2-15所示信号 f1 t 的频谱函数 F1 ，
并作频谱图。
解
f1 t 与门函数的关系为
0
f t e j0t e jt dt
f t e j 0 t dt F 0
j0t 相乘， e 频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子
则在频域中将使整个频谱搬移 0 。通信技术中的调制 是将频谱在 0 附近的低频信号乘以e j0t ，使其频谱
f u t e jt dt d
f
1 j e d j
j
f e
d
1 j f e d j
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f t 的频谱函数 F 。
f t
E
/ 2
0
/2
t
（a）
解：
2 E 1 t f t 0
t t
2 2
2E / f1 t f t 2 E /
f1 t Ef t
f1 t
2
E
由上节门函数的变换
f t F Sa
0
t
2
2
再由线性与时移性，得到
傅里叶变换的对称性证明
傅里叶变换的对称性证明在傅里叶变换中，对称性是一个重要的性质。
对称性分为时间对称和频率对称两种情况，分别对应于函数f(x)和其傅里叶变换F(k)之间的对称性。
接下来，我们将证明傅里叶变换的对称性。
首先，我们来证明时间对称性。
假设函数f(x)在时域中是一个偶函数，即f(x)=f(-x)。
我们将其傅里叶变换表示为F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx。
我们可以将变量x替换为-x，得到F(k) = ∫f(-x)e^(2πikx)dx =∫f(x)e^(2πikx)dx。
由于f(x)和f(-x)相等，所以F(k)和F(-k)也相等，即F(k) = F(-k)。
这就证明了当函数f(x)是偶函数时，傅里叶变换是关于k=0对称的。
同样地，我们可以证明当函数f(x)是奇函数时，傅里叶变换是关于k=0对称的。
假设函数f(x)在时域中是一个奇函数，即f(x)=-f(-x)。
我们将其傅里叶变换表示为F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx。
我们可以将变量x替换为-x，得到F(k) = ∫f(-x)e^(2πikx)dx =-∫f(x)e^(2πikx)dx。
由于f(x)和-f(-x)相等，所以F(k)和-F(-k)也相等，即F(k) = -F(-k)。
然而，当k等于0时，F(k)和-F(-k)相等，即F(0) = -F(0)。
由于任何数与其相反数相等，所以F(0)必然等于0。
这就证明了当函数f(x)是奇函数时，傅里叶变换是关于k=0对称的。
接下来，我们来证明频率对称性。
假设函数f(x)的傅里叶变换表示为F(k) = ∫f(x)e^(-2πikx)dx。
我们将F(k)表示为F(f)，其中f是一个频率变量。
根据复共轭对称性，我们有F(-f)的复共轭等于F(f)。
我们可以将傅里叶变换的定义展开，得到F(-f) =∫f(x)e^(2πifx)dx。
我们可以通过变量替换，将x替换为-x，得到F(-f) = ∫f(-x)e^(-2πifx)dx。
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2.6 傅里叶变换的性质
2.6.1线性
若信号和的傅里叶变换分别为和，
则对于任意的常数a和b，有
将其推广，若,则
其中为常数，n为正整数。
由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质.
