青岛市2019年高三期初调研数学试题答案
山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学（理）试题+Word版含解析
山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学（理）试题+Word版含解析山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学(理科)试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1.已知函数的定义域为集合M，集合A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别解出关于M，N的范围，然后根据集合的并集的概念和运算，判断即可．【详解】由x-1＞0，解得：x>1，故函数y=ln（）的定义域为M=，由x2﹣x0，解得：0x1，故集合N={x|x2﹣x0}=，∴，故选：D．【点睛】本题考察了集合的包含关系，考察不等式问题，是一道基础题．2.已知复数z满足（i为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以复数的虚部是，应选答案C。
3.已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果．【详解】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271、共3组随机数，故所求概率为：.故答案为：C.【点睛】本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．4.已知双曲线的离心率e=2，则双曲线C的渐近线方程为A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据离心率e=，由a,b,c的关系得到，进而得到渐近线方程. 【详解】双曲线的离心率e=,故渐近线方程为：故答案为：D.【点睛】这个题目考查的是双曲线的几何意义，已知离心率得到abc的关系式，进而得到渐近线方程.5.已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，。
山东省青岛市2019届高三9月上学期初调研检测试题(含解析)
2018年9月青岛市高三期初调研检测历史试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。
满分100分。
考试用时90分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在试卷和答题卡规定的位置上。
2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第I卷本卷共25小题，每小题2分,共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1。
王国维在《殷周制度论》中指出：“是故天子、诸侯虽无大宗之名，而有大宗之实。
”这说明A。
天子是天下之大宗B. 诸侯在本国是大宗C。
天子诸侯均行宗法D。
诸侯冲击天子地位【答案】【解析】【详解】从材料“天子、诸侯……有大宗之实”中可以分析出,无论天子还是诸侯都有“大宗之实”，根据所学知识可知,西周推行宗法制，故C项正确；AB项包含在C项之中；宗法制在一定程度上维护了天子的地位，故D项错误。
2.图中说法正确的是A. 图1字体在《史记》中有过详实记载B. 图2字体是研究先秦历史的珍贵资料C. 图3字体整齐稳定,平衡对称D. 图4、5字体唐朝才开始出现【答案】B【解析】【详解】根据材料和所学知识可知，司马迁在《史记》中有一篇《殷本纪》，详细记载了商王朝的世系和历史；民国时期学者王国维对甲骨卜辞中所见的商代诸先王、先公，对照《史记》记载作了详细的考证，证实了《史记》中《殷本纪》的可信性；《史记》没有关于甲骨文的记载，排除A。
金文是西周时期刻在青铜器上的文字,可以作为研究西周时期历史资料，B项正确。
字体整齐稳定，平衡对称是隶书的特点,不是小篆的特点,排除C.楷书是汉末、三国时期出现，排除D。
山东省青岛第二中学2019届高三下学期期初(2月)考试数学(理)试题(解析版)
则������ ∩ ∁������������ = {������|0 ≤ ������ ≤ 1或������ ≥ 2}， 故选：B． 求出集合 A，B 的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可． 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．
2.
复数
������ =
2 + ������ 1−������ ，i
2 2 命题若“������ + ������ = 0，则������ = ������ = 0”的否命题是( )
3.
1
2 2 A. 若������ + ������ = 0，则 x，y 中至少有一个不为 0 2 2 B. 若������ + ������ ≠ 0，则 x，y 中至少有一个不为 0 2 2 C. 若������ + ������ ≠ 0，则 x，y 都不为 0 2 2 D. 若������ + ������ = 0，则 x，y 都不为 0
是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A. |������| = 5 C. z 的实数与虚部之和为 1
【答案】D 【解析】解：复数
1 3
B. z
3 的共轭复数为2
+ 2������
1
D. z 在平面内的对应点位于第一象限
������ =
2 + ������ 1−������ 10 2
=
(2 + ������)(1 + ������) 12−������2
2 2 2 则不等式������(1−������ ) + ������(3������ + 3) > 0等价为������(3������ + 3) > −������(1−������ ) = ������(������ −1)， 2 2 即3������ + 3 > ������ −1，即������ −3������−4 < 0，
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(理)试题(PDF版)
1 k2
(
8k 2 4k 2
) 3
2
4(4k 2 4k 2
12) 3
12(k 2 1) 4k 2 3
·································· 11
分
所以 | MF | 1 为定值················································································· 12 分 | PQ | 4
|m||n| 5
设二面角 A EB D 的平面角为 ，则 cos 15 ···································· 12 分 5
青岛市高三年级教学质量检测 数学（理科）答案 第 2页（共 6页）
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由
x2 a2
y2 b2
1，令 x
（2）由（1）知：当 a 0 时， f (x) 的极大值等于 0 ，符合题意··························· 6 分 ①当 0 a 1时，因为当 x (0, a) 时， g(x) 0 ；当 x (a, ) 时， g(x) 0 ；
1
1
1
且 g(1) 0 ， g(e a ) 1 e a 1 e a 0
2019 年青岛市高三年级教学质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
CAAD C
C BAB B
BD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 3 5
14． 4
15． (14 6 5)
16． 3
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试卷附答案解析
）
A. 13 【答案】C 【解析】
B. 48
C. 78
D. 156
【分析】
由等比数列的性质可得 a7＝6，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和． 【详解】等比数列{an}中，a3a11＝a72， 可得 a72＝6a7，解得 a7＝6，
1
数列{bn}是等差数列中 b7＝a7＝6，根据等差数列的前 n 项和与等差中项的性质得到：S13＝2×13（b1+b13） ＝13b7＝13b7 代入求得结果为：78. 故选：C．
( ) = 13������������−23������������，������������ = ������������−������������，代入上式得到������������ = 13������������−23������������ = 13������������−23 ������������−������������ = 13������������−23������������.
2019 年青岛市高三年级教学质量检测
数学（文科）试题
2019.03
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合������ = {1,2,3,4,5,6,7}，集合������ = {������ ∈ ������|2 ≤ ������ < 6}，则������ ∩ ������ = （ ）
【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到
2
从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故 得到③错误. 故答案为：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题． 5.执行如图所示的程序框图，则输出������的值为（ ）
【市级联考】山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试题(解析版)
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.03 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点.【详解】复数满足,在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限．②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】k=9,s=1,,进入循环得,,k=8,再进入循环,,k=7,进入循环得到，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．6.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，，故得到，，代入上式得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试卷(解析版)
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.03 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点.【详解】复数满足,在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限．②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误.故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】k=9,s=1,,进入循环得,,k=8,再进入循环,,k=7,进入循环得到，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．6.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，，故得到，，代入上式得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
青岛市2019年高三期初调研数学试题答案
所以可设
A( xA ,
26 3
)
(xA
0)
，代入椭圆 C
的方程得
xA
2 3
······························6
分
所以点 A 的坐标为 ( 2 , 2 6 ) ，代入抛物线 D : y2 2 px 得 p 2 ·························7 分 33
故有 99% 的把握认为喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关．································3 分
（2）由表中数据知， x 3, y 30 ， ······························································4 分
所以 y0 y1 y2 4 ··················································································13 分 所以点W 必在定直线 y 4 上 ·······································································14 分
3
4
所以由正弦定理得 c b sin C sin B
2 3
32 sin
3 ··············································14 分 3
4
20．（本小题满分 14 分）
解：（1）因为 PD 平面 ABCD ，所以 PD AD
在 RtADP 中，因为 PD AD 2 2 ，所以 PA 4 ········································1 分
2019届高三入学调研理科数学试卷(4)含答案.doc
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集_，集合_，_，则_（）
A．_B．_
C．_D．_
【答案】C
【解析】由题意得_，
，
∴_，∴_．故选C．
2．下列命题错误的是（）
A．命题“若_，则方程_有实数根”的逆否命题为：“若方程_无实数根，则_”
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，：，：或_．
因为_为真，所以_，_中至少有一个真命题．
所以_或_或_，所以_或_，
所以实数_的取值范围是．
（2）当时，：，由得：：或，
所以：，
因为是的必要条件，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
19．（12分）计算：（1）；
（2）．
【答案】（1）_；（2）_．
（1）若_，_，求实数_的取值范围；
（2）若_，且_，求实数_的取值范围．
【答案】（1）_；（2）_．
【解析】（1）_，__，
①若_，则_，∴_；
②若_，则_∴_；综上_．
（2）_，∴_，∴_．
