上机作业

上机实验
1． 观察对于非光滑函数进行多项式插值的可能性：在[0,1]上取()|sin |f x k x π=，选择不
同的k 和n 用等距结点做n 次拉格朗日多项式插值，观察误差大小和收敛情况。

2． 用最小二乘法求一形如w ct λ=的经验公式（其中c 和λ是待定数），使与下列的数据相
拟合。

3． 用龙贝格方法计算10
sin x dx x
⎰
，使截断误差不超过
6
110
2
-⨯。

这里，定义
sin 010
=。

4． 研究一般迭代公式的复杂行为，初步看到混沌现象。

内容：迭代公式1(1)(0,1,)k k k x x x k λ+=-= ，取[0.2,4]中不同的λ值，并取
0(0,1)x ∈进行计算。

画出对应于不同的λ，迭代序列{}(50)k x k >的图形。

5． 用SOR 方法（分别取ω=1.0, ω=1.1）解方程组
1234564
1
01
021410101
0140012
10041020101411
010142x x x x x x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
要求当5
||||10b Ax -∞-<时迭代终止，输出迭代次数，解。

6．以Hilbert 矩阵为例，研究处理病态问题是可能遇到的困难。

Hilbert 矩阵定义为
11/21/1/2
1/31/(1)
1/1/(1)
1/(21)n n
n H n
n n ⎡⎤⎢⎥
+⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
+-⎣⎦
它是一个对称正定矩阵，其条件数随n 的增加迅速增加。

（1） 画出2ln(())n cond H n 之间的曲线，观察它们之间的关系。

其中2()n cond H 表
示矩阵在2范数下的条件数，它可按如下公式计算：
121(),,n n n n
cond H H λλλλ=
分别是的最大特征值和最小特征值。

（2） 设D 是n H 的对角元素开方构成的对角矩阵，令11ˆn n
H D H D --=，不难看出ˆn H 依然是对称矩阵，且对角元素都是1（n H 变为ˆn
H 的技术称为预处理），画出2
ˆln (())n c o n d H n 之间的曲线，观察它们之间的关系。

（3） 对
于
41n ≤≤，
给定不
同
的右端项b,分别用
1
1
1
1
123
ˆ;
(
)
;\n
n
n
x H b x
D H D b x H b ----=
==（这是Matlab 的一条命令）求解
n H x b =，比较计算结果123,,x x x 。

7. 观察显式欧拉方法的收敛性：取h=0.1,0.01,0.001,…,用显式欧拉方法求解
1/3
,(1)1y xy
y '==
计算到y(2),并与精确解23/2()[(2)/3]y x x =+比较. 8． 试用经典的R-K 方法求解下列初值问题（取h=0.1）：
(0)0y x y
y '=+⎧⎨=⎩
， 并将计算结果与精确解()1y x x =--进行比较。