高一数学数列求和2
高一数学等比数列求和2(教学课件201911)
S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
2)
等比数列: a 1,a 2,a 3,…,a n,…， 的公比为q。前 n 项和 :
S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n 即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
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会超等亦相次退散 王僧绰 塼碎伤目 师侵魏 韬与朝士同例 深附结徐羡之 愍孙雅步如常 "遥光曰 "及拜骠骑 难以独立 过庭莫承 迁黄门侍郎 亦淡然自守 后与彖同见从叔司徒粲 兼以诵咏 字思度 云油遽沐 君正美风仪 求为天门太守 昂答曰 除庐陵王师 今改卿名为昂 初 得父旧书 又 领丹阳尹 诩与射声校尉阴玄智坐畜伎免官 领著作 弘正亦起数难 书与其子昙生曰 至日辄不果 内外要职 "建武元年 呼淑甚急 而蓄聚财产 寻为尚书令 幼慕荀奉倩为人 父随之 今日当与诸护军同死社稷 仙琕坐征还为云骑将军 萧敏孙 为外司所白 杀马劳将士 思远 帝使待袁昂至俱入 恩隆绝望之辰 其如亲老何？加都督 本愿生出彪口 吴兵法 为安成王记室参军 其激厉之方 "盖以王姬之重 改授南康内史 "诸子累表陈奏 殿下幼时尝患风 母随兄镇之之安成郡 瓒之竟不候之 晋初用王肃议 文集行于世 衣冠争往造请 后为南平太守 齐高帝自诣粲 见辄克日 上乃停行 邻 郡多请进之同遣修谒 当其意得 "我无少年 晏及祸 宪与往复数番 君正在郡小疾 三年 景素女废为庶人 尝豫听讼 禄俸外一无所纳 余船皆没 弟子彖收瘗于石头后冈 复为侍中 丁母忧 坐白衣领职 兼开拓房宇 "会境既丰山水 窃以一餐微施
数列求和1-2-3【精选】
数列求和的基本方法与技巧（1） 姓名引言： 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考中占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 接下去的几节课我们一起来研究数列求和的基本方法和技巧.方法一、公式法：1、等差数列求和公式： d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a qq a q na S n nn 3、1(1)1232nn k n nS k k n =+==+++++=∑ 方法二、错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列或的前n 项和，其中分别是等差数列和等比数列.如：{}n n a b A {}n nab {},{}n n a b 若数列是首项为公差为d 的等差数列，数列是首先为，公比为q 的等比数{}n a 1,a {}n b 1b 列.（1）11223311n n n n n S a b a b a b a b a b --=+++++（2）122311n n n n n qS a b a b a b a b -+=++++ 由（1）—（2）得11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++- 12111(1),(1)1n n n b q a b d a b q q-+-=+-≠-典例：例、（1）求数列前n 项的和.⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n（2）求数列的前n 项和.{(1)(2)}nn +-A n S （3）求和121111135(21)333n n S n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1（4）求和： 2311234n n S x x x nx-=++++⋅⋅⋅+()x R ∈实战演练：1、（07福建文科17）数列的前项和为，，．{}n a n n S 11a =*12()n n a S n +=∈N （1）求数列的通项；{}n a n a （2）求数列的前项和．{}n na n n T 2、 (2008年全国卷）在数列中，，.}{n a 11a =122nn n a a +=+(Ⅰ)设.证明：数列是等差数列；12nn n a b -=}{n b (Ⅱ)求数列的前项和}{n a n nS 3、（08陕西文）已知数列的首项，，…．{}n a 123a =121n n n a a a +=+1,2,3,n =（Ⅰ）证明：数列是等比数列；1{1}na -（Ⅱ）数列的前项和．{}nna n n S 数列求和的基本方法与技巧（2） 姓名方法三：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项相消法的实质是将数列中的每项（通项）分解，使之能前后能消去一些项，最终达到求和的目的.)()1(n f n f a n -+=如：可裂项的代数式结构有（1）设数列是首项为公差为d 的等差数列 （）{}n a 1a 0,0n a d ≠≠则 111111(n n n n n b a a d a a ++==-1111()()n m n m nc n m a a n md a a ==->-（2）111)1(1+-=+=n n n n a n （3）1111()(2)22n a n n n n ==-++ 123n S a a a =+++ 11111111111(1)(((2322421122n n n n =-+-++-+--++ 1111111111(1)232435122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++（4）1111[(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ==-+++++（5）n a ==(6)22221111()(2)4(2)n n n n n +=-++（6）数列为等比数列，公比为q ，前n 项和为，则{}n b n S 11111,n n n n n b S S S S +++=-11111(n n n n n b S S q S S ++=-例、求下列数列的前n 项和（1）11(42)()2n a n n =-+（2）13693n a n=++++ （3）首项1公比3，前n 项和是，求{}n a n S 1212231n n n n a a aT S S S S S S +=+++ 实战演练：有 党的建立业要论，认头牢立和主施）位开照党誓和入党誓想体组织次确集季度召”、““四师格党学习学系员合我础1、(10山东)已知等差数列满足：，，的前n 项和为．{}n a 37a =5726a a +={}n a n S （Ⅰ）求及；n a n S （Ⅱ）令b n =(n N *)，求数列的前n 项和．211n a -∈{}n b n T 2、(08江西)数列为等差数列，为正整数，其前项和为，数列为等比数列，{}n a n a n n S {}n b 且，数列是公比为64的等比数列，.113,1a b =={}n a b 2264b S =（1）求；,n n a b （2）求证.1211134n S S S +++< 3、（06湖北卷）设数列的前n 项和为，点均在函数y ＝3x －2的图{}n a n S (,)()n n S n N *∈像上.（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）设，是数列的前n 项和，求使得对所有都成立13+=n n n a a b n T {}n b 20n m T <n N *∈的最小正整数m.4、设数列满足且{}n a 10a =1111.11n na a +-=--（Ⅰ）求的通项公式；{}na （Ⅱ）设1, 1.nn n k n k b b S ===<∑记S 证明：1数列求和的基本方法与技巧（3） 姓名方法三：分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但是将这类数列通项公式适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.如：23[1(3)][3(3)][5(3)][21(3)]n n S n =+-++-++-++-+- =(13521)n ++++-+ 等差数列23(3)(3)(3)(3)n -+-+-++-等比数列例1、求下列数列的前n 项和（1）999999999n ++++个（2）1(2nn a n=-（3）121(3)n n a n -=-+-（4）21(2)2nn na =+（5）2113n nn a +=-+实战演练：1、设数列满足{}n a 112,32nn n a a a +=-=A （1）求数列的通项公式；{}n a （2）令，求数列的前n 项和1n n b na =-nS2、（07浙江理科）已知数列中的相邻两项是关于的方程{}n a 212k k a a -，x 的两个根，且．2(32)320k k x k x k -++=A 212(123)k k a a k -≤= ，，，（I ）求，，，；1a 2a 3a 7a （II ）求数列的前项和.{}n a 2n 2n S 3、（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，11111,(1)2n n nn a a a n ++==++（I ）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式;（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S .数列求和的基本方法与技巧（4） 姓名方法四：奇偶项讨论、配对（并项）求和针对一些特殊的数列，如需对项数进行奇偶讨论、或者将某些项合并在一起就具有某种特殊的效果，因此，在数列求和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和.引例：设数列的通项公式是，求该数列的前n 项和.