18．（12分）设_：实数_满足_，_：实数_满足_．
（1）当_时，若_为真，求实数_的取值范围；
（2）当_时，若是的必要条件，求实数的取值范围．
22．（12分）设函数，其中，．
（1）当时，讨论函数_的单调性；
（2）若函数_仅在_处有极值，求_的取值范围；
（3）若对于任意的_，不等式_在_上恒成立，求_的取值范围．
【答案】（1）_在，内是增函数，在，内是减函数；
（2）；（3）．
【解析】（1）．
2019届高三入学调研理科数学试卷(1)含答案.doc
（2）公司决定再采购_，_两款车扩大市场，_，_两款车各100辆的资料如表：
平均每辆车每年可为公司带来收入500元，不考虑采购成本之外的其他成本，假设每辆车的使用寿命都是整数年，用每辆车使用寿命的频率作为概率，以每辆车产生利润的期望值作为决策依据，应选择采购哪款车型？
即，此时最小，为；
即的取值范围是，故答案为．
15．已知，，则__________．
【答案】
【解析】∵，，∴，
则_，解得_．
∴_．
故答案为_．
16．四棱锥_中，底面_是边长为2的正方形，侧面_是以_为斜边的等腰直角三角形，若四棱锥_的体积取值范围为_，则该四棱锥外接球表面积的取值范围是______．
【答案】_
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数_等于（）
A．_B．_C．_D．_
【答案】C
【解析】_，故选C．
2．已知集合_，_，则_（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】集合_，，
∴，故选C．
3．函数的图象是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
根据_，由平面向量加法法则，
则有_为平行四边形_的对角线，故_，
联立椭圆_、直线_方程，
可得_，∵_，则_，
_，
可得_，∴_，故选A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．曲线_在点_处的切线方程为__________．
【答案】_．
2019青岛三模数学理答案
青岛市2019年高三自主检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．D A C C A D B A C B C B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．43-14．36415．9816．①②③三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）解：（1）由121+=+n n n S a a 得，12121+=+++n n n S a a ，两式相减得121()2n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 为正项数列，所以22=-+n n a a ，又11=a ，·······································································3分故数列21{}n a -是以11=a 为首项，公差为2的等差数列，所以211(1)2n a n -=+-⨯12-=n .·································································6分（2）由（1）知，22=-+n n a a ，由11=a 及121+=+n n n S a a 得32=a 故数列{}n a 2是以32=a 为首项，公差为2的等差数列，所以23(1)221n a n n =+-⨯=+·····································································8分所以nn n a a a a a S 2123212+++++=- 2(121)(321)2222n n n n n n +-⨯++⨯=+=+.·················································12分18．（本小题满分12分）解：（1）由题知：8,12,20,10a b c d ====···················································2分则2225080240)25162532800===3 2.70620302822328223711231k -⨯⨯=>>⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（，··················4分所以，有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；················································5分（2）由题知X 的分布列为：X101112P0.160.480.36·················································································································8分当10k =时，()=103000.16+(10300+600)0.48+(10300+2600)0.36=3720E Y ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯元；当11k =时，()=113000.64+(11300+600)0.36=3516E Y ⨯⨯⨯⨯元；当12k =时，()=12300=3600E Y ⨯元；所以当()E Y 最小时=11k ·············································································12分19．（本小题满分12分）解：（1）取AD 中点O ，连接,,PO FO 四边形ABCD 为菱形AC BD ∴⊥,O F 分别为,AD AB 中点，//OF BD∴AC OF ∴⊥又PF AC ⊥ ，OF PF F = AC ∴⊥面POF ·························································································3分PO ⊂ 面POF PO AC∴⊥又O 为AD 中点，PA PD =PO AD ∴⊥AD AC A = PO ∴⊥面ABCD ·······················································································5分PO ⊂ 面PAD ∴面PAD ⊥面ABCD ··················································································6分PD C B A F O y x z（2）连OB ，11,602AO AB A ==∠= ，OB AD ∴⊥，分别以,,OA OB OP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),P B (1,0,0)D-2),PB ∴=-(1,BD =- ····························································8分设平面PBD 的一个法向量1(,,)n x y z = 1100n PB n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200z x -=--=⎪⎩，取y =，则13()2n =- ·····································································10分显然2n OB == 为面PAD 的一个法向量设二面角A PD B --的平面角为θ，121212cos cos ,19||||n n n n n n θ⋅∴=<>==⋅ ·····················································12分20．（本小题满分12分）解：（1）由题知F 恰为),0(b -········································································1分所以中点)0,(2c F 满足：2a c =，因为222c b a +=，所以2243a b =…①·············2分又因为点),(b a E在抛物线2:3N x y =上，所以23a =…②····················3分由①②解得：1,3,2===cb a ····································································4分所以椭圆M 的标准方程为：13422=+y x ··························································5分（2）设43,(2t t P ，因为抛物线243:x y N =，所以x y 23='，则直线243)(23t t x t y AB +-=：·································································6分将直线24323t x t y AB -=：的方程代入椭圆13422=+y x 得：048312)1(124322=-+-+tx t x t ···································································7分因为32212121222,()1222(1)t x x y y x x t t +=+=+-=++·····························9分所以点3222()2(1)4(1)t C t t -++，，··································································10分t k t k 23,4321-==···················································································11分所以8321-=k k （点差法等其他方法正常给分）················································12分21．（本小题满分12分）解：（1）当a e =时，x e x x f ln )(-='····························································1分令()ln ,()1(0)e x e h x x e x h x x x x -'=-=-=>·················································2分当),0(e x ∈时,0)(<'x h ；当),(+∞∈e x 时,0)(>'x h ，所以()f x '在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增；所以0)()(='≥'e f x f ··················································································3分所以)(x f 在），（∞+0上单调递增·····································································4分又因为0)(=e f ，所以)(x f 有且只有一个零点e ········································································5分（2）由题意知x a x x f ln )(-='，令()ln H x x a x =-，()1(0)a x a H x x x x -'=-=>···········································6分当0≤a 时，()0H x '>，()H x =)(x f '在），（∞+0上单调递增，()f x '不可能有两个零点，不合题意·································································7分当0>a 时，当(0,)x a ∈时，()0H x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0H x '>所以()H x =)(x f '在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，因此()H x =)()(a f x f '≥'所以()ln 0f a a a a '=-<，a e >···································································9分当e a >时，因为(1)10f '=>所以()f x '在(1,)a 上有一个零点；·································································10分令2()()a ag a a e e =>，则(2)()0()a a a g a a e e-'=<>()g a ∴在(,)e +∞上单调递减222()()1e e e g a g e e e ∴<=<=所以2a e a >·······························································································11分所以0ln )(2>-=-='a e e a e e f a a a a ，所以)(x f '在),(a e a 上也有一个零点；综上知：当e a >时，)(x f 有两个极值点························································12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程解：（1）曲线C 的普通方程为1x y +=，·························································1分曲线C 的极坐标方程为：(cos sin )1ρθθ+=，即sin()42πρθ+=.···················3分曲线M 的极坐标方程为：4cos ρθ=.··························································5分（2）因为OMB ∆与OMA ∆以点M 为顶点时，它们的高相同，即OMB OMA S S ∆∆=||||OB OA ·························································································6分由（1）知，1||sin cos A OA ραα==+，||4cos B OB ρα==，所以2||4cos (sin cos )2sin 24cos ||OB OA ααααα=+=+2(1sin 2cos 2)2)4πααα=++=++·················································8分由0,2πα<<得52444πππα<+<，所以当2,42ππα+=即8πα=时，||||OB OA有最大值为2+·····························9分因此OMB OMAS S ∆∆的最大值为2+.