高中物理竞赛复赛模拟试题二(有答案)

q。今在相对于环不动的参照系中设法让这些
小球均以匀速 u 沿环边运动，各边上相邻两球的间距均为
a，且 L 远大于 a（参见图 52-2 ），
环是用不导电的线制作的，在相对于环不动的参照系中它有均匀的电荷线密度，正好把全部
小球的电荷完全抵消掉。 考虑相对论效应， 在一个从其上看环的运动速度为
照系上计算以下各量：
轴与 v 同向， y 沿着 DA边的方向， z 轴则垂直于环路所在平面） 。S 系各轴平行于 S 系各对
应轴， S 与 S 系的坐标原点在 t=0 时重合。
（1） AB边
建立与 AB边上的小球一起运动的参照系 S ，它的各坐标轴与 S，S 系的坐标轴平行。 S
相对 S 具有速度 u。
据洛仑兹收缩， S 测得的 AB边上相邻两个小球之间的距离 ar 为
（3） DA边
v2
a CD
1 c2 a uv
1 c2
（ 7）
在 S 系中，令 DA边上的某一小球在 t 0 时刻位于 x1 y1 z1 0 处。在同一时刻邻近的
一个小球应位于 x2 0， y2 a ， z2 0 处。
各球相对于 S 系的空—时坐标可由洛仑兹变换式给出
1
x
(x
v2
1 c2
y y ，z z ，
a
ar
u2
1 c2 ，
（1）
（只要 ar 是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成
立。） 据相对论速度求和公式， S 系中的观察者认为 AB边上诸球具有的速度为
uv
u AB
, uv
1 c2
再据洛仑兹收缩，此观察者将测得
（ 2） AB边上相邻两球的间距为
a AB
1
u
2 AB
c2
各边线电荷量也为此值。
（1） AB边
在实验室参照系中， AB边上各球电荷量之和为
S 中测得的
Q AB .b
v2 1 c2 L q a AB
（ 15）
此式系由 AB边上小球数乘以每一小球电荷量（运动不变量）来获得。
的分子为 S 系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距。
将（ 4）式代入到（ 15）式中，可得：
（ 21.2 ）
L uv
F AB
Q AB E
a
c2
qE
，
作用在 CD边上的电场力为
（ 22）
CE
L uv
FCD QCD E
a
c2
qE
，
（ 23）
B
FAB 与 FCD 形成一力偶。据力偶的力矩表达式，可得（参见图
M
最后可表达成
M
FAB L sin uv L2 c 2 a q E sin
（ 24） （ 25）
30
则
P1
6 32
5.6( cmHg )
70cm
实际气压
p p1 68 73.6(cmHg)
（2）因体积不变，有
p0 / T0 P2 / T2 ， T0 273 27
300(K )
T2 273 3 270(K ) ， p0 6cmHg
则
P2 6 270 / 300 5.4(cmHg )
L0
实际气压
P P2 70 75.4(cmHg)
52-3 ）
R U0
图 52-4
4、令 U AB 和 U CD 分别为 AB边上各点和 CD边上各点的静电势（指场强为
电势——注） ，那么有
E 的外电场的
W U ABQAB U CD QCD ，
（ 26）
将电势零位（ U=0）选在与 E 垂直的一个平面上，此平面与 图 52-4 ），于是
AB 边的间距为某一任意量 R（见
a1a2t a1 a2
大
B 气 L0
水
银
L 4L0
柱
5．如图 24-29 所示，截面均匀，下端 A 封闭的细长试管 AB竖直放置，管下端 A
空
L0
内封有长为 L0 的空气， 管中间是长为 4L0 的水银柱， 管上端 B 有长为 L0 的空气。 管中间
有长为 L=4L0 的水银柱管上端 B 有长为 L0 的空气。开始时，管上端 B 与大气连通，大气
图 52-2
注意：物体的电荷量与测量参照系的选择无关。
图 52-2 只画出了各矢量之间的相对方向。
略去电磁辐射。
有关的相对论公式如下：
（1）设惯性参照系 S 以匀速度 v 相对另一参照系 S 运动。 两参照系对应的坐标轴彼此平
行， t=0 时坐标原点重合，速度 v 沿 x 轴正方向。
若在 S 系测得一个质点以速度 u 沿 x 轴运动，那么在 S 系测得该质点的速度应为
LA LA ，
求得
L A 1.05L 0 , L B 1.55L 0 。
6．某水银气压计的玻璃管顶端高出水银槽液面
1m。如图 24-33 所示，因上部混入少量空
气，使其读数不准。 当气温为 27oC，标准气压计读数仍为 76cmHg时，该气压计读数为 70cmHg。
（1）在相同气温下，若用该气压计测量气压，测得读数为
设倒转过程均在大气环境下进行，温度不变。
解：（ 1）倒转前后，对于 A、B 气体有 pAL A p0 gL L0 , pB L B p0L0 pA
gL LB
而
L A L B 2L0 , p0 2 gL, L 4L0 ，
所以求得
L A 1.37L0 , LB 0.63L0 .
