综合应用例题

合集下载

第六讲应用题综合

第六讲应用题综合（1）知识引导1、和差、年龄、盈亏、鸡兔、牛吃草等应用题的综合复习；2、比较算术与方程的方法。

例题1 乐乐老师桌上有一大叠作业本，其中162本不是一班的，143本不是二班的，一班和二班共有87本，那么二班的作业本共有多少本？练习1 牛牛和丁丁各有一盒玻璃球，一共有108粒。

牛牛给了丁丁10粒后，剩下的玻璃球比丁丁还多8粒。

原来丁丁有多少粒玻璃球？例题2 阿普比丁丁小3岁，今年他们的年龄和是乐乐老师年龄的一半；再过15年，他们的年龄和就等于乐乐老师的年龄。

今年阿普多少岁？练习2 今年田田9岁，妈妈33岁，那么再过多少年，田田的岁数是妈妈岁数的一半？例题3 有一些老师和学生，如果一个老师辅导2个学生，会剩下10个学生没有老师辅导；如果一个老师辅导3个学生，就会有2个老师没有学生可辅导。

一共有多少个学生？练习3 六年级一班的同学们去公园划船，如果每船坐4人，则有10人没有位置坐；如果每船坐6人，则多两只船。

六年级一班一共有多少名学生？例题4 一张试卷共有20道题，每人都有20分的初始分，每答对一题得4分，每答错一题倒扣1分。

牛牛答了全部题目，却还是20分。

他一共答对了几道题？练习4 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。

它一连几天一共采了112个松子，平均每天采14个。

这些天里有几天是雨天？例题5 某校入学考试，报考的学生中有三分之一被录取，被录取的平均分比录取分数线高6分，没被录取的学生的平均分比录取分数线低24分，所有考生的平均成绩是60，那么录取分数线是多少？练习5 牛牛其中考试考了四门功课，语文78分，科学83分，英语81分，数学比四科的平均分多7分，数学考了多少分？例题6 有一片牧场，草每天都在均匀地生长。

如果再牧场上放养18头牛，那么10天能把草吃完；如果放养24头牛，那么7天就把草吃完了。

（1）如果放养32头牛，多少天可以把草吃完？（2）要放养多少头牛，才能恰好14天把草吃完？练习6 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。

专项训练应用题(几倍多少几)

12.22专项训练：应用题（几倍多少几）姓名：方法与例题：1.综合应用：果园里有桃树140棵，梨树的棵数比桃树的3倍多30棵。

果园里有梨树多少棵？140×3＋30＝420＋30＝450（棵）答：果园里有梨树450棵。

方法：①明确数量关系：一倍数×几倍＝几倍数几倍数÷几倍＝一倍数几倍数÷一倍数＝几倍②应用基本习惯：（1）边读边划出有用的数据。

（2）圈出计算类关键词，（例如：比多、比少、一共、相差、各、每份、几倍等）（3）选用数量关系，列式计算。

★重要说明：根据圈划，“梨树的棵数比桃树的3倍多30棵”，知道梨树比桃树多，桃树140是一倍数，而梨树是几倍数，要求出来。

“3倍”是倍数，但是实际上比3倍还多，多了30棵。

因此，要从3倍数的基础上“＋30”。

选用数量关系：一倍数×几倍＝几倍数。

列式计算：140×3。

再140×3＋30。

2.综合应用：小区进行绿化改造，种了56棵柳树，种的松树比柳树的3倍少13棵，松树栽种了多少棵？56×3—13＝168—13＝155（棵）答：松树栽种了155棵。

