四川省南充市2021届新高考三诊数学试题含解析
2021届四川省绵阳市普通高中高三下学期高考三诊考试数学(理)试卷及解析
2021届四川省绵阳市普通高中高三下学期高考三诊考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|x2＞1}，则∁R A＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）解：因为A＝{x|x2＞1}，则∁R A＝{x|x2≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}．故选：B．2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：由（z﹣1）i＝1+i，得z﹣1＝，∴z＝2﹣i，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（2，﹣1），位于第四象限．故选：D．3．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．﹣10 B．﹣8 C．16 D．20解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣2，﹣2），由z＝3x+y，得y＝﹣3x+z，由图可知，当直线y＝﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣8．故选：B．4．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率．根据如图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低解：对于A，除11月份同比为﹣0.5，其余均是正值，所以2020年年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌，故选项A正确；对于B，图中环比曲线，有正有负，代表环比有涨有跌，故选项B正确；对于C，1月份同比增加5.4，大于其它月份同比值，故2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大，故选项C正确；对于D，3月份环比值为﹣1.2，4月份环比值为﹣0.9，所以4月份消费价格比3月份低，故选项D错误．故选：D．5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x）．则不等式xf （x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）解：根据题意，当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）（1+x）＝﹣x（1+x），又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝﹣x（1+x），xf（x）＞0⇔或，解可得：x＜﹣1或0＜x＜1，即x的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选：C．6．（x﹣1）•（）6的展开式中的x2系数为（）A．48 B．54 C．60 D．72解：∵（）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x3﹣r，分别令3﹣r＝1、3﹣r＝2，可得r＝2或r＝1，可得（x﹣1）•（）6的展开式中的x2系数为：（﹣2）2•﹣（﹣1）•（﹣2）1•＝72，故选：D．7．已知a＝（）0.3，b＝0.3，c＝a b，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c解：b＝0.3＝1，a＝（）0.3∈（0，1），c＝a b＜a，所以c＜a＜b．故选：A．8．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，点F为边CD的中点，若＝0，则＝（）A．4 B．3 C．2 D．1解：在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，点F为边CD的中点，若＝0，可知AF⊥AB，建立如图所示的坐标系，则B（2，0），C（1，2），F（0，2），＝（﹣2，2），＝（1，2），所以＝﹣2×1+2×2＝2．故选：C．9．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于（）A．B．C．D．解：圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，设母线为l，所以＝3π，所以母线长为：l＝3，圆锥的底面周长为2π，底面半径为r＝1，圆锥的高为：2，设球的半径为：R，可得R2＝（2﹣R）2+12，解得R＝，球O的表面积：4π×＝．故选：A．10．若函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（0，）上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为（）A．（5，8）B．（5，8] C．（5，11] D．[5，11）解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），因为0，所以ωx+＜，要使得f（x）在区间（0，）上仅有一条对称轴及一个对称中心，所以π＜，解得5＜ω≤8．故选：B．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n﹣1+4a n﹣2（n≥3），则S10＝（）A．B．C．410﹣1 D．411﹣1解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n﹣1+4a n﹣2（n≥3），整理得：a n+a n﹣1＝4（a n﹣1+a n﹣2），整理得（常数），故数列{a n+a n﹣1}是以a1+a2＝3为首项，4为公比的等比数列；所以，所以＝．故选：A．12．已知点F为抛物线E：x2＝4y的焦点，C（0，﹣2），过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（）A．B．C．D．解：由题意可知，F（0，1），故AB的直线方程为y＝x+1，设A（x1，x1+1），B（x2，x2+1），联立抛物线和直线方程，故x2﹣4x﹣4＝0，由韦达定理得：x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，设P（x，），＝（x，+2），＝（x1，x1+3），＝（x2，x2+3），若，则（x，+2）＝m（x1，x1+3）+n（x2，x2+3），∴，∴+2＝x+3（m+n），∴m+n＝（﹣x+2），令h（x）＝（﹣x+2）＝（x﹣2）2+，故x＝2时，h（x）取最小值，即m+n的最小值是，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝5a5，则a15＝0 ．解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S4＝5a5，∴4a1+6d＝5（a1+4d），化为：a1+14d＝0，则a15＝a1+14d＝0，故答案为：0．14．若函数f（x）＝x2e x﹣mlnx在点（1，f（1））处的切线过点（0，0），则实数m＝2e．解：函数f（x）＝x2e x﹣mlnx的导数为f′（x）＝（x2+2x）e x﹣，可得在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e﹣m，由切线过点（0，0），可得3e﹣m＝f（1）＝e﹣mln1＝e，解得m＝2e．故答案为：2e．15．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0）有共同的一焦点，过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一渐近线平行，则E的离心率为．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点（，0），双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为（c，0），由题意可得，，p＝2c，双曲线的渐近线方程为y＝，不妨取y＝，设过左焦点的直线方程为l：x＝my﹣，联立，得y2﹣2pmy+p2＝0．由题意，△＝4p2m2﹣4p2＝0，可得m＝±1，取m＝1，又直线与y＝平行，∴，即a＝b，可得双曲线的离心率e＝．故答案为：．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F是BC上的两个三等分点，点G，H是A1D1上的两个三等分点，点M，N，P分别为AB，C1D1和CD的中点，点Q是A1M上的一个动点，下面结论中正确的是①③④．①FH与AC1异面且垂直；②FG与AC1相交且垂直；③D1Q∥平面EFN；④B1，H，F，P四点共面．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵点E，F是BC上的两个三等分点，点G，H是A1D1上的两个三等分点，∴AG FC1，∴四边形AFC1G是平行四边形，∴FH与AC1异面，FG与AC1相交，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为3，对于①，F（1，3，0），H（1，0，3），A（3，0，0），C1（0，3，3），＝（0，﹣3，3），＝（﹣3，3，3），＝0，∴FH与AC1异面且垂直，故①正确；对于②，G（2，0，3），＝（1，﹣3，3），＝﹣3﹣9+9＝﹣3，∴FG与AC1相交但不垂直，故②错误；对于③，∵A1D1∥EF，A1M∥CN，A1D1∩A1M＝A1，EF∩CN＝C，∴平面A1D1M∥平面EFN，∵D1Q⊂平面A1D1M，∴D1Q∥平面EFN，故③正确；对于④，B1（3，3，3），P（0，，0），＝（﹣2，﹣3，0），＝（﹣1，﹣，0），∴，∴B1H∥FP，∴B1，H，F，P四点共面，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题：共70分。
2021年四川省绵阳中学高考数学三诊试卷(理科)(三)(解析版)
2021年四川省绵阳中学高考数学三诊试卷（理科）（三）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2+x≤0}，B＝{x|y＝ln（2x+1）}，则A∪B＝（）A．（﹣，0]B．[﹣1，+∞）C．（，0]D．[﹣1，﹣] 2．已知a，b∈R，复数，则a+b＝（）A．2B．1C．0D．﹣23．若点在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当＝99，W＝2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当＝9999，W＝3000Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为（）A．1B．C．D．35．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．6．过点P（2，2）的直线l1与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l1的方程为（）A．3x﹣4y+2＝0B．4x﹣3y﹣2＝0C．3x﹣4y+2＝0或x＝2D．4x﹣3y﹣2＝0或x＝27．把函数f（x）＝2sin x cos x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），若g（x）在[0，a]上是增函数，则a的最大值为（）A．B．C．D．8．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点O满足＝，则•的值为（）A．﹣6B．6C．﹣8D．89．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．240种B．120种C．188种D．156种10．在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），B（0，﹣3），点M满足，x+y ＝1，点N为曲线y＝上的动点，则|MN|的最小值为（）A．﹣1B．C．D．﹣1 11．双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点和虚轴的一个端点分别为F，A，点P 为C右支上一动点，若△APF周长的最小值为4b，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是AC1的中点，半径为2，平面B1D1C截此球所得的截面面积是（）A．πB．7πC．4πD．3π二、填空题（每小题5分）.13．已知（3x﹣1）6＝a0+a1x+…+a6x6，则a1+a2+…+a6＝．14．已知等比数列{a n}满足a1﹣a3＝﹣，a2﹣a4＝﹣，则使得a1a2…a n取得最小值的n 为．15．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝6，则△BOF的面积为．16．已知不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求的值；（2）若点D为边AB的中点，AB＝10，CD＝5，求BC的值．18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．19．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，E，F分别为AA1，AB的中点．（Ⅰ）求证：直线D1E，CF，DA交于一点；（Ⅱ）若直线D1E与平面ABCD所成的角为，求二面角E﹣CD1﹣B的余弦值．20．设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：＝1（a＞1）的左、右焦点，P 为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．21．已知函数f（x）＝在x＝2时取到极大值．（1）求实数a、b的值；（2）用min{m，n）表示m，n中的最小值，设函数g（x）＝min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）＝g（x）﹣tx2为增函数，求实数t的取值范围．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，动直线l1：y＝x（k∈R，且k≠0）与动直线l2：y＝﹣k（x ﹣4）（k∈R，且k≠0）交点P的轨迹为曲线C1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）若曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）﹣＝0，求曲线C1与曲线C2的交点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤7的解集；（2）若a，b，c为正实数，函数f（x）的最小值为t，且2a+b+c＝t，求a2+b2+c2的最小值．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2+x≤0}，B＝{x|y＝ln（2x+1）}，则A∪B＝（）A．（﹣，0]B．[﹣1，+∞）C．（，0]D．[﹣1，﹣]解：∵，∴A∪B＝[﹣1，+∞）．故选：B．2．已知a，b∈R，复数，则a+b＝（）A．2B．1C．0D．﹣2解：复数，∴a+bi＝＝i+1，a＝b＝1，则a+b＝2．故选：A．3．若点在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．解：因为点在角α的终边上，即点在角α的终边上，则，故选：C．4．被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中C为最大数据传输速率，单位为bit/s；W为信道带宽，单位为Hz；为信噪比．香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用．当＝99，W＝2000Hz时，最大数据传输速率记为C1；当＝9999，W＝3000Hz时，最大数据传输速率记为C2，则为（）A．1B．C．D．3解：当＝99，W＝2000Hz时，C1＝2000log2（1+99）＝2000log2100＝4000log210，当＝9999，W＝3000Hz时，C2＝3000log2（1+9999）＝3000log210000＝12000log210，∴＝＝3，故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．解：由题意可知几何体是一个的圆锥与一个三棱锥的组合体，圆锥的底面半径为1，高为1，三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为1，高为2；PA ＝，PO＝1，BO＝OC＝1，AC＝，PC＝，S△PAC＝＝所以几何体的表面积为：++＝4+．故选：D．6．过点P（2，2）的直线l1与圆（x﹣1）2+y2＝1相切，则直线l1的方程为（）A．3x﹣4y+2＝0B．4x﹣3y﹣2＝0C．3x﹣4y+2＝0或x＝2D．4x﹣3y﹣2＝0或x＝2解：根据题意，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为（1，0），半径r＝1，若直线l1的斜率不存在，则直线l1的方程为x＝2，与圆相切，符合题意，若直线l1的斜率存在，设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx ﹣y﹣2k+2＝0，此时有d＝＝1，解可得k＝，则切线方程为y﹣2＝（x﹣2），变形可得3x﹣4y+2＝0．综合可得：要求直线方程是x＝2或3x﹣4y+2＝0，故选：C．7．把函数f（x）＝2sin x cos x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x），若g（x）在[0，a]上是增函数，则a的最大值为（）A．B．C．D．解：把函数f（x）＝2sin x cos x＝sin2x的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x﹣）的图象，∵g（x）在[0，a]上是增函数，2x﹣∈[﹣，2a﹣]，∴a＞0，且2a﹣≤，求得0＜a≤，则a的最大值为，故选：D．8．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点O满足＝，则•的值为（）A．﹣6B．6C．﹣8D．8解：△ABC中，AB＝4，AC＝2，点O满足＝，故O为BC的中点，∴•＝（）•（﹣）＝（﹣）＝×（22﹣42）＝﹣6，故选：A．9．受新冠肺炎疫情影响，某学校按上级文件指示，要求错峰放学，错峰有序吃饭．高三年级一层楼六个班排队，甲班必须排在前三位，且丙班、丁班必须排在一起，则这六个班排队吃饭的不同安排方案共有（）A．240种B．120种C．188种D．156种解：根据题意，甲班必须排在前三位，分3种情况讨论：①，甲班排在第一位，丙班、丁班排在一起的情况有4A22＝8种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有8×6＝48种安排方案；②，甲班排在第二位，丙班、丁班排在一起的情况有3A22＝6种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；③、甲班排在第三位，丙班、丁班排在一起的情况有3A22＝6种，将剩余的三个班级全排列，安排到剩下的三个位置，有A33＝6种情况，此时有6×6＝36种安排方案；则一共有48+36+36＝120种安排方案；故选：B．10．在平面直角坐标系xOy中，A（3，0），B（0，﹣3），点M满足，x+y ＝1，点N为曲线y＝上的动点，则|MN|的最小值为（）A．﹣1B．C．D．﹣1解：因为A（3，0），B（0，﹣3），所以直线AB的方程为y＝x﹣3，又因为点M满足，x+y＝1，故点M，A，B三点共线，即M在直线AB上，点N在曲线y＝上，即点N在曲线：（x+1）2+y2＝1（y≥0）上，作出图形如图所示，所以|MN|的最小值为点O到直线y＝x﹣3的距离，故最小值为．故选：C．11．双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点和虚轴的一个端点分别为F，A，点P 为C右支上一动点，若△APF周长的最小值为4b，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可得A（0，b），F（﹣c，0），设F'（c，0），由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|＝2a，|PF|＝|PF'|+2a，|AF|＝|AF'|＝，则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|＝|PA|+|PF'|+2a+|AF'|≥2|AF'|+2a，当且仅当A，P，F'共线，取得最小值，且为2a+2，由题意可得4b＝2a+2，即b＝2a，∴e＝．