（2）设倒转后水银不外泄，对于 A 端空气柱有
2
a1 a 2t
2
2
2
2 2(a1 a2 )
解法二： 作出质点运动过程中的速度 - 时间图像如图 12-32 所示，由图像的物理意义可知，
tg
a1
vm t1
tg
a2
vm t2
t1 t 2 vm vm t
vm
a1 a2
图像所围的面积就是质点的位移
s vm t 2
a1 a2 t 2 2( a1 a2 )
QCD
（3） BC边和 DA边
L uv a c2 q
（19）
S 系中观察者测得这两条边的边长均为 L，相邻两球的间距也均为 a，因此
Q BC .b QDA .b
L q
a，
（20）
将（ 14）和（ 20）式相加，可得
FCD
L sin
图 52-3
QBC 0 ，
（ 21.1 ）
QDA 0 。
3、作用在 AB边上的电场力为
ar
，
将（ 1），（ 2）式代入到（ 3）式，可得：
（ 3）
a AB
（2） CD边 对 S 系中的观察者而言，
v2 1 c2 a
uv 1 c2 。
CD边上小球的速度为
（ 4）
再据洛仑兹收缩有
vu
uCD
uv
1 c2 ，
（ 5）
a CD
1
uC2D c2
ar
，
将（ 1），（ 5）式代入到（ 6）式，便得
（ 6）
复赛模拟试题二
1. 设法使边长为 L 的正方形环在任何情况下均以匀速度 v 沿着它的 AB 边方向运动，在其运动
的空间区域内有一匀强电场，场强 E 垂直于环的运动速度。运动期间，环始终在同一平面上，
电场 E 相对于环平面的倾角为 θ 。设环上串有大量小球，这些小球象珠子串在项链上那样被
串在环上。小球的大小可忽略，各球都带有电量
p0 gL L0 p0 gL L A ，
求得
L A 3L0 ，
说明水银外泄一部分。设倒转后，剩下水银柱长度为
L ， A 端长度为 LA，则有
p0 gL L0 p0 gL LA ,
L A L 2L0 L 6L0 ，
解得
LA
回转过程中，有
2.61L0 , L
3.39L0 。
p0 gL L0 p0 gL L A p0 gL L A , LB
68cmHg，则实际气压应为多少
厘米汞柱？
（2）若在气温为 -3 oC 时，用该气压计测得气压读数仍为 70cmHg，则实际气压应为多少
厘米汞柱？
解：（1）以混入气压计内气体为研究对象，因温度不变，有
p0V0 P1V1， p0 76 70 6(cmHg )
V0 (100 70)S 30S ， V1 (100 68)S 32 S
解法一：质点作匀加速直线运动的末速度为
vm ，由题意可知
vm a1t1 a2t 2 t1 : t2 a2 : a1
（ 1）
t1 t2 t
由（ 1）、（ 2）两式解得
（ 2）
t
a2t
a1 a2
vm a1t1 a1a2t a1 a2
质点的总位移为
s (0 vm ) t1 ( vm 0)t 2 vm (t 1 t 2 ) vmt
（ 15）式右边第一项中
Q AB .b
L uv
1 a
c2 q
将（ 14）式和（ 16）式相加，便得 AB边上总电荷量
（ 16）
（2） CD边 用相同的方法可得
L uv
Q AB
a
c2
q
。
（ 17）
E C
F AB B
QCD.b
v2 1 c2 L q
aCD
L uv
1 a
c2 q
（18）
将（ 14）和（ 18）式相加，可得
7．如图 24-61 所示，有一个直立的气缸，气缸底到气缸口的距离为
L0cm，用一厚
z1 )2 ]1/ 2 ，
（ 11）
a DA a 。