·································································10分23．（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲解：（1）由题知，3,11()2,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩·····················································2分所以不等式3)(≥x f 可化为：133x x ≥⎧⎨≥⎩或11223x x ⎧-<<⎪⎨⎪+≥⎩或1233x x ⎧≤-⎪⎨⎪-≥⎩·························4分所以不等式的解集为{|1x x ≤-或1}x ≥···························································5分（2）画出函数()y f x =的图象，如图所示其中13(,22A -，(1,3)B 因为直线AB 的斜率为1所以直线a x y +=与直线AB 平行因为直线a x y +=与)(x f y =的图象围成多边形，所以2a >分由3y x a y x =+⎧⎨=⎩得：3(,)22a a C ；由3y x a y x=+⎧⎨=-⎩得：3(,44a a D -所以|||244a a CD =+=·····································································7分又AB 与CD 之间的距离d ==||2AB =·································8分所以梯形ABCD 的面积2139()(4)24282S a a =⨯+⨯-=·················9分所以4a =或4-（舍）故所求实数a 的值为4·················································································10分。
2019年山东省青岛市高考数学三模试卷(理科)
2019年山东省青岛市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数z 满足z ＝3+2i （i 为虛数单位），则z 2的虚部为（ ） A.5 B.−12 C.−5 D.12 【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】∵ z ＝3+2i ，∴ z 2＝(3+2i)2＝9+12i +4i 2＝5+12i ， ∴ z 2的虚部为12．2. 函数f(x)=ln(x 2−4x+4)(x−2)5的图象大致为（ ）A.B.C. D.【答案】 A【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】使用换元法判断出函数的奇偶性，从而排除不符合答案；其次在根据零点正确选出答案． 【解答】函数f(x)定义域为x ≠2； ∴ f(x)=ln[(x−2)2](x−2)5，令x −2＝t ，则函数f(t)=lnt 2t 5；∴ 函数f(t)为奇函数，排除B ，C ；且当t >0即x >2时，函数f(t)＝0有且只有一个零点，排除D ．3. 已知{a n }为等比数列，a 10，a 30是方程x 2−11x +16＝0的两实根，则a 20等于（ ） A.3 B.±4 C.4 D.±3 【答案】 C【考点】等比中项一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】由{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2−11x+16＝0的两实根，可得a10a30=a202= 16，a10+a30＝11>0，a10，a30都为正数．即可得出a20．【解答】解：∵{a n}为等比数列，a10，a30是方程x2−11x+16=0的两实根，∴a10a30=a202=16，a10+a30=11>0，∴a10，a30都为正数．∴a20>0．则a20=4．故选C.4. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为a，且−46<a<2，则①处应填入的条件为（）A.n≥7？B.n≥6？C.n≥5？D.n≥4？【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得n＝1，S＝16不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝14，n＝2不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝10，n＝3不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝2，n＝4不满足判断框内的条件，执行循环体，S＝−14，n＝5由题意，此时，满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值为−14，可得判断框内的条件为n≥5？5. 将函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间[π12, 7π12]上单调递增B.在区间[π12, 7π12]上单调递减C.在区间[−π6, π3]上单调递减D.在区间[−π6, π3]上单调递增【答案】 A【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间，取k ＝0即可得到函数在区间[π12, 7π12]上单调递增，则答案可求． 【解答】把函数y ＝3sin(2x +π3)的图象向右平移π2个单位长度， 得到的图象所对应的函数解析式为：y ＝3sin[2(x −π2)+π3]． 即y ＝3sin(2x −2π3)．当函数递增时，由−π2+2kπ≤2x −2π3≤π2+2kπ，得π12+kπ≤x ≤7π12+kπ,k ∈Z ．取k ＝0，得π12≤x ≤7π12．∴ 所得图象对应的函数在区间[π12, 7π12]上单调递增．6. 若不等式ax 2+ax −1≤0的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A.0≤a ≤4 B.−4<a <0 C.−4≤a <0 D.−4≤a ≤0 【答案】 D【考点】函数恒成立问题 【解析】讨论a ＝0和a ≠0时，求出不等式的解集为R 时实数a 的取值范围． 【解答】解：a =0时，不等式ax 2+ax −1≤0化为−1≤0，解集为实数集R ； a ≠0时，应满足{a <0,Δ≤0,所以{a <0,a 2+4a ≤0,解得−4≤a <0；综上，实数a 的取值范围是−4≤a ≤0． 故选D .7. 为了深入践行绿水青山就是金山银山的理念，坚定不移走好生态优先、绿色发展之路，某环保部门决定在某一地段圈岀一个圆形区域种草、植树，在建立直角坐标系的设计图纸上，记该圆形区域的边界为圆C ，若圆C 过点M(1, −2)且与两坐标轴均相切，则下列叙述正确的是（）A.满足条件的圆C有且只有一个B.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为4√2C.满足条件的圆C有三个，它们的圆心在一条直线上D.满足条件的圆C有且只有两个，它们的圆心距为2√2【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，(r>0)，由题意可得r＝|a|＝|b|，且(1−a)2+(−2−b)2＝r2，解方程可得a，b，r，计算即可得到所求结论．【解答】设圆C的方程为(x−a)2+(y−b)2＝r2，(r>0)，由题意可得r＝|a|＝|b|，且(1−a)2+(−2−b)2＝r2，化为b2+4b−2a+5＝0，若a＝b，可得b2+2b+5＝0，由△＝4−20＝−16<0，可得方程无实数解，故a≠b；若a＝−b，可得b2+6b+5＝0，解得b＝−1或−5，即有a＝1，b＝−1，r＝1；或a＝5，b＝−5，r＝5，可得圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝1，或(x−5)2+(y+5)2＝25，两个圆的圆心距为√(52+(−5+1)2=4√2，8. 已知球O与各条棱长均为4的四面体的各棱都相切，则球O的表面积（）A.8πB.8√23π C.32π D.24π【答案】A【考点】球的体积和表面积【解析】将三棱锥放入棱长为2√2的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，由此算出内切球半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】将棱长均为4的正四面体放入棱长为2√2的正方体，如图，∵球与三棱锥各条棱都相切，∴该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点．由此可得该球的直径为2√2，半径r=√2．∴该球的表面积为S＝4πr2＝8π．9. 不等式|x|+|y≤2所表示的封闭区域为M，函数y＝x2的图象与x轴、直线x＝1围成的封闭区域为N，向M内随机投一个点，则该点落到N内的概率为（）A.5 48B.116C.124D.13【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，求出区域M 的面积，再由定积分求得区域N 的面积，由测度比是面积比得答案． 【解答】不等式|x|+|y|≤2所表示的封闭区域M 为如图的正方形区域，其中正方形的边长a ＝2√2，函数y ＝x 2的图象与x 轴、直线x ＝1围成的封闭区域为N 为图中阴影部分．S M =2√2×2√2=8，S N =∫ 10x 2=13x 3|01=13． ∴ 向M 内随机投一个点，则该点落到N 内的概率为P =138=124．10. 若实数x ，y 满足{x ≥0x +4y ≥32x +y ≤3 ，则z =yx 的最小值为（ ）A.12B.13C.1D.14【答案】 B【考点】 简单线性规划 【解析】画出不等式组表示的平面区域，根据图形求得z =yx 取得最小值时对应点的坐标，并求出z 的最小值． 【解答】画出不等式组{x ≥0x +4y ≥32x +y ≤3 表示的平面区域，如图阴影所示；由图形知，当直线y ＝zx 过点C 时，z =yx 取得最小值， 由{2x +y =3x +4y =3 ，解得C(97, 37)， 所以z =yx 的最小值为z min =3797=13．11. 设△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ccosB −bcosC =35a ，则关于tan(B −C)的取值下列说法正确的是（ ） A.有最大值43B.有最小值−43C.有最小值−34D.有最大值34【答案】C【考点】正弦定理两角和与差的三角函数【解析】由条件利用正弦定理，两角和的正弦函数公式以及同角三角函数的基本关系化简可得tanC＝4tanB，根据两角差的正切函数公式以及基本不等式即可求解．【解答】∵△ABC中，由ccosB−bcosC=35a，利用正弦定理可得sinCcosB−sinBcosC=35sinA，即sinCcosB−sinBcosC=35(sinCcosB+sinBcosC)，∴25sinCcosB=85sinBcosC，∴tanC＝4tanB，∴tan(B−C)=tanB−tanC1+tanBtanC=−3tanB1+4tan2B=−31tanB+4tanB≥2√1tanB⋅4tanB=−34．即tan(B−C)有最小值为−34．12. 已知函数f(x)的图象在[a, b]上连续不断，定义：f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}x∈[a, b]，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}x∈[a, b]，其中，min{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函数f(x)在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f2(x)−f1(x)≤k(x−a)对任意的x∈[a, b]成立，则称函数f(x)为区间[a, b]上的“k阶收缩函数”，给出以下三个命题：①若f(x)＝cosx，x∈[0, π]，则f1(x)＝cosx，x∈[0, x]，f2(x)＝1，x∈[0, π]；②函数f(x)＝−x3+3x2，x∈[0, 1]是[0, 1]上的“2阶收缩函数”；③若函数f(x)＝x2，x∈[−1, 4]是[−1, 4]上的“k阶收缩函数”，则k＝3．其中所有正确命题的序号为（）A.①②③B.①②C.②③D.①③【答案】B【考点】命题的真假判断与应用函数的最值及其几何意义【解析】①根据f(x)＝cosx的最大值为1，可得f1(x)、f2(x)的解析式；②先对函数f(x)进行求导判断函数的单调性，进而写出f1(x)、f2(x)的解析式，然后再根据题意判断是否有f2(x)−f1(x)≤2(x−0)成立；③根据函数f(x)＝x2在x∈[−1, 4]上的值域，先写出f1(x)、f2(x)的解析式，再由f2(x)−f1(x)≤k(x−a)求出k的范围得到答案．【解答】①，由f(x)＝cosx，x∈[0, π]，为递减函数，由题意可得：f 1(x)＝cosx ，x ∈[0, π]，f 2(x)＝1，x ∈[0, π]，故①正确； ②，f′(x)＝−3x 2+6x ＝−3x(x −2)， 当x ∈[0, 1]时，f′(x)>0， ∴ f(x)在[0, 1]上单调递增，因此，f 2(x)＝f(x)＝−x 3+3x 2，f 1(x)＝f(0)＝0． ∵ f 2(x)−f 1(x)−2(x −0)＝−(x 3−3x 2+2x) ＝−x(x 2−3x +2)＝−x(x −1)(x −2)， 及x ∈[0, 1]，∴ f 2(x)−f 1(x)−2(x −0)<0，∴ f 2(x)−f 1(x)≤2(x −0)对x ∈[0, 1]恒成立；所以f(x)＝−x 3+3x 2是[0, 1]上的2阶收缩函数，故②正确； ③，根据题意，有f 1(x)={x 2,x ∈[−1,0]0,x ∈[0,4] ，f 2(x)={1,x ∈[−1,1]x 2,x ∈[1,4]，所以f 2(x)−f 1(x)={1−x 2,x ∈[−1,0)1,x ∈[0,1)x 2,x ∈[1,4] ，当x ∈[−1, 0]时，1−x 2≤k(x +1)， ∴ k ≥1−x ，k ≥2；当x ∈(0, 1)时，1≤k(x +1)， ∴ k ≥1x+1，∴ k ≥1； 当x ∈[1, 4]时，x 2≤k(x +1)， ∴ k ≥1x+1，∴ k ≥165．综上所述，k ≥165，即存在k ＝4，使得f(x)是[−1, 4]上的4阶收缩函数，故③不正确． 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.