初升高数学衔接课程——一元二次方程⑴

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初高中衔接一元二次方程的常用解法

第一讲一元二次方程的解法一、一元二次方程的标准形式02=++c bx ax （a ，b ，c 为常数，x 为未知数，且a≠0）。

二、一元二次方程的根的个数的判别通过ac b 42-=∆的根的判别式可以判断一元二次方程有几个根1.当ac b 42-=∆<0时，x 无实数根2.当ac b 42-=∆=0时，x 有两个相同的实数根即x 1=x 23.当ac b 42-=∆>0时，x 有两个不相同的实数根三、一元二次方程的解法1．配方法二次系数化为一，常数要往右边移，一次系数一半方，两边加上最相当如：解方程： 06222=-+x x2．公式法当判断完成后，若方程有根则可根据公式：aac b b x 242-±-=来求得方程的根思考：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是如何得到的？如：解方程： 06222=-+x x3．因式分解法因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种）”和“十字相乘法”。

如：解方程：062)2(034)1(22=-+=+-x x x x思考：十字相乘法的本质是什么？巩固练习一．选择题1．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（）A ．（k 2+1）x 2－4=0B ．x 2+3xy+2=0C ．21x +1x －3=0 D ．x 2+3x=x 2－2 2．方程x 2=4x 的解是（）A ．x=4B ．x=2C ．x=4或x=0D ．x=03.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x ²－12x ＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是( )A . 24B . 24或16C . 16D . 224．方程y 2－2my+4（m －1）=0的根的情况为（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．没有实数根5．若x=0是方程0823)2(22=-+++-m m x x m 的根，则m=（）A 、－4或2B 、4C 、－4D 、26*．若a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的二次三项式)(3)(22ca bc ab x c b a x ++++++为完全平方式，则△ABC 是（）A 、直角三角形B 、等边三角形C 、等腰直角三角形D 、只有两边相等的等腰三角形二，填空题1．一元二次方程（x+2）2－x=3（x 2+2）化为二次项系数大于零的一般形式是___ _，它的一次项是__ _，•常数项是__ _．2．若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=________．3．已知一元二次方程230x bx c ++=的两个根分别是2，—3则，b= ，c= ；4．关于x 的一元二次方程x 2－2x+m=0有两个实数根，则m 的取值范围是______．5．写出一个以6，和8为两根的一元二次方程6*．若m ，n 是方程0120092=-+x x 的两个实数根，则mn n m mn -+22的值是_______.三．试说明，不论m 取何值，关于x 的方程x 2-3x+2-m 2=0总有两个不相等的实根．四．在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x 的方程()2260x b x b +++-=有两个相等的实数根．．．．．．．．．，求△ABC 的周长．五*．已知x 1，x 2是一元二次方程（k+1）x 2+2kx+k －3=0两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围．（2）在（1）条件下，当k 为最小整数时一元二次方程x 2－x+k=0与x 2+mx －m 2=0•只有一个相同的根，求m 值．。

一元二次方程-走进新高一初升高数学完美衔接课

初高中衔接教材一元二次方程1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般式：.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的.（1时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3时，一元二次方程没有实数根.5.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）如果一元二次方程的实数根分别为、，则，.一元二次方程的根的判别式都成立，主要应用有以下几个：（1）不需要解方程就可以判定方程根的情况；（2）根据系参数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题；（4）已知方程的一个根，不需要解方程求另一个根与参数系数；（5）已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；（6）已知方程两个根，求以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.例1：根的判别式的应用（1）（2）【解答】（1）两个不相等的实数根；（2）两个实数根.【解析】（1）在中，，，∴方程有两个不相等的实数根；（2）方程是一元二次方程，常数项为0，无论取任何实数，均为非负数，，故方程有两个实数根.例2：根的判别式的逆运用关于的一元二次方程.（1）k为何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）k为何值时，方程有两个相等的实数根？（3）k为何值时，方程没有实数根？【解答】见解析.（1）∵方程有两个不相等的实数根，，即，解得；（2）∵方程有两个相等的实数根，，即，解得（3）∵方程没有实数根，，即，解得.例3：通过根的判别式推理论证求证：关于的方程没有实数根.【解答】见解析【解析】∵不论m取任何实数，，∴，巩固练习一．选择题1．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5B．﹣1，3C．﹣3，1D．﹣1，52．的实数根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．若x为任意实数，且M＝（7﹣x）（3﹣x）（4﹣x2），则M的最大值为（）A．10B．84C．100D．1214．已知x，y为实数，且满足x2﹣xy+4y2＝4，记u＝x2+xy+4y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A B．C D二．填空题5．若关于x的方程（1﹣m2）x2+2mx﹣1＝0的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是．6．若方程x2+2（1+a）x+3a2+4ab+4b2+2＝0有实根，则＝7．已知，则的值等于．8．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2＝0的两个根记为a n、b n，则＝．9．已知a是方程x2﹣2013x+1＝0一个根，求a2﹣2012a的值为．三．解答题10．当m为整数时，关于x的方程（2m﹣1）x2﹣（2m+1）x+1＝0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．11．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k+1）x+4（k﹣0．（1）求证：这个方程总有两个实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．12．已知实数a，b，c满足：a2+b2+c2+2ab＝1，又α，β为方程（a+b）x2﹣（2a+c）x﹣（a+b）＝0的值．13．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣x﹣1＝0（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．14．今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在零售价基础上每箱降价3m%m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值．15．某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．（1）当售价为22万元/辆时，求平均每周的销售利润．（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．16．某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件，通过调查发现，该商品若每件涨0.5元，其销量就减少10件．（1）请你帮店主设计一种方案，使每天的利润为700元．（2）将售价定为多少元时，能使这天利润最大？最大利润是多少元？17．每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前某日去批发市场进货，购进甲乙丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本．（1）本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进丙款笔记本多少本？（2）经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本．如果将乙款笔记本的零售元（a＞25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款笔记本每天的销售量将下降a%，丙款笔记本每天的销售量将上升%，甲款笔记本每天的销量仍保持不变；若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值．18．某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？19．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？20．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱．（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元．（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由．21．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，且所种桃树要少于原有桃树，那么应多种多少棵桃树？22．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量减少10个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？。

初高中数学衔接课程教案08-一元二次方程的根与系数关系

初高中数学衔接课程教案08一元二次方程的根与系数关系一、知识点梳理1、概念：形如()002≠=++a c bx ax 的方程成为一元二次方程；2、配方法对一元二次方程进行配方得到方程：222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 3、判别式∆从配方之后的方程可以看出：原方程有没有解，取决于代数式ac b 42-的正负；基于ac b 42-的重要性，令ac b 42-=∆称为该一元二次方程判别式，决定了一元二次方程解得个数问题；（1）若0>∆，原方程有两个不相等的实数根，这两个根是aacb b x 2422,1-±-=；（2）若0=∆，原方程有两个相等的实数根，ab x x 221-==；（3）若0<∆，原方程没有实根； 4、韦达定理当上述一元二次方程有实数解时，aacb b x 2422,1-±-=（两个相等实根的情形也可以写成这样的形式）现在考察21x x +，21x x ⋅；aca acb b a ac b b x x aba b a b x x =---⋅-+-=⋅-=∆--+∆+-=+242422222121二、典型例题例1、若关于x 的方程012=++x ax 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围？解：当0=a 时，原方程显然只有一个实根1-=x ；当0≠a 时，该方程为关于x 一元二次方程．没有实数解，则0412>-=∆a ，则41<a 故：41<a 且0≠a 点评：很多学生看到有两个不等的实根，直接就利用判别式0>∆，却忽视了判别式是是针对于一元二次方程而言；关于x 的方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根等价于⎩⎨⎧>-≠0402ac b a例2、若21,x x 是一元二次方程03522=-+x x 的两根；求：（1）21x x -（2）222111x x +（3）3231x x + 解：21,x x 是一元二次方程03522=-+x x 的两根，则23,252121-=-=+x x x x （1）()()2723425422122122121=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-x x x x x x x x（2）()()()9372112212122122122212221=-+=+=+x x x x x x x x x x x x （3）()()()()[]821532122121222121213231-=-++=+-+=+x x x x x xx x x x x x x x 点评：本题考查的是韦达定理的应用，当然本题的另外解法就是，求出方程的两根代入到代数式中求解，这样计算量比较大，不是最佳选择；当然在利用韦达定理解决问题的时候一定要熟练常见代数式之间的转化：设21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两根，ac x x a b x x =-=+2121, ()2122122212x x x x x x -+=+()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-21212111x x x x x x +=+ 另外aa b a b x x ∆=∆---∆+-=-2221在高中阶段是一个很重要的量，引起注意！！！例3、已知两个数的和为4，两个数的积是12-，求这两个数；解：设这两个数分别为n m ,，若⎩⎨⎧-==+124mn n m ，则n m ,是方程01242=--x x 的两根；解得6,221=-=x x点评：此题告诉两个数的和与积，通过建立辅助方程轻松的求得这两个数；一般地：设⎩⎨⎧==+bmn an m ，如果规定二次项系数为1，则n m ,是方程02=+-b ax x 的两根；例4、若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，满足0<ac，则该方程一定有两个不等的实数根，并且两根一正一负数；证明：ac b 42-=∆00<∴<ac ac，故042>-=∆∴ac b 原方程有两个不相等的实数根21,x x ，021<=acx x ，从而一正根一负根；思考：如果0>ac，是否说明该一元二次方程一定有同号的实数根呢？？？点评：若关于x 的一元二次方程02=++c bx ax ，满足0<ac ，则方程一定有一正根一负根；反之，方程有两个反号的实根则0<ac；但方程有两个同号的实数根，则满足⎪⎩⎪⎨⎧>≥∆00ac （这里需要强调一点两个相等的非零根固然是同号的）；例5、如果方程022=++m x x 有两个同号的实数根，则实数m 的取值范围是？解：由⎪⎩⎪⎨⎧>≥∆00ac ，得10≤<m ；例6、关于x 的方程02=++q px x 的两根同为负数则（）A 、0>p 且0<qB 、0>p 且0>qC 、0q 解：选B点评：设21,x x 是一元二次方程02=++c bx ax 的两根若⎩⎨⎧<>0021x x ，则0<a c；若⎩⎨⎧>>0021x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-≥-00042a c a b ac b ；若⎩⎨⎧<<0021x x ，则⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-≥-00042ac a b ac b三、巩固练习1、方程2230x k -+=的根的情况是；解：两个相等的实数根2、若关于x 的方程()0122=+++m x m mx 有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是；解：41->m 且0≠m 3、若方程0132=--x x 的两根分别是21,x x ，则1211x x +＝；解：3-4、方程()0022≠=-+m m x mx 的根的情况是；解：两个不相等的实数根5、以3-和1为根的一元二次方程是；解：0322=-+x x6|1|0b -=，当k 取何值时，方程02=++b ax kx 有两个不相等的实数根？解：1,4=-=b a方程0142=+-x kx 有两个不相等的实数根；则⎩⎨⎧>-≠04160k k ，4<k 且0≠k ；7、已知方程0132=--x x 的两根为21,x x ，求()()3321--x x 的值．解：1,32121-==+x x x x()()()19333212121-=++-=--x x x x x x8、下列四个说法：①方程0722=-+x x 的两根之和为2-，两根之积为7-； ②方程0722=-+x x 的两根之和为2-，两根之积为7； ③方程0732=-x 的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程0232=+x x 的两根之和为2-，两根之积为0；其中正确说法的个数是；解：2个9、方程0142=-+x kx 的两根之和为2-，则=k ；解：2=k10、方程0422=--x x 的两根为βα,，则=+22βα；解：417 11、试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程()011222=++-x m x m 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？解：当14m >-且0≠m 时方程有两个不等的实数根；当14m =-时方程有两个相等的实数根；当14m <-时方程没有实数根．12、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程0172=--x x 各根的相反数．解：设原方程的两根分别为21,x x ，新方程的两根分别为21,y y ；⎩⎨⎧-==⋅-=--=+1721212121x x y y x x y y 故这个一元二次方程可以为0172=-+x x。