方法：①明确数量关系：一倍数×几倍＝几倍数几倍数÷几倍＝一倍数几倍数÷一倍数＝几倍②应用基本习惯：（1）边读边划出有用的数据。

（2）圈出计算类关键词，（例如：比多、比少、一共、相差、各、每份、几倍等）（3）选用数量关系，列式计算。

★重要说明：根据圈划，“松树比柳树的3倍少13棵”，知道松树比柳树多，柳树56是一倍数，而松树是几倍数，要求出来。

“3倍”是倍数，但是3倍实际上不完整，缺了13。

因此，要从3倍数的基础上“—13”。

选用数量关系：一倍数×几倍＝几倍数。

列式计算：56×3。

再56×3—13。

应用题（几倍多少几）练习题6道：★要求：①先熟读上面方法与例题，尤其是重要说明。

②仿照练习，保持习惯。

7.5不等式的综合应用(教师版)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 7.5不等式的综合应用【典型例题】一、简单线性规划的实际应用：例1、（2012 四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A.1800元B.2400元C.2800元D.3100元*2122120,0,x y x y x y x y N+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩，最大利润为max 300400,430044002800z x y z =+=⨯+⨯=.变式训练：（2012 江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（）A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50501.20.9540,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，最大收入为40.5560.3 1.20.90.9z x y x y x y =⨯+⨯--=+，则z 在区间(30,20)处取最大值.二、基本不等式的简单应用：例2、某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.假定当天所买饲料当天用不需要保管与其他费用.（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%），问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？（1）设该厂应隔*()x x N ∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y .由于饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036⨯=元，故x 天饲料的保管与其他费用总共是：26(1)6(2)...633x x x x -+-++=-元所以21300(33300)200 1.83357417y x x x x x=-++⨯=++≥ 当且仅当3003,10x x x ==即时取等号（2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔*(25,)x x x N ≥∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为z ，则：2*1300(33300)200 1.80.853303,(25,)z x x x x x N x x=-++⨯⨯=++≥∈ 由于23003z x'=-+，故当25x ≥时，0z '>，即函数z 在[25,)+∞为增函数. 故当25x =时，z 有最小值min 390417z =<故该厂可以接受此优惠条件变式训练：某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31k x m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m （万元）的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？（1）当0m =时，1x =，故2k =；所以231x m =-+；而每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯元因此81616[1.5](816)[(1)]29,(0)1x y x x m m m x m +=⨯-++=-+++≥+ （2）16[(1)]2921629211y m m =-+++≤-+=+，当且仅当16(1),31m m m =+=+即万元时取等号.【课后反思】。

专项训练应用题(每平方米和每几平方米)

12.29专项训练：应用题（每平方米和每几平方米）姓名：方法与例题：1.综合应用：种植基地有块地是一个长20米、宽15米的长方形。

如果机器在每平方米的地里种了20棵青菜，这块地一共种了多少棵青菜？20×15×20＝300×20＝6000（棵）答：这块地一共种了6000棵青菜方法：①运用长正方形面积公式，求出面积。

（长方形面积＝长×宽；正方形面积＝边长×边长）②每平方米用×；每几平方米用÷。

★重要说明：运用长正方形面积公式，求出面积。

长方形面积＝长×宽：20×15。

题目中，“每平方米”用×。

求出“20×15”平方米，每平方米20棵青菜，说明一共有“20×15”个20棵青菜。

最终算式：20×15×20。

2.综合应用：种植基地有块地是一个长20米、宽15米的长方形。

如果机器在每5平方米的地里放了1个自动记录生长装置，这块地一共放了多少个装置？20×15÷5＝300÷5＝60（个）答：这块地一共放了60个装置。

方法：①运用长正方形面积公式，求出面积。

（长方形面积＝长×宽；正方形面积＝边长×边长）②每平方米用×；每几平方米用÷。

★重要说明：运用长正方形面积公式，求出面积。

长方形面积＝长×宽：20×15。

题目中，“每5平方米”用÷。

求出“20×15”平方米，每5平方米放1个装置，说明要知道“20×15”里可以平均分成多少个5，或有多少个5。

因此作除法。

最终算式：20×15÷5。

3.综合应用：（提高）种植基地有块地是一个长20米、宽15米的长方形。

如果机器在每5平方米的地里放了4个自动洒水装置，这块地一共放了多少个装置？20×15÷5×4＝300÷5×4＝60×4＝240（个）答：这块地一共放了240个装置。

一次函数综合应用(习题及答案)

一次函数综合应用（习题及答案）一次函数综合应用（习题）➢例题示范例1：一次函数y=kx+b 的图象经过点A(0，3)，且与正比例函数y=-x 的图象相交于点B，点B 的横坐标为-1，求一次函数的表达式．思路分析：从完整的表达式入手，由正比例函数过点B，可得B 点坐标，然后由一次函数y=kx+b 的图象经过点A，B，待定系数法求解．解：∵点B 在正比例函数y=-x 的图象上，且点B 的横坐标为-1∴B(-1，1)将A(0，3)，B(-1，1)代入y=kx+b，得⎧ b = 3⎨-k +b = 1⎧k = 2⎩b 3∴一次函数的表达式为y=2x+3．➢巩固练习1.已知一次函数y=2x+a 和y=-x+b 的图象都经过点A(-2，0)，且与y轴分别交于点B，C，则△ABC 的面积为．2.已知直线y=kx+b 和直线y =-1x + 3 与y 轴的交点相同，且经2过点(2，-1)，则这个一次函数的表达式是．3.已知一次函数y=kx-3 经过点M，则此直线与x轴、y 轴围成的三角形的面积为．4.5.如图，直线y=2x+3 与直线y=-2x-1 相交于C 点，并且与y 轴分别交于A，B 两点．（1）求两直线与y 轴交点A，B 的坐标及交点 C 的坐标；（2）求△ABC 的面积．6.一次函数y=2x-3 的图象与y 轴交于点A，另一个一次函数图象与y 轴交于点B，两条直线交于点C，C 点的纵坐标为1，且S =5，求另一条直线的解析式．△ABC7.已知一次函数y=kx+b 的图象经过点(0，10)，且与正比例函数y 1x 的图象相交于点(4，a)．2（1）求一次函数y=kx+b 的解析式；（2）求这两个函数图象与y 轴所围成的三角形的面积．8.如图，直线y=kx+4 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，已知点A的坐标为(-3，0)，点 C 的坐标为(-2，0)．（1）求k 的值；（2）若P 是直线y=kx+4 上的一个动点，当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为3？请说明理由．【参考答案】➢ 巩固练习1. 62. y =-2x +33. 944. 4 或-45. 26. y = x + 2或y =﹣x + 27. （1）A (12，0)，B (0，6)，C (4，4) （2）248. （1）A (0，3) B (0，-1) C (-1，1)；（2）29. y = - 1 x + 2 或 y = 9 x - 82 210. （1） y = -2x +10 （2）2011. （1） k = 4 ；（2） ⎛ - 3 ，3⎫，⎛ - 21 ，- 3⎫3 ⎝4 ⎪ ⎭ ⎝ 4 ⎪ ⎭。

