概率论与数理统计课件 第4章习题课
概率论与数理统计第四版 (4)
(四) 不相关与相互独立的关系:
a. 若X, Y相互独立, 则X, Y不相关; b. 上面的逆命题一般不真;
反例, 二维r.v.( X , Y )的密度函数是
f
(
x,
y)
1
,
x2 y2 1,
0, 其它,
其Cov(
X
,Y
)
0,
但f ( x, y)
f
X
(
x)
fY
(
y).
c. 当(X, Y)服从二维正态分布时, 逆命题亦成立
(4.1)
又若( X ,Y )为离散型r.v.
其分布律为P X xi ,Y yj pij , i, j 1, 2,3,
则有E(Z ) E g( X ,Y ) g( xi , yj ) pij , (4.2) j1 i1
(假设上述积分、级数分别绝对收敛)
例4. 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
则其密度函数为
f
(
x)
e1
x
,
x 0,
0 , x 0.
E(X)
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2
30 正态分布: 设X~N(, 2 ) E(X) ，D(X) 2
§3. 协方差和相关系数
(一) 定义:
二维r.v.( X , Y ) ,若E{[X E( X )][Y E(Y )]}存在,
四. n维正态随机变量:
1. 定义 : 设有n维r.v.( X1, X 2 , , X n ), 记
x1
1
11 12
X
x2
,
2
,
C
21
22
1n
2n
概率与统计第4章 ——概率论课件PPT
且 pk g( xk ) 绝对收敛，则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时，不必求出随 机变量Y的分布律，可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y)，应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律，但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易，而且对某些问题来说， 只需要知道它的某些特征就够了，不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有： 数学期望，方差，协方差，相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai
k
分， i 1,2,k ， ni N ， 求平均成绩。
i 1
解： 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩，则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，
若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2
概率论与数理统计》课后习题答案第四章
习题4.11．设10个零件中有3个不合格． 现任取一个使用，若取到不合格品，则丢弃重新抽取一个，试求取到合格品之前取出的不合格品数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为0123~77711030120120X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为7771()012310301201204531208E X =⨯+⨯+⨯+⨯==2．.某人有n 把外形相似的钥匙，其中只有1把能打开房门，但他不知道是哪一把，只好逐把试开．求此人直至将门打开所需的试开次数X 的数学期望．解 可得X 的概率分布为12~111n X nn n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是X 的数学期望为111()121(1)122E X n n n nn n n n =⨯+⨯++⨯++==3．设5次重复独立试验中每次试验的成功率为0.9，若记失败次数为X ，求X 的数学期望。
解 由题意~(5,0.1)X B ，则X 的数学期望为 ()50.10.E X =⨯= 4．设某地每年因交通事故死亡的人数服从泊松分布．据统计，在一年中因交通事故死亡一人的概率是死亡两人的概率的21，求该地每年因交通事故死亡的平均人数。
解 设该地每年因交通事故死亡的人数为X ，由题意X 服从泊松分布() (0)P λλ>.因1{1}{2}2P X P X === 即121 41!22!ee λλλλλ--=⇒= 于是X 的数学期望为()4E X λ== 所以地每年因交通事故死亡的平均人数为4人。
5．设随机变量X 在区间(1,7)上服从均匀分布，求2{()}P X E X <. 解 因X 在区间(1,7)上服从均匀分布，故X 的数学期望为17()42E X +== 于是22{()}{4}1 {22}6P X E X P X P X <=<=<-<<=6．设连续型随机变量X 的概率密度为01() (,0)0 b ax x p x a b ⎧<<=>⎨⎩其它又知()0.75E X =,求,a b 的值解 由密度函数的性质可得()1p x dx +∞-∞=⎰即1111b aax dx b =⇒=+⎰又由()0.75E X =，可得1()0.75b xp x dx x ax dx +∞-∞=⋅=⎰⎰即0.752ab =+ 求解110.752ab a b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩可得 3,2a b ==.7．设随机变量X 的概率密度为0<1()2 120 x x p x x x <⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其它求数学期望()E X解1201331221()() (2) ()133E X xp x dxx xdx x x dx x x x +∞-∞==⋅+⋅-=+-=⎰⎰⎰8.设随机变量X 的概率分布为X -2 -1 0 1 P 0.2 0.3 0.1 0.4 求 (1)(21)E X -；（2）2()E X .解 (1) (21)2()1E X E X -=- 其中()20.210.3010.40.3E X =-⨯-⨯++⨯=-则(21)2()12(0.3)1 1.6E X E X -=-=⨯--=-(2）22222()0.2(2)0.3(1)0.100.41 1.5E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯=9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作。
概率论与数理统计(完整版)(课堂PPT)
3
随机试验:
(1) 可在相同的条件下重复试验; (2) 每次试验的结果不止一个,且能事先明确所有可能的结 果; (3) 一次试验前不能确定会出现哪个结果.
4
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即 10 对于每一 B有 个 , 1 事 P(件 |B A)0.
20 P (|SA) 1.
30 设B1,B2,两两互不,则 相容
P ( Bi |A)P(Bi |A.)
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
P(A 1)P(A 2)P(A n).(有限)可
性3质 . 若 AB,则有 P(BA)P(B)P(A);
概率论与数理统计(浙大版)第四章课件PPT课件
10
10
10
x
14166.7(元）
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数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE(X )
3.设X ,Y是两个随机变量，则有E(X Y) E(X ) E(Y)
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE(X ) bE(Y) c 4.设X ,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) E(X )E(Y)
其余同理可得，于是Y的分布率为：
期望利润Y 是多少 2？ 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E(Y ) 5.21（ 6 万元）
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例5：设 X (),求E(X )。
解：X的分布律为：P(X k) ke k 0,1,
k! X的数学期望为：
E( X ) k ke
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§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的
成绩
如下：
甲 8 9 10
次数 10 80 10
乙 8 9 10
次数 20 65 15
解：计算评甲的定平他均成们绩的：成
绩
好
810
坏。
980 100
1010
8
10 100
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩：
也称为均值(加权均值)。
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定义：设离散型随机变量X的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 xk pk绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第四章习题参考答案
第四章 大数定律与中心极限定理习题4.11． 如果X X Pn →，且Y X Pn →．试证：P {X = Y } = 1．证：因 | X − Y | = | −(X n − X ) + (X n − Y )| ≤ | X n − X | + | X n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥−≤2||2||}|{|0εεεY X P X X P Y X P n n ，又因X X Pn →，且Y X Pn →，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY X P n n ，则P {| X − Y | ≥ ε} = 0，取k 1=ε，有01||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−k Y X P ，即11||=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−k Y X P ， 故11||lim1||}{1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<−==+∞→+∞=k Y X P k Y X P Y X P k k I ． 2． 如果X X Pn →，Y Y Pn →．试证：（1）Y X Y X Pn n +→+； （2）XY Y X Pn n →．证：（1）因 | (X n + Y n ) − (X + Y ) | = | (X n − X ) + (Y n − Y )| ≤ | X n − X | + | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎫⎩⎨⎧≥−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤≥+−+≤2||2||}|)()({|0εεεY Y P X X P Y X Y X P n n n n ，又因X X P n →，Y Y P n →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εX X P n n ，02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→εY Y P n n ，故0}|)()({|lim =≥+−++∞→εY X Y X P n n n ，即Y X Y X Pn n +→+；（2）因 | X n Y n − XY | = | (X n − X )Y n + X (Y n − Y ) | ≤ | X n − X | ⋅ | Y n | + | X | ⋅ | Y n − Y |，对任意的ε > 0，有⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤2||||2||||}|{|0εεεY Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n ，对任意的h > 0，存在M 1 > 0，使得4}|{|1h M X P <≥，存在M 2 > 0，使得8}|{|2hM Y P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，8}1|{|h Y Y P n <≥−， 因| Y n | = | (Y n − Y ) + Y | ≤ | Y n − Y | + | Y |，有4}|{|}1|{|}1|{|22h M Y Y Y P M Y P n n <≥+≥−≤+≥， 存在N 2 > 0，当n > N 2时，4)1(2||2h M X X P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−ε，当n > max{N 1, N 2}时，有244}1|{|)1(2||2||||22h h h M Y P M X X P Y X X P n n n n =+<+≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，存在N 3 > 0，当n > N 3时，42||1hM Y Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−ε，有244}|{|2||2||||11h h h M X P M Y Y P X Y Y P n n =+<≥+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−εε，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2, N 3} 时，有h h h Y Y X P Y X X P XY Y X P n n n n n =+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−⋅+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⋅−≤≥−≤222||||2||||}|{|0εεε，故0}|{|lim =≥−+∞→εXY Y X P n n n ，即XY Y X Pn n →．