新高一数学衔接课专题二一元二次方程教案

专题二一元二次方程教学目标:1.会根据判别式判别一元二次方程根的情况。

2.熟练掌握一元二次方程根与系数的关系。

重点：根与系数关系的推导与应用难点：根与系数关系的推导与应用教学方法：讲授法、讨论法、启发法学法指导：分类讨论思想教具：多媒体教学过程：现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．1．一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)a x b x c a ++=≠，用配方法将其变形为： 2224()24b b ac x a a -+= ．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=-对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有[1]当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根： 242b b ac x a-±-= ；[2]当Δ= 0时，方程有两个相等的实数根： 1,22b x a=- ； [3]当Δ < 0时，方程没有实数根．2．一元二次方程的根与系数的关系定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0。

高一数学初高中衔接教学案：4一元二次方程

江苏省泰兴中学高一数学教学案(4)初高中衔接4：一元二次方程班级姓名一、基础知识1．根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的情况可以由ac b 42-来判定，我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示.对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，有 ⑴、当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根aac b b x 2422,1-±-=； ⑵、当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根a b x x 221-==； ⑶、当Δ＜0时，方程没有实数根.2．根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两根分别是21,x x ，那么a b x x -=+21，a c x x =⋅21. 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程02=++q px x ，若21,x x 是其两根，由韦达定理可知p x x -=+21，q x x =⋅21，即2121),(x x q x x p ⋅=+-=，所以，方程02=++q px x 可化为0)(21212=⋅++-x x x x x x ，由于21,x x 是一元二次方程02=++q px x 的两根，所以，21,x x 也是一元二次方程0)(21212=⋅++-x x x x x x 的两根.以两个数21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是0)(21212=⋅++-x x x x x x . 二、例题精讲例1：判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），若方程有实数根，写出方程的实数根.（1）、x 2－ax －1＝0；（2）、x 2－ax ＋(a －1)＝0；（3）、x 2－2x ＋a ＝0；（4）、2(1)(1)0a a x x a a ++--=.例2：设21,x x 是方程07322=--x x 的两个根，求下列各式的值：⑴、2221x x + ⑵、)3)(3(21--x x ⑶、2111x x + ⑷、3312x x + ⑸、21x x -例3：（1）若方程组22110x y x y m m-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩有两组不相等的实数解，求m 的取值范围.（2）方程240x x k -+=和方程2230x x k -+=有一个根相同，求此根及k 的值.例4：（选讲）当a 取什么整数时，方程2202(2)x x x a x x x x -+++=--只有一个实根，并求此实根.江苏省泰兴中学高一数学作业(4)班级姓名得分1、若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ 2、方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝．3、方程2x 2－x －4＝0的两根为α、β，则α2＋β2＝．4、已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．5、方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝．6、已知方程0652=-+kx x 的一个根是2，它的另一个根是，k = .7、若方程24x x a -=只有3个不相等的实根，则实数a 的值是8、已知12,x x 是方程2310x x -+=的两个实根，则21211x x += ，3128x x += 9|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？10、试确定m 的值，使280x mx -+=（1）有两个不相等的实根；（2）一个根是另一个根的两倍.11、解方程221140x x x x +++-=12、已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实根.（1）是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.（2）求使12212x x x x +-的值为整数的整数k 的值.。

高中数学暑假初高衔接讲义一元二次方程

练习主题一元二次方程第一节：一元二次方程根的判别式一、知识对接：初中阶段我们初步学习了：1、一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac.定理1：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△＞0，方程有两个不相等的实数根. 定理2：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△=0，方程有两个相等的实数根. 定理3：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，△＜0，方程没有实数根.定理4：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程有两个不相等的实数根， △＞0. 定理5：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程有两个相等的实数根， △=0.定理6：方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）中，方程没有实数根， △＜0.例1、已知关于x 的方程x 2-4k 2+x+k=0有两个不相等的实数根，化简∣-k-2+4k 4-k 2+∣.对应练习：1、已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a-c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长. （1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.巩固练习：1、已知一直角三角形的三边长为a、b、c，∠B=90°，那么关于x的方程a（x2-1）-2x+b（x2+1）=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2、关于x的方程：k（k+1）（k-2）x2-2（k+1）（k+2）x+k+2=0只有一个实数解（两个相同的也只算一个），则实数k可取不同值的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 53、如果关于x的方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根，那么m的取值范围是 .4、设下列三个一元二次方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+1+a2=0，x2+2ax-2a+3=0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是 .5、已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=∣m∣.（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根.6、若方程∣x2-5x∣=a，有且只有两个不相等的实数根，求a的取值范围.7、若方程∣x 2+ax ∣=4，有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.8、a 、b 为实数，关于x 的方程∣x 2+ax+b ∣=2有3个不相等的实数根. （1）求证：a 2-4b-8=0；（2）若该方程的3个不等实根恰为一个三角形3个内角的度数，求证：该三角形必有一个内角为60°.第二节：一元二次方程根与系数的关系初中知识回顾：若一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个实数根，则x 1=a 2ac 4-b b -2+，x 2=a2ac4-b -b -21x +=2x a 2ac 4-b b -2++a 2ac 4-b -b -2=a b -， 1x ·=2x a 2ac 4-b b -2+·a 2ac 4-b -b -2=24a 4ac =ac定理：如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根为1x ，2x ，那么：1x +=2x a b -，1x ·=2x ac说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”．上述定理成立的前提是△≥0．例1、已知方程5x 2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.例2、若x 1、x 2是方程x 2+2x-2012=0的两个根，试求下列各式的值. （1）2221x x +；（2）21x 1x 1+；（3）（x 1-5）（x 2-5）；（4）∣x 1-x 2∣例3、设m 是不小于-1的实数，关于x 的方程x 2+2（m-2）x+m 2-3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2. （1）若2221x x +=6，求m 的值；（2）求222121x -1mx x -1mx +的最大值.对应练习：1、关于x 的一元二次方程x 2+（a 2-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（）A. 2B. 0C. 1D. 2或02、若关于x 的一元二次方程x 2-3x+p=0（p ≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2-ab+b 2=18,则b a +ab的值是（）A. 3B. -3C. 5D. -53、若实数a ≠b ，且a 、b 满足a 2-8a+5=0,b 2-8b+5=0，则代数式1-a 1-b +1-b 1-a 的值为（） A. -20 B. 2 C. 2或-20 D. 2或204、若方程2x 2-（k+1）x+k+3=0的两根之差为1，则k 的值是 .5、设x 1、x 2是方程x 2+qx+p=0的两实根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两实根，则p=_____，q=_____．第三节：根的判别式及根与系数的关系的应用例1、（1）判断直线y=2x+1与抛物线y=x 2-3x+1的交点的个数；（2）若直线y=2x+b 与抛物线y=x 2有两个不同的交点，求b 的取值范围.例2、已知关于x 的方程x 2-（k+1）x+41k 2+1=0，根据下列条件，分别求出k 的值．（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x 1、x 2满足∣x 1∣=x 2．对应练习：1、关于x 的方程ax 2-（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且x 1-x 1x 2+x 2=1-a ，则a 的值是（）A. 1B. -1C. 1或-1D. 22、已知m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2-2tx+t 2-2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（）A. 7B. 11C. 12D. 163、已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于点O ，且OA 、OB 的长分别是关于x 的方程x 2+（2m-1)x+m 2+3=0 的根，则m 等于（）A. -3B. 5C. 5或-3D. -5或34、已知a 、b 是一元二次方程x 2-2x-1=0的两个实数根，则代数式（a-b ）（a+b-2）+ab 的值等于_____． 5、已知关于x 的方程x 2-2（k-1）x+k 2=0有两个实数根x 1、x 2. （1）求k 的取值范围；（2）若∣x 1+x 2∣=x 1x 2-1，求k 的值.6、若x 1、x 2是关于x 的方程x 2-（2k+1）x+k 2+1=0的两个实数根，且x 1、x 2都大于1．（1）求实数k 的取值范围；（2）若21x x 21 ，求k 的值．。

初高中数学衔接一元二次方程(3课时)

一元二次方程一、初中相关知识整理1、方程（组）的有关概念⑴等式：表示相等关系的式子叫等式。

⑵方程：含有未知数的等式叫方程。

⑶方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

⑷整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式这样的方程叫做整式方程。

⑸分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

⑹一元一次方程：ax+b=0（a 、b 都是常数a≠0）。

⑺一元二次方程：ax 2+bx+c=0（a≠0）。

2、方程与方程组的解法一元一次方程：⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸系数化为1。

一元二次方程：⑴直接开平方法；⑵配方法；⑶公式法；⑷因式分解法。

分式方程：通过去分母将分式方程转化为整式方程求解。

3、一元二次方程的求根公式已知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），判别式：△=b 2-4ac 。