不等关系综合应用(习题及答案)

6. 已知 a，b 为实数，关于 x 的不等式组的解集在数轴上的表示
如图所示，则这个不等式组可能是（）
ax 1 A． bx 1
ax 1 B． bx 1
C．
ax bx
1 1
D．
ax bx
1 1
4
7. 若 a b 2 ，且 1 5a 3b ≤ 3a ，则 b 的取值范围是_____ _________________．【思路分析】 ①方程与不等式组合，考虑___________________． ②根据目标“求 b 的取值范围”，把方程 a b 2 变形得， ___________________，代入不等式组得，_________________，解得，___________________．
2x a ≥ 0 4. 若关于 x 的不等式组 3 x 1 只有 2 个整数解，则 a 的取值
范围是___________．
【思路分析】
①解不等式组得，
____________ ____________
②确定大致范围
因为不等式组只有 2 个整数解，所以利用数轴确定大致范围．
画数轴：
由数轴可得__________________， ∴a 的大致范围是__________． ③验证端点值当_____________，即 a ____ 时，________________；当_____________，即 a ____ 时，________________．综上，a 的取值范围是____________________．
3
3
1
巩固练习
x 1< m
1.
若关于
x
的不等式组
x
≥
2m

高中数学例题：直线方程的综合应用

高中数学例题：直线方程的综合应用例6．已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （－5，0），B （3，－3），C （0，2），分别求BC 边上的高和中线所在的直线方程．【答案】3x －5y+15=0 x+13y+5=0【解析】 BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，由点斜式得方程；利用中点坐标公式得BC 的中点坐标，由两点式得BC 边上的中线所在的直线方程．设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴1BC AD k k ⋅=-，∴23103AD k +⋅=--，解得35AD k =， ∴BC 边上的高所在的直线方程是30(5)5y x -=+，即3x －5y+15=0．设BC 的中点是M ，则31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴BC 边上的中线所在直线方程是05130522y x -+=--+，即x+13y+5=0． ∴BC 边上的高所在的直线方程是3x －5y+15=0，BC 边上的中线所在的直线方程为x+13y+5=0．【点评】求直线的方程的关键是选择适当的直线方程的形式．本题根据已知求BC 边上的高所在的直线方程时，依据相互垂直直线的斜率关系，选择了直线方程的点斜式；求BC 边上的中线所在的直线方程时，依据中点坐标公式，选择了直线方程的两点式．举一反三：【变式1】下列四个命题中真命题是( )（A ）经过定点P 0(x 0,y 0)的直线都可以用方程y-y 0＝k(x-x 0)表示；（B ）经过任意两个不同点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y-y 1)(x 2-x 1)＝(x-x 1)(y 2-y 1)表示；（C ）不经过原点的直线都可以用方程a x +by ＝1表示；（D ）经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx+b 表示.【答案】（B ）【变式2】已知倾斜角为45°的直线l 过点A （1，－2）和点B ，B在第一象限，||AB =，求点B 的坐标．【答案】（4，1）【解析】设B 点坐标为(),(0,0)x y x y >>，直线l 的方程为：21y x +=-，因为B 在直线l上，且||AB =，所以3y x =-⎧=，解之得：4x =或2x =-（舍去），所以B 点坐标为（4，1）。