3． 如果X X Pn →，g (x )是直线上的连续函数，试证：)()(X g X g Pn →． 证：对任意的h > 0，存在M > 0，使得4}|{|h M X P <≥， 存在N 1 > 0，当n > N 1时，4}1|{|h X X P n <≥−， 因| X n | = | (X n − X ) + X | ≤ | X n − X | + | X |，则244}|{|}1|{|}1|{|h h h M X P X X P M X P n n =+<≥+≥−≤+≥， 因g (x ) 是直线上的连续函数，有g (x ) 在闭区间 [− (M + 1), M + 1] 上连续，必一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当 | x − y | < δ 时，有 | g (x ) − g ( y ) | < ε ，存在N 2 > 0，当n > N 2时，4}|{|hX X P n <≥−δ，则对任意的h > 0，当n > max{N 1, N 2} 时，有{}}|{|}1|{|}|{|}|)()({|0M X M X X X P X g X g P n n n ≥+≥≥−≤≥−≤U U δεh hh h M X P M X P X X P n n =++<≥++≥+≥−≤424}|{|}1|{|}|{|δ， 故0}|)()({|lim =≥−+∞→εX g X g P n n ，即)()(X g X g Pn →．4． 如果a X P n →，则对任意常数c ，有ca cX Pn →． 证：当c = 0时，有c X n = 0，ca = 0，显然ca cX Pn →；当c ≠ 0时，对任意的ε > 0，有0||||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥−+∞→c a X P n n ε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εca cX P n n ，即ca cX Pn →．5． 试证：X X P n →的充要条件为：n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ．证：以连续随机变量为例进行证明，设X n − X 的密度函数为p ( y )，必要性：设X X Pn →，对任意的ε > 0，都有0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，对012>+εε，存在N > 0，当n > N 时，εεε+<≥−1}|{|2X X P n ， 则∫∫∫≥<∞+∞−+++=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−εε||||)(||1||)(||1||)(||1||||1||y y n n dy y p y y dy y p y y dy y p y y XX X X E εεεεεεεεεεεεε=+++<≥−+<−+=++≤∫∫≥<11}|{|}|{|1)()(12||||X X P X X P dy y p dy y p n n y y ，故n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ； 充分性：设n → +∞ 时，有0||1||→⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−XX X X E n n ， 因∫∫∫≥≥≥++≤++==≥−εεεεεεεεεε||||||)(||1||1)(11)(}|{|y y y n dy y p y y dy y p dy y p X X P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+=++≤∫∞+∞−||1||1)(||1||1X X X X E dy y p y y n n εεεε， 故0}|{|lim =≥−+∞→εX X P n n ，即X X Pn →．6． 设D (x )为退化分布：⎩⎨⎧≥<=.0,1;0,0)(x x x D试问下列分布函数列的极限函数是否仍是分布函数？（其中n = 1, 2, …．）（1）{D (x + n )}； （2）{D (x + 1/n )}； （3）{D (x − 1/n )}．解：（1）对任意实数x ，当n > −x 时，有x + n > 0，D (x + n ) = 1，即1)(lim =++∞→n x D n ，则 {D (x + n )} 的极限函数是常量函数f (x ) = 1，有f (−∞) = 1 ≠ 0，故 {D (x + n )} 的极限函数不是分布函数； （2）若x ≥ 0，有01>+n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，若x < 0，当x n 1−>时，有01<+n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→n x D n ，则⎩⎨⎧≥<=⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 这是在0点处单点分布的分布函数，满足分布函数的基本性质，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n x D 1的极限函数是分布函数；（3）若x ≤ 0，有01<−n x ，01=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即01lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，若x > 0，当x n 1>时，有01>−n x ，11=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D ，即11lim =⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→n x D n ，则⎩⎨⎧>≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+∞→.0,1;0,01lim x x n x D n 在x = 0处不是右连续，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎠⎞⎜⎝⎛−n x D 1的极限函数不是分布函数．7． 设分布函数列 {F n (x )} 弱收敛于连续的分布函数F (x )，试证：{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，对任意的ε > 0，取正整数ε2>k ，则存在分点x 1 < x 2 < … < x k −1，使得1,,2,1,)(−==k i kix F i L ，并取x 0 = −∞，x k = +∞， 可得k k i k x F x F i i ,1,,2,1,21)()(1−=<=−−L ε， 因 {F n (x )} 弱收敛于F (x )，且F (x ) 连续，有 {F n (x )} 在每一点处都收敛于F (x )，则存在N > 0，当n > N 时，1,,2,1,2|)()(|−=<−k i x F x F i i n L ε，且显然有20|)()(|00ε<=−x F x F n ，20|)()(|ε<=−k k n x F x F ，对任意实数x ，必存在j ，1 ≤ j ≤ k ，有x j −1 ≤ x < x j ，因2)()()()(2)(11εε+<≤≤<−−−j j n n j n j x F x F x F x F x F ，则εεεε−=−−>−−>−−222)()()()(1x F x F x F x F j n ，且εεεε=+<+−<−222)()()()(x F x F x F x F j n ，即对任意的ε > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < ε ， 故 {F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )．8． 如果X X Ln →，且数列a n → a ，b n → b ．试证：b aX b X a Ln n n +→+． 证：设y 0是F aX + b ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F b aX b aX ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F aX + b ( y ) 的任一连续点，因⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=≤+=+a b y F a b y X P y b aX P y F X b aX }{)(，有a b y x −=是F X (x )的连续点，且X X L n→， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F b aX b aX n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F b aX b aX b aX b aX b aX b aX n n ， 因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续， 存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(ε−>M F X ，4)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有41)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，4)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，41)(ε−>M F n X ，4)(ε<−M F n X ，可得2)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因数列a n → a ，b n → b ，存在N 3，当n > N 3时，M h a a n 4||<−，4||h b b n <−， 可得当n > max{N 2, N 3}时，⎭⎫⎩⎨⎧>−+−=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+2|)()(|2|)()(|h b b X a a P h b aX b X a P n n n n n n n2}|{|24||42||||||ε<>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+⋅≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⋅−≤M X P h h X M hP h b b X a a P nn n n n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2|)()(|2}{)(000h b aX b X a h y b aX P y b X a P y F n n n n n n n n b X a n n n U222|)()(|200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h b aX b X a P h y b aX P b aX n n n n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−+≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2|)()(|}{22000h b aX b X a y b X a P h y b aX P h y F n n n n n n n n b aX n U2)(2|)()(|}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+−++≤+≤+y F h b aX b X a P y b X a P n n n b X a n n n n n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F b aX b X a b aX n n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F b aX b aX b aX n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F aX + b ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F b aX b aX b aX b X a n n n n n ，即对于F aX + b ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−++|)()(|00y F y F b aX b X a n n n ， 故)()(y F y F b aX Wb X a n n n ++→，b aX b X a Ln n n +→+． 9． 如果X X Ln →，a Y Pn →，试证：a X Y X Ln n +→+． 