⑴△＞0⇒方程有两个不相等的实数根x 1、2=aac b b 242-±-；反之也成立。

⑵△=0⇒方程有两个相等的实数根；反之也成立。

⑶△＜0⇒方程没有实数根。

反之也成立。

⑷判别式的应用：①不解方程判断根的情况；②根据方程根的情况，确定方程中字母系数的取值范围。

⑸当△≥0时，由求根公式可得x 1+x 2=a b-，x 1·x 2=a c。

4、方程或方程组的应用列方程（组）解应用题的一般步骤： ⑴ 审题；⑵ 设未知数；⑶ 找出能够包含未知数的等量关系（建立方程模型）；⑷ 列出方程（组）；⑸ 求出方程（组）的解；⑹ 检验（是否有增根、是否有实际意义）；⑺作答。

二、目标要求1、会解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；2、理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；4、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；5、会求一元二次方程的根，能由系数,,a b c 来判定和讨论方程根的情况；6、能在不求出根的情况下直接由系数,,a b c 来讨论方程的根。

初升高数学课程内容(衔接班)

【知识要点】一、一元二次不等式：1、解法步骤：（1）分解成一次因式的积，并使每一个因式中一次项的系数为正；（2）根据不等号取解集：大于号取两边，小于号取中间。

一元高次不等式的解法：穿根法（穿针引线）：将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线（奇数个根穿过，偶数个根穿不过），再根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。

2、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔00a >⎧⎨∆<⎩．20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔0a <⎧⎨∆<⎩．二、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后转化成整式不等式求解集。

1.()0()f x g x >⇔()()0f x g x ⋅>；()0()f xg x <⇔()()0f xg x ⋅<2.()0()f x g x ≥⇔()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩；()0()f x g x ≤⇔()()0()0f xg x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩三、含绝对值的不等式的解法（大于取两边，小于取中间）：|()|f x a <，（0a >）⇔()a f x a -<<|()|f x a >，（0a >）⇔()()f x a f x a<->或【知识讲练】1、解下列不等式：(1)27120x x -+>(2)2230x x --+≥（3）2(1)(3)(2)0x x x --+≥解不等式（4）307x x -≤+（5）2317x x -<+（6）25023xx x -<--（7）|2x －1|≤3（8）223->-x x （9）|1|12+>-x x 2、已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a ++>的解集．3、对于任意实数x ，不等式23208kx kx +-<恒成立，则实数k 的取值范围是【巩固练习】1、不等式02<+-b x ax 的解集为{}12x x <<，则a b +=2、不等式32-+x x x ）（＜0的解集为3、不等式221x x +>+的解集是（）A.{}101|><<-x x x 或 B.{}101-|<<<x x x 或C.{}1001|<<<<-x x x 或 D.{}11-|><x x x 或（－∞，－1）∪（1，+∞）4、已知不等式250ax x b -+>的解集为{|32}x x -<<,则不等式250bx x a -+>的解集为（）A、11{|}32x x -<<B、11{|}32x x x <->或C、{|32}x x -<<D、{|32}x x x <->或5、（1）若函数34)(2++=kx kx x f 的定义域是R,则k 的取值范围是（2）已知函数1)(2--=mx mx x f ，对一切实数0)(,<x f x 恒成立，则m 的范围为【知识要点】1、集合定义：某些指定的对象集在一起成为集合。

初升高数学衔接课程——一元二次方程⑵

初升高数学衔接课程——一元二次方程⑵
一．基础知识巩固
韦达定理:________________________________________________________________. 二．检测提高
例1 已知一元二次方程x2+kx－3=0有一个根是2,求方程的另一个根.
例3 已知关于x的方程x2－4x－a=0,根据下列条件,求a的取值范围.
⑴方程两个实根,一个大于0,另一个小于0;
⑵方程两个实根,一个大于3,另一个小于3;
3.6一元二次方程⑵答案
二．检测提高
解:∵方程x 2+x －2016=0两根x 1,x 2,
∴x 1+x 2=－1,x 1·x 2=－2016
例3 已知关于x 的方程x 2－4x －a=0,根据下列条件,求a 的取值范围.
⑴方程两个实根,一个大于0,另一个小于0;
⑵方程两个实根,一个大于3,另一个小于3;
解:设方程两实数根为x 1,x 2,由韦达定理知, x 1+x 2=4,x 1·x 2=－a. ⑴∵两根一个大于0,另一个小于0
∴⎩⎨⎧ Δ=(－4)2+4a>0x 1·x 2=－a<0解得⎩⎨⎧
a>－4a>0∴a>0. ⑵解∵两根一个大于3,另一个小于3
∴⎩⎨⎧ Δ=(－4)2+4a>0(x 1－3)(x 2－3)<0∴⎩⎨⎧ a>－4x 1x 2－3(x 1+x 2)+9<0∴⎩⎨⎧ a>－4－a －3×4+9<0解得⎩⎨⎧
a>－4a>－3 ∴a>－3。

2019初升高数学衔接第二讲一元二次方程与二次函数的关系

2019初升高数学衔接第2讲一元二次方程与二次函数的关系1. 一元二次方程根的判别式:对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有:（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．根与系数的关系（韦达定理）如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．✓ 巩固训练1. 方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根，则必修满足（）89.89.0.0.=-=≥=k D k C k B k A 2. 已知1x 与2x 是0122=-+-m mx x 的两个根，且72221=+x x ，则()221x x -=（）25.13.12.1.D C B A3. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，则2112x x x x += . 4. 关于x 的方程()0422=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.2. 二次函数2y ax bx c =++的性质二次函数表达式一般式：()02≠++=a c bx ax y顶点式：()k h x a y +-=2交点式：()()21x x x x a y --=当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -。

当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，。

初升高数学衔接班第4讲一元二次方程的根与系数

初升高数学衔接班第4讲一元二次方程的根与系数一、学习目标:1、掌握一元二次方程的根的判别式,并能运用根的判别式判断方程解的个数。

2、掌握一元二次方程的根与系数的关系,即韦达定理,并能运用韦达定理处理一些简单问题。

二、学习重点:一元二次方程的根与系数的关系三、课程精讲:1、旧知回顾:一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为:1222b b x x a a -+-==2、新知探秘:对于一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠,有没有实数根的关键因素是什么? 知识点一:一元二次方程的根的判别式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠(1)当240b ac ->时,右端是正数.因此,方程有两个不相等的实数根:(2)当240b ac -=时,右端是零.因此,方程有两个相等的实数根:(3)当240b ac -<时,右端是负数.因此,方程没有实数根.由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况.因此,把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式,表示为:24b ac ∆=-【例1】不解方程,判断下列方程的实数根的个数:(1)22310x x -+= (2)24912y y += (3)25(3)60x x +-=思路导航:可以用根的判别式来判断一元二次方程解的个数解:(1)2 (3)42110∆=--⨯⨯=>,∴ 原方程有两个不相等的实数根.(2)原方程可化为:241290y y -+= 2 (12)4490∆=--⨯⨯=,∴ 原方程有两个相等的实数根.(3)原方程可化为:256150x x -+=2 (6)45152640∆=--⨯⨯=-<,∴ 原方程没有实数根.点津:在使用判别式时,务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式.【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=,根据下列条件,分别求出k 的取值范围:(1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根思路导航:已知一元二次方程解的个数则可知判别式的值与零的大小关系,从而求出k 的取值范围。