故选：D．12．已知正方体棱长为6，如图，有一球的球心是AC1的中点，半径为2，平面B1D1C截此球所得的截面面积是（）A．πB．7πC．4πD．3π解：∵正方体棱长为6，∴正方体的对角线长为，三棱锥C1﹣B1CD1的侧棱长为6，底面边长为6，则高为h＝，∴球心到平面B1D1C的距离为d＝，又球的半径为2，∴球面被面B1D1C所截圆的半径为，∴截面圆的面积为π×12＝π．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知（3x﹣1）6＝a0+a1x+…+a6x6，则a1+a2+…+a6＝63．解：∵（3x﹣1）6＝a0+a1x+…+a6x6，令x＝0可得：a0＝1，令x＝1，可得（3﹣1）6＝a0+a1+a2+a3+…+a6＝26＝64，即a1+a2+a3+…+a6＝63，故答案为：63．14．已知等比数列{a n}满足a1﹣a3＝﹣，a2﹣a4＝﹣，则使得a1a2…a n取得最小值的n 为3．解：因为等比数列{a n}满足a1﹣a3＝﹣，a2﹣a4＝（a1﹣a3）q＝﹣，所以q＝3，a1＝，令A n＝a1a2…a n，当A n取得最小值时，，即a1a2…a n≤a1a2…a n﹣1，a1a2…a n≤a1a2…a n+1，所以a n≤1，a n+1≥1，所以a n＝＝3n﹣4≤1，＝3n﹣3≥1，即，解得，3≤n≤4，故a1a2…a n取得最小值的n＝3．故答案为：3．15．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，若|AF|＝6，则△BOF的面积为2．解：由抛物线的准线方程为：x＝﹣2，焦点F（2，0），设A在x轴上方，设A的横坐标为x1，因为|AF|＝6，所以x1+2＝6，所以x1＝4，代入抛物线的方程中，y12＝8×4，所以y1＝4，即A（4，4），所以k AB＝＝2，所以直线AB的方程为：y＝2（x﹣2），整理可得x2﹣5x+4＝0，可得：x B＝1，x A＝4，将B的横坐标1代入抛物线中，y B＝﹣＝﹣2，所以S△BOF＝|OF|•y B＝×2×＝2，故答案为：2．16．已知不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是．解：令f（x）＝2ax﹣lnx，x∈（0，+∞），g（x）＝x2﹣（a+1）x+1，函数g（x）的对称轴x＝﹣＝．f′（x）＝2a﹣＝，①a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．f（1）＝2a≤0，x∈（1，+∞），f（x）＜0；而g（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，∴g（x）＞g（1）＝1﹣a＞0．因此a≤0时不符合题意，舍去．②a＞0时，f′（x）＝，可得函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．∴x＝时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（）＝1+ln（2a），（i）若f（）＝1+ln（2a）＜0，则a＜；而g（）＝﹣+1＝＞0，不满足f（x）g（x）]≥0对任意x＞0恒成立，舍去．（ii）若f（）＝1+ln（2a）≥0，则a≥；而函数g（x）的对称轴x＝﹣＝＞0，g（）＝﹣（a+1）•+1＝1﹣≥0，解得≤a≤1，∴≤a≤1时，满足不等式（2ax﹣lnx）[x2﹣（a+1）x+1]≥0对任意x＞0恒成立，因此实数a的取值范围是[，1]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求的值；（2）若点D为边AB的中点，AB＝10，CD＝5，求BC的值．解：（1）由正弦定理知，＝＝，∵，∴sin A cos B﹣sin B cos A＝sin C＝sin（A+B）＝（sin A cos B+cos A sin B），化简得，sin A cos B＝cos A sin B，∴tan A＝4tan B，即＝4．（2）作CE⊥AB于E，∵，∴＝4，即BE＝4AE，∵点D为边AB的中点，且AB＝10，∴BD＝AD＝5，AE＝2，DE＝3，在Rt△CDE中，CE＝＝＝4，在Rt△BCE中，BE＝BD+DE＝8，∴BC＝＝＝4．18．为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，加强环境的治理和生态的修复，某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份，对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测，并按照国家土壤重金属污染评价级标准（清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染）进行分级，绘制了如图所示的条形图．（1）从轻度污染以上（包括轻度污染）的行政村中按分层抽样的方法抽取6个，求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数；（2）规定：轻度污染记污染度为1，中度污染记污染度为2，重度污染记污染度为3．从（1）中抽取的6个行政村中任选3个，污染度的得分之和记为X，求X的数学期望．解：（1）轻度污染以上的行政村共9+6+3＝18个，所以抽样比为：＝，所以从轻度污染的行政村中抽取＝3个，中度污染的行政村抽取＝2个，重度污染的行政村抽取＝1个．（2）X的所有可能取值为3，4，5，6，7，P（X＝3）＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，P（X＝7）＝＝，∴X的分布列为：X34567P∴E（X）＝3×＝5．19．如图，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，E，F分别为AA1，AB的中点．（Ⅰ）求证：直线D1E，CF，DA交于一点；（Ⅱ）若直线D1E与平面ABCD所成的角为，求二面角E﹣CD1﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连结EF，A1B，因为E，F分别为AA1，AB的中点，所以EF∥A1B，且EF＝，因为ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，且底面是正方形，所以BC∥AD∥A1D1，且BC＝AD＝A1D1，即四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥D1C，且A1B＝D1C，所以EF∥DC1，且EF≠DC1，即四边形EFCD1为梯形，所以D1E与CF交于一点，记为P，因为P∈平面ABCD，P∈平面ADD1A1，所以P在平面ABCD与平面ADD1A1的交线上，又因为平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，故直线D1E，CF，DA交于一点；（Ⅱ）解：因为直线D1E与平面ABCD所成的角为，即直线D1E与平面A1B1C1D1所成的角为，故∠ED1A1＝，所以A1E＝A1D1＝2，所以AA1＝4，以D为坐标原点，分别以AD1，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则D（0，0，0），D1（0，0，4），C（0，2，0），B（2，2，0），F（2，1，0），所以，设平面PCD1的法向量为，则有，令x＝1，则y＝2，z＝1，故，设平面BCD1A1的法向量为，则有，令c＝1，则b＝2，故，所以，故二面角E﹣CD1﹣B的余弦值为．20．设点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C：＝1（a＞1）的左、右焦点，P 为椭圆C上任意一点，且•的最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，动直线l：y＝kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F1M⊥l，F2N⊥l，求四边形F1MNF2面积S的最大值．解：（1）设P（x，y），则＝（x+c，y），＝（x﹣c，y），∴•＝x2+y2﹣c2＝x2+1﹣c2，x∈[﹣a，a]，由题意得，1﹣c2＝0⇒c＝1⇒a2＝2，∴椭圆C的方程为；（2）将直线l的方程y＝kx+m代入椭圆C的方程x2+2y2＝2中，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，化简得：m2＝2k2+1．设d1＝|F1M|＝，d2＝|F2N|＝，当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|＝|MN|×|tanθ|，∴|MN|＝•|d1﹣d2|，∴S＝••d1﹣d2|•（d1+d2）＝＝＝，∵m2＝2k2+1，∴当k≠0时，|m|＞1，|m|+＞2，∴S＜2．当k＝0时，四边形F1MNF2是矩形，S＝2．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．21．已知函数f（x）＝在x＝2时取到极大值．（1）求实数a、b的值；（2）用min{m，n）表示m，n中的最小值，设函数g（x）＝min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）＝g（x）﹣tx2为增函数，求实数t的取值范围．解：（1）∵，∵f（x）在x＝2时取得极大值，∴，解得a＝1，b＝0．（2）设，当x≥2时，F'（x）＜0恒成立．，∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故y＝F（x）在（0，+∞）上单调递减．∵不间断，故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的x0∈（1，2），使得F（x0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，F（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F（x）＜0．∴，∴，故；由于函数h（x）＝g（x）﹣tx2为增函数，且曲线y＝h（x）在（0，+∞）上连续不间断，∴h'（x）≥0在（0，x0）和（x0，+∞）上恒成立．①x＞x0时，在（x0，+∞）上恒成立，即2t≤在（x0，+∞）上恒成立，令u（x）＝，x∈（x0，+∞），则，当x0＜x＜3时，u′（x）＜0，u（x）单调递减，当x＞3时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，所以u（x）min＝u（3）＝﹣，故2t≤＝﹣，即t，②当．综合①、②知，t的范围（﹣∞，﹣]．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，动直线l1：y＝x（k∈R，且k≠0）与动直线l2：y＝﹣k（x ﹣4）（k∈R，且k≠0）交点P的轨迹为曲线C1．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）若曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）﹣＝0，求曲线C1与曲线C2的交点的极坐标．解：（1）直线l1：y＝x（k∈R，且k≠0）与动直线l2：y＝﹣k（x﹣4）的交点为P（x0，y0），所以：和y0＝k（x0﹣4），消去参数k得到，根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ（ρ≠0且ρ≠4）．（2）把ρ＝4cosθ代入ρsin（θ+）﹣＝0，得到，整理得，解得：或﹣，所以曲线C1与曲线C2的交点的极坐标为（）或（2）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+|x+3|．（1）求不等式f（x）≤7的解集；（2）若a，b，c为正实数，函数f（x）的最小值为t，且2a+b+c＝t，求a2+b2+c2的最小值．解：（1）有不等式f（x）≤7，可得|x﹣2|+|x+3|≤7，可化为或或，解得﹣4≤x＜﹣3或﹣3≤x≤2或2＜x≤3，所以﹣4≤x≤3，即不等式的解集为[﹣4，3]．（2）因为f（x）＝|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|＝5，所以f（x）的最小值t＝5，即2a+b+c＝5，由柯西不等式得（a2+b2+c2）（22+12+12）≥（2a+b+c）2＝25，当且仅当b＝c＝a，即a＝，b＝c＝时等号成立，所以a2+b2+c2的最小值为．。
2021年四川省南充市高考数学第三次适应性试卷(文科)(5月份)(附答案详解)
2021年四川省南充市高考数学第三次适应性试卷（文科）（5月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−x≤0}，B={x|x=2n+1,n∈Z}，则A∩B=()A. {0}B. {1}C. {0,1}D. ⌀2.设复数z满足(1+2i)z=5i，则|z|=()A. 12B. √52C. √5D. 53.已知向量a⃗=(12,√32)，|b⃗ |=2，且a⃗⋅b⃗ =1，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4.某地区某年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是()A. 20.5B. 21C. 22D. 25.55.函数y=2sin(πx6−π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A. 2−√3B. 0C. −1D. −1−√36.设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2−S k=24，则k=()A. 8B. 7C. 6D. 57.已知f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数，若f(−1)>−6，f(2021)=3−a2a−4，则实数a的取值范围是()A. (−∞,2111) B. (2,+∞)C. (−∞,2111)∪(2,+∞) D. (2111,2)8.我国唐代天文学家，数学家张逐以“李白喝酒”为题材写了一道算题：李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”如图是源于其思想的一个程序框图，即当输出的m=0时，输入的m的值是()A. 34B. 78C. 1516D. 49.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE：EB=AF：FD=1：4，又H，G分别是BC，CD的中点，则()A. BD//平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形．B. EF//平面BCD，且四边形EFGH是梯形．C. HG//平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形．D. EH//平面ADC，且四边形EFGH是梯形．10.已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2−y2=λ(λ为正常数)上，过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|⋅|MN|的值为()A. λ4B. λ2C. λD. 无法确定11.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，若∠A=60°，BC=√3，PA=2，则此三棱锥的外接球的体积为()A. 8πB. 4√3πC. 4√23π D. 8√23π12.已知曲线C1：y=e x上一点A(x1,y1)，曲线C2：y=1+ln(x−m)(m>0)上一点B(x2,y2)，当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为()A. 1B. √eC. e−1D. e+1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{3x+y+1≤0x+y−1≥0x+2≤0，则z=−x+2y的最小值为______ ．14.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前3项和为14，且a3=8，则a5=______ ．15.直线y=√3x交椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)于A，B两点，|AB|=4√3.F是椭圆的右焦点，若AF⊥BF，则a=______ ．16.已知函数f(x)=|x2−2ax+b|(x∈R)，给出下列命题：①∃a∈R，使f(x)为偶函数；②若f(0)=f(2)，则f(x)的图象关于x=1对称；③若a2−b≤0，则f(x)在区间[a,+∞)上是增函数；④若a2−b−2>0，则函数ℎ(x)=f(x)−2有2个零点．其中正确命题的序号为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinB+bcosA=0．(1)求A；(2)若a=2√5，b=2，求△ABC的面积．18.某电子商务公司随机抽取1000名网络购物者进行调查，这1000名购物者2015年网上购物金额(单位：万元)均在区间[0.3,0.9]内，样本分组为：[0.3,0.4)，[0.4,0.5)，[0.5,0.6)，[0.6,0.7)，[0.7,0.8)，[0.8,0.9]，购物金额的频率分布直方图如下：电子商务公司决定给购物者发放优惠券，其金额(单位：元)与购物金额关系如下：购物金额分组[0.3,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.8)[0.8,0.9]发放金额50100150200(Ⅰ)求这1000名购物者获得优惠券金额的平均数；(Ⅱ)以这1000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率，求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．19. 如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠A 1B 1C 1=90°，A 1B 1=B 1C 1=AA 1=2，顶点C 在底面A 1B 1C 1上的射影为A 1C 1的中点，D 为AC 的中点，E 是线段CC 1上除端点以外的一点． (1)证明：BD ⊥平面ACC 1A 1；(2)若三棱锥E −CDB 1的体积是三棱柱ABC −A 1B 1C 1的体积的112，求C 1EC 1C 的值．20. 设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，D两点，|AD|=8． (1)求k ；(2)若B(x 0,2)在C 上，过点B 作C 的弦BP ，BQ ，若BP ⊥BQ ，证明：直线PQ 过定点，并求出定点的坐标．21. 已知函数f(x)=me x −lnx −1．(Ⅰ)当m =1时，求曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)当m ≥1时，证明：f(x)>1．22.在直角坐标系xOy中，直线C1：x=−2，圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)≤5−|x−1|的解集；(2)若函数g(x)=1x −f(2x)−a的图象在(12,+∞)上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合A={x|x2−x≤0}={x|0≤x≤1}，B={x|x=2n+1,n∈Z}={奇数}，∴A∩B={1}．故选：B．求出集合A={x|0≤x≤1}，B={奇数}，由此能求出A∩B．本题考查集合的交集运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．2.【答案】C【解析】解：∵复数z满足(1+2i)z=5i，∴z=5i1+2i，∴|z|=|5i||1+2i|=5=√5．故选：C．利用复数模长的定义和性质求解．本题主要考查了复数模长的定义和性质，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵|a⃗|=1,|b⃗ |=2,a⃗⋅b⃗ =1，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=12，且<a⃗,b⃗ >∈[0°,180°]，∴a⃗与b⃗ 的夹角为：60°．故选：C．可求出|a⃗|=1，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出cos<a⃗,b⃗ >的值，进而可得出a⃗与b⃗ 的夹角．