完全平方公式的综合应用习题及答案

完全平方公式的综合应用（习题）➢ 例题示范例1：已知12x x -=，求221x x +，441x x +的值．【思路分析】① 观察题目特征（已知两数之差与两数之积11x x⋅=，所求为两数的平方与），判断此类题目为“知二求二”问题；② “x ”即为公式中的a ，“1x”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ⎛⎫+=-+⋅ ⎪⎝⎭； ③ 将12x x -=，11x x⋅=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x⎛⎫+=+-⋅ ⎪⎝⎭，将所求的221x x +的值及2211x x ⋅=代入即可求解．【过程书写】例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________．【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=．根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-．➢ 巩固练习1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____．2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a+的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________．（2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________．6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______．7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值．➢ 思考小结1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题：若x 满足(210)(200)204x x --=-，试求22(210)(200)x x -+-的值．解：设210-x =a ，x -200=b ，则ab =-204，且(210)(200)10a b x x +=-+-=，由222()2a b a ab b +=++得，即22(210)(200)x x -+-的值为508．根据以上材料，请解答下题：若x 满足22(2015)(2013)4032x x -+-=，则(2015)(2013)x x --=______．【参考答案】➢ 例题示范例1．解：12x x -=∵例2：1-3 ➢ 巩固练习1. 913 2. 517 3. 7 474. ±6 ±245. 5 24x - -4 8x -8x 4x6. 87. 4a =时取得最小值，最小值为-2 8. 最小值为3➢ 思考小结1. 不相等，相差2()4a b -2. 2 014。

完全平方公式的综合应用(习题及答案)

完全平方公式的综合应用(习题) 例题示范例1:已知x = 2，求x2 ^2，x4•丄的值.x x x【思路分析】观察题目特征(已知两数之差和两数之积1x 1，所求为两数的平方和)，x判断此类题目为“知二求二”问题；1“x”即为公式中的a，“ - ”即为公式中的b,根据他们之间的关系可得:x2 1x —x1将X-— =2,x 2 2x 丄；xi 1 )=X —x1x - =1代入求解即可;x同理，X4•［二x2x4I即可求解.【过程书写】-2x2•丄，将所求的X2•厶的值及x2 x例2: 若x2 -2x + y2 +6y +10 =0，贝U x= _____ ，y= _______ .【思路分析】此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”.观察等式左边，x2 -2x以及y2 6y均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到(x-1)2• (y • 3)2 = 0 . 根据平方的非负性可知：(x -1)2 =0且(y 3)^0，从而得到x=1，厂-3 .巩固练习1.若(a—2b)2=5，ab =1，则a2+4b2 =________ ，(a + 2b)2= ____ .2.已知x • y =3，xy =2，求x2 y2，x4 y4的值.1 13. 已知a2 -3a •仁0，求a2•盲,a^ —的值.a a4. (1)若x2+mxy + 9y2是完全平方式，则m= _________ .(2)若9x2-kxy+16y2是完全平方式，则k= __________ .5. 多项式4x2 4加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上的单项式共有_______ ，分别是____________2 2 a6. 若a +4b -6a-4b+10 = 0 ,贝U b = _________ .7. 当a为何值时，a2 -8a 14取得最小值，最小值为多少？8. 求x2 4y^4x 4y 8 的最值.思考小结1. 两个整数a，b (a z b)的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？2. 阅读理解题: 若x 满足(210 _x)(x_200) =一204，试求(210 _x)2 (x — 200)2的值. 解：设210-x=a, x-200=b,则ab=- 204,且 a b = (210 _x) (x 一200) =10 ,由(a b)2 = a2 2ab b2得，a2 b2 =(a b)2 -2ab = 102 -2 (-204) =508 ,即(210 -x)2 (x-200)2的值为508.根据以上材料，请解答下题：若x满足(2015 -x)2 (2 013-x)2=4032,贝U (2 015 - x)(2 013 —x) = ____ .【参考答案】例题示范1例 1 .解：•/ x 2x --x丿=4 224 2X 2X 2 =34 1.913 2. 517 3. 747 4. ±i24 5. 52 -4x -4 8x -8x 6. 8 例2: 1 巩固练习 x 4 7. a =4时取得最小值，最小值为-28. 最小值为3思考小结1. (a -b)2 -3=36= 36-222. 2 0144。

机械能守恒定律的综合应用经典例题

机械能守恒定律的综合应用例1、如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；⑵ B 球能上升的最大高度h ；⑶开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。

222321221322⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得118gL v = ⑵B 球不可能到达O 的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA 竖直位置向左偏了α角。

2mg ∙2L cos α=3mg ∙L （1+sin α），此式可化简为4cos α-3sin α=3，解得sin （53°-α）=sin37°，α=16°⑶B 球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G 。

设OA 从开始转过θ角时B 球速度最大，()223212221v m v m ⋅⋅+⋅⋅=2mg ∙2L sin θ-3mg ∙L （1-cos θ） =mgL （4sin θ+3cos θ-3）≤2mg ∙L ，解得114gL v m =例2、如图所示，半径为R 的光滑半圆上有两个小球B A 、，质量分别为M m 和，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A 升至最高点C 时B A 、两球的速度？解析：A 球沿半圆弧运动，绳长不变，B A 、两球通过的路程相等，A 上升的高度为R h =；B 球下降的高度为242R R H ππ==；对于系统，由机械能守恒定律得：K P E E ∆=∆- ；2)(212v m M mgR R Mg E P +=+-=∆∴π m M mgR RMg v c +-=∴2π例3、如图所示，均匀铁链长为L ，平放在距离地面高为L 2的光滑水平面上，其长度的51悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？解：选取地面为零势能面：2212)102(51254mv L mg L L mg L mg +=-+ 得：gL v 7451=v 1⑴ ⑵⑶例4、如图所示，粗细均匀的U 形管内装有总长为4L 的水。

