第三章一元微积分实验

合集下载

一元微积分及微分方程讲义

r'ay=!(x+.i+~)+~(!~ x)+C;(!~-.i),
4 2 2
7
!1P
1 1 1 1 1 ' C)r +(-+-C +-C)x' Y =(-- C)x+(1 2 4 4 42122
7'l Y +J:rX)Y' + 0x)y= f(x) i¥JilRftW.
[ff 3] itilltf(x),g(x)1$=M'lf,., Jl/(x) =f(x) + g(x),
•••
_
M
.i + Cx ".
y,
'.JCD4t- p
JJ!IJy' = p', mxp' = p, tip = dx; lnp= Inx+ In~, :. p
p
X
~x,
my=.i, ~p ./(x) =.i.
®xy-y
.i,
1 p-dt- S -p-dty--y=x, y=e x [ xe x dx+CJ
,ttl 2JttYt (X)'Y2 (X)'Y3 (X)'Y4 (x) ~~~~~.~fj.y" + p(x)y + ~x)y= ./(x) fJ
1l9-+IJ,
!l})(x)=x, Y2(X)=.i, Y3(X)+Y4(X)=~' JlII..I:.J!fJ"~
1 4 1 1 1 1 1 14 42122 1 1 1 1 ~)x+(-- C;).i +(-+ ~ + C;)~ 3 3 2 2

一元函数积分学及其应用实验总结与反思

一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学是微积分的重要分支，它研究的是函数的积分、面积、弧长等概念和性质。

通过对函数的积分，我们可以得到函数的原函数，进一步求解曲线下的面积、曲线的弧长等问题，同时也可应用于物理、经济、工程等领域的实际问题中。

在进行一元函数积分学及其应用的实验过程中，我获得了以下总结和反思：
1. 实验准备要充分：在进行实验之前，我需要对相关的理论知识进行复习和准备，确保自己对一元函数积分学的基本概念和方法有清晰的理解。

同时，还需要准备好实验所需的材料和工具，确保实验可以顺利进行。

2. 实验过程要仔细：在进行实验过程中，我需要认真观察和记录实验现象，遵循实验操作规范，确保数据的准确性和可靠性。

同时，还需要注意实验环境的安全，避免实验过程中出现意外情况。

3. 实验结果要进行分析和总结：在实验结束后，我需要对实验结果进行仔细的分析和总结，找出规律和问题。

如果实验结果与理论知识不符，我需要思考可能的原因，并尝试解决问题。

同时，还可以通过实验结果对理论知识进行验证，加深对知识的理解。

4. 实验中的创新思维：在进行一元函数积分学及其应用的实验中，我也可以尝试一些创新思维，比如探索新的实验方法、设计新的实验方案等。

通过创新思维，我可以更好地理解和应用一元函数积分学的知识，提高自己的实践能力。

总的来说，一元函数积分学及其应用的实验是提高自己对知识理解和应用能力的重要途径。

通过认真准备、仔细实施和精确分析，我可以更好地掌握一元函数积分学的知识，并将其应用于实际问题中。

同时，也可以培养自己的创新思维和实践能力。

一元微积分学习报告之微分中值定理

一元微积分学习报告——微分中值定理的学习体会系别：计算机科学系班级：2010级软工（2）班学号：201096064077姓名：张琦微积分学是微分学和积分学的总称。

微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。

积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。

微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念. 从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。

已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。

一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。

微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。

微积分是建立在实数、函数和极限的基础上的。

微积分最重要的思想就是用"微元"与"无限逼近",好像一个事物始终在变化你不好研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就可以认为是常量处理,最终加起来就行。

无穷级数是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。

在我个人看来，高数中所研究的这些问题，都是将日常中难以直接计算的一些问题，细小化用以细致划分每个小问题，以另一种思路解决问题。

微分中值定理是微分学中最重要的基本定理之一是沟通函数与导数之间的桥梁函数在一点的导数往往只反映函数在这点近旁的性质即导数是局部性质而研究工作又常常要用函数全局性质要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质经常利用微分中值定理来达到这个目的。

微分中值定理有许多形式我们只有深刻理解它才能灵活应用。

常用的微分中值定理主要有罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

数学实验1-3章习题答案

>> x=1.5951;eval(yxx)
ans =
18.3287
函数的单调区间为：
(1)单调递增区间:-2<x<-1.5326 -0.7315<x<0以及1.5951<x<2;
(2)单调递减区间：-1.5326<x<-0.7315以及0<x<1.5951.
(2)
函数的图形为：
clear
>> fplot('3*x^5-20*x^3+10',[-3,3])
ans =
-3
最值2：
x=1:0.1:3;
>> y=3.*x.^5-20.*x.^3+10;
>> [m k]=max(y)
m =
199
k =
21
>> x(k)
ans =
3
驻点1及相应的二阶导数值：
clear
>> syms x y
>> y=3*x^5-20*x^3+10;
>> yxx=diff(y,x,2);
>> grid on
f=inline('100*acos(1-1/200*(r^2))+r^2*acos(1/20*r)-10*sqrt(r^2-1/400*r^4)-50*pi','r');
>> y=fzero(f,12)
y =
11.5873
3.求解下列非线性方程组在远点附近的根：
clear
>> syms x y z
>> [x y z]=solve('9*x^2+36*y^2+4*z^2-36','x^2-2*y^2-20*z','16*x-x^3-2*y^2-16*z^2',x,y,z)