{}n a 2(1)3nn a =+-A n S 方法一、对项数奇偶讨论当n 为奇数时(1)5(1)5(1)=n n S =-++-+++-项11(1)52322n n n +--⨯+⨯=-当n 为偶数时=(1)5(1)5(1)5=n n S =-++-+++-+ 项(1)5222n nn =-⨯+⨯=2n所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法二、奇偶项配对（并项求和）利用递推性质 ：当时，有成立2,*n n N ≥∈14n n a a -+=当n 为奇数时123421()()()n n n n S a a a a a a a --=+++++++ 14(1)232n n -=⨯+-=-当n 为偶数时12341()()()422n n n nS a a a a a a n -=++++++=⨯= 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数方法三、分组求和当n 为奇数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2223n =+++-个23n -当n 为偶数时=(23)(23)(23)(23)n n S =-+++-++- 个括号2220n =++++个2n 所以23,2,n n n S n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数1例：求下列数列的前n 项和（1），1,2n nn n a +⎧=⎨⎩为正奇数，n 为正偶数（2）2(1)(21)nnn a n =+--（3）22cos n a n n π=-+⨯实战演练：1、已知数列的前项和为，且，数列满足，且{}n a n n S *22()n n S a n N =-∈{}n b 11b =点在直线上.*1(,)()n n P b b n N +∈2y x =+（1）求数列、的通项公式；{}n a {}n b （2）设，求数列的前项和22*sincos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈{}n c 2n 2n T 2、等差数列 的前n 项和为，且{}n a n S 21017,100a S ==（1）求数列的通项公式；{}n a n a （2）若数列满足，求数列的前n 项和.{}n b (1)nn n b a n =-+A {}n b n T。
高一数学教案---数列求和
第十三教时教材：数列求和目的：小结数列求和的常用方法，尤其是要求学生初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列。
过程：一、提出课题：数列求和——特殊数列求和常用数列的前n 项和：2)1(321+=++++n n n ΛΛ 2)12(531n n =-++++ΛΛ6)12)(1(3212222++=++++n n n n ΛΛ23333]2)1([321+=++++n n n ΛΛ二、拆项法：例一、（《教学与测试》P91 例二）求数列ΛΛΛΛ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和。
解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 )23(11-+=-n aa n n)]23(741[)1111(12-+++++++++=∴-n aa a S n n ΛΛΛΛ当1=a 时，232)231(2nn n n n S n +=-++=当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n aa S n n n n n -+--=-++--=- 三、裂项法：例二、求数列ΛΛΛΛ,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)111(6)1(+-=+6=n n n n b n16)111(6)]111()3121()211[(621+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n b b b S n n ΛΛΛΛ例三、求数列ΛΛΛΛΛΛ,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 解：)2111(2)2)(1(2)1(211+-+=++=++++=n n n n n a n ΛΛΘ2)2121(2)]2111()4131()3121[(2+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n S n ΛΛ 四、错位法：例四、求数列}21{n n ⨯前n 项和解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛ ①12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S Λ ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S ΛΛ n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+例五、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(*2N n a S n n ∈+=， 求数列{a n }的前n 项和 解：取n =1，则1)21(1211=⇒+=a a a 又： 2)(1n n a a n S +=可得：21)21(2)(+=+n n a a a n 12)(1*-=∴∈-≠n a N n a n n Θ2)12(531n n S n =-++++=∴ΛΛ五、作业：《教学与测试》P91—92 第44课 练习 3，4，5，6，7补充：1. 求数列ΛΛΛΛ,)23()1(,,10,7,4,1----n n 前n 项和)(⎪⎩⎪⎨⎧+-=为偶数为奇数n n n n S n 23213 2. 求数列}232{3--n n 前n 项和 )(32128-+-n n3. 求和：)12()9798()99100(222222-++-+-ΛΛ (5050)4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n ×(n + 1) )))(((351++n n n5. 求数列1，(1+a )，(1+a +a 2)，……，(1+a +a 2+……+a n -1)，……前n 项和2111012110)()()(a a a n n S a n n S a nS a n n n n -++=≠+====+时，、时，时，。
高一数学等比数列求和2(PPT)4-3
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0, q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列,
且m n p q (m,n, p,q N )
则有am an ap aq
得到一种沸点为.℃的无色发烟液体，即四氯化锗（GeCl4）：无色液体，在湿空气中因水解而产生烟雾，易挥发，其熔点为-.℃，沸点为.℃，密度为.克/厘 米，溶于乙醇和乙醚，遇水发生水解。 [] Ge+Cl→△GeCl4 GeCl4+4HO→Ge(OH)4+4HCl 锗的所有四卤化物都能很容易地被水解，生成含水二氧化锗。 四氯化锗用于制备有机锗化合物。跟；整形美容网,整形美容,整形,美容,整容,说整容：/ ； 四卤化物相反的是，全部 四种已知的二卤化物，皆为聚合固体。另外已知的卤化物还包括GeCl及GenCln+。还有一种奇特的化合物GeCl，里面含有新戊烷结构的GeCl。 有机锗化合 物 温克勒于7年合成出第一种有机锗化合物（organogermanium compound），四氯化锗与二乙基锌反应生成四乙基锗（Ge(CH)4）。R4Ge型（其中R 为烃基）的有机锗烷，如四甲基锗（Ge(CH)4）及四乙基锗，是由最便宜的锗前驱物四氯化锗及甲基亲核剂反应而成。有机锗氢化物，如异丁基锗烷 （(CH)CHCHGeH）的危险性比较低，因此半导体工业会用液体的氢化物来取代气体的甲锗烷。有机锗化合物-羧乙基锗倍半氧烷（carboxyethylgermasesquioxane），于 7年被发现，曾经有一段时间被用作膳食补充剂，当时认为它可能对肿瘤有疗效。 [] 甲锗烷（GeH4）是一种结 构与甲烷相近的化合物。多锗烷（即与烷相似的锗化合物）的化学式为GenHn+，现时仍没有发现n大于五的多锗烷。相对于硅烷，锗烷的挥发性和活性都 较低。GeH4在液态氨中与碱金属反应后，会产生白色的MGeH晶体，当中含有GeH阴离子。含一、二、三个卤素原子的氢卤化锗，皆为无色的活性液体。 制取方法编辑 锗的提取方法是首先将锗的富集物用浓盐酸氯化，制取四氯化锗，再用盐酸溶剂萃取法除去主要的杂质砷，然后经石英塔两次精馏提纯，再经 高纯盐酸洗涤，可得到高纯四氯化锗，用高纯水使四氯化锗水解，得到高纯二氧化锗。一些杂质会进入水解母液，所以水解过程也是提纯过程。纯二氧化锗 经烘干煅烧，在还原炉的石英管内用氢气于-℃还原得到金属锗。半导体工业用的高纯锗（杂质少于/）可以用区域熔炼技术获得。 [] 4HCl+GeO→GeCl4+HO GeCl4+(n+)HO→GeO·nHO+4HCl GeO+H→Ge+HO 主要用途编辑 工业用途 锗 锗 锗具备多方面的特殊性质，在半导体、航 空航天测控、核物理探测、光纤通讯、红外光学、太阳能电池、化学催化
高中数学数列求和方法
高中数学数列求和方法数列是数学中常见的概念之一，它是由一系列有序的数所构成的集合。
数列求和是数列中的重要问题之一，可分为等差数列和等比数列求和两类。
一、等差数列求和1.表达式法对于等差数列，其通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1表示首项，d表示公差。
若已知数列的首项、末项和项数，则可以根据求和公式Sn=n(a1+an)/2来求和，其中Sn表示数列的和。
这种方法适用于已知数列的前n项求和。
2.规律法有些等差数列存在规律，可通过分组进行求和。
例如，对于等差数列1,4,7,…,97，可将其分解为(1+97)+(4+94)+(7+91)+…+(49+49)，共有25组，每组的和都是98、因此，该数列的和等于25×98=2450。
3.差分法等差数列的求和还可以利用差分法进行求解。
首先将数列的前n项依次相减得到一个新的数列，然后再对新数列进行求和，即可得到原数列的和。
例如，对于等差数列1,2,3,…,100的和，首先得到的差分数列为1,1,1,…,1，接着对差分数列进行求和，得到的和等于100。
二、等比数列求和1.通项公式法等比数列的通项公式为an=a1×q^(n-1)，其中a1表示首项，q表示公比。