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，考查了计算能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列为：8，9，12，16，17，20，21，23，23，28，31，32，排在中间的两个数是20和21，所以这组数据的中位数是20+212=20.5．故选：A．把茎叶图中的数据按照从小到大的顺序排列，求出排在中间的两个数的平均数即可．本题考查了利用茎叶图求中位数的应用问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查三角函数的最值，复合三角函数的单调性，考查计算能力．通过x的范围，求出πx6−π3的范围，然后求出函数的最值．【解答】解：因为函数y=2sin(πx6−π3)(0≤x≤9)，所以πx6−π3∈[−π3,7π6]，所以2sin(πx6−π3)∈[−√3,2]，所以函数y=2sin(πx6−π3)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2−√3．故选：A．6.【答案】D【解析】解：根据题意：S k+2=(k+2)2，S k=k2∴S k+2−S k=24转化为：(k+2)2−k2=24∴k=5故选：D．先由等差数列前n项和公式求得S k+2，S k，将S k+2−S k=24转化为关于k的方程求解．本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7.【答案】C【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上的以5为周期的偶函数，则f(2021)=f(1+404×5)=f(1)=f(−1)，若f(−1)>−6，f(2021)=3−a2a−4，则有3−a2a−4>−6，解可得a<2111或a>2，即a的取值范围为：(−∞,−2111)∪(2,+∞)，故选：C．根据题意，由函数的奇偶性和周期性可得f(2021)=f(1+404×5)=f(1)=f(−1)，进而可得3−a2a−4>−6，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查抽象函数的应用，涉及不等式的解法，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得i=1，m=2m−1，i=2，不满足条件i≤3，执行循环体，m=2(2m−1)−1=4m−3，i=3，不满足条件i≤3，执行循环体，m=2(4m−3)−1=8m−7，i=4，此时，满足条件i>3，退出循环，输出m的值为0．可得：8m−7=0，解得：m=78．故选：B．由已知中的程序语句，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线的性质，以及相似三角形对应边的比例关系，梯形的定义，线面平行的判定定理及性质定理．画出图形，根据条件便可得到EF//HG，且EF≠HG，从而说明四边形EFGH为梯形，而由条件知EF//BD，从而根据线面平行的判定定理即可得出EF//平面BCD，这样便可找出正确选项．【解答】解：如图，由条件知，EF//BD，EF=15BD，GH//BD，且HG=12BD；∴EF//HG，且EF=25HG；∴四边形EFGH为梯形；EF//BD，EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD；∴EF//平面BCD；若EH//平面ADC，则EH//FG，显然EH不平行FG；∴EH不平行平面ADC；∴选项B正确．故选B．10.【答案】B【解析】解：设M(m,n)，即有m2−n2=λ，双曲线的渐近线为y=±x，可得|MN|=√2，由勾股定理可得|ON|=√|OM|2−|MN|2=√m2+n2−(m−n)22=√2，可得|ON|⋅|MN|=√2⋅√2=|m2−n2|2=λ2．故选：B．设M(m,n)，即有m2−n2=λ，求出双曲线的渐近线为y=±x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理可得|ON|，化简整理计算即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程的运用，注意点满足双曲线的方程，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：如图设底面三角形ABC的外接圆的半径为r，由正弦定理可得：BCsinA=2r，即2r=√3√32=2，∴r=1．∵PA⊥平面ABC，∴三棱锥的外接球的球心与△ABC外接圆圆心的连线与底面垂直，且到P与A的距离相等，则球心到底面距离d=12PA=1，再设三棱锥的外接球的半径为R，则R=2+r2=√12+12=√2．∴此三棱锥的外接球的体积为V=43πR3=4π3×(√2)3=8√2π3．故选：D．由已知利用正弦定理求得底面三角形外接圆的半径，再求出球心到底面的距离，利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】C【解析】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：e x1=1+ln(x2−m)，x2−x1≥e，∴0<1+ln(x2−m)≤e x2−e，∴x2>m+1e．∵lnx≤x−1(x≥1)，考虑x2−m≥1时．∴1+ln(x2−m)≤x2−m，令x2−m≤e x2−e，化为m ≥x −e x−e ，x >m +1e ．令f(x)=x −e x−e ，则f′(x)=1−e x−e ，可得x =e 时，f(x)取得最大值． ∴m ≥e −1． 故选：C ．当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2，都有|AB|≥e 恒成立，可得：e x 1=1+ln(x 2−m)，x 2−x 1≥e ，一方面0<1+ln(x 2−m)≤e x 2−e ，x 2>m +1e .利用lnx ≤x −1(x ≥1)，考虑x 2−m ≥1时．可得1+ln(x 2−m)≤x 2−m ，令x 2−m ≤e x 2−e ，可得m ≥x −e x−e ，利用导数求其最大值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、方程的解法、等价转化方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．13.【答案】8【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x =−2x +y −1=0，解得A(−2,3)，化z =−x +2y 为y =x2+z2，由图可知，当直线y =x2+z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为8． 故答案为：8．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】32【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q>0，∵a1(1+q+q2)=14，a1q2=8，解得：a1=q=2，则a5=25=32．故答案为：32．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】3+√3【解析】解：设椭圆的左焦点为F1，∵|AB|=4√3，AF⊥BF，|AB|=2√3，即∴|OF|=12c=2√3，∵直线y=√3x的斜率为√3，即k=tan∠AOF=√3，即∠AOF=60°，且|OA|=1|AB|=2√3，2则|OA|=|OF|，即△OAF是正三角形，则|AF|=2√3，则|BF|=|AF1|=√(4√3)2−(2√3)2=6，∵2a=|AF1|+|AF|=6+2√3，∴a=3+√3，故答案为：3+√3椭圆的左焦点为F1，根据弦长以及直角三角形的性质求出|BF|=|AF1|，利用椭圆的定义即可求出a的值．本题主要考查椭圆的方程和性质，利用直角三角形的性质以及椭圆的定义是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】①③【解析】【解答】解：①当a=0时，f(x)=|x2+b|显然是偶函数，故①正确；②取a=0，b=−2，函数f(x)=|x2−2ax+b|化为f(x)=|x2−2|，满足f(0)=f(2)，但f(x)的图象不关于x=1对称，故②错误；③若a2−b≤0，则f(x)=|(x−a)2+b−a2|=(x−a)2+b−a2在区间[a,+∞)上是增函数，故③正确；④ℎ(x)=|(x−a)2+b−a2|−2有4个零点，故④错误．∴正确命题为①③．故答案为：①③．【分析】①当a=0时，f(x)=|x2+b|显然是偶函数，故①正确；②由f(0)=f(2)，则|b|=|4−4a+b|，取a=0，b=−2，此式成立，此时函数化为f(x)=|x2−2|，其图象不关于x=1对称，故②错误；③f(x)=|(x−a)2+b−a2|=(x−a)2+b−a2在区间[a,+∞)上是增函数，故③正确；④画出图象可知，ℎ(x)=|(x−a)2+b−a2|−2有4个零点，故④错误．本题考查了命题的真假判断与应用，考查了二次函数的性质，是中档题．17.【答案】解：(1)因为asinB+bcosA=0，由正弦定理得sinAsinB+sinBcosA=0，因为sinB>0，所以sinA+cosA=0，及tanA=−1，由A为三角形内角得A=3π4；(2)由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，所以20=c2+4+2√2c，解得c=2√2，△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×2√2×√22=2【解析】(1)由已知结合正弦定理及同角基本关系进行化简可求tan A，进而可求A；(2)由已知结合余弦定理可求c，然后结合三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，同角基本关系，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(I)购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布表如下，x 0.3≤x<0.50.5≤x<0.60.6≤x<0.80.8≤x≤0.9y50100150200频率0.40.30.280.02这1000名购物者获得优惠券金额的平均数为：50×0.4+100×0.3+150×0.28+200×0.02=96；(Ⅱ)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，有：P(y=150)=P(0.6≤x<0.8)=0.28，P(y=200)=P(0.8≤x≤0.9)=0.02；所以，一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率为：P(y≥150)=P(y=150)+P(y=200)=0.28+0.02=0.3．【解析】(I)列出购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布表，计算获得优惠券金额的平均值；(Ⅱ)由获得优惠券金额y与购物金额x的对应关系，计算一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率．本题考查了频率分布表与平均数的计算问题，也考查了实际问题的应用，是基础题．19.【答案】(1)证明：设A1C1的中点为O，连接OB1，OC，∵点C在底面A1B1C1上的射影为O，∴CO⊥平面A1B1C1，又∵CO⊂平面A1C1CA，∴平面A1C1CA⊥平面A1B1C1，∵A1B1=B1C1，∠A1B1C1=90°，平面A1C1CA∩平面A1B1C=A1C1，∴B1O⊥平面A1C1CA，连接DO，∵DO//BB1，DO=BB1，∴四边形BB1OD为平行四边形，得BD//B1O，∴BD⊥平面A1C1CA；(2)解：由(1)得B 1O ⊥平面A 1C 1CA ，OC 1=OC =CD =B 1O =√2， ∴∠A 1C 1C =45°，∠ACC 1=135°， 令CE =x ，∴S △DCE =12⋅DC ⋅CE ⋅sin∠ACC 1=12⋅√2⋅x ⋅sin135°=12x ，∴V E−CDB 1=V B 1−CDE =13S DCE ⋅B 1O =√26x ， 又∵V ABC−A 1B 1C 1=S △A 1B 1C 1⋅CO =12×2×2×√2=2√2， 由已知可得√26x =112×2√2，解得x =1．∴E 为CC 1 的中点，即C 1EC 1C=12．【解析】(1)设A 1C 1 的中点为O ，连接OB 1，OC ，由已知可得CO ⊥平面A 1B 1C 1，得到平面A 1C 1CA ⊥平面A 1B 1C 1，进一步可得B 1O ⊥平面A 1C 1CA ，连接DO ，证明BD//B 1O ，可得BD ⊥平面A 1C 1CA ；(2)由(1)得B 1O ⊥平面A 1C 1CA ，令CE =x ，求得三棱锥E −CDB 1的体积，再求出原三棱柱的体积，结合已知列关于x 的方程，解得x =1，得E 为CC 1 的中点，即C 1EC1C=12．本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得F(1,0)，直线l 的方程为y =k(x −1)，k >0，设A(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，由{y =k(x −1)y 2=4x ，可得k 2x 2−(4+2k 2)x +k 2=0， △=16k 2+16>0，故x 1+x 2=2k 2+4k 2，所以|AD|=|AF|+|DF|=(x 1+1)+(x 2+1)=4k 2+4k 2=8，解得k =1(−1舍去)；(2)证明：因为B(x 0,2)在C:y 2=4x 上，所以B(1,2)， 设直线PQ 的方程为x =my +n ，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 联立{x =my +n y 2=4x，可得y 2−4my −4n =0，由△>0，可得m 2+n >0，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−4n ， 因为BP ⊥BQ ，所以BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以(x 1−1)(x 2−1)+(y 1−2)(y 2−2)=0，又因为x1=y124，x2=y224，所以(y1−2)(y2−2)[(y1+2)(y2+2)+16]=0，则(y1−2)(y2−2)=0或(y1+2)(y2+2)+16=0，即y1y2+4−2(y1+y2)=0或y1y2+2(y1+y2)+20=0，所以n=1−2m或n=2m+5，因为△>0恒成立，所以n=2m+5，所以直线PQ的方程为x−5=m(y+2)，所以直线PQ恒过定点(5,−2)．【解析】(1)求得F的坐标，可得直线l的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，可得|AD|，再求出k的值；(2)求得B(1,2)，设直线PQ的方程为x=my+n，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，与抛物线的方程联立，根据条件得到n，m的关系，然后用m表示直线PQ的方程，再求出定点即可．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)解：当m=1时，f(x)=e x−lnx−1，所以f′(x)=e x−1x.…(1分)所以f(1)=e−1，f′(1)=e−1.…(2分)所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−(e−1)=(e−1)(x−1)．即y=(e−1)x.…(3分)(Ⅱ)证法一：当m≥1时，f(x)=me x−lnx−1≥e x−lnx−1．要证明f(x)>1，只需证明e x−lnx−2>0.…(4分)以下给出三种思路证明e x−lnx−2>0．思路1：设g(x)=e x−lnx−2，则g′(x)=e x−1x．设ℎ(x)=e x−1x ，则ℎ′(x)=e x+1x2>0，所以函数ℎ(x)=g′(x)=e x−1x在(0,+∞)上单调递增．…(6分)因为g′(12)=e12−2<0，g′(1)=e−1>0，所以函数g′(x)=e x−1x 在(0,+∞)上有唯一零点x0，且x0∈(12,1).…(8分)因为g′(x0)=0时，所以e x0=1x，即lnx0=−x0.…(9分)当x∈(0,x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0．所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0).…(10分)故g(x)≥g(x0)=e x0−lnx0−2=1x+x0−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1.…(12分)思路2：先证明e x≥x+1(x∈R).…(5分)设ℎ(x)=e x−x−1，则ℎ′(x)=e x−1．因为当x<0时，ℎ′(x)<0，当x>0时，ℎ′(x)>0，所以当x<0时，函数ℎ(x)单调递减，当x>0时，函数ℎ(x)单调递增．所以ℎ(x)≥ℎ(0)=0．所以e x≥x+1(当且仅当x=0时取等号).…(7分)所以要证明e x−lnx−2>0，只需证明(x+1)−lnx−2>0.…(8分)下面证明x−lnx−1≥0．设p(x)=x−lnx−1，则p′(x)=1−1x =x−1x．当0<x<1时，p′(x)<0，当x>1时，p′(x)>0，所以当0<x<1时，函数p(x)单调递减，当x>1时，函数p(x)单调递增．所以p(x)≥p(1)=0．所以x−lnx−1≥0(当且仅当x=1时取等号).…(10分)由于取等号的条件不同，所以e x−lnx−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1.…(12分)(若考生先放缩ln x，或e x、ln x同时放缩，请参考此思路给分！)思路3：先证明e x−lnx>2．因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，设直线x=t(t>0)与曲线y=e x，y=lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y=x的距离分别为d1，d2，则AB=√2(d1+d2)．其中d1=e t−t√2，d2=√2(t>0)．①设ℎ(t)=e t−t(t>0)，则ℎ′(t)=e t−1．因为t>0，所以ℎ′(t)=e t−1>0．所以ℎ(t)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(t)>ℎ(0)=1．所以d1=t2>√22．②设g(t)=t−lnt(t>0)，则g′(t)=1−1t =t−1t．因为当0<t<1时，g′(t)<0；当t>1时，g′(t)>0，所以当0<t<1时，g(t)=t−lnt单调递减；当t>1时，g(t)=t−lnt单调递增．所以g(t)≥g(1)=1．所以d2=√2≥√22．所以AB=√2(d1+d2)>√2(√22+√22)=2．综上可知，当m≥1时，f(x)>1.…(12分)证法二：因为f(x)=me x−lnx−1，要证明f(x)>1，只需证明me x−lnx−2>0.…(4分)以下给出两种思路证明me x−lnx−2>0．思路1：设g(x)=me x−lnx−2，则g′(x)=me x−1x．设ℎ(x)=me x−1x ，则ℎ′(x)=me x+1x2>0．所以函数ℎ(x)=g′(x)=me x−1x在(0,+∞)上单调递增．…(6分)因为g′(12m)=me12m−2m=m(e12m−2)<0，g′(1)=me−1>0，所以函数g′(x)=me x−1x 在(0,+∞)上有唯一零点x0，且x0∈(12m,1).…(8分)因为g′(x0)=0，所以me x0=1x，即lnx0=−x0−lnm.…(9分)当x∈(0,x0)时，g′(x)<0；当x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0．所以当x=x0时，g(x)取得最小值g(x0).…(10分)故g(x)≥g(x0)=me x0−lnx0−2=1x+x0+lnm−2>0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1.…(12分)思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)，且lnx≤x+1(x>0).…(5分)设F(x)=e x−x−1，则F′(x)=e x−1．因为当x<0时，F′(x)<0；当x>0时，F′(x)>0，所以F(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．所以当x=0时，F(x)取得最小值F(0)=0．所以F(x)≥F(0)=0，即e x≥x+1(当且仅当x=0时取等号).