21-一元积分应用

(3) 所求面积
A
4 A1
4 a| 0
12a 2
y|
2 0
dx4
0
(3a
2
sin
4
t
cos
2
2
(1 sin2 t) sin4 t d t
t)
3 8
dt
a2.
例5 求由摆线 x a(t sin t), y a(1 cos t) 的第一拱
(0 t 2 ) 与横轴 x 所围成的平面图形的面积.
y
xa Oa
xb x x x b x
dA
任取 [x, x x] [a, b] , 则微分元素(面积元素)为
d A | f (x) g(x) | d x
于是, 所求面积为
A b | f (x) g(x) | d x a
求由连续曲线 y f (x), y g(x) 及 x a, x b 所围成的平面图形的面积的计算公式为
在物理、几何以及工程实际中, 当把非均匀变化的问题
看作是均匀变化时, 能表示为某两个量的乘积达形式, 则通
常可将问题归结为定积分问题来处理 . 运用定积分处理问题时要求量 A 具有对区间的可加性.
按照定积分的概念, 采用 “分割 — 近似 — 求和— 取极限”
的步骤将整体问题化成局部问题, 利用整体上变化的量在局
部上近似于不变的辩证关系, 在局部上以“不变”代替“变”,
n
n
便有关系式 A Ai f (i )xi i [xi1, xi ].
i 1
i 1
为简便和醒目起见, 略去下标 i , 将具有代表性的第i 个
小区间 [xi1, xi ] 表示为 [x, x d x] , 称之为典型小区间, 且取

经济数学一一元微积分教学设计

经济数学一一元微积分教学设计前言经济学是一门非常重要的学科，而微积分更是经济学中必不可少的一部分。

本文将就如何设计一堂经济数学一一元微积分课程进行讨论。

教学目标经过学习本课程，学生应该能够：1.了解微积分的基本概念与方法；2.理解微积分的应用场景，如经济学中的边际效应等；3.能够运用微积分的方法进行经济学问题的求解。

教学内容第一部分：微积分基础1.微积分的基本概念，如导数、微分、积分等；2.常见微积分公式的推导与运用；3.隐函数求导等高阶微积分概念的引入。

第二部分：微积分在经济学中的应用1.边际效应的概念与解析；2.经济学中优化问题的微积分求解；3.积分在经济学中的应用，如消费者剩余等。

教学方法1.讲授式教学：通过PPT等多媒体工具讲解相关微积分概念及其应用；2.课堂练习：针对每个小节的内容提供相关的练习，以帮助学生掌握所学知识；3.实例分析：通过实际经济问题进行分析，引导学生进行思考与求解。

教学评估方式1.课堂测试：在每个小节学习内容后进行测试，以便及时纠正学生的理解问题；2.课后作业：针对每个小节的内容布置相关的作业，确保学生对本节内容进行掌握；3.期末考试：考察学生对整个学期内容的掌握程度。