证：设y 0是F X + a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0ε<−++y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X + a ( y )的任一连续点，因F X + a ( y ) = P {X + a ≤ y } = P {X ≤ y − a } = F X ( y − a )，有x = y − a 是F X (x )的连续点，且X X Ln →， 有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|ε<−++y F y F a X a X n ， 则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|00ε<−+−≤−++++++y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因a Y Pn →，有02||lim =⎭⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 2，当n > N 2时，22||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−h a Y P n ， 则⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤≤+=+2||2}{)(000h a Y h y a X P y Y X P y F n n n n Y X n n U222||200ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+≤+h y F h a Y P h y a X P a X n n n ， 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎫⎩⎨⎧>−≤+≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+2||}{22000h a Y y Y X P h y a X P h y F n n n n a X n U2)(2||}{00ε+<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+≤+≤+y F h a Y P y Y X P n n Y X n n n ， 即22)(22000εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+++h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(00εε+<<−+++y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X + a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<++++)(2)(22)(0100y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X + a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>++++)(2)(22)(0200y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X + a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2}时，ε<−++|)()(|00y F y F a X Y X n n ， 故)()(y F y F a X WY X n n ++→，a X Y X Ln n +→+． 10．如果X X Ln →，0Pn Y →，试证：0Pn n Y X →．证：因X 的分布函数F X (x ) 满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x ) 单调不减且几乎处处连续，则对任意的h > 0，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且41)(h M F X −>，4)(hM F X <−， 因X X L n →，有41)()(lim h M F M F X X n n −>=+∞→，4)()(lim h M F M F X X n n <−=−+∞→，则存在N 1，当n > N 1时，41)(h M F n X −>，4)(hM F n X <−，可得2)(1)(}|{|hM F M F M X P n n X X n <−+−=>，因0Pn Y →，对任意的ε > 0，有0||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+∞→M Y P n n ε，存在N 2，当n > N 2时，2||h M Y P n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>ε， 则当n > max{N 1, N 2}时，有h M Y P M X P M Y M X P Y X P n n n n n n <⎭⎬⎫⎩⎨⎧>+>≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>≤>εεε||}|{|||}|{|}|{|U ，故0}|{|lim =>+∞→εn n n Y X P ，即0Pn n Y X →．11．如果X X Ln →，a Y Pn →，且Y n ≠ 0，常数a ≠ 0，试证：aXY X L n n →． 证：设y 0是F X / a ( y ) 的任一连续点，则对任意的ε > 0，存在h > 0，当 | y − y 0 | < h 时，4|)()(|0//ε<−y F y F a X a X ，又设y 是满足 | y − y 0 | < h 的F X / a ( y ) 的任一连续点，因)(}{)(/ay F ay X P y a X P y F X a X =≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=，有x = ay 是F X (x )的连续点，且X X Ln →，有)()(lim x F x F X X n n =+∞→，存在N 1，当n > N 1时，4|)()(|ε<−x F x F X X n ，即4|)()(|//ε<−y F y F a X a X n ，则当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2|)()(||)()(||)()(|0////0//ε<−+−≤−y F y F y F y F y F y F a X a X a X a X a X a X n n ，因X 的分布函数F X (x )满足F X (−∞) = 0，F X (+∞) = 1，F X (x )单调不减且几乎处处连续，存在M ，使得F X (x ) 在x = ± M 处连续，且121)(ε−>M F X ，12)(ε<−M F X ，因X X Ln →，有121)()(lim ε−>=+∞→M F M F X X n n ，12)()(lim ε<−=−+∞→M F M F X X n n ，则存在N 2，当n > N 2时，121)(ε−>M F n X ，12)(ε<−M F n X ，可得6)(1)(}|{|ε<−+−=>M F M F M X P n n X X n ，因0≠→a Y Pn ，有02||lim =⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+∞→h a Y P n n ，存在N 3 > 0，当n > N 3时，62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−a a Y P n ，有62||||ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<a Y P n ，且64||2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−M h a a Y P n ， 可得当n > max{N 1, N 2, N 3}时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>⋅−⋅=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−2||||||||2)(2h Y a a Y X P h aY Y a X P h a X Y X P n n n n n n n n n ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧<⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−>≤2||||4||}|{|2a Y M h a a Y M X P n n n U U22||||4||}|{|2ε<⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+⎭⎬⎫⎩⎨⎧>−+>≤a Y P M h a a Y P M X P n n n ，则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=22)(000/h a X Y X h y a XP y Y X P y F n n n n n n Y X n n U22220/0ε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤h y F h a X Y X P h y a X P a X n n n n n ，且⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧−≤=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−222000/h a X Y X y Y X P h y a X P h y F n n n nn n a X n U2)(20/0ε+<⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>−+⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤y F h a X Y X P y Y X P n n Y X n n n n n ，即22)(220/0/0/εε+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<<−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−h y F y F h y F a X Y X a X n n n n ，因当n > N 1且 | y − y 0 | < h 时，2)()(2)(0//0/εε+<<−y F y F y F a X a X a X n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛++h y h y 00,2取F X / a ( y ) 的任一连续点y 1，满足 | y 1 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε+<+≤+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+<)(2)(22)(0/1/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，在区间⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−2,00h y h y 取F X / a ( y ) 的任一连续点y 2，满足 | y 2 − y 0 | < h ，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，εεε−>−≥−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−>)(2)(22)(0/2/0/0/y F y F h y F y F a X a X a X Y X n n n n ，即对于F X / a ( y ) 的任一连续点y 0，当n > max{N 1, N 2, N 3}时，ε<−|)()(|0/0/y F y F a X Y X n n ，故)()(//y F y F a X WY X n n →，aX Y X L n n →． 12．设随机变量X n 服从柯西分布，其密度函数为+∞<<∞−+=x x n nx p n ,)1π()(22．试证：0Pn X →．证：对任意的ε > 0，)arctan(π2)arctan(π1)1π(}|{|22εεεεεεn nx dx x n n X P n ==+=<−−∫， 则12ππ2)arctan(lim π2}|0{|lim =⋅==<−+∞→+∞→εεn X P n n n ， 故0Pn X →．13．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;0,1)(其他ββx x p其中常数β > 0，令Y n = max{X 1, X 2, …, X n }，试证：βPn Y →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − β | < ε} = P {β − ε < Y n < β + ε} = P {max{X 1, X 2, …, X n } > β − ε}= 1 − P {max{X 1, X 2, …, X n } ≤ β − ε} = 1 − P {X 1 ≤ β − ε} P {X 2 ≤ β − ε} … P {X n ≤ β − ε}n⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=βεβ1， 则11lim }|{|lim =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=<−+∞→+∞→nn n n Y P βεβεβ， 故βPn Y →．14．设随机变量序列{X n }独立同分布，其密度函数为⎩⎨⎧<≥=−−.,0;,e )()(a x a x x p a x 其中Y n = min{X 1, X 2, …, X n }，试证：a Y Pn →．证：对任意的ε > 0，P {| Y n − a | < ε} = P {a − ε < Y n < a + ε} = P {min{X 1, X 2, …, X n } < a + ε}= 1 − P {min{X 1, X 2, …, X n } ≥ a + ε} = 1 − P {X 1 ≥ a + ε} P {X 2 ≥ a + ε} … P {X n ≥ a + ε}εεεn na a x n a a x dx −∞++−−∞++−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫e 1e 1e 1)()(， 则1)e 1(lim }|{|lim =−=<−−+∞→+∞→εεn n n n a Y P ，故a Y Pn →．15．