若sinθ+cosθ=15(0≤θ≤π)，则tanθ＝________； 【答案】−43【考点】同角三角函数间的基本关系 【解析】把已知等式两边平方，可得2sinθcosθ=−2425，求出sinθ−cosθ的值，解得sinθ，cosθ，则tanθ可求． 【解答】由sinθ+cosθ=15，两边平方得：sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ=125， 则2sinθcosθ=−2425， ∵ θ∈[0, π]，∴ sinθ>0，cosθ<0，则sinθ−cosθ=√(sinθ−cosθ)2=√1−2sinθcosθ=75．∴sinθ=45，cosθ=−35，则tanθ=sinθcosθ=−43．在(√x−2x)n的二项展开式中，仅有第8项的二项式系数最大，则在该二项展开式中含x4项的系数为________；【答案】364【考点】二项式定理及相关概念【解析】先求出n＝14，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x4项的系数．【解答】在(√x−2x )n的二项展开式中，仅有第8项的二项式系数最大，则n＝14，在(√x−2x)n=(√x−2x)14，则在该二项展开式的通项公式为Tr+1=C14r⋅(−2)r⋅x14−3r2，令14−3r2=4，求得r＝2，中含x4项的系数为C142⋅(−2)2＝364，在《九章算术》方田章“圆田术”（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，注述中所用的剖圆术所体现的是一种无限与有限转化的思想比如在√2+√2+√2+⋯中“…”即代表无限次重复，但原数却是个定数x，这可以通过√2+x=x确定出来x＝2，类似地可得到1+13+13+⋯+132n−2+⋯=________；【答案】98【考点】类比推理【解析】本题要根据已知算式将所求表达式作类似变形，然后同理可解方程得到结果．【解答】类比已知算式，1+132+134+⋯+132n−2+⋯=1+132{1+132[1+132(...)]}．可令1+132+134+⋯+132n−2+⋯=x，则1+132x＝x，解得x=98．已知双曲线Γ：x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，给出以下结论：①△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x＝a上；②|OM|＝a；③若∠F1IF2＝θ，则△PF1F2的面积为−b2tanθ；④△PF1F2的内切圆与x 轴的交点为(c−a, 0)，以上结论中，所有正确的序号________．【答案】①②③【考点】双曲线的离心率【解析】设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|＝c−a，可判断①；延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，可判断②；由三角形的面积公式和余弦定理，结合双曲线的定义和三角函数的恒等变换可判断③；由①的判断过程可判断④．【解答】设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|＝|F1Q|，|F2K|＝|F2L|，|PF1|−|PF2|＝2a＝|F1Q|−|F2L|＝|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|＝2c，解得|F2K|＝c−a，则K(a, 0)，即I的横坐标为a，即I在直线x＝a上，故①正确；延长F2M交PF1于N，可得PM为△PNF2的垂直平分线，可得|PN|＝|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|＝|NF1|＝2a，可得|OM|＝a，故②正确；若∠F1IF2＝θ，则∠IF1F2+∠IF2F1＝180∘−θ，∠F1PF2＝180∘−2(180∘−θ)＝2θ−180∘，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，m−n＝2a，△PF1F2的面积为S=12mnsin(2θ−180∘)=−12mnsin2θ，又cos(2θ−180∘)=m2+n2−4c22mn =(m−n)2+2mn−4c22mn=2mn−4b22mn=−cos2θ，可得mn=2b21+cos2θ，则S=−12⋅2b2⋅sin2θ1+cos2θ=−b2⋅2sinθcosθ2cos2θ=−b2tanθ，故③正确；△PF1F2的内切圆与x轴的交点为(a, 0)，故④不正确．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求解答.（一）必考题：60分.已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，a1＝1，a n a n+1＝2S n+1．(Ⅰ)求数列{a n}的项a2n−1；(Ⅱ)求数列{a n}的前2n项和S2n．【答案】（1）由a n a n+1＝2S n+1得，a n+1a n+2＝2S n+1+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n)＝2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2−a n＝2，又a1＝1，故数列{a2n−1}是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n−1＝1+(n−1)×2＝2n−1．（2）由（1）知，a n+2−a n＝2，由a1＝1及a n a n+1＝2S n+1得a2＝3故数列{a2n}是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝3+(n−1)×2＝2n+1．所以S2n＝a1+a2+a3+...+a2n−1+a2n=(1+2n−1)×n2+(3+2n+1)×n2=2n2+2n．【考点】数列递推式数列的求和【解析】(Ⅰ)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步利用分组法的应用求出结果．【解答】（1）由a n a n+1＝2S n+1得，a n+1a n+2＝2S n+1+1，两式相减得a n+1(a n+2−a n)＝2a n+1，因为数列{a n}为正项数列，所以a n+2−a n＝2，又a1＝1，故数列{a2n−1}是以a1＝1为首项，公差为2的等差数列，所以a2n−1＝1+(n−1)×2＝2n−1．（2）由（1）知，a n+2−a n＝2，由a1＝1及a n a n+1＝2S n+1得a2＝3故数列{a2n}是以a2＝3为首项，公差为2的等差数列，所以a2n＝3+(n−1)×2＝2n+1．所以S2n＝a1+a2+a3+...+a2n−1+a2n=(1+2n−1)×n2+(3+2n+1)×n2=2n2+2n．足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世界各国民众喜爱．（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为喜欢足球与性别有关？参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+b+c+d．（2）某国“糖果盒”足球场计划购买2台相同的无人机用于2020年的比赛直播拍摄，每台该无人机有一易损零件在一年内需更换的次数为5，6的概率分别为0.4，0.6，该易损零件可在购买无人机时一同购买作为备件，每个300元；在无人机购买后若备件不足再购买，则每个600元．记X表示2台无人机一年内共需更换的易损零件的次数，k表示购买无人机时同时购买的易损零件数．为保证两台无人机能正常使用，求购买易损零件所需费用Y的期望E(Y)最小时k的值．【答案】根据列联表中数据，计算K2=50×(8×10−12×20)220×30×28×22=800231>3>2.706，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；由题意知随机变量X的分布列为：当k＝10时，E(Y)＝10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+2×600)×0.36＝3720元，当k＝11时，E(Y)＝11×300×0.64+(11×300+600)×0.36＝3516元，当k＝12时，E(Y)＝12×300＝3600元；所以所需费用Y的期望E(Y)最小时k＝11．【考点】独立性检验茎叶图【解析】（1）根据列联表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X的分布列，分别计算对应的数学期望值，即可得出结论．【解答】根据列联表中数据，计算K2=50×(8×10−12×20)220×30×28×22=800231>3>2.706，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；由题意知随机变量X的分布列为：当k＝10时，E(Y)＝10×300×0.16+(10×300+600)×0.48+(10×300+ 2×600)×0.36＝3720元，当k＝11时，E(Y)＝11×300×0.64+(11×300+600)×0.36＝3516元，当k ＝12时，E(Y)＝12×300＝3600元； 所以所需费用Y 的期望E(Y)最小时k ＝11．如图，在四棱锥中P −ABCD 中，底面ABCD 为边长为2的菱形，∠DAB ＝60∘，PA ＝PD =√5，F 为AB 的中点，PF ⊥AC ． （1）求证：面PAD ⊥面ABCD ；（2）求二面角A −PD −B 的余弦值．【答案】证明：取AD 中点O ，连结PO ，FO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，∵ O ，F 分别为AD ，AB 的中点，∴ OF // BD ，∴ AC ⊥OF ， ∵ PF ⊥AC ，OF ∩PF ＝F ，∴ AC ⊥面POF ， ∵ PO ⊂面POF ，∴ PO ⊥AC ，∵ O 为AD 中点，PA ＝PD ，∴ PO ⊥AD ， ∵ AD ∩AC ＝A ，∴ PO ⊥平面ABCD ， ∵ PO ⊂面PAD ，∴ 面PAD ⊥面ABCD ，连结OB ，∵ AO =12AB =1，∠A ＝60∘，∴ OB ⊥AD ， 分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0, 0, 2)，B(0, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， ∴ PB →=(0, √3, −2)，BD →=(−1, −√3, 0)， 设平面PBD 的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PB →=√3y −2z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0 ，取y =√3，得n →=(−3, √3, 32)， 平面PAD 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角A −PD −B 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=2√1919．故二面角A −PD −B 的余弦值为2√1919．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）取AD 中点O ，连结PO ，FO ，推导出AC ⊥BD ，OF // BD ，AC ⊥OF ，PF ⊥AC ，从而AC ⊥面POF ，进而PO ⊥AC ，再由PO ⊥AD ，得到PO ⊥平面ABCD ，由此能证明面PAD ⊥面ABCD ，（2）连结OB ，则OB ⊥AD ，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −PD −B 的余弦值． 【解答】证明：取AD 中点O ，连结PO ，FO ，∵ 四边形ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，∵ O ，F 分别为AD ，AB 的中点，∴ OF // BD ，∴ AC ⊥OF ， ∵ PF ⊥AC ，OF ∩PF ＝F ，∴ AC ⊥面POF ， ∵ PO ⊂面POF ，∴ PO ⊥AC ，∵ O 为AD 中点，PA ＝PD ，∴ PO ⊥AD ， ∵ AD ∩AC ＝A ，∴ PO ⊥平面ABCD ， ∵ PO ⊂面PAD ，∴ 面PAD ⊥面ABCD ，连结OB ，∵ AO =12AB =1，∠A ＝60∘，∴ OB ⊥AD ， 分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则P(0, 0, 2)，B(0, √3, 0)，D(−1, 0, 0)， ∴ PB →=(0, √3, −2)，BD →=(−1, −√3, 0)， 设平面PBD 的一个法向量n →=(x, y, z)，则{n →⋅PB →=√3y −2z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0 ，取y =√3，得n →=(−3, √3, 32)， 平面PAD 的法向量m →=(0, 1, 0)， 设二面角A −PD −B 的平面角为θ， 则cosθ=|n →⋅m →||n →|⋅|m →|=2√1919．故二面角A −PD −B 的余弦值为2√1919．已知O为坐标原点，点F1，F2为椭圆M:x2a +y2b=1(a>b>0)的左右焦点，点E(a, b)在抛物线N:x2=4√33y上，直线EF2与椭圆M的一个交点为F，且EF的中点恰为F2．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过抛物线N上一点P与抛物线N相切的直线l与椭圆M相交于A、B两点，设AB中点为C，直线OP与直线OC的斜率分别是k1，k2，证明：k1k2为定值．【答案】由题意F恰为(0, b)，所以中点F2(c, 0)满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1；证明：设P(t, √3t24)，因为抛物线N:y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t(x−t)+√34t2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线AB方程：y=√32t−√34t2代入椭圆x24+y23=1得：12(1+t2)x2−12t3x+3t4−48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t(x1+x2)−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C(t 32(1+t2), −√3t24(1+t2))，则k1=√34t，k2=−√32t，所以k1k2=−38（点差法等其他方法正常给分）．【考点】直线与椭圆的位置关系抛物线的性质椭圆的应用【解析】（1）根据题意求得F及中点F2，根据a与b，c的关系，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）根据导数的几何意义，求得直线AB的方程，利用韦达定理及中点坐标公式即可求得C点坐标，即可求得k1k2为定值．