静电场综合应用典型例题

静电场综合应用典型例题1.在xOy 平面内，有沿y 轴负方向的匀强电场，场强大小为E (图中未画出)，由A 点斜射出一质量为m ，带电荷量为+q 的粒子，B 和C 是粒子运动轨迹上的两点，如图所示，其中l 0为常数。

粒子所受重力忽略不计。

求：(1)粒子从A 到C 过程中电场力对它做的功； (2)粒子从A 到C 过程所经历的时间； (3)粒子经过C 点时的速率。

解析：（1）03)(qEl y y qE W C A AC =-=（2）根据抛体运动的特点，粒子在x 轴方向做匀速直线运动，由对称性可知轨迹最高点D 在y 轴上，设T t t DB AD =，则T t BC = 由ma qE =得mqE a =又202)2(213,21T a l y aT y D D =+=解得：qEml T 02=则C A →过程中所经历的时间qEml t 023= （3）粒子在DC 段做类平抛运动，于是有T a v T v l Cy Cx 2,220⋅=⋅=则mqEl v v v Cy Cx C 217022=+= 2.在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以O 为圆心，半径为R 的圆，AB 为圆的直径，如图所示。

质量为m ，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。

已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率穿出电场，AC 与AB 的夹角θ=60°。

运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小；（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？解析：（1)初速度为零的粒子，由C 点射出电场，故电场方向与AC 平行，A 指向C 。

由几何关系和电场强度的定义知R AC = ①qE F = ②由动能定理有2021mv AC F =⋅ ③联立①②③式得qRmvE 220= ④（2）如下图，由几何关系知BC AC ⊥，故电场中的等势线与BC 平行。

完全平方公式综合应用

完全平方公式综合应用完全平方公式是数学中的一种常用方法，用于求解一元二次方程的解。

它的具体形式为：若二次方程ax²+bx+c=0中的常数项c是一个完全平方数，即c=m²，那么方程的解可以表示为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。

通过应用完全平方公式，我们可以解决各种与二次方程相关的问题，比如求解方程的实数解、求解方程的整数解、使用完全平方公式完成平方运算等等。

下面我们将分析和解决几个关于完全平方公式的综合应用题。

1.求解一元二次方程的实数解例题：解方程x²-5x+6=0。

解：根据给定的方程，我们可以看出方程的一元二次项系数a=1，一元一次项系数b=-5，常数项c=6、根据完全平方公式的公式，我们可以代入这些系数进行计算。

首先，计算判别式D=b²-4ac。

D=(-5)²-4(1)(6)=25-24=1然后，计算方程的根，并对根进行判断。

x₁=[-(-5)+√(1)]/(2*1)=(5+1)/2=6/2=3x₂=[-(-5)-√(1)]/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2由此可知，方程x²-5x+6=0的实数解为x=3和x=22.求解一元二次方程的整数解例题：解方程x²-7x+12=0，并求出所有满足此方程的整数解。

解：根据给定的方程，我们可知常数项c=12、我们要找到所有满足方程的整数解，即通过求解方程得到的根是整数。

根据完全平方公式的应用，我们仍然计算判别式D=b²-4ac。

D=(-7)²-4(1)(12)=49-48=1由于判别式D为一个完全平方数，即D=1=1²。

我们可以看出，方程的根取决于下面的等式：x=[-(-7)±1]/(2*1)=(7±1)/2=8/2=4或6/2=4或3因此，方程x²-7x+12=0的整数解为x=4和x=33.完全平方公式的平方运算例题：求解下面的完全平方：(x+3)²=x²+6x+9解：我们可以利用完全平方公式对方程进行平方运算。

动量和能量的综合应用例题精选

动量和能量的综合应用例题精选例题1：如图，质量为3m 、长度为L 的木块放于光滑水平面上，质量为m 的子弹以初速度v 0水平向右射入木块，穿出木块时速度变为0.4v 0 ，设木块对子弹的阻力始终保持不变，求：（1）子弹穿出木块后，木块的速度大小；（2）子弹穿出木块中所受平均阻力大小。