设随机变量序列{X n }独立同分布，且X i ~ U(0, 1)．令nni i n X Y 11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏=，试证明：c Y P n →，其中c 为常数，并求出c ．证：设∑∏===⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==n i i n i i n n X n X n Y Z 11ln 1ln 1ln ，因X i ~ U (0, 1)， 则1)ln (ln )(ln 101−=−==∫x x x xdx X E i ，2)2ln 2ln (ln )(ln 12122=+−==∫x x x x x xdx X E i ，1)](ln [)(ln )Var(ln 22=−=i i i X E X E X ， 可得1)(ln 1)(1−==∑=n i i n X E n Z E ，n X nZ ni in 1)Var(ln 1)Var(12==∑=，由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，221)Var(}|)({|εεεn Z Z E Z P n n n =≤≥−，则01lim }|)({|lim 02=≤≥−≤+∞→+∞→εεn Z E Z P n n n n ，即0}|)({|lim =≥−+∞→εn n n Z E Z P ，1)(−=→n P n Z E Z ，因n Z n Y e =，且函数e x 是直线上的连续函数，根据本节第3题的结论，可得1e e −→=PZ n n Y ， 故c Y Pn →，其中1e −=c 为常数．16．设分布函数列{F n (x )}弱收敛于分布函数F (x )，且F n (x ) 和F (x ) 都是连续、严格单调函数，又设 ξ 服从(0, 1)上的均匀分布，试证：)()(11ξξ−−→F F Pn． 证：因F (x ) 为连续的分布函数，有F (−∞) = 0，F (+∞) = 1，则对任意的h > 0，存在M > 0，使得21)(h M F −>，2)(h M F <−， 因F (x ) 是连续、严格单调函数，有F −1( y ) 也是连续、严格单调函数， 可得F −1( y ) 在区间 [F (− M − 1), F (M + 1)] 上一致连续， 对任意的ε > 0，存在δ > 0，当y , y * ∈ [F (− M − 1), F (M + 1)] 且 | y − y * | < δ 时，| F −1( y ) − F −1( y *) | < ε， 设y * 是 [F (−M ), F (M )] 中任一点，记x * = F −1( y *)，有x * ∈ [−M , M ]，不妨设0 < ε < 1， 则对任意的x 若满足 ε≥−|*|x x ，就有 δ≥−|*)(|y x F ，根据本节第7题的结论知，{F n (x )} 在 (−∞, +∞) 上一致收敛于分布函数F (x )， 则对δ > 0和任意实数x ，总存在N > 0，当n > N 时，都有 | F n (x ) − F (x ) | < δ， 因当n > N 时，δ<−|)()(|x F x F n 且δ≥−|*(|y x F ，有*)(y x F n ≠，即*)(1y F x n −≠， 则对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，*)(1y F n −满足ε<−=−−−−|*)(*)(||**)(|111y F y F x y F n n ， 可得对任意的0 < ε < 1，当n > N 时，h M F M F P F F P n −>−∈≥<−−−1)]}(),([{}|)()({|11ξεξξ由h 的任意性可知1}|)()({|lim 11=<−−−+∞→εξξF F P n n ，故)()(11ξξ−−→F F Pn．17．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = µ，试证：µP n k k X k n n →⋅+∑=1)1(2．证：令∑=⋅+=nk k n X k n n Y 1)1(2，并设Var (X n ) = σ 2， 因µµµ=+⋅+=+=∑=)1(21)1(2)1(2)(1n n n n k n n Y E nk n ， 且222212222)1(324)12)(1(61)1(4)1(4)Var(σσσ++=++⋅+=+=∑=n n n n n n n n k n n Y nk n ， 则由切比雪夫不等式可得，对任意的ε > 0，222)1(3241)Var(1}|{|1σεεεµ++−=−≥<−≥n n n Y Y P n n ， 因1)1(3241lim 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++−+∞→σεn n n n ，由夹逼准则可得1}|{|lim =<−+∞→εµn n Y P ， 故µP n k kn X k n n Y →⋅+=∑=1)1(2． 18．设随机变量序列{X n }独立同分布，数学期望、方差均存在，且E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：E (X n ) = 0，Var (X n ) = σ 2．试证：2121σP n k k X n →∑=． 注：此题与第19题应放在习题4.3中，需用到4.3节介绍的辛钦大数定律．证：因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且222)]([)Var()(σ=+=n n n X E X X E 存在，故}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即2121σP n k k X n →∑=．19．设随机变量序列{X n }独立同分布，且Var (X n ) = σ 2存在，令∑==n i i X n X 11，∑=−=n i i n X X n S 122)(1．试证：22σPnS →．证：2122112122122121)2(1)(1X X n X n X X X n X X X X n X X n S n i i ni i n i i n i i i n i i n−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=+−=−=∑∑∑∑∑=====，设E(X n ) = µ，{X n }满足辛钦大数定律条件，{X n }服从大数定律，即µP nk k X n X →=∑=11，则根据本节第2题第（2）小问的结论知，22µPX →，因随机变量序列}{2n X 独立同分布，且2222)]([)Var()(µσ+=+=n n n X E X X E 存在，则}{2nX 满足辛钦大数定律条件，}{2nX 服从大数定律，即22121µσ+→∑=P n k k X n ，故根据本节第2题第（1）小问的结论知，22222122)(1σµµσ=−+→−=∑=P n i i nX X n S ．20．将n 个编号为1至n 的球放入n 个编号为1至n 的盒子中，每个盒子只能放一个球，记⎩⎨⎧=.,0;,1反之的盒子的球放入编号为编号为i i X i 且∑==ni i n X S 1，试证明：0)(Pn n n S E S →−． 证：因n X P i 1}1{==，nX P i 11}0{−==，且i ≠ j 时，)1(1}1{−==n n X X P j i ，)1(11}0{−−==n n X X P j i ， 则n X E i 1)(=，⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=n n X i 111)Var(， 且i ≠ j 时，)1(1)(−=n n X X E j i ，)1(11)1(1)()()(),Cov(22−=−−=−=n n n n n X E X E X X E X X j i j i j i ， 有1)()(1==∑=ni i n X E S E ，1)1(1)1(11),Cov(2)Var()Var(211=−⋅−+−=+=∑∑≤<≤=n n n n n X X X S nj i j i ni i n ， 可得0)]()([1)(=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−n n n n S E S E n n S E S E ，221)Var(1)(Var n S n n S E S n n n ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡−， 由切比雪夫不等式，可得对任意的ε > 0，2221)(Var 1)()(εεεn n S E S n S E S E n S E S P n n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡−≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−， 则01lim )()(lim 022=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−≤+∞→+∞→εεn n S E S E n S E S P n n n n n n ， 故0)(Pn n nS E S →−．习题4.21． 设离散随机变量X 的分布列如下，试求X 的特征函数．1.02.03.04.03210PX解：特征函数ϕ (t ) = e it ⋅ 0 × 0.4 + e it ⋅ 1 × 0.3 + e it ⋅ 2 × 0.2 + e it ⋅ 3 × 0.1 = 0.4 + 0.3 e it + 0.2 e 2it + 0.1 e 3it ．2． 设离散随机变量X 服从几何分布P {X = k } = (1 − p ) k − 1 p ， k = 1, 2, … ．试求X 的特征函数．并以此求E (X ) 和Var (X )． 解：特征函数ititk k ititk k itk p p p p p p t e)1(1e )]1([ee)1(e )(1111−−=−=−⋅=∑∑+∞=−+∞=−ϕ； 因22]e )1(1[e ]e )1(1[]e )1([e ]e )1(1[e )(it it it it it it it p ip p i p p p i p t −−=−−⋅−−⋅−−−⋅⋅=′ϕ，有)()0(2X iE pip ip ===′ϕ，故pX E 1)(=； 因332]e )1(1[]e )1(1[e ]e )1([]e )1(1[e 2]e )1(1[e )(it it it itit itit itp p p i p p ip p i ip t −−−+−=⋅−−⋅−−−−−⋅⋅=′′−−ϕ， 有)(2)2()0(2223X E i pp p p p =−−=−−=′′ϕ，可得222)(p p X E −=， 故222112)Var(p pp p p X −=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=． 3． 设离散随机变量X 服从巴斯卡分布rk r p p r k k X P −−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==)1(11}{，k = r , r + 1, …试求X 的特征函数．解：特征函数∑∑+∞=−−+∞=−−+−−−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⋅=r k r k it r k itr r r k r k r itkp r k k r p p p r k t )(e)1)(1()1()!1(e )1(11e )(L ϕ ∑∑+∞=−=−−−+∞=−=−−=+−−−=r k p x r k r r it rk p x r k r it ititdx x d r p x r k k r p e )1(111e )1()()!1()e ()1()1()!1()e (L itit it p x r r it p x r r r it p x k k r r r it x r r p x dx d r p x dx d r p e )1(e )1(11e )1(1111)1()!1()!1()e (11)!1()e ()!1()e (−=−=−−−=+∞=−−−−−⋅−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−=∑rit itr it r it p p p p ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=e )1(1e ]e )1(1[)e (． 4． 求下列分布函数的特征函数，并由特征函数求其数学期望和方差．（1）)0(,e 2)(||1>=∫∞−−a dt a x F x t a ； （2）)0(,1π)(222>+=∫∞−a dt at a x F x ． 解：（1）因密度函数||11e 2)()(x a ax F x p −=′=，故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⋅=+∞−∞−+∞+−∞−+∞+∞−−∫∫∫0)(0)(0)(0)(||1e e 2e e 2ee 2)(ait a it a dx dx a dx a t x a it x a it x a it x a it x a itx ϕ 222112at a a it a it a +=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+=； 因222222221)(22)()(a t ta t a t a t +−=⋅+−=′ϕ，有)(0)0(1X iE ==′ϕ， 故E (X ) = 0；因32242242222222221)(26)(2)(22)(2)(a t a t a a t t a t t a a t a t +−=+⋅+⋅−+⋅−=′′ϕ， 有)(22)0(222641X E i a a a =−=−=′′ϕ，可得222)(a X E =， 故222202)Var(aa X =−=；（2）因密度函数22221π)()(ax a x F x p +⋅=′=， 则∫+∞∞−+⋅=dx a x a t itx 2221e π)(ϕ， 由第（1）小题的结论知∫∞+∞−=+=dx x p a t a t itx )(e )(12221ϕ，根据逆转公式，可得∫∫∞+∞−−∞+∞−−−+⋅===dt at a dt t a x p itx itx x a 2221||1e π21)(e π21e 2)(ϕ， 可得||||222e πe 2π21e y a y a itya a a dt a t −−−+∞∞−=⋅=+⋅∫， 故||||222e e ππ1e π)(t a t a itx a a dx ax a t −−+∞∞−=⋅=+⋅=∫ϕ； 因⎩⎨⎧>−<=′−,0,e ,0,e )(2t a t a t atat ϕ 有a a −=+′≠=−′)00()00(22ϕϕ，即)0(2ϕ′不存在， 故E (X ) 不存在，Var (X ) 也不存在．