浙教版初中数学关于动点问题的总结

浙教版 初中数学 关于动点问题的总结

“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静

关键:动中求静.

数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想

函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,和动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,

一、应用勾股定理建立函数解析式

例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、

GP 、GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是

GH=32NH=2

132⋅OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362

121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中, .

∴y =GP=

32MP=23363

1x + (0

①GP=PH 时,x x =+23363

1,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意.

②GP=GH 时, 23363

12=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH 时,2=x . 综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

H M N G

P O A B 图1

例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y .

(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=

∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°

,

又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,

∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =, ∴11x y =, ∴x

y 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠

ABC=290α-

︒,且函数关系式成立, ∴290α-

︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式x

y 1=

成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠

ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为

圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域. (3)当BF=1时,求线段AP 的长.

解:(1)连结OD. 根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP. 又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE

∽△AEP.

(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54x AD =, A E

D C B 图2 A

3(2) 3(1)

∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 5

8. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y x 5

85458=. ∴x y 516= (8

250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE,

∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.

∴5-x 58=4,得8

5=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2.

类似①,可得CF=CE.

∴5-x 58=2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时,

△AOC 的面积.

解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H. ∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=2

1BC=2. ∴OC=4-x . ∵AH OC S AOC ⋅=∆2

1, ∴4+-=x y (40<

x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-

. ②当⊙O 与⊙A 内切时,

在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得2

7=x . A

B C

O 图8 H