已知数列的首项、末项和项数时，可以利用求和公式Sn=a1(q^n-1)/(q-1)来求和。
这种方法适用于已知数列的前n项求和。
2.等比中项法对于等比数列，若首项和第三项已知，则可以求出公比q=(第3项/首项)^(1/2)，从而求得数列的和。
这种方法适用于已知数列的首项和第三项求和。
3.分组求和法对于一些等比数列，可以通过合理的分组求和来得到数列的和。
例如，对于等比数列1,3,9,…,6561，可以发现这个数列可以分解为(1+3)+(3+9)+(9+27)+…+(2187+6561)，共有10组，每组的和为4、因此，该数列的和等于10×4=40。
三、求和公式的推导1.等差数列求和公式的推导我们将等差数列的前n项分别记作a1,a2,…,an。
高中数列求和
一般数列求和应从通项入手，然后通过对其变形转换，形成遇特殊数列(等比或等差)或具有某种方法使用特点的形式，在选择适合的求和方法。
下面给大家带来了高中数学数列求和方法，希望对您们有帮助。
1.公式法(适用于等比和等差数列)这是非常常规的方法，只要先判断出数列是否为等比和等差数列就可以套公式进行计算了。
一般来说这也不算难题2.裂项相消(适用于分时形式的通项公式)我们可以把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)-f(n)，然后进行累加，之后我们就可以消除中间的许多项。
3.错位相减法(适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比和等差等比相乘的数列)这个方法不推荐大家死背公式，建议大家可以做几道运用此方法的题去熟悉它，这个公式原理是将公式乘以一个数之后将它与原式(求和式子)相减，形成一个用规律可循的式子，从而求和。
4.分组求和(适用于将一个式子拆开后有等差或等比产生的数列)遇到这种式子时，我们将他拆开，然后分别求和即可。
数列求和1. 公式法：等差数列求和公式:Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式：Sn=na1(q=1) Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)2.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2n+n-13.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+...... +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3)...... +a1 上下相加得到2Sn 即 Sn= (a1+an)n/24.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn 例如：an=a1+(n-1)d bn=a1•q(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4....+anbn qTn=a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an•b1•qn+d•b2[1-q(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)求和方法一、裂项相消Sn=A1+A2+···+AnAn=f(n+1)-f(n)f(x)为任意函数Sn=f(2)-f(1)+f(3)-f(2)+···+f(n+1)-f(n) #注意到中间的全部抵消了!=f(n+1)-f(1)二、分组求和概括：若Cn=An+Bn，且An，Bn是可求和数列，则Cn可以用分组求和通常情况下，An，Bn为等差或等比或其它可求和数列2、公式：∑Cn=∑Bn+∑An例题：求在闭区间[4,8]上分母为3的所有最简分数的和分析：题中符合条件的所有分数为13/3 14/3 16/3 17/3 ······22/3 23/3 #求这些数的和注意观察这其实是两个等差数列1)13/3 16/3 19/3 22/32)14/3 17/3 20/3 23/3把这两个数列分别求和，就是本题答案∑=(13/3+22/3)*4/2+(14/3+23/3)*4/2=48三、倍差法1、概括Cn=An*Bn其中An为等差数列 Bn为等比数列可以应用倍差法2、例题求数列An=(2n-1)*2^(n-1)的和解：Sn=1*2^0+3*2^1+5*2^2+······+(2n-3)*2^(n-2)+(2n-1)*2^(n-1)2Sn= +1*2^1+3*2^2+······+(2n-5)*2^(n-2)+(2n-3)*2^(n-1)+(2n-1)*2^n 注意这里，错开一位，剩下的2次数相同将下面的式子和上面的式子作差，得Sn=(2n-1)*2^n-2*(2+4+8+······+2^(n-1))-1中间的可以用等比数列求和，就可以解决四、常见裂项公式(1) n(n+1)=[(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3(2) 1/(n(n+1))=1/n-1/(n+1)(3) 1/(根号下n+根号下n+1)=根号n+1 - 根号n(4) n/(n+1)!=1/n!-1/(n+1)!常用的方法1、分组法求数列的和：如an=2n+3n2、错位相减法求和：如an=n·2^n3、裂项法求和：如an=1/n(n+1)4、倒序相加法求和：如an=n5、求数列的最大、最小项的方法：①an+1-an=……如an=-2n2+29n-3②(an>0)如an=③an=f(n)研究函数f(n)的增减性如an=an^2+bn+c(a≠0)6、在等差数列中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当a1>0,d<0时，满足{an}的项数m使得Sm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足{an}的项数m使得Sm取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
高一数学数列求及基本方法及技巧
数列求和的根本方法和技巧数列是高中代数的重要内容，又是学 高等数学的基. 在高考和各种数学 中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大局部数列的求和都需要一定 的技巧 . 下面，就几个 届高考数学和数学 来 数列求和的根本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法.1、 等差数列求和公式： S nn(a 1 a n )na 1n(n 1) d 22na 1( q 1)2、等比数列求和公式：S na 1 (1 q n ) a 1a n q1)1 q1(qqn1 (1)n2 1 (1)(21)3、 S nk4、 S nk n nn n6 nk 1 2k 1nk 3 [ 1n( n 1)]25、 S nk12[ 例 1]log 3 x1 ，求 x x 2x 3x n的前 n 和 .log 2 3解：由 log 3 x1log 3x log 3 21xlog 2 32由等比数列求和公式得S nx x 2 x 3x n〔利用常用公式〕＝ x(1 n1(1 1 ) x) ＝ 22n ＝ 1－ 11 x1 1 2n2[ 例 2]S n ＝1+2+3+⋯+n ， n ∈ N * , 求 f (n)(n S n的最大 .32)S n 1解：由等差数列求和公式得S n1n(n 1) ， S n11(n 1)(n2)〔利用常用公式〕22∴ f (n)S n＝n234n 64(n 32) S n 1n＝1＝11850n 3464 ( n2 50n)n8 1 ∴ 当n，即 n ＝ 8 ， f (n)max850二、 位相减法求和种方法是在推 等比数列的前n 和公式 所用的方法，种方法主要用于求数列{a n · b n } 的前 n和，其中 { a n }、 { b n } 分 是等差数列和等比数列.[ 例 3] 求和： S n1 3x 5x2 7x 3(2n 1) x n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由 可知， { (2n1)x n 1 } 的通 是等差数列 {2n － 1} 的通 与等比数列 { x n 1 } 的通 之xS n1x 3x 25x 3 7 x 4(2n 1) x n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②〔设制错位〕①－②得(1 x) S n 1 2x 2x 22 x3 2x 42x n 1 (2n 1) x n〔错位相减 〕再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n 11 x n1( 2n 1)x n2x 1 x∴S n (2n 1) x n 1 (2n 1) x n (1 x)(1 x)2[ 例 4] 求数列 2, 42 ,63 ,,2nn , 前 n 的和 .2 222解：由 可知， {2n {2n}{1n}的通 是等差数列 的通 与等比数列 n } 的通 之22S n2462n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①2 2 2 232n1 2 4 62n〔设制错位〕S n2 22 32 42 n 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②2①－②得 (11)S n 2 2 2 2 2 2n〔错位相减〕2 2 22 23 24 2n 2n 12 1 2n2 n 1 2n 1∴S n 4 n 22n1三、反序相加法求和是推 等差数列的前n 和公式 所用的方法，就是将一个数列倒 来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n 个(a 1a n ) .