5． 设X ~ N (µ, σ 2)，试用特征函数的方法求X 的3阶及4阶中心矩． 解：因X ~ N (µ, σ 2)，有X 的特征函数是222e)(t t i t σµϕ−=，则)(e)(2222t i t t t i σµϕσµ−⋅=′−，)(e)(e )(222222222σσµϕσµσµ−⋅+−⋅=′′−−t t i t t i t i t ，因)()(3e)(e)(2223222222σσµσµϕσµσµ−⋅−⋅+−⋅=′′′−−t i t i t t t i t t i ，有ϕ″′(0) = e 0 ⋅ (i µ )3 + e 0 ⋅ 3i µ ⋅ (−σ 2) = − i µ 3 − 3i µσ 2 = i 3E (X 3) = − i E (X 3)， 故E (X 3) = µ 3 + 3µσ 2； 又因2222222422)4()(3e)()(6e)(e)(222222σσσµσµϕσµσµσµ−⋅+−⋅−⋅+−⋅=−−−t t i t t i t t i t i t i t ，有ϕ (4)(0) = e 0 ⋅ (i µ )4 + e 0 ⋅ 6(i µ)2 ⋅ (−σ 2) + e 0 ⋅ 3σ 4 = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4 = i 4E (X 4) = E (X 4)， 故E (X 4) = µ 4 + 6µ 2σ 2 + 3σ 4．6． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ b (n + m , p )．证：因X ~ b (n , p )，Y ~ b (m , p )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为ϕ X (t ) = ( p e it + 1 − p ) n ，ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) m ， 则X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t ) = ( p e it + 1 − p ) n + m ，这是二项分布b (n + m , p )的特征函数， 故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ b (n + m , p )．7． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ P (λ1 + λ2)．证：因X ~ P (λ1)，Y ~ P (λ2)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为)1(e1e )(−=itt X λϕ，)1(e2e )(−=itt Y λϕ，则X + Y 的特征函数为)1)(e(21e )()()(−++==itt t t Y X Y X λλϕϕϕ，这是泊松分布P (λ1 + λ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ P (λ1 + λ2)．8． 试用特征函数的方法证明伽马分布的可加性：若X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，则X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．证：因X ~ Ga (α1, λ)，Y ~ Ga (α2, λ)，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为11)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t X ，21)(αλϕ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=it t Y ，则X + Y 的特征函数为)(211)()()(ααλϕϕϕ+−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==it t t t Y X Y X ，这是伽马分布Ga (α1 + α2 , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ Ga (α1 + α2 , λ)．9． 试用特征函数的方法证明χ 2分布的可加性：若X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，则X + Y ~ χ 2 (n + m )．证：因X ~ χ 2 (n )，Y ~ χ 2 (m )，且X 与Y 独立，有X 与Y 的特征函数分别为2)21()(n X it t −−=ϕ，2)21()(m Y it t −−=ϕ，则X + Y 的特征函数为2)21()()()(m n Y X Y X it t t t +−+−==ϕϕϕ，这是χ 2分布χ 2 (n + m )的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X + Y ~ χ 2 (n + m )．10．设X i 独立同分布，且X i ~ Exp(λ)，i = 1, 2, …, n ．试用特征函数的方法证明：),(~1λn Ga X Y ni i n ∑==．证：因X i ~ Exp (λ)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为11)(−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=λλλϕit it t i X ，则∑==ni i n X Y 1的特征函数为nni X Y it t t i n −=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==∏λϕϕ1)()(1，这是伽马分布Ga (n , λ)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知Y n ~ Ga (n , λ)．11．设连续随机变量X 的密度函数如下：+∞<<∞−−+⋅=x x x p ,)(π1)(22µλλ， 其中参数λ > 0, −∞ < µ < +∞，常记为X ~ Ch (λ, µ )．（1）试证X 的特征函数为exp{i µ t − λ | t |}，且利用此结果证明柯西分布的可加性； （2）当µ = 0, λ = 1时，记Y = X ，试证ϕ X + Y (t ) = ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )，但是X 与Y 不独立；（3）若X 1, X 2, …, X n 相互独立，且服从同一柯西分布，试证：)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 证：（1）根据第4题第（2）小题的结论知：若X *的密度函数为22π1)(*xx p +⋅=λλ，即X * ~ Ch (λ, 0)， 则X *的特征函数为ϕ * (t ) = e −λ | t |，且X = X * + µ 的密度函数为22)(π1)(µλλ−+⋅=x x p ， 故X 的特征函数为ϕ X (t ) = e i µ t ϕ * (t ) = e i µ t ⋅ e −λ | t | = e i µ t −λ | t |； 若X 1 ~ Ch (λ1, µ1)，X 2 ~ Ch (λ2, µ2)，且相互独立，有X 1与X 2的特征函数分别为||111e )(t t i X t λµϕ−=，||222e )(t t i X t λµϕ−=， 则X 1 + X 2的特征函数为||)()(21212121e )()()(t t i X X X X t t t λλµµϕϕϕ+−++==，这是柯西分布Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知X 1 + X 2 ~ Ch (λ1 + λ2, µ1 + µ2)； （2）当µ = 0, λ = 1时，X ~ Ch (1, 0)，有X 的特征函数为ϕ X (t ) = e −| t |，又因Y = X ，有Y 的特征函数为ϕ Y (t ) = e −| t |，且X + Y = 2X ，故X + Y 的特征函数为ϕ X + Y (t ) = ϕ 2X (t ) = ϕ X (2t ) = e −| 2t | = e −| t | ⋅ e −| t | =ϕ X (t ) ⋅ϕ Y (t )； 但Y = X ，显然有X 与Y 不独立；（3）因X i ~ Ch (λ, µ )，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为||e )(t t i X t i λµϕ−=， 则)(121n n X X X nY +++=L 的特征函数为 )(e e )()(1||111t n t t t X t t i n t n ti n ni X ni X nY i in ϕϕϕϕλµλµ===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅==∏∏，故根据特征函数的唯一性定理知)(121n X X X n+++L 与X 1同分布． 12．设连续随机变量X 的密度函数为p (x )，试证：p (x ) 关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数．证：方法一：根据随机变量X 与−X 的关系充分性：设X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，根据特征函数的唯一性定理知−X 与X 同分布，因X 的密度函数为p (x )，有−X 的密度函数为p (−x )，故由−X 与X 同分布可知p (−x ) = p (x )，即p (x ) 关于原点对称； 必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )， 因−X 的密度函数为p (−x )，即−X 与X 同分布，则−X 的特征函数ϕ −X (t ) = ϕ X (−t ) = ϕ X (t )，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X it X X ϕϕϕ=====−−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数． 方法二：根据密度函数与特征函数的关系充分性：设连续随机变量X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数，有ϕ X (t ) = ϕ X (−t )，因∫+∞∞−−=dt t x p itx )(e π21)(ϕ，有∫∫+∞∞−+∞∞−−−==−dt t dt t x p itxx it )(e π21)(e π21)()(ϕϕ， 令t = −u ，有dt = −du ，且当t → −∞时，u → +∞；当t → +∞时，u → −∞，则)()(e π21)(e π21))((e π21)()(x p du u du u du u x p iuxiux x u i ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−−+∞∞−−−∞∞+−ϕϕϕ， 故p (x ) 关于原点对称；必要性：设X 的密度函数p (x ) 关于原点对称，有p (−x ) = p (x )，因∫+∞∞−−==dx x p E t itxitX)(e )(e)(ϕ，有∫∫+∞∞−−+∞∞−−==−dx x p dx x p t itx xt i )(e )(e)()(ϕ，令x = −y ，有dx = −dy ，且当x → −∞时，y → +∞；当x → +∞时，y → −∞， 则)()(e )(e ))((e )()(t dy y p dy y p dy y p t X ity ity y it X ϕϕ==−=−−=−∫∫∫+∞∞−+∞∞−−∞∞+−−，且)(][e ][e ][e )()()(t E E E t t X itX itX X t i X X ϕϕϕ====−=−−， 故X 的特征函数ϕ X (t )是实的偶函数．13．设X 1, X 2, …, X n 独立同分布，且都服从N(µ , σ 2)分布，试求∑==ni i X n X 11的分布．证：因X i ~ N (µ , σ 2)，i = 1, 2, …, n ，且X i 相互独立，有X i 的特征函数为222e)(t t i X t i σµϕ−=，则∑==n i i X n X 11的特征函数为nt t i n t n t i n ni X n i X n X n t t t i i 2211112222ee)()(σµσµϕϕϕ−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==∏∏，这是正态分布⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛n N 2,σµ的特征函数，故根据特征函数的唯一性定理知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∑=n N X n X ni i 21,~1σµ． 14．利用特征函数方法证明如下的泊松定理：设有一列二项分布{b (k , n , p n )}，若λ=→∞n n np lim ，则L ,2,1,0,e !),,(lim ==−∞→k k p n k b kn n λλ．证：二项分布b (n , p n )的特征函数为ϕ n (t ) = ( p n e it + 1 − p n ) n = [1 + p n (e it − 1)] n ，且n → ∞时，p n → 0，因)1(e)1(e )1(e 1e )]1(e 1[lim )]1(e 1[lim )(lim −−⋅−→→∞→∞=−+=−+=itit n it n n np p itn p n it n n n n p p t λϕ，。
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.