…(7分)由e x≥x+1(x∈R)，得e x−1≥x(当且仅当x=1时取等号).…(8分)所以lnx≤x−1(x>0)(当且仅当x=1时取等号).…(9分)再证明me x−lnx−2>0．因为x>0，m≥1，且e x≥x+1与lnx≤x−1不同时取等号，所以me x−lnx−2>m(x+1)−(x−1)−2=(m−1)(x+1)≥0．综上可知，当m≥1时，f(x)>1.…(12分)【解析】(Ⅰ)求得m=1时，f(x)的导数，可得切点坐标和切线的斜率，由点斜式方程可得所求切线的方程；(Ⅱ)证法一：运用分析法证明，当m≥1时，f(x)=me x−lnx−1≥e x−lnx−1.要证明f(x)>1，只需证明e x−lnx−2>0，思路1：设g(x)=e x−lnx−2，求得导数，求得单调区间，可得最小值，证明大于0即可；思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)，设ℎ(x)=e x−x−1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0；证明x−lnx−1≥0.设p(x)=x−lnx−1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，即可得证；思路3：先证明e x−lnx>2.：因为曲线y=e x与曲线y=lnx的图象关于直线y=x对称，结合点到直线的距离公式，求得两曲线上的点的距离AB>2，即可得证；证法二：因为f(x)=me x−lnx−1，要证明f(x)>1，只需证明me x−lnx−2>0．思路1：设g(x)=me x−lnx−2，求得导数和单调区间，求得最小值，证明大于0，即可得证；思路2：先证明e x≥x+1(x∈R)，且lnx≤x+1(x>0).设F(x)=e x−x−1，求得导数和单调区间，可得最小值大于0，再证明me x−lnx−2>0，运用不等式的性质，即可得证．本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用不等式的传递性和构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=−2的极坐标方程为ρcosθ=−2，圆C2：(x−1)2+(y−2)2=1的极坐标方程为：(ρcosθ−1)2+(ρsinθ−2)2=1，化简可得ρ2−(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0．(ρ∈R)，则直角坐标方程为y=x，(2)直线C3的极坐标方程为θ=π4把直线C 3的极坐标方程θ=π4(ρ∈R)代入圆C 2的极坐标方程：ρ2−(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0， 可得ρ2−3√2ρ+4=0， 解得ρ1=2√2，ρ2=√2， ∴|MN|=|ρ1−ρ2|=√2，由于圆C 2的半径为1，∴C 2M ⊥C 2N ，△C 2MN 的面积为12|C 2M||C 2N|=12×1×1=12．【解析】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，极坐标的意义，属于中档题． (1)由条件根据x =ρcosθ，y =ρsinθ求得C 1，C 2的极坐标方程．(2)把直线C 3的极坐标方程代入圆C 2的极坐标方程可得ρ2−3√2ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C 2M ⊥C 2N ，从而求得△C 2MN 的面积12|C 2M||C 2N|的值．23.【答案】解：(1)不等式f(x)≤5−|x −1|，即|x −2|≤5−|x −1|，即|x −2|+|x −1|≤5， ∴{x <12−x +1−x ≤5①；或{1≤x ≤22−x +(x −1)≤5②；或{x >2x −2+x −1≤5． 解①求得−1≤x <1，解②求得1≤x ≤2，解求得2<x ≤4，综上可得，原不等式的解集为{x|−1≤x ≤4}．(2)若函数g(x)=1x −f(2x)−a 的图象在(12,+∞)上与x 轴有3个不同的交点，第21页，共21页 则方程1x −f(2x)=a 在(12,+∞)上有3个解，即函数ℎ(x)=1x −|2x −2|={1x −2x +2,x ≥11x +2x −2,12<x <1的图象和直线y =a 在(12,+∞)上有3个交点． 当12<x <1时，f(x)=1x +2x −2≥2√2−2，当且仅当1x =2x ，即x =√22时，等号成立．再根据f(12)=1=f(1)，当x ≥1时，f(x)=1x −2x +2单调递减，如图所示： 故a 的取值范围为(2√2−2,1)．【解析】(1)把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(2)由题意可得，函数ℎ(x)=1x −|2x −2|={1x −2x +2,x ≥11x +2x −2,12<x <1的图象和直线y =a 在(12,+∞)上有3个交点，数形结合可得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，基本不等式的应用，属于中档题．。
四川省南充市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
四川省南充市2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C 2:4y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA|=2|FB|，则|FA| =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】方法一：设(1,0)P -，利用抛物线的定义判断出B 是AP 的中点，结合等腰三角形的性质求得B 点的横坐标，根据抛物线的定义求得||FB ，进而求得FA .方法二：设出,A B 两点的横坐标,A B x x ，由抛物线的定义，结合||2||FA FB =求得,A B x x 的关系式，联立直线()1y k x =+的方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得A x ，进而求得FA .【详解】方法一：由题意得抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+恒过定点(1,0)P -，过,A B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，连接OB ，由||2||FA FB =，则||2||AM BN =，所以点B 为AP 的中点，又点O 是PF 的中点， 则1||||2OB AF =，所以||||OB BF =，又||1OF = 所以由等腰三角形三线合一得点B 的横坐标为12， 所以13||122FB =+=，所以||2||3FA FB ==．方法二：抛物线24y x =的准线方程为:1l x =-，直线(1)y k x =+由题意设,A B 两点横坐标分别为,(,)0A B A B x x x x >，则由抛物线定义得||1,||1A B FA x FB x =+=+又||2||,12(1)21A B A B FA FB x x x x =∴+=+⇒=+ ① 222224(24)01(1)A B y x k x k x k x x y k x ⎧=⇒+-+=⇒⋅=⎨=+⎩ ② 由①②得220,2,||13A A A A x x x FA x --=∴==+=.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题.2．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD ，在点E ，F 处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A 处，通过击打母球，使其依次撞击点E ，F 处的目标球，最后停在点C 处，若AE=50cm ．EF=40cm ．FC=30cm ，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（ ）A ．502cmB ．402cmC ．50cmD ．206cm【答案】D【解析】【分析】 过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，利用直线三角形中的边角关系，将,AB BC 用α表示出来，根据AB BC =，列方程求出α，进而可得正方形的边长.【详解】过点,E F 做正方形边的垂线，如图，设AEM α∠=，则CFQ α∠=，60MEF QFE α∠=∠=-o，则()sin sin 60sin AB AM MN NB AE EF FC ααα=++=+-+o ()3350sin 40sin 6030sin 40sin 2ααααα⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭o ， ()cos cos cos 60CB BP PC AE FC EF ααα=+=+--o()3350cos 30cos 40cos 6040cos 2ααααα⎛⎫=+--= ⎪ ⎪⎝⎭o 因为AB CB =，则333340sin cos 40cos 2222αααα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理化简得sin 23cos αα=，又22sin cos 1αα+=， 得31sin 22α-= ，31cos 22α+= 33333340sin 4020622222222AB αα⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝即该正方形的边长为206cm .故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.3．已知()21,+=-∈a i bi a b R ，其中i 是虚数单位，则z a bi =-对应的点的坐标为（ ） A ．()12,-B ．()21,-C ．()1,2D ．()2,1【答案】C【解析】【分析】利用复数相等的条件求得a ，b ，则答案可求．【详解】由21a i bi +=-，得1a =，2b =-． z a bi ∴=-对应的点的坐标为(a ，)(1b -=，2)．故选：C ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．4．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）AB ．1)-C ．D ．4【答案】D【解析】【分析】 如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则2||4||1PM x PF x=+-，利用均值不等式得到答案. 【详解】如图所示：过点P 作PN 垂直准线于N ，交y 轴于Q ，则11PF PN PQ -=-=，设(),P x y ，0x >，则()()22222224||||44||1x y x x PM P P M x F x Q P x x -+-+====+≥-， 当4x x=，即2x =时等号成立. 故选：D .【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.5．在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ） A ．12 B ．13 C ．2 D ．23【答案】C【解析】【分析】根据直线与圆相交，可求出k 的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以211d k =≤+，解得2244k -≤≤ 所以相交的概率22224P ==,故选C. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.6．如图，将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD ，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，则直线AC 与BD 所成角余弦值为（ ）A ．223B ．63C ．3D ．13【答案】C【解析】【分析】利用建系，假设AB 长度，表示向量AC u u u r 与BD u u u r，利用向量的夹角公式，可得结果.【详解】由平面ABD ⊥平面BCD ，AB BD ⊥平面ABD ⋂平面BCD BD =，AB Ì平面ABD所以AB ⊥平面BCD ，又DC ⊂平面BCD所以AB DC ⊥，又DB DC ⊥ 所以作z 轴//AB ,建立空间直角坐标系B xyz -如图设1AB =，所以1,1,2BD DC BC ===则()()()()0,1,1,0,1,0,1,0,0,0,0,0A B C D所以()()1,1,1,0,1,0AC BD =---u u u r u u u r所以3cos ,33AC BD AC BD AC BD⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.7．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ） A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度 【答案】B【解析】【分析】【详解】分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．详解：将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到12233y x x ππ=⨯-=-（）（），再将得到的图象向左平移4π个单位长度得到3412y x x （）（），πππ=-+=- 故选B ． 点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键．8．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：若{a n }是等比数列，则89891,0S a a S q q -==≠，若10a >，则898910S a a S q -==>，即98S S >成立，若98S S >成立，则898910S a a S q -==>，即10a >，故“10a >”是“98S S >”的充要条件，故选：C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.9．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B【解析】 由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增，又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，故选B.10．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.11．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞【答案】D【解析】【分析】由(0)0f =可得1a =，所以22()log (1)(0)f x x x x =+≥+，由()f x 为定义在R 上的奇函数结合增函数+增函数=增函数，可知()y f x =在R 上单调递增，注意到(2)(2)5f f -=-=-，再利用函数单调性即可解决.【详解】因为()f x 在R 上是奇函数.所以(0)0f =，解得1a =，所以当0x ≥时，22()log (1)f x x x =++，且[0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，所以()y f x =在R 上单调递增，因为(2)5(2)5f f =-=-，，故有342x +>-，解得2x >-.故选：D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查学生对函数性质的灵活运用能力，是一道中档题.12．设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的一个焦点为F （c,0）（c ＞0），若该双曲线的一条渐近线被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为）A ．221205x y -= B ．22125100x y -= C ．221520x y -= D ．221525x y -= 【答案】C【解析】【分析】由题得ca =b ==222+=a bc ，联立解方程组即可得25a =，220b =，进而得出双曲线方程.【详解】由题得c e a== ①又该双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，且被圆x 2+y 2﹣2cx ＝0截得的弦长为b == ②又222+=a b c ③由①②③可得：25a =，220b =， 所以双曲线的标准方程为221520x y -=. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，圆的方程的有关计算，考查了学生的计算能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021届四川省绵阳市高中高三第三次诊断性考试理科数学试卷 (解析)
绝密★启用前2021年四川省绵阳市高考数学三诊试卷（理科）注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（每小题5分）.1．已知集合A＝{x|x2＞1}，则∁R A＝（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若x，y满足约束条件，则z＝3x+y的最小值为（）A．﹣10B．﹣8C．16D．204．在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和上一时期相比较的增长率．根据如图，2020年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法错误的是（）A．2020年全国居民每月消费价格与2019年同期相比有涨有跌B．2020年1月至2020年12月全国居民消费价格环比有涨有跌C．2020年1月全国居民消费价格同比涨幅最大D．2020年我国居民消费价格中3月消费价格最低5．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x（1﹣x）．则不等式xf（x）＞0的解集为（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）6．（x﹣1）•（）6的展开式中的x2系数为（）A．48B．54C．60D．727．已知a＝（）0.3，b＝0.3，c＝a b，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞b＞c8．在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝，点F为边CD的中点，若＝0，则＝（）A．4B．3C．2D．19．已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为3π，则球O的表面积等于（）A．B．C．D．10．若函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）在区间（0，）上仅有一条对称轴及一个对称中心，则ω的取值范围为（）A．（5，8）B．（5，8]C．（5，11]D．[5，11）11．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a2＝2，a n＝3a n﹣1+4a n﹣2（n≥3），则S10＝（）A．B．C．410﹣1D．411﹣112．已知点F为抛物线E：x2＝4y的焦点，C（0，﹣2），过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝5a5，则a15＝．14．若函数f（x）＝x2e x﹣mlnx在点（1，f（1））处的切线过点（0，0），则实数m＝．15．已知双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）与抛物线C：y2＝2px（p＞0）有共同的一焦点，过E的左焦点且与曲线C相切的直线恰与E的一渐近线平行，则E的离心率为．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F是BC上的两个三等分点，点G，H是A1D1上的两个三等分点，点M，N，P分别为AB，C1D1和CD的中点，点Q是A1M上的一个动点，下面结论中正确的是．①FH与AC1异面且垂直；②FG与AC1相交且垂直；③D1Q∥平面EFN；④B1，H，F，P四点共面．三、解答题：共70分。
四川省南充市2021届高三第三次高考适应性考试数学理试题 Word版含解析