解：（1）子弹与木块组成的系统动量守恒，有mv 0=0.4mv 0+3mv ,则子弹穿出后木块的速度为v=0.2v 0 ；（2）子弹穿越木块的过程中，设木块的位移为s , 则据动能定理对子弹有：-f(s+L)= 12m(0.4v 0)2－12mv 02 对木块有： fs=123mv 2 联立解得：f=9mv 20/(25L)变式训练1：如图所示，质量为M 的木块固定在水平面上，有一质量为m 的子弹以初速度v 1水平射向木块，并恰能射穿，设木块的厚度及木块对子弹的平均阻力恒定. 试问若木块可以在光滑的水平面上自由滑动，子弹要射穿该木块速度至少应为多少？【解析】若木块在光滑水平面上能自由滑动，设子弹以速度v 0射入恰好打穿木块，那么子弹穿出木块时(子弹看为质点)，子弹和木块具有相同的速度，把此时的速度记为v ，把子弹和木块当做一个系统，在它们作用前后系统的动量守恒，即 mv 0＝(m ＋M )v设木块对子弹阻力为f, 木块厚度为d ,对系统应用能量守恒得fd ＝12mv 02－12(M ＋m )v 2由上面两式消去v 可得fd ＝12mv 02－12(m ＋M )(mv 0m ＋M)2 整理得12mv 20＝m ＋M Mfd -----------------① 据题目条件，在木板固定时对子弹列动能定理有 -fd= - 12mv 12 ………………②联立① ② 可得v 0v 1例题2：如图甲质量m B ＝1 kg 的平板小车B 在光滑水平面上以v1＝1 m/s 的速度向左匀速运动．当t ＝0时，质量m A ＝2 kg 的小铁块A 以v 2＝2 m/s 的速度水平向右滑上小车，A 与小车间的动摩擦因数为μ＝0.2.若A 最终没有滑出小车，取水平向右为正方向，g ＝10 m/s 2，则：1)A 在小车上停止运动时，小车的速度为多大？(2)小车的长度至少为多少？(3)在图乙所示的坐标纸中画出1.5 s 内的小车B 运动的速度—时间图象．解：因p A ＝m A v 2＞p B ＝m B v 1，所以系统的总动量水平向右，即A 在车上停止运动时，它们必定以共同速度向右运动．此过程中A 的运动方向不变，做减速运动，而B 是先向左做匀减速运动而后再向右做匀加速运动，最后与A 达到共同速度．(1)A 在小车上停止运动时，A 、B 以共同速度运动，设其速度为v ，取水平向右为正方向，由动量守恒定律得 m A v 2－m B v 1＝(m A ＋m B )v解得：v ＝1 m/s.(2)设小车的最小长度为L ，由功能关系得μmAgL ＝12m A v 22+12m B v 12-12(m A ＋m B )v 2 解得：L ＝0.75 m.(3)设小车匀变速运动的时间为t ，由动量定理得μmAgt ＝mB (v ＋v 1)解得：t ＝0.5 s故小车的速度—时间图象如右图所示．答案：(1)1 m/s (2)0.75 m (3)见解析图变式训练2：如图所示，一质量m 2＝0.20 kg 的平顶小车，车顶右端放一质量m 3＝0.25 kg 的小物体，小物体可视为质点，与车顶之间的动摩擦因数μ＝0.4，小车静止在光滑的水平轨道上.现有一质量m 1＝0.05 kg 的子弹以水平速度v 0＝12 3 m/s 射中小车左端，并留在车中.子弹与车相互作用时间很短.若使小物体不从车顶上滑落，g 取10 m/s 2.求：(1)小车的最小长度应为多少？最后小物体与小车的共同速度为多少？(2)小物体在小车上相对小车滑行的时间.【解析】(1)子弹进入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得 m 1v 0＝(m 2＋m 1)v 1 ①由三物体组成的系统动量守恒得(m 2＋m 1)v 1＝(m 2＋m 1＋m 3)v 2 ②设小车最小长度为L ，三物体相对静止后，对系统利用能量守恒定律得12(m 2＋m 1)v 21－12(m 2＋m 1＋m 3)v 22＝μm 3gL ③联立以上方程解得L ＝0.9 m车与物体的共同速度为 v 2＝2.1 m/s(或1.2 3 m/s)(2)以m 3为研究对象，利用动量定理得：μm 3gt ＝m 3v 2 ④解得t ＝0.52 s(或0.3 3 s)例题3：如图所示，一轻质弹簧两端连着物体A 和物体B ，放在光滑的水平面上，水平速度为v 0的子弹射中物体A 并嵌在其中(作用时间极短)，已知物体B 的质量为m B ，物体A 的质量是物体B的质量的34，子弹的质量是物体B 的质量的14，求（1）弹簧被压缩至最短时的弹性势能；（2） B 物体的最大速度。

初二数学一次函数与综合应用(含答案)

一次函数与综合应用例题精讲一、一次函数的应用【例1】小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）B．15分钟C．25分钟D．27分钟【答案】B【例2】有一个装有进、出水管的容器，单位时间内进、出的水量都是一定的，已知容器的容积为600升，又知单开进水管10分钟可把空容器注满，若同时打开进、出水管，20分钟可把满容器的水放完。