2024年新高一数学初升高衔接《二次函数与一元二次方程、不等式》含答案解析

第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．21122x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C ．D5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c 的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.第08讲二次函数与一元二次方程、不等式模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集；2．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系3．掌握一元二次不等式的实际应用；4．会解一元二次不等式中的恒成立问题.知识点1一元二次不等式1、定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2、一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均为常数）．3、一元二次不等式的解与解集使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集；将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形．知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系1、二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数的零点．2、三个“二次”之间的关系对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集．知识点3一元二次不等式的解法1、解一元二次不等式的一般步骤（1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值；（2）求根：计算判别式∆，求出相应方程的实数根；①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）；②0∆=时，求根abx x 221-==；③0∆<时，方程无解．（3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时），并画出开口向上的抛物线示意图；（4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集．口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间2、含参一元二次不等式的讨论依据（1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论；（2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论；（3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集．考点一：解不含参的一元二次不等式例1．（23-24高一上·北京·期中）不等式2230x x --<的解集为（）A ．()1,3-B ．()3,1-C ．(1)(3)∞∞--⋃+，，D ．(3)(1)∞∞--⋃+，，【答案】A【解析】不等式2230x x --<，即()()130x x +-<，解得13x -<<，所以不等式2230x x --<的解集为()1,3-.故选：A【变式1-1】（23-24高一上·吉林延边·月考）不等式29124x x -≤-的解集为（）A ．RB ．∅C ．3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭D ．3|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由29124x x -≤-，得241290x x -+≤，得2(23)0x -≤，解得32x =，所以不等式的解集为3|2x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，故选：C【变式1-2】（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式()()231x x x x +<-+的解集为（）A ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭D ．()1,1,2∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】不等式()()231x x x x +<-+，化为2210x x --<，即(21)(1)0x x +-<，解得112x -<<，所以不等式()()231x x x x +<-+的解集为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A【变式1-3】（23-24高一上·广东广州·期中）下列不等式解集为R 的是（）A ．23710x x -≤B ．211022x x -+-≤C ．()()230x x +->D ．223x x -+<-【答案】B【解析】对于A ，()()23710,13100x x x x -≤+-≤，解得1013x -≤≤，A 错；对于B ，211022x x -+-≤，()210x -≥，解集为R ，B 对；对于C ，()()230x x +->，解得<2x -或3x >，C 错；对于D ，223x x -+<-，()()1230x x +->，解得1x <-或32x >，D 错.故选：B.考点二：解含参一元二次不等式例2.（22-23高一上·江苏宿迁·月考）若01a <<，则不等式1(0)(x a x a --<的解集是（）A ．1}|{x a x a<<或C ．1{|}x x a a <<D ．1{|}x x a x a><或【答案】A【解析】由01a <<，得110a a>>>，解不等式1(0)(x a x a --<，得1a x a <<，所以不等式1(0)()x a x a --<的解集是1}|{x a x a<<.故选：A【变式2-1】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）（多选）对于给定的实数a ，关于实数x 的一元二次不等式()(2)0x a x --<的解集可能为（）A ．(2)()a -∞+∞ ,,B ．()(2)a -∞+∞ ,,C ．(),2a D ．∅【答案】CD【解析】当2a <时，此时解集为(),2a ；当2a =时，此时解集为∅；当2a >时，此时解集为()2,a ；故选：CD.【变式2-2】（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）解关于x 的不等式：()2330x m x m --->.【答案】答案见解析【解析】不等式()2330x m x m --->，即()()30x x m +->，当3m =-时，原不等式即()230x +>，解得3x ≠-，即不等式的解集为{}|3x x ≠-；当3m >-时，解得x >m 或3x <-，即不等式的解集为{|x x m >或3}x <-；当3m <-时，解得3x >-或x m <，即不等式的解集为{|3x x >-或}x m <；综上可得：当3m =-时不等式的解集为{}|3x x ≠-，当3m >-时不等式的解集为{|x x m >或3}x <-，当3m <-时不等式的解集为{|3x x >-或}x m <.【变式2-3】（23-24高一上·湖南长沙·期末）当1a <时，解关于x 的不等式(1)(1)0ax x --<.【答案】答案见解析【解析】当0a =时，代入不等式可得10x -+<，解得1x >；当01a <<时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，由11a>得不等式的解为11x a <<，当a<0时，化简不等式可得1(1)0a x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭即1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，由11a <得不等式的解为1x >或1x a<，综上可知，当0a =时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为{|1}x x >；当01a <<时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当a<0时，不等式(1)(1)0ax x --<的解集为1x x a ⎧<⎨⎩或}1x >.考点三：由一元二次不等式解集求参例3.（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于x 的不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，则m n +的值为（）A ．12-B ．32-C ．32D ．12【答案】C【解析】因为不等式2102x mx n -++>的解集为{}|12x x -<<，所以1,2-是方程2102x mx n -++=的两个实根，所以()()221110212202m n m n ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以32m n +=.故选：C.【变式3-1】（23-24高一上·云南昭通·期末）不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，则b a -的值是（）A ．3-B ．3C ．5-D ．5【答案】D【解析】因为不等式230ax bx +-<的解集是()(),13,-∞⋃+∞，所以a<0，1x =和3x =是方程230ax bx +-=的根，所以13313b a a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩，即1a =-，4b =，则5b a -=．故选：D ．【变式3-2】（23-24高一上·吉林延边·月考）已知不等式20ax bx c ++<的解集为{|13}x x x <->或,则下列结论错误的是（）A ．0a C ．0a b c ++>D ．20cx bx a -+<的解集为1{|1}3x x x <->或【答案】D【解析】根据题意,可以知道,20ax bx c ++=的两根为1,3-.由根与系数的关系得到：2233b b a ac c a a ⎧=-⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪-=⎪⎩.因为2()f x ax bx c =++开口向下,则a<0,故A 正确.22(2)(3)30a b c a a a a ++=+-+-=->,故B 正确.且(1)(3)0f f -==,对称轴为1x =,(1)40f a b c a =++=->,故C 正确.22320cx bx a ax ax a -+=-++<,两边同时除以a -,得到23210x x --<,解得1|13{}x x -<<,故D 错误.故选:D.【变式3-3】（23-24高一下·云南·月考）若关于x 的不等式()210x m x m -++<的解集中恰有三个整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)(]3,24,5--⋃B ．[)(]2,14,5--⋃C ．()()3,14,5-⋃D ．[]3,5-【答案】A【解析】原不等式可化为(1)()0x x m --<，当1m >时，得1x m <<，此时解集中的整数为2，3，4，则45m <≤；当1m <时，得1m x <<，此时解集中的整数为2-，1-，0，则32m -≤<-，综上所述，m 的取值范围是[)(]3,24,5--⋃.故选：A考点四：三个“二次”关系的应用例4.（23-24高一上·湖南长沙·月考）不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A ．B ．C．D．【答案】A【解析】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且a<0，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A【变式4-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）（多选）关于x 的不等式20ax bx c ++>，下列说法不正确的是（）A ．若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则二次函数2y ax bx c =++的零点为()30A -,，()10B ,B ．若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则20cx bx a ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且240b ac -<D ．若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集与关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集相同都是R ，则111a b c a b c ==【答案】BC【解析】A 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++>解集为{1x x >或}3x <-，则0a >，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解11x =，23x =-，所以对应函数2y ax bx c =++的两个零点为1和3-，A 选项错误；B 选项：若关于x 的不等式20ax bx c ++<解集为{3x x >或}1x <-，则a<0，且其对应方程20ax bx c ++=有两个解13x =，21x =-，且122b x x a=-+=，123cx x a=-=，即2b a =-，3c a =-，所以22320cx bx a ax ax a ++=--+>，即()()23213110x x x x +-=-+<，解得113x -<<，所以不等式的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，B 选项正确；C 选项：若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>解集为R ，则0a >且其对应方程20ax bx c ++=无解，即240b ac -<，C 选项正确；D 选项：若关于x 的不等式()200ax bx c abc ++>≠的解集为R ，则0a >，且240b ac -<，关于x 的二次不等式()211111100a x b x c a b c ++>≠的解集是R ，则10a >，且211140b a c -<，无法确定其比例关系，D 选项错误；故选：BC.【变式4-2】（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于x 的不等式22280x ax a --<的解集为()12,x x ，且221215x x -=，则实数=a ．【答案】/【解析】由题意，22280x ax a --=的两根为12,x x ，所以212122,8x x a x x a +=⋅=-，解得124,2x a x a ==-，或122,4x a x a =-=，当124,2x a x a ==-时，故222121215x x a -==，由12x x <知a<0，所以解得2a =，当122,4x a x a =-=时，222121215x x a -=-=不合题意.故答案为：2-【变式4-3】（23-24高一上·山西临汾·月考）已知二次函数()211y x a x a =----的图象与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点.(1)当3a =时，求2212x x +的值；(2)求关于x 的不等式10y +≥的解集.【答案】(1)12；(2)答案见解析【解析】（1）当3a =时，224y x x =--.由题意可知12,x x 是方程2240x x --=的两个不同实根，则122x x +=，124x x =-，故()()2222121212222412x x x x x x +=+-=-⨯-=.（2）不等式10y +≥可转化为()()10x a x -+≥.当1a >-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x x a ≤-≥或；当1a =-时，不等式1y ≥的解集是{}R x x ∈；当1a <-时，不等式1y ≥的解集是{}1x x a x ≤≥-或.考点五：一元二次不等式恒成立与有解例5.（23-24高一下·黑龙江绥化·开学考试）（多选）若对于R x ∀∈，都有220x mx m -+≥，则m 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB【解析】依题意，命题等价于220x mx m -+≥恒成立，所以2440m m ∆=-≤，解得01m ≤≤，即[]0,1m ∈，故AB 正确，CD 错误.故选：AB.【变式5-1】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+∞B ．()1,1-C ．(],1-∞D ．(),1-∞【答案】D【解析】因为对任意的()0,x ∈+∞，2210x mx -+>恒成立，所以对任意的()0,x ∈+∞，2112x m x x x+<=+恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时取等号，所以22m <，解得1m <，即m 的取值范围为(),1-∞.故选：D【变式5-2】（23-24高一下·河北保定·开学考试）（多选）若关于x 的不等式2420ax x -+<有实数解，则a 的值可能为（）A ．0B ．3C ．1D ．2-【答案】ACD【解析】当0a =时，不等式420x -+<有解，符合题意；当a<0时，得Δ1680a =->，则不等式2420ax x -+<有解；当0a >时，由Δ1680a =->，解得02a <<.综上，a 的取值范围为(),2∞-，对照选项，选项ACD 中a 的值符合题意.故选：ACD【变式5-3】（23-24高一上·陕西商洛·期中）若关于x 的不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()0,∞+C ．(),0∞-D ．(),3-∞-【答案】A【解析】易知2160m ∆=+>恒成立，即240x mx +-=有两个不等实数根12,x x ，又1240x x =-<，即二次函数24y x mx =+-有两个异号零点，所以要满足不等式240x mx +->在区间[]2,4上有解，所以只需24440m +->，解得3m >-，所以实数m 的取值范围是()3,-+∞．故选A ．考点六：一元二次不等式的实际应用例6.（23-24高一下·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高10x 元（110x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的客房会减少15x 套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（）A ．250元B ．260元C ．270元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有()50015x -间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为()()250015200101502000100000x x x x -+=-++．因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，所以21502000100000106600x x -++>，即23401320x x -+<，解得2263x <<．因为110x ≤≤且x ∈Z ，所以7x =，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元．故选：C ．【变式6-1】（23-24高一上·陕西·月考）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x 元（120x ≤≤，x ∈Z ），则被租出的礼服会减少10x 套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（）A ．220元B ．240元C ．250元D ．280元【答案】C【解析】依题意，每天有30010x -套礼服被租出，该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为()()23001020010100100060000x x x x -⋅+=-++元.因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元，所以2100100060000x x -++62400>，即210240x x -+<，解得46x <<.因为120x ≤≤且x ∈Z ，所以5x =，即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选：C.【变式6-2】（23-24高一上·北京·月考）某市有块三角形荒地，如图ABC 所示，90,200A AB AC ∠=== （单位：米），现市政府要在荒地中开辟一块矩形绿地ADEF ，其中,,D E F点分别在线段,,AB BC CA 上，若要求绿地的面积不少于7500平方米，则AD 的长度（单位：米）范围是（）A ．[]40,160B ．[]50,150C ．[]55,145D ．[]60,140【答案】B【解析】ABC 中，90,A AB AC ∠== ，ABC 为等腰直角三角形，设AD x =米，则EF FC AD x ===米，200FA x =-米，依题意有()2007500x x -≥，解得50150x ≤≤.即AD 的长度（单位：米）范围是[]50,150.故选：B.【变式6-3】（23-24高一上·陕西宝鸡·月考）如图，在长为8m ，宽为6m 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？【答案】花卉的宽度至少为1m【解析】设花卉带的宽度为m x ，则028026x x <<⎧⎨<<⎩，可得03x <<，所以，草坪的长为()82m x -，宽为()62m x -，则草坪的面积为()()()()8262443x x x x --=--，因为草坪的面积不超过总面积的一半，则()()1443682x x --≤⨯⨯，整理可得2760x x -+≤，解得16x ≤≤，又因为03x <<，可得13x ≤<.所以，花卉的宽度至少为1m .一、单选题1．（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）不等式2450x x --+<的解集是（）A ．(5,1)-B ．(1,5)-C ．(,5)(1,)-∞-+∞ D ．(,1)(5,)-∞-+∞ 【答案】C【解析】由2450x x --+<可得2450x x +->，故()()510x x +->，解得1x >或5x <-，故不等式的解为()(),51,-∞-⋃+∞故选：C2．（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式2230x x --<的解集是（）A ．{|1x x <-或3}2x >B ．3|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭D ．{}|1x x <-【答案】C【解析】不等式2230x x --<可化为()()1230x x +-<，所以312x -<<，即原不等式的解集为3|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．（23-24高一上·河南濮阳·月考）已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，则不等式20cx bx a +->的解集为（）A ．15x x ⎧<⎨⎩或13x ⎫>⎬⎭B ．13x x ⎧<-⎨⎩或15x ⎫>-⎬⎭C ．1153x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D ．1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】因为关于x 的一元二次不等式20ax bx c +-<的解集为{}|35x x <<，所以0a >且方程20ax bx c +-=的解为3,5，所以8,15b ca a-=-=，所以8,15b a c a =-=-，则不等式20cx bx a +->，即为不等式21580ax ax a --->，则215810x x ++<，解得1135x -<<-，所以不等式20cx bx a +->的解集为1135x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭.故选：D.4．（23-24高一上·甘肃·期末）若关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，且221220x x +=，则=a （）A ．2B ．1C．D【答案】B【解析】因为关于x 的不等式()222800x ax a a --<>的解集为()12,x x ，所以1x 和2x 是方程()222800x ax a a --=>的两根，则1221228x x a x x a +=⎧⎨⋅=-⎩.又因为221220x x +=，()2221212122x x x x x x +=+-，所以()()2222820a a --=，解得1a =±.又因为0a >，所以1a =.故选：B5．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <≤∣B ．{65}aa -≤<-∣C ．{21aa -<≤-∣或56}a ≤<D ．{65aa -≤<-∣或12}a <≤【答案】D【解析】()()()222020x a x a x x a ---<⇒-+<，当2a >-时，不等式解集为{}2x a x -<<，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为1,0,1-，故21a -≤-<-，解得12a <≤，当2a <-时，不等式解集为{}2x x a <<-，此时恰有3个整数解，则3个整数解分别为3,4,5，故56a <-≤，解得65a -≤<-，当2a =-时，不等式解集为∅，不合要求，故实数a 的取值集合为{65aa -≤<-∣或12}a <≤.故选：D 6．（23-24高一上·江苏南京·期末）设a 为实数，则关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是（）A ．2,2a ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2(,2)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．(2,)+∞D ．22,a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】关于x 的不等式(2)(24)0ax x --<，若0a =，不等式为2(24)0x --<，解得2x >，此时解集为(2,)+∞；若0a ≠，方程(2)(24)0ax x --=，解得2x a=或2x =，a<0时，不等式(2)(24)0ax x --<解得2x a <或2x >，此时解集为()2,2,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ；01a <<时，22a >，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为22,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；1a =时，22a=，不等式(2)(24)0ax x --<解集为∅，1a >时，22a <，不等式(2)(24)0ax x --<解得22x a <<，此时解集为2,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；所以不等式(2)(24)0ax x --<的解集不可能是2(,2),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：B二、多选题7．（23-24高一上·吉林延边·期中）下列不等式的解集不是R 的是（）A ．210x x -++≥B ．20x ->C ．26100x x ++>D ．22340x x -+<【答案】ABD【解析】对于A ，由210x x -++≥，得210x x --≤，解得1122x ≤≤，所以A 正确，对于B ，由20x ->，解得x <x >，所以B 正确，对于C ，26100x x ++>，因为364040∆=-=-<，所以不等式26100x x ++>的解集为R ，所以C 错误，对于D ，22340x x -+<，因为932230∆=-=-<，所以不等式22340x x -+<的解集为∅，所以D 正确，故选：ABD8．（23-24高一上·湖北·月考）若不等式20ax bx c -+<的解集是{21}xx -<<∣，则下列说法正确的是（）A ．0b <且0c ，故0,2a b c a +==-，且0a >，故0,0c b <<，故A 正确；20a b c a a a -+=+-=，故B 错误；0a b c c ++=<，故C 正确；20ax bx c ++<，220ax ax a --<，即()()22120x x x x --=+-<的解集是()1,2-，故D 正确.故选：ACD三、填空题9．（23-24高一上·河北石家庄·月考）已知二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，则不等式20ax bx c ++<的解集为．【答案】{}|24x x <<【解析】二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根分别为2和4，可得2424b a c a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，即68b a c a =-⎧⎨=⎩，由()200ax bx c a ++<>可得2680x x -+<，解得24x <<，所以不等式2680x x -+<的解集为{}|24x x <<.故答案为：{}|24x x <<.10．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于x 的不等式210mx x ++>的解集为R ，则实数m 的取值范围为.【答案】14m >【解析】当0m =时，10x +>，1x >-，不满足题意；当0m ≠时，0Δ140m m >⎧⎨=-<⎩,所以14m >，综上，实数m 的取值范围为14m >.故答案为：14m >11．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知正数x y ，满足2x y +=，若211m m x y+>-恒成立，则实数m 的取值范围为.【答案】(1,2)-【解析】因为0,0x y >>且2x y +=，所以111111()222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222⎛≥⨯+= ⎝，当且仅当1y x ==时取等号．因为不等式211m m x y+>-恒成立，所以22m m -<，解得12m -<<．故答案为：(1,2)-.四、解答题12．（23-24高一上·河南濮阳·月考）解下列一元二次不等式：(1)23710x x -≤；(2)2104x x -+<．【答案】(1)1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；(2)∅【解析】（1）由23710x x -≤，得237100x x --≤，即()()31010x x -+≤，所以1013x -≤≤，所以不等式得解集为1013x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）由2104x x -+<，得2102x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，无解，所以不等式的解集为∅.13．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（1）解关于x 的不等式()210x m x m -++<.（2）若对任意的[]()21,2,10x x m x m ∈-++≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）2m ≥.【解析】（1）不等式()210x m x m -++<化为：()(1)0x m x --<，当1m <时，解得1m x <<；当0m =时，不等式无解；当1m >时，解得1x m <<，所以当1m <时，原不等式的解集为(,1)m ；当0m =时，原不等式的解集为∅；当1m >时，原不等式的解集为(1,)m .（2）当1x =时，2(1)0x m x m -++≤恒成立，则m ∈R ，当(1,2]x ∈时，不等式2(1)0(1)(1)x m x m m x x x m x -++≤⇔-≥-⇔≥，依题意，(1,2]x ∀∈，m x ≥，而x 最大值为2，因此2m ≥，所以实数m 的取值范围是2m ≥.。

