)1(4)13()(<+-=x a x a x f 在)1,(-∞上为减函数，所以013<-a ②，且当1=x 时，1log 41)13(a a a ≥-⨯- ③，由①②③得答案为C.
例2 已知函数x x x f -+=
1)(，判断该函数在区间[),0∞+上的单调性，并说明理由．
【讲解】用定义判断。 设0≤1x ＜2x ,)()(21x f x f -=11+x −1x −12+x +2x
=11212
1+++-x x x x +1
212x x x x +- =(1x −2x )(11121+++x x −1
21x x +) ∵1121+++x x ＞12x x +＞0,∴11121+++x x ＜1
21x x + 又∵1x ＜2x ∴(1x −2x )(11121+++x x −1
21x x +)＞0 ∴)()(21x f x f > ∴该函数在区间[),0∞+上的单调递增。
例3. 已知f ( x )=－x 2 + 2x + 8，g ( x ) = f ( 2－x 2 )，求g ( x )的单调增区间．
【讲解】很明显这是一个复合函数的单调性问题，所以应“分层剥离”为两个函数
t =－x 2+2 ① y = f ( t ) =－t 2 + 2t + 8 ②
对于②f ( t ) =2)1(--t +9,可知当)1,(-∞∈t 时是增函数，当),1(+∞∈t 时是减函数。
对于①由t =－x 2+2＞1得11<<-x ，当)0,1(-∈x 时是增函数，当)1,0(∈x 时是减函数。
由t =－x 2+2＜1得1>x 或1-由复合函数的单调性可知，f ( x )的单调递增区间是)1,(--∞和(0,1)。
例 4. 已知函数a y x x =+有如下性质：如果常数0a >
，那么该函数在(
上是减函数，在
)+∞上是增函数。 （1）如果函数2(0)b
y x x x
=+>在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求b 的值。 （2）设常数[]1,4c ∈，求函数()(12)c f x x x x
=+≤≤的最大值和最小值； （3）当n 是正整数时，研究函数()(0)n n
c g x x c x =+
>的单调性，并说明理由。 【讲解】： (1) 由已知得b 2=4, ∴b=4. (2) ∵c ∈[1,4], ∴c ∈[1,2],
于是,当x=c 时, 函数f(x)=x+
x c 取得最小值2c . f(1)－f(2)=2
2-c , 当1≤c ≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+
2c ； 当2≤c ≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设01121122n n n n n n n n x x c x x x c x x c x --=--+. 当n c 2g(x 1), 函数g(x)在[n c 2,+∞)上是增函数； 当0g(x 1), 函数g(x)在(0,
n c 2]上是减函数.
当n 是奇数时,g(x)是奇函数, 函数g(x) 在(－∞,－n a 2]上是增函数, 在[－n a 2,0)上是减函数.
当n 是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(－∞,－n a 2)上是减函数, 在[－n a 2,0]上是增函数.
例5 设x , y ∈R ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1
)1(1997)1(1)1(1997)1(33y y x x ，求x +y . 【讲解】 设f (t )=t 3+1997t ，先证f (t )在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a
f (b )-f (a )=b 3-a 3+1997(b -a )=(b -a )(b 2+ba +a 2+1997)>0，所以f (t )递增。
由题设f (x -1)=-1=f (1-y )，所以x -1=1-y ，所以x +y =2.
例6． 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意12,x x ∈R 都有1212()()()f x x f x f x +=+，当0x >时，()0f x <，(1)f a =，试判断在区间[－3,3]上()f x 是否有最大值或最小值，若有，求出其最大值或最小值，若没有，说明理由.
【讲解】： 设12,x x ∈R 且12x x <，则210x x ->，所以21()0f x x -<.
∴212111()()[()]()f x f x f x x x f x -=-+-＝2111()()()f x x f x f x -+-
＝21()0f x x -<. ∴21()()f x f x <
所以()f x 在R 上为减函数，在[－3,3]上，max min (3),(3)y f y f =-=.
