初一专题：全等三角形常见辅助线

∴∠D=∠ABM， 在△ABM和△ADF中
​ AB=AD ∠ABM=∠D BM=DF
∴△ABM≌△ADF(SAS)
∴△FAE≌△MAE(SAS) ∴EF=EM=BE+BM=BE+DF 即EF=BE+DF
∴AF=AM，∠DAF=∠BAM
∵∠BAD=2∠EAF
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF
∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF
解：∵AB∥CD ∴∠ABC+∠DCB=180° ∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD
∴△BCE≌△FCE(ASA) ∴BC=FC，BE=FE ∵AB∥CD ∴∠ABE=∠F 在△ABE与△DFE中
∴∠BEC=180°-(∠EBC+∠ECB)=180°-90°=90°
∴BE⊥CE 故④正确；
如图，延长BE交CD延长线于F ∵∠BEC=90° ∴CE⊥BF ∵CE平分∠BCD ∴∠BCE=∠FCE 在△BCE与△FCE中
解：问题背景：EF=BE+DF
证明如下：
在△ABE和△ADG中
DG=BE
∠B=∠ADG
AB=AD ∴△ABE≌△ADG(SAS) ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ∵∠EAF=1/2∠BAD ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF
=∠BAE+∠DAF =∠BAD-∠EAF =∠EAF ∴∠EAF=∠GAF
பைடு நூலகம்
在△AEF和△GAF中
在△FAE和△MAE中 AE=AE ∠FAE=∠MAE AF=AM
半角模型必旋转， 半角两头三角形旋转在一起 半角对边=两头三角形同顶点对边之 和
6. (偏难) 问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线 段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明 △ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_____；
=∠BAE+∠DAF
=∠BAD-∠EAF =∠EAF ∴∠EAF=∠GAF 在△AEF和△GAF中 AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF
∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴EF=FG ∵FG=DG+DF=BE+DF ∴EF=BE+DF
6. (偏难) 问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC， CD上的点，且∠EAF=1/2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
探索延伸：结论EF=BE+DF仍然成立 理由：延长FD到点G．使DG=BE． 连结AG，如图②
在△ABE和△ADG中
DG=BE
∠B=∠ADG AB=AD ∴△ABE≌△ADG(SAS) ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG ∵∠EAF=1/2∠BAD ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF
和
∴△BDF≌△CND(SAS) ∴∠BDF=∠CDN，DF=DN ∵∠MDN=60° ∴∠BDM+∠CDN=60° ∴∠BDM+∠BDF=60° 在△DMN和△DMF中
∴△DMN≌△DMF(SAS) ∴MN=MF ∴△AMN的周长=AM+AN+MN
=AM+MB+BF+AN
=AB+AC
=20(cm)
5. (偏难) 如图，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°， 点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足什么关系时，仍有 EF=BE+DF．
解：当∠BAD=2∠EAF时，满足EF=BE+DF 理由：如图，延长CB至M，使BM=DF，连接AM
∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°
1. (偏难) 如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线， CE垂直于BD的延长线，若BD=12．求CE长．
解：延长CE、BA交于O ∵∠BAC=90° ∴∠CAO=∠BAD=90°
思路： 角平分线+垂直，构造双全等
∵CE⊥BE
∴∠BEO=∠BEC=90°
∴∠O+∠OCA=90°，∠O+∠DBA=90°
∴∠OCA=∠DBA
在△BAD和△CAO中
∴△BAD≌△CAO(ASA) ∴BD=OC=12 ∵BE平分∠CBA ∴∠CBE=∠OBE 在△CBE和△OBE中
思路： 角平分线构造全等
3. (偏难) 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点E是边AD上的点，BE平分 ∠ABC，CE平分∠BCD，有下列结论：①AD=AB+CD，②E为AD的中点，③ BC=AB+CD，④BE⊥CE，其中正确的有___②_③_．④(填序号)
解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120° ∴∠BCD=∠DBC=30° ∵△ABC是边长为10cm的等边三角形
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60° 半角模型必旋转， ∴延 在∠长△DABBBDA至F=和∠FD△，CC使AN=BD9F0中=°CN，连接DF半半角角两对头边三=两角头形三旋角转形在同一顶起点对边之
∴△ABE≌△DFE(ASA)
∴AB=DF ∴BC=CF=CD+DF=CD+AB 故③正确 ∵△ABE≌△DFE ∴AE=DE，即点E为AD的中点，
故②正确 思路：
∵AD≠BC 角平分线+垂直，构造双全等
∴AD≠CD+AB 故①错误
4. (中) 如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且 ∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于 点N，连接MN，则△AMN的周长为_____．
AE=AG ∠EAF=∠GAF AF=AF ∴△AEF≌△AGF(SAS) ∴EF=FG ∵FG=DG+DF=BE+DF ∴EF=BE+DF
6. (偏难) 问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°， ∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线 段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点 G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF， 可得出结论，他的结论应是_E_F_=_B_E_+_D_F； 探索延伸：