教学资源1.课堂教学PPT；2.经济学相关案例资源；3.智能互动平台。

教学安排第一周1.微积分的基本概念；2.导数的求法及其应用。

第二周1.微积分的基本定理；2.隐函数求导的方法。

第三周1.边际效应的概念及其解析；2.优化问题的微积分求解。

第四周1.积分的概念及其性质；2.消费者剩余的应用。

结语本教学设计通过讲授微积分基础、微积分在经济学中的应用、实例分析等方式，旨在帮助学生快速掌握微积分概念及其在经济学中的应用。

同时，通过课堂测试、课后作业、期末考试等方式进行教学评估，以确保学生掌握本课程中的重点内容。

04【实验三】--一元微积分2

【实验三】一元微积分【实验目的】通过实验，学习和掌握在Mathematica 系统下，观察、分析和计算一元函数的极限、导数，以及求一元函数极值的基本方法.【实验准备】一、观察函数的变化趋势观察函数的变化趋势可以采用下列两种方法： 1.当∞→x 时：首先在某一较小的区间内作出函数的图形，然后再逐次加大区间的范围，作出动画图形，观察函数的变化趋势.2.当0x x →时：在某一点附近取一小区间，作出函数在该区间上的图形，然后逐次缩小区间的范围，观察函数在该点的变化趋势.例1 观察函数x x x f sin 1)(2=，当∞→x 时的变化趋势. 解先取一个较小的区间，如[1，30]，作出函数在这一区间上的图形In[1]:= Plot1x 2Sin x ,x,1,30,AxesLabel x,yGraphics发现在区间[1，30]上函数逐渐趋近于0.下面逐次加大区间的范围，进行观察：分别取区间为[1，40]、…[1，100]…作出函数的图形 In[2]:= Plot1x 2Sin x ,x,1,40,AxesLabelx,yOut[2]:= Graphics………………In[3]:= Plot1x 2Sin x ,x,1,100,AxesLabel x,yGraphics………………从以上所作图形进行观察，得到结论：当∞→x 时，函数的极限趋向于0.制作函数x xx f sin 1)(2=在区间[1，100]内变化的动画图形，观察该函数的变化趋势.In[1]:= i 3;While i20,Plot1x 2Sin x ,x,1,5i ,PlotRange1,100,0.008,0.004;i输入以上程序后，执行运算可得一系列函数图形，选中包含所有图形的线框，即可播放动画图形.例2 观察函数xx x f 1)1()(+=，当0→x 时的变化趋势解取0x In[1]:= Plot 1x1x ,x,1,1,AxesLabelx,yOut[1]:= Graphics然后再取[-0.1，0.1]，[-0.01，0.01]，[-0.001，0.001]，分别在这些小区间上作出In[2]:= Plot 1x1x ,x,0.1,0.1,AxesLabelx,yOut[2]:= GraphicsIn[3]:= Plot 1x1x ,x,0.01,0.01,AxesLabelx,yOut[3]:= GraphicsIn[4]:= Plot 1x1x ,x,0.001,0.001,AxesLabelx,yOut[4]:= Graphics此时，图形已集中在纵坐标上的2.718与2.7185之间，如此继续下去，可以得出此范围会逐渐缩小至点2.71828…，因而得到e x xx =+→10)1(lim二、极限的计算例3 计算下列极限： (1)xxx 5sin 3sin lim0→；(2)在区间[-4，4]上作出函数x e y =的图形，并求x x e -→0lim 与x x e +→0lim . 解 (1)In[1]:= (2)In[2]:= Plotx,x,4,4,AxesLabelx,y ,PlotRange 0,10Out[2]:= ?Graphics ? In[3]:= Limit @Exp @x D ,x ?0,Direction ?-1DOut[3]:= 1In[4]:= Limit @Exp @x D,x ?0,Direction ?1DOut[4]:= 12.调用外部函数求极限求一个较复杂函数的极限，无法使用内部函数Lim it 求解，这就需要调用外部函数进行求解，具体步骤如下：(1)加载函数库``Limit Calculus <<； (2)运用Lim it 命令求极限.例4 求])11([lim 2n n n ne +-∞→解 In[1]:= <<Calculus`Limit` In[2]:= Limit @H 1+1?n L ^H n ^2L ?Exp @n D ,n ??D希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！Out[2]:=三、观察函数在某一点的变化率作出函数24)(x x x f +=在点5.10=x 处的割线向切线变化的动画图形. In[1]:= f x_:x^4x^2;x0 1.5;In[2]:= For i 1,i 200,i1.2,h 1i; Plot f x ,f 1.5f ' 1.5x 1.5,f 1.5f 1.5h f 1.5h x 1.5,x,1,3, AspectRatio 1,PlotRange1,3,0,60, PlotStyleRGBColor 1,0,1,RGBColor 0,1,0, RGBColor 1,0,0说明：(1)定义函数和给定的横坐标0x ；(2)函数)(x f 在点))(,(00x f x 的割线方程为)()()()(0000x x hx f h x f x f y --++=；切线方程是))(()(00/0x x x f x f y -+=.(3)播放动画，观察到当0→h 时，割线的极限即为函数在点0x 的切线. 四、导数与微分的计算 1.求函数)(x f y =的导数例5 求下列函数的导数 (1)5)1(x y -=，求/y ；(2) x e y x cos =，求//y 及)2(//πy ；(3)x x y )1(+=，求/y . 解 (1) In[1]:= D@H 1-x L ^5,xDOut[1]:= -5H 1-xL 4(2) In[2]:= u =D @e ^x *Cos @x D ,8x ,2<DOut[2]:= -e x Cos @x D +e x Cos @x D Log @eD 2-2e x Log @e D Sin @x DIn[3]:=? Out[3]:= -2e p ?2Log @e DIn[4]:=D1x ^x,xOut[4]:=H L J 2.计算参数方程所确定的导数对由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x 确定的函数)(x f y =的导数dtdxdt dy dx dy /=例 6 设)(x f y =是由参数方程πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0,sin 2cos 2y x 所确定的函数，求dx dy 及1|=x dx dy的值.解 In[1]:=u =pD @8s =D @2Sin @q D ,q D ,r =D @2 Cos @q D ,q D <,s ?r DOut[1]:=pD 2Cos,2Sin,CotIn[2]:=u .Out[3]:=pD1,3,13.计算函数)(x f y =的微分例7 求函数x y 2sin 3=的微分.解 In[1]:=Dt Sin 2x ^3Out[1]:=6Cos 2x Dt x Sin 2x 24.计算由隐函数所确定的导数对隐函数方程0),(=y x F 所确定的导数)(x y y =，Mathematica 虽然没有提供隐函数的命令，但是我们可以通过下列方法完成计算过程：(1)定义函数，(2)求微分，(3)解方程.例8 已知122=+y x ，求/x y . 解 (1)In[1]:=fx^2y^21…………………定义函数Out[1]:=x 2y 21(2)In[2]:=dfDt f,x…………………………求微分Out[2]:=2x 2y Dt y,x0 (3)In[3]:=Solve df,Dt y,x ………………解方程Out[3]:=Dt y,xxy五、导数的应用——计算函数)(x f y =的极小值和极大值在Mathematica 系统中用m FindM inim u 命令求函数的极小值，格式如下：说明：1.在求函数极值时，首先要作出函数在某一区间的图形，通过图形观察函数在区间的不同区域内的大致极值点，然后用m FindM inim u 命令以这些点作为初始条件搜索函数在这一区间内的极值.2.Mathematica 没有提供m FindMaxim u 命令，如果想求出极大值，先将函数乘以1-，再用m FindM inim u 命令求出的极小值乘以1-得到极大值.例9 求函数x x ex f x +=-3sin 6)(42在]4,4[-内的极值.解首先定义函数)(x f ： In[1]:=f x_:6Expx 24Sin 3xx ;In[2]:=Plot f x ,x,4,4,AxesLabelx,yOut[2]:= ?Graphics ? 由于函数)(x f 有多个区域的极小值，因此改变初始值能求得函数在不同区域的极小值.下面利用m FindM inim u 命令求极小值，通过图形观察到初始值分别为82.-,50.-,51.