显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。
均匀性表明，若信号乘以常数a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数a，即
叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和
2.6.2 反褶与共轭性
设f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。
（1）反褶
f(-t)是f(t)的反褶，其傅里叶变换为
（2）共轭
（3）既反褶又共轭
本性质还可利用前两条性质来证明：
设g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则
在上面三条性质的证明中，并没有特别指明f(t)是实函数还是复函数，因此,无论f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质
2.6.3 奇偶虚实性
已知f(t)的傅里叶变换为。
在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即
根据定义，上式还可以写成
下面根据f(t)的虚实性来讨论F()的虚实性。
(1) f(t)为实函数
对比式(2-33)与(2-34)，由FT的唯一性可得
（1.1）f(t)是实的偶函数，即f(t)=f(-t)
X()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时X()=0，于是
可见，若f(t)是实偶函数，则F()也是实偶函数，即
左边反褶，右边共轭
（ 1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R()的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故这时R()=0，于是
可见，若f(t)是实奇函数，则F()是虚奇函数，即
左边反褶，右边共轭
有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关心信号的奇偶特性）的FT频谱特点。
2.6.4对称性
傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。
若已知
F()=F[f(t)] 则有F[f(t)]=2лf(-)
证明：因为
将变量t与互换，再将2乘过来，得上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是F(t)
所以F[F(t)]=2лf(-)
若f(t)为偶信号，即f(t)=f(-t)，则有F[F(t)]=2f()
从上式可以看出，当f(t)为偶信号时，频域和时域的对称性完全成立――即f(t)的频谱是F()，F(t)的频谱为f()。
若f(t)为奇信号，即f(t)=-f(-t)，则有F[F(t)]=-2f()
利用FT的对称性，我们可以很方便地一些信号的傅里叶变换。
下面我们举些例子来说明这一点。
2.6.5 尺度变换
若F[f(t)]=F()，则
这里a是非零的实常数。
下面利用FT的定义及积分的性质，分a>0和a<0两种情形来证明傅里叶变换的尺度变换特性。
证明：因为
令at=x，
当a > 0时
当a < 0时
上述两种情况可综合成如下表达式：
由上可见，若信号f(t)在时域上压缩到原来的1/a倍，则其频谱在频域上将展宽a倍，同时其幅度减小到原来的1/a。
尺度变换性质表明，在时域中信号的压缩对应于频域中信号频带的扩展，反之，信号的时域扩展对应于频域的压缩。
对于a=-1的特殊情况，它说明信号在时域中沿纵轴反褶等效于在频域中频谱也沿纵轴反褶。
对傅里叶变换的尺度变换特性最通俗的解释可以采用生活中的实例来说明，在录音带快放时，其放音速度比原磁带的录制速度要快，这就相当于信号在时间上受到了压缩，于是其频谱就扩展，因而听起来就会感觉到声音发尖，即频率提高了。
反之，当慢放时，放音的速度比原来速度要慢，听起来就会感觉到声音浑厚，即低频比原来丰富了（频域压缩）。
2.6.6 时间平移(延时)
下面进行证明
证明：
上式右边的积分项为傅里叶变换定义式，
于是可以得到
同理可以得到
2.6.7 时域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边对t求导，可得
所以
同理，可以推出
由上可见，在时域中f(t)对t取n阶导数等效于在频域中f(t)的频谱F()乘以(j)n. 下面举一个简单的应用例子。
若已知单位阶跃信号u(t)的傅里叶变换，可利用此定理求出(t)的FT
2.6.8 频域微分
若F[f(t)]=F()，则
证明：因为，两边分别对求导，可得
所以
2.6.9 时域积分
可见，这与利用符号函数求得的结果一致。
2.6.10 频域积分
若F[f(t)]=F() ，则有
2.6.11 时域卷积定理
2.6.12 频域卷积定理
与时域卷积定理类似，
证明方法同时域卷积定理，在这里不在重复，同学们可自己证明。
由上可见，两个时间函数频谱的卷积等效于两个时间函数的乘积。
或者说，两个时间函数乘积的频谱等于各个函数频谱乘积乘以1/2。
显然，时域与频域卷积定理是对称的，这是由傅里叶变换的对称性决定的。
2.6.13 帕斯瓦尔定理
前面我们在讲信号分解时，提及帕斯瓦尔定理。
下面我们来研究一下该定理在FT中的具体表现形式。
若F[f(t)]=F() ，则
这就是帕斯瓦尔定理在傅里叶变换中体现，它表明了信号的能量在时域与频域是守恒的。
下面利用FT的定义和性质，推导信号能量的求解。
式中是信号f(t)的总能量，为信号f(t)的能量谱密度。
帕斯瓦尔定理表明，这个总能量既可以按每单位时间的能量|f(t)|2在整个时间内积分计算出来，也可以按单位频率内的能量/2在整个频率范围内积分来得到。
此定理也可以如下证明。
由相关性定理可得
取t=0，即得帕斯瓦尔定理。