高等渗流力学(2017年度)

C ( x, t )
C1 2
1
erf
2
x
D*t
对于：
erf 2 e 2 d
0
存在：
erf 0 2
切线方程
C C1
erf
0
1 2
1
x
D*t
得到混合带的半长为 L0 D*t 1.772 D*t
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
对于 v 0 ，无对流解存在流动相 vt ，因此0.5C1的点在 x vt 0
D
2C x2
V
C x
1
(1 )Sr a (1 bC)2
C t
这是一个二阶变系数非线性的偏微分方程，由于在右端的方括号中出现了 与状态变量C有关的项，因而求解是很困难的。例如可在v=0(无渗流速度)， D*=0(无扩散作用)和b=0(特定的吸附方程)等条件下才可能获得自模解。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
C/C=1
即
xC / C1 0.5,t vt
说明浓度点向前移动了 vt ，设此距离为L0.5
L0.5 0.5
0 L0
过渡带半长度与前沿距离之比:
L0.5
L0
x
L0 D*t D*
L0.5
vt
vt
经过一段时间后，即随t增大 ，扩散速度比对流速度越来越小。
对于室内实验，若减小扩散影响，需增大佩克列数 L*v / D*。
t x
x2
第一项表示的是某一流动单元中浓度的上升速度，称为累积项
第二项表示的由液体流动而带出的浓度的变化，称为对流项
右端相则是由扩散引起的浓度变化，称为扩散项
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
边界条件 通过变量替换:
C=C1 C=0 C(∞,t)=0
（x <0,t=0） （x>0,t=0） C（-∞,t）= C1
因此可以将其称为粘性耗散因子。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
0.467
d dt
D0 (1 0.375K11
I0 )
积分得混合带半长λ与时间之间的关系。
1.在两种流体混合的初期，此时λ比较小，因而方程右端第一项可以忽略，这样就 有短时间的近似解为：
(t) 1.343 D0K11I0t
2.而当λ充分大以后，右端第二项变得很小，因而可得到长时间的近似解为：
(t) 2.07 D0t
混合带长度在长时间以后受扩散影响变为主要的，粘度差的影响由于粘度梯 度的下降而不是主要影响因素。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
三、具有吸附作用的单相渗流问题
在浓度方程中应增加一项考虑吸附浓度增长速度的一项
在孔隙度为φ的单位体积岩石中，颗粒所占的体积为1-φ
而与此体积成比例的某一部分体积为吸附区Sr，则吸附区在单位体积岩石所 占的体积为(1-φ)Sr 在单位孔隙体积的岩石中，吸附剂所占的体积应为(1-φ)Sr/φ 区域内吸附剂的浓度为Cr，则吸附剂的含量应为(1-φ)Sr Cr /φ
t, x vt
得到:
C C v C
t
C C
x
带入基本方程
C
D*
2C
2
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
初始条件： 0 时，C=C1 ；而当 0 时， C=0
此方程的自模解为
C(
, )
C1 2
1
erf
2
D*
或者
C ( x, t )
C1 2
1 erf
x 2
Cr (t)
K1Cr*
1
exp
CK1
CK1 Cr*
K2
K2
t
C
在K2为零时，即吸附是不可逆的 ： Cr (t) 1 exp CK1t / Cr* Cr*
这一公式表明，当时间趋于无穷时，平衡吸附浓度等于极限吸附浓度 Cr* ，
也就是只有在无脱附时，吸附量才可能达到极限情况。
而在K2≠0时，在时间趋于无穷以后，可以得到平衡浓度
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
由扩散剂组成的长度为L的活性段塞在均质流体渗流过程中的运动问题。
初始时刻：扩散剂恒定的浓度C0 （-L<x<0） ，而在其他地方浓度为零
即：
C(x, 0) C0
C(x, 0) 0
（-L<x<0） （x<-L,x>0）
利用叠加原理求解,通过求解偏微分方程得到
C ( x, t )
认为在扩散作用很小时，可以忽略扩散作用，则方程式变为纯吸附方程：
V
C x
1
(1 )Sr a (1 bC)2
C t
这一方程类似于水驱油过程中的饱和度分布方程，它可以通过特征线法求解
此时等浓度点的移动速度等于：
dx dt
V
/
1