【解答】由题意F恰为(0, b)，所以中点F2(c, 0)满足c=a2，因为a2＝b2+c2，所以a2=43b2，由①②解得a＝2，b=√3，c＝1，所以椭圆M的标准方程为x24+y23=1；证明：设P(t, √3t24)，因为抛物线N:y=√34x2，求导y′=√32x，则直线AB方程：y=√32t(x−t)+√34t2，A(x1, y1)，B(x2, y2)，将直线AB方程：y=√32t−√34t2代入椭圆x24+y23=1得：12(1+t2)x2−12t3x+3t4−48＝0，因此x1+x2=t31+t2，y1+y2=√32t(x1+x2)−√32t2=−√3t22(1+t2)，所以C(t 32(1+t2), −√3t24(1+t2))，则k1=√34t，k2=−√32t，所以k1k2=−38（点差法等其他方法正常给分）．已知函数f(x)=x22−ax(lnx−1)−e22（其中e＝2.718…为自然村数的底数，a∈R）．（1）若a＝e，证明：函数f(x)有且只有一个零点；（2）若函数f(x)有两个极值点x1，x2(x1<x2)，求a的取值范围．【答案】当a＝e时，f′(x)＝x−elnx；令ℎ(x)＝x−elnx，∴ℎ′(x)＝1−ex =ex，x>0；令ℎ′(x)＝0⇒x＝e；令ℎ′(x)>0⇒x>e；令ℎ′(x)<0⇒x<e；∴ℎ(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增；∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)＝e−e＝0，即f′(x)≥ℎ(e)＝0；∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；又∵f(e)＝0，∴f(x)有且只有一个零点e．f′(x)＝x−alnx，令φ(x)＝x−alnx，则φ′(x)＝1−ax =x−ax，x>0，当a≤0时，φ′(x)>0，φ(x)＝f′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)不可能有两个零点，不合题意，当a>0时，当x∈(0, a)时，φ′(x)<0，当x∈(a, +∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)＝f′(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，∴φ(x)＝f′(x)≥f′(a)＝a−alna<0，解得a>e，当a>e时，∵f′(1)＝1>0，∴f′(x)在(1, a)上有一个零点，令g(a)=a2e a，a>e，则g′(a)=a(2−a)e a，a>e，∴g(a)在(e, +∞)上单调递减，∴g(a)<g(e)=e2e e <e2e2=1，∴e a>a2，∴f(e a)＝e a−alne a＝e a−a2>0，∴f′(x)在(a, e a)上也有一个零点，综上可知：当a>e，f(x)有两个极值点．【考点】利用导数研究函数的极值函数零点的判定定理【解析】（1）二次求导，判断出函数的单调性，证明二次导数的极小值恒≥0，则原函数是单调递增的，从而表示出只有一个零点．（2）先求导，根据导数和函数极值的关系，分类讨论，再构造函数，根据导数和函数单调性的最值的关系即可求出a的取值范围．【解答】当a＝e时，f′(x)＝x−elnx；令ℎ(x)＝x−elnx，∴ℎ′(x)＝1−ex =ex，x>0；令ℎ′(x)＝0⇒x＝e；令ℎ′(x)>0⇒x>e；令ℎ′(x)<0⇒x<e；∴ℎ(x)在(0, e)上单调递减，在(e, +∞)上单调递增；∴ℎ(x)的最小值为ℎ(e)＝e−e＝0，即f′(x)≥ℎ(e)＝0；∴f(x)在(0, +∞)上单调递增；又∵f(e)＝0，∴f(x)有且只有一个零点e．f′(x)＝x−alnx，令φ(x)＝x−alnx，则φ′(x)＝1−ax =x−ax，x>0，当a≤0时，φ′(x)>0，φ(x)＝f′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)不可能有两个零点，不合题意，当a>0时，当x∈(0, a)时，φ′(x)<0，当x∈(a, +∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)＝f′(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增，∴φ(x)＝f′(x)≥f′(a)＝a−alna<0，解得a>e，当a>e时，∵f′(1)＝1>0，∴f′(x)在(1, a)上有一个零点，令g(a)=a2e a，a>e，则g′(a)=a(2−a)e，a>e，∴g(a)在(e, +∞)上单调递减，∴g(a)<g(e)=e2e e <e2e2=1，∴e a>a2，∴f(e a)＝e a−alne a＝e a−a2>0，∴f′(x)在(a, e a)上也有一个零点，综上可知：当a >e ，f(x)有两个极值点．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知曲线C:{x =−√22t y =1+√22t（t 为参数），圆M:x 2+y 2−4x ＝0．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C 与圆M 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知射线l:θ＝α(ρ≥0)与曲线C 相交于A ，与圆M 相交于B （异于原点O ），当α∈(0, π2)时，求S △OMBS △OMA的最大值．【答案】已知曲线C:{x =−√22ty =1+√22t（t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0． 转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−1＝0，即ρsin(θ+π4)=√22．圆M:x 2+y 2−4x ＝0．转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 由于△OMB 与△OMA 以点M 为顶点时，他们的高相同，即：S △OMBS△OMA=|OB||OA|，由（1）知|OA|=ρA =1sinα+cosα，|OB|＝ρB ＝4cosα，所以S △OMBS△OMA=|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2(1+sin2α+cos2α)＝2+2√2sin(2α+π4)． 由于0<α<π2，故π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=π2，即α=π8时，S△OMBS △OMA=|OB||OA|的最大值为2+2√2． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用三角形的面积和三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值． 【解答】已知曲线C:{x =−√22ty =1+√22t （t 为参数），转换为直角坐标方程为x +y −1＝0． 转换为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ−1＝0，即ρsin(θ+π4)=√22．圆M:x 2+y 2−4x ＝0．转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ． 由于△OMB 与△OMA 以点M 为顶点时，他们的高相同，即：S △OMBS△OMA=|OB||OA|，由（1）知|OA|=ρA =1sinα+cosα，|OB|＝ρB ＝4cosα，所以S △OMBS△OMA=|OB||OA|=4cosα(sinα+cosα)=2(1+sin2α+cos2α)＝2+2√2sin(2α+π4)． 由于0<α<π2，故π4<2α+π4<5π4，当2α+π4=π2，即α=π8时，S△OMBS△OMA=|OB||OA|的最大值为2+2√2． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x +1|+|x −1|． (Ⅰ)求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)若直线y ＝x +a 与y ＝f(x)的图象所围成的多边形面积为92，求实数a 的值． 【答案】（1）f(x)={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12 ，由f(x)≥3可知： (i)当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；(ii)当−12<x <1时，x +2>3，即x ≥1，与−12<x <1矛盾，舍去； (iii)当x ≤−12时，−3x ≥3，即x ≤−1； 综上可知解集为{x|x ≤−1或x ≥1}．（2）画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)， 由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．易得y ＝x +a 与y ＝f(x)图象交于两点C(a 2, 3a2)，D(−a 4, 3a4)，则|CD|=√2⋅|a2+a4|=3√24a ． 平行线AB 与Cd 间的距离d =√2=√2，|AB|=3√22， ∴ 梯形ABCD 的面积S =3√22+3√24a 2⋅√2=32+34a 2⋅(a −2)=92，(a >2)．即(a +2−(a −2)＝12，∴ a ＝4，故所求实数a 的值为4．【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】(Ⅰ)分2段去绝对值解不等式，在相并；(Ⅱ)画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)，由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．，然后求出|CD|以及两平行线间的距离，用梯形面积公式可得． 【解答】（1）f(x)={3x,x ≥1x +2,−12<x <1−3x,x ≤−12 ，由f(x)≥3可知： (i)当x ≥1时，3x ≥3，即x ≥1；(ii)当−12<x <1时，x +2>3，即x ≥1，与−12<x <1矛盾，舍去； (iii)当x ≤−12时，−3x ≥3，即x ≤−1； 综上可知解集为{x|x ≤−1或x ≥1}．（2）画出函数y ＝f(x)的图象，如图所示，其中A(−12, 32)，B(1, 3)， 由k AB ＝1，知y ＝x +a 图象与直线AB 平行，若要围成多边形，则a >2．易得y ＝x +a 与y ＝f(x)图象交于两点C(a 2, 3a2)，D(−a 4, 3a4)，则|CD|=√2⋅|a2+a4|=3√24a ． 平行线AB 与Cd 间的距离d =√2=√2，|AB|=3√22， ∴ 梯形ABCD 的面积S =3√22+3√24a 2⋅√2=32+34a 2⋅(a −2)=92，(a >2)．即(a +2−(a −2)＝12，∴ a ＝4，故所求实数a 的值为4．。
青岛市2019年高三期初调研检测题
青岛市2019年高三期初调研检测语文试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
作家批评的兴起，是近几年中国文坛的一个重要现象。
与学院派批评相比，作家批评并无明确的知识谱系，也少有自觉的方法论意识，但致力于文学批评的当代作家却以个性十足的艺术经验和文字表达，深刻改变着人们对文学批评的固有印象。
较之以知识求真为目标的学院派批评，作家批评更像是一场以经典重读为媒介、具有“创作”性质的艺术行为。
蕴含其中的思想活力和审美经验，有效反映出当前文学批评的话语变革。
如果深入思考这一批评话语的观念缘起，就会发现作家批评在冲击既有的批评格局之外，也暗含作家群体对重建文学生活的集体诉求。
文学之于现实社会，从来都不是附庸风雅的点缀。
不论在创作、评论抑或是作品传播与读者接受等方面，文学都能以其特有的力量潜移默化地影响我们的生活，这一点鲜明地体现在20世纪80年代的文学中。
那时的文学轰动效应，反映出文学对社会生活的巨大影响。
90年代后期始，随着互联网时代的到来，文学逐渐以另一种形式反映社会生活。
这种“文学生活”，不再局限于传统的创作、评论和传播模式，它借助文学与影视的联姻、传统媒体和新媒体的互补、文化资本的重新布局等手段，建构起一种新型的文学生活方式。
在这样的“文学生活”中，现实世界和虚拟空间的界限开始变得模糊，语言艺术和视觉艺术也相互交融。
“文学生活”的喧嚣扰攘与勃勃生机，同时成为这个时代最为醒目的文化标记。
但这种“文学生活”存在的问题也十分明显。
21世纪以来的文学，尤其是网络文学，其存在价值主要是为影视行业创造故事和角色。
山东省青岛市2019届高三9月份调研检测(数学理)(含详细答案)
2018年青岛市高三期初调研检测数学(理科)本试题卷共7页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
