2019年上海高考数学试卷及答案

2019年上海高考数学试卷

一、填空题（每小题4分，满分56分） 1．函数1()2

f x x =

-的反函数为1

()f x -= . 2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = .

3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线

22

19

y x m -=的一个焦点，则m = . 4.不等式

1

3x x

+≤的解为 . 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示）

6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为 千米.

7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 8.函数sin cos 26y x x ππ⎛⎫⎛⎫

=+-

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

的最大值为 . 9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表：

x

1 2 3 ()P x ξ=

！

请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= .

10.行列式

(,,,{1,1,2})a b a b c d c d

∈-所有可能的值中，最大的是 .

11.在正三角行ABC 中，D 是BC 上的点.若AB =3，BD =1，则AB AD = . 12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到）.

13. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的

值域为[2,5]-，则()f x 在区间[10,10]-上的值域为 .

14.已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足()()11||2||20OQ OR --<，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足()()22||2||20OQ OR --<.依次下去，得到

12,,,,n P P P ，则0lim ||n n Q P →∞

= .

二、选择题（每小题5分，满分20分）

15. 若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

（A ）22

2a b ab +>. （B ）2a b ab +≥. （C ）

112a b ab

+>. （D ）2b a a b +≥. 16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） （A ）1ln

||

y x =. （B ）3y x =. （C ）||

2x y =. （D ）cos y x =. 17. 设12345,,,,A A A A A 是平面上给定的5个不同点，则使12345MA MA MA MA MA ++++

0=成立的点M 的个数为（ ）

（A ）0. （B ）1. （C ）5. （D ）10.

18.设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形的面积（1,2,

i =），则

{}n A 为等比数列的充要条件是（ ）

（A ）{}n a 是等比数列. （B ）1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等比数列. （C ）1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 均是等比数列.

（D ）1321,,

,,

n a a a -和242,,

,,

n a a a 均是等比数列，且公比相同.

三、解答题（本大题满分74分） 19．（本大题满分12分）

已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是

O 1

D 1

C 1

B 1

A 1

C

D

B

A

实数，求2z ．

20.（本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分8分）

已知函数()23x

x

f x a b =⋅+⋅，其中常数,a b 满足0a b ⋅≠ （1）若0a b ⋅>，判断函数()f x 的单调性；

（2）若0a b ⋅<，求(1)()f x f x +>时的x 的取值范围． 21. （本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分）

已知1111ABCD A B C D -是底面边长为1的正四棱柱，1O 为11A C 与11B D 的交点. （1）设1AB 与底面1111A B C D 所成角的大小为α，二面角

111A B D A --的大小为β.求证：tan 2tan βα=；

（2）若点C 到平面AB 1D 1的距离为

4

3

，求正四棱柱1111ABCD A B C D -的高.

22.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27n b n =+（*)n N ∈.将集合

{,*}{,*}n n x x a n N x x b n N =∈=∈中的元素从小到大依次排列，构成数列

123,,,

,,

n c c c c

（1）写出1234,,,c c c c ；

（2）求证：在数列{}n c 中，但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,

n a a a ；

（3）求数列{}n c 的通项公式.

23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）

已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段

l 的距离，记作(,)d P l

（1）求点(1,1)P 到线段:30(35)l x y x --=≤≤的距离(,)d P l ；

（2）设l 是长为2的线段，求点的集合{(,)1}D P d P l =≤所表示的图形面积；