南充市高2021届第三次高考适应性考试数学试卷（理科）【试卷综析】这套试题,具体来说比较平稳,基本符合高考复习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,体现了稳中求进的精神.考查的学问涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、概率、复数等几章学问,重视学科基础学问和基本技能的考察,同时侧重考察了同学的学习方法和思维力量的考察,有相当一部分的题目机敏新颖,学问点综合与迁移.试卷的整体水准应当说可以看出编写者花费了肯定的心血.但是综合学问、创新题目的题考的有点少.这套试题以它的学问性、思辨性、机敏性,基础性充分体现了考素养,考基础,考方法,考潜能的检测功能.试题中无偏题,怪题,起到了引导高中数学向全面培育同学数学素养的方向进展的作用.【题文】第I卷共10小题。
【题文】一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分·在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1．设集合M满足｛1，2｝｛1，2，3，4｝，则满足条件的集合M的个数为（）A.1 B ．2 C ．3. D. 4【学问点】子集与真子集A1【答案】【解析】C 解析：依据子集的定义，可得集合M必定含有1、2两个元素，而且含有1，2，3，4中的至多三个元素．因此，满足条件{1，2}⊆M⊈{1，2，3，4}的集合M有：{1，2}、{1，2，3}、{1，2，4}，共3个．故选：C．【思路点拨】依据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.【题文】2.已知点A(1,3)，B(4，一1），则与向量AB的方向相反的单位向量是（）A、（－35，45）B、（－45，35）C、（35，－45）D、（45，－35）【学问点】单位向量F1【答案】【解析】A 解析：AB=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），|AB|==5．∴与向量AB的方向相反的单位向量()3,434,555ABAB-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭．故选：A．【思路点拨】利用与向量的方向相反的单位向量ABAB-即可得出．【题文】3.函数2()f x x=＋bx的图象在点A（l，f(1））处的切线与直线3x - y＋2＝0平行，若数列｛1()f n｝的前n项和为Sn，则S2021＝（）A、1B、20132014C、20142015D、20152016【学问点】数列的求和；二次函数的性质．B5 D4【答案】【解析】D 解析：f′（x）=2x+b，由直线3x﹣y+2=0可知其斜率为3，依据题意，有f′（1）=2+b=3，即b=1，所以f（x）=x2+x，从而数列{1()f n}的通项为，所以S2021==，故选：D．【思路点拨】由f′（1）与直线斜率相等可得f（x）的解析式，从而可得数列{1()f n}的通项公式，计算可得答案．【题文】4.某锥体三视图如右，依据图中所标数据，该锥体的各侧面中，面积最大的是（）A. 3B. 25C. 6D. 8【学问点】由三视图求面积、体积．G2【答案】【解析】C 解析：由于三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：×4×=2．两个侧面面积为：×2×3=3，前面三角形的面积为：×4×=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选C．【思路点拨】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【题文】5.已知圆C1：（x一2）2＋(y－3 )2 =1 ，圆C2 : (x －3)2＋(y－4).2 ＝9，M，N分别是Cl ，C2上的动点，P为x轴上的动点，则｜PM ｜+ ｜PN｜的最小值为（）A. 17－1B、6－22C、52－4D．17【学问点】圆与圆的位置关系及其判定．H4【答案】【解析】C 解析：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，由图象可知当P，C2，C3，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．故选：C．【思路点拨】求出圆C1关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．【题文】6.函数恰有两个零点，则实数k 的范围是（ ）A.（0，1)B.（0，l ）U （1,2）C. (1，＋oo ） D 、（一oo,2)【学问点】函数的零点与方程根的关系．B9【答案】【解析】B 解析：由题意，令f （x ）=0，则211x kxx -=-令2111x y x -=-，2y kx =，则y1==，图象如图所示2y kx=表示过点（0，0）的直线，结合图像以及斜率的意义，∴k 的取值范围是（0，1）∪（1，2），故选B.【思路点拨】令f （x ）=0，则211x kxx -=-，构建函数，作出函数的图象，即可求得k 的取值范围．【题文】7.已知抛物线22(0)y px p =>上一点M （1，m ）（m >0）到其焦点的距离为5，双曲线2221x y a -=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 平行、则实数a 等于（ ）A 、19B 、14C 、13D 、12【学问点】双曲线的简洁性质；抛物线的简洁性质．H6 H7【答案】【解析】A 解析：抛物线y2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x ，M （1，4），双曲线﹣y2=1的左顶点为A （﹣，0），渐近线方程为y=±x ，直线AM 的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，可得=，解得a=，故选A ．【思路点拨】求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M 的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a 的值． 【题文】8.函数在x ＝1和x ＝－1处分别取得最大值和最小值，且对于，则函数f （x ＋1）肯定是（ ）A ．周期为2的偶函数 B.周期为2的奇函数C.周期为4的奇函数D.周期为4的偶函数 【学问点】正弦函数的图象．B4 【答案】【解析】C 解析：由题意可得，[﹣1，1]是f （x ）的一个增区间，函数f （x ）的周期为2×2=4， ∴=4，ω=，∴f （x ）=Asin （x+φ）．再依据f （1）=Asin （ω+φ）=A ，可得sin （+φ）=cosφ=1，故φ=2kπ，k ∈z ，f （x ）=Asin x ，故f （x ）是周期为4的奇函数，故选：C ．【思路点拨】由题意可得函数f （x ）的周期为4，由此求得ω 的值，再依据f （1）=A ，求得φ 的值，可得f （x ）的解析式，从而得出结论．【题文】9．已知正方体ABCD 一A1B1C1D1，，下列命题：③向量1AD 与向量1A B 的夹角为600④正方体ABCD 一A1B1C1D1的体积为1||AB AA AD ，其中正确命题序号是A.①③B.①②③C.①④D.①②④．【学问点】空间向量及应用F1 【答案】【解析】A 解析：如图所示：以点D 为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），对于①：，∴，，∴，∴||=，||=1，∴①正确；对于②：，，∴=2．∴②错误；对于③：，，∴，∴③正确；对于④：∵，∴④错误，故选A.【思路点拨】结合图形，以点D 为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，对四个命题进行逐个检验即可．【题文】10.已知函数，则关于x 的方程有5个不同实数解的充要条件是（）A. b＜一2且c＞0B. b＞一2且c＜0C. b＜一2且c＝0D. b≤一2且c＝0【学问点】充要条件．A2【答案】【解析】C 解析：∵方程f2（x）+af（x）+b=0有且只有5个不同实数解，∴对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，由题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图可知﹣b＞2，∴b＜﹣2．故所求充要条件为：b＜﹣2且c=0，故选C．【思路点拨】作出f（x）的简图，数形结合可得．【题文】第II卷（非选择题，满分100分）【题文】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．【题文】11、若复数x＝（1＋ai）（2＋i）的实部与虚部相等，则实数a＝【学问点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案】【解析】13解析：()()()12221x ai i a a i=-++＝＋＋，由于实部与虚部相等，所以221a a-=+，解得13a=，故答案为13【思路点拨】利用两个复数代数形式的乘法，虚数单位i 的幂运算性质，把复数化为最简形式，由实部和虚部相等，求出实数a．【题文】12.93()3xx-的开放式中常数项等于【学问点】二项式系数的性质．J3【答案】【解析】289-解析：93()3xx-的开放式的通项公式为Tr+1=••（﹣3）r•，令=0，求得r=3，可得开放式中常数项等于••（﹣3）3=﹣，故答案为：289-．【思路点拨】先求出二项式开放式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得开放式中的常数项的值．【题文】13.7个身高各不相同的同学排成一排照相，高个子站中间，从中间到左边一个比一个矮，从中间到右边也一个比一个矮，则共有种不同的排法（结果用数字作答）．【学问点】排列、组合及简洁计数问题．J3【答案】【解析】20 解析：最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，其次步：排右边，有=1种，依据分步乘法计数原理，共有20×1=20种，故答案为：20．【思路点拨】最高个子站在中间，只需排好左右两边，第一步：先排左边，有=20种排法，其次步：排右边，有=1种，依据分步乘法计数原理可得结论．【题文】14.阅读右边框图，为了使输出的n＝5，则输人的整数P的最小值为【学问点】程序框图．L1【答案】【解析】8 解析：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否连续循环S n循环前/0 1第一圈是 1 2其次圈是 3 3第三圈是7 4第四圈是15 5第五圈否故S=7时，满足条件S＜pS=15时，不满足条件S＜p故p的最小值为8故答案为：8【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再依据流程图所示的挨次，可知：该程序的作用是利用循环计算变量S的值，并输出满足退出循环条件时的k值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【题文】15．平面内两定点M（0，一2）和N(0,2），动点P（x，y ）满足，动点P的轨迹为曲线E，给出以下命题：①∃m，使曲线E过坐标原点；②对∀m，曲线E与x轴有三个交点；③曲线E只关于y轴对称，但不关于x轴对称；④若P、M、N三点不共线，则△PMN周长的最小值为2m ＋4;⑤曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的另外一点为H，则四边形GMHN的面积不大于m。
四川省南充市2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析
四川省南充市2021届新高考第三次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点2F 为双曲线222:1(0)4x y C a a -=>的右焦点，直线y kx =与双曲线交于A ，B 两点，若223AF B π∠=，则2AF B V 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ，由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形，设1122,AF r AF r ==，得222121242cos3c r r r r π=+-，求出12r r 的值，即得解.【详解】设双曲线C 的左焦点为1F ，连接11,AF BF ， 由对称性可知四边形12AF BF 是平行四边形， 所以122AF F AF B S S =V V ，123F AF π∠=.设1122,AF r AF r ==，则222221212121242cos 3c r r r r r r r r π=+-=+-，又122r r a -=.故212416rr b ==，所以12121sin 23AF F S r r π==V 故选：D 【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．已知函数3sin ()(1)()x x x xf x x m x e e-+=+-++为奇函数，则m =（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值.【详解】依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x y e e -=+为偶函数，所以()()()1gx x m x =+-为偶函数，故()()0gx g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.故选：B 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题.3．已知函数f （x ）＝e b ﹣x ﹣e x ﹣b +c （b ，c 均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f （5）+f （﹣1）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据对称性即可求出答案． 【详解】解：∵点（5，f （5））与点（﹣1，f （﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f （5）+f （﹣1）＝2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题．4．设非零向量a r ，b r ，c r，满足||2b =r ，||1a =r ，且b r 与a r 的夹角为θ，则“||b a -=r r 是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的定义可得θ，即可判断出结论． 【详解】解：||b a -=r r ∴2223b a a b +-=r r r r g ，221221cos 3θ∴+-⨯⨯⨯=，解得1cos 2θ=，[0θ∈，]π，解得3πθ=，∴ “||3b a -=rr ”是“3πθ=”的充分必要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 5．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；当2x =时，()2230f e =-<，故可排除D ．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数图象，属基础题．6．30x y m -+=过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F ，且与双曲线C 在第二象限交于点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为 A ．2 B ．31C 5D 51【答案】B 【解析】 【分析】【详解】直线30x y m -+=的倾斜角为π3，易得||||FA FO c ==．设双曲线C 的右焦点为E ，可得AFE △中，90FAE ∠=o ，则||3AE c =，所以双曲线C 的离心率为2313c e c c==+-.故选B ．7．将一块边长为cm a 的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为3722cm ，则a 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】推导出PM PN a +=，且PM PN =，2MN a =，2a PM =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值． 【详解】解：如图（4），PMN ∆为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，PM PN a +=，且2aPM PN ==，由PMN ∆为等腰直角三角形可知，22MN a =，设MN 中点为O ，则PO ⊥平面ABCD ，∴1224PO MN a ==， ∴2312227223P ABCD V a a a -⎛⎫=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭，解得12a =. 故选：D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式． 9．已知函数()()614,7,7x a x x f x ax -⎧-+≤=⎨>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1(,0)2-B ．1(2,)2- C ．(1,1)- D ．1(,1)2【答案】A 【解析】 【分析】首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得112a ≤<，所以当a 最小时，12a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【详解】由于()f x 为R 上的减函数，则有()1001714a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪≤-+⎩，可得112a ≤<， 所以当a 最小时，12a =， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根， 等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，数形结合可得k 的取值范围为102k -<<．故选：A. 【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目. 10．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3 B ．3±C ．3-D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法，以及复数的基本概念求解即可. 【详解】()221125b b ibi z i --+-==+，又z 的实部与虚部相等， 221b b ∴-=+，解得3b =-.故选:C 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的概念运用.11．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．3y x =±B ．y x =C ．=±y x D ．)1=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设22,AB AF m BF ==∴==，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：122BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(5(5F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(4(41b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)1=±y x .故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.12．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)1,+∞ B ．()1,+?C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B 【解析】命题p ：4a ≤，p ⌝为4a >，又p ⌝为真命题的充分不必要条件为31a m >+，故3141m m +>⇒> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省南充市2021届新高考第三次大联考数学试卷含解析