现已知水池内有水200升，先打开进水管5分钟，再打开出水管，两管同时开放直至把容器的水放完。

则能正确反映这一过程中容器的水量Q（升）随时间t(分钟)变化的图象是（）【答案】B【例3】甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①他们都行驶了18千米；②甲在途中停留了0.5小时；③乙比甲晚出发0.5小时；④相遇后，甲的速度小于乙的速度；⑤甲、乙两人同时到达目的地。

其中符合图象描述的说法有（）A.2个B.3个C.4个 D.5个Array(小时)【答案】C【例4】某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复。

已知机器运行需运行185分钟才能将这批工件加工完。

如图是油箱中油量y (升)与机器运行时间x (分)之间的函数图象。

根据图象回答下列问题：⑴求在第一个加工过程中，油箱中油量y (升)与机器运行时间x (分)之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)⑵机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止？ ⑶加工完这批工件，机器耗油多少升？【答案】⑴110y x =-+⑵100分钟 ⑶175升【例5】东风商场文具部的某种毛笔每枝售价25元，书法练习本每本售价5元，该商场为促销制定了两种优惠办法．甲：买一枝毛笔就赠送一本书法练习本．乙：按购买金额打九折付款．某校欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10枝，书法练习本(10)x x ≥本．⑴写出每种优惠办法实际的金额y 甲（元），y 乙（元）与x （本）之间的函数关系式； ⑵比较购买同样多的书法练习本时，按哪种优惠办法付款更省钱；⑶如果商场允许可以任意选择一种优惠办法购买，也可以同时选两种优惠办法购买，请你就购买这种毛笔10枝和书法练习本60本设计一种最省钱的购买方案．【答案】⑴25105(10)5200(10)y x x x =⨯+-=+≥甲，(25105)90% 4.5225(0)y x x x =⨯+⨯=+≥乙；⑵当购买50本书法练习本时，两种优惠办法的实际付款一样，即可任选一种办法付款；当购买本数在10～50本之间，选择的优惠办法甲付款更省钱；当购买本数大于50本时，选择优惠办法乙付款更省钱．⑶选用优惠办法甲购买10枝毛笔和10本书法练习本，再用优惠办法乙购买50本书法练习本的方案最省钱．【例6】一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题：⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式；⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—平安保险费）【答案】⑴由图象可知：当010x ≤≤时，设y 关于x 的函数解析100y kx =-，∵(10,400)在100y kx =-上，∴40010100k =-，解得50k = ∴50100y x =-，100(50100)s x x =--），∴50100s x =+ ⑵当1020x <≤时，设y 关于x 的函数解析式为y mx b =+， ∵(10,350)，(20,850)在y mx b =+上， 1035020580m b m b +=⎧⎨+=⎩，解得50150m b =⎧⎨=-⎩∴50150y x =-，∴()100501505050100s x x s x ∴=---∴=+ ∴()()50100010501501020x x y x x ⎧-⎪=⎨-<⎪⎩≤≤≤令360y =当010x ≤≤时，50100360x -= 解得9.2x = 50100509.2100560s x =+=⨯+=当1020x <≤时，50150360x -=解得10.2x = 501005010.2100610s x =+=⨯+=．要使这次表演会获得36000元的毛利润．要售出920张或1020张门票，相应支付的成本费用分别为56000元或61000元．二、一次函数与几何综合【例7】如图所示，已知正比例函数y x =和3y x =，过点()20A ，作x 轴的垂线，与这两个正比例函数的图象分别交与B C ，两点，求三角形OBC 的面积（其中O 【答案】由题意，∵20A （，），AC x ⊥轴 ∴将2x =分别代入3y x y x ==、得，()()2226B C ，，，∴624BC =-=∴1142422OBC S BC OA ∆=⋅⋅=⨯⨯=【例8】如图,直线6y kx =+与x 轴y 轴分别相交于点E F 、. 点E 的坐标为 8, 0-（）, 点A 的坐标为()60-，. 点,P x y （）是第二象限内的直线上的一个动点。

糖水柯西综合应用例题

糖水柯西综合应用例题
一、爷爷有百分之十六的糖水50克。

1、要把它稀释成百分之十的糖水，需加水多少克？
2、若要把它变成百分之三十的糖水，需加糖多少克？
解：1、需要加水多少克？
50乘百分之十六除百分之十减50等于30（克）
2、需要加糖多少克？
50乘（1减百分之十六）除（1减百分之三十）减50等于10（克）答：1、需要加水30克。

2、需要加糖10克。

二、我们把百分之五十的盐水1千克与百分之二十的盐水4千克混合，求混合后溶液浓度？
求出第一份溶液中溶质(即食盐)质量，百分之五十乘1等于0点5千克；
第二份溶液中溶质质量，百分之二十乘4等于0点8千克；
则总溶质质量为0点5加0点8等于1点3千克；
总溶液质量为1加4等于5千克。

于是，混合后溶液的浓度为：等于百分之二十六。

三、有含糖量为百分之七的糖水600克，要使其含糖量加大到百分之十，需要再加入多少克糖？
解析：根据题意，在百分之七的糖水中加糖就改变了原来糖水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。