(1 )Sr a (1 bC)2
C t
说明，由于吸附作用的影响，等浓度点的移动速度小于流体的真实速度，
混合流体的粘度与原始流体粘度和以及浓度之间有经验关系式：
ln c C ln 1 (1 C) ln 2
1C
或者表达为
c 1 f (C) ,
f
(C)
2 1
混合带中的粘度梯度与浓度梯度关系：
C
x
C
C
C x
1
f
'(C)
C x
代入基本方程得到变粘度流体的一维扩散方程
C t
v
C x
D0 (1
1K1
I0 )
I0
(
2 1
)
ln
2 1
1 ( 2 )1C( ) (1 3 2 ) 2d 1
1
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
20
I0
10
0
1
10
100
2 / 1
I
0
(
2 1
)
随粘度比的增大(或注入剂粘度的下降)而增大，从而引起注入剂很快
地侵入或耗散于地层流体之中，引起在不利粘度比影响下的指进或舌进现象，
A
B
C
D
vx>0
第一节 物理化学渗流基本现象
扩散速度u可以由费克定律(Fick)表达 u D * C x
在考虑扩散和对流传质的情况下，一维渗流、某一组分的连续性方程
无因次化
Ci t
u Ci x
D
*
2Ci x2
0
tD
ut
/
L, xD
x/
L, CD
C C0 Cm C0
CD tD
CD xD
1 N pe
f
'(C)
C ) x
2C x2
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
进行坐标变换，即取新的自变量
x1 x vt ,
t1 t
得到
C C v C
t t1 x1
代入基本方程，得
C C x x1
和 2C 2C x2 x12
C t1
D0
1
1K1
f
'(C)
C x1
2C x12
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
D
2C x2
1
(1 )Sr a (1 bC)2
C t
假若一个新的扩散系数
Ds
D
/
1
(1 )Sr a (1 bC)2
C t
可见，Ds是一个随浓度而变的量，其值较通常的扩散系数D*小，而且浓 度越低，Ds的值越小，这说明不同浓度点的传播速度是不同的，而且低浓度点
高等渗流力学
黄世军 2017
第八章 物理化学渗流
第一节 物理化学渗流基本现象
一、多孔介质中的扩散现象 二、多孔介质中的吸附现象
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
一、一维理想扩散渗流方程及解 二、考虑粘度差的互溶液体的扩散理论 三、具有吸附作用的单相渗流问题
第三节 具有多组分溶质的水溶液驱油时的两相渗流问题
erf 2 e 2 d
0
A 1
t3
t2
t1
C/C1
C (t 3)
2L 0
在x>0处C(x,t)<0.5C1并趋近于零。
t3>t2>t2
0
评价不同时刻浓度剖面的分布:
-x
0
A'
x
在x=0处切线，以2L0表示为溶液中该组分混合带的长度。 此为近似方法，也有其他方法。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
Ca
C0 2
2erf
2
l
/2 D*T
x vt
x
在时间较短时 l 在时间较长时 l
2 D*t 2 D*t
由于 erf 1
Ca Cb 0.5Cc Cc C0
Ca
Cb
Cc
C0 2
2
2
l D*t
2
l
D*t
C0
C0
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
二、考虑粘度差的互溶液体的扩散理论
在往油层中注溶剂或混相时，驱替液和被驱替液将相互混合，从而形成一个 混合带，混合带中的粘度也发生变化。对于粘度不同的两种液体在地层中的扩散问 题没有准确解，但可以通过近似解进行研究。
1
C( 1) 1 C( 1) 0
而n是一个整数，对于不同的值对剖面的近似程度不一样。
例如若取n=0，则不难看出此时的浓度呈直线分布，这对于ζ值较小时是适用
的，对于较高的n值，可以描述接近于 1 处（即过渡带前后沿）的浓度变化。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
这样处理的结果就是把问题变为确定混合带半长λ随时间的变化关系。这一变
vt D*t
只存在扩散作用时，v=0:
C ( x, t )
C1 2
1
erf
2
x
D*t
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
C ( x, t )
C1 2
1
