南京理工大学本科电路笔记dxja7_1

第七章 正弦稳态电路分析
§7-1 阻抗和导纳
一．阻抗
1． 定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络
的阻抗，记为Z ，
注意：此时电压相量U g
与电流相量I g
的参考方向向内部关联。

u
i
U U Z I I
ψψ∠=
∠
（复数）阻抗()Ω
z j Z R X ψ=∠=+
其中 ()U
Z I
=
Ω —阻抗Z 的模，即阻抗的值。

Z u i ϕψψ=- —阻抗Z 的阻抗角
z cos ()R Z ϕ=Ω —阻抗Z 的电阻分量 z sin ()X Z ϕ=Ω —阻抗Z 的电抗分量
电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为
R R U R I =
则 R R R
U Z R I ==
电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为
g
U U Z I
=-
g
g
g
R
X
|Z |
Z ϕ
g
R
U g
R I 与R U 共线
阻抗三角形
L L j U L I ω=
则 L L L L
j j U Z L X I ω==
电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为
C C
C C
C j 11j j I C U U I I C C
ωωω===-
则 C
C C C
1j
j U Z X C I ω=-=
C 1X C ω=- —容抗 2. 欧姆定律的相量形式 U Z I =
j g
g
1j
- C U
g
g
C
电阻、电感、电容的串联阻抗：
在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗eq Z
R L C eq R L C
1
L C Z
Z I Z I Z I
U Z Z Z Z I
I R j L R jX jX R jX j C Z ωωϕ++=
=
=++=++=++=+=∠
其中：阻抗Z 的模为
||Z =
阻抗角分别为 1/L
C
Z
X L C arctg arctg
arctg
R
R
R
X
X
ωωϕ+-===。

可见，电抗X 是角频率ω的函数。

当电抗X ＞0(ωL ＞1/ωC )时，阻抗角φZ ＞0，阻抗Z 呈感性； 当电抗X ＜0(ωL ＜1/ωC ＝时，阻抗角φZ ＜0，阻抗Z 呈容性； 当电抗X ＝0(ωL ＝1/ωC )时，阻抗角φZ ＝0，阻抗Z 呈阻性。

3. 串联阻抗分压公式：
引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为
∑==n
k k Z Z 1
串联阻抗分压公式
eq
k k Z U U Z =
二．导纳
1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的
C
g
导纳，记为Y ，即
i u
1I I
Y Z U U ψψ∠==
∠
复导纳（S ） Y j Y G B ψ=∠=+
其中 I
Y U
=—导纳Y 的模（S ）
Y i u Z ϕψψϕ=-=- —导纳Y 的导纳角。

Y cos (s)G Y ϕ= —导纳Y 的电导分量 Y sin (s)B Y ϕ= —导纳Y 的电纳分量
可见，同一二端网络的Z 与Y 互为倒数 特例：
电阻的导纳 R R 1Y G R
Z =
= 电容的 C C j j C Y C Z B ω== B C 电容的电纳，简称容纳。

电感的 L L 1j
j L Y B Z L
ω=-= B L 称为电感的电纳，简称感纳；
2. 欧姆定律的另一种相量形式
I Y U =
若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为
g
G
B
|Y |
Y ϕ
导纳三角形
∑==
n
k k
Y Y 1
并联导纳的分流公式：
eq
k k Y I I Y =
RLC 并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳Y
Y C L R Y jB G L
C j R C j L
j R Y Y Y Y ϕωωωω/||)1
(111=+=-+=
++=++=
可见，等效导纳Y 的实部是等效电导G (＝1/R )＝|Y |cos φY ；
等效导纳Y 的虚部是等效电纳B ＝|Y |sin φY ＝B C +B L ＝ωC -1/ωL ，是角频率ω
的函数。

导纳的模为：||Y =
导纳角分别为: 1/C
L Y
B C L arctg arctg
arctg
G
G
G
B
B ωωϕ+-===
由于电纳B 是角频率ω的函数，
当电纳B ＞0(ωC ＞1/ωL )时，导纳角φY ＞o ，导纳Y 呈容性； 当电纳B ＜0(ωC ＜1/ωL )时，导纳角φY ＜o ，导纳Y 呈感性； 当电纳B =0(ωC =1/ωL )时，导纳角φY ＝0导纳Y 呈阻性。

注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应
12121212
R R Z Z
R Z R R Z Z =
⇒=++
22Z1R11212
R Z I I I I R R Z Z =⇒=++
三.对同一二端网络：
1
U I
Z Y Y Z
I
U
=
=
=
其中：22()()()()R G R X ωωωω=
+ ， 22
()
()()()
X B R X ωωωω-=+， Y Z ϕϕ=- 一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效阻抗Z (j ω)是外施正弦激励角频率ω的函数，即
Z (j ω)＝R (ω)+jX (ω)
式中R (ω)＝Re[Z (j ω)]称为Z (j ω)的电阻分量，X (ω)＝Im[Z (j ω)]称为Z (j ω)的电抗分量。

式中电阻分量和电抗分量都是角频率ω的函数。

所以，要注意到电路结构和R 、L 、C 的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。

如下图电路的等效阻抗
eq 22j 1j (j )1
()(j )j ()R L R L R L Z j R L C R L C
ωωωωωωω⋅⋅-=
+-=+-++
222222()1j ()()R L R L R L R L C ωωωωω⎡⎤=+-⎢⎥++⎣⎦
()j ()R X ωω=+
同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳Y (j ω)也是外施正弦激励角频率ω的函数，即
Y (j ω)＝G (ω)+jB (ω)
式中G (ω)＝Re[Y (j ω)]称为Y (j ω)的电导分量，B (ω)＝Im[Y (j ω)]称为Y (j ω)的电纳分量。

电导分量和电纳分量也都是角频率ω的函数。

所以要注意到电路结构和R 、L 、C 的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励言，其等效导纳是不同的。

四.电路的计算 完全与电阻电路一样
可变，找不到适于任何场合下的等效电路
j ω L
1
j
-
例：求如图所示电路等效阻抗。

22222112
2
222
1m 2m 22
2
111
(j )j j j eq 1
1j (j )j C U U U C C C R R C g C g U C U U R R U Z I
ωωωωωωω+++
+++++=
=
=
R 2
g
1
R2
Z eq。