☆祝考试顺利☆注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5．考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()ln 1y x =-的定义域为集合M ，集合{}20,N x x x M N =-≤⋃=则A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()0+∞，D ．[)0,+∞2．已知复数z 满足()1=2z i i =+-(i 为虚数单位)，则z 的虚部为A ．32i - B ．32i C ．32- D ．323．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l ，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．A ．15B ．35C ．310D ．9104．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的离心率e=2，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．2y x =±B ．12y x =± C. y x =± D．y =5．已知各项均不相等的等比数列{}2343,2,n a a a a ，若成等差数列，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则33S a 等于A ．139B ．79C ．3D ．16．已知向量()()()1,1,3,,//,=a b m a a b m =-=+若则A ．2-B ．2C ．2-D ．37．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为圆柱下底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为A ．13B ．23C ．34D ．14 8．已知函数()()()00x f x e f =在点，处的切线为l ，动点(),a b 在直线l 上，则22a b -+的最小值是A ．4B ．2C ．D 9．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是 A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x 的一个零点为6π D ．()f x 在区间0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 10．已知121231ln ,,2x x e x -==满足3ln x e x -=，则 A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．213x x x <<D ．312x x x <<11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点1,,A E C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PQ 垂直l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若60NRF ∠=，则FR 等于A ．12B ．1C ．2D ．4二、填空题：本大题共4个小题．每小题5分．13．已知实数,x y 满足条件00,1x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则25z x y =+-的最小值为___________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r a r =++=，则___________．15．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有__________种．16．已知在四面1ABCD AD DB AC CB ====中，，则四面体ABCD 体积的最大值为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求解答．(一)必考题：共60分．17．(12分)如图所示，在ABC ∆中，D 是BC 边上一点，14,6,10AB BD AD ===，cos DAC ∠=． (1)求ADB ∠；(2)求AC 的长．18．(12分)如图，在长方形ABCD 中，,2,AB AD E F π==、为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．(1)证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；。
2019青岛三模数学理
①若 f (x) cos x , x [0, ] ，则 f1(x) cos x ， x [0, ] ， f2 (x) 1， x [0, ] ； ②函数 f (x) x3 3x2 , x [0,1] 是[0,1] 上的“ 2 阶收缩函数”；
③若函数 f (x) x2 , x [1, 4] 是[1, 4] 上的“ k 阶收缩函数”，则 k 3 ．
1
1 32
1 34
1 32n2
；
16．已知双曲线
：
x a
2 2
y2 b2
1(a 0,b
0) 的左右焦点分别为 F1
,
F2 ，点 P 是双曲线
的右支上异于顶点的一个点， PF1F2 的内切圆的圆心为 I ，过 F2 作直线 PI 的垂线， 垂足为 M ，O 为坐标原点，给出以下结论：① PF1F2 的内切圆的圆心 I 在直线 x a 上；② | OM | a ；③若 F1IF2 ，则 PF1F2 的面积为 b2 tan ；④ PF1F2 的
已知数列{an} 的各项均为正数，前 n 项和为 Sn ， a1 1 , anan1 2Sn 1 ． （1）求数列{an} 的项 a2n1 ； （2）求数列{an} 的前 2n 项和 S2n ．
数学（理科）试题 第 4页（共 6页）
18．（12 分）
足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世
青岛市 2019 年高三自主检测
数学（理科）
本试题卷共 6 页，23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。
2019届山东省青岛市高三3月教学质量检测(一模)数学(理)试题Word版含解析
2019届山东省青岛市高三3月教学质量检测（一模）数学（理）试题一、单选题1．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先求出集合，集合，由此能求出．【详解】∵集合，集合，∴．故选：C．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知为虚数单位，实数，满足，则的值为（）A．6 B．-6 C．5 D．-5【答案】A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求解即可得答案．【详解】∵，∴，解得．∴的值为6．故选：A．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．3．已知，满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．0 D．3【答案】A【解析】作出不等式对应的平面区域，利用的几何意义进行求解即可．【详解】作出，满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分）：则的几何意义为区域内的点到定点的直线的斜率，由图象可知当直线过点时对应的斜率最小，由，解得，此时的斜率，故选：A．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，要熟练掌握目标函数的几何意义．4．已知函数图象的相邻两对称中心的距离为，且对任意都有，则函数的一个单调递增区间可以为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据条件求出函数的周期和，利用条件判断函数的对称性，然后结合函数单调性的性质进行求解即可．【详解】∵函数图象的相邻两对称中心的距离为，∴，即，∵，∴，∵对任意都有，∴函数关于对称，即，，即，，∵，∴当时，，即，由，得，，即函数的单调递增区间为，，当时，单调递增区间为，故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．5．执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】C【解析】由流程图循环4次，输出，即可得出结果.．【详解】初始值，，是，第一次循环：，，是，第二次循环：，，是，第三次循环：，，是，第四次循环:S，，否，输出．故选：C．【点睛】本题考查程序框图的循环，分析框图的作用，逐步执行即可，属于基础题．6．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于，两点，且的中点到抛物线准线的距离为4，则的值为（）A．B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设，，由点差法得到，因为过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于，两点，所以，方程为：，故，中点横坐标为，再由线段的中点到抛物线准线的距离为4，能求出．【详解】设，，则，①-②，得：，∴，∵过抛物线的焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于，两点，∴，方程为：，∵为中点纵坐标，∴，∵，，∴，∴，∵，∴中点横坐标为，∵线段的中点到抛物线准线的距离为4，∴，解得．故选：C．【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：，得解．【详解】由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件，由几何概型中的面积型可得：，故选：B．【点睛】本题考查了识图能力及几何概型中的面积型，熟记公式即可，属于常考题型．8．在中，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由平面向量的基本定理结合向量共线定理，即可得解.【详解】，故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，熟记基本定理即可，属于常考题型．9．已知双曲线：，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，，若与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角形的面积比等于相似比的平方，可得＝，即可求出渐近线方程．【详解】由三角形的面积比等于相似比的平方，则＝，∴，∴＝，∴C的渐近线方程为y＝±x，故选：B．【点睛】这个题目考查了双曲线的几何意义的应用，考查了三角形面积之比等于相似比这一转化，题目比较基础.10．设，则展开式中的常数项为（）A．560 B．1120 C．2240 D．4480【答案】B【解析】计算定积分求得的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中的常数项．【详解】设，则展开式中的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为，故选：B．【点睛】本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11．在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵．已知在堑堵中，，，，则与平面所成角的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成角的大小．【详解】在堑堵中，，，，∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，平面的法向量，设与平面所成角的大小为，则，∴与平面所成角的大小为45°．故选：B．【点睛】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．12．已知函数，若方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由方程的根的个数与函数图象交点个数的关系得：方程有四个不相等的实根，等价于函数的图象与直线有四个交点，结合导数求函数图象的切线方程可得：①当直线与函数相切时，，②当直线与函数相切时，利用导数的几何意义可得：，再结合像图知函数的图象与直线有四个交点时，实数的取值范围是，得解．【详解】因为方程有四个不相等的实根，等价于函数的图象与直线有四个交点，易得：①当直线与函数相切时,方程只有一个实根，即只有一个实根，故，即，或(舍)；②当直线与函数相切时，设切点坐标为,因为，所以；所以切线方程为，即；又切线方程为，所以，，由图知函数的图象与直线有四个交点时，实数的取值范围是，故选：D．【点睛】本题考查了方程的根的个数与函数图象交点个数的关系及利用导数求函数图象的切线方程，属中档题．二、填空题13．若，则______．【答案】.【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得的值．【详解】∵，则，故答案为：．【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．14．已知，且，则的最小值为______．【答案】4.【解析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．【答案】【解析】首先根据题意分析出当球和四棱锥内切时球的表面积最大，之后根据面积分割得到，从而得到球的半径.【详解】在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积时，对应的球应该是内切球，此时球的半径最大，设内切球的球心为O半径为R，连接球心和ABCD四个点，构成五个小棱锥，根据体积分割得到，五个小棱锥的体积之和即为大棱锥的体积，，根据AB垂直于AD，PD垂直于AB可得到AB 垂直于面PDA，故得到AB垂直于PA，同理得到BC垂直于PC，表面积为：，此时球的表面积为：.故答案为：.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球和锥体的内切问题，通常是应用体积分割来求解.16．在中，，，若恒成立，则的最小值为______【答案】.【解析】由正弦定理可得，，可表示，，然后根据和差角公式及余弦函数的性质可求的范围，进而可求．【详解】∵，，由正弦定理可得，，∴，，∴∵，∴，∴，∴，∵恒成立，则，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，和差角公式及余弦函数的性质的简单应用，属于中档试题．三、解答题17．已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．【答案】（Ⅰ）；.（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意可得数列为首项和公差均为1的等差数列，即可得到所求的通项公式；再由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到的通项公式；（Ⅱ）由，运用裂项相消求和可得，由等比数列的求和公式可得，由不等式的性质即可得到大小关系．【详解】（Ⅰ），，可得，即数列为首项和公差均为1的等差数列，可得；数列为等比数列，满足，，．设公比为，可得，可得，即有时，，可得；不成立，舍去，则；（Ⅱ），；，则，即有．【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．18．如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为2的等边三角形，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）取的中点，连结，，推导出，从而平面，再由平面，得，从而四边形是平行四边形，进而，推导出，平面，从而平面，由此能证明平面平面．（Ⅱ）分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【详解】证明：（Ⅰ）取的中点，连结，，∵，∴，，∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴四边形是平行四边形，∴，∵是等边三角形，∴，又∵平面，平面平面，平面平面，∴平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面，∴，又，，∴分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，设平面的一个法向量为，，，则，取，得，设二面角的平面角为，由题意为钝角，则．∴二面角的余弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，，当直线垂直于轴时，四边形的面积为6．