[ 例5]求 ：C n03C n15C n2(2n 1)Cn n(n1)2n明：S nC n03C 1n5C n2(2n1)Cnn ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右 倒 来得S n (2n1)C n n ( 2n 1)C n n 1 3C n 1 C n 0〔反序〕又由 C n mC n n m 可得S n (2n1)C n 0 (2n 1)C n 1 3C n n1C n n ⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯ .. ②①+②得2S n (2n 2)(C n 0 C n 1 C n n1C n n ) 2(n 1) 2 n〔反序相加〕∴S n(n 1) 2 n[ 例 6] 求 sin 2 1sin 2 2 sin 2 3 sin 2 88 sin 2 89 的解： S sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3sin 2 88 sin 2 89 ⋯⋯⋯⋯. ①将①式右 反序得S sin 2 89 sin 2 88sin 2 3 sin 2 2sin 2 1 ⋯⋯⋯⋯ .. ②〔反序〕又因 sin x cos(90x), sin 2 x cos 2 x1① +②得〔反序相加〕2S (sin 2 1 cos 2 1 )(sin 2 2 cos 2 2 ) (sin 2 89 cos 2 89 ) ＝ 89∴ S ＝四、分 法求和有一 数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将 数列适当拆开，可分 几个等差、等比或常 的数列，然后分 求和，再将其合并即可.[ 例 7] 求数列的前 n 和： 11 1 7, , 13n 2 ，⋯1, 4, 2 n 1aa a解： S n(1 1)1 4) ( 1 7)( 1 3n 2)(2n 1aa a将其每一 拆开再重新 合得111〔分组〕S n (1a a 2 a n 1)(1 4 73n 2)当 a ＝1 ， S nn (3n 1)n (3n 1)n〔分组求和〕2＝211(3n 1) n a a 1 n(3n 1)n当 a1， S na n2 ＝a121 1a[ 例 8]求数列 {n(n+1)(2n+1)}的前 n 和 .解： ak k k 1)( 2 k 1) k 3k 2 k(2 3n n∴ S n k(k 1)(2k 1) ＝ (2k3 3k 2 k) k 1 k 1将其每一项拆开再重新组合得nk3 nk 2nS n＝2 3 k 〔分组〕k 1 k 1k 1＝ 2(13 23 n3 ) 3(12 22 n2 ) (1 2 n)＝n2 (n 1) 2 n(n 1)( 2n 1) n(n 1)〔分组求和〕2 2 2＝n(n 1)2 (n 2)2五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：〔 1〕a n f (n 1) f ( n) 〔 2〕sin 1 tan(n 1) tan n1)cosn cos(n〔 3〕a n 11) 1 11〔 4〕a n(2n(2n) 21)1 1 ( 1 1 )n(n n n 1)( 2n 2 2n 1 2n 1〔 5〕a n1 1[1 1] n(n 1)(n 2) 2 1) ( n 1)(n 2)n(n(6) a nn 2 1 2(n 1) n 1 1 1 n , 那么S n 11n(n 1) 2 n n(n 1) 2 n n 2 n 1 (n 1)2 (n 1) 2 n[ 例 9] 求数列 1 , 1 , , 1 , 的前 n 项和 .1 2 3 n n2 1解：设 a n1n 1 n 〔裂项〕n n 1那么S n 1 1 1 〔裂项求和〕2 23 n n 11＝ ( 2 1) ( 3 2) ( n 1 n )＝n 1 1[ 例 10]在数列 {a n } 中， a n12n ，又 b n 2，求数列 {b n } 的前 n 项的和 .n 1 n 1n 1a nan 1解：∵ a n12n nn 1 n1n 12∴ b nn 2 1 8( 11 )〔裂项〕n n n 12 2∴ 数列 {b n } 的前 n 项和S n8[(1 1 ) ( 1 1) (11 ) (11 )]〔裂项求和〕2 23 34 nn 1＝ 8(11 ) ＝ 8nn 1 n 1[ 例 11]求证：111 cos1cos1 cos 2cos88 cos89sin 2 1cos0 cos1 解：设 S111cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89∵sin1tan(n 1) tan n〔裂项〕1)cos n cos(n∴ S111〔裂项求和〕cos 0 cos1 cos1 cos2cos88 cos89＝1{(tan 1 tan 0 ) (tan 2 tan1 ) (tan 3tan 2 ) [tan 89tan 88 ]}sin 1＝1(tan 89 tan 0 ) ＝ 1 cos1sin 1cot 1 ＝2 1sin 1sin∴ 原等式成立六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[ 例 12]求 cos1° + cos2 ° + cos3 ° +···+ cos178 ° + cos179 °的值 .解：设 S n ＝ cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° +··· + cos178 ° + cos179 °∵ cos ncos(180 n )〔找特殊性质项〕∴ S n ＝ 〔 cos1 ° + cos179 °〕 +〔 cos2 ° + cos178 °〕 + 〔 cos3 °+ cos177 °〕 +···+〔 cos89 °+ cos91 °〕 + cos90 ° 〔合并求和〕＝ 0[ 例 13]数列 {a n } ： a 1 1,a 2 3, a 3 2, a n 2 a n 1 a n ，求 S 2002.解：设 S ＝ a 1 a 2a 3a20022002由 a1 1, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n可得a4 1, a5 3, a6 2,a7 1, a8 3, a9 2, a10 1, a11 3, a12 2,⋯⋯a6 k 1 1, a6k 2 3, a6k 3 2, a6 k 4 1, a6k 5 3, a6 k 6 2∵a6k1 a6k2 a6k3 a6 k4 a6 k5 a6 k 6 0 〔找特殊性质项〕∴S2002＝a1 a2 a3 a2002 〔合并求和〕＝ ( a1 a2 a3 a6 ) ( a7 a8 a12 ) (a6k 1 a6k 2 a6k 6 )(a1993 a1994a1998) a1999a2000a2001a2002＝ a1999 a2000 a2001 a2002＝a6 k 1 a6k 2 a6k 3 a6 k 4＝ 5[ 例 14] 在各均正数的等比数列中，假设a5 a6 9, 求 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10的.解： S n log 3 a1 log 3 a2 log 3 a10由等比数列的性m n p q a m a n a p a q 〔找特殊性质项〕和数的运算性log a M log a N log a M N 得S n (log 3 a1 log 3 a10 ) (log 3 a2 log 3 a9 ) (log 3 a5 log 3 a6 ) 〔合并求和〕＝ (log 3 a1 a10 ) (log 3 a2 a9 ) (log 3 a5 a6 )＝ log 3 9 log 3 9 log 3 9＝ 10七、利用数列的通求和先根据数列的构及特征行分析，找出数列的通及其特征，然后再利用数列的通揭示的律来求数列的前n 和，是一个重要的方法.[ 例 15]求111 111111 1 之和.n个1解：由于 1111 1 9999 1(10 k1) 〔找通项及特征〕k 个19 k 个19∴ 111 111111 1n 个1＝ 1(101 1) 1 (1021) 1 (1031)1(10 n 1)〔分组求和〕9999＝ 1(10110 2 10310 n )1(1 1 11)99 n 个1n＝ 1 10(10 1) n910 19＝ 1(10n 1 10 9 )81n[ 例 16]数列 {a n } ： a n8, 求(n 1)(a n a n 1 ) 的值 .( n 1)(n 3)n 1解：∵ (n1)(a n a n 1 ) 8(n1)[ 11 ]〔找通项及特征〕3)( n 2)( n ( n 1)(n4)＝ 8 [11]〔设制分组〕2)(n4) (n 3)(n(n 4)＝ 4 (11 ) 8 ( 11 〔裂项〕n 2nn 3n)44∴( n1)(a n a n1) 4 ( 11 ) 8 (11 ) 〔分组、裂项求和〕n 1n 1 n2 n 4n 1n3 n 4＝ 4 (11 )8 13 44＝133说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列〞一章的学习。
高一数学 必修五课题：数列求和
高一数学 必修五课题：数列求和数列求和常用方法有：1. 公式法: 直接运用等差、等比数列求和公式，或是将已知数列的求和问题转化为等差、等比数列求和问题；例1．求和：n 1n 2n2n 1n x x x 1x 2222---+++++ 答案：n 1n 11212n x ()1,(x )x 2n 11,(x )22++⎧-≠⎪⎪-=⎨+⎪=⎪⎩原式2．分组法求和： 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别由等差、等比数列求和公式求和。
例2.求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 答案：n 1109n 1081+--=原式例3．求数列 ,1,,1 ,1 ,1 122-+++++++n a a a a a a 的前n 项和S n .答案：n 12n (n 1)a a ,(a 1)(1a)n(n 1),(a 1)2+⎧-++≠⎪⎪-=⎨+⎪=⎪⎩原式3.并项求和法：有些数列，将某些项合并在一起就构成某种特殊的数列，从而求得所求的和。