-,3-. In[3]:=FindMinimum f x ,x,0.5Out[3]:=6.1282,x 0.514795在514795.0-=x 处有极小值 –6.1282In[4]:=FindMinimum f x ,x,1.8Out[4]:=1.86866,x1.46049在46049.1=x 处有极小值 –1.86866In[5]:=FindMinimum f x ,x,3 Out[5]:=3.70903,x2.57313在57313.2-=x 处有极小值 –3.70903 下面，求函数的极大值In[6]:=FindMinimum f x ,x,0.5Out[6]:=6.1282,x0.514795在514796.0=x 处有极大值 6.1282 In[7]:=FindMinimumf x ,x,2.5Out[7]:=3.70903,x2.57313在57313.2=x 处有极大值 3.70903 In[8]:=FindMinimum f x ,x, 1.5Out[8]:=1.86866,x1.46049在46049.1-=x 处有极大值 1.86866 六、积分的计算在Mathematica 系统中用Integrate 函数或用模板中的积分运算符号进行积分的计算，其例10 计算下列积分 (1)⎰dx xe x 2； (2)dx e x ⎰4； (3)⎰+∞∞-+21xdx .希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！解(1) In[1]:= Integrate x Exp x^2,x 或 In[1]:=?x *e x 2?xOut[1]:=x 22Out[1]:=x 22(2) In[2]:= Integrate Exp x ,x,0,4或 ?Out[2]:= 222或Out[2]:= 222(3) ?Out[3]:= p例11 计算下列积分的数值解 1.⎰+∞-0dx xe x； 2.dx xx⎰10sin . 解 In[1]:= NIntegrate x Expx ,x,0,Out[1]:= 1. In[2]:= NIntegrate Sin xx,x,0,1七、积分的应用——求函数曲线围成的面积问题例12 求以心脏线t t r cos 44)(+=的内部与圆6=r 的外部围成的面积. 解 (1)定义函数In[1]:= r1t_:44Cos t In[2]:= r2t_:6 (2)在同一坐标系下作出函数图形In[3]:= Graphics`Graphics`In[4]:= PolarPlot 44Cos t ,6,t,0,2,AxesLabelx,y ,PlotStyleRGBColor 1,0,0,RGBColor 0,0,1Graphics(3)求出交点坐标 In[5]:= Solve r1t r2t ,tOut[5]:=t3,t3(4)计算面积In[6]:= Integrate 12r1t2r2t2,t,3,3Out[6]:= 123638【实验问题】 1.连续利率的问题：若在银行开设了一个0a 元的存款帐户，银行每年会支付%r 的利息，则n 年后，存款总额0221)1()1()1(a r a r a r a n n n n +==+=+=-- .(1)若银行每月结算一次利息，每月利率为12r，n 年后的本息是多少？ (2)银行每天结算一次利息，每天利率为365r，n 年后的本息是多少？ (3)若银行每小时、每分钟、每秒钟，……结算一次利息呢？ (4)一般地，设银行每年结算m 次利息，每个结算周期的利率为mr，n 年后的本息之和为多少？当m 趋于无穷大时，结算周期变为无穷小，这意味着，银行连续不断地向顾客支付利息，这种存款方式称为连续复利结算.下面探讨在连续复利情况下，试计算n 年后的存款总额.设r 为年利率，银行每年结算m 次利息，每个结算周期的利率为mr，n 年后的存款总额为mn n mr a m b )1()(0+=. 以1元存款，年利率为%10，在10年后的存款总额为例. 首先定义a01;r0.10;n10b m_,n_,r_:a01r m ^m n①每年结算一次（1=m ） b 1,n,r 2.59374②每月结算一次)12(=mb 12,n,r 2.70704③每天结算一次（365=m ） b 365,n,r 2.71791④每小时结算一次（24365⨯=m ） b 36524,n,r 2.71827⑤每秒结算一次（360024365⨯⨯=m ）b 365243600,n,r 2.71828从计算结果可以看出，随着计算结果的增加，1元存款10年后的存款总额越来越接近e .由计算可知：1.01010)1.01()1.01()(mm mm m b +=+=当m 趋近于无穷大时e m m b mm m =+=∞→∞→1.010)1.01(lim )(lim一般地rn rnr mm mn m n m e a mr a m r a m b 000)1(lim )1(lim )(lim =+=+=∞→∞→∞→结论：连续结算方式下的n 年后存款额计算公式 rn n e a b 0=.2.除雪机除雪模型：有条10km 长的公路，由一台除雪机负责除雪.每当路面雪的平均厚度达到0.5m 时，除雪机开始工作.但是雪仍在下，路面雪的厚度在不断增加，除雪机的前进速度不会降低.当雪的厚度达到1.5m 时，除雪机将无法工作.问除雪机能否将整条公路的积雪清除？当然，这与降雪的速度有关，以下在一些合理的假设下进行讨论和计算.已知：在无雪的路面上除雪机的行驶速度为10m/s ；雪下了1小时，雪最大时路面积雪的厚度以0.1cm/s 的速度增加，前半小时雪越下越大，后半小时雪越下越小.假设：除雪机的速度v 随雪的厚度h 线性变化，利用已知条件可得)321(10h v -=.而h 是时间t 的函数，设前半小时)(t h '匀速增加而后半小时匀速减少，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤='--36001800),18002(1018000,180010)(33t t t tt h （单位： m/s ）再积分得到ds s h t h t)()(0⎰'=注意：)(t h 也是分段函数. 下面利用Mathematica 计算先将分段函数合写成一个式子 In[1]:= h10.001s 1800UnitStep s UnitStep s 18002s 1800UnitStep s 1800UnitStep s3600;注：1h 是)(s h '，对它求定积分得到雪的厚度)(t h .In[2]:= h =?th1 ?s;In[3]:= v =10 H 1-2h ?3L ; In[4]:= h?.t ?1800 Out[4]:= 0.9 当s t 1800=时，雪的厚度是0.9m.In[5]:= h?.t ?3600 Out[5]:= 1.8 当s t 3600=时，雪的厚度是1.8m.除雪机从雪的厚度是0.5m 开始工作，直到雪的厚度是1.5m 时停止，以下求出它开始和停止的工作时间，再积分得到它前进的距离.In[6]:= FullSimplify @h ,t <1800DOut[6]:= 2.77778?10-7t 2In[7]:= Solve @%==0.5,tD希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！Out[7]:= 8t ?-1341.64<,8t ?1341.64<In[8]:= t0=t?.%@2D Out[8]:= 1341.64In[9]:= FullSimplify @h ,t >1800DOut[9]:= 2.77778?10-7H -6145.58+t L H -1054.42+t L In[10]:= Solve @%? 1.5,t DOut[10]:= 8t ?2560.77<,8t ?4639.23<In[11]:= t1=t?.%@1D Out[11]:= 2560.77 In[12]:=?t1v ?tOut[12]:= 3859.94说明：由于函数)(t h 是分段的，解方程的函数Solve 对它无能为力，只好分段求解. In[6]是通过有条件的化简，成功地得到当1800<t 时)(t h 的表达式.接下来，使用Solve函数求除雪机开始工作的时刻0t ，并从解集中提取出合理的答案.同样再得到除雪机停止工作的时刻1t ，最后In[12]求除雪机前进的距离，Out[12]表明除雪机只能清除大约4km 的积雪.【实验任务】一、计算下列极限 1. x x x 11lim0-+→；2.xx x x sin 2cos 1lim 0-→； 3.x x x 1)21(lim +→.二、求下列函数的导数及高阶导数 1.x x x y 2log 3lg 2ln +-=，求/y ； 2.x x y =，求/y ； 3.x x y 2sin 2=,求)10(y .三、已知)(x f y =由下列参数方程确定，求/y .希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！1.⎩⎨⎧=-=tt y t t x cos )sin 1(；2.⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x tt cos sin ，在2π=t 处. 四、已知)(x f y =由下列隐函数确定，求/y . 1.)(y x e xy +=； 2.y xe y -=1.五、求函数x x x y ln cos 2=在区间[1，20]内的极值. 六、计算下列积分 1.dx xx⎰2cos sin ；2.⎰ππ-222cos tdt ；3.dx x⎰+∞141.七、计算由曲线θ=cos 3r 及θ+=cos 1r 所围成图形的公共部分的面积.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