初高中数学衔接教材 §2.1 一元二次方程(含答案)

初高中数学衔接教材 2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，如求方程的根： (1)0322=-+x x ；(2)0122=++x x ；(3)0322=++x x 。

} 用配方法可把一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）变为2224()24b b ac x a a -+=①a ≠0，∴4a 2＞0。

于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a；（3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根。

由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示。

综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根，x 1，2（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根，x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根。

例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根。

（1）x 2－3x ＋3＝0；（2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0；（4）x 2－2x ＋a ＝0。

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根。

（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根12a x +=，22a x -=（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以，①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1＝1，x 2＝a －1。

初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系

初高中衔接教育在中考中的应用——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系中文要求：一、初高中衔接教育在中考中的应用1、二次函数在中考中的应用（1）二次函数的定义：二次函数是一种可以准确表示具有某种特征曲线的函数，它是单调函数的一种，关于横轴对称，可以用于求解各种坐标运动等场合。

（2）二次函数在中考中的应用：在中考中，可以应用二次函数来解答坐标运动的题目，需要运用抛物线的两个焦点、横坐标或纵坐标的变化，以及声明方程的解析式可让抛物线变得更加清晰明了。

2、一元二次方程在中考中的应用（1）一元二次方程的定义：一元二次方程是多项式不超过2次的方程，比如ax2+bx+c=0，它可以使用因式分解法、公式法及图解法解答。

（2）一元二次方程在中考中的应用：一元二次方程可以用来描述各种问题，比如方程的根，物体的运动轨迹等。

在中考中能够应用到解答椭圆的相关题目，可以使用一元二次方程的形式推导一元二次椭圆的方程，从而可以更加清晰的描述运动轨迹及寻求极值点。

3、一元二次不等式在中考中的应用（1）一元二次不等式的定义：一元二次不等式是一种不等式方程，它包括两部分，一部分为一元二次多项式，另一部分为不等式号。

比如ax2+bx+c>0，可以求得解集。

（2）一元二次不等式在中考中的应用：一元二次不等式可以用来表达物体的运动轨迹、计算几何图形的面积，以及求解椭圆的相关题目等。

在中考中，用一元二次不等式可以更加精准的描述物体的运动轨迹和表现出形状，可以使用这种形式提高中考成绩。

二、结论通过上述分析，可以知道，初高中衔接教育在中考中应用二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式等知识点，在解决坐标运动的题目、计算几何图形的面积以及描述物体的运动轨迹等等方面更加精准，可以大大提高考试成绩。

初高中数学衔接(1)一元二次方程

初高中数学衔接（1）一元二次方程预热：1.方程的定义：含有未知数的等式。

2. 使等式成立的未知数的值称的“解”或“根”。

（解一定满足方程）3.求方程的解的过程称为“解方程”。

正题：解法有：1. 直接开平方法2.配方法3.分解因式法（包括提取公因式、平方差、“十字相乘法”）4.公式法。

一般先用十字相乘法，若失败，再用求根公式法。

本文重点介绍十字相乘法。

一.十字相乘法：简单来讲就是：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘再相加，使其等于一次项系数。

