八年级数学上册_全等三角形(常见辅助线)

连接DB,DC
B
E
C
M
F
D
垂直平分线上点向两端连线段
Ⅳ.中线延长一倍
1 1.AD是△ABC的中线， 求证： AD ( AB AC ) 2
延长AD到点E，使DE=AD， 连结CE.
A
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
B
C D
E
截长 补短
已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2 A 求证:AB=AC+CD
专题学习
----几何证明中常见的 “添辅助线”方法 ----“周长问题”的转化
Ⅰ.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B A C
D
1.连结AC
构造全等三角形
2.连结BD 构造两个等腰三角形
Ⅰ.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点. A 连结AC、AD
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”
1.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB, DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
BE+BD+DE BE+BD+CD BE+BC BE+AC BE+AE AB
A E B C D
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
O
D
B
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
目的:构造直角三角形,得到距离相等 典例1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
E A
过点D作DE⊥AB
Bwenku.baidu.comD C
构造了: 全等的直角三角形且距离相等
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
构造全等三角形
B E
C
M
D
Ⅰ.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD 的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC A 连结AD
构造全等三角形
B M D N C
Ⅰ.连结
典例4:如图,AB与CD交于O, 且AB=CD，AD=BC， OB=5cm，求OD的长. C A 连结BD
构造全等三角形
E B
1 2
D
C F
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF
如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D E
4 3
C
1 2
A
F
B
截 长 补 短
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
2.如图,△ABC中, D在AB的垂直平分线上, E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求△ADE的周长.
AD+AE+DE BD+CE+DE BC
B D E C A
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
3.如图,A、A1关于OM对称, A、A2关于ON对称. 若A1 A2 =6cm,求△ABC的周长.
B A N
M
C
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”
5.如图, △ABC中，BP、CP是△ABC的角平分线，MN//BC. 若BC=6cm, △AMN周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+AC+BC AM+ BM+AN+NC+6 AM+ MP+AN+NP+6 AM+AN+MN+6 13+6
过点D作DE⊥AB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
B E D C A
思考: 若AB=15cm,则△BED的周长是多少
?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
过点E作EF⊥BC 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
B M P N C A
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
C B F E
A
D
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o, BE、CE均是角平分线, 求证:BC=AB+CD.
延长BE和CD交于点F 构造了: 全等的直角三角形
C B
A
E
D
F
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅱ.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠DOE +∠DPE =180o, A 求证: PD=PE.
过点P作PF⊥OA,PG ⊥OB 构造了: 全等的直角三角形且距离相等
D O G E B F C P
思考: 你从本题中还能得到哪些结论?
Ⅲ.垂直平分线上点向两端连线段
目的:构造直角三角形,得到斜边相等
△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与 BC的垂直平分线DM相交于D，过D作 DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。 A 求证：BE=CF
AB+AC+BC
A1
B A O N C A2 M
A1 B+ A2 C+BC
A1 A2
Ⅴ.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”
4.如图, △ABC中，MN是AC的垂直平分线. 若AN=3cm, △ABM周长为13cm，求△ABC的周长.
AB+BC+AC AB+ BM+MC+6 AB+ BM+AM+6 13+6