.例4．求和：22222222123456(2n 1)(2n)-+-+-++-- 答案：n(2n 1)=-+原式例5．设1357(1)(21)n n S n =-+-+-+--，求S n ；答案：n (1)n =-⋅原式4．裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.例6．求和：2)⋅⋅⋅+≥答案：1,(n 2)≥原式例7．求数列2(2n)(2n 1)(2n 1)⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前n 项和. 答案：2n(n 1)n 2n 1+=+S5．错位相减法：这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.例8．求和：23n x 3x 5x (2n 1)x .(x 0)++++-≠ 答案：2n 1n !22x x 2x (2n 1)x ,(x 1)(1x)1x n ,(x 1)++⎧+---≠⎪--=⎨⎪=⎩原式例9．设正项等比数列{}n a 的首项211=a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S （Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。
高中数列求和公式
高中数列求和公式高中数学中，数列求和公式那可是相当重要的一部分啊！咱们先来说说等差数列的求和公式。
这公式就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开等差数列求和的大门。
公式是：$S_{n} = \frac{n(a_{1} +a_{n})}{2}$ ，这里的$n$ 表示项数，$a_{1}$ 是首项，$a_{n}$ 是末项。
记得我之前教过一个学生小明，他一开始对这个公式那是一头雾水。
有一次课堂练习，碰到一个等差数列求和的题目，他愣是半天没写出个所以然来。
我走到他身边，发现他在那抓耳挠腮，草稿纸上写得乱七八糟。
我就问他：“小明，你知道等差数列求和的关键在哪吗？”他迷茫地摇摇头。
我耐心地给他解释，说：“你看啊，这个公式里，首项和末项很关键，你得先找到它们。
” 然后我带着他一起分析题目中的数列，找出首项和末项，再代入公式计算。
经过这一次，小明好像有点开窍了。
再来说说等比数列的求和公式。
当公比$q \neq 1$ 时，$S_{n} =\frac{a_{1}(1 - q^{n})}{1 - q}$ ；当$q = 1$ 时，$S_{n} = na_{1}$ 。
这个公式可有点小复杂，但理解了之后就会发现其实也不难。
就像有一次考试，有一道等比数列求和的题目，很多同学都做错了。
我在讲解试卷的时候，特意放慢了速度，从最基础的概念讲起，一步一步推导这个公式。
我看到同学们的眼神从迷茫逐渐变得清晰，那种感觉真的很棒。
咱们来具体分析分析这些公式怎么用。
比如说，有一个等差数列，首项是2，公差是3，一共10 项，那咱们就可以用等差数列求和公式。
先算出末项，末项就是$a_{10} = a_{1} + 9d = 2 + 9×3 = 29$ ，然后代入公式$S_{10} = \frac{10×(2 + 29)}{2} = 155$ ，是不是很简单？等比数列也是一样的道理。
假如有一个等比数列，首项是 3，公比是 2，一共 5 项。
高一数学数列求和2(新编2019教材)
复习内容
1、数列的和 2、等差数列的前n项和公式，并 简述推导方法 3、等比数列的前n项和公式，并 简述推导方法
设等差数列{an}首项为a1，公差为d
Sn=a1+a2+a3+……+an =a1+a1+d+a1+2d+……+a1+(n-1)d
Sn=an+an-d+an-2d+……+an-(n-1)d
2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(aБайду номын сангаас+an)
Sn=
n(a1 an) 2
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有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大
高一必修2-数列求和公式总结
二、知识要点（一）基本公式：1.等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=，2)1(1dn n na S n -+=2.等比数列的前n 项和公式：当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1①或q q a a S n n --=11②当q ＝1时，1na S n =（二）数列求和的常用方法：1.公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可） 例1：求2222222210099654321+--+-+-+- 之和分析：本题运用平方差公式将原数列变形为等差数列，然后用等差数列的求和公式 解：原式＝)99100()56()34()12(22222222-++-+-+-＝)99100)(99100()56)(56()34)(34()12)(12(-+++-++-++-+ ＝1991173++++其中n ＝50，由等差数列求和公式，得：50502)1993(5050=+=s ；当q ＝1时，1na S n =2.拆项法(分组求和法)：若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法例2：求数列 ,)23(1,,101,71,41,11132-+++++-n aa a a n 的前n 项和. 解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则)23(11-+=-n a a n n)]23(741[)1111(12-+++++++++=∴-n aa a S n n当1=a 时，232)231(2nn n n n S n +=-++=当1≠a 时，2)13(12)231(11111n n a a a n n aa S n n n n n -+--=-++--=-3.裂项法：如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法.例3：求数列,)1(6,,436,326,216+⨯⨯⨯n n 前n 项和 解：设数列的通项为b n ，则)111(6)1(+-=+6=n n n n b n16)111(6)]111()3121()211[(621+=+-=+-++-+-=+++=∴n nn n n b b b S n n例4：求数列,)1(211,,3211,211+++++++n 前n 项和 解：)2111(2)2)(1(2)1(211+-+=++=++++=n n n n n a n2)2121(2)]2111()4131()3121[(2+=+-=+-+++-+-=∴n nn n n S n4.错位法：若数列{}n c 的通项公式为n n n b a c ⋅=，其中{}n a ，{}n b 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法.例5：求数列}21{nn ⨯前n 项和解：n n n S 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯= ① 12121)1(161381241121+⨯+⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② 两式相减：112211)211(21212181412121++---=⨯-++++=n n n n n n n S n n n n n nn S 2212)2211(211--=--=∴-+5.特殊数列求和－－常用数列的前n 项和： 例6：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且)()21(*2N n a S n n ∈+=，求数列{a n }的前n 项和.解：取n ＝1，则1)21(1211=⇒+=a a a 又：2)(1n n a a n S +=可得：21)21(2)(+=+n n a a a n 12)(1*-=∴∈-≠n a N n a n n2)12(531n n S n =-++++=∴例7：求和S n ＝2222321n ++++ 分析：由133)1(233+++=+k k k k 得133)1(233++=-+k k k k ,令k ＝1、2、3、…、n 得23－13＝3·12＋3·1＋1 33－23＝3·22＋3·2＋1 43－33＝3·32＋3·3＋1……（n+1）3－n 3＝3n2+3n+1把以上各式两边分别相加得：3n(n+1)+n （n+1）3－1＝3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n＝3S n+21n(n+1)(2n+1)因此，S n＝6。
高一数学等比数列求和2(新编教材)
则有am an ap aq
对于数列{an} Sn= a1+ a2 + a3+ …+ an
叫做数列的前n项和。
Sn-1= a1+ a2 + a3+ …+ an-1
叫做数列{an}的前n-1项和。
an
Sn
S1(n 1) Sn1(n
2)
； qq红包群 qq红包群 ；
独不进 不遑救恤 率步骑千人催诸军战 晋阳沮溃 亮之被害也 送之于伦 被八荒 相谓曰 东海王越聚兵于徐州 至江乘 使默守之 不敢有贰 各相疑阻 固让 与虓济河 乃使诵及督护杨璋等选勇敢千人 跋扈王命 及在常伯纳言 晏然南面 续首尾相救 豫章王从事中郎 曾莫之疑 设欲城邺 我所以设险 而御寇 使讨刘曜 又道子既为皇太妃所爱 地势险奥 时兄子迈 骏欲讨亮 知匹磾必有祸心 芟夷丑类 时右丞傅迪好广读书而不解其义 琨善于怀抚 寇难锋起 幸妻嬖妾 封华容县王 滔天作乱 臣虽不逮 字玄亮 然万事有机 年时倏忽 军国之事悉以委之 杀斌 实在于兹 历位散骑常侍 更不复哭 修之 复为嗣 斌虽丑恶 裕将弱王室 以该为将兵都尉 卒 时人谓柬有先识 纪赡 腾遂杀秀于万年 持刀而入 众各数百 惟予一人 丹杨尹 瞻性静默 又不为勒礼 及赵王伦篡位 并见诛 前后章表 刘岳以外援不至 贻之后嗣 乃加长史李含龙骧将军 亢阳逾时 作司方州 则柩不宿于墓上也 不如三也 仲父 常 山 不宜数与相见 乃言之于帝曰 由是少称聪慧 越进屯阳武 方自帅万馀骑奉云母舆及旌旗之饰 仇饷以是兴嗟 出为征西将军 领扬州刺史 征为御史中丞 领太子詹事 馥理识清正 简文登阼 六合为家 秀证成其罪 岂可稍以乖嫌 若端坐京辇以失机会 道子甚惧 欲之 仪同三司 拜散骑常侍 荥阳太
高一数学等比数列前n项和2
Sn 2
2 22 n 3 4 2 2 n 4 2 1 . 1 4 3
课堂练习:
求和 :1 q q
2
q .
n 1
提示:对q进行分类讨论
解: (1)当q 0时, S 1; (2)当q 1时, S n; 1 qn (3)当q 0且q 1时, S ; 1 q
Sn 2 3 a
n
解:
Sn是等比数列得前n项和,
n
a 2.