概率论与数理统计（经管类）第四章课后习题答案.习题4.11. 设随机变量X 的概率密度为(1f x 2x,0 x 1,0,其他; (2 f xe | |, ∞ ∞求E(X 解: (1E Xxf x dx ∞∞ x·2xdx 2·10(2 E X xf x dx x ·e | | ∞∞ ∞∞0 2. 设连续型随机变量X 的分布函数为 F x 0,x 1, a b ·arcsinx, 1 x 1,1,x 1.试确定常数a,b,并求E(X. 解:(1 f x F x√, 1 x 10,其他f x dxb√1 xdx∞∞b ·arcsinx 11 1, 即b 1π⼜因当 1 x 1时 F X f x dx 1π·1√1 xdx 1π·arcsinx x 1X1π·arcsinx 1, 即a 1(2 E X xf x dxπ·3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X 的概率密度为f x 1σe σ,x 0,0,x 0. 求E(X. 解: E Xxf x dx ∞∞σ x ·eσ dx∞14. 设X 1, X 2,….. X n 独⽴同分布,均值为µ,且设Y∑X ,求E(Y.解: E Y E∑XE ∑X·n µ µ5. 设(X,Y的概率密度为f x,y e ,0 x 1,y 0,0,其他.求E(X+Y.解:E X Y x y f x,y dxdy ∞∞ ∞∞ x y e dxdy∞·e y ·e dy6. 设随机变量X 1, X 2相互独⽴,且X 1, X 2的概率密度分别为f x 2e ,x 0,0,x 0,f x3e0,x 0,求: 1 E 2X 3X ; 2 E 2X 3X ; 3 E X X . 解: 1 E 2X 3X 2E X 3E X 2322 E 2X 3X 2E X 3E X1 3x ∞3e dx1 3x ∞d e1 3 x·e∞0 e ∞dx1 3 0 e ·2x ∞dx1 3 23e ·3x ∞dx1 32 11 3 E X X E X E X7.求E(X.解:E X ∑∑x p 0 0.1 0 0.3 1 0.2 1 0.1 2 0.1 2 0.2 0.9 8. 设随机变量X 的概率密度为f x cx α,0 x 1,0,其他.且E(X=0.75,求常数c 和α.解: E X xf x dx x ·cx αdx 0.75∞ ∞习题4.21. 设离散型随机变量X 的分布律为X ‐1 0 0.51 2P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求E X ,E X ,D X .解: E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 0.45E X 1 0.1 0 0.5 0.5 0.1 1 0.1 2 0.2 1.025D X 1 0.45 0.1 0 0.45 0.5 0.5 0.45 0.1 1 0.45 0.12 0.45 0.2 0.8225 2. 盒中有5个球,其中有3个⽩球,2个⿊球,从中任取两个球,求⽩球数X 的期望和⽅差. 解: X 的可能取值为0,1,2 P X 0 C C 0.1P X 1 C·CC0.6 P X 2CC0.3 E X 0 0.1 1 0.6 2 0.3 1.2D X 0 1.2 0.1 1 1.2 0.6 2 1.2 0.3 0.144 0.024 0.192 0.36 3. 设随机变量X,Y 相互独⽴,他们的概率密度分别为 f X x 2e,x 0,0,x 0, f Y y4,0,0,其他,求D(X+Y.解: D X Y D X D Y4. 设随机变量X 的概率密度为f X xe | |, ∞ ∞,求D(X 解: E Xe | |dxE Xx2e | | dx 2 x2ex e 2D X =E X E X 25. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=1,D(Y=2,求D(X ‐Y. 解: D X Y D X D Y 1 2 36. 若连续型随机变量X的概率密度为f x ax bx c,0 1,0,其他,且E(X=0.5,D(X=0.15.求常数a,b,c.解:E X x axbx cdx a 4 b 3 c2 0.5E Xxax bx cdx a 5 b 4 c3 0.15 0.5 0.4f x dxax 2 bx c 10dxa 3 b2c 1 解得a=12,b=‐12,c=3.习题4.31. 设两个随机变量X,Y 相互独⽴,⽅差分别为4和2,则随机变量3X ‐2Y 的⽅差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 442. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为 f x,y 18 x y , 0 x 2,0 y 2,0, 其他求Cov(X,Y. 解:E X x8 x y dydx x 8·y x 8·y 2 20dx 76E Yy8x y dxdy 76E XYxy8 x y dydx 43 Cov X,Y E XY E X E Y4 7 7 13. 设⼆维随机变量(X,Y的概率密度为f x,yye , x 0, 0,求X 与Y 的相关系数ρxy. 解:E Xxy e dy ∞ ∞dx 1E Yy e dx ∞∞dyy e e dx ∞∞dyy e ∞dyy ∞d ey e∞0e ∞ d y 0e ·2y ∞dy2e ·y ∞dy 2E XYxy e dy ∞∞dx 2Cov X,Y E XY E X E Y 2 2 1 0 所以ρxy Cov X,YD X D Y 04. 设⼆维随机变量(X,Y服从⼆维正态分布,且E(X=0, E(Y=0, D(X=16, D(Y=25, Cov(X,Y=12,求(X,Y的联合概率密度函数f(x,y. 解:f x,ye ρ µσρ µ µ σσµσE X 0,E Y 0µ1 0,µ2 0, D X 16,D Y 25 σ1 4,σ2 5 Cov X,Y 12ρ Cov X,Y D X D Y 12 3f x,y 132πe 2532 x 216 3xy50 y 2255.证明D(X‐Y=D(X+D(Y‐2Cov(X,Y.证:D X YE X Y E X YE X E X Y E YE X E X 2E X E X ·E Y E Y E Y E YD X D Y 2Cov X,Y6.设(X,Y的协⽅差矩阵为C 4 339,求X与Y的相关系数ρxy.解: C 4 339Cov X,Y 3,D X 4,D Y 9ρxyCov X,YD X D Y31⾃测题4⼀、选择题1.设随机变量X服从参数为0.5的指数分布,则下列各项中正确的是 B .A. E(X=0.5, D(X=0.25B. E(X=2, D(X=4C. E(X=0.5, D(X=4D. E(X=2, D(X=0.25解: 指数分布的E Xλ,D Xλ2. 设随机变量X,Y相互独⽴,且X~B(16,0.5,Y服从参数为9的泊松分布,则D(X‐2Y+1= C .A.‐14B. 13C. 40D. 41解: D X npq 16 0.5 0.5 4,D Y λ 9D X 2Y 1 D X 4D Y D 1 4 4 9 0 403. 已知D(X=25,D(Y=1, ρxy=0.4, 则D(X‐Y= B .A.6B. 22C. 30D. 464. 设(X,Y为⼆维连续随机变量,则X与Y不相关的充分必要条件是 C .A. X与Y相互独⽴B. E(X+Y=E(X+E(YC. E(XY= E(XE(YD. (X,Y~N(µ ,µ ,σ ,σ ,0解: X与Y不相关ρxy 0, Cov X,Y 0E XY E X E Y5.设⼆维随机变量(X,Y~N(1,1,4,9,,则Cov(X,Y= B .A.B. 3C. 18D. 36解: ρxy 12 Cov X,YD X D Y Cov X,Y2 3, Cov X,Y 36. 已知随机变量X 与Y 相互独⽴,且它们分别在区间[‐1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E(XY= A .A. 3B. 6C. 10D. 12解: X~U 1,3 ,Y~U 2,4E Xa b 1 3 1,E Y 2 4 3 E XY E X E Y 1 3 37. 设⼆维随机变量(X,Y~N(0,0,1,1,0,?(x为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .A. X 与Y 都服从N(0,1正态分布B. X 与Y 相互独⽴C. Cov(X,Y=1D. (X,Y的分布函数是Φ x ·Φ y⼆、填空题 1. 若⼆维随机变量(X,Y~N(µ ,µ,σ ,σ ,0,且X 与Y 相互独⽴,则ρ=0 .解: Cov(X,Y=02. 设随机变量X 的分布律为 3 .X ‐1 0 1 2P 0.1 0.2 0.3 0.4令Y=2X+1,则E(Y= 3 .解: E(2X+1=(2*‐1+1*0.1+(2*0+1*0.2+(2*1+1*0.3+(2*2+1*0.4=33. 已知随机变量X 服从泊松分布,且D(X=1,则P{X=1}= e .解: D X λ 1P X 1 λ e λ1!e 4. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X= D(Y=1,则D(X ‐Y = 2 .5. 已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布, E X = 6 .解: E X λ 2,D X λ 2,E X E X D X 4 2 66. 设X 为随机变量,且E(X=2, D(X=4,则E X = 8 .7. 已知随机变量X 的分布函数为F x 0, x 0x 4, 0 x 41, x 4则E(X = 2 .解: f x F " x, 0 x 40, 其他 E X x 440dx 08. 设随机变量X 与Y 相互独⽴,且D(X=2, D(Y=1,则D(X ‐2Y+3= 6 .三、设随机变量X 的概率密度函数为f x 32x , 1 x 1,0, 其他。
第四,五章习题课概率论与数理统计34页PPT
= 1 DX － 1 Cov(X,Y) =6,
3
2
XZ
Cov(X ,Z ) DXDZ
27 7
.
(3) X与 Z不 独 立 。 因 为 XZ 0。
11．设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态
分布，Y服从参数 = 3的泊松分布。
因
此
，E
S
＝
n
E
X
＋
1
E
X
＋
.
.
.
＋
E
X
n
na a＋ b
.
10.已知随机变量X与Y分别服从N(1,32) 和N(0,42) ,
且X与Y的相关系数
XY
1，
2
设 Z X Y，
32
(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z)；
(2)求X与Z的相关系数；
(3)问X与Z是否相互独立？为什么？
解 ： 由 X : N (1，32 )有 EX ＝1，D X ＝9，
N
N
8．袋中有N个球，其中白球数X是随机变量，且知
其数学期望E(X)=n,(n N), 方差 D(X)= 。2 今从
袋中一次摸两球 ，求这两球恰有一白球的概率。
解：设A为摸到的两球中恰有一白球。
N
P (A ) ＝ P (X = k )P (A |X = k )
k=0
＝
N k=0
P (X
=k)
E(Xi)np
7．袋中有N个球，其中白球数X是随机变量，且知 其数学期望 E(X)=n，(n N)。今从袋中随机摸一球 ，求获得白球的概率。
解：设A为摸到白球。那么，
N
P(A) = P(X=k)P(A|X=k)
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计课后习题答案习题第四章
y 2 i4e −4 y dy =
00
3
1 2 E ( X ) = ∫ xi2 xdx = , 0 3
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tj
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求 E（XY）. 【解】方法一：先求 X 与 Y 的均值
.c
⎧ 2 x, 0 ≤ x ≤ 1, 其他; ⎩0,
5.设随机变量 X 的概率密度为
N
∑ kP{ X = k}
k =0
N
求 E（X） ，D（X）. 【解】 E ( X ) =
∫
+∞
−∞
xf ( x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ x(2 − x)dx
0 1
1
2
w.