erf
2
x
D*t
0.5C1是一固定点：当x=0时，该点的浓 度在任何时刻均为0.5C1
在x<0处，C>0.5C1并趋近于1；
量应根据方程式本身来确定。为此对方程左右两端同乘以 2 的积分：
1 C 2 d
1 t
D0
1 1
2C
2
d
D0K11
1 f (C) C
1
2C
2
d
假如取n=1，将表达式C(ζ)代入上式并积分，最后可以得到表达λ随时间变化 的常微分方程 ：
其中：
0.467
d dt
D0 (1 0.375K11
初始时刻直线地层中:注入A的粘度 1，驱替流体B粘度为2，两种流体是可以
互溶的。注入剂浓度的分布：
C D 2C v C
t
x2 x
其中 D 是混合系数，在 1 2 时它一般地等于102 ~ 103 cm2/s。
对于粘度互异的流体，其混合系数是与粘度梯度有关的量，可表示为：
D
D0
(1
K1
c
x
)
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
这是由于方括号内的值总是大子1.0的缘故，使移动速度变小，出现驱替前沿稀
释的现象，或者说是渗流现象。对于不同的吸附剂其吸附能力不同，即其a和b
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值不一样，因此浓度剖面的变化各不相同，从而出现多组分流体在渗流过程中
的吸附色谱分离现象。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
假如渗流速度为零V=0，此时不存在对流传质作用，只有纯扩散和吸附存在：
2C xD2
0
uL
N pe D *
应用了渗流速度v、只有在它是常数时，方程式才是线性的并容易求解。在v不是 常数时，就很难用解析方法求解。
第一节 物理化学渗流基本现象
二、多孔介质中的吸附现象
当表面上的吸附浓度达到一定数值以后，吸附速度就逐渐变小，而当表面上 的组分浓度达到某一临界值以后，吸附速度就等于零。单一吸附现象吸附速度：
对时间求导数，就得到了孔隙中吸附量的增长速度，带吸附和扩散的双 重作用浓度方程就可写成下述形式：
D
2C x2
C x
C t
1
Sr
C r t
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
吸附浓度可以采用平衡吸附公式（即兰格缪尔公式）表示
a Cr 1 bC C
求导，得
dCr a 0 dC (1 bc)2
代入基本微分方程，得到带吸附和扩散作用的浓度方程：
Cr
1
aC bC
a K1Cr* / K2
b K1 / K2
此为真实平衡吸附浓度公式，又叫做兰格缪尔等温吸附线。
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
一、一维理想扩散渗流方程及解
在一维渗流情况下，带有扩散传质的渗流过程中，组分的连续性方程
C u v C t x x
考虑到Fick扩散定律
C v C D* 2C
一、多孔介质中油、水两相物化渗流的基本方程 二、油、水两相物化渗流方程的求解
第一节 物理化学渗流基本现象
一、多孔介质中的扩散现象
弥散的现象:渗流过程中，多种组分相互混合时，异组分物质在出现浓度差异 时，浓度变化并不是完全按照达西定律的现象。
在孔隙介质中的弥散理象由两种扩散现象构成： 一种是分子扩散：存在浓度梯度，导致依靠分子热运动扩散。 一种是对流扩散，又称为机械扩散：由于孔隙微观结构的不均匀性和其中的 流动本身带有非均匀性和分散性引起的
C0 2
erf
x l vt 2 D*t
erf
x 2
vt D*t
第二节 带吸附和扩散的渗流规律
C/C1
三个特殊点:
C
A 前沿点 xa vt
Ca
C0 2
erf
2
l
D*T
B B’
A
B 后沿点 xb vt l
A’
Cb
C0 2
erf
2
l
D*T
C 段塞中点 xc vt l / 2
dCr dt
K1
1
Cr Cr*
C
吸附过程是一个双方向的平衡过程，与脱附的动平衡过程，脱附的速度：
dCr dt
d
K2
Cr Cr*
总的吸附浓度随时问变化的关系式为：
dCr dt
K1
1
Cr Cr*
C
K
2
Cr Cr*
第一节 物理化学渗流基本现象
在当溶液浓度恒定为C，并且在初始时刻t=0时，Cr 0 ，则可获得此方程的解为 ：
为了求解这一非线性的偏微分方程，这里采用积分关系式方法，把浓度剖面取
为有限长，其半长为 ，而取 x / ，则方程式的解可取为：
C( ) 1 (n 1 3 ) 2n1
2(n 1)
半长 是一个随时间而增长的量，只需要确定出随时间的变化就能写出浓度在不
同时刻的分布。
满足所给边界条件
1