因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来
糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。

原来糖水中水的质量：600乘（1减百分之七）等于558（克）现在糖水的质量：558除（1减百分之十）等于620（克）
加入糖的质量：620减600等于20（克）
答：需要加入20克糖。

排列组合综合问题

例题3：本不同的书全部分给3个人例题：将4本不同的书全部分给个人，本不同的书全部分给个人，且每人至少一本，有多少种分法？且每人至少一本，有多少种分法？
练习：将7本不同的书分给个人，本不同的书分给5个人练习：本不同的书分给个人，且每人至少一本，每人至少一本，有多少种不同的分法？分法？
封信投入到5个信箱中将5封信投入到个信箱中封信投入到（1）有多少种不同的投信方法？）有多少种不同的投信方法？（2）每个信箱投一封信，有多少种投信方法？）每个信箱投一封信，有多少种投信方法？个信箱，（3）投入其中个信箱，有多少种投信方法？）投入其中4个信箱有多少种投信方法？
小结：对于排列组合的综合问题，小结：对于排列组合的综合问题，一般原则是先选后排
练习：练习：从0，1，2，…，9这十个数字，，，，这十个数字中取出3个奇数和个奇数和2个偶数组成没有重复中取出个奇数和个偶数组成没有重复数字的五位数，共有多少个？数字的五位数，共有多少个？
例题2：本不同的书，例题：有6本不同的书，分给甲、乙、丙三个人本不同的书分给甲、（1）甲得本，乙得本，丙得本，有多少种不）甲得1本乙得2本丙得3本同的分法？同的分法？（2）一人得本，一人得本，一人得本；）一人得1本一人得2本一人得3本（3）每人得2本；）每人得本（4）若平均分成堆，每堆本；）若平均分成3堆每堆2本（5）若分成堆，一堆本，一堆本，一堆本；）若分成3堆一堆1本一堆2本一堆3本
排列组合的综合应用
例题1：个男生，个女生个女生，例题：有6个男生，4个女生，从中个男生选出5人去完成人去完成5项不同的任务选出人去完成项不同的任务个男生，个女生个女生，（1）要求个男生，2个女生，有多）要求3个男生少种不同的分配方法？少种不同的分配方法？（2）要求甲指定完成某项任务；）要求甲指定完成某项任务；（3）要求男生必须多于女生：）要求男生必须多于女生：

分数、百分数应用题综合

分数、百分数应用题综合例题1：甲、乙两个人分别有许多苹果,如果甲买了5个苹果,则此时甲、乙两人的苹果数之比是7:8;如果甲买了9个苹果,乙丢了4个苹果,此时甲乙两人的苹果数之比是3:2,那么两人原来分别有多少个苹果?练习1：小高、小思两个人分别有许多积分,如果小高又得了3分,则此时两人的积分之比是23;如果小高得了8分,小思丢了5分,此时两人的积分之比是3:4,那么两人原来分别有多少积分例题2：甲、乙两个班的同学人数相等,且各有一些同学参加了课外数学小组，乙班未参加人数是甲班未参加人的活动.其中甲班参加人数是乙班参加人数的25。

请问:甲班未参加人数是乙班参加人数的几分之几?数的15练习2甲、乙两人有相同数目的水果,水果有梨和苹果两种,甲的梨和乙的苹果数目之比为4:3,甲的苹果和乙的梨数目之比为6:7,那么甲的苹果数和乙的苹果数之比是多少?例题3：有三个最简真分数,其分子的比为3:2:4,分母的比为5:9:15.将这三，那么这三个分数的分母相加是多少?个分数相加,再经过约分后为2845练习3：有三个真分数其中第一个是最简真分数),其分子的比为3:4:5,分比为，那么这三个分数的分母相加是多4:9:18.将这三个分数相加,再经过约分后为5372少?例4：某工厂有A,B,C,D,E 五个车间,人数各不相等.由于工作需要,把B 车间工人的12,调入A 车间,C 车间工人的13调入B 车间,D 车间工人的14调入C 车间,E 车间工人的16调入D 车间.现在五个车间都是30人.原来每个车间各有多少人?练习4五指山上有甲,乙,丙,丁四队妖怪,妖怪数各不相等.为了均衡势力,把乙队妖怪的13调入甲队,丙队妖怪的15调入乙队,丁队妖怪的17调入丙队.现在四支队伍都是48人.原来每个队伍各有多少妖怪?挑战难题甲、乙、丙三人玩赢卡片的游戏,他们手中一共有156张卡片.第一轮,甲赢了乙、丙每人手中卡片的15;第二轮,乙赢了甲、丙每人上轮结束时手中卡片的14,最后一轮,丙赢了甲、乙每人上轮结束时手中卡片的14,最后甲、乙手中的卡片数之比是2:3,那么结束时丙手中有多少张卡片?。