第三章多元微积分实验修改后

D的边界曲线为：In[7]： =ParametricPlot[{1+Cos[s],Sin[s]},{s,0,2Pi},As pectRatioAutomatic,TextStyle {FontSize12},AxesLabel{“x”,“y”}]
y 1
0.5
0.5
1
1.5
2
x
0.5
1
2、多元函数的无条件极值与条件极值
方法一：先找出所有可疑极值点，再对每
个可疑点进行甄别，保证所有极值点都找到。
方法二：先作图观察极值点的大致位置，
再调用求极小值命令FindMinimum求出极小值点和极小值，如要求极大值点和极大值，可将函数乘以-1，再对新的函数调用 FindMinimum求出极小值点和极小值，则这个极小值点就是原来函数的极大值点，该极小值的相反数就是原来函数的极大值.
下面计算每个可能极值点处的函数值，进行比较，从而得出最大值和最小值 In[12]：=f[x,y]/· sol Out[12]={ 1 , 1 , e , e }
1/ 4 1/ 4
e1 / 4 e1 / 4
故最大值
最小值
f (
1
2 2 2
,
1
) f{
1 2
,
1 2 2
} e
1 4
1 4
216 Out [3] 35
即得所求的积分值为216/35
例2 求在抛物面 z x y下方，xOy平面上方，圆柱面 x 2 y 2 内部的立体体积。 2x 解 (1)绘图
2 2
In[4]:=P=ParametricPlot3D[{r*Cos[t],r*Sin[t], r^2},{r,0,2},{t,0,2Pi}, TextStyle{FontSize12}]