1 2 0 1
3 ⎡1 3 ⎤ ⎡ 2 x ⎤ = ⎢ x ⎥ + ⎢ x − ⎥ = 1. 3 ⎦1 ⎣ 3 ⎦0 ⎣
12.袋中有 12 个零件，其中 9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取 出后不放回） ，设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量 X，求 E（X）和 D（X）. 【解】设随机变量 X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则 X 的可能取值为 0，1，2， 3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知
2
8.设随机变量（X，Y）的概率密度为
计
【解】 （1） E[U ] = E (2 X + 3Y + 1) = 2 E ( X ) + 3E (Y ) + 1
= 2 × 5 + 3 × 11 + 1 = 44.
因Y , Z 独立E (Y )i E ( Z ) − 4 E ( X )
= 11× 8 − 4 × 5 = 68.
概率论与数理统计课件(第4章)
4.2.2 方差的性质下面给出数学期望的几个常用性质,以下假设随机变量的数学期望是存在的.性质1 0)(≥X D .性质2 设C 是常数，则有0)(=C D .性质3 X 是一个随机变量，C 是常数，则有.)()(2X D C d CX D =+性质4 设Y X ,是两个随机变量，则有.)]()][([2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+特别地, 若Y X ,相互独立,则有)()()(Y D X D Y X D +=±.证明 2)]()[()(Y X E Y X E Y X D +-+=+ 2)](()([(Y E Y X E X E -+-= )]()][([2)]([)]([22Y E Y X E X E Y E Y E X E X E --+-+-=)]()][([2)()(Y E Y X E X E Y D X D --++=又)]()][([Y E Y X E X E -- )]()()()([Y E X E Y XE X YE XY E +--=)()()()()()()(Y E X E X E Y E Y E X E XY E +--=)()()(Y E X E XY E -=.若Y X ,相互独立,由数学期望的性质4知道0)()()(=-Y E X E XY E ,于是有)()()(Y D X D Y X D +=+.同理可证明 )()()(Y D X D Y X D +=-.这一性质可推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.例如，若,,,2,1),,(~2n i N X i i i =σμ且它们相互独立，则它们的线性组合：n n X C X C X C +++ 2211（n C C C ,,,21 是不全为0的常数）仍服从正态分布，于是由数学期望和方差的性质知道：),(~21212211i ni i n i i i n n C C N X C X C X C σμ∑∑==+++ .图4-1 分位数与上侧分位数的区别同理, 我们称满足条件p dx x f x F x X P x x P px p p p =='-='≤-='>⎰+∞')()(1)(1)( （4.18）的p x '为此分布的上侧p 分位数.'图4-2 三种不同偏度的分布譬如，正态分布是关于均值对称的，所以正态分布的),(2σμN μ=)(X E ),(2σμN 偏度.01=β4.5.5 峰度系数 定义4.8 设随机变量X 的四阶矩存在，则称比值（4.21）33]))(([))()(2242242-=---=ννβX E X E X E X E。
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案
1 2 1 2
1 ， 2
D (Y ) E (Y 2 ) [ E (Y )]2
1 ． 2
9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为 350m，又知航 空测量的误差随机变量 X 的分布列为
X (m) P 30 0.05 20 0.08 10 0.16
0
0.42
3
A 机床
次品数 X 概率 P
0
0 .7
1
0 .2 B 机床
2
0.06
3
0.04
次品数 X 概率 P
0
0 .8
1
0.06
2
0.04
3
0.10
问哪一台机床加工质量较好． 解： E ( X ) 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04 0.44 ，
E ( X 2 ) 0 2 0.7 12 0.2 2 2 0.06 32 0.04 0.8 ， D ( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 0.6064 ， E (Y ) 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10 0.44 ， E (Y 2 ) 0 2 0.8 12 0.06 2 2 0.04 32 0.10 1.12 ， D (Y ) E (Y 2 ) [ E (Y )]2 0.9264 ， E ( X ) E (Y ) ，但 D ( X ) D (Y ) ，
0.15 D ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)d x ( x 0.5) 2 (a x 2 bx c)d x
0
1
1 1 1 1 a b c ， 5 4 3 4
概率论与数理统计自学课件 第四章
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
概率论与数理统计教程第四版课后答案第四章.ppt
一、正态分布的相关内容：
定义 设连续型随机变量X ~ N , 2 ,
概率密度为 f x
1
x 2
e 2 2 , x ,
2
分布函数是 F x
1
x 2
x
e
2 2
dx
2
特别地， 0, 1, X ~ N 0,1，
其概率密度为 x
1
x2
e 2,
1 ( 4.56 1) ( 4.56 1) 0.0402
2
2
8
4、测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X(米)具有
概率密度:
f (x)
1
( x20)2
e 3200
40 2
求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30米的概率。
解 显然 X ~ N(20, 40). 在一次测量中误差的绝对值不超过
则Z X Y ~ N x y , x2 y2 .
（即：独立的正态随机变量的和仍服从正态分布）
定理3 设X1, X2,, Xn独立，且Xi ~ N i , i2 ，i 1,2,, n
n
则 ci X i
i 1
~
N
n i 1
ci i
,
n i 1
c 2 i
2 i
4
四、中心极限定理
bY )
a 2 D( X
)
b2
D(Y
)
a
2
2 1
b222
(2) E( Z 2 ) E( XY ) E( X )E(Y ) 1 2 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2 21 21
E(Y 2 ) D(Y ) [E(Y )]2 22 2 2
概率论与数理统计（理工类_第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四章.pdf
第四章随机变量的数字特征4.1 数学期望习题1设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X).解答：依题意，X的分布律为X01P1-p p由E(X)=∑i=1∞xipi,有E(X)=0⋅(1-p)+1⋅p=p.习题2袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n.现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望.分析：.解答：设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi,且P{Xi=m}=1n,其中m=1,2,⋯,n,i=1,2,⋯,k,故E(Xi)=1n(1+2+⋯+n)=n+12,i=1,2,⋯,k,从而E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.习题3某产品的次品率为0.1,检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的).解答：X的可能取值为0,1,2,3,4,且知X∼b(4,p),其中p=P{调整设备}=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639,所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.习题4据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知),在5年之内非自杀死亡的概率为1-p,保险公司开办5年人寿保险，条件是参加者需交纳人寿保险费a元(a已知),若5年内非自杀死亡，公司赔偿b元(b>a),应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？解答：令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1=5.也可以利用期望的性质求E(Z), 得E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.习题12设(X,Y)的概率密度为f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx ⋅12y2dy=45,E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy ⋅12y2dy=35,E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy ⋅12y2dy=12,E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy=∫01dx∫0x(x2+y2)⋅12y2dy=23+615=1615. 习题13设X 和Y 相互独立，概率密度分别为ϕ1(x)={2x,0≤x≤10,其它,ϕ2(y)={e-(y-5),y>50,其它,求E(XY). 解答：解法一 由独立性.E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx∫0+∞ye -(y-5)dy=23×6=4.解法二 令z=y-5, 则E(XY)=E(X)⋅E(Y)=∫01x ⋅2xdx ⋅E(z+5)=23×(1+5)=4.4.2 方差习题1设随机变量X 服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：由题设知，X 的分布律为P{X=k}=λkk!e -λ(λ>0)λ=0(舍去),λ=2.所以E(X)=2,D(X)=2.习题2下列命题中错误的是().(A)若X∼p(λ),则E(X)=D(X)=λ;(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; Array (C)若X∼b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.解答：应选(B).E(X)=1λ,D(X)=1λ2.习题3设X1,X2,⋯,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0),则ξ¯=1n∑i=1nξi服从的分布是¯.解答：由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(X¯)=μ,D(X¯)=σ2n.习题4若Xi∼N(μi,σi2)(i=1,2,⋯,n),且X1,X2,⋯,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 .解答：应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2).由多维随机变量函数的分布知：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.习题5设随机变量X服从泊松分布，且3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},求X的期望与方差.解答：X的分布律为P{X=k}=λkk!e-λ,k=0,1,2,⋯,于是由已知条件得3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ,\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2 (Y),又\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy=E(X2)E(Y2),∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y)=D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X)=2×3+2×32+3×12=27.习题9设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,又设Y=2X1-X2+3X3-12X4,求E(Y),D(Y).解答：E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X 3)-12E(X4)=2×1-2+3×3-12×4=7,D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.习题105家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2,X3,X4,X5.已知X1∼N(200,225),X2∼N(240,240),X3∼N(180,225),X4∼N(260,265),X5∼N(320,270),X1,X2,X3,X4,X5相互独立.(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存该产品多少千克？解答：(1)设总销售量为X,由题设条件知X=X1+X2+X3+X4+X5,于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(X i)=225+240+225+265+270=1225 .(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,求y.由(1)易知，X∼N(1200,1225),P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.查标准正态分布表得y-12001225=2.33,y=2.33×1225+1200≈1282(kg).习题11设随机变量X1,X2,⋯,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的数学期望和方差.解答：Xi(i=1,2,⋯,n)的分布函数为F(x)={1-e-x,x>00,其它,Z=min{X1,X2,⋯,Xn}的分布函数为FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n,而E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,于是D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.4.3 协方差与相关系数习题1设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().(A)X,Y不相关；(B)E(XY)=E(X)E(Y);(C)cov(X,Y)=0;(D)E(X)=E(Y)=0.解答：应选（D）。
2012概率论与数理统计第四章74页PPT文档
kkk000
kAkAkA0=0=0A=AeAeeB-kB-BkBB-k!kBk!
k!AAkAk0k0BkB0kk!
k
B!kk!AeABeABe
B
aaBBaBAAAEEaaEaBBB,,((,(kkXXkXAAA00))0)BBkkBkeekk!!ek!kkkaa00a0kkkAAABBAABAkkeekBBeB!!BB!BkkkeeeAAABBBBBBBBBkkkeee11BB1B(((kkkBBBBBkkBk111111)))!!!