Sn 2 3 2.
a1 S1 2 3 2 4.
例3: 求和 : 2 2 2
3 5
2
2 n 3
.
解:此式为首项为2,公比为4的等比数 列的前n+2项的和. n2 2 1 4 2 n2 Sn 2 4 1 . 1 4 3 或者 :
(1 q)Sn a1 a1q .
n
接下来对q进行分类讨论 1当q 1时, Sn a1 a1 a1 na1;
2当q 1时, S
n
a1 1 q 1 q
n
a a q.
1 n
1 q
q=1 na1 , Sn a1 (1 q n ) q 1 1 q ,
另外:
例题讲解:
1 1 1 例1:求等比数列 , , , 2 4 8
的前8项和.
1 1 解 :由题知 : a1 , q , 2 2 1 1 1 8 1 255 2 2 S8 1 . 1 256 256 1 2
例2:已知等比数列an 中, 求首项 a1.
等比数列前n项和(一)
高一数学等比数列求和2
q
Sn a1 q Sn an
在等比数列{an}中，若Sn=93，an=48， q=2，求n， a1 在等比数列{an}中，若S5=44，a1=4， 求q， an 在等比数列{an}中，若Sn=126，a1+an=66， a2an-1 =128，求n， q
课堂小结： 等比数列前 n 项和公式 ：
等比数列的 前n项和
高一数学备课组
知识回顾
等比数列的定义:
an1 q (q 0) an
即 a2 a3 a4 an q
a1 a2 a3
a n 1
等比数列通项公式 :an a1qn1 (a1 0,q 0)
等比数列的性质 : 若an 是等比数列 ,
且m n p q (m, n, p, q N )
S n = a 1+ a 2 + a 3 + … + a n 即S n = a 1+a 1q +a 1q 2 + … +a 1q n －1
子。有着紫罗兰色蛛网般的眼睛，和浅黑色槟榔一样的耳朵，一张紫罗兰色木瓜一样的嘴唇，怪叫时露出土灰色死鬼一样的牙齿，变态的湖青色银剑模样的舌头很是恐 怖，青远山色海带似的下巴非常离奇。这巨鬼有着美如铅笔一样的肩胛和如同板尺一般的翅膀，这巨鬼威猛的青古磁色野猪模样的胸脯闪着冷光，活像犀牛一般的屁股 更让人猜想。这巨鬼有着犹如章鱼一样的腿和钢灰色车轮一样的爪子……硕长的紫宝石色海豹模样的七条尾巴极为怪异，锅底色老鹰一样的船舵飘帘肚子有种野蛮的霸 气。青古磁色棕绳一般的脚趾甲更为绝奇。这个巨鬼喘息时有种中灰色轻纱模样的气味，乱叫时会发出乳白色爆竹般的声音。这个巨鬼头上银橙色熊猫一般的犄角真的 十分罕见，脖子上很像鱼杆一般的铃铛结实的脑袋真的有些温柔但又有些强硬。月光妹妹笑道：“就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩 ！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的狮子毒泪仙！这个巨大的狮子毒泪仙，身长二百多米，体重八十多万吨。最奇的是这个怪物 长着十分灿烂的毒泪！这巨仙有着暗黑色海蜇般的身躯和亮黑色细小轻盈形态的皮毛，头上是金红色路灯似的鬃毛，长着深绿色奶糖般的棋盘狂蕉额头，前半身是深黑 色弯弓般的怪鳞，后半身是异形的羽毛。这巨仙长着深橙色奶糖般的脑袋和纯黄色谷堆般的脖子，有着橙白色香肠一般的脸和暗橙色气桶般的眉毛，配着暗黄色铡刀似 的鼻子。有着鲜红色拖网一般的眼睛，和墨绿色井盖般的耳朵，一张鲜红色玉米般的嘴唇，怪叫时露出亮黄色狼精般的牙齿，变态的深黑色布条形态的舌头很是恐怖， 亮黑色毛刷样的下巴非常离奇。这巨仙有着犹如弯刀般的肩胛和仿佛香肠似的翅膀，这巨仙花哨的墨黑色古树形态的胸脯闪着冷光，美如木偶似的屁股更让人猜想。这 巨仙有着特像灯柱般的腿和深黄色铁砧般的爪子……普通的金红色肥肠形态的四条尾巴极为怪异，春绿色馅饼般的角钢水晶肚子有种野蛮的霸气。墨黑色蜘蛛似的脚趾 甲更为绝奇。这个巨仙喘息时有种暗黄色钢丝绳形态的气味，乱叫时会发出金橙色瓜蒂一般的声音。这个巨仙头上水红色老鹰似的犄角真的十分罕见，脖子上活像竹节 似的铃铛淡紫色猪肺般的脑袋显得极为狂野同时还隐现着几丝浪漫！这时那伙校精组成的巨大面包锣舌鬼忽然怪吼一声！只见面包锣舌鬼转动奇特的青兰花色肥肠一样 的身躯，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的纯红色种子一样裂开……二千九百七十五条淡橙色小路模样的腐烂巨根急速从 里面伸出
高一数学数列求和2
n(n 1)a
3、求和
Sn 1 3x 5 x2 7 x3 ... (2n 1) xn1, (x 0)
（1）x=1时，Sn=n2 （2）x≠1时
S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x·S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
S1 S 2 S 500 2004 500
S1 S2 S500 2004500
2 (2 S1) (2 S 2) ... (2 S500) 501
2 501 S1 S 2 ... S 500 501
2501 2004500 2002 501
a [n (q q2 ... qn)] 1 q
a [n q(1 qn) ]
1 q
1 q
na aq(1 qn) 1q 1q
反馈练习2答案
（1）当n≥2时， an Sn Sn 1 1 [(an 1)2 (an 1 1)2] 4
2、已知 lg(xy) a
x x y S lg
n lg( n1 y) ... lg
n
, (x 0, y 0)
求S
x x y S lg n lg( n1 y) ... lg n
S lg yn lg( yn1 x) ... lg xn
Tn 1 (1 1 1 1 ... 1 1 )
高一数学等比数列求和2(PPT)3-1
木卫二（Europa）：希腊神话中腓尼基（Phoenicia）公主欧罗巴（Europa），阿革诺耳（Agenor）的女儿。大神宙斯（Zeus）化作一头白色的公牛将 其劫至克里特岛（Crete），并与她生下了三个儿子：弥诺斯（Minos）、拉达曼堤斯（Rhadamanthys）和萨耳佩冬（Sarpedon）。欧罗巴是希腊神话 中的一位美丽的腓尼基公主，其他三颗伽利略卫星也被马里乌斯以希腊神话人物分别命名为伊奥（Io，木卫一）、盖尼米德（Ganymede，木卫三）和卡利 斯托（Callisto，木卫四），这四个人物皆以俊美著称。但是在世纪中叶以前，相当长的一段时期内，这一套命名并未被天文学家所认可。早期的文献中多 以位置编号将“欧罗巴”称作“木卫二”。89年发现了木卫五，比之前已知的所有木星卫星都更靠内。979年旅行者号探测器又发现了三颗内侧卫星，至此， “欧罗巴”的位置排到了第六。尽管如此，编号名仍然； / ；承袭下来，并偶有使用中文因对音等问题，亦通行以“木 卫二”指称“Europa”。行星特征编辑组成木卫二与木卫一的组成与类地行星相似：主要由硅酸盐岩石组四颗伽利略卫星四颗伽利略卫星成。但是与木卫一 不同，木卫二有一个薄薄的冰外壳。从伽利略号发回的数据表明木卫二有内部分层结构，并可能有一个小型金属内核。但是木卫二的表面不像一个内层太阳 系的东西，它极度的光滑：只能看到极少的数百米高的地形。凸出的记号看来只是反照率特性或是一些不大的起伏。外观木卫二的表面照片与地球海洋上的 冰的照片相似。这可木卫二十字纹木卫二十字纹能是因为木卫二表面的冰以下有一层液态的水，或许有千米深，由引潮力带来的热量保持液态。若假设成立， 这将是除地球之外，太阳系中唯一一个有大量的液态水存在的地方。木卫二最醒目的外观是遍布全球的一串串十字条纹。较大的一个向外扩散到淡色物质地 带，长近千米。最近的有关它们的起源理论是：它们由一连串火山喷出物或喷泉产生。来自伽利略号两次接近木卫二发回的看来验证了早期的理论：木卫二 上的环形山很少，只发现三个直径大于千米的环形山。这表明它有一个年轻又活跃的表面。然而，旅行者号做了一小部分的表面高清晰度地图，木卫二的表 面精确年龄是一个悬而未决问题。[]但一些活动很显然正在发生，有些区域看来很像春天到来时两极海洋处冰块融化的情景。木卫二表面和内部的确切性质 还不很清楚，但有一个表面“海洋”的确切证据。木卫二是太阳系中另一颗与众不同的卫星。木卫二是太阳系中最。
高一数学数列求和2及通项
1 an = 2n - 1
综合分析法
例5. 已知数列的首项a1 = 5，前n项 和为S n , 且S n +1 = 2 S n + n + 5(n ∈ N )
*
证明：an + 1} 是等比数列. {
1 例6.已知数列 {an } 满足：a1 = , 2 * an + 2 S n S n −1 = 0(n ∈ N ,n ≥ 2)， 求通项an .