注意事项：多观察，多尝试，务必注意各项系数的符号，横向水平书写。

难点：灵活运用十字相乘法分解因式。

分解过程中可有N种不同的排列方法，而正确的只有其中的一种。

多练习，我亦无他唯手熟尔。

x2+3x-4=0 x2-7x+10=0 (2x-1)2-3(2x-1)+ 2=0附：求根公式（可解全部一元二次方程）首先要通过Δ=b²-4ac的根的判别式来判断一元二次方程有几个根1.当Δ=b²-4ac<0时，x无实数根（初中）2.当Δ=b²-4ac=0时，x有两个相等的实数根即x1=x23.当Δ=b²-4ac>0时，x有两个不相等的实数根当判断完成后，若方程有根可根属于2、3两种情况方程有根则可根据公式：x=[-b±√（b²－4ac）]/（2a）来求得方程的根课外阅读：一. 塔尔塔利亚与特殊的一元三次方程x^3+px+q=0（一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),可通过换元消去二次项，变成x^3+px+q=0的形式。

）塔尔塔利亚是意大利人，出生于1500年。

他12岁那年，被入侵的法国兵砍伤了头部和舌头，从此说话结结巴巴，人们就给他一个绰号“塔尔塔利亚”(在意大利语中，这是口吃的意思)，真名反倒少有人叫了，他自学成才，成了数学家，宣布自己找到了三次方程的的解法。