1
0011xxx(((1(111222111222xxx222 111333111333xxx111222333)))0001113331111(((000111222
xxx222
111333xxx333
例6. 设随机变量X的分布律为
P(X(1)k12 kk)2 1k,
求数学期望E(X).
k1,2,...,
解:
|
k1
xk
pk
|
k1
1 k
所以X的数学期望不存在。
例 7：某商店对某种家用电
器的
销售采用先使用后付款
的方式，
记使用寿命为 X (以年计），规定：
X 1, 一台付款 1500 元
pp((1111qq))222
11 pp
例4. 设随机变量X~P(λ)，其分布律为
P(Xk)ek, k0,1,2,...,
k!
求数学期望E(X).
解: E (X ) k e ke k 1 e
k 0 k !
k 1 (k 1 )! k 0
[学习]概率论与数理统计课件第4章
![[学习]概率论与数理统计课件第4章](https://img.taocdn.com/s3/m/b6923f93fad6195f312ba6f6.png)
D( X ) pk (xk )2 xk2 pk 2
连续型 k
k
设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)
D( X ) (x )2 f (x)dx x2 f (x)dx 2
其中 E( X )
方 差 的 计算
例 设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：
X1 4 5 6
x f (x, y)dxdy,
E(Y )
y fY ( y)dy
y f (x, y)dxdy.
例 设(X,Y)的联合密度为
kxy x [0,1], y [1, 3]
f (x, y)
0
其它
(1) 求k
(2) 求X和Y的边缘密度 (3) 求E(X), E(Y).
解 (1)由
f ( x, y)dxdy 1
E(X ,Y) (E(X ), E(Y))
(X,Y)为二维离散型随机变量
E(X ) xiP{X xi} xi pi.
xi pij
i
i
ij
E(Y ) yjP{Y yj} yj p. j
y j pij
j
j
ji
(X,Y)为二维连续型随机变量
E(X )
x f X (x)dx
若广义积分 xf ( x)dx 绝对收敛, 则称此积分为
X的数学期望
即 E(X ) x f (x)dx
数学期望的计算
例 已知随机变量X的密度函数为
1
f (x) 1 x2
0
x 1 x 1
求数学期望。
解
E(X )
xf (x)dx
1
1
x 0 dx x
1
dx x 0 dx
0,
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一工厂生产的某种设备的寿命 X (年)服从参数
4 的指数分布. 工厂规定, 售出的设备一年内损坏
可调换. 若工厂售出一台设备盈利100元, 而调换一台
设备厂方损失300元, 求
(1) 一台设备的平均寿命;
(2) 工厂出售一台设备净盈利的期望.
解 X 的概率密度为
f
(
x)
1 4
1
e4
x
,
x
0
2020/11/23
2020/11/23
10
E(Y 2 ) g2( x) f ( x)dx
1
2 ln2 x 1dx 0
1 ln2 1 1 ln 1 1 ln2 2 1 ln 2
22
22
D(Y ) E(Y 2 ) [E(Y )]2
1 2
ln2
2
1
ln
2
1 2
ln
2
1 2
2
1 ln2 2 1 ln 2 3
C. D[5 X ] D( X ) D. D[5 X ] D( X )
2020/11/23
2
例3 (P121 二、3)
已知随机变量X ~ N (3,1),Y ~ N (2,1)且X与Y
相互独立, Z X 2Y 7,则 Z ~ N (0,5) .
例4 (P121 二、4)
设随机变量X1 , X 2 , X 3相互独立, 其中X1在[0,6]上
✓ 理解随机变量数学期望、方差的概念 ✓ 掌握数学期望、方差的基本性质 ✓ 会求随机变量的函数的数学期望 ✓ 掌握0-1分布、二项分布、泊松分布、均匀分
布、指数分布和正态分布的数学期望和方差
✓ 了解协方差、相关系数及矩的概念
2020/11/23
1
例1 (P121 一、5)
设X 是随机变量,则下列各式中错误的是( C )
2020/11/23
4
2
4
11
例10 (P123 12)
设随机变量X 的概率密度为
f
(
x
)
1 2
cos
x 2
,
0 x ，
0,
其他
对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于 的
3
次 数,求Y 2 的数学期望.
解
P{X }
3
3
1 2
cos
x 2
dx
1 2
Y ~ b(4, 1 ) 2
0, x 0
4
(1) E(X ) 4.
(2) 设工厂出售一台设备净盈利为Y元,则
Y
100
200
pk P{ X 1} P{0 X 1}
1
x
e 4 dx
1
1
e4
14
1
e 4
故
E (Y
)
1
100 e 4
200 (1
1
e4
)
33.64.
2020/11/23
5
例7 (P109 14)
长途汽车起点站于每时的10分、30分、50分发 车, 设乘客不知发车时间, 于每小时的任意时刻随机 地到达车站, 求乘客的平均候车时间.
E(Y ) E[g(X )] 1
60
g( x)dx
1
[
60 0
10
(10 x)dx
30
(30 x)dx
60 0
10
50
60
(50 x)dx (60 x 10)dx]
30
50
1 [50 200 200 150] 10.
2020/11/23
60
7
例8 (P115 14)
9
例9 (P115 13)
设
X
~
U1 2,12,Yg( X
)
ln X
0,
,
求 E (Y ), D(Y ).
解
E(Y ) g( x) f ( x)dx
1
1
2 g( x) 1dx 2 ln x 1dx
1 2
0
1 ln 1 1 1 ln 2 1
2 22 2
2
X 0, X 0
E(Y 2 ) D(Y ) [E(Y )]2 5.
2020/11/23
12
1. 设随机变量X 的概率密度为
ax2 bx c, 0 x 1
p( x) 0,
其他 ,
已知E( X ) 0.5, D( X ) 0.15, 求a, b, c.
解
p( x)dx
1 (ax2 bx c)dx 1,
13
2. 设 X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每 次命中目标的概率为0.4，试求X 2 的数学期望. 解 由题意, X ~ b(10, 0.4),
0
E( X )
x p( x)dx
1 x(ax2 bx c)dx 0.5,
0
E( X 2 ) x2 p( x)dx 1 x2 (ax2 bx c)dx
0
D( X ) [E( X )]2 0.15 0.52 0.4.
2020/11/23
a 12, b 12, c 3.
服从
均匀分布,
X
服
2
从正态分布N
(0,2
2
),
X
3
服从参
数
为 3的泊松分布.记Y X1 2X 2 3X 3 , D(Y ) 46 .
例5 (P121 二、5)
设X ~ P(),则Y 3X 2 2X 1的数学期望为
.
2020/11/23
E(Y ) 32 5 1 3
例6 (P109 11)
A. E[D( X )] D( X ) B. E[E( X )] E( X )
C. D[E( X )] E( X ) D. D[E( X )] 0
例2 (P209 一、5)
设X是随机变量,则下列各式中错误的是(B )
A. E[5X ] 5E( X ) B. E[5X 1] 5E( X )
对目标进行射击, 直到击中为止, 如果每次命 中率为 p , 求射击次数的数学期望和方差.
解 设射击次数为X .由题意,X 服从几何分布, 其分布律为
P{ X k} (1 p)k1 p, k 1, 2, ,
要求 E( X ) 和 D( X ).
E( X ) k qk1 p (其中 q 1 p)
•
•
•
•
•
0 10
30
50 60
解 设到站时间为X 分, 候车时间为Y 分,则
X
~
f (x)
1 60
,
0
x
60
0, 其他
2020/11/23
6
•
•
•
•
•
0 10
30
50 60
10 X , 0 X 10
Y
g( X )
30 50
X, X,
10 X 30 30 X 50
60 X 10, 50 X 60
k 1
2020/11/23
p k qk1
k 1
p
(1
1 q)2
1, p
8
E( X 2 ) k 2 qk1 p p k 2 qk1
k 1
k 1
p(1 q) (1 q)3
1
q p2
,
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2
1q p2
1 p2
q p2
.
2020/11/23