四川省南充市2021届新高考第三次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若i 为虚数单位，则复数22sincos 33z i ππ=-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B【解析】【分析】 由共轭复数的定义得到z ，通过三角函数值的正负，以及复数的几何意义即得解【详解】 由题意得22sin cos 33z i ππ=--，因为2sin 03π-=<，21cos 032π-=>， 所以z 在复平面内对应的点位于第二象限．故选：B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.2．若双曲线E ：221x y m n-=(0)mn >绕其对称中心旋转3π后可得某一函数的图象，则E 的离心率等于（ ）A B C ．2D ．2【答案】C【解析】【分析】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，所以b a =，由离心率公式e =即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知，此双曲线的两条渐近线的夹角为60o ，又双曲线的焦点既可在x轴，又可在y 轴上，所以3b a =或3，212b e a ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭或233. 故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的概念，考查了分类讨论的数学思想.3．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．【答案】C【解析】【分析】计算得到，，代入双曲线化简得到答案.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故.故选：.【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.4．已知斜率为k 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >，则斜率k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】【分析】设(A x ，)y ，(B x ，)y ，设直线的方程为：y kx b =+，与抛物线方程联立，由△0>得1kb <，利用韦达定理结合已知条件得22k b k -=，2m k=，代入上式即可求出k 的取值范围． 【详解】设直线l 的方程为：y kx b =+， 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立方程24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去y 得：222(24)0k x kb x b +-+=， ∴△222(24)40kb k b =-->，1kb ∴<， 且12242kb x x k -+=，2122b x x k=， 12124()2y y k x x b k+=++=， Q 线段AB 的中点为(1M ,)(0)m m >， ∴122422kb x x k -+==，1242y y m k+==， 22k b k -∴=，2m k=， 0m >Q ，0k ∴>， 把22k b k-= 代入1kb <，得221k -<， 21k ∴>，1k ∴>，故选：C【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了韦达定理的应用，属于中档题．5．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A【解析】【分析】由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项.考查集合并集运算，属于简单题.6．已知数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，若m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，则()21m n -+的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．10 【答案】B【解析】【分析】利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得110m n <-<再根据此范围求()21m n -+的最小值．【详解】Q 数列{}n a 是公比为2的正项等比数列，m a 、n a 满足21024n m n a a a <<，由等比数列的通项公式得11111122210242n m n a a a ---⋅<⋅<⋅，即19222n m n -+<<，10222m n -∴<<，可得110m n <-<，且m 、n 都是正整数，求()21m n -+的最小值即求在110m n <-<，且m 、n 都是正整数范围下求1m -最小值和n 的最小值，讨论m 、n 取值. ∴当3m =且1n =时，()21m n -+的最小值为()23115-+=.故选：B ．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．7．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：(0,0,0),(0,0,2),,O A B C ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．B ．CD ．【答案】C【解析】【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '．易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，233OB =433AB = 433AC =，22263BC OB OC =+=222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅ 161683333444233+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠其中2AO AO '==，()321cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴2521,521OO OO ''=⇒=+故选：C【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 8．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米 【答案】B【解析】【分析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.因为弧长比较短的情况下分成6等分，所以每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长， 故导线长度约为230203ππ⨯=≈63(厘米). 故选：B.【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，属于容易题.9．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,则方程[]()3f f x =的实数根的个数是（ ） A ．6B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】【分析】 画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,将方程[]()3f f x =看作()(),3t f x f t ==交点个数，运用图象判断根的个数．【详解】画出函数21,0()ln ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩令()(),3t f x f t =∴=有两解()()120,1,1,+t t ∈∈∞ ，则()()12,t f x f x t ==分别有3个，2个解，故方程[]()3f f x =的实数根的个数是3+2=5个故选：D本题综合考查了函数的图象的运用，分类思想的运用，数学结合的思想判断方程的根，难度较大，属于中档题．10．已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】设切点为()00x ,y ，则300y x =，由于直线l 经过点()1,1，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点0x 处的切线斜率，建立关于0x 的方程，从而可求方程．【详解】若直线与曲线切于点()()000x ,y x 0≠，则32000000y 1x 1k x x 1x 1x 1--===++--， 又∵2y'3x =，∴200y'x x 3x ==，∴2002x x 10--=，解得0x 1=，01x 2=-， ∴过点()P 1,1与曲线3C :y x =相切的直线方程为3x y 20--=或3x 4y 10-+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．11．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b 【答案】A【解析】【分析】求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数.【详解】依题意()'2f x bx =+，()y f x =在点1212,x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪处的切线与直线AB 平行，即有()1221b x x+=()1221ab x xx x=++-=，由于对任意12,x x上式都成立，可得0a=，b为非零实数.故选：A【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题．12．已知双曲线2221xya-=的一条渐近线方程是y x=，则双曲线的离心率为（）AB．CD【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程是1y xa=±，所以1a=1a b==，2224c a b=+=，即2c=，cea== D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川南充市高三三诊联合诊断考试数学理科及答案
四川南充市高三三诊联合诊断考试数学理科（解析版）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. 10B. -10C.D.3. 已知，则的值等于（）A. B. C. D.4. 如图,正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A. B. C. D.5. 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛6. 执行如图所示的程序框图,输出的值为A. 3B. -6C. 10D. -157. 直线过点且与圆交于，两点，如果，那么直线的方程为（ ）A. B. 或C.D. 或8. 已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是（ ）A. 5B. 6C. 7D. 89. 已知长方体内接于球，底面是边长为2的正方形，为的中点，平面，则球的表面积是（ ）A.B.C.D.10. 在中，角,,所对的边分别为，且，，若，则的最小值为（ ）A.B.C.D.11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作平行于的渐近线的直线交于点，若，则的渐近线方程为（ ）A.B. C. D.12. 已知定义在上的偶函数在上单调递减，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中的系数为__________．14. 若实数，满足且的最小值为3，则__________．15. 在中，，，边上的中线，则的面积为__________．16. 已知单位向量，，两两的夹角均为(，且)，若空间向量，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系 (为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作，有下列命题：①已知，，则；②已知，，其中，，均为正数，则当且仅当时，向量，的夹角取得最小值；③已知，，则；④已知，，，则三棱锥的表面积.其中真命题为__________．(写出所有真命题的序号)三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知是等比数列，，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列前项的和.18. 某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为，当时,产品为一级品；当时，产品为二级品，当时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)配方的频数分配表5（Ⅰ）若从配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件，求事件发生的概率；（Ⅱ）若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系：其中，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？19. 如图，四边形中，，，，，，分别在，上，，现将四边形沿折起，使平面平面.（Ⅰ）若，在折叠后的线段上是否存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.20. 已知椭圆的中心在原点，离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点.①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.②当运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由.21. 已知函数，其中，为参数，且.（Ⅰ）当时，判断函数是否有极值.（Ⅱ）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围.（Ⅲ）若对（Ⅱ）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；（Ⅱ）设直线与曲线交于两点，求的值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若，且，证明：.四川南充市高三三诊联合诊断考试数学理科（解析版）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由集合，所以，故选C.2. 设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（）A. 10B. -10C.D.【答案】B【解析】由题意，复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，由，所以，所以，故选B.3. 已知，则的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：诱导公式，注意，，所以选Ａ考点：诱导公式4. 如图,正方形中，点，分别是，的中点，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点是的中点，所以，点是的中点，所以，所以，故选D.5. 为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是，乙的平均数是，所以乙的平均数大于甲的平均数，即，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D.6. 执行如图所示的程序框图,输出的值为A. 3B. -6C. 10D. -15【答案】C【解析】试题分析：模拟算法：开始成立；是奇数，，，成立；是偶数，，，成立；是奇数，，，成立；是偶数，，，不成立；输出，结束算法，故选C.考点：程序框图.7. 直线过点且与圆交于，两点，如果，那么直线的方程为（）A. B. 或C. D. 或【答案】D【解析】因为，所以圆心到直线的距离。
四川省南充市2021届新高考三诊数学试题含解析
四川省南充市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒ 【答案】C【解析】【分析】 根据椭圆的定义可得14PF =，12F F =.【详解】由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF=， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故12120F PF ︒∠=. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.2．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225 B ．1225- C ．2425 D ．2425- 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】 因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=,所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-, 所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.3．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断()g t 的零点的个数,即为所求.【详解】 设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r , 依题意可得1ln 03t t +=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增, 所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t ∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.4．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．6 2海里B ．3C ．2海里D ．3海里【答案】A【解析】【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BC sin sin =︒︒， 122BC =，∴62BC =故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.6．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}- 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ， {|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.7． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242 【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a则()233513512n a n n =+-=-令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。
2021年四川省南充市高考数学(理)质检试卷-含答案与解析