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）根据，可得，再根据离心率求出，即可求出椭圆方程，（Ⅱ）由题意可知，直线的方程为，根据韦达定理和弦长公式求出，再求出直线的方程可得的坐标，即可求出，问题得以证明．【详解】（Ⅰ）由：，令可得，则，则，可得∵，∴，，∴∴椭圆的方程为．证明：（Ⅱ）由题意可知，直线的方程为，由，可得设，，∴，，∴，设的中点为，则，则的过程为，令，可得，∴，∵，∴为定值．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查根的判断式、韦达定理、弦长公式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．已知函数．（Ⅰ）当时，证明：函数只有一个零点；（Ⅱ）若函数的极大值等于0，求实数的取值范围．【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性证明题中的结论即可；（Ⅱ）由题意结合函数的解析式和导函数的性质分类讨论确定实数的取值范围即可．【详解】（Ⅰ）由题知：．令则，所以，当时，，即在上单调递减．又因为，所以，当时，；当时，．所以，在上单调递增，在上单调递减，所以．所以只有一个零点．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，的极大值等于0，符合题意．①当时，因为当时，；当时，；且，．故存在，满足，当，当，又，；，；所以，此时是的唯一极大值点，且，符合题意．②当时，因为，；，，且，所以，即在上单调递减无极值点，不合题意．③当时，因为当时，；当时，；且，．令，则；所以，所以，即．又因为，故存在，满足，此时是的唯一极小值点，是的唯一极大值点，．因此不合题意．综上可得：．【点睛】本题主要考查导数研究函数的零点，导数研究函数的极值，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．21．直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数）；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线．（Ⅰ）求曲线的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点（均异于点），求线段的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的极坐标方程为：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数可得普通方程，再利用公式化成极坐标方程；（Ⅱ）设，的极坐标并分别代入，可得，，再利用可得．【详解】（Ⅰ）因为曲线的参数方程为（为参数），所以的普通方程为①，在极坐标系中，将代入①得，化简得，的极坐标方程为：②．（Ⅱ）因为直线的极坐标方程为（），且直线与曲线和和曲线分别交于，，可设，，将代入②得，将代入曲线得．所以．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，熟记参数方程与普通方程的互化方法、以及极坐标与直角坐标的互化公式即可，属于常考题型．22．已知函数，.（1）若，解不等式；（2）对任意，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)代入参数a，零点分区间去掉绝对值，分段解不等式即可；（2）根据绝对值三角不等式得到，所以，进而求解.【详解】（1）当时，，①当时，，解得，所以.②当时，，解得，所以.③当时，，解得，所以.所以不等式的解集为.（2）因为，所以.因为对任意，恒成立，所以，所以，所以.所以实数的取值范围为.【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式求最值的应用，题目难度中等.。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试题(解析版)
2019年青岛市高三年级教学质量检测数学（文科）试题2019.03 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】现根据题干得到集合B的元素，再由集合交集的概念得到结果.【详解】集合，集合，则.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了集合的交集的运算，属于简单题目.2.已知为虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点.【详解】复数满足,在复平面内对应的点位：，在第一象限.故答案为：A.【点睛】如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限．②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内．3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（）A. 493B. 383C. 183D. 123【答案】C【解析】【分析】根据题意将四进制数转化为十进制数即可.【详解】根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到故答案为:C.【点睛】本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识，注意运用四进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．4.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C【解析】【分析】利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.【详解】根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故故答案为：C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 7B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】【分析】根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止.【详解】K=9,s=1,,进入循环得,,k=8,再进入循环,,k=7,进入循环得到，不满足判断框的条件，故此时输出k值，得到k=5.故答案为：C.【点睛】对于程序框图的读图问题，一般按照从左到右、从上到下的顺序，理清算法的输入、输出、条件结构、循环结构等基本单元，并注意各要素之间的流向是如何建立的．特别地，当程序框图中含有循环结构时，需首先明确循环的判断条件是什么，以决定循环的次数．6.在中，，，则（）A. B.C. D.【答案】A【分析】根据向量减法的三角形法则得到，再由向量的减法法则，以和 为基底表示向量.【详解】根据向量的减法法则得到,又因为，，故得到，，代入上式得到.故答案为：A.【点睛】这个题目考查的是向量基本定理的应用；解决向量的小题常用方法有：数形结合，向量的三角形法则，平行四边形法则等；建系将向量坐标化；向量基底化，选基底时一般选择已知大小和方向的向量为基底。
山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测(一模)数学(文)试卷及解析
第1页，总19页外…………○………………○……学校:___名：___________班级：____内…………○………………○……山东省青岛市2019届高三3月教学质量检测（一模）数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合A ={1,2,3,4,5,6,7}，集合B ={x ∈N|2≤x <6}，则A ∩B =（ ）A. {1,2,3,5,6,7}B. {2,3,4,5}C. {2,3,5}D. {2,3}2.已知i 为虚数单位，复数z 满足(2−i)z =3+2i ，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.“结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量.如图所示的是一位农民记录自己采摘果实的个数.在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一.根据图示可知，农民采摘的果实的个数是（ ）A. 493B. 383C. 183D. 1234.调查机构对某高科技行业进行调查统计，得到该行业从业者学历分布饼状图，从事该行业岗位分布条形图，如图所示.给出下列三种说法：①该高科技行业从业人员中学历为博士的占一半以上；②该高科技行业中从事技术岗位的人数超过总人数的30%；③该高科技行业中从事运营岗位的人员主要是本科生，其中正确的个数为（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案第2页，总19页………外…………○…○…………线…………※※※………内…………○…○…………线…………5.执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为（ ）A. 7B. 6C. 5D. 46.在ΔABC 中，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2EA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则（ ） A. DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −23CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B. DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +23CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C. DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −13CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D. DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +13CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 7.已知数列{a n }为等比数列，满足a 3a 11=6a 7；数列{b n }为等差数列，其前n 项和为S n ，且b 7=a 7，则S 13=（ ）A. 13B. 48C. 78D. 1568.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)，O 为坐标原点，过C 的右顶点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于A ，B ，过C 的右焦点且垂直于x 轴的直线交C 的渐近线于M ，N ，若ΔOAB 与ΔOMN 的面积比为1:9，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A. y=±2x B. y =±2√2x C. y =±2√3x D. y =±8x9.某几何体的三视图如图所示（其中正视图中的曲线为两个四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ）A. 64−8π3B. 64−8πC. 64−12πD. 64−16π第3页，总19页………外…………………线………………内…………………线………10.已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2,x ∈R)在一个周期内的图象如图所示，则y=f(x)的解析式是（ ）A. f(x)=4sin(3x −π4)B. f(x)=4sin(43x +π3)C. f(x)=4sin(3x +π4)D. f(x)=4sin(43x −π3)11.已知函数f(x)=lnx x，若a =f(2)，b =f(3)，c =f(5)，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. b<c <a B. b <a <c C. a<c <b D. c <a <b12.已知函数f(x)={2x −xlnx,x >0−x 2−32x,x ≤0，若方程f(x)=a （a 为常数）有两个不相等的根，则实数a 的取值范围是（ ）A. (−∞,0)B. (916,e)C. (−∞,0]∪[916,e] D. (−∞,0)∪(916,e)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是__________．14.已知x ，y 满足约束条件{x −2y ≤02x +y −4≤0x ≥1，则z =x +y 的最小值为__________．答案第4页，总19页……外…………○………○…………订※※※※装※※订※※线※※内※……内…………○………○…………订15.已知椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点，F 为椭圆C 的右焦点，过F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，当直线l 垂直于x 轴时，四边形APBQ 的面积为6，则椭圆C 的方程为__________． 16.在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，且PD =1，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为__________．三、解答题（题型注释）17.在ΔABC 中，AB =√6，BC =3，∠A =π3，D 为线段AC 上的一点，E 为BC 的中点.（1）求∠ACB ；（2）若ΔBCD 的面积为3，求DE 的长度. 18.如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为正方形，ΔPAD 为等边三角形，平面PAD ⊥平面PCD .（1）证明：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AB=2，Q 为线段PB 的中点，求三棱锥Q −PCD 的体积.19.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图.第5页，总19页（1）由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？ 附表：（参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，n =a +b +c +d ）（2）按照以往经验，在每小时次品数超过180件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，公司工程师抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，在x （单位：百件）件产品中，得到次品数量y （单位：件）的情况汇总如下表所示：答案第6页，总19页根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过180件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时生产2000件的任务？