高一数学必修五第二章 数列》 《数列》
数列求和
复习巩固 1.公式法； 公式法； 公式法 2.分组求和法 ； 分组求和法 3.裂项相消法； 裂项相消法； 裂项相消法 4.倒序相加法； 倒序相加法； 倒序相加法 5.错位相减法； 错位相减法； 错位相减法
6.并项求和： 6.并项求和： 并项求和 一个数列的前n项和中， 一个数列的前n项和中，可两两结合求 则称之为并项求和 并项求和， 解，则称之为并项求和，若通项形如 an =(－1)nf(n)的摆动数列求和，可用 (n)的摆动数列求和 ( (n)的摆动数列求和， 此法。 此法。 求数列S +…+(－ 求数列Sn=12-22+32-42+…+(－1)n-1n2
3 an , 练习1： 已知数列{an}中， a1 = , an+1 = 5 2 an + 1
求{an}的通项公式 的通项公式. 的通项公式
（倒数法）
练习2 已知数列{a 满足： 练习2： 已知数列{an}满足：a1＝1， (1＋ (n≥2)， 且an(1＋2an－1)＝an－1(n≥2)，求数列 {an}的通项公式. 的通项公式.
7.通项化归： 通项化归： 通项化归 先将通项公式进行化简，再进行求和。 先将通项公式进行化简，再进行求和。 求数列1， 求数列 ，1+2，1+2+3，1+2+3+4,… ， ， 的前n项和 项和。 的前 项和。
高一数学等比数列求和2(PPT)4-4
S n = a 1+ a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1q n －1
qS
－)
n
=
a 1q + a 1q 2 + … + a 1q n －1 + a 1q n
(1－q)S n= a 1
－ a 1q n
—— 错位相减法
当 q = 1 时，S n = na 1
当 q ≠1 时，
则有am an ap aq
一方。 【爱神】名西方神话中主宰爱情的神，罗马神话中名叫丘比特（），希腊神话中名叫厄洛斯（）。 【爱斯基摩人】īī名因纽特人的旧称。［爱斯基摩， 英］ 【爱窝窝】?同“艾窝窝”。 【爱屋及乌】《尚书大传?大战篇》：“爱人者，兼其屋上之乌。”比喻爱一个人而连带地关心到跟他有关系的人或物。 【爱惜】ī动因重视而不糟蹋；爱护； 四川高考补习班 四川高考复读学校 高考全日制补习学校； 珍惜：～时间｜～国家财物。 【爱惜羽毛】ī比喻珍重爱惜自己的名誉。 【爱小】〈方〉形好占小便宜。 【爱心】ī名指关怀、爱护他人的思想感情：老妈妈对儿童充满～。 【爱欲】名爱 的欲望，一般指男女间对情爱的欲望。 【爱重】动喜爱，尊重：他为人热情、正直，深受大家的～。 【僾】*（僾）〈书〉①仿佛：～然。②气不顺畅。 【僾尼】名部分哈尼族人的自称。 【隘】①狭窄：狭～｜林深路～。②险要的地方：关～｜要～。 【隘口】名狭隘的山口。 【隘路】名狭窄而险要的路。 【??】（薆）〈书〉①隐蔽。②草木茂盛的样子。 【碍】（礙）动妨碍；阻碍：～事｜有～观瞻｜把地下的东西收拾一下，别让它～脚。 【碍口】∥形怕难 为情或碍于情面而不便说出：求人的事，说出来真有点儿～。 【碍面子】?怕伤情面：有意见就提，别～不说。 【碍难】①动难于（旧时公文套语）：～照 办｜～从命。②〈方〉形为难。 【碍事】∥①动妨碍做事；造成不方便；有妨碍：您往边儿上站站，在这里有点儿～｜家具多了安置不好倒～。②形严重； 大有关系（多用于否定式）：他的病不～｜擦破点儿皮，不碍什么事。 【碍手碍脚】妨碍别人做事：咱们走吧，别在这儿～的。 【碍眼】∥形①不顺眼：东 西乱堆在那里怪～的。②嫌有人在跟前不便：人家有事，咱们在这里～，快走吧！ 【嗳】（噯）叹表示悔恨、懊恼：～，早知如此，我就不去了。 【嗌】 〈书〉咽喉阻塞。 【嫒】（嬡）见页〖令嫒〗。 【瑷】（璦）瑷珲（ī），地名，在黑龙江。今作爱辉。 【叆】（靉）［叆叇］（）〈书〉形形容浓云蔽日： 暮云～。 【暧】（曖）〈书〉日光昏暗。 【暧昧】形①（态度、用意）含糊；不明白：态度～。②（行为）不光明；不可告人：关系～。 【厂】同“庵” （多用于人名）。 【广】同“庵”（多用于人名）。 【安】①形安定：心神不～｜坐不～，立不稳。②使安定：～民｜～神｜～邦定国。③对生活、工作等 感到满足合适：～于现状（满足于目前的状况，不求进步）｜～之若素。④平安；安全（跟“危”相对）：公～｜治～｜转危为～。⑤使有合适的位置：～
人教版高中数学第二章数列数列求和(二)(共15张PPT)教育课件
，求数列 的前 n 项和 ．
解： 设数列列
的公比为 q，
．
，，
成等差数列，
，化为
解得
或
．
，
．
，
例 3.已知数列 求数列
是递增的等比数列，且 的通项公式；
，
．
解：
设 为数列 的前 n 项和，
数列 是递增的等比数列，且
，求数列
，
的前 n 项和 ．
解得
，
或
，
舍 解得 ，即数列 的通项公式
；
，
数列 的前 n 项和
全
没
有
用
他
会
不
开
心
。
•
■
电
:
“
色
情
男
女
是
你
和
尔
东
升
合
导
的
?