2021年四川省南充市高考数学（理）质检试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题有四个选项，只有一个是正确的1已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，，则A∩B＝（）A B C D2的实部为（）A B C﹣D3已知等差数列{a n}前3项的和为6，a5＝8，则a20＝（）A40 B39 C38 D374古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（）A B C D5已知圆（x+3）2+y2＝5与双曲线的渐近线相切，则a＝（）A2 B C D46若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有（）把握认为两个变量有关系P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A95% B97.5% C99% D99.9%7已知函数f（x）＝，则f（2）+f（3﹣log27）＝（）A B C D8已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+2lnx，则f'（2）＝（）A6 B7 C﹣6 D﹣79在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，则当S n＞0时，n的最小值为（）A14 B15 C16 D1710棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（）A B C D12+12π11如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A B C D12已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A（﹣∞，）B（，+∞）C（﹣∞，﹣）D（﹣，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影＝14若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），则的值为15某酒厂生产浓香型、酱香型两种白酒，若每吨浓香型的白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨酱香型的白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨，销售每吨浓香型的白酒可获利润5万元，销售每吨酱香型的白酒可获利润4万元，该厂在一个生产周期内乙醇总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨那么该酒厂在一个生产周期内可获利润的最大值是万元16已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内17（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若（c+2b）cos A ﹣a cos（A+B）＝0（1）求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值18（12分）十九大报告强调：坚持保护环境的基本国策，像对待生命一样对待生态环境某市化工研究所为了环保需要，从城区搬迁到修建了先进环保设施的城郊新区，但全所30名员工仍住在城区，为了方便他们上下班，该研究所准备购买一辆客车定时定位接送，为了节约成本，先对员工们的乘车情况作了调研：从市客运中心租用了一辆载客量为33人的大客车接或送员工共计60次，并委托司机对60次的乘车人数都作了统计，结果如下：乘车人数18 19 20 21 22 23 24 频数 4 7 13 15 12 6 3 （I）若在这60次记录中随机抽查两次员工们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过20的概率；（II）以这60次记录的各种乘车人数的频率作为这种乘车人数的概率，并假设每次乘车人数相互独立了解员工们的乘车情况后，再了解客车交易市场，发现可供选择的客车只有22座的S型车和24座的T型车两种，除去司机外，载客量分别为21人，23人，经测算，购买S型车时每次运行费用为100元，购买T型车时每次运行费用120元；若某次乘车的员工人数超过载客量时，超出的员工每人从司机处签字并领取15元钱供他们乘出租车，然后再由该研究所定期返还司机；请以1次接或送总费用的期望值为依据，判断该研究所购买哪种车型较划算？19（12分）如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，已知AE＝EF＝2，ME∥NF∥AD，且ME，NF与对角线DB分别交于G，H两点，现以ME，NF为折痕将正方形折起，使BC，AD 重合，D，C重合后记为P，A，B重合后记为Q，如图2所示（Ⅰ）求证：平面PGQ⊥平面HGQ；（Ⅱ）求平面GPN与平面HGQ所成锐二面角的余弦值20（12分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PM与直线PQ垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M（ⅰ）当点M为椭圆C的右顶点时，求证：△PQM为等腰三角形；（ⅱ）当点P不是椭圆C的顶点时，求直线PQ和直线QM的斜率之比21（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分每小题有四个选项，只有一个是正确的1已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，，则A∩B＝（）A B C D【分析】分别求出集合A和B，由此能求出A∩B【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，＝{x|x＞}，∴A∩B＝{x|}＝（，2）故选：B【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2的实部为（）A B C﹣D【分析】利用复数的运算法则化简，再得到实部的值【解答】解：＝＝＝﹣+i，则的实部为﹣，故选：C【点评】本题考查了复数的运算法则、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3已知等差数列{a n}前3项的和为6，a5＝8，则a20＝（）A40 B39 C38 D37【分析】设{a n}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得a n【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，由已知得若a1+a2+a3＝6，a5＝8，⇒3a1+3d＝6，a1+4d＝8，解得a1＝0，d＝2故a20＝0+（20﹣1）×2＝38；故选：C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题4古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（）A B C D【分析】4位回文数有90个.4位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，从而四位数的回文数中奇数的个数为50，由此能求出在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率【解答】解：4位回文数只用排列前两位数字，后面数字可以确定，但是第一位不能为0，有9种情况，第二位有10种情况，∴4位回文数有：9×10＝904位回文数的第一位是奇数，有5种情况，第二位有10种情况，∴四位数的回文数中奇数的个数为：5×10＝50，∴在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为P＝＝故选：C【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题5已知圆（x+3）2+y2＝5与双曲线的渐近线相切，则a＝（）A2 B C D4【分析】求得圆心和半径，以及双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件：d＝r，解方程即可得到所求值【解答】解：圆（x+3）2+y2＝5的圆心为（﹣3，0），半径为，双曲线的渐近线为y＝±x，由双曲线的渐近线与圆相切可得：＝，解得a＝2，故选：A【点评】本题考查双曲线的性质：渐近线方程，圆与直线相切的条件：d＝r，考查方程思想和运算能力，属于基础题6若由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，那么有（）把握认为两个变量有关系P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A95% B97.5% C99% D99.9%【分析】利用独立性检验的观测值对应临界表可得答案【解答】解：由一个2×2列联表中的数据计算得K2＝4.013，因为3.841＜4.013＜5.024，则P（K2≥k0）＝0.05＝5%，那么有95%的把握认为两个变量有关系故选：A【点评】本题考查独立性检验的应用，属于基础题7已知函数f（x）＝，则f（2）+f（3﹣log27）＝（）A B C D【分析】判断自变量的范围，然后利用分段函数求解即可【解答】解：函数f（x）＝，则f（2）+f（3﹣log27）＝sin+＝1+＝故选：B【点评】本题考查分段函数的应用，函数求值，三角函数的化简求值，考查计算能力8已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+2lnx，则f'（2）＝（）A6 B7 C﹣6 D﹣7【分析】先求出f'（x），将x＝1代入求出f'（1），再代入x＝2，求解即可【解答】解：因为f（x）＝x2f'（1）+2lnx，所以，故f'（1）＝2f'（1）+2，所以f'（1）＝﹣2，故f'（2）＝2×2×（﹣2）+1＝﹣7故选：D【点评】本题考查了复数的运算，解题的关键是掌握复数的运算法则，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题9在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，则当S n＞0时，n的最小值为（）A14 B15 C16 D17【分析】由已知条件，利用等差数列的性质推导出2a8＝a1+a15＜0，a8+a9＝a1+a16＞0，由此能求出S n＞0时，n的最小值【解答】解：∵数列{a n}是等差数列，它的前n项和S n有最小值，∴公差d＞0，首项a1＜0，{a n}为递增数列，∵，∴a8•a9＜0，a8+a9＞0，由等差数列的性质知：2a8＝a1+a15＜0，a8+a9＝a1+a16＞0，∵，∴S n＞0时，n的最小值为16故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和的应用，考查数列的函数特性，是中档题10棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其能到达的空间的体积为（）A B C D12+12π【分析】利用正方体体积公式和球的体积公式能求出小球可以经过的空间的体积【解答】解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[13﹣（×13）]＝8﹣，除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×2的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为12×[1×1×2﹣（π×12）×2]＝24﹣6π其他空间小球均能到达故小球不能到达的空间体积为：（8﹣π）+24﹣6π＝32﹣π∴小球可以经过的空间的体积：V＝43﹣（12﹣×12）×2×12﹣（8﹣π）＝32+故选：A【点评】本题考查正方体中小球的可以经过的空间的体积的求法，考查正方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题11如图，双曲线F：（a＞0，b＞0）以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C，其中AB∥CD，∠BAD＝60°，|CD|＝4|AB|，则F的离心率为（）A B C D【分析】连接CA，BD，分别在△ABD，△CAD中，用∠BAD＝60°与∠CDA＝120°结合余弦定理可求解【解答】解：如图，不妨设|AB|＝1，|CD|＝4，则|BD|＝1+2a，|AC|＝4+2a，在△ABD中，由余弦定理得1+4c2﹣2•1•2c•cos60°＝（1+2a）2，①在△ACD中，由余弦定理得16+4c2﹣2•4•2c•cos120°＝（4+2a）2，②②﹣①得，15+10c＝12a+15，则e＝故选：C【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查余弦定理的应用，考查运算求解能力，是基础题12已知定义R在上的函数f（x），其导函数为f'（x），若f（x）＝f（﹣x）﹣2sin x且当x≥0时，f'（x）+cos x＞0，则不等式f（x+）＞f（x）+sin x﹣cos x的解集为（）A（﹣∞，）B（，+∞）C（﹣∞，﹣）D（﹣，+∞）【分析】令g(x)＝f(x)+sin x,根据条件判断g(x)的单调性和奇偶性,进一步得到,再解出不等式即可【解答】解:令g(x)＝f(x)+sin x,则g(﹣x)＝f(﹣x)+sin(﹣x)＝f(﹣x)﹣sin x, 又f(x)＝f(﹣x)﹣2sin x,∴f(x)+sin x＝f(﹣x)﹣sin x,故g(﹣x)＝g(x),∴g(x)为定义在R上的偶函数；当x≥0时,g′(x)＝f′(x)+cos x＞0,∴g(x)在[0,+∞)上单调递增,又∵g(x)为偶函数,故g(x)在(﹣∞,0]上单调递减,由得,∴,解得,∴不等式的解集为故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性,函数的奇偶性和利用单调性解不等式,考查了函数思想和转化思想,属中档题二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影＝﹣1 【分析】根据平面向量的数量积与投影的定义，计算即可【解答】解：平面向量＝（），＝（﹣），则在上的投影为||cosθ＝||×＝＝＝﹣1故答案为：﹣1【点评】本题考查了平面向量的数量积与投影的计算问题，是基础题14若（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），则的值为﹣1 【分析】分别令x＝0，x＝1，可得要求式子的值【解答】解：∵（1﹣3x）2021＝a0+a1x+⋯+a2021x2021（x∈R），∴令x＝0，可得a0＝1，再令x＝，则1+＝0，故＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和属于中档题15某酒厂生产浓香型、酱香型两种白酒，若每吨浓香型的白酒含乙醇0.6吨，水0.4吨；每吨酱香型的白酒含乙醇0.4吨，水0.6吨，销售每吨浓香型的白酒可获利润5万元，销售每吨酱香型的白酒可获利润4万元，该厂在一个生产周期内乙醇总量不能超过3.4吨，水总量不能超过3.6吨那么该酒厂在一个生产周期内可获利润的最大值是31 万元【分析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，题意列关于x，y的不等式组，利润z＝5x+4y，作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：设生产浓香型产品x吨，生产酱香型产品y吨，由题意知：，利润z＝5x+4y，作出可行域如图中阴影部分所示，联立，解得A（3，4），化目标函数z＝5x+4y为y＝﹣x+，由图可知，当直线y＝﹣x+过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为31，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润31万元故答案为：31【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题16已知F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线左支于点M，且∠F1MF2＝60°，则该双曲线的渐近线方程为y＝±（1+）x【分析】设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，推得OA为△BF1F2的中位线，分别求得|BF1|，|AF2|，|BF2|，由∠F1MF2＝60°，求得|BM|，|MF1|，再由双曲线的定义，化简可得a，b的关系，可得双曲线的渐近线方程【解答】解：设切点为A，过F1作F1B⊥MF2，垂足为B，由题意可得|OA|＝a，|OF2|＝c，|AF2|＝＝b，由OA为△BF1F2的中位线，可得|BF1|＝2a，|BF2|＝2b，又∠F1MF2＝60°，可得|MF1|＝＝，|MB|＝，|MF2|＝|MB|+|BF2|＝+2b，又|MF2|﹣|MF1|＝+2b﹣＝2a，所以b＝（1+）a，所以双曲线的渐近线方程为y＝±（1+）x故答案为：y＝±（1+）x【点评】本题考查双曲线的定义性质，以及三角形的中位线定理、直线和圆相切的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内17（12分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若（c+2b）cos A ﹣a cos（A+B）＝0（1）求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合余弦定理及基本不等式可求bc的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解【解答】解：（1）因为（c+2b）cos A﹣a cos（A+B）＝0，由正弦定理得，sin C cos A+2sin B cos A+sin A cos C＝0，即sin（A+C）+2sin B cos A＝0，所以sin B+2sin B cos A＝0，因为sin B＞0，所以cos A＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝；（2）由余弦定理得a2＝12＝b2+c2+bc≥3bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤4，△ABC的面积S＝＝≤，即面积的最大值【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题18（12分）十九大报告强调：坚持保护环境的基本国策，像对待生命一样对待生态环境某市化工研究所为了环保需要，从城区搬迁到修建了先进环保设施的城郊新区，但全所30名员工仍住在城区，为了方便他们上下班，该研究所准备购买一辆客车定时定位接送，为了节约成本，先对员工们的乘车情况作了调研：从市客运中心租用了一辆载客量为33人的大客车接或送员工共计60次，并委托司机对60次的乘车人数都作了统计，结果如下：乘车人数18 19 20 21 22 23 24 频数 4 7 13 15 12 6 3（I）若在这60次记录中随机抽查两次员工们的乘车情况，求这两次中至少有一次乘车人数超过20的概率；（II）以这60次记录的各种乘车人数的频率作为这种乘车人数的概率，并假设每次乘车人数相互独立了解员工们的乘车情况后，再了解客车交易市场，发现可供选择的客车只有22座的S型车和24座的T型车两种，除去司机外，载客量分别为21人，23人，经测算，购买S型车时每次运行费用为100元，购买T型车时每次运行费用120元；若某次乘车的员工人数超过载客量时，超出的员工每人从司机处签字并领取15元钱供他们乘出租车，然后再由该研究所定期返还司机；请以1次接或送总费用的期望值为依据，判断该研究所购买哪种车型较划算？