（参考公式：用最小二乘法求线性回方程y ̂=b ̂x +a 的系数公式 b̂=∑x i y i ni=1−nx⋅y∑x i 2n i=1−nx 2 =∑(x i −x)(y i ni=1−y)∑(x i ni=1−x)2；a=y −b̂x ） 20.已知抛物线W ：x 2=2py(p >0)的焦点为F ，点A 在W 上，AF 的中点坐标为(2,2).（1）求抛物线W 的方程；（2）若直线l 与抛物线W 相切于点P （异于原点），与抛物线W 的准线相交于点Q ，证明：FP ⊥FQ .21.已知函数f(x)=x −e x +a2x 2+1，a ≤1，e =2.718...为自然对数的底数.（1）当a≤0时，证明：函数f(x)只有一个零点；（2）若函数f(x)存在两个不同的极值点x 1，x 2，求实数a 的取值范围. 22.直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+√5cosαy =1+√5sinα（其中α为参数）；以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=3π4(ρ∈R)，曲线C 2：ρ=4sinθ.（1）求曲线C 1的普通方程和极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 1和曲线C 2分别交于M 和N 两点（均异于点O ），求线段MN 的长. 23.已知函数f(x)=|x −2|−|x +a |，a ∈R .（1）若a=1，解不等式f(x)+x >0；（2）对任意x∈R ，f(x)≤3恒成立，求实数a 的取值范围.第7页，总19页参数答案1.B【解析】1.先根据题干得到集合B 的元素，再由集合交集的概念得到结果. 集合B={x ∈N |2≤x <6}={2，3，4，5}，集合A ={1,2,3,4,5,6,7}，则A ∩B ={2,3,4,5}.故答案为：B. 2.A【解析】2.根据复数的四则运算得到复数的化简结果，进而得到在复平面内所对应的点. 复数z 满足(2−i)z=3+2i ,z =3+2i 2−i=(3+2i )(2+i )(2+i )(2−i )=4+7i 5.在复平面内对应的点位：(45,75)，在第一象限.故答案为：A. 3.C【解析】3.根据题意将四进制数转化为十进制数即可.根据题干知满四进一,则表示四进制数,将四进制数转化为十进制数,得到2×43+3×42+1×4+3=183.故答案为:C. 4.C【解析】4.利用饼状图、行业岗位分布条形图得到相应命题的真假.根据饼状图得到从事该行行业的人群中有百分之五十五的人是博士，故①正确；从条形图中可得到从事技术岗位的占总的百分之三十九点六，故②正确；而从条形图中看不出来从事各个岗位的人的学历，故得到③错误.答案第8页，总19页故答案为：C. 5.C【解析】5.根据框图，依次进入循环，直到不满足判断框内的条件为止. k=9,s=1,s=1>35,进入循环得,s =910,k=8,s =910>35,再进入循环,s =810,k=7,s =810>35,进入循环s =710,k =6s =710>35, 进入循环得到s =610,k =5,s =610=35，不满足判断框的条件，故此时输出k 值，得到k=5.故答案为：C. 6.A【解析】6.根据向量减法的三角形法则得到DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，再由向量的减法法则，以CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 和 CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 为基底表示向量DE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ . 根据向量的减法法则得到DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,又因为AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2EA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，故得到DE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，代入上式得到AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −23AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =13AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −23(CB ⃑⃑⃑⃑⃑ −CA ⃑⃑⃑⃑⃑ )=13CA ⃑⃑⃑⃑⃑ −23CB⃑⃑⃑⃑⃑ . 故答案为：A. 7.C【解析】7.由等比数列的性质可得a 7＝6，再由等差数列的求和公式和中项性质，可得所求和． 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 72， 可得a 72＝6a 7，解得a 7＝6，第9页，总19页………○…………装…………学校:___________姓名：__________………○…………装…………数列{b n }是等差数列中b 7＝a 7＝6，根据等差数列的前n 项和与等差中项的性质得到：S 13＝12×13（b 1+b 13）＝13b 7代入求得结果为：78. 故选：C ． 8.B【解析】8.由三角形的面积比等于相似比的平方，可得ba ＝2√2，即可求出渐近线方程． 由三角形的面积比等于相似比的平方， 则19＝a 2c2，∴a 2+b 2a 2=9⇒b 2=8a 2，∴ba ＝2√2，∴C 的渐近线方程为y ＝±2√2x ， 故选：B ．9.B【解析】9.根据三视图得到原图是一个棱长为4的正方体，挖去了两个14圆柱，圆柱的底面圆的半径为2，让正方体的体积减去半个圆柱的体积即可.答案第10页，总19页根据三视图得到原图是一个棱长为4的正方体，挖去了两个14圆柱，圆柱的底面圆的半径为2，故得到的体积为正方体的体积减去半个圆柱的体积，64−12×π×4×4=64−8π.故答案为：B. 10.B【解析】10.由函数的图像得到函数的周期排除AC ，再由图像得到在x =π8处取得最值，从而得到答案.根据图像得到三角函数的周期为T =4×(π8+π4)=32π，由周期的公式知T =2πω=32π⇒ω=43.此时排除AC. 又因为图像中函数在x =π8处取得最大值，代入B ，D 发现D 不合题意故舍去.故答案为：B 。
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数学参考答案 第 3 页（共 5 页）
（2）由
y xt
y2
4x
得，
y2
4y
4t
0
·························································10
分
所以 an
2n1 ， Sn
a1(1 qn ) 1 q
2n
1 ···························································6
分
（2）由（1）知：
S2n an1
22n 1 2n
2n
1 2n
·······················································8 分
分
设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 )
由韦达定理得， y1 y2 4 ··········································································11 分
设W (x0, y0 )
因为 OW OM ON
在 PAB 中，因为 PAB 2 ，PA 4 , PB 2 7 3
所以由余弦定理得 (2 7)2 16 AB2 2 4 AB cos 2 ，解得 AB 2 ············4 分 3
在 ACD 中，因为 AC 2 ， CD AB 2 ， AD 2 2 所以 AC2 CD2 AD2 ， AC CD ·····························································5 分
14． 3 ； 10
15． 2020 ；
16． 3 ； 2
17． 3 ； 1 ． 24
四、解答题：本大题共 6 小题，共 82 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. （本小题满分 12 分）
解：（1）因为 S2 a1 a2 3a1 ，所以 a2 2a1 ·················································1 分
3
所以可设
A( xA ,
26 3
)
(xA
0)
，代入椭圆 C
的方程得
xA
2 3
······························6
分
所以点 A 的坐标为 ( 2 , 2 6 ) ，代入抛物线 D : y2 2 px 得 p 2 ·························7 分 33
因为 4 表示甲或乙前三局胜 2 局，第 4 局获胜
所以 P(
4)
C32
(
2 3
)2
1 3
2 3
C32
(1)2 3 Nhomakorabea2 3
所以由余弦定理得： cos C a2 b2 c2 1 2ab 2
因为 0 C
所以 C ································································································7 分 3
2
2
22
所以 a 2 ， b 3 所以椭圆 C 的标准方程为 x2 y2 1 ······························································5 分
43 因为 A, B 为抛物线 D 与椭圆 C 的交点，| AB | 4 6
所以数列{an}的公比 q
a2 a1
2
·····································································2 分
因为
S4
a1(1 24 ) 1 2
15a1
15
，所以
a1
1
····················································4
所以 y0 y1 y2 4 ··················································································13 分 所以点W 必在定直线 y 4 上 ·······································································14 分
由题意知，平面 DAB 的法向量 n1 (0, 0,1) ··········10 分
设平面 PAB 的法向量 n2 (x, y, z)
因为 PA (2, 2, 2 2) ， AB (2,0,0)
A
D
由
n2
PA
0
，得
2
x
2
y
2
2z 0 ，
B
n2 AB 0 2x 0
（2）过 D 作 DN // AC ，与 BC 延长线交于点 N ，
z
以 D 为坐标原点，以 DC, DN, DP
P
为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系 D xyz ···············8 分
则 P(0, 0, 2 2) ， A(2, 2, 0) ， B(4, 2, 0) ············9 分
数学参考答案 第 1 页（共 5 页）
19．（本小题满分 14 分）
解：（1）因为 m // n ,
所以 (sin B sin C)(sin B sin C) sin A(sin B sin A) ····································3 分
所以 sin2 B sin2 C sin Asin B sin2 A 所以 sin2 A sin2 B sin2 C sin Asin B 由正弦定理得： a2 b2 c2 ab ···································································5 分
21．（本小题满分 14 分）
解：（1）由题知： F(1, 0), F(1, 0) 为椭圆 C 的两个焦点·····································1 分
由椭圆的定义知：
2a PF + PF (11)2 ( 3 0)2 (11)2 (3 0)2 5 3 4 ··············3 分
数学参考答案 第 2 页（共 5 页）
因为 PD 平面 ABCD ，所以 PD AC
因为 CD 平面 PCD ， PD 平面 PCD ， CD PD D
所以 AC 平面 PCD
因为 AC 平面平面 PAC
所以平面 PAC 平面 PCD ···········································································7 分
（2）因为 a cos B b cos A 3 c 3
所以由正弦定理得 sin Acos B sin B cos A 3 sin C ······································9 分 3
所以 sin( A B) 3 3 1 3 22
因为 0 A 2 ， 0 B 2 ，所以 2 A B 2
C x
N y
令 z 1，得 n2 (0, 2,1) ········································································13 分
所以 cos | n1 n2 | 3 | n1 || n2 | 3
故所求二面角 P AB D 的余弦值为 3 ······················································14 分 3
（3）由题知： 可能取值为 3, 4,5 ·································································8 分
因为 3 表示甲胜三局或乙胜三局，所以 P( 3) ( 2)3 (1)3 1 ···················9 分 3 33
所以 Tn
2 (1 2n ) 1 2
1 2
(1
1 2n
1 1
)
2n1
1 2n
3
···········································10
分
2
因为 Tn
33 2n
3 ，所以 2n1
1 2n
3
33 2n
3
所以 22n1 25 ， 故所求 n 的取值范围为： n 3(n N*) ··························································12 分