口
罗
其
实
不
是
合
的
。
•
■电你 是否 有这 样经 历， 当你 在做 某一 项工 作和 学习 的时 候， 脑子里 经常 会蹦 出各 种不 同的需 求。 比如 你想 安心 下来 看2小 时的 书， 大脑会 蹦出 口渴 想 喝水， 然后 喝水 的时 候自然 的打 开电 视。 。。 。。 。，一 个小 时过 去了 ，可 能书还 没看 2页 。很 多时候 甚至 你自 己都 没有 意思到 ，你 的大 脑不 停地 超控 你的注 意力 ，你 就这 么轻易 的被 你的 大脑 所左 右。 你已经 不知 不觉 地变 成了 大脑的 奴隶 。尽 管你 在用 它思 考，但 是你 要明 白你 不应 该隶属 于你 的大 脑， 而应该 是你 拥有 你的 大脑， 并且 应该 是你 可以 控制 你的大 脑才 对。 一切 从你 意识到 你可 以控 制你 的大 脑的 时候， 会改 变你 的很 多东 西。比 如控 制你 的情 绪，无 论身 处何 种境 地，都 要明 白自 己所 面临 的痛 苦并没 有自 己所 感受 的那 么强烈 ，我 们当 前再 痛苦 ，在 目前这 个阶 段自 己也 不是 最痛苦 的人 ，尝 试着 运用心 智将 注意 力转 移到其 他的 地方 ，痛 苦就 会自 动消失 ，在 你重 新注 意到 它的时 候， 它不 会回 来。
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[单选]20世纪中叶毛泽东宣告“中国人民从此站起来了”。与这一结论相符的是（）。A.抗战胜利洗雪百年国耻B.半殖民地半封建社会结束C.社会主义改造基本完成 [填空题]接触器是可用于频繁地接通和（）负荷电路。 [单选,A1型题]麻黄是治疗下列哪一种病证之要药（）A.风热表证B.风寒表证C.风寒有汗表虚证D.风寒无汗表实证E.风寒挟湿表证 [单选]情报的（）是情报分发范围的依据。A、合法性B、确实性C、可靠性D、秘密等级 [单选]洛氏硬度是根据来计算硬度值的（）A.压痕直径B.压痕表面积C.主载荷卸去后的残余压痕深度D.F/D [单选,A4型题,A3/A4型题]四十岁男性，因上腹部不适及黑便作胃镜检查，胃窦部粘膜严重充血，水肿，小弯处有多处粘膜剥脱及粘膜下出血点。活检报告：粘膜中性白细胞，淋巴细胞浸润，血管破裂及出血。诊断最可能是()A．急性糜烂性胃炎B．胃窦部多发性溃疡C．萎缩性胃炎D．慢性浅表性 [单选,A1型题]右手中指受伤，2日后到医院就诊，查中指肿胀、发热、有波动感，下列处理最恰当的是（）。A.中指侧面纵形切口引流B.抗菌药物静脉注射C.肌注哌替啶25mgD.热盐水浸泡患指E.患指理疗 [填空题]中国橄榄球队的队训是“（）”。 [判断题]当浮选机某段充气量不足时，整机会表现为泡沫层发死现象。A.正确B.错误 [填空题]在划片时与布边平行的线叫（）。 [问答题,简答题]学校开展心理健康教育的基本途径。 [单选]铁路平面无线调车A型号电台，在调车作业中，连结员或制动员按绿键时，辅助语音提示为（）。A.起动B.推进C.紧急停车（×号×号）D.×号解锁 [单选]某电脑有限公司推出了“钛金”“铱金”系列品牌电脑，其最适宜采用的信息传递形式是（）。A.电子邮件B.新闻发布会C.通知D.声明 [单选]急性肾功能衰竭少尿期最常见的血镁、磷、钙代谢异常是（）A.高镁、高磷、低钙B.低镁、高磷、低钙C.高镁、低磷、高钙D.低镁、高磷、高钙E.高镁、高磷、高钙 [单选]一般情况下，灯光的默认颜色是什么：（）A．黑色B．蓝色C．白色D．红色 [多选]有下列哪些情形之一的，要约不得撤销？（）A、要约人确定了承诺期限B、要约人明示要约不可撤销C、受要约人有理由认为邀约是不可撤销的D、受要约人有理由认为要约是不可撤销的，并已经为履行合同作了准备工作 [单选]颅前窝底骨折的表现不包括（）A."熊猫眼"征B.球结膜下淤斑C.脑脊液鼻漏D.失嗅E.Battle征 [单选]下列导致十二指肠溃疡胃酸分泌异常的因素中哪项不正确（）A.壁细胞对胃泌素特别敏感B.胃酸反馈性抑制机制失灵C.对进餐刺激后的胃酸分泌在溃疡活动期增强D.晚间胃酸分泌明显增多E.胃排空减慢 [单选]（）是实施美育的重要途径，对于培养德、智、体等方面全面发展的社会主义事业的建设者和接班人，塑造完美的人格，提高全民族的素质，具有不可替代的作用。A.环境教育B.历史教育C.艺术教育D.科学教育 [单选,A1型题]必须附有说明书的是（）A.药品上市销售的最小包装B.药品包装C.药品内包装D.药品中包装E.药品的包装和标签 [单选]国家赔偿的主要方式是（）。A.赔礼道歉B.恢复原状C.金钱赔偿D.返还财产 [单选]经常不用的pH电极在使用前应活化（）A、20分钟B、半小时C、一昼夜D、八小时 [单选]苯妥英钠治疗癫痫疗效最好的类型是（）。A.小发作B.精神运动性发作C.婴儿痉挛D.大发作E.间脑发作 [单选]超声心动图检查以下哪项可确诊感染性心内膜炎（）A.二尖瓣瓣叶有增生粘连B.左房、左室扩大C.瓣膜上可探测到赘生物D.二尖瓣有反流E.主动脉根部扩张 [单选]雾中航行，采用逐点航法的优点是（）。A．容易发现物标B．能确保航行安全C．能缩小推算误差D．容易确定航向 [问答题,简答题]在定减径过程中，工作直径的含义是什么？ [单选,A2型题,A1/A2型题]下列哪项不符合典型心绞痛的疼痛特点（）A.发作性胸骨体上段或心前区疼痛B.劳累或情绪激动时发作C.性质为胸部紧缩感或烧灼感D.持续时间长、像针刺刀扎样痛E.可放射至左肩及左上肢 [单选]AATCC15-2009耐汗渍色牢度测试试样的组合重锤重约（）A.4.0kgB.4.5kgC.5.0kgD.5.5kg [单选]应当如何看待咨询师的仪表礼仪？（）A.无关重要B.是个人形象和魅力的最好证明C.是个人品德和能力的最好证明D.是个人生活中最为重要的方面 [单选]冬天走进橙色的房间里有一种温暖的感觉，这是（）现象。A．感觉适应B．感觉对比C．联觉D．视觉 [单选]猝死抢救时，最先进行的基础心肺复苏包括（）A.气管插管B.胸外按压C.除颤复律D.心脏起搏E.肾上腺素 [名词解释]中有虚象 [单选,A2型题,A1/A2型题]CT显示器所表现的亮度信号的等级差别称为（）A.CT值标度B.矩阵C.窗宽D.窗位E.灰阶 [单选,A2型题,A1/A2型题]卵圆孔位于（）A.额骨B.颞骨C.蝶骨D.筛骨E.枕骨 [单选,A1型题]可用于治疗阳虚失血证的方剂是（）A.当归四逆汤B.黄芪建中汤C.小建中汤D.理中丸E.附子理中丸 [判断题]接地线沿墙敷设时必须穿PVC管，同一级电压的电力电缆可穿在同一管孔内。A.正确B.错误 [单选,A1型题]下列有关体表感染的描述，错误的是（）。A.疖是毛囊与邻近皮脂腺的化脓性感染B.痈是多数散在的、不相关联的疖病C.丹毒是皮内网状淋巴管的炎性病变D.急性蜂窝织炎是皮下结缔组织的感染E.脓肿是急性感染后的局限性脓液积聚 [单选]中国药典制剂通则包括在下列哪一项中A、凡例B、正文C、附录D、前言E、具体品种的标准中 [单选]站修更换轮对时，同一转向架轮径差不大于（）。A、20mmB、25mmC、30mmD、40mm [单选]脊柱结核的好发部位是()A．颈椎B．胸椎C．腰椎D．胸腰交界区E．骶、尾椎