【分析】（Ⅰ）设“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过20”为事件A，乘车人数不超过20的次数为24，利用古典概型概率求解即可（Ⅱ）用ξ表示租用S型车的总费用（单位：元），则ξ可取100，115，130，145，求出概率得到分布列然后求解期望；用η表示租用T型车的总费用（单位：元），则η可取120，135，求出概率得到分布列然后求解期望判断即可【解答】解：（Ⅰ）设“抽查的两次中至少有一次乘车人数超过20”为事件A，乘车人数不超过20的次数为24，则…（6分）（Ⅱ）用ξ表示租用S型车的总费用（单位：元），则ξ可取100，115，130，145，分布列为ξ100 115 130 145P0.65 0.2 0.1 0.05Eξ＝100×0.65+115×0.2+130×0.1+145×0.05＝108.5…（9分）用η表示租用T型车的总费用（单位：元），则η可取120，135，分布列为110 120 135P0.95 0.05Eη＝120×0.95+135×0.05＝120.75…（11分）因此以一次接、送付出的总费用的期望值为依据，租S型车较划算…（12分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力19（12分）如图1，四边形ABCD是边长为6的正方形，已知AE＝EF＝2，ME∥NF∥AD，且ME，NF与对角线DB分别交于G，H两点，现以ME，NF为折痕将正方形折起，使BC，AD 重合，D，C重合后记为P，A，B重合后记为Q，如图2所示（Ⅰ）求证：平面PGQ⊥平面HGQ；（Ⅱ）求平面GPN与平面HGQ所成锐二面角的余弦值【分析】（I）取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ，取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR ⊥GQ且HF∥RJ，HF＝RJ，推出四边形RJFH为平行四边形，RH∥JF，PQ⊥RH，证明RH⊥平面PGQ，得到平面PGQ⊥平面HGQ（II）取EF中点O，如图建立空间直角坐标系求出平面HGQ的法向量，平面GPN法向量，设两平面所成锐二面角，利用斜率的数量积求解即可【解答】（I）证明：取EQ的中点J，连接FJ，则PQ⊥FJ…（1分）取GQ中点R，连接HR，RJ，易得HR⊥GQ且HF∥RJ，HF＝RJ，所以四边形RJFH为平行四边形…（3分）所以RH∥JF，PQ⊥RH，又PQ∩GQ＝Q，所以RH⊥平面PGQ，又RH⊂平面HGQ，故平面PGQ ⊥平面HGQ…（5分）（II）解：取EF中点O，如图建立空间直角坐标系…（6分）设平面HGQ的法向量则，令…（8分）又，∴设平面GPN法向量为则，令…（10分）设两平面所成锐二面角为…（12分）【点评】本题考查直线与平面，平面与平面垂直的判断定理以及性质定理的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力以及空间想象能力20（12分）已知椭圆（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）经过原点的直线与椭圆C交于P，Q两点，直线PM与直线PQ垂直，且与椭圆C 的另一个交点为M（ⅰ）当点M为椭圆C的右顶点时，求证：△PQM为等腰三角形；（ⅱ）当点P不是椭圆C的顶点时，求直线PQ和直线QM的斜率之比【分析】（Ⅰ）直接利用离心率公式求椭圆C的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）设P点坐标（x1，y1），利用直线PM与直线PQ垂直以及P在椭圆上建立两个方程解出x1，y1，再求出线段PQ和PM的长度即可证明△PQM为等腰三角形；（ii）设M 点坐标（x1，y1），根据韦达定理求出PM的中点T的坐标，利用OT∥QM可表示直线QM 的斜率，根据直线PM与直线PQ垂直可表示出直线PQ斜率，从而求出直线PQ和直线QM 的斜率之比【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆方程，所以a2＝6，b2＝1所以c2＝5所以离心率（Ⅱ）（ⅰ）设，由题设知，因为PQ⊥PM，所以点P（x1，y1）在以线段OM为直径的圆上，所以有又，解得（舍）所以，所以，又所以PQ＝PM，即△PQM为等腰三角形（ⅱ）设M（x2，y2），且记直线PQ，PM，QM率分别为k PQ，k PM，k QM，所以，因为PQ⊥PM，所以k PQ⋅k PM＝﹣1又，因为，所以所以所以，即直线PQ和直线QM的斜率之比为6，因为点P不是椭圆C的顶点，所以直线PQ，PM，QM的斜率都存在且不为0，设直线PM的方程为y＝kx+m（km≠0），由得（1+6k2）x2+12kmx+6m2﹣6＝0，由△＞0，所以 6k2+1﹣m2＞0设P（x1，y1），M（x2，y2），PM的中点T（x0，y0）因为，所以，，因为OT∥QM，所以，又因为PQ⊥PM，所以所认【点评】本题考查椭圆的方程及其性质，考查设而不求法在解析几何中的应用，考查数学运算和逻辑推理的核心素养，属于中档题21（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣x2﹣x+a（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2已知λ＞0，若不等式e1+λ＜x1•x2λ恒成立，求λ的范围【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）＝lnx﹣ax＝0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y＝lnx与函数y＝ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y＝a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）＝lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2＝a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t ∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）＝0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax＝0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y＝lnx与函数y＝ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图可见，若令过原点且切于函数y＝lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0＝e，故，故（解法二）转化为函数与函数y＝a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减故g（x）极大＝g（e）＝；又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y＝a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须（解法三）令g（x）＝lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而＝，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大＞0，即，所以综上所述，（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax＝0的两个根，即lnx1＝ax1，lnx2＝ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2＝a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于又由lnx1＝ax1，lnx2＝ax2作差得，，即所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立令，又＝，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）＝0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）＝0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1 【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论，转化思想，数形结合的思想方法的应用，属于中档题考生注意：请在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α（ρ≥0）与曲线C1，C2分别交于点A，B（均异于原点O）（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）当0＜α＜时，求|OA|2+|OB|2的最小值【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，利用三角函数关系式的变换和极径的应用求出结果【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），转换为直角坐标法方程为，根据，转换为极坐标方程为，整理得曲线C2：x2+y2﹣2y＝0，根据，转换为极坐标方程为ρ＝2sinθ（2）根据（1）的结论，|OA|2+|OB|2＝＝，由于0＜α＜，故1＜1+2sin2θ＜3，故∈（1，7），故没有最小值【点评】本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题[选修4-5：不等式选讲]23已知函数f（x）＝|2x﹣a|﹣|x+1|（1）当a＝2时，求不等式f（x）＜2的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）+3＞0恒成立，求实数a的取值范围【分析】（1）由绝对值的意义和零点分区间法，去绝对值，求并集，即可得到所求解集（2）将f（x）分段，判断单调性，可得f（x）的最小值，再由f（x）min＞﹣3，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）当a＝2时，f（x）＝|2x﹣2|﹣|x+1|＜2，①当x≤﹣1时，则2﹣2x+（x+1）＜2，∴x＞1，∴无解，②当﹣1＜x＜1时，则2﹣2x﹣（x+1）＜2，∴﹣＜x＜1，③当x≥1时，则2x﹣2﹣（x+1）＜2，∴1≤x＜5，∴不等式f（x）＜2 的解集为（﹣，5）（2）若a＞0，①当x≤﹣1时，则f（x）＝a+1﹣x，②当﹣1＜x＜时，f（x）＝a﹣1﹣3x，③当x≥时，f（x）＝x﹣a﹣1，∵f（x）在（﹣∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（）＝﹣﹣1，∵f（x）+3＞0恒成立，∴f（x）min＞﹣3，即﹣﹣1＞﹣3，解得a＜4，又∵a＞0，∴a的取值范围为（0，4）【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力，属于中档题。
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四川省南充市2021届新高考三诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒ 【答案】C【解析】【分析】 根据椭圆的定义可得14PF =，12F F =.【详解】由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF=， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故12120F PF ︒∠=. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.2．已知α是第二象限的角，3tan()4πα+=-，则sin 2α=( ) A ．1225 B ．1225- C ．2425 D ．2425- 【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式和同角三角函数的基本关系求出2cos α,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【详解】 因为3tan()4πα+=-, 由诱导公式可得,sin 3tan cos 4ααα==-, 即3sin cos 4αα=-, 因为22sin cos 1αα+=,所以216cos 25α=, 由二倍角的正弦公式可得,23sin 22sin cos cos 2αααα==-, 所以31624sin 222525α=-⨯=-. 故选:D【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系和二倍角的正弦公式;考查运算求解能力和知识的综合运用能力;属于中档题.3．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=u u u u r u u u r u u u r ，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】 设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则21,ln 33t OP t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭u u u r ,即可得1ln 03t t +=,设1()ln 3g t t t =+,利用导函数判断()g t 的零点的个数,即为所求.【详解】 设(,3ln )M t t ,则1,N t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以21,ln 333OM ON t OP t t +⎛⎫==+ ⎪⎝⎭u u u u r u u u r u u u r , 依题意可得1ln 03t t +=, 设1()ln 3g t t t =+,则221131()33t g t t t t -'=-=, 当103t <<时,()0g t '<,则()g t 单调递减；当13t >时,()0g t '>,则()g t 单调递增, 所以min 1()1ln 303g t g ⎛⎫==-< ⎪⎝⎭,且221120,(1)033e g g e ⎛⎫=-+>=> ⎪⎝⎭, 1()ln 03g t t t ∴=+=有两个不同的解,所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2. 故选:C【点睛】本题考查利用导函数处理零点问题,考查向量的坐标运算,考查零点存在性定理的应用.4．某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】C【解析】【分析】 由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC ∆，BCD ∆，ADC ∆为直角三角形.∴该三棱锥的表面中直角三角形的个数为3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.5．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．6 2海里B ．3C ．2海里D ．3海里【答案】A【解析】【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BC sin sin =︒︒， 122BC =，∴62BC =故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.6．已知集合{}2{|23,},|1=-<<∈=>A x x x N B x x A ，则集合A B =I （ ）A ．{2}B ．{1,0,1}-C ．{2,2}-D ．{1,0,1,2}- 【答案】A【解析】【分析】化简集合A ,B ，按交集定义，即可求解.【详解】集合{|23,}{0,1,2}=-<<∈=A x x x N ， {|11}=><-或B x x x ，则{2}A B =I .故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.7． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242 【答案】C【解析】【分析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前n 项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，公差为5735⨯=的等差数列，记数列{}n a则()233513512n a n n =+-=-令35122020n a n =-≤，解得25835n ≤. 故该数列各项之和为5857582335591892⨯⨯+⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。
8．已知集合{}2(,)|A x y y x==，{}22(,)|1B x y x y =+=，则A B I 的真子集个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】【分析】求出A B I 的元素，再确定其真子集个数．【详解】 由2221y x x y ⎧=⎨+=⎩，解得x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩，∴A B I 中有两个元素，因此它的真子集有3个．本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．9．若函数()()2(2 2.71828...x f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】【分析】求得()f x 的导函数()'f x ，由此构造函数()()222g x x m x m =+-+-，根据题意可知()g x 在(12)，上有变号零点.由此令()0g x =，利用分离常数法结合换元法，求得m 的取值范围.【详解】()()2'22x f x e x m x m =+-+-⎡⎤⎣⎦，设()()222g x x m x m =+-+-， 要使()f x 在区间[]1,2上不是单调函数，即()g x 在(12)，上有变号零点，令()0g x =， 则()2221x x m x ++=+， 令()12,3t x =+∈，则问题即1m t t =+在()2,3t ∈上有零点，由于1t t +在()2,3上递增，所以m 的取值范围是510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查方程零点问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若563a a =，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A ．31log 5+B ．6C ．4D ．5 【答案】D由对数运算法则和等比数列的性质计算．【详解】由题意313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L53563563log ()5log ()5log 35a a a a ====．故选：D ．【点睛】本题考查等比数列的性质，考查对数的运算法则．掌握等比数列的性质是解题关键．11．将函数2()22cos f x x x =-图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移8π个单位长度，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,18⎛⎫-- ⎪⎝⎭πC ．3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭πD ．3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π 【答案】D【解析】【分析】先化简函数解析式,再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律,可得所求函数的解析式为22sin 134y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,再由正弦函数的对称性得解. 【详解】222cos y x x =-Q()21cos 2x x =-+2sin 216x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, ∴将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,所得函数的解析式为22sin 136y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 再向右平移8π个单位长度,所得函数的解析式为 22sin 1386y x ππ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 22sin 134x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,233,3428x k x k k Z ππππ-=⇒=+∈， 0k =可得函数图象的一个对称中心为3,18⎛⎫- ⎪⎝⎭π，故选D. 【点睛】三角函数的图象与性质是高考考查的热点之一，经常考查定义域、值域、周期性、对称性、奇偶性、单调性、最值等，其中公式运用及其变形能力、运算能力、方程思想等可以在这些问题中进行体现，在复习时要注意基础知识的理解与落实．三角函数的性质由函数的解析式确定，在解答三角函数性质的综合试题时要抓住函数解析式这个关键，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解．12．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）. A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A【解析】【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可.【详解】 由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥，所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥.故选：A.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。