《高等数学D》教学大纲

高等数学D（Advanced Mathematics D）（80学时）一、简要说明本大纲适用于植物保护、农学、林学等专业。

共80学时，4.5学分，属必修课程。

二、课程的性质、地位与任务高等数学课程是高等学校大农林类、经管类各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。

通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、常微分方程、多元函数微积分学，等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、建模能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

三、教学基本要求和方法本门课程的内容按教学要求的不同，分为两个层次。

较高层次的内容必须使学生深入理解，牢固掌握，熟练应用。

其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。

较低层次的内容也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。

其中概念、理论用“了解”一词表述，方法、运算用“会”或“了解”表述。

四、课程考核方式本课程采用出勤、平时作业和期末考试相结合的方式，满分为100分。

期末考试成绩占考核成绩的60％~70%；出勤、平时作业占考核成绩的30%~40％。

五、授课教材和主要参考书目（一）授课教材阙树福．全国高等农林院校“十一五”《高等数学》．北京．中国农业出版社，2008．（二）主要参考书1．同济大学数学系．高等数学（第六版）．北京：高等教育出版社，20062．上海交通大学与集美大学．高等数学－及其教学软件．北京：科学出版社，20023．王凯捷．高等数学（I）．北京：高等教育出版社，20024．姜永．21世纪高等农林院校基础课规划教材《高等数学·农学类》．厦门：厦门大学出版社，2008．六、教学内容与学时分配（一）理论教学内容第一章函数、极限、连续（14学时）第一节函数一、函数的概念二、函数的性质三、反函数四、复合函数五、基本初等函数和初等函数第二节数列的极限一、问题的提出二、数列的极限第三节函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于有限值时函数的极限三、函数极限的性质第四节无穷小量和无穷大量一、无穷小量二、无穷大量第五节极限的运算法则两个重要极限一、极限的运算法则二、两个重要极限第六节无穷小的比较第七节函数的连续性一、函数连续的概念二、函数的间断点第八节连续函数的运算一、连续函数的四则运算二、反函数的连续性三、复合函数的连续性四、初等函数的连续性第九节闭区间上连续函数的性质第二章导数与微分（20学时）第一节导数的概念一、引例二、导数的定义三、用导数的定义求导数四、导数的几何意义五、函数的可导性与连续性之间的关系第二节求导法则一、函数和、差、积、商的求导法则二、复合函数的求导法则三、反函数的导数四、高阶导数五、隐函数的导数六、由参数方程所确定的函数的导数第三节函数的微分一、微分的概念二、微分的基本公式及运算法则三、微分的应用第四节中值定理一、罗尔（Rolle ）定理二、拉格朗日（Lagrange ）中值定理第五节洛必达法则一、00型和∞∞型未定式的极限二、其他类型未定式的极限第六节函数的单调性与极值一、函数单调性及其判别法二、函数的极值三、最大值与最小值第七节曲线的凹凸性及函数图形的描绘一、曲线的凹凸性和拐点二、曲线的渐近线第三章一元函数积分学（18学时）第一节不定积分的概念及其性质一、原函数和不定积分的概念二、不定积分的基本性质三、基本积分公式第二节定积分的概念和性质一、两个引例二、定积分的定义三、定积分的几何意义四、定积分的性质第三节微积分基本公式一、积分上限的函数及其导数二、牛顿—莱布尼兹公式第四节换元积分法一、第一类换元法二、第二类换元法三、定积分的换元法第五节分部积分法一、不定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法第六节广义积分一、无限区间上的广义积分二、有无穷间断点的广义积分第七节定积分的应用一、定积分的元素法二、定积分在几何上的应用（平面图形的面积与旋转体的体积）第六章多元函数微积分学（16学时）第一节多元函数一、区域二、多元函数的概念四、多元函数的连续性第二节偏导数与全微分一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分第三节多元复合函数与隐函数的求导法一、多元复合函数的求导法二、隐函数的求导法第四节多元函数的极值一、多元函数的极值概念及求法二、多元函数的最大值与最小值的应用三、条件极值拉格朗日乘数法第五节二重积分的概念和性质一、二重积分的概念二、二重积分的性质第六节二重积分的计算一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分第四章微分方程（4学时）第一节微分方程的基本概念第二节一阶微分方程一、可分离变量的一阶微分方程二、一阶齐次微分方程第三节一阶线性微分方程习题课与总复习课（8学时）（二）实验教学内容编写人：信息与机电工程系钱晓涛助教。