初升高之一元二次方程

初升高之一元二次方程本节衔接概况在初中阶段,我们先后学习了一元二次方程和一元二次函数,在高中,我们还要学习一元二次不等式的知识.三个“二次”之间有着非常紧密的联系.初中时,我们学习了一元二次方程的解法、根的判别式以及根与系数的关系定理（韦达定理）,但是,我们却没有求解过含参一元二次方程,也不会求解诸如一元二次方程何时有两个正实数根,何时有两个负实数根,以及何时有两个相异的实数根的问题,更不会求解诸如方程何时有一个根大于1、一个根小于1,何时两个根都大于1，何时两个根都小于1的问题.根据数形结合思想方法,我们在初中分别从“数”和“形”两个角度来认知一元二次方程和一元二次函数之间的联系,但很少认知它们与一元二次不等式的联系,在这一节,我们将会重点学习三个“二次”之间的联系.关于一元二次不等式,我们还会专门讲解其解法.本节知识要点（1）一元二次方程的解法;（2）一元二次方程根的判别式;（3）根与系数的关系定理（韦达定理）;（4）构造一元二次方程巧解题;（5）一元二次方程的根的两种分布（零分布和K分布）;（6）三个“二次”之间的联系;一元二次方程的解法在初中阶段,我们学习的解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法以及换元法,这些方法虽然不同,但解方程的思路是相同的,那就是降次——将一元二次方程转化为同解的一元一次方程.我们所解的一元二次方程大多数是具体的,在这里,我们还会讲解含参一元二次方程的解法,注意对参数要进行分类讨论.例1. 解关于x 的方程()04122=++-x a ax .解: 当0=a 时,042=+-x ,解之得:2=x ;当0≠a 时,原方程可化为()()()02222=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--x a x a x ax ∴02=-ax 或02=-x ∴2,221==x a x . 例2. 解关于x 的方程()012=-+-a ax x .分析:这是关于x 的一元二次方程,()()()22224414-=+-=---=∆a a a a a ≥0,所以该方程一定有实数根.解: 原方程可化为()()()()[]01111=---=-+-a x x a x x当11=-a ,即2=a 时,方程有两个相等的实数根121==x x ;当11≠-a ,即2≠a 时,方程有两个不相等的实数根,1,121-==a x x .例3. 解关于x 的方程022=+-a x x .分析:()()a a a -=-=--=∆1444422,由于无法确定△的符号,所以要对△的符号进行讨论.解: ()()a a a -=-=--=∆1444422当()014>-=∆a ,即1<a 时,方程有两个不相等的实数根,此时:=1x a x a --=-+11,112; 当()014=-=∆a ,即1=a 时,方程有两个相等的实数根,此时121==x x ;当()014<-=∆a ,即1>a 时,方程没有实数根.尝试练习:解方程:012=--ax x .一元二次方程根的判别式我们在用配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 时,配方结果如下:222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 因为0≠a ,所以042>a ,故当ac b 42-≥0时,开方如下:a acb a b x 2422-±=+ 从而得到一元二次方程的求根公式为:aac b b x 242-±-=（ac b 42-≥0）. 由上面的推导可知,当ac b 42-≥0时,一元二次方程有两个实数根.很明显,当042<-ac b 时,二次根式ac b 42-无意义,意味着一元二次方程没有实数根. 设m ac b =-42,当042>-ac b 时,则有0>m ,a m b x 21+-=,am b x 22--=.因为m b m b --≠+-,所以21x x ≠,即方程有两个不等的实数根;当042=-ac b 时,则有0=m ,ab x x 221-==,即方程有两个相等的实数根. 由此可知,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的情况可由ac b 42-来判定.我们把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示:（1）当0>∆时,一元二次方程有两个不相等的实数根;（2）当0=∆时,一元二次方程有两个相等的实数根;（3）当0<∆时,一元二次方程没有实数根.对于一元二次方程02=++q px x ,由根的判别式可知,当q p 42-≥0时,方程有两个实数根,当042<-q p 时,方程没有实数根.下面,我们利用根的判别式来解决一个含参方程中参数取值范围的问题.例4. 已知关于x 的方程()0243222=+++-k k x k x .（1）当k 取何值时,方程有两个不相等的实数根?（2）当k 取何值时,方程有两个相等的实数根?（3）当k 取何值时,方程没有实数根?分析本题考查一元二次方程根的判别式的应用.根据二次方程根的情况得出∆的符号,由此建立关于参数的方程或不等式,求解出参数的值或取值范围. 解:（1）由题意可得:()[]()0284322>+-+-=∆k k k 整理得:0916>+k解之得:169->k ; （2）由题意可得:0916=+=∆k 解之得:169-=k ; （3）由题意可得:0916<+=∆k 解之得:169-<k . 例5. 求证:对于任何实数m ,关于x 的方程02222=-+-m mx x 总有两个不相等的实数根.分析只需证明对于任何实数m ,总有0>∆即可.证明:()()22422---=∆m m ()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵()21-m ≥0 ∴()04142>+-m ,即0>∆ ∴对于任何实数m ,该方程总有两个不相等的实数根.例6. 已知关于x 的方程()02122=-+--m x m mx .（1）当m 取何值时,方程有两个不相等的实数根?（2）当m 取何值时,方程有实数根?分析（1）本问为易错问题,显然方程是一元二次方程,学生只注意到0>∆而忽视了二次项系数不等于零;（2）方程可以是一元一次方程,也可以是一元二次方程,故对m 要分两种情况进行讨论.解:（1）由题意可得:()[]()⎩⎨⎧>----=∆≠0241202m m m m 解之得:41->m 且0≠m ; （2）当0=m 时,原方程为02=-x ,解之得:2=x ,故0=m 符合题意;当0≠m 时,()[]()24122----=∆m m m ≥0,解之得:m ≥41-. 综上所述,当m ≥41-时,方程有实数根. 判别式的应用应用一、不解方程,判断一元二次方程根的情况用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的一般步骤:（1）把一元二次方程化为一般式;（2）确定c b a ,,的值（注意符号）;（3）计算ac b 42-=∆的值;（4）根据∆的符号确定一元二次方程根的情况.例7. 不解方程,判断下列方程的根的情况:（1）2532-=x x ; （2）041242=+-x x ; （3）()0142=-+y y .分析:不解方程,判断一元二次方程根的情况时,要先把一元二次方程化为一般形式,然后准确确定c b a ,,的值,包括符号,再计算出ac b 42-=∆的值,由∆的符号确定一元二次方程根的情况.解:（1）02532=+-x x∵()01242523452>=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根;（2）∵()044414422=-=⨯⨯--=∆ ∴该方程有两个相等的实数根;（3）0442=+-y y∵()06364144412<-=-=⨯⨯--=∆∴该方程没有实数根.例8. 求证:对于任何实数m ,关于x 的一元二次方程02222=-+-m mx x 总有两个不相等的实数根.分析:本题只需证明对于任何实数m ,该方程根的判别式∆总是大于0即可. 证明:()()22422---=∆m m()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵()21-m ≥0∴()04142>+-m ,即0>∆∴对于任何实数m ,该方程总有两个不相等的实数根.应用二、已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围有下面的结论:（1）若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）有实数根,则ac b 42-=∆≥0; ①若一元二次方程有两个不相等的实数根,则042>-=∆ac b ;②若一元二次方程有两个相等的实数根,则042=-=∆ac b .（2）若一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）没有实数根,则042<-=∆ac b . 例9. 当k 为何值时,关于x 的一元二次方程0542=-+-k x x :（1）有两个不相等的实数根;（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根.分析:先得到∆的表达式,然后根据方程根的情况确定∆的符号,从而建立相应的关于k 的不等式求解.解:()()k k 4365442-=---=∆（1）∵该方程有两个不相等的实数根∴0>∆,即0436>-k解之得:9<k ;（2）∵该方程有两个相等的实数根∴0=∆,即0436=-k解之得:9=k ;（3）∵该方程没有实数根∴0<∆,即0436<-k ,解之得:9>k .易错警示:在已知一元二次方程根的情况下确定字母的值或取值范围时,不要忽视二次项系数不等于0的限制.例10. 已知关于x 的一元二次方程()()0112122=+++-x m x m 有实数根,求实数m 的取值范围. 分析:一元二次方程有实数根的条件是其∆≥0.错解:()[]()141222--+=∆m m ()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m∵该一元二次方程有实数根∴∆≥0,即88+m ≥0解之得:m ≥1-∴实数m 的取值范围是m ≥1-.错因分析:错解忽视了一元二次方程的二次项系数受到不等于0的限制. 正解:()[]()141222--+=∆m m ()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m∵该一元二次方程有实数根∴⎩⎨⎧≥+=∆≠-088012m m 解之得:1->m 且1≠m∴实数m 的取值范围是1->m 且1≠m .例11. 已知c b a ,,为△ABC 的三边长,且关于x 的一元二次方程()()022=-+-+-a b x b a x c b 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.解:△ABC 为等腰三角形.理由如下:()[]()()a b c b b a ----=∆422ac bc ab a acbc ab b b ab a 444444444842222-+-=-++-+-==()()c a b a --4∵该方程有两个相等的实数根∴()()04=--=∆c a b a∴0=-b a 或0=-c a∴b a =或c a =∴△ABC 为等腰三角形.应用三、判断抛物线与x 轴的相交情况当抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相交时,0=y ,对应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根,此时ac b 42-=∆≥0;当抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点时,对应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 无实数根,此时042<-=∆ac b .因此,抛物线与x 轴的相交情况可以转化为对应的一元二次方程根的情况.于是,我们既可以用判别式ac b 42-=∆来判断一元二次方程根的情况,又可以判断抛物线与x 轴的相交情况.“∆”被赋予了鲜明的代数意义和几何意义.（1）当042>-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根21,x x ,抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个不同的交点()0,1x 、()0,2x ;（2）当042=-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个相等的实数根21x x =,抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴只有一个交点,即⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b ; （3）当042<-=∆ac b 时,一元二次方程()002≠=++a c bx ax 没有实数根,抛物线()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点.例12. 判断下列抛物线与x 轴的相交情况:（1）1432++=x x y ; （2）962-+-=x x y ;（3）1242+-=x x y .分析:同判断一元二次方程根的情况,判断抛物线与x 轴的相交情况时,要先将抛物线的解析式化为一般式,然后进行判断.解:（1）∵0412*******>=-=⨯⨯-=∆∴抛物线1432++=x x y 与x 轴有两个交点;（2）∵()()0363691462=-=-⨯-⨯-=∆∴抛物线962-+-=x x y 与x 轴只有一个交点;（3）∵()01216414422<-=-=⨯⨯--=∆∴抛物线1242+-=x x y 与x 轴无交点.例13. 已知抛物线122-++=m x x y .（1）当m 取何值时,抛物线与x 轴有两个交点?（2）当m 取何值时,抛物线与x 轴只有一个交点?并求出这个交点坐标;（3）当m 取何值时,抛物线与x 轴没有交点?解:()m m 481422-=--=∆（1）∵抛物线与x 轴有两个交点∴0>∆,即048>-m解之得:2<m ;（2）∵抛物线与x 轴只有一个交点∴0=∆,即048=-m解之得:2=m此时,交点坐标为()0,1-;（3）∵抛物线与x 轴没有交点∴0<∆,即048<-m解之得:2>m .尝试练习:1. 抛物线m x x y +-=62与x 轴没有交点,则m 的取值范围是__________.2. 抛物线()m x x m y 21212++-=与坐标轴有且只有2个交点,则=m _________. 应用四、判断抛物线与直线的相交情况在同一平面直角坐标系中,判断抛物线与直线的相交情况时,可以将问题转化为它们的解析式组成的一元二次方程的根的情况.例14. 当m 取何值时,抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点?解:由两个函数的解析式可得方程组:⎩⎨⎧+=-++=mx y m x x y 2122 整理得到:012=--+m x x∵抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点∴()0541412=+=++=∆m m解之得:45-=m ∴当45-=m 时,抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点.尝试练习:若直线m x y +=与抛物线x x y 32+=有交点,则m 的取值范围是【】（A ）m ≥1- （B ）m ≤1- （C ）1>m （D ）1<m应用五、和二次项系数结合确定抛物线与x 轴的两个交点之间的距离对于抛物线()02≠++=a c bx ax y ,当042>-=∆ac b 时,抛物线与x 轴有两个不同的交点()0,1x 、()0,2x ,这两个交点之间的距离为ax x ∆=-21. 尝试练习: 求当a 为何值时,二次函数3222++-=a ax x y 的图象与x 轴的两个交点之间的距离是3.（答案:23-=a 或27=a ）根与系数的关系定理（韦达定理）知识梳理对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,利用配方法可将其变形为:222442a ac b a b x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+. 因为0≠a ,所以042>a :（1）当042>-ac b 时,方程有两个不相等的实数根; （2）当042=-ac b 时,方程有两个相等的实数根; （3）当042<-ac b 时,方程没有实数根.由此可知,一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的根的情况可由ac b 42-来判定.我们把ac b 42-叫做一元二次方程根的判别式,用“∆”表示.由上面可知,对于一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）,当ac b 42-=∆≥0时,方程有两个实数根21,x x ,不妨设aacb b x a ac b b x 24,242221---=-+-=,则有:ab a b x x -=-=+2221 a caac b b x x =+-=2222144. 以上根与系数的关系即为韦达定理.由韦达定理还可得到:()()21221221214x x x x x x x x -+=-=-,此外,还有:aa acb a ac b b a ac b b x x ∆=-=-----+-=-4242422221.今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论. 作为韦达定理的特殊情况,当二次项系数为1时,有下面的重要结论: 对于一元二次方程02=++q px x ,当q p 42-≥0时,则有:q x x p x x =-=+2121,.例题讲解例15. 若21,x x 是方程0201922=-+x x 的两个根,试求下列各式的值:（1）2221x x +; （2）2111x x +; （3）()()5521--x x ; （4）21x x -. 分析利用韦达定理,可以求一些对称代数式的值,关键在于对代数式进行变形,使之出现两根之和、两根之积.解:由根与系数的关系定理可得:2019,22121-=-=+x x x x .（1）()()()404220192222212212221=-⨯--=-+=+x x x x x x ;（2）201922019211212121=--=+=+x x x x x x ; （3）()()()()19842525201925555212121-=+-⨯--=++-=--x x x x x x ; （4）()()()()5054201942422122122121=-⨯--=-+=-=-x x x x x x x x .例16. 已知两个数的和为4,积为12-,求这两个数.解法一:设这两个数分别为y x ,,则有⎩⎨⎧-==+124xy y x解之得:⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=26,622211y x y x ∴这两个数分别为2-和6.解法二:由根与系数的关系定理可知,这两个数是方程01242=--x x 的两个根. 解这个方程得:6,221=-=x x ∴这两个数分别为2-和6.例17. 已知βα,是方程0522=-+x x 的两个实数根,求33βαβα++的值. 分析本题考查一元二次方程根与系数的关系定理.需要用到下面的变形:()()()()[]αββαβαβαβαβαβα322233-++=+-+=+()()βααββα+-+=33.解:由韦达定理可知:5,2-=-=+αββα ∴33βαβα++()()αββααββα++-+=33()()()525323--⨯-⨯--=43-=.例18. 已知关于x 的方程()0141122=+++-k x k x ,根据下列条件,分别求出k 的值:（1）方程的两个实数根21,x x 的积为5; （2）方程的两个实数根21,x x 满足21x x =.解:（1）由题意可得:()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=≥⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=∆514101414122122k x x k k 解之得:4=k ; （2）分为两种情况:①当01>x 时,则有21x x =,方程有两个相等的实数根∴()[]01414122=⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=∆k k ,解之得:23=k ;②当01<x 时,则有21x x =- ∴0121=+=+k x x ,解之得:1-=k∵()[]01414122>⎪⎭⎫⎝⎛+-+-=∆k k （方程有两个不相等的实数根）∴23>k ∴1-=k 不符合题意,舍去. 综上所述,当23=k 时,方程的两个实数根21,x x 满足21x x =. 例19. 已知关于x 的一元二次方程()012142=-+++m x m x . （1）求证:不论m 为何实数,方程总有两个不相等的实数根; （2）若方程的两根为21,x x ,且满足211121-=+x x ,求m 的值. （1）证明:()()124142--+=∆m m51648181622>+=+-++=m m m m∴不论m 为何实数,方程总有两个不相等的实数根;（2）解:由根与系数的关系定理可得:()12,142121-=+-=+m x x m x x ∵211121-=+x x∴2112142121-=-+-=+m m x x x x 解之得:21-=m . 例20. 已知关于x 的方程()()013212=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根21,x x .（1）求k 的取值范围;（2）是否存在实数k ,使方程的两个实根互为相反数?如果存在,求出k 的值;如果不存在,请说明理由.解:由题意可得:()()()⎩⎨⎧>+---=∆≠-011432012k k k k 解之得:1213<k 且1≠k ; （2）若方程的两个实根互为相反数,则013221=---=+k k x x 解之得:23=k ∵1213<k 且1≠k ∴23=k 不符合题意,舍去∴不存在实数k ,使方程的两个实根互为相反数.构造以两个实数为根的一元二次方程以()2121,x x x x ≠为实数根的一元二次方程可以是()()021=--x x x x或()021212=++-x x x x x x .实际上,设以()2121,x x x x ≠为两个实数根的一元二次方程为02=++q px x ,由根与系数的关系定理可得:q x x p x x =-=+2121,所以,构造的一元二次方程为()021212=++-x x x x x x .另外,()()021=--x x x x ,展开整理可得()021212=++-x x x x x x . 构造一元二次方程求代数式的值有一类题目,根据所给条件的特点,可以构造出以两个字母为实数根的一元二次方程.结合根与系数的关系定理,可以确定代数式的值.需要注意的是,要分两种情况进行讨论: ①两个字母的值相等;②两个字母的值不相等,方程有两个不相等的实数根,此时根据根与系数的关系定理得出两根之和与两根之积,整体代入求值.例21. 如果n m ,是两个不相等的实数,且满足3,322=-=-n n m m ,求代数式2015222++-m mn n 的值.解:由题意可知,n m ,是一元二次方程032=--x x 的两个不相等的实数根 ∴3,1-==+mn n m ∴2015222++-m mn n()()201512322+-+--=n n ()202022+-=n n2026202032=+⨯=.例22.（四川成都外国语学校自主招生）若实数b a ,满足b b a a 85,8522=+=+,求代数式1111--+--b a a b 的值. 解:由题意可知,实数b a ,是关于x 的一元二次方程0582=+-x x 的两个根. 分为两种情况:①当b a =时,符合题意,此时211111111=--+--=--+--b b a a b a a b ; ②当b a ≠时,由根与系数的关系定理可知:5,8==+ab b a .∴()()()()()()()122211111111222++-++--+=---+-=--+--b a ab b a ab b a b a a b b a a b202401852825282-=-=+-+⨯-⨯-=.综上所述,所求代数式的值为2或20-.例23. 先阅读第（1）题的解答过程,再解第（2）题: （1）已知实数b a ,满足b b a a 22,2222-=-=,且b a ≠,求abb a +的值; 解:∵b b a a 22,2222-=-= ∴022,02222=-+=-+b b a a ∵b a ≠∴b a ,是方程0222=-+x x 的两个不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:2,2-=-=+ab b a∴()()()4222222222-=--⨯--=-+=+=+ab ab b a ab b a a b b a ; （2）已知0522=--p p ,且q p ,为实数.①若0522=--q q ,且q p ≠,则=+q p ________,=pq ________; ②若01252=-+q q ,且1≠pq ,求221qp +的值. （2）解:① 2 , 5-; ②∵01252=-+q q ∴05212=++-q q∴05212=--q q ,即051212=-⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q q ∵1≠pq ∴qp 1≠∵0522=--p p∴qp 1,是方程0522=--x x 的两个不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:5,21-==+qpq p ∴()145222112222=-⨯-=⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+q pq p q p . 例24. 阅读材料:材料1 若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为21,x x ,则abx x -=+21,ac x x =21.材料2 已知实数n m ,满足01,0122=--=--n n m m ,且n m ≠,求n mm n +的值.解:由题意可知:n m ,是方程012=--x x 的两根不相等的实数根 ∴1,1-==+mn n m∴()31212222-=-+=-+=+=+mn mn n m mn n m n m m n . 根据上述材料解决下列问题:（1）一元二次方程01322=-+x x 的两根为21,x x ,则=+21x x _________,=21x x _________;（2）已知实数n m ,满足0122,012222=--=--n n m m ,且n m ≠,求22mn n m +的值;（3）已知实数q p ,满足132,2322+=+=q q p p ,且q p 2≠,求224q p +的值.解:（1）21,23--;（2）由题意可知:n m ,是方程01222=--x x 的两根不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:21,1-==+mn n m∴22mn n m +()21121-=⨯-=+=n m mn ;（3）设q t 2=,则t q 21=∵1322+=q q ∴232+=t t 由题意可知:t p ,是方程0232=--x x 的两根不相等的实数根由根与系数的关系定理可得:22,32-===+=+pq pt q p t p∴()pq q p q p 2224222⋅-+=+()132232=-⨯-=.构造一元二次方程求参数的取值范围例25.（深圳市高级中学）已知实数b a ,满足122=++b ab a ,且22b a ab t --=,那么t 的取值范围是______. 解:122=++b ab a ①,22b a ab t --=② ①+②得:21+=t ab . 把21+=t ab 代入①得:()232112+=++=+t t b a ≥0∴t ≥3-,23+±=+t b a ∴实数b a ,是关于x 的一元二次方程021232=+++±t x t x 的两个根∴214232+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=∆t t ≥0,解之得:t ≤31-. ∴t 的取值范围是3-≤t ≤31-.构造一元二次方程求函数值的取值范围或函数的最值形如fex dx cbx ax y ++++=22（d a ,中至少有一个不为0）的函数常用判别式法求函数值的取值范围（高中称值域）.具体做法是:先把函数转化为关于x 的一元二次方程,然后通过方程有实数根,判别式∆≥0,求出y 的取值范围,即函数值的取值范围.（注意对二次项系数的讨论）.当然,求出了函数值的取值范围,就可以确定函数的最值了.例26. 求函数122+--=x x xx y 的函数值的取值范围.分析:（1）因为04321122>+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-x x x ,所以无论x 取任何实数,≠+-12x x0恒成立.因此可以在函数的左右两边同时乘以12+-x x ,整理可得关于x 的方程;（2）对于（1）中所得的方程,要对二次项系数进行讨论:当二次项系数不等于0时,方程为一元二次方程,根据方程有实数根,从而∆≥0,即可求出y 的取值范围.解:由题意可知:自变量x 的取值范围为全体实数,且012≠+-x x ∴()x x x x y -=+-221 整理得关于x 方程为:()()0112=+-+-y x y x y①当1=y 时,01=显然不成立,舍去; ②当1≠y 时,方程为一元二次方程. ∵该方程有实数根∴()()1412---=∆y y y ≥0解之得:31-≤y ≤1∴31-≤1<y ,即该函数函数值的取值范围为31-≤1<y .点评由函数值的取值范围易知,函数122+--=x x x x y 存在最小值31-,无最大值,但函数图象一定位于直线1=y 的下方（如图所示）.请你按照上面的方法,求函数3274222++-+=x x x x y 的函数值的取值范围.构造一元二次方程进行因式分解对于关于x 的二次三项式c bx ax ++2（0≠a ）,当ac b 42-≥0时,该多项式可在实数范围内进行因式分解,结果为:()()212x x x x a c bx ax --=++（0≠a ）.其中,21,x x 是方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根.实际上,由根与系数的关系定理可得:acx x a b x x =-=+2121,,所以:()()()a c a x a b a ax x ax x x x a ax x x x x a ⋅+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=++-=--22121221c bx ax ++=2（0≠a ）.例27. 二次三项式在实数范围内分解因式的公式是:()()212x x x x a c bx ax --=++,其中21,x x 是方程02=++c bx ax ()0≠a 的两根.例如:在实数范围内分解因式:1422--x x 解:解方程01422=--x x 得:262,26221-=+=x x ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--26226221422x x x x . 请根据以上材料做下面两题:（1）在实数范围内分解因式:1632--x x ;（2）二次三项式6322+-x x 能否在实数范围内分解因式?为什么? 解:（1）解方程01632=--x x 得:3323,332321-=+=x x ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--3323332331632x x x x （2）不能.理由如下:令06322=+-x x ∵()03962432<-=⨯⨯--=∆∴该方程无实数根∴二次三项式6322+-x x 不能在实数范围内分解因式. 一元二次方程的根的两种分布（零分布和K 分布）在高中阶段,我们经常会遇到一元二次方程的实数根与零或非零实数比较大小的问题,这些都属于一元二次方程的实根分布问题.一元二次方程的实根与零比较大小的问题是方程实根的零分布问题,这些问题包括:（1）一元二次方程有两个正实数根; （2）一元二次方程有两个负实数根;（3）一元二次方程一个根大于零,另一根小于零,即方程有两个相异实数根. 一元二次方程与一个实数或两个实数比较大小的问题是方程实根的K 分布问题,常见的包括:（1）一元二次方程的两个实数根都大于实数k ; （2）一元二次方程的两个实数根都小于实数k ;（3）一元二次方程有一个实数根大于实数k ,另一个实数根小于k ; （4）一元二次方程的两个实数根都大于实数1k ,都小于实数2k . ……一元二次方程有两个正实数根一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正实数根的条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥-=∆000421212ac x x a b x x ac b . 一元二次方程有两个负实数根一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个负实数根的条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥-=∆000421212ac x x a b x x ac b . 一元二次方程有两相异实数根一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两相异实数根的条件是:⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=∆004212acx x ac b , 或0<ac .例28. 已知二次函数()132+-+=x m mx y 的图象与x 轴有两个不同的交点A 、B .（1）若点A 、B 都在x 轴的正半轴上,求实数m 的取值范围; （2）若点A 、B 都在x 轴的负半轴上,求实数m 的取值范围;（3）若点A 在x 轴的正半轴上,点B 在x 轴的负半轴上,求实数m 的取值范围.分析:首先,实数m 应满足不等式组()⎩⎨⎧>--=∆≠04302m m m .（1）点A 、B 都在x 轴的正半轴上,说明方程()0132=+-+x m mx 有两个不相等的正实数根.（2）点A 、B 都在x 轴的负半轴上,说明方程()0132=+-+x m mx 有两个不相等的负实数根.（3）点A 在x 轴的正半轴上,点B 在x 轴的负半轴上,即方程()0132=+-+x m mx 有两个相异实数根.解:由题意可知:()⎩⎨⎧>--=∆≠04302m m m 解之得:1<m 且0≠m 或9>m（1）由题意可知,方程()0132=+-+x m mx 有两个不相等的正实数根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->≠<0103901mm m m m m 或且,解之得:10<<m ; （2）由题意可知:方程()0132=+-+x m mx 有两个不相等的负实数根∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><-->≠<0103901mm m m m m 或且,解之得:9>m ; （3）由题意可知:方程()0132=+-+x m mx 有两个相异实数根∴⎪⎩⎪⎨⎧<>≠<01901mm m m 或且,解之得:0<m .一元二次方程的两个实数根都大于实数k一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根都大于实数k 的条件是:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥∆0002121k x k x k x k x . 一元二次方程的两个实数根都小于实数k一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实数根都小于实数k 的条件是:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--<-+-≥∆0002121k x k x k x k x . 一元二次方程有一个实数根大于实数k ,另一个实数根小于k一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有一个实数根大于实数k ,另一个实数根小于k 的条件是:()()⎩⎨⎧<-->∆0021k x k x . 或者构造二次函数()02≠++=a c bx ax y ,只需满足条件:()0<⋅k f a .例29. 已知21,x x 是关于x 的方程()011222=-++-k x k x 的两个实数根,且21,x x 都大于1.（1）求实数k 的取值范围; （2）若2121=x x ,求k 的值. 解:（1）由题意可得:()[]()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>++--=-->-+=-+-≥--+-=∆0112111021211014122212122k k x x k x x k k解之得:21+>k ;（2）由题意可得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=+>∆122212121120x x k x x k x x ,∴()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=->31223124521k x k x k∵1221-=k x x∴()1129222-=+k k 解之得:334,34421-=+=k k .例30. 已知二次函数()132+-+=x m mx y 的图象与x 轴有两个不同的交点A 、B .若点A 在x 轴的正半轴上,点B 在x 轴的负半轴上,求实数m 的取值范围. 解: 由题意可知:方程()0132=+-+x m mx 有两个相异实数根∴()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=>--=∆≠010430212mx x m m m ,解之得:0<m . 例31. 已知方程()00122≠=-+-m m mx mx 有一个正根,一个负根,求m 的值取值范围.解: 由题意可得:()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>---=∆01142212m m x x m m m 解之得:10<<m .例32. 求当m 取什么实数时,方程()05242=-+-+m x m x 有一正根和一负根,且正根的绝对值大于负根的绝对值.解法一:由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧<>+>∆0002121x x x x ,即()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<->-->---0454251622m m m m 解之得:2<m .解法二:设()()5242-+-+=m x m x x f ,根据题意画出函数大致图象如图所示.由()⎪⎩⎪⎨⎧>⨯--<-=0422050m m f 可得:2<m .尝试练习:1. 已知关于x 的方程0222=+++m mx x ,求: （1）当m 为何值时,方程的两个根都是正数;（2）当m 为何值时,方程的两个根一个大于0,另一个小于0; （3）当m 为何值时,方程的两个根一个大于1,另一个小于1.2. 设一元二次方程0622=-++a ax x 的根分别满足下列条件,求实数a 的取值范围:（1）二根均大于1;（2）一根大于1,另一根小于1.三个“二次”之间的联系见下面的表格.表: 一元二次方程、二次函数以及一元二次不等式的关系:。