一元微积分

一元微积分微积分是数学中最重要的分支之一，它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学、金融学等领域。

在微积分中，学生学习如何利用极限、导数、积分等概念来解决许多与连续变量相关的问题。

本篇文章将重点介绍一元微积分的基本概念和应用。

一、导数导数是微积分中最基础的概念之一。

在数学中，导数可以理解为函数在某点处的斜率。

更准确地说，函数f(x)在点x_0处的导数定义为：f'(x_0) = lim_(h->0) [f(x_0 + h) - f(x_0)] / h.其中，"lim"是取极限的符号，"h"是一个趋近于零的数，表示x_0点向左或向右的距离。

当h足够小的时候，我们可以近似地认为f(x_0+h)和f(x_0)之间的差值和f'(x_0)之间的比率相等。

这个比率称为斜率，它在概念上等于函数f(x)在x_0处的导数。

导数有许多有用的性质，其中最常见的是导数的求导法则。

其中包括：常数法则、幂法则、求和法则和乘积法则。

这些规则使得求导变得更加容易和直观化。

二、微分微分是导数的一种表达方式。

函数f(x)的微分df(x)定义为：df(x) = f'(x) dx,其中dx是一个无穷小的微小量，它表示x轴上的一个非常小的增量。

微分可以用来求解函数的局部变化和线性逼近等问题。

三、积分积分是微积分中的另一个核心概念。

在数学中，积分可以看作是导数的反运算。

给定一条导数，我们可以通过积分来求出原函数。

也就是说，积分可以通过对导数反复求积来追溯函数的起源。

积分的符号表示为∫，读作“积分”。

它的基本形式为：∫f(x)dx，其中f(x)是被积函数，dx表示积分变量。

函数f(x)的积分可以看作是将函数曲线下面的面积求和。

这个面积可以通过求和近似，也可以通过解析方法解决。

四、微积分的应用微积分是一门广泛应用的数学科目。

它可以用来解决许多与连续变量相关的问题。

以下是微积分的一些常见应用：1. 切线和曲率微积分可以用来计算给定点上曲线的切线和曲率。

一元微积分的编程实现

2.2实验2 一元微积分的编程实现【实验目的与要求】实验目的：熟悉用Mathematic进行一元微积分计算的编程方法。

先修内容：第一篇计算机数学第1章极限与连续和第2章微分与积分。

实验要求：掌握数学表达式的正确书写格式；熟悉Mathematic有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。

【实验原理】Mathematic的基本语法、数学表达式的正确书写格式；有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。

【实验步骤】2.2.1实验内容1 极限Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有表2.2.1种的一些命令。

表2.2.1极限的主要命令及说明Limit[expr,x →x0,Direction →-1] 当x 趋向于x0时求expr 的右极限Infinity 无穷大趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞ 。

注意Mathemica 没有区分∞和+∞，求x →∞时的极限要小心。

下面就具体操作几个运行极限的Mathemica 程序。

1．求632lim 2-+∞→x x x利用Limit[expr,x → Infinity]命令，计算∞→x lim expr ；再将表达式expr 转化成 6322-+x x ，其中Sqrt[x^2+2]是指22+x 。

具体运行程序参见图2.2.1。

图2.2.1运行632lim2-+∞→x x x 的Mathemica 程序2．求220sin lim xxx → 利用Limit[expr,x →0]命令，计算0lim →x expr ；再将表达式expr 转化成22sin x x ，其中Sin[x]^2是指sin 2x 。

具体运行程序参见图2.2.2。

图2.2.2运行220sin lim xxx →的Mathemica 程序3．求x x ln lim 0+→利用Limit[expr,x →0,Direction →-1]命令，计算+→0lim x expr ；再将表达式expr 转化成lnx ，其中Log[x]是指lnx 。

深圳大学-胡鹏彦：一元微积分课程教学大纲

第一章实数集与函数12学时
第二章数列极限10学时
第三章函数极限12学时
第四章函数连续性12学时
第五章导数与微分16学时
第六章微分中值定理及其应用20学时
第七章实数的完备性8学时
第八章不定积分12学时
第九章定积分20学时
第十章定积分的应用12学时
第十一章反常积分8学时
（二）考核要求
1.成绩评定
平时成绩（含作业，测验，考勤作为参考）占30％，期末（卷面）占70％.
第十章定积分的应用
教学目的
会用定积分处理几何、物理和近似计算方面的问题。
教学内容
第一节平面图形的面积
第二节由截面面积求立体体积
第三节平面曲线的弧长与曲率
第四节旋转曲面的面积
第五节定积分在物理上的某些应用
第六节定积分的近似计算
基本要求
掌握平面图形的面积、由截面面积求立体体积、平面曲线的弧长与曲率和旋转曲面的面积的计算公式和方法，掌握定积分在物理上的某些应用，了解定积分的近似计算方面的应用。
第八章不定积分
教学目的
通过学习本章内容，使学生能够利用不定积分解决一些实际问题，能够熟练地计算一些不定积分。
教学内容
第一节不定积分概念与基本积分公式
第二节换元积分法与分部积分法
第三节有理函数和可化为有理函数的积分
基本要求
理解不定积分的概念，掌握基本积分公式、换元积分法、分部积分法和某些特殊函数的积分法。
（七）考核方式
闭卷考试
（八）使用教材
华东师范大学数学系编：《数学分析》（上册）.北京：高等教育出版社出版社，2003，第三版.
（九）参考书目
[1]常庚哲、史济怀.《数学分析教程》，北京：高等教育出版社，2003,第一版.

一元微积分几何应用-43页PPT精品文档

s
计算体积:
V
b
dV
by2 dx.
a
a
例8 解
求椭ax2 2圆 by221绕x轴 , 绕y轴旋转一周所
旋转体的体积. (1) 绕x轴旋转 (只需用上半) 椭圆
y
b
积分区间: x [a,a].
a
O
ax 微分元素: dVy2dx
b
ba22 (a2x2)dx.
计算体积: V a a d V b a 2 2 a a (a 2 x 2 )d x 3 4a2b .
n
若极 || ls||i 0 m 限 i1si存,在则称A曲是 B 线可,求长的
极限值为 AB的曲长线. 度
注：导数连续的光滑曲线是可求长的。
2 平面曲线弧长的计算式公
定理设 y f(x )x [a ,b ]为光 ,其滑 A 端 ,B 分曲点对应x于 a和xb, 则该曲线弧的长
b
s
1y2dx.
a
设曲L线的方程y为 (t) t, L的起终 x(t)
点别对 t 应和 t于 .
若 ( t )( t ) , 函 C 1 ( ,[ ]且 ) 数 2 ( t ) , 2 ( t ) 0,
则曲 L是线可求 , 其长弧的长为
2
23 2 2
求曲 y线 x2,直线 yx, y2x所围例2 平面图形 . 的面积
解 (1) 求积分区间 : 联立方程组
y x2 y x2
yx
y
yx y2x y2x
求得A 交 (1,1)点 ,B (2,4 为 ),O (0,0).
积分[区 0 1 ,][间 1 2] ,[为 0 2.,]

一元微积分概念教学的设计

课程目标
01 理解微积分的基本概念，如极限、导数、积分等。
02
掌握微积分的基本原理和方法，如微分法则、不定积分、定积分等。
03
能够运用微积分解决实际问题，如求极值、求面积等。
04
培养学生的逻辑思维、推理能力和数学素养，提高其分析和解决问题的能力。
02
微积分基础概念
极限
极限定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的概念，即当自变量趋近于某一值时，函数值的变化趋势。
THANKS
谢谢您的观看级数的Fra bibliotek质级数具有一些重要的性质，如加法交换律、加法结合律、乘法交换律等，这些性质在研究级数的收敛性、求和等方面有着重要的应用。
级数的计算
级数的计算是微积分中的基本技能之一，包括利用级数的求和法则、部分分式法等方法计算级数的和。
03
一元微积分教学设计
教学内容
01
极限概念
介绍极限的定义、性质和计算方法，以及极限在数学分析中的作用。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性、可加性、链式法则等，这些性质在研究函数的单调性、极值、曲线的弯曲程
度等方面有着重要的应用。
导数的计算
导数的计算是微积分中的基本技能之一，包括利用求导法则、复合函数求导法则、隐函数求导法则等方法计算导数
。
级数
级数定义
级数是无穷多个数相加的总和，可以分为收敛级数和发散级数两类。
一元微积分概念教学的设计
汇报人： 2024-01-07
目录
• 引言 • 微积分基础概念 • 一元微积分教学设计 • 相关背景知识参考
01
引言
课程背景
1

实验报告第3章参考答案yangh

>> diff(x^4+exp(x),'x',4)
ans =24+exp(x)
5) 求 .
>> syms x
>> diff(asin(sqrt(1-x^2)))
ans =-1/(1-x^2)^(1/2)*x/(x^2)^(1/2)
可得dy=-1/(1-x^2)^(1/2)*x/(x^2)^(1/2)*dx
结果：
ans =x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/12*x^4-1/20*x^5
收敛域：
2）
输入：
syms t x
taylor(int(1/(1+t^4),'t',0,x),x,10,0)
结果：
ans =x-1/5*x^5+1/9*x^9
收敛域：
8、用级数展开式计算的近似值（取前5项）
输入：
VLB=[]; VUB=[];
[x,fval]=fmincon('minyh3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
结果：
x = 1.0000 1.0000
fval = 2
思考
及
习题
收
获
感
想
数学实验实验报告
实验报告3.4数值计算基础
课程名称
实验名称
实验教室
实验日期
班级
学生姓名
实验成绩
任课教师
4.求下列函数的积分(写出命令和结果)
1）
>> int('1/(x^(1/2)+x^(1/3))')
ans=-3*x^(1/3)+log(x^(2/3)+x^(1/3)+1)-2*log(x^(1/3)-1)-log(-1+x)+2*x^(1/2)+log(x^(1/2)-1)-log(x^(1/2)+1)+6*x^(1/6)-log(x^(1/3)+x^(1/6)+1)+2*log(x^(1/6)-1)-2*log(x^(1/